Débora Delbem Gonçalves. Risco Operacional: O cálculo do Capital Regulatório usando Dependência

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1 Débora Delbem Gonçalves Risco Operacional: O cálculo do Capital Regulatório usando Dependência São Carlos, 2014

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA Débora Delbem Gonçalves Risco Operacional: O cálculo do Capital Regulatório usando Dependência Dissertação apresentada ao Departamento de Estatística da Universidade Federal de São Carlos-Des-UFSCar, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Estatística. Orientador: Carlos Alberto Ribeiro Diniz São Carlos, 2014

3 Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária da UFSCar G635ro Gonçalves, Débora Delbem. Risco operacional : o cálculo do capital regulatório usando dependência / Débora Delbem Gonçalves. -- São Carlos : UFSCar, f. Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São Carlos, Estatística. 2. Risco operacional. 3. Capital regulatório. 4. Perdas inesperadas. 5. Dependência. 6. Cópula. I. Título. CDD: (20 a )

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5 Agradecimentos A Deus por nunca ter me desamparado e sempre ter me dado forças para continuar. A minha família por sempre me apoiar e me ajudar no que fosse preciso. Meu orientador, Profº Dr. Carlos Diniz, por sempre ter me ajudado com minhas diculdades. Ao Guaraci que foi meu companheiro e me ajudou durante todo o período sempre me dando forças para continuar. A todos meus novos amigos que estiveram comigo nessa caminhada. A todos os professores do Departamento de Estatística da Universidade Federal de São Carlos - UFSCar por transmitir novos conhecimentos em minha vida acadêmica. A todos os funcionários do Departamento de Estatística por sempre estarem disponíveis para nos ajudar no que fosse preciso e também por deixar o ambiente de estudo muito agradável. Por m, agradeço a todos que, de alguma forma, estiveram presentes comigo nesses dois anos de mestrado. i

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7 Resumo Neste trabalho propomos um novo método para o cálculo do capital regulatório para o risco operacional. O método proposto é utilizado para calcular o capital regulatório para duas classes de risco e é baseado em alguns pressupostos considerados importantes no cálculo deste capital. Entre esses pressupostos se destacam a opinião de especialistas e a captação de dependência entre as variáveis perdas considerando a probabilidade dos eventos de perdas ocorrerem conjuntamente. Essa probabilidade é captada via cópula. Além disso, apresentamos mais dois métodos, o do somatório, proposto pelo Acordo de Basileia II (2004), e o da correlação não-perfeita, proposto por Frachot et al. (2004). Finalmente, realizamos um estudo de simulação com o objetivo de comparar os capitais regulatórios totais calculados em cada método. Palavras-chave: Risco operacional, Capital regulatório, Perdas inesperadas, Dependência, Cópula. iii

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9 Abstract In this paper we propose a new method for the calculation of regulatory capital required for operational risk. This method is based on some important assumptions for calculation of this capital, for instance, expert opinion, dependence between loss variables considering the joint probability associated to two loss events. The copula theory is applied to determine this joint probability. Furthermore, we present two more methods, sum method proposed by Basel II Accord (2004) and non-perfect correlation method proposed by Frachot et al. (2004). Finally, we perform a simulation studies in order to compare all the methods presented in this dissertation. Keywords: operational risk, regulatory capital, unexpected losses, dependence, copula. v

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11 Sumário Sumário Lista de Figuras Lista de Tabelas vii ix x 1 Introdução Motivação e objetivo Organização do trabalho Risco operacional Denição do risco operacional Capital regulatório O que é feito hoje na alocação do capital regulatório Teoria de cópulas Denições básicas Teorema de Sklar Estimação e escolha da cópula Estimação Escolha da cópula A correlação no modelo LDA Loss distribution approach - LDA Cálculo do capital regulatório no LDA O estudo da correlação no modelo LDA Correlação perfeita - Método do somatório Correlação não-perfeita vii

12 4.3.3 Correlação nula Metodologia proposta Pressupostos Descrição do método Comportamento teórico do método Simulação Comparação entre os métodos Ajuste da cópula Um estudo com quatro perdas operacionais Conclusão 71 Referências Bibliográcas 74

