ersão reliminar 4 de junho de 4 Notas de ula de ísica 5. LUDOS... DENSDDE... PRESSÃO... LUDO E REPOUSO... O PRNCÍPO DE PSCL... 4 O PRNCÍPO DE RQUEDES... 4 LUDOS DES E OENTO... 4 LNHS DE CORRENTE E EQUÇÃO D CONTNUDDE... 5 EQUÇÃO DE ERNOULL... 6 O EDDOR DE ENTUR... 9 SOLUÇÃO DE LGUNS PROLES...... 5... 7...... 4... 5 5... 6 9... 7... 9 6... 9 7... 9...... 6... 47... 48... 4 49... 5 49... 6 5... 7 5... 9 57... 68... 7...
5. luidos luidos comreendem líquidos e gases. Os líquidos escoam sob a ação da gravidade até reencherem as regiões mais baixas ossíveis dos vasos que os contém. Os gases se exandem até ocuarem todo o volume do vaso, qualquer que seja a sua forma. s moléculas em um gás não têm restrição de movimento dentro do reciiente que o contém, e odem se deslocar através de toda essa região do esaço. Já o líquido está restrito a se mover abaixo da sua suerfície. Grande arte de suas moléculas não têm energia suficiente ara vencer essa barreira imosta ela suerfície, daí a contenção entre a sua suerfície e as arede do reciiente. Na ecânica dos luidos estudamos o movimento do conjunto de artículas e não o de cada artícula, como na ecânica Newtoniana. Densidade Define-se densidade de um material como a relação entre a sua massa e o seu volume. De maneira formal, analisamos aenas uma equena orção do material de massa m e volume e definimos a sua densidade como: m e se este material tiver uma distribuição uniforme de massa, a sua densidade será a mesma em todas as suas artes. Nesse caso teremos m/. Pressão ressão mede a relação entre a força alicada a uma suerfície e o tamanho da suerfície considerada. Seja a força que está sendo alicada em um êmbolo de suerfície. ressão que esta força está exercendo no êmbolo é definida como: À rigor, a ressão é definida ara o limite desta razão, no limite quando a área tender à zero. Ou seja: d d d d Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero
luido em reouso Para deduzir a relação entre ressão, densidade e rofundidade, analisemos um fluido de densidade em reouso num dado reciiente, como mostrado na figura à seguir. amos considerar um cilindro imaginário desenhado nesse fluido. Esse cilindro tem suerfícies aralelas à suerfície do fluido e uma altura dy ao longo da rofundidade do fluido. força líquida d R que o fluido exerce neste cilindro é dada or: - ( d) d R onde é a força que atua na suerfície inferior e ( d) é a força que atua na suerfície suerior do cilindro imaginário. Como o cilindro está em reouso, essa força deve ser igual ao eso do cilindro. Desse modo: - d d R g dm ydy y (d) as dm d dy logo d - g dy d g dy Quando a densidade uder ser considerada uniforme, ou seja quando a densidade não variar com a altura, a integração terá a forma: y y (d) d g y y dy ( y ) g y Considerando que a ressão aumenta com a rofundidade, vamos definir a rofundidade como h, a ressão nesta rofundidade como e a ressão suerficial como, e desse modo: g h ssim encontramos que a ressão varia linearmente com a rofundidade h. Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero
O Princíio de Pascal ressão alicada a um fluido contido em um reciiente é transmitida integralmente a todos os ontos do fluido e às aredes do reciiente que o contém. Se a ressão atmosférica for chamada de, a ressão em uma rofundidade h deste fluido será dada or: g h Caso a ressão atmosférica varie, e num certo dia ela asse ara o valor onde <, a ressão no interior do lago também irá variar como consequência desta mudança, e teremos: g h O Princíio de rquimedes Todo coro total ou arcialmente imerso em um fluido, recebe deste um emuxo vertical dirigido ara cima, de módulo igual ao eso do fluido deslocado elo coro. Esse Princíio resume uma infinidade asectos da influência de um líquido sobre um coro sólido que nele está imerso (ou arcialmente imerso). Porque um edaço de madeira flutua e uma edra afunda? Porque um navio flutua, mesmo sendo feito de ferro? Porque um submarino consegue ter controle sobre a escolha da rofundidade em que se encontra? Questões deste tio são resondidas com a alicação do rincíio de rquimedes. luidos ideais em movimento O movimento de fluidos reais é comlexo e ainda não é inteiramente comreendido. Por exemlo, não existe uma comreensão clara sobre o fenômeno das turbulências. amos restringir a nossa análise aos fluidos ideais. São aqueles que aresentam um comortamento bem mais simles, e rincialmente, sabemos analisar os seu movimento. Um fluido ideal tem elo menos as seguintes características: Escoamento estacionário velocidade do fluido em qualquer onto fixo não muda com o temo. Neste tio de escoamento a velocidade de um elemento de volume do fluido ode variar enquanto ele muda de osição, mas a velocidade do fluido em cada onto do esaço ermanece constante ao longo do temo. Escoamento incomressível sua densidade é constante, indeendente das circunstâncias, como o aumento de ressão ou temeratura. Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero 4
Escoamento não viscoso Grosseiramente, a viscosidade de um fluido é uma medida da sua resistência ao escoamento. Escoamento irrotacional Em um escoamento não - rotacional, um coro não girará em torno d um eixo que asse or seu centro de massa. amos estudar o escoamento estacionário, incomressível, irrotacional e não - viscoso. Linhas de corrente e a Equação da Continuidade Uma linha de corrente é a trajetória de um elemento de volume do fluido. Enquanto esse elemento de volume se move, ele ode variar a sua velocidade em módulo direção e sentido. O vetor velocidade será semre tangente á linha de corrente. Uma consequência desta definição é que as linhas de corrente nunca se cruzam, ois caso o fizessem o elemento de volume oderia ter uma das duas velocidades com diferentes direções, simultaneamente. Em um escoamento odemos isolar tubos de corrente, cujos limites são definidos or linhas de corrente. Tal tubo funciona como um cano, orque nenhuma artícula escaa através de suas aredes - ois justamente essas aredes definem as linhas de corrente., v Consideremos o tubo de corrente na figura ao lado, onde o fluido se move da esquerda ara a direita. O tubo tem seção transversal e nas osições indicadas e velocidades resectivas v e v., v C Observemos durante um intervalo de temo t o fluido que cruza a área. massa de fluido que atravessa essa suerfície neste intervalo é dado or m ( v t ) Como não existe fonte ou sorvedouro de massa entre e, essa mesma massa de fluido atravessará a suerfície e será dado, nesse caso, or: onde concluímos que: m ( v t ) v v v constante ao longo de um tubo de corrente. lgumas vezes a equação anterior é chamada de equação de continuidade ara escoamento de fluidos. Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero 5
Como as linhas de corrente não se cruzam, elas se aroximam uma das outras à medida que o tubo de corrente diminui a sua seção transversal. Desse modo o adensamento de linhas de corrente significa o aumento da velocidade de escoamento. equação de ernoulli equação de ernoulli relaciona variação de ressão, variação de altura e variação de velocidade em um fluido incomressível num escoamento estacionário. Ela é obtida como uma consequência da conservação da energia. Considere um tubo de largura variável or onde entra um fluido à esquerda e sai à direita, como mostra a figura à seguir. À esquerda, o tubo tem seção transversal de área e à direita ele tem uma seção transversal de área. À esquerda, arte inferior do tubo está a uma certa altura y de um certo referencial e a arte suerior do tubo à direita está a uma altura y desse mesmo referencial. amos considerar o movimento deste fluido que num dado instante ocua o volume entre os lanos e na figura à seguir, e deois de um intervalo de temo t ele assa a ocuar o volume entre os lanos e. y v t y v t y z O volume entre os lanos e é e o volume entre os lanos e é, onde temos que: (v t). (v t). Considere um intervalo de temo t equeno, tal que através da suerfície asse uma massa m e através da suerfície assa uma massa m. Essas massas odem ser escritas como: e de modo semelhante: m [ (v t ) ] m [ (v t ) ] Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero 6
