ESPELHOS E LENTES 1 Embora para os povos prmtvos os espelhos tvessem propredades mágcas, orgem de lendas e crendces que estão presentes até hoje, para a físca são apenas superfíces poldas que produzem reflexões regular. A forma geométrca da superfíce determna as propredades do espelho. ESPELHOS PLANOS Fg 1. Uma fonte lumnosa pontual O, chamada objeto, está a uma dstânca p de um espelho plano. Raos lumnosos provenentes de O são refletdos pelo espelho. Se o olho de um observador ntercepta alguns dos raos refletdos, ele tem a mpressão de que exste uma fonte lumnosa pontual I atrás do espelho, a uma dstânca. A fonte fctíca I é uma magem vrtual do objeto O.
2 Fg 2. A fgura ao lado mostra dos raos. O rao Ob é perpendcular ao espelho e o rao Oa fazendo um ângulo arbtráro θ com a normal à superfíce do espelho. Os trângulos aoba e aiba têm um lado comum e três ângulos guas e são portanto congruentes (têm a mesma forma e tamanho), de modo que os lados horzontas têm o mesmo comprmento. Logo, Ib = Ob onde Ib e Ob são as dstâncas entre o espelho e a magem e entre o espelho e o objeto, respectvamente. Por convenção, as dstâncas dos objetos são consderadas postvas e as dstâncas de magens vrtuas são consderadas negatvas. Assm, as dstâncas p e são relaconadas por: = p (espelho plano) Fg. 3 Um fexe estreto de raos provenentes de O penetra no olho depos de ser refletdo pelo espelho. Apenas uma pequena regão do espelho, nas vznhanças do ponto a, está envolvda nesta reflexão. A luz parece se orgnar em um ponto I atrás do espelho.
Formação da Imagem de um Objeto Espelho Plano 3 Na fgura acma (fg.4) representamos um objeto vertcal de altura h 0 (valor que se consdera postvo) e à dstânca p (que também se consdera postvo). Para encontrar a magem do objeto basta encontrar a magem do ponto O. Fazendo sar desse ponto dos raos lumnosos. O rao 1 ncde normalmente no espelho. O rao 2 ncde segundo um ângulo α e emerge, portanto, fazendo um ângulo α com a normal, de acordo com as les da reflexão. Os dos raos emergentes não se encontram. Mas o seu prolongamento encontra-se atrás do espelho, no ponto I, que é a magem vrtual de O. Da semelhança dos trângulos OMN e IMN resulta que o tamanho da magem é gual à do objeto, ou seja, h = h 0. A razão entre a altura da magem e a altura do objeto, em qualquer stuação de formação de magem, denomna-se amplação, m; ou seja; h m= ou m= h Para um espelho plano m = 1. o p (amplação)
IMAGENS ESPELHOS PLANOS A magem de qualquer fgura ou objeto em um espelho plano é formada pela magem de cada um de seus pontos. 4 Fgura 5 Podemos conclur que as magem das fguras acma são: Dreta (não é nvertda) e gual (de mesma altura) em relação ao objeto Vrtual, sto é, formada pelos prolongamentos dos raos refletdos pelo espelho. Fg. 6
5 Assocação de Espelhos os espelhos planos podem ser assocados, sto é, colocados lada a lado em ângulos ou dspostos paralelamente entre s. Essas assocações podem deslocar ou multplcas o número de magens de um objeto. Fg. 7 Atvdades Montagens com espelhos planos 1) Assocação de espelhos dos espelhos guas (dspostos com um lvro); 2) Caledoscópo três tras retangulares guas de espelhos dspostos na forma de prsma trangular. 3) Imagem aprsonada três espelhos, retangulares ou quadrados, dspostos perpendcularmente entre s. 4) Perscópo dos espelhos planos retangulares guas, dspostos em ângulo de 45 o.
