ENERGIA CINÉTICA E TRABALHO

CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I ENERGIA CINÉTICA E TRABALHO Prof. Bruno Farias

Introdução Neste módulo concentraremos nossa atenção no estudo da energia. O estudo da energia é de extrema importância pois, nossa civilização se baseia na obtenção e no uso eficiente de energia.

Energia O termo energia é tão amplo que é difícil pensar em uma definição concisa. De forma bem genérica, podemos definir energia como uma grandeza escalar associada ao estado de um ou mais objetos. A energia pode ser transformada de uma forma para outra e transferida de um objeto para outro, mas a quantidade total é sempre a mesma, ou seja, a energia é conservada. Existem vários tipos de energia, porém nesse capítulo, trataremos apenas da energia cinética. E também numa única forma de transferir energia que é o trabalho.

Energia Cinética A energia cinética K é a energia associada ao estado de movimento de um objeto. Para um objeto de massa m cuja velocidade v é muito menor que a velocidade da luz: 1 K mv A unidade de energia cinética no SI é o joule (J), onde 1 J = 1 kg x m /s.

Exemplo

Trabalho Trabalho (W) é a energia transferida para um objeto ou de um objeto através da aplicação de uma força que age sobre o objeto. Quando a energia é transferida para o objeto, o trabalho é positivo, quando a energia é transferida do objeto, o trabalho é negativo. Trabalho é uma grandeza escalar e sua unidade no SI é o joule (J), onde 1 J = 1 N x m.

Trabalho Realizado por uma Força Constante O trabalho realizado por uma força constante atuando num corpo, é definido como o produto interno entre a força F e deslocamento d, assim: W F d Fd cos A componente da força perpendicular ao deslocamento não realiza trabalho. m F d x

Trabalho Total Quando duas ou mais forças atuam sobre um objeto, o trabalho total realizado sobre o objeto é a soma dos trabalhos realizados separadamente pelas forças. W W W W F1 F F3

Exemplo A Figura abaixo mostra três forças aplicadas a um baú que se desloca 3 m para a esquerda sobre um piso sem atrito. Os módulos das forças são F 1 = 5 N, F = 9 N e F 3 = 3 N; o ângulo indicado é θ = 60º. Nesse deslocamento, a) qual é o trabalho total realizado sobre o baú pelas três forças?

Teorema do Trabalho e Energia Cinética Demonstração: Consideremos um objeto de massa m movendo-se ao longo do eixo x sob ação de uma força resultante constante de módulo F orientada no sentido positivo do eixo x. Através da ª lei de Newton, temos que: F F x ma x (1) Quando o objeto sofre um deslocamento d, sua velocidade varia de um valor inicial v 0 para outro, v. Como a força e a aceleração são constantes podemos escrever: v v 0 a x d.

Explicitando a aceleração na equação anterior, ficamos com: a x v v d Substituindo a equação () na equação (1), e multiplicando ambos o membros por d, obtemos que: Fd v m E finalmente podemos escrever: 0. v0 m. () W total K K 0 K. (Teorema do Trabalho-Energia Cinética)

Exemplo A Figura abaixo mostra três forças aplicadas a um baú que se desloca 3 m para a esquerda sobre um piso sem atrito. Os módulos das forças são F 1 = 5 N, F = 9 N e F 3 = 3 N; o ângulo indicado é θ = 60º. Nesse deslocamento, a) qual é o trabalho total realizado sobre o baú pelas três forças? b) A energia cinética do baú aumentou ou diminuiu?

Exercício Um bloco de gelo flutuante é colhido por uma correnteza que aplica ao bloco uma força F 10 Niˆ 150 Nj ˆ, fazendo com que ele sofra um deslocamento d 15 miˆ 1 mj ˆ. a) Qual é o trabalho realizado pela força sobre o bloco durante esse deslocamento? b) Se o bloco tem uma energia cinética de 500 J no início do deslocamento d, qual é sua energia cinética ao final do deslocamento?