Como a massa que entra ela esquerda deve ser igual à massa que sai à direita, temos que m m e como o fluido é considerado incomressível, a densidade à esquerda é igual à densidade à direita, logo Desse modo: m m m v v O trabalho W realizado elas forças externas sobre o elemento de massa m é igual à variação da energia cinética dessa massa quando vai da esquerda ara a direita. Uma das forças externas a esse elemento de massa é a gravidade e a outra força é uma consequência da diferença de ressão externa alicada nas suerfícies e. W W G W P K W G trabalho realizado ela força da gravidade. W P trabalho ralizado como uma consequência da diferença de ressão externa. W W G P! G! P! dl! dl! G! dl ( ˆj m g) ( jˆ dy) m g dy W G y ( m g dy ) m gy m g ( y y ) y Num intervalo de temo t, uma elemento de massa m deixou a arte inferior do tubo e assou ara a arte suerior. Logo, o sistema armazenou energia otencial gravitacional W G - m g ( y - y ) Por outro lado: {( kˆ ) ( kˆ )} ( kˆ dz) ( ) dz ( )dz!! P dl W P dz dz z ( v t) ( v t) z Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero 7
as logo ( t ) v W P m m ( ) variação da energia cinética é dada or: K mv mv Podemos então dizer que: ou ainda: m ( ) m g( y y ) mv mv g ( y y ) ( v v ) g y v g y v de onde odemos concluir que: g y v cons tante que é a equação de ernoulli. Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero 8
O medidor de enturi O medidor de enturi é um aarelho usado ara medir a velocidade de escoamento de um fluido de densidade em um cano. O medidor é conectado entre duas seções do cano como mostrado na figura à seguir. área da seção transversal da entrada e da saída são iguais a área da seção transversal do cano. Entre a entrada e a saída, o fluido assa or uma região estreita de área a. Um manômetro que contém um líquido de densidade L conecta a arte mais larga à arte mais estreita, onde a velocidade do fluido tem um valor, que é maior que a velocidade v na entrada do medidor. Cano v! ; v! ; v! ; y Cano y h 4 L amos usar a equação de ernoulli ara analisar a variação das grandezas envolvidas. g y v cons tante licando essa equação ara esse cano, nas regiões e, encontramos que: v g ( y h) v g( y h) onde estamos tomando como referencial da energia otencial gravitacional o onto mais alto do líquido dentro do manômetro, e desse modo odemos usar a Equação de bernoulli aenas ara o fluido do cano. Esta equação ode tomar a forma: v g y v g y g y g y v v ( ) ( ) Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero 9
Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero No interior do manômetro, as ressões se equacionam do seguinte modo: ( ) g h h y g g y L 4 4 Usando as duas rimeiras equações na última, encontramos que: ( ) ( ) [ ] gh h y g g y L ( ) ( ) ( ) h g g h g h g y g y L L dentificando esta equação com a alicação da equação de ernoulli, encontramos que: ( ) h g v v L ( ) L h g v v À artir da equação da continuidade, encontramos que: L v L v v v e desse modo ( ) L h g v v v e finalmente: ( ) ( ) L h g v e ortanto odemos medir a velocidade v do fluido ao entrar no cano.
Solução de alguns roblemas Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a. edição Encontre o aumento de ressão de um fluido em uma seringa quando uma enfermeira alica uma força de 4N ao êmbolo da seringa, de raio,cm. 4N r,cm,m.487,7n/m π r N/m Pascal logo atm,x 5 Pa,8atm Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a. edição 5 Um eixe controla a sua rofundidade na água através do ajuste do conteúdo de ar de um osso oroso ou em um saco de ar ara que a sua densidade fique igual à da água. Suonha que, com as bolsas de ar vazias, um eixe tenha a densidade de,8g/cm. Se ele quiser reduzir a sua densidade à da água, que fração do volume do seu coro deverá ser ocuada or ar dentro dos sacos? (Estes sacos são chamados bexigas natatórias.,8g/cm g/cm densidade do eixe varia de até : P P R P Na definição de levamos em consideração que a massa de ar é muito menor que a massa do eixe. razão entre os volumes tem a forma: P P Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero
as logo: R R R R R,8 Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a. edição 7 Em 654, Otto von Guericke, burgomestre de agdeburg e inventor da bomba de ar, deu uma demonstração diante da Dieta merial em que dois gruos de oito cavalos não foram caazes de searar dois hemisférios de latão unidos, dentro dos quais se fez vácuo. a) Pressuondo que os dois hemisférios tenham aredes finas, de forma que R, na figura à seguir, ossa ser considerado o raio interno e externo, mostre que a força necessária ara searar os hemisférios é πr onde é a diferença entre as ressões interna e externa na esfera. atmosfera exerce uma ressão (e consequentemente um força) em todos os ontos dos dois hemisférios, mas aenas a comonente z dessa força "emurra" um hemisfério contra o outro. s comonentes x e y dessa força são nulas. sso ode ser ercebido se observarmos que ara cada elemento de força d!! existe atuando um outro elemento d simétrico em relação ao eixo z.! s comonentes x e y de d anularão as comonentes equivalentes de d!. No entanto, somar-se-ão as comonentes z dessas forças elementares simétricas. d! é um vetor radial,! d rˆ d s suas comonentes cartesianas são:!! d! θ d! θ z z d z d X - d senθ cosϕ Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero
d Y - d senθ senϕ d Z - d cosθ Considerando que: teremos que: d d (R senθ dθ dϕ) d X - R (sen θ dθ) (cosϕ dϕ) d Y - R (sen θ dθ) (senϕ dϕ) ntegrando, teremos: d Z - R (senθ cosθ dθ) (dϕ) X π dx R sen θ dθ π cosϕ dϕ Y π dy R sen θ dθ π senϕ dϕ as or outro lado: logo: e Z π dz R senθ cosθ dθ π π cosϕ dϕ senϕ senϕ dϕ cosϕ Z πr π π dϕ π X Y π π π senθ cosθ dθ dϕ azendo a substituição u senθ, encontramos que Z π R u du πr Como Z é a força resultante externa, vamos chamá-la de, π R Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero
força líquida é a diferença entre as forças internas e externas: - πr ( - ) πr b) azendo R cm e a ressão interna igual a,atm, encontre a força que os cavalos teriam de exercer ara searar os hemisférios. R cm,m atm,x 5 Pascal,atm,x 4 Pascal -,9atm 9.7Pa 5.777,7 Newtons Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a. edição Uma iscina tem as dimensões 4m x 9m x,5m. a) Quando ela está cheia de água, qual é força (devido somente à água) sobre o fundo, nas extremidades e nos lados? H,5m L 9m C 4m ressão no fundo da iscina é dada or: P g H H C Logo, a força total no fundo será: P ( g H) (L C) h g ( kg/m )(m/s )(,5. 9. 4 m ) h H 5,4 x 6 N ressão a uma rofundidade genérica h é dada or: L L dh h P g h força lateral em uma suerfície d ao longo desta rofundidade e associada a essa ressão tem a forma: d L P d P (L dh) g L h dh Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero 4
e ortanto, a força lateral é dada or: L H g L h dh g L H L,8 x 5 N Como temos duas suerfícies laterais iguais: L 5,6 x 5 N força ao longo do comrimento é dada or: C H g C h dh g C H C 7,4 x 5 N Como temos duas suerfícies laterais iguais: C,4 x 6 N b) Se você estiver reocuado com o fato das aredes e isos de concreto se quebrarem, seria aroriado levar em conta a ressão atmosférica? Porque? Sim, or causa do rincíio de Pascal. ressão que a atmosfera exerce na suerfície se transmite ara todos os ontos da água, inclusive os lados e o fundo. Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a. edição a) Encontre o eso total da água em cima de um submarino nuclear, a uma rofundidade de m, suondo que o seu casco (corte da seção transversal) tenha a área de m. m h m S,g/cm densidade da água do mar S g h Submarino S g h Seção transversal do submarino (,x kg/m )(m/s )(m)(m ) 6,6 x 9 N Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero 5
b) que ressão da água um mergulhador estaria submetido a essa rofundidade? ocê acha que os ocuantes de um submarino danificado, a essa rofundidade oderiam escaar sem equiamento esecial? Considere a densidade da água do mar,g/cm. S g h (,x 5 Pa) (,x kg/m )(m/s )(m) (,x 5 Pa) (,6x 6 Pa), x 6 N,8 atm Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a. edição 5 Dois vasos cilíndricos idênticos, com suas bases ao mesmo nível contém um líquido de densidade. área da base é ara ambos, mas em um dos vasos a altura do líquido é h e no outro é h. Encontre o trabalho realizado ela força gravitacional ao igualar os níveis, quando os dois vasos são conectados. Seja U(H) a energia otencial gravitacional armazenada num reciiente de área transversal e altura H. faixa de líquido a uma altura h, com uma esessura dh, tem uma energia otencial gravitacional dada or: du dm g h ( d) g h ( dh) g h h H h h e ortanto: du g h dh H H U( H) g h dh g Considerando a situação inicial, quando temos dois vasos que se comunicam, a energia otencial gravitacional inicial do conjunto será: Ou seja: U U( h ) U( h h h ) g g g U ( h h ) Deois que os vasos são conectados, os seus níveis alcançam uma altura h de equilíbrio. Como não existem erdas, a soma dos volumes dos líquidos dos dois tanques ermanece constante, logo: Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero 6
