O caso estacionário em uma dimensão A U L A 6 Meta da aula Aplicar o formalismo quântico no caso de o potencial ser independente do tempo. objetivos verificar que, no caso de o potencial ser independente do tempo, a equação de Scrödinger tem uma forma mais simples; calcular o valor esperado de operadores quânticos, em particular da energia; definir os conceitos de autovalor e autofunção de operadores quânticos; definir a corrente de probabilidade. Pré-requisitos Para uma melor compreensão desta aula, é importante que você revise a Aula 5 desta disciplina, o conceito de equações diferenciais ordinárias (visto no curso de Cálculo), o conceito de amiltoniano (Aula 7 de Mecânica) e o oscilador armônico simples (Aula 3 de Mecânica).
Introdução à Mecânica Quântica O caso estacionário em uma dimensão FUNÇÃO DE ONDA E EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER NO CASO ESTACIONÁRIO Nas próximas aulas, vamos estudar alguns exemplos simples de sistemas quânticos unidimensionais sob o efeito de potenciais independentes do tempo. Esses sistemas são camados de estacionários. Este é um caso muito comum em Física: por exemplo, um campo gravitacional e um campo elétrico estáticos produzem uma energia potencial que não depende do tempo, ou seja, em lugar da energia potencial V(x, t), devemos usar, na equação de Scrödinger, a forma mais simples V(x).! Note, porém, que á muitos outros casos, igualmente importantes, em que o potencial depende do tempo. Por exemplo, no caso de um campo elétrico oscilante devido a uma onda eletromagnética. Entretanto, como é usual, vamos iniciar nossos estudos com o caso mais simples. Nosso objetivo imediato será o de adquirir familiaridade com a resolução da equação de Scrödinger. No entanto, ao mesmo tempo, vamos analisar vários fenômenos interessantes que aparecem na teoria quântica. O interesse no caso estacionário unidimensional se deve não apenas porque, em muitas ocasiões, o fenômeno físico ocorre, efetivamente, em uma dimensão, mas também porque muitos outros problemas mais complexos podem ser reduzidos à solução de equações análogas à equação de Scrödinger em uma dimensão. Mas antes de entrar em cada um desses problemas, vamos analisar a teoria quântica para o caso específico de o potencial ser independente do tempo. Se considerarmos uma partícula de massa m que se movimenta sobre o eixo x sob a influência de um potencial V(x), a equação de Scrödinger terá esta forma: Ψ( x,t) Ψ( x,t) i = + V( x) Ψ( x,t). t m x (6.1) Nesse caso, em que o potencial é independente do tempo, podemos procurar soluções da Equação (6.1) que separam as partes dependentes de x e de t. Trata-se da conecida técnica de separação de variáveis, muito comum no estudo de equações diferenciais parciais. Assim, propomos uma solução que tem a seguinte forma: 60 C E D E R J
obtemos: Ψ( x,t) = ψ( x) φ( t). Substituindo esta expressão para (6.) Ψ( x,t) na equação de Scrödinger, i [ x t ] x t V x x t t = ψ( ) φ( ) ψ( ) φ( ) ( ) ψ( ) φ( ) m x dφ( t) iψ( x) dt m t d ψ( x) = φ( ) + V( x) [ ψ( x) φ( t) ]. dx [ ] + [ ] (6.3) AULA 6 MÓDULO 1 Podemos, agora, dividir ambos os lados da equação por ψ( x) φ( t) e cegarmos, assim, ao seguinte resultado: i dφ( t) d ψ( x) = + V( x). (6.4) φ( t) dt mψ( x) dx Note que o lado esquerdo dessa equação depende apenas da variável tempo (t), enquanto o lado direito depende apenas da variável posição (x). Obviamente, uma igualdade como essa só pode ser verdadeira, para todo tempo t e valor da coordenada espacial x, se ambos os lados forem iguais a uma constante, que camaremos de E. Assim, nossa equação a derivadas parciais se torna duas equações diferenciais ordinárias, com as variáveis t e x separadas: solução dφ( t) i = Eφ( t), dt (6.5) d ψ( x) + V( x) ψ( x) = Eψ( x). m dx A primeira equação é simples de ser resolvida, tendo como φ( t) = / Ae iet, (6.6) em que A é uma constante arbitrária. Assim, mostramos que a solução geral para Ψ(x, t) tem esta forma: Ψ( x,t) = ψ( x) e iet /, (6.7) em que a constante A foi incorporada à função ψ(x). C E D E R J 61