13 Lista de Figuras 4.1 Perda Agregada Tipos de Perdas Comportamento do método do somatório Possíveis funções para o método proposto Sequência de funções Comportamento da família de funções f Comportamento de p e θ Comportamento do CR P ROP em relação a p Comportamento do CR P ROP em relação a κ Comportamento do CR P ROP em relação a κ e p conjuntamente Comportamento do CR P ROP em relação a κ e p conjuntamente Comparando os três métodos: CR SUM, CR NP ERF e CR P ROP ;κ m Dados de perdas uniformizados Semelhanças da cópula Normal e Frank Gráco da diagonal - Frank Curvas de Nível - Frank Gráco da diagonal Curvas de nível Comparando o capital regulatório obtido em cada cópula do conjunto C e com C n Capital Regulatório Multivariado - Caso Capital Regulatório Multivariado - Caso ix

14 Lista de Tabelas 1.1 Principais diferenças entre o acordo atual e o novo acordo Andamento do Novo Acordo no Brasil Algumas ocorrências em destaque na comunidade nanceira internacional Linhas de negócios e respectivos fatores de riscos Tipos de Perda e Linhas de Negócio no Risco Operacional Famílias de Cópulas Arquimedianas Distribuições EL, OP V ar e UL de L 1 e L Capital regulatório proposto para diferentes p e κ - Cópula de Frank Comparação entre CR SUM, CR NP ERF e CR P ROP Estimação dos parâmetros das cópulas de C Capital Regulatório - Frank Capitais regulatórios marginais - Caso Correlação - Caso CR P ROP ;κ i) e CR P ROP ;κ ii) Capitais regulatórios marginais - Caso Correlação - Caso CR P ROP ;κ iii) e CR P ROP ;κ ivi) x

15 Capítulo 1 Introdução O mercado nanceiro começou a enfrentar diversas crises a partir de 1970 deixando-o mais vulnerável aos diversos tipos de riscos. Entre tais crises destacam-se: a crise do México (1982); a crise asiática (1997); e a crise econômica mundial (2008). Acontecimentos como esses são responsáveis pelo aumento da exposição fazendo com que cada vez mais sejam necessárias melhorias no cenário de mensuração de riscos. Devido a alta volatilidade na década de 1970, em 1974 um grupo de bancos centrais criou o Comitê de Supervisão Bancário de Basileia visando o estabelecimento de uma política supranacional de supervisão bancária. O objetivo principal do comitê é assegurar um nível adequado de capital para proteger e garantir a solidez e segurança do sistema nanceiro internacional. Em 1988 o Comitê de Basileia levou o sistema nanceiro internacional à utilização do capital regulatório por intermédio do Acordo de Capitais de Basileia. A intenção do capital regulatório, além de cobrir perdas inesperadas relativas aos riscos assumidos pelas instituições nanceiras, é a defessa contra risco sistêmico 1 (Power, 2005). Entre os principais riscos do mercado nanceiro se destacam o de mercado 2, crédito 3 e operacional. Cruz (2002) argumenta que quando se classica as perdas sobre os resultados por área de impacto dentro de instituições nanceiras, risco operacional e outros riscos explicam 35% da volatilidade dos ganhos das instituições nanceiras, enquanto que riscos de mercado e de crédito, explicam, respectivamente, 15% e 50%. Através desses índices, podemos ver a 1 É o risco de uma instituição criar falhas em outras instituições no sistema nanceiro, devido à correlação entre as transações bancárias. 2 Decorre da possibilidade de perdas que podem ser ocasionadas por mudanças no comportamento das taxas de juros, do câmbio, dos preços das ações e dos preços de commodities. 3 É denido como a possibilidade de perda resultante da incerteza quanto ao recebimento de valores pactuados com tomadores de empréstimos, contrapartes de contratos ou emissões de títulos. 1