h h h h h h energia otencial gravitacional final do conjunto será: U U U(h) U(h) U(h) gh g h h h h g U U g 4 [( h h h h ) ( h h )] U g U 4 { h h h h } as g U 4 W U g 4 ( h h ) ( h h ) Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a. edição 9 água se encontra a uma rofundidade D abaixo da face vertical de um dique, com ilustra a figura à seguir. a) Encontre a força horizontal resultante exercida no dique ela ressão manométrica da água. amos considerar a força elementar d exerci sobre o dique or uma lâmina de líquido reresado. Essa lâmina está a uma rofundidade h e nessa rofundidade existe uma ressão exercida elo líquido. Desse modo: d d W dh D W onde W é a largura do dique e dh é a esessura da lâmina. O Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero 7
as logo g h d g W h dh W e a força resultante terá a forma: dh D gw h dh g W D d b) Encontre o torque resultante devido à ressão manométrica da água, em relação ao onto O. O torque que a lâmina exerce no dique, em ralação ao onto O é dado or:!!! dτ r d dτ (D - h) d D h d! r! O ou ainda: dτ (D - h) { g W h dh} g W (D - h) dh e integrando, temos τ gw ( D h) h dh gw D D D D h dh h dh D D τ gw D gwd 6 c) Encontre o braço de alavanca, em relação ao onto O, da força horizontal resultante sobre o dique. τ L gwd 6 D L gw D L onde L é medido à artir do fundo do dique. Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero 8
Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a. edição Um istom de área menor a é usado em uma rensa hidráulica ara exercer uma equena força f num líquido confinado. Um tubo o conecta com um outro istom maior de área. a) Que força o istom maior sustentará? Usando o rincíio de Pascal, a força alicada f roduz no líquido uma variação de ressão dada or: f!! f a f a a Se o istom da menor se mover de d, o istom maior mover-se-á de D, mas os volumes associados a esses movimentos serão os mesmos. Ou seja: ad D O trabalho W f executado ela força f será: D a d a W fd D D a f W e ortanto as duas forças fazem o mesmo trabalho. b) Se o istom equeno tem um diâmetro de l,8cm e o grande de L 5cm, que eso no istom equeno sustentará toneladas no istom maior? L π f f a l π Como g e f m g, temos que: L f l m l L,8kg Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a. edição 6 Um objeto cúbico de dimensão L,6m de lado e massa 45kg é susenso or um fio em um tanque aberto com líquido de densidade kg/m. a) Encontre a força total ara baixo, exercida elo líquido e ela atmosfera sobre o objeto. Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero 9
L,6m 45kg kg/m atm,x 5 Pascal força total S exercida elo líquido na arte suerior do objeto é: L/ L S L g L S S 7.58,4N b) Encontre a força total ara cima, na base do objeto. L g L! S T! E! 9.85,N c) Encontre a tensão no fio. P! T P S -! T g L g L L g L g L g T 45. - 9.85, 7.58,4 45 -.4,8 T.75,N d) Calcule o emuxo sobre o objeto, usando o Princíio de rquimedes. E ( ) g L g (kg/m ) (,6m) (m/s ) E.4,8N e) Qual a relação existente entre todas essas quantidades? E - S!!! P T E Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a. edição 7 Um bloco de madeira flutua em água com dois terços do seu volume submerso. Em óleo, flutua com,9 do seu volume submerso. Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero
a) Encontre a densidade da madeira. Prof. Romero Tavares da Silva O emuxo é roorcional ao volume do coro que está submerso, orque é esse volume que desloca o líquido. Como o coro está flutuando, esse emuxo é igual ao seu eso. Considerando inicialmente o coro de madeira flutuando na água: P! E! E P g ( ) g Como a densidade da água g/cm, encontramos que: b) Encontre a densidade do óleo. g / cm 666,7kg/m E O P 9 7 [ (,9 )] g ( ) g g / cm,9 O O O 74,7kg/m Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a. edição 9 Uma esfera oca, de raio interno igual a 8cm e raio externo igual a 9cm, flutua submersa ela metade em um líquido de densidade 8kg/m. a) Qual a massa da esfera? R 8cm,8m R E 9cm,9m L 8kg/m Quando a esfera flutua, temos que: ou seja logo: P E E E g L Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero g 4 E L πre E, kg