Introdução à Mecânica Quântica O caso estacionário em uma dimensão Vejamos o que ocorre com a densidade de probabilidade no caso estacionário. Usando a Equação (4.3) da Aula 4 desta disciplina e substituindo a função de onda dada pela Equação (6.7), obtemos o seguinte: iet / iet / p( x,t) = Ψ ( x,t) Ψ( x,t) = ψ ( x) e ψ( x) e = ψ ( x) ψ( x) = ψ( x), (6.8) ou seja, p( x,t) = p( x) = ψ( x) se torna independente do tempo. Portanto, a probabilidade de encontrarmos a partícula em uma região [a, b], com a < b, é dada por: b P[ a,b] = ψ ( x) dx. (6.9) a Do mesmo modo, se Ψ(x, t) estiver normalizada, ψ(x) o estará automaticamente: + ψ( x ) dx = 1. (6.10) Qual é a interpretação física da constante E? Até agora, parece que ela surgiu apenas como um artifício matemático. Mas, na verdade, veremos a seguir que E é nada menos que a energia total da partícula! ATIVIDADE 1. Substituindo a função de onda Ψ(x, t), dada pela Equação (6.7), na expressão para o valor esperado da energia, Ψ( x,t), verifique que a constante E efe- E = i Ψ ( x,t) dx t tivamente corresponde ao valor esperado da energia do sistema. RESPOSTA COMENTADA Fazendo a substituição sugerida, obtemos: x,t E i x,t dx i x e x d e iet Ψ( ) iet ( ) = Ψ ( ) = dx t ψ ( ) ψ( ) dt iet iet ( ) ( ) = = ( ) ( ) ie = i ψ x e ψ x e dx E ψ x ψ x dx E No último passo, usamos a condição de normalização para ψ(x). 6 C E D E R J
Vamos agora olar com mais atenção para a segunda das equações (6.5), que deve ser satisfeita pela função de onda ψ(x): d ψ( x) + V( x) ψ( x) = Eψ( x). (6.11) m dx AULA 6 MÓDULO 1 Essa é uma equação diferencial ordinária conecida como equação de Scrödinger independente do tempo. A função de onda ψ(x) é sempre uma função contínua e, sempre que o potencial V(x) for finito, com derivada também contínua. A equação de Scrödinger independente do tempo tem um papel de grande importância prática na Física Quântica: ela aparece com muito mais freqüência no dia-a-dia dos físicos do que a própria equação de Scrödinger dependente do tempo. Isso porque, como dissemos antes, as situações em que a energia potencial é independente do tempo são muito freqüentes. A grande maioria dos exemplos tratados nesta disciplina envolvem resolver essa equação. AUTOVALORES E AUTOFUNÇÕES DE OPERADORES QUÂNTICOS A equação de Scrödinger independente do tempo (6.11) pode ser escrita da seguinte forma: onde Hψ( x) = Eψ, ( x), (6.1) H = m x + V( x) (6.13) é o operador amiltoniano. Note que, em analogia com a Mecânica Clássica, o operador amiltoniano é dado pela soma dos operadores energia cinética e energia potencial (lembre-se da Aula 7 da disciplina Mecânica). Utilizando a Equação (5.4) da Aula 5, verificamos que o primeiro termo da Equação (6.13) pode ser associado à energia cinética p / m. A Equação (6.1) é um exemplo de equação de autovalores. Em geral, uma equação de autovalores tem a forma Oψ = λψ, em que O é um operador e λ é um número, conecido como autovalor do operador. A função ψ que satisfaz à equação de autovalores é conecida como autofunção do operador. No nosso caso específico, dizemos que a C E D E R J 63