Espelhos Esfércos é qualquer superfíce ou calota esférca espelhada. Se a parte espelhada for nterna, o espelho é côncavo; se for externa, o espelho é convexo. O espelho côncavo pode ser obtdo encurvando um espelho plano para dentro e o convexo para fora (ver fguras abaxo). Alguns elementos dos espelhos esfércos 6 C, centro de curvatura: centro de curvatura da esfera que contém a calota; V, vértce: centro geométrco da calota; r, rao de curvatura: rao da calota esférca (dstânca entre C e V); S, exo prncpal: reta que contém C e V; S, exo secundáro: reta qualquer que contém C, mas não passa por V. Fg.8 Fg.9 Espelho côncavo No espelho côncavo temos magem mas afastada e maor do que no espelho plano. Fg.10 Espelho convexo No espelho convexo temos magem mas próxma e menor do que no espelho plano.
7 Fg.11 Fg.11 Fguras acma: (a) Em um espelho côncavo, a luz paralela ncdente é trazda para o foco real em F, no lado R do espelho. (b) Em um espelho convexo, a luz paralela ncdente parece dvergr de um foco vrtual em F, no lado V do espelho. O ponto F é chamado de foco do espelho ( ou ponto focal), e sua dstânca até o centro do espelho é a dstânca focal f do espelho. Para o espelho côncavo dzemos que o foco é real (stuado do lado R) e para o espelho convexo dzemos que o foco é vrtual (stuado do lado V). A dstânca focal f do espelho côncavo é consderada uma grandeza postva, enquanto a do espelho convexo é consderada uma grandeza negatva. Para ambos os espelhos, a dstânca focal f está relaconada ao rao de curvatura r (postvo para o espelho côncavo e negatvo para o espelho convexo) por: f = 1 2 r (espelho esférco)
Relação entre a dstânca p do objeto ao espelho, a dstânca da magem ao espelho e a dstânca focal f, que é 8 1 1 1 + = p f (espelho esférco) Fg. 12 - Um objeto puntforme O forma uma magem puntforme real I, por reflexão em um espelho esférco côncavo. Prova: Da fgura (teorema: um ângulo externo de um trângulo é gual à soma dos dos ângulos nternos opostos) temos ; β = α + θ e γ = α + 2 θ α + γ = 2 β ac ac ac 1 α = β = γ = f = 2 r p r (*) (**) De (*) e (**), fcamos com 1 1 1 + = p f (espelho esférco)
Das equações 1 1 2 + = r = p p r 1 1 1 + = p = f p f 9 O tamanho do objeto, ou da magem, meddos perpendcular ao exo central do espelho é chamado de altura. Na fgura 5, os comprmentos das setas O e I representa a altura h o do objeto e a altura h da magem. A razão entre estas alturas é a ampltude lateral m produzda pelo espelho. Por convenção, a ampltude lateral sempre nclu um snal (+), se a magem tem a mesma orentação do objeto; e um snal (-) se a orentação é contrára. Logo, m h = ou m= h o p (ampltude lateral) Fg. 13 (a) Um objeto O, na margem nterna ao ponto focal de um espelho côncavo, e sua magem vrtual I. (b) o objeto no ponto focal F. (c) O objeto além do ponto focal, e sua magem real I.
Como traçar os Raos Espelho Côncavo e Convexos 10 Podemos localzar grafcamente a magem de qualquer ponto fora do exo, traçando quasquer dos dos quatros raos especas (veja os raos 1, 2, 3, 4 na fgura abaxo): I - Um rao paralelo ao exo central se reflete passando pelo ponto focal (rao 1 em (a)). II - Uma rao que passa pelo ponto focal se reflete paralelo ao exo central (rao 2 em (a)). III Um rao que passa pelo centro de curvatura C se reflete retornando pelo mesmo camnho (rao 3 em (b). IV Um rao que tem seu ponto de reflexão na nterseção do espelho com o exo central, centro do espelho, se reflete smetrcamente, em relação ao exo central (rao 4 em (b). Fg. 14 Em (a) e (b) Quatro raos podem ser desenhados para determnar a magem de um objeto num espelho côncavo. Para a posção mostrada no objeto, a magem é real, nvertda, e menor do que o objeto. Em (c) e (d) Quatro raos podem ser desenhados para determnar a magem de um objeto num espelho convexo. A magem é sempre vrtual, com a mesma orentação do objeto, e menos do que o objeto.