16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2 importância de uma gestão ecaz para o risco operacional. Neste trabalho, nos restringiremos ao risco operacional. O risco operacional foi discutido consideravelmente nos últimos anos. O termo risco operacional ganhou destaque logo após a falência do famoso banco Barings em Londres no ano de Segundo Cruz (2002) tal banco sofreu um colapso após seu funcionário Nick Lesson gerar perdas de US$ 1,4 bilhão em especulações sobre contratos futuros. Deve-se ressaltar que existiram indícios de que Lesson manteve posições perdedoras sem conhecimento da administração de Barings. Além desse caso, outras instituições nanceiras sofreram crises por meio do risco operacional, como por exemplo o caso do banco Daiwa em 1995 e do banco Allied Irish em Cruz (2002) considera que a falência do banco Barings trouxe pela primeira vez ao público o termo risco operacional, passando então a gerar interesse de pesquisadores e gestores do mercado nanceiro, haja visto que este risco passaria a se relacionar diretamente com eventuais perdas nanceiras consideráveis não relacionadas a risco de crédito e de mercado. O risco operacional está relacionado a possíveis perdas como resultado de sistemas e/ou controles inadequados, falhas de gerenciamento e erros humanos. O risco operacional é um dos quatro grandes grupos de risco, ao lado do risco de crédito, risco de mercado e risco legal (Duarte, 2001). A maioria dos grandes escândalos envolvendo o risco operacional ocorreram na década de Segundo Guimarães (2003), essa incidência deve-se provavelmente a três fatores: globalização, competição no sistema nanceiro e avanços tecnológicos. Esses fatores zeram com que as instituições nanceiras se tornassem mais sensíveis a falhas. Apesar do gerenciamento do risco ser algo novo, a exposição ao risco operacional sempre existiu dentro das instituições nanceiras. Devido a queixa das instituições da forma do cálculo do capital regulatório, a falta de discriminação entre os diferentes pers de risco de acordo com as suas áreas de negócios especícas, os grandes escândalos dos anos 90 e o desenvolvimento das práticas bancárias, o Acordo de Basileia mostrou-se menos ecaz em assegurar requerimento de capital adequado ao verdadeiro perl de riscos das instituições, sendo então culminado em junho de 2004, o Novo Acordo de Basileia ou Basileia II. Nele está proposta a exigência de capital para o risco operacional. O maior exemplo dessa nova estratégia foi implementado em 1996, quando o Comitê de Basileia permitiu o uso de modelos internos para o cálculo do capital contra a exposição do risco de mercado. Neste caso, o capital regulatório passou a ser calculado usando o Value at

17 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3 Risk, denotado como VaR. O VaR é a perda máxima esperada para um horizonte de tempo em um dado nível de conança. Neste caso, o nível de signicância adotado foi de 5% da distribuição de perdas e lucros (Coleman, 2000; Power, 2005). O Novo Acordo de Basileia apresenta uma nova estrutura para o sistema de exigência de capital. Este acordo é constituído por três pilares: ˆ Requisito mínimo de capital; ˆ Supervisão bancária; ˆ Disciplina de mercado. Tais pilares permitiram as instituições nanceiras e aos órgãos reguladores uma melhor avaliação da exposição aos diversos riscos presentes no mercado nanceiro. O primeiro pilar determina os requerimentos mínimos de capital, mantendo tanto a denição atual de capital regulatório, quanto o requisito mínimo de 8% do capital para ativos ponderados pelo risco. Este pilar é o responsável pela inovação mais signicativa desta nova proposta: a possibilidade das instituições nanceiras utilizarem modelos internos para a mensuração e administração de seus riscos. O segundo pilar foi aprimorado para elevar a eciência das entidades de supervisão bancária na constatação do cumprimento das exigências mínimas de capital pelas instituições nanceira, tendo ainda, como papel indutor, contribuir para uma melhoria contínua na gestão de riscos e de processos. A disciplina de mercado, terceiro pilar, representa outra novidade no novo acordo e está relacionada a reforçar a segurança e a conabilidade do sistema bancário, através de uma divulgação mais ampla das exposições ao risco e dos níveis de capital ao mercado, de maneira que a indústria e os investidores possam melhor avaliar o grau de solvência de uma instituição. Na Tabela 1.1, apresentamos as principais diferenças entre o Acordo atual de 1988 e o Novo Acordo de Este Novo Acordo não é simplesmente um ajuste às boas práticas da indústria, como foi feito para o caso do risco de crédito e de mercado. Agora, é o Comitê de Basileia que está tentando denir as melhores práticas, calcadas basicamente sobre a denição de risco operacional (Herring, 2002). Na Tabela 1.2, apresentamos o andamento do Novo Acordo em relação ao risco operacional no Brasil.