Introdução à Mecânica Quântica O caso estacionário em uma dimensão função de onda que é solução da Equação (6.1) é uma autofunção do amiltoniano e a energia total E é seu autovalor, também conecida como auto-energia. Você aprendeu o que são autovalores e autovetores de uma matriz na disciplina de Álgebra Linear II. Aquela situação é completamente análoga à que estamos descrevendo; basta fazer a correspondência matriz operador e autovetor autofunção. De fato, na mesma época em que Scrödinger desenvolveu sua equação, Heisenberg também formulou uma teoria quântica baseada em álgebra de matrizes. No início, pensava-se que as duas teorias eram distintas, mas logo se percebeu que são formulações equivalentes da mesma teoria. Nesta disciplina, trataremos apenas da teoria de Scrödinger. Porém, a formulação de Heisenberg é também bastante interessante e útil, podendo ser aprendida em cursos mais avançados de Física Quântica. Quando um sistema quântico está em um estado correspondente a uma autofunção da energia, diz-se que ele está em um estado estacionário. Um estado estacionário se caracteriza pelo fato de que toda e qualquer medida da energia do sistema dará sempre o mesmo valor E, a autoenergia do sistema. Ou seja, não á incerteza na medida da energia neste caso. Você lembra que vimos um exemplo disso na Atividade Final 1 da aula passada? ATIVIDADE. O que acabamos de dizer vale não apenas para o operador amiltoniano, mas também para qualquer operador. Ou seja, se ψ é uma autofunção do operador O com autovalor λ, todas as medidas da grandeza física associada ao operador O darão sempre o mesmo resultado λ. Nesta atividade, você irá demonstrar este resultado. a. Mostre que, se ψ é uma autofunção do operador O com autovalor λ, o valor esperado do operador (calculado pela Equação (4.9) da Aula 4) é igual a λ. b. Mostre que, nesse caso, a incerteza O é nula. RESPOSTA COMENTADA a. A expressão (4.9) para o valor esperado, no caso estacionário, torna-se O = ψ ( x ) O ψ( x ) dx. Usando o resultado O ψ( x ) = λψ( x ), obtemos O = ψ ( x) λ ψ( x) dx = λ ψ ( x) ψ( x) dx = λ, em que utilizamos novamente o fato de que a função de onda ψ(x) é normalizada. 64 C E D E R J
b. A incerteza é calculada da maneira usual: Já calculamos o no item anterior, basta agora calcularmos o. Isto é feito da seguinte maneira: Assim, O = λ λ = 0, isto é, a incerteza é nula. O = O O = = [ ] = [ ] O ψ ( x) O ψ( x) dx ψ ( x) O Oψ( x) dx ψ ( x) O λψ( x) dx = λ ψ ( x) Oψ( x) dx = λ O = λ AULA 6 MÓDULO 1 DENSIDADE DE CORRENTE DE PROBABILIDADE Como vimos na Aula 3 de Física 4A, ondas clássicas transportam energia. Para essas ondas, podemos definir, por exemplo, o fluxo ou densidade de corrente de energia, ou seja, a energia transportada por unidade de tempo e por unidade de área. Será que podemos definir uma quantidade análoga a essa para as ondas quânticas? Bem, lembre-se de que as ondas quânticas são ondas de matéria. Mais precisamente, são ondas que dão a probabilidade de encontrar uma partícula de matéria no espaço. Se essa probabilidade flui como uma onda, então podemos usar a matemática das ondas para calcular a densidade de corrente de probabilidade transportada pela onda quântica. Isso parece interessante... Vamos obter este resultado? Para isso, vamos antes relembrar uma equação muito importante em Física, a equação de continuidade. A equação de continuidade aparece em vários contextos na Física. De fato, sempre que á uma lei de conservação de alguma quantidade