b) Calcule a densidade do material de que ele é feita. E E E E 4 π E E ( R R ) E 4,8kg/m Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 4 a. edição Uma lata tem volume de cm e massa de g. Quantos gramas de balas de chumbo ela oderia carregar sem que afundasse na água? densidade do chumbo é,4g/cm. cm L g Pb,4g/cm g/cm (densidade da água) lata tem um volume interno e está flutuando. Que massa Pb de chumbo ode ser colocada em seu interior? O eso total da lata mais balas de chumbo tem de ser igual ao emuxo exercido ela água na lata. Ou seja: ( Pb L ) g E Usando o Princíio de rquimedes, o emuxo será igual ao volume do fluido deslocado, logo: E ( ) g ( Pb L ) g ( ) g Pb - L g - g Pb 7g Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a. edição 6 Três crianças, cada uma esando 56N, constroem uma jangada amarrando troncos de diâmetro,m e comrimento,8m. Quantos troncos serão necessários ara que a jangada as sustente? Considere a densidade da madeira como sendo 8kg/m. P 56N d,m L,8m 8kg/m kg/m Seja T o volume de cada tronco. Desse modo: Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero
d T π L,m Como a jangada será construída com N troncos, o volume da jangada será: N T Para que a jangada flutue com carga máxima, vamos considerar que ela ficará comletamente submersa. Neste caso, o emuxo será: E ( ) g E a jangada suortará o seu rório eso mais o eso das crianças: as ( ) g ( ) g P P g N T g N g N 4,45 P ( ) P ( ) Será necessário um número de toras maior que quatro. Suondo que a jangada será construída com um número inteiro de toras, serão necessários cinco troncos ara a construção da jangada. Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a. edição 47 Um tanque de grande área é cheio de água a uma rofundidade de,m. Um buraco de área 6,5cm no fundo do tanque ermite que a água escoe. a) que taxa a água flui elo buraco? D,m 6,5cm 6,5x -4 m amos usar a Equação de ernoulli: D g y v cons tante nos ontos na suerfície da água dentro do tanque e o onto no buraco no fundo do tanque: h Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero
g y v g y Considerando que o buraco é equeno em comaração à suerfície da água dentro do tanque, odemos dizer, com boa aroximação, que a velocidade que o nível da água baixa v é desrezível. inda considerando que o buraco é equeno, odemos considerar que o nível D da água varia muito ouco, e desse modo: D y - y ortanto: g D v Os ontos e estão em contato com a atmosfera, logo: v logo: g D v v gd,4m/s O fluxo de água é definido como φ v φ gd,58m /s b) que distância abaixo do fundo do tanque, a área da seção transversal do jato será a metade da área do buraco? água vai fluir através do buraco e formar um tubo de corrente. Podemos usar a equação da continuidade ara calcular a velocidade quando a seção transversal do tubo de corrente tiver a metade do valor original. v v (/) v v 4,8m/s amos usar a equação de Torricelli ara calcular a altura h, abaixo do fundo do tanque, em que acontece essa relação de áreas; já que a água está em queda livre. v v h,86m g Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a. edição 48 Sobre a asa de um avião de área, o ar escoa com velocidade v C e sob a asa deste mesmo avião (também de área ), a velocidade do ar é v. ostre que nesta situação simlificada, a equação de ernoulli rediz que a magnitude L da força de sustentação na asa será: L ( v C v ) onde é a densidade do ar. Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero 4
O fluxo de ar em torno da asa de um avião tem qualitativamente a forma desenhada ao lado. Devido ao seu formato, existe um adensamento das linhas de corrente acima da asa, e ortanto a velocidade nesta região é maior que a velocidade abaixo da asa. Prof. Romero Tavares da Silva Usando a equação de ernoulli, iremos calcular quais as consequências deste desenho eculiar de uma asa no que diz reseito à força de sustentação de um avião: g y v cons tante licando essa equação ara em onto na arte suerior da asa e ara um outro onto na sua arte inferior: C g y C v C g y v C ( v v ) g( y y ) C C Como a diferença de energia otencial gravitacional é desrezível frente a outras diferenças de energia resentes na equação, odemos escrever que: L ( v v ) L ( v v ) C C Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 4 a. edição 49 Coloca-se um béquer de vidro, arcialmente cheio de água, em uma ia, conforme a figura à seguir. Ele tem massa de 9g e um volume interno de 5cm. Começa-se, então, a encher a ia com água e verifica-se or exeriência que, se o béquer estiver com água até menos da metade, flutuará; mas se a água nele estiver acima da metade, ermanecerá no fundo da ia até a água alcançar as suas bordas. Qual a densidade do material de que é feito o béquer? 