18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 4 Tabela 1.1: Principais diferenças entre o acordo atual e o novo acordo. Acordo em vigor Novo Acordo Contempla basicamente a administração do nível mínimo de capital bancário. Tamanho único (modelo padrão). Não exige aprimoramento na gestão do risco. Foco em uma mensuração única de risco, não propiciando grandes diferenciações entre riscos. Fonte: Guimarães (2003). Combina a administração ecaz do nível mínimo de capital bancário, a disciplina de mercado e a scalização necessária. Mais ênfase nas metodologias internas próprias dos bancos. Incentiva uma melhor administração de riscos: quanto melhor o controle interno, menor o capital mínimo requerido. Propicia uma maior diferenciação entre riscos, gerando capitais mínimos para riscos de Crédito, Mercado e Operacional. Tabela 1.2: Andamento do Novo Acordo no Brasil 2007 Estabelecimento de parcela de requerimento de capital Divulgação de pontos-chaves para modelos internos Critérios de elegibilidade de modelos internos Início do processo de autorização para o uso de modelos internos Implementação* *Após a conclusão do processo de Autorização. Fonte: Banco do Brasil. O foco desta dissertação está no primeiro pilar, requisito mínimo de capital. Discutimos três modelos de mensuração para o risco operacional e citamos quais as vantagens e desvantagens de cada um deles e o efeito que tais modelos geram no capital regulatório nal. Vale ressaltar, que cabe a instituição nanceira escolher o método que mais se adeque a seu cenário real. Atualmente, o método utilizado é o que considera a correlação perfeita entre as variáveis perdas agregadas. Este método é extremamente conservador. Buscando uma solução para este problema, usamos a teoria de cópulas para modelar a dependência entre as perdas e fazemos um estudo da inuência da escolha da cópula no cálculo do capital regulatório.

19 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Motivação e objetivo Atualmente as instituições nanceiras alocam mais capital do que o necessário para se protegerem de perdas que envolvam o risco operacional. Isso se deve ao fato de que a dependência considerada entre as perdas é a perfeita. O método utilizado para esse tipo de dependência é o método do somatório. Para muito estudiosos da área, considerar a dependência perfeita entre as perdas operacionais é irreal, pois a instituição alocará muito mais capital do que o necessário. Na realidade, existe sim uma dependência entre as classes de risco, mas essa dependência deve ser captada de forma realista, fazendo com que o capital alocado seja o suciente para cobrir as perdas. A literatura sobre a mensuração do risco operacional incentiva o estudo de métodos robustos para o cálculo do capital regulatório. Como dito anteriormente, o capital regulatório é aquele destinado para cobrir as perdas inesperadas totais. Sendo assim, o grande problema está em denir o que são essas perdas. Então, o objetivo deste trabalho é responder a seguinte pergunta: O que são perdas inesperadas totais?. Essa pergunta deve ser respondida fazendo-se um estudo sobre o efeito da dependência das perdas operacionais, como, por exemplo, o que ocorre se a dependência entre ambas for baixa. A resposta para essa pergunta não é trivial, depende de vários conceitos, como por exemplo, a estrutura de dependência entre as perdas. Neste trabalho, apresentamos três métodos de cálculo do capital regulatório, inclusive o método do somatório, onde cada um deles consideram diferentes tipos de dependência entre as variáveis perdas. Veremos que os métodos aqui apresentados retornam diferentes capitais regulatórios para a instituição nanceira como um todo. 1.2 Organização do trabalho O trabalho está dividido em sete capítulos. No Capítulo 2 apresentamos a denição de risco operacional e exemplos, denição de capital regulatório e métodos para o cálculo do mesmo, como, por exemplo, o que é feito nos dias de hoje. No Capítulo 3, apresentamos a teoria de cópulas tais como denição, estimação e como proceder na escolha da cópula. No Capítulo 4 denimos o modelo Loss distribution approach - LDA, muito utilizado para a modelagem de perdas agregadas para o risco operacional. Além do mais, mostramos o método da correlação não-perfeita para o cálculo do capital regulatório. O Capítulo 5 compreende um estudo de um novo método para o cálculo do capital regulatório. Além disso, fazemos

20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 6 um estudo do comportamento teórico deste novo método. Uma vez que não existe banco de dados disponíveis para efeito de estudo do risco operacional, no Capítulo 6 apresentamos uma simulação para comparar o capital regulatório calculado através dos métodos discutidos no trabalho. Finalmente, no Capítulo 7 fazemos uma conclusão do trabalho, falando sobre as vantagens e desvantagens da escolha dos métodos para o cálculo do capital regulatório.