que flui no espaço (matéria, carga etc.), essa lei é regida por uma equação de continuidade. Vimos uma versão simplificada dessa equação na Aula 3 de Física A, você se lembra? Na ocasião, o contexto era a idrodinâmica. Nesse contexto, obtivemos uma equação de continuidade que expressava a conservação da massa: a variação da massa em um certo volume é dada pela diferença entre a massa que entra e a massa que sai. Para entender isso melor, veja a Figura 6.1. Ela mostra uma certa quantidade de massa M em um treco da reta entre x e x + x. Essa massa pode aumentar ou diminuir, C E D E R J 65
Introdução à Mecânica Quântica O caso estacionário em uma dimensão dependendo do fluxo ou corrente de massa j(x,t), definida como a quantidade de massa por unidade de tempo que passa pelo ponto x, no instante de tempo t que estamos considerando. De forma precisa, ( M) = j( x,t) j( x + x, t). (6.14) t Definindo agora a densidade linear de massa como ρ = M x, temos ρ [, que no limite x 0 torna-se: = j( x + x, t) j( x,t) ] t x ρ. (6.15) + j = 0 t x Essa é a equação de continuidade da massa em uma dimensão. Ela expressa uma física bem simples: o aumento ou diminuição da densidade de massa em um certo ponto depende da derivada espacial da corrente naquele mesmo ponto. Se essa derivada é não-nula, quer dizer que entra mais massa do que sai (ou vice-versa) naquela posição, fazendo com que a densidade de massa varie.! Em três dimensões, a equação de continuidade se escreve como ρ, em que ρ é, neste caso, a densidade volumétrica + r j t = 0 de massa. j(x) M j(x + x) x x + x Figura 6.1: Conservação da massa em uma dimensão. A massa M aumenta ou diminui, dependendo se a corrente de massa que entra, j(x), é maior ou menor que a corrente de massa que sai, j(x + x), por unidade de tempo. 66 C E D E R J
Muito bem, vamos aplicar agora esse conceito ao caso no qual estamos interessados. Ou seja, vamos tentar obter uma equação de continuidade para Ψ( x,t). Derivando com relação ao tempo: AULA 6 MÓDULO 1 Ψ( x,t) t = = Ψ ( ) Ψ( ) Ψ Ψ + Ψ Ψ x,t x,t t t t. (6.16) Usando a equação de Scrödinger e sua complexa conjugada, a saber: Ψ i V t = Ψ + Ψ m x, (6.17) i Ψ Ψ = + VΨ t m x podemos escrever Ψ = = Ψ Ψ Ψ Ψ ( x,t) i Ψ Ψ Ψ Ψ i t m x x m x x x Note que essa equação pode ser escrita da seguinte forma:. (6.18) Ψ( x,t) t + j, (6.19) x = 0 em que i Ψ ( x,t) Ψ( x,t) j( x,t) = Ψ( x,t) Ψ ( x,t) m x x. (6.0) Compare agora a Equação (6.19) com a Equação (6.15). Veja que interessante: a Equação (6.19) é também uma equação de continuidade! No lugar da densidade de massa, temos agora a densidade de probabilidade Ψ( x,t). Sendo assim, a quantidade j(x, t), definida pela Equação (6.0), faz o papel de densidade de corrente de probabilidade. O gradiente dessa densidade de corrente, em um certo ponto do espaço e instante de tempo, informa-nos se a probabilidade de encontrarmos a partícula ali aumenta ou diminui. C E D E R J 67
Introdução à Mecânica Quântica O caso estacionário em uma dimensão ATIVIDADES FINAIS 1. No caso estacionário, em que Ψ(x,t) é dada pela Equação (6.7): a. Mostre que a densidade de corrente de probabilidade fica na forma: j x im x d ψ ( x ) ( ) ( ) ( x) d ( x ψ ) = ψ ψ dx dx. b. Derivando essa expressão em relação a x, e utilizando a equação de Scrödinger independente do tempo, mostre que a densidade de corrente é uma constante, independente de x. RESPOSTA COMENTADA a. Se substituirmos a Equação (6.7) na Equação (6.0), obteremos: i j x,t m x e ( ) = ( ) ( ( x) e ) ( x) e ( x) e ψ ψ ψ ψ x x im x d ψ ( x ) = x d x ψ( ) ψ( ) ψ ( ). dx dx ( ) iet iet iet ie t Esse é precisamente o resultado que queríamos demonstrar. Perceba que, nesse caso, j(x, t) = j(x), ou seja, a densidade de corrente de probabilidade não depende do tempo. b. Como sugerido, vamos tomar a derivada de j(x) com relação a x: dj i dψ dψ d d d d = + ψ ψ ψ ψ ψ ψ dx m dx dx dx dx dx dx i d ψ = ψ m dx Usando agora a equação de Scrödinger independente do tempo e sua complexa conjugada, a saber, d ψ ψ dx. d ψ m = [ V ( x ) E ] ψ dx d ψ m = [ V ( x ) E ] ψ dx, 68 C E D E R J