9g,9kg 5cm,5m amos considerar o caso limite, onde o nível da água da ia atingiu a borda do béquer, que tem metade do volume interno ocuado com água. O eso do conjunto água béquer será: Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero 5
P ( ) g ( / ) g O emuxo será E ( E ) g onde E é o volume externo do béquer. lém disso, a densidade do béquer será dada or: No caso limite, o emuxo E será igual ao eso P, e ortanto teremos: ( E ) g ( / ) g E as ou ainda: E E E E,79g/cm Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a. edição 49 Se a velocidade de escoamento, assando debaixo de uma asa, é m/s, que velocidade de escoamento na arte de cima criará uma diferença de ressão de 9Pa entre as suerfícies de cima e de baixo? Considere a densidade do ar,x - g/cm v m/s 96km/h 9Pa,888atm,x - g/cm,kg/m atm,x 5 Pa ( v C v ) v C v v C 6,m/s 47,9km/h Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero 6
Se cada asa tiver dimensões aroximadas de,5m x m,5m, as duas asas corresonderão a uma área de m. força de sustentação, neste caso, será: L.7N Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a. edição 5 Suonha que dois tanques, e, cada um com uma grande abertura na arte de cima, contenham dois líquidos diferentes. Um equeno furo é feito nos dois tanques, a uma mesma rofundidade h abaixo da suerfície do líquido, mas o furo no tanque tem a metade da área de seção transversal do furo no tanque. a) Qual a razão / das densidades dos fluidos, se for observado que a vazão de massa é a mesma nos dois furos? m m m y m y a h a m é a variação de massa no tanque quando o seu volume varia de e o nível do líquido varia de y. Para um intervalo de temo t temos que e no limite em que t dm dt m t y t dy dm v S dt dt onde v S é a velocidade com que o nível da água diminui. Se considerarmos os dois tanques, teremos que: dm dt dm dt v v S S as, neste roblema, se observa que a vazão de massa é a mesma nos dois furos, logo: dm dm v S v S dt dt Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero 7
Quando consideramos que v é a velocidade com que o líquido flui através do orifício de área a, odemos usar a equação da continuidade ara concluir que: v S av Se usarmos esse resultado ara cada um dos tanques, encontramos que: v v S S av a v usando a igualdade da vazão das massas, temos: a v a v () licando a equação de ernoulli ara o tanque, considerando a suerfície e um onto do orifício, temos que: S v S gh v e levando em conta que a ressão S na suerfície é a mesma ressão em um onto do orifício, temos que: v v S gh Como a lâmina do líquido é muito grande, ou seja >> a, a velocidade v S que o nível do líquido diminui é muito menos que a velocidade v desse líquido escaando elo orifício, logo: v gh () Toda essa argumentação anterior é válida ara o tanque, e ortanto: v gh () Usando as equações () e () na equação (), encontramos que: a v a v a a gh gh b) Qual é a razão entre as vazões dos dois tanques? Logo: R v vazão R R av a v Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero 8
c) té que altura acima do furo se deve adicionar ou retirar líquido do tanque, ara igualar as vazões? amos considerar que os furos agora estão em rofundidades diferentes, logo v v gh gh R R a v a v a a gh gh H 4H Quando as vazões forem iguais, teremos: R R H 4 H Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a. edição 5 rofundidade da água doce em reouso atrás de um dique é de 5m. Um tubo horizontal de 4cm de diâmetro assa através do dique 6m abaixo da suerfície da água, como mostra a figura à seguir. Uma rolha fecha a abertura do tubo. a) Encontre a força de atrito entre a rolha e as aredes do tubo. H 5m h 6m d 4cm,4m Seja um onto no interior do dique e róximo à rolha; e seja um onto no exterior do dique e róximo à rolha. H h Como os ontos não fazem arte de uma mesmo fluido, usando a hidrostática nós temos então que: g h g h Essa é a diferença de ressão que o atrito entre a rolha e as aredes do tubo têm de suortar. Logo a força de atrito será: g h 7,89N b) rolha é removida. Que volume de água flui através do tubo em h? Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero 9