21 Capítulo 2 Risco operacional 2.1 Denição do risco operacional Em janeiro de 2001 o Basel Committee on Banking Supervision (2001a) deniu o risco operacional como: O risco de perdas diretas ou indiretas resultantes de processo internos falhos ou inadequados, pessoas e sistemas, ou de eventos externos. Nesta denição estão inclusos o risco legal, o risco reputacional e estratégico. Além disso, o foco desta denição está na causa da perda. É importante notar que, apesar de ter citado anteriormente somente os três maiores tipos de riscos, mercado, operacional e crédito, exitem também diversos outros riscos dentro das instituições nanceiras, tais como risco legal, estratégico, reputacional, imagem, conjuntura, liquidez, entre outros. Apesar de o mercado ter aceitado a denição acima, o conceito etéreo de perdas indiretas, e o desinteresse do capital regulatório cobrir todas perdas indiretas e custos de oportunidade motivaram a mudança da denição do risco operacional. Assim em setembro de 2001, Basel Committee on Banking Supervision (2001c) deniu o risco operacional como: O risco de perdas resultantes de processos internos falhos, ou inadequados, pessoas e sistemas, ou de eventos externos. Nesta nova denição continuou incluindo o risco legal, mas deixou-se o risco reputacional e estratégico de fora (Nyström & Skoglund, 2002). Diante desta denição, o foco da perda é na causa, e não no efeito. Isso porque um efeito pode ser gerado por mais de uma causa. As causas do risco operacional são classicadas em: ˆ Processos: falha no registro, processamento ou liquidação de transações, contas de clientes, negócios diários e falhas na apresentação de relatórios obrigatórios. Exemplos: 7

22 CAPÍTULO 2. RISCO OPERACIONAL 8 indenizações decorrentes de processos trabalhistas, falha do cadastro de clientes; ˆ Pessoas: perdas causadas por colaboradores ou com participação indireta destes (de maneira internacional ou não), ou advindas pelo relacionamento com clientes, acionistas ou terceiros. Exemplos: fraudes internas ou externas, acidentes envolvendo clientes ou terceiros nas dependências da instituição; ˆ Sistemas: perdas decorrentes da interrupção de negócios ou falha de sistemas, causadas pela indisponibilidade de infraestrutura ou recursos de TI. Exemplos: indisponibilidade, falta de manutenção, inadequação, falhas de sistemas ou inexistência do backup ou plano de contingência, relacionados a equipamentos, softwares básico, sistemas aplicativos ou infraestrutura de comunicação ou energia; ˆ Fatores externos: perdas causadas por terceiros, danos a patrimônio ou ativos. Exemplos: atos terroristas, guerras, sabotagens, tumultos, arrombamentos, vandalismo, incêndios, desabamentos, acidentes, inundações, raios, terremotos. Em outras palavras, o risco operacional está associado à deciência nos controles internos de uma instituição e é oriundo, principalmente, de três fatores-chaves: pessoas, tecnologia e processos, materializando-se por erros humanos, fraudes praticadas por terceiros e por empregados, falhas nos sistemas informatizados e por procedimentos inadequados. Na Tabela 2.1 apresentamos alguns eventos de risco operacional que ocorreram e despertaram a atenção da comunidade nanceira internacional. Um caso recente envolvendo o risco operacional ocorreu em 2008, quando o banco europeu Société Générale sofreu uma crise devido a um certo funcionário executar uma série de operações não autorizadas que custaram à companhia mais de 4,9 bilhões, a maior perda gerada por um único funcionário da história da indústria nanceira. De acordo com o Comitê de Basileia, houve em 1998 mais de US$ 20 milhões em perdas decorrentes de outros riscos (riscos que não se referem ao de mercado e ao de crédito) nas grandes empresas nanceiras mundiais. O risco operacional sempre existiu dentro das instituições nanceiras e esteve presente em todas as atividades da mesma. Mas, durante um bom tempo, não foi visto como um problema para as instituições, pois se costumava perceber quando ocorriam eventos com grandes perdas, o que era raro de acontecer.

23 CAPÍTULO 2. RISCO OPERACIONAL 9 Tabela 2.1: Algumas ocorrências em destaque na comunidade nanceira internacional. Instituição Evento Ano Perda US$ Daiwa Bank, New York Sumitomo Corp, London , ,00 Negociação não autorizada de bonds devido à falha em controles gerenciais. Negociação não autorizada, fraude e falsicação. Credit Lyonnais Falta de controle de 1980s, 1990s ,00 empréstimos. Barings, Singapore Controle inadequado ,00 das operações futuras. Fonte: Marshall (2001). 2.2 Capital regulatório Como visto anteriormente, no Primeiro Pilar do Novo Acordo, as instituições precisam constituir a reserva de capital, exigida pelos órgãos reguladores, para que a instituição como um todo evite a insolvência. Em outras palavras, podemos dizer que a mesma deve alocar esse capital para proteção contra os diversos tipos de risco. Este capital é denominado capital regulatório. O capital regulatório considerado ideal é aquele suciente para cobrir eventuais perdas decorrentes do risco que se está mensurando sem ser excessivamente conservador. Basel Committee on Banking Supervision (2004) diz o seguinte sobre o capital regulatório: Supervisors will require the bank to calculate its regulatory capital requirement as the sum of expected loss (EL) and unexpected loss (UL), unless the bank can demonstrate that it is adequately capturing EL in its internal business practices. That is, to base the minimum regulatory capital requirement on UL alone, the bank must be able to demonstrate to the satisfaction of its national supervisor that it has measured and accounted for its EL exposure. Neste trabalho, vamos supor que as instituições nanceiras alocam o capital regulatório para cobrir somente as perdas inesperadas, considerando que tais instituições absolvem as perdas esperadas.