Trabalho Realizado pela Força Gravitacional O trabalho W g realizado pela força gravitacional F g é dado por: W g mgd cos F d, onde ϕ é o ângulo entre os vetores F g e d. Numa subida ϕ = 180º e o trabalho realizado por F g é: W g F d. Numa descida ϕ = 0º e o trabalho realizado por F g é: g g W g F d. g

Exemplo

Trabalho Realizado por Força Variável Movimento Unidimensional Vamos considerar uma força F(x) que aponta no sentido positivo do eixo x e que possui o módulo variando com a posição x, a qual é aplicada num bloco de massa m (Figura ao lado). m F x d x Vamos supor também que a intensidade da força F(x) varia com a posição conforme o gráfico ao lado.

Dividimos a área sob a curva em um grande número de faixas estreitas de largura Δx. Δx é suficiente pequeno para que possamos considerar a força F(x) aproximadamente constante nesse intervalo. Denotamos por F j,méd o valor aproximadamente constante de F(x) no intervalo de ordem j. Assim, o incremento de trabalho ΔW j realizado por F j,méd no intervalo de ordem j é dado por: W j F, x. j méd

Para denotarmos o trabalho total W realizado pela força F(x) quando a partícula se desloca de x i para x f, somamos as áreas de todas as faixas entre x i e x f, assim: W W j F j, méd x. Para melhorar a precisão da expressão acima reduzimos a largura Δx dos retângulos e usamos mais retângulos, conforme a Figura abaixo.

No limite, fazemos a largura dos retângulos tender a zero; nesse caso, o número de retângulos se torna infinitamente grande e temos como resultado: W lim, 0 Fj médx. x A equação acima é a definição da integral da função F(x) entre os limites x i e x f. Assim: W x f F x dx. ( Trabalho de uma força variável) x i

Geometricamente, o trabalho é igual à área entre a curva de F(x) e o eixo x, entre os limites x i e x f. Observação: O teorema do trabalho-energia cinética também é válido quando o trabalho é realizado por uma força variável. W total K K 0 K.

Exemplo Uma vaca está saindo do celeiro, apesar de você tentar puxála de volta. Nas coordenadas com origem na porta do celeiro, a vaca caminha de x = 0 até x = 6,9 m enquanto você aplica uma força com o componente F x 0 N 30 N mx. Quanto trabalho a força exercida por você realiza sobre a vaca durante o seu deslocamento?

Exemplo

Trabalho Realizado pela Força Elástica Consideramos um bloco sobre uma superfície horizontal sem atrito, preso a uma mola. Se a mola é esticada ou comprimida, ela exerce uma força sobre o bloco, dada pela expressão: F s kd ( lei de Hooke) onde k é uma constante (chamada de constante elástica) e d é a distensão da mola.

Como a força que a mola exerce sobre o bloco varia com x, o trabalho realizado por esta força sobre o bloco, enquanto o bloco sofre um deslocamento de x i até x f, é obtida da seguinte forma: W s x E portanto: f x f f i F x dx kx dx k xdx k xi xi xi W s 1 kx i 1 kx f. x f x x ( trabalho de uma força elástica),

Tomando x i = 0 e x f = x podemos escrever também: W s 1 kx. ( trabalho de uma força elástica)

Exemplo Um bloco de 4 kg está sobre uma mesa sem atrito e preso a uma mola com k = 400 N/m. A mola é inicialmente comprimida de 5 cm. Encontre a) o trabalho realizado sobre o bloco pela mola enquanto o bloco se move de x = x i = - 5 cm até sua posição de equilíbrio x = x f = 0 cm, b) a velocidade do bloco em x f = 0 cm.

Potência Potência é a taxa com que uma força realiza trabalho. Se uma força realiza um trabalho W em um intervalo de tempo Δt, a potência média desenvolvida durante esse intervalo de tempo é: P méd P A potência instantânea P é a taxa de variação instantânea com a qual o trabalho é realizado, sendo expressa como: W t dw dt A unidade de potência no SI é o joule por segundo, a qual recebeu o nome de watt (W)... 1watt 1W 1 J s

F m v x Também podemos expressar a potência instantânea P em termos da força e da velocidade sobre a partícula. Para isso fazemos: P dw dt de onde obtemos: F cosdx dt dx F cos dt Fvcos, P F v.

Exemplo

Exercício