Superfíces Refratoras Esfércas 11 Vamos examnar magens formadas pela refração dos raos lumnosos em nterfaces esfércas. A luz será emtda por um objeto pontual O em um meo de índce de refração n 1 e ncdrá em uma nterfase esférca com um meo de índce de refração n 2. Nosso prncpal nteresse é determnar se o rao lumnoso, depos de refratado na nterface, formarão uma magem real ou vrtual, e sto depende dos valores relatvos dos índces de refração e da geometra da stuação em questão. Na próxma págna será apresentada fguras mostrando a formação de ses modos pelos os quas uma magem pode se formar por refração em uma superfíce esférca. Espelhos Esfércos Interfases Esfércas As magens reas se formam do mesmo lado do espelho em que se encontra o objeto, enquanto as magens vrtuas se formam do lado oposto. 1 1 1 2 + = = p f r h = = m h o p m postvo magem dreta m negatvo magem nvertda Obs: espelho plano m = 1. As magens formadas por refração em uma nterfase são vrtuas quando se encontram do mesmo lado (meo) do objeto e reas quando se encontram do lado oposto. n n n n + = p r 1 2 2 1 h = = n 1 m h 0 n 2 p Obs: para superfíce refletora plana n p n + = 1 2 0
Fg. 15 Ses modos pelos os quas uma magem pode ser formar por refração em uma superfíce esférca de rao r e centro de curvatura C. A superfíce separa um meo de índce de refração n 1 de um meo de índce de refração n 2. O objeto pontual O está sempre no meo de índce de n 1, à esquerda da superfíce. A superfíce amarela é q que possu maor índce de refração. Imagem reas são formadas nos casos (a) e (b), em (c), (d), (e) e (f) são formadas magens vrtuas. 12
Lentes Delgadas Uma lente é um corpo transparente lmtado por duas superfíces refratoras cujos exos centras concdem. Vamos nos lmtar ao caso de lentes delgadas, sto é, de lentes nas quas a dstânca objeto p, a dstânca da magem e os raos de curvatura r 1 e r 2 das duas superfíces da lente são muto maores que a espessura da lente. Propredades das lentes A propredade característca de uma lente do tpo mostrado na fgura abaxo é que todo rao paralelo ao exo da lente que passa para o outro lado da lente converge para o ponto F 2 e forma uma magem real nesse ponto. Tal lente é chamada de lente convergente. O ponto F 1 é chamado de prmero foco, o ponto F 2 é o segundo foco (foco real) e a dstânca f é chamada dstânca focal. 13 Fg.16
A fgura abaxo mostra uma lente dvergente; dos raos paralelos que ncdem sobre a lente dvergente depos da refração. Os focos de uma lente dvergente (ou negatva) estão em posções nvertdas em relação aos focos de uma lente convergente. 14 Fg.17 Relação entre p, e f lentes delgadas Fg.18 Na fg.18, os dos ângulos α são guas, os dos ângulos β também são guas. Os dos trângulos retângulos OQE e IQ E são semelhantes, os trângulos EAF 2 e IQ F 2 também são semelhantes. As razões entre os lados correspondentes dos trângulos semelhantes são guas. Logo,
15 h h h h h h f o = ou = e o = ou = p ho p f f ho f (*) (**) f = = 1 p f f Igualando (*) e (**), temos (***) Dvdndo (***) por, fcamos com 1 1 1 + = p f (relação objeto-magem - lente delgada) De acordo com (*), temos m = p (amplação - lente delgada) Pelo exposto acma, vmos que as equações fundamentas para as lentes delgadas são correspondente as obtdas para espelhos esfércos. A equação do fabrcante de lentes é dada por 1 1 1 = ( n 1) f r1 r2 As regras de snas apresentados abaxo podem ser usadas para as superfíces refletoras e refratoras planas e esfércas: 1. A dstânca do objeto p é postva quando o objeto está do lado dos raos ncdentes sobre a superfíce (objeto real) e negatva no caso contraro; 2. A dstânca da magem é postva quando a magem está do lado dos raos que emergem da superfíce (magem real) e negatva caso contráro; 3. O rao de curvatura r é postvo quando o centro de curvatura está do lado dos raos que emergem da superfíce e negatvo no caso contráro; 4. A amplação m é postva quando a magem é dreta e negatva quando ela é nvertda.