24 CAPÍTULO 2. RISCO OPERACIONAL 10 Para determinar a quantidade de capital regulatório é necessário estabelecer métodos, garantindo assim a consistência exigida pelo segundo pilar. Monteiro (2003) diz que para medir os riscos operacionais e se criar regras de proteção para as empresas e para a sociedade, como a alocação de reservas de capital para estas despesas, é necessário que se desenvolvam técnicas precisas de mensuração sobre bases de dados conáveis. Ainda segundo ele, um dos problemas mais comuns em se mensurar risco operacional passa pela diculdade de isolar o elemento perda operacional de perdas em outras categorias, ou seja, existe uma correlação entre as distintas perdas e a mensuração deste nível de correlação costuma ser um grande desao quando se estuda os riscos operacionais. O Novo Acordo apresenta três abordagens de cálculo de capital para o risco operacional, que são apresentados em ordem de escala crescente de sosticação e sensibilidade ao risco: ˆ Abordagem Básica (Basic Indicator Approach - BIA); ˆ Abordagem Padronizada (Standardized Approach - SA); ˆ Abordagem Avançada (Advanced Measurement Approach - AMA). O Comitê de Basileia recomenda que os bancos internacionalmente ativos adotem a AMA. Já os demais bancos devem desenvolver modelos de gestão e alocação de capital que estejam em conformidade com a complexidade de seus negócios (Guimarães, 2003). Apresentaremos a seguir, um conceito geral de cada abordagem. Abordagem Básica A Abordagem Básica (BIA) exige que os bancos retenham capital para o risco operacional equivalente de uma dada porcentagem, chamada de fator α, de um indicador simples, como, por exemplo, a receita bruta. Parte do princípio de que quanto maior o resultado bruto de uma transação, maior será o seu risco operacional. A simplicidade desta metodologia bem como sua pouca relação com risco não proporciona incentivos para sua utilização. Além disso, esta abordagem não requer exigências qualitativas. Abordagem Padronizada A Abordagem Padronizada (SA) é muito parecida com a BIA, exceto pelo fato das atividades bancárias serem divididas em oito linhas de negócio, e o capital pode ser calculado para cada linha pela multiplicação de um indicador de exposição de linha por um fator xo, denominado fator beta, desta linha (ver Tabela 2.2).

25 CAPÍTULO 2. RISCO OPERACIONAL 11 A complexidade de implementação, neste caso, aumenta um pouco visto que é necessário o cálculo dos resultados por linhas de negócios o que, para muitos, implicará em adaptações de processos que permitam a segregação das atividades nessas linhas de negócios. No entanto, semelhante ao Método de Indicador Básico, não proporciona incentivos para sua utilização. Tabela 2.2: Linhas de negócios e respectivos fatores de riscos. Linha de Negócio Fatores Varejo 12% Comercial 15% Finanças corporativa 18% Negociação e venda 18% Pagamentos e liquidações 18% Serviços de agente nanceiro e custódia 15% Administração e Ativos 12% Corretagem de varejo 12% Diferentemente da BIA, as instituições que optarem por adotar a abordagem SA devem atender alguns critérios de qualicação. Mesmo com a necessidade de testes e vericações futuras, a SA parece apresentar uma melhor sensibilidade ao risco do que a BIA. Isto porque, quanto maior a desagregação (divisão em várias linhas de negócio, neste caso), maior a sensibilidade em si, além de prover uma estrutura do mapeamento interno para o gerenciamento do risco operacional. Além disso, para estas abordagens, os bancos não são obrigados a coletar e usar base de dados de perdas. Abordagem Avançada A Abordagem Avançada (AMA) é uma alternativa exível, pois permite que instituições nanceiras desenvolvam seu próprios modelos internos de mensuração para alocação de capital, desde que atendam exigências dos tipos gerais, qualitativas e quantitativas. Caso a instituição opte pelo AMA é necessário a aprovação do Órgão Supervisor que avaliará os requerimentos necessários para o cálculo do capital. Além disso, todas as exigências deverão ser cumpridas com pelo menos um ano de antecedência à implementação do Novo Acordo. O Comitê de Basileia recomenda estabelecer um piso em um primeiro momento e depois irá exibilizar estes limites, o que proporcionará as instituições nanceiras maiores graus de liberdade na denição eciente do capital a ser alocado. Portanto, a metodologia avançada,