cegamos ao resultado final: Dessa forma, como j(x) tem derivada nula, ela é uma constante, como queríamos demonstrar. dj i = [ V( x) E] dx ψψ ψ ψ = 0 AULA 6 MÓDULO 1. Considere um oscilador armônico quântico com freqüência angular ω, em uma dimensão. A energia potencial desse sistema é exatamente igual à do seu análogo clássico: V( x) = 1 mω x. Veremos, nas próximas aulas, que uma função gaussiana ψ( x) = Ce bx é a autofunção de menor energia (estado fundamental) do oscilador. Encontre o valor de b para que essa função seja solução da equação de Scrödinger e obtena a energia deste estado. Vamos substituir a função ψ( x) = Ce bx RESPOSTA COMENTADA na equação de Scrödinger: + d ψ 1 d = ( ) + 1 m x E m dx m dx Ce bx ω ψ ψ m ω x Ce ( ) + m 4b x b e bx 1 m x bx ω e E e 1 b mω m x = E b. m bx ( ) = ( ) bx bx ( ) = E( Ce ) m b x ( b ) + 1 m x 4 ω = E Veja que cegamos em uma igualdade em que o lado esquerdo depende de x e o lado direito, não. Isso não pode acontecer, a menos que os dois termos sejam nulos! Impondo que o lado esquerdo seja nulo, obtemos o valor de b: 1 b mω mω = 0 b = m Agora, impondo que o lado direito seja nulo, encontramos o valor da energia: E b 1 = 0 E = m ω. Esse é um resultado bastante conecido. Note que a energia do estado fundamental do oscilador armônico quântico não é nula. Isso contrasta com o resultado clássico, no qual a situação de menor energia para o oscilador corresponde à situação em que ele está parado na origem, com energia C E D E R J 69
Introdução à Mecânica Quântica O caso estacionário em uma dimensão cinética e energia potencial nulas, e, portanto, com energia total também nula. Perceba que o Princípio da Incerteza impede que isso ocorra no sistema quântico: é impossível ter uma partícula parada em uma certa posição, pois ela teria, ao mesmo tempo, posição e momento bem definidos. Em outras palavras, para localizar a partícula em uma certa região, paga-se o preço de se aumentar seu momento (e, conseqüentemente, sua energia). A energia do estado fundamental do oscilador armônico, que encontramos nesta atividade, é também conecida como energia de ponto zero. R E S U M O Se a energia potencial de um sistema não depende do tempo, temos um sistema estacionário, no qual a solução da equação de Scrödinger tem a forma / Ψ( x,t) ( x) e iet = ψ, em que E é a energia total e a função ψ(x) é obtida por meio da equação de Scrödinger independente do tempo. Essa equação é um exemplo de equação de autovalores, em que ψ(x) é a autofunção e E é o autovalor ou autoenergia. A variação da densidade de probabilidade em um certo ponto do espaço é descrita por uma equação de continuidade, na qual a densidade de corrente de probabilidade j(x,t) desempena um papel crucial. INFORMAÇÃO SOBRE A PRÓXIMA AULA Na próxima aula, vamos resolver a equação de Scrödinger para o caso mais simples possível: quando o potencial é nulo em todo o espaço. Isso corresponde a uma partícula que não sofre os efeitos de forças externas, também camada partícula livre. 70 C E D E R J