Seja d o elemento de volume que flui através do orifício, em um intervalo de temo dt. temos então que: d (v dt) Considerando que a velocidade com que o a água fluirá será constante, tendo em vista o volume do dique em comaração com o tamanho do orifício, temos que: v t amos relacionar um onto da suerfície da água do dique () com um onto na saída do tubo horizontal (). g y v g y v Considerando que a área transversal do tubo é muito menor que a lâmina d água do dique, usando a equação da continuidade, odemos aroximar que a velocidade que o nível da água do dique vai baixar com uma velocidade muito menor que a velocidade do fluxo d água no tubo. Desse modo, temos que v g y v g y Considerando que v g ( y y ) gh v gh O volume que fluirá será dado or: t gh 47,7m Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a. edição Um tubo de Pitot, como esquematizado na figura à seguir, é usado ara determinar a 57 velocidade de um avião em relação ao ar. Consiste em um tubo externo com um número de equenos furos (são mostrados quatro na figura); o tubo é conectado a um dos braços de um outro tubo em U, cujo segundo braço está conectado a um buraco,, na arte frontal do aarelho, que se alinha com a direção de vôo do avião. Em, o ar fica arado, logo v. Em, entretanto, a velocidade do ar resumidamente se iguala à velocidade do avião relativa ao ar. Use a equação de ernoulli ara mostrar que g h v onde v é a velocidade do avião em relação ao ar e é a densidade do líquido dentro do tubo em U. R Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero
Considerando a diferença de ressão entre os dois níveis do líquido dentro do tubo em U, temos que: g h as, usando a equação de ernoulli, encontramos que: Se R v Rv gh v gh R Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a. edição - Sulemento 68 Um sifão é um aarelho usado ara remover líquido de um reciiente. Seu funcionamento é mostrado na figura à seguir. O tubo C necessita estar inicialmente cheio, mas uma vez que isso tenha sido feito, o líquido fluirá através do tubo até que o nível do líquido no reciiente esteja abaixo da abertura. O líquido tem densidade e viscosidade desrezível. a) Com que velocidade o líquido sai do tubo em C? equação de ernoulli tem a forma: g y v cons tante Usando essa equação entre um onto na saída do sifão C e um onto na suerfície do líquido D, temos que: D d h D g D C ( d h ) v v C h Suondo que a suerfície do líquido tem uma área muito maior que a seção transversal do sifão, odemos considerar que a velocidade com C Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero
que a suerfície do líquido varia(baixa) é desrezível frente a velocidade com que o líquido entra no sifão. desse modo v D, e ortanto v g ( d h ) C D C as, tanto o onto C quanto o onto D estão em contato com a atmosfera em reouso, e ortanto estão a uma mesma ressão, e desse modo D C, logo: v C g ( d h ) b) Qual a ressão do líquido no onto mais alto? Usando a equação de ernoulli ara equacionar as grandezas dos ontos e D, encontramos: v g ( d h ) v g( d h h ) D D D v gh Usando a equação da continuidade entre os ontos e C, encontramos que: e ortanto: Como D, temos que: v constante v v C g ( d ) h [ g( d h )] D gh v D gh - g (h h d) c) Teoricamente, qual a maior altura ossível h, que um sifão ode elevar água? menor ressão que ode acontecer no onto será a ressão nula, logo: N - g [ (h ) X h d ] ( h ) X ( h d) g Caítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 4 a. edição 7 s janelas de um rédio de escritórios tem dimensões de 4m x 5m. Em um dia temestuoso, o ar assa ela janela do 5 andar, aralelo à janela, a uma velocidade de m/s. Calcule a força resultante alicada na janela. densidade do ar é,kg/m. Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero
v m/s 8km/h remos usar a equação de ernoulli, equacionando um onto dentro e outro fora do escritório: g y v cons tante Dentro g y v g y v Como os ontos estão no mesmo nível y y, e como o ar dentro do escritório está arado v, temos que: as v v.7newtons Ca 5 www.fisica.ufb.br/~romero