26 CAPÍTULO 2. RISCO OPERACIONAL 12 apesar de exigir mais investimentos é a que traz mais incentivos às instituições nanceiras. As instituições que optarem pelo AMA, deverão determinar o capital para cada célula tipo de risco linha de negócio, o qual Frachot et al. (2001) denomina por classe de risco. O documento Basel Committee on Banking Supervision (2004) dene 8 linhas de negócio e 7 tipos de riscos operacionais, apresentados na Tabela 2.3. Assim, segundo tal documento, serão necessárias até 56 estimativas de requerimento para se obter o total de capital exigido para cobrir os gastos que envolvam o risco operacional. Tabela 2.3: Tipos de Perda e Linhas de Negócio no Risco Operacional. Tipo de Risco Linha de Negócio 1. Fraude Interna 1. Finanças Corporativas 2. Fraude Externa 2. Negociações e Vendas 3.Práticas dos Empregados e Segurança do Trabalho 3. Atividades Bancárias de Varejo 4. Clientes, Produtos e Práticas de Negócios 4. Atividades Bancárias Comerciais 5. Danos a Ativos Físicos 5. Pagamentos e Liquidações 6. Interrupção dos Negócios e Falhas de Sistemas 6. Serviços de Agência 7. Execução, Entrega e Gestão dos Processos 7. Gestão de Ativos 8. Corretagens O Comitê de Basileia sugere duas formas para o cálculo do risco operacional em sua abordagem avançada: ˆ Modelo de mensuração interna (Internal measurement approach - IMA); ˆ Modelo de distribuição de perdas (Loss distribution approach - LDA). Apesar de citar essas alternativas, a regulamentação deixa, em aberto, a possibilidade do uso de outros modelos desenvolvidos internamente pelas instituições nanceiras. Porém, esses modelos devem também respeitar critérios qualitativos e quantitativos estabelecidos pelo Novo Acordo, como as exigências de que se tenha uma base histórica de perdas operacionais de, no mínimo, 3 anos e que o VaR tenha um intervalo de conança de 99,9% no período de 1 ano. Os modelos IMA e LDA permitem que os bancos usem seus dados de perdas internas para estimar a verossimilhança ou frequência e a severidade. A frequência e a severidade podem ser representadas por um único valor como no caso do IMA, ou por suas distribuições de probabilidade como no LDA.

27 CAPÍTULO 2. RISCO OPERACIONAL 13 Neste trabalho, todos os métodos apresentados residem no modelo LDA, pelo fato deste ser o mais difundido e bem aceito entre os prossionais da área, como veremos na Seção O que é feito hoje na alocação do capital regulatório Atualmente as instituições nanceiras que optam em calcular o capital regulatório através do modelo LDA, consideram que as perdas sejam perfeitamente correlacionadas. Assim, o cálculo do capital regulatório é feito da seguinte maneira: calcula-se o capital para cada célula tipo de risco linha de negócio e, ao nal, soma-se todos os capitais. Este método é conhecido como o método do somatório. Embora as perdas ocorrem dentro de uma mesma instituição, estudiosos da área, dizem que existe uma correlação entre elas, mas se considerada perfeita, a instituição é considerada conservadora, alocando mais capital do que o necessário. Entendendo essa hipótese, o Comitê de Basileia, permite o uso de correlação menor que 1 para o cálculo do capital. Frachot et al. (2004) argumenta que apesar das correlações perfeitas serem aceitas, a soma do carregamento de capital das diferentes linhas de negócios e tipos de riscos devem ser somados, gerando um carregamento de capital maior do que se fosse considerado qualquer efeito de correlação entre as distintas linhas de negócios e tipos de perda. Alguns autores que utilizam o modelo LDA consideram correlações não-perfeitas ou correlações nulas entre as variáveis perdas, seja através da determinação dos indicadores de correlação ou por meio de modelagem via cópulas. Nos próximos capítulos serão detalhadas as três correlações, que são citadas na literatura, presentes no modelo LDA: nula, perfeita e não-perfeita. Neste trabalho, mostramos três metodologias de cálculo deste capital, em que algumas delas, usamos cópulas como ferramenta para captar a dependência entre as perdas. No próximo capítulo apresentamos a teoria de cópulas. Descrevemos a denição, estimação de seus parâmetros, cópula empírica e bondade de ajuste.

28 Capítulo 3 Teoria de cópulas Quando falamos em modelagem de dependência, atualmente um dos primeiros temas a ser levado em consideração é a recente teoria de cópulas discutidas por Joe (1997) e Nelsen (1999). Esta teoria se torna atrativa devido às cópulas abrangerem um grande leque de estrutura de dependência e conseguirem modelar completamente a estrutura dos dados. A grosso modo podemos dizer que a cópula liga a função de distribuição multivariada a suas marginais. De um outro modo, podemos dizer que cópulas são funções de distribuições cujas marginais são uniformes no intervalo [0,1]. A palavra cópula foi empregada pela primeira vez no sentido matemático/estatístico por Sklar (1959) no teorema, que é considerado o resultado central desta teoria, que descreve as funções que ligam/conectam as distribuições univariadas à distribuição multivariada. Em relação a teoria de riscos, Cherubini et al. (2004) armam que a principal vantagem das cópulas é a maneira como elas representam uma distribuição conjunta de probabilidade. Elas oferecem maior exibilidade na agregação de riscos, pois a escolha das distribuições marginais pode ser feita de forma independente da modelagem da estrutura de associação das variáveis estudadas. Dessa forma, tal exibilidade permite construir uma distribuição conjunta de duas ou mais variáveis aleatórias e que cada uma delas seja individualmente modelada por uma distribuição marginal diferente, que pode ser a normal, t-student, exponencial ou qualquer outra. Ao mesmo tempo, a dependência entre essas variáveis pode assumir estruturas diversas, até mesmo não-lineares, de acordo com o tipo de cópula utilizada. No âmbito do risco operacional temos que as diversas perdas, ocorridas para cada classe de risco, são consideradas variáveis aleatórias dependentes. Como visto anteriormente, hoje é considerada a dependência perfeita entre as variáveis perdas operacionais. Embora o Comitê 14

29 CAPÍTULO 3. TEORIA DE CÓPULAS 15 exija este tipo de dependência entre as variáveis perdas agregadas para o cálculo do capital, o Comitê aprova que as instituições nanceiras usem outras correlações, desde que cumpram exigências qualitativas e quantitativas. Segundo Basel Committee on Banking Supervision (2004): Risk measures for dierent operational risk estimates must be added for purposes of calculating the regulatory minimum capital requirement. However, the bank may be permitted to use internally determined correlations in operational risk losses across individual operational risk estimates, provided it can demonstrate to the satisfaction of the national supervisor that its systems for determining correlations are sound, implemented with integrity, and take into account the uncertainty surrounding any such correlation estimates (particularly in periods of stress). The bank must validate its correlation assumptions using appropriate quantitative and qualitative techniques. Existem vários trabalhos que envolvem teoria de cópulas e risco operacional, como por exemplo em Böcker & Klüppelberg (2008), Embrechts et al. (2003), entre outros. 3.1 Denições básicas Nesta seção apresentamos algumas denições importantes sobre teoria de cópulas. Para isso, usaremos as seguintes notações: ˆ R = (, ); ˆ R = [, ] (reta estendida); ˆ I = [0,1] (intervalo unitário); ˆ I 2 = [0,1] [0,1] (quadrado unitário); ˆ Dom(H) R 2 e Im(H) R são, respectivamente, o domínio e a imagem de uma função H bivariada real. Antes de denir a cópula de uma maneira formal, daremos algumas denições importantes. Denição 3.1. H-volume. Sejam S 1 e S 2 subconjuntos não-vazios de R, a função H : S 1 S 2 R e o retângulo B = [x 1,x 2 ] [y 1,y 2 ], (x i,y j ) Dom(H), i,j = 1,2. Dene-se H-volume de B como: V H (B) = H(x 2,y 2 ) H(x 2,y 1 ) H(x 1,y 2 ) + H(x 1,y 1 ). (3.1)

30 CAPÍTULO 3. TEORIA DE CÓPULAS 16 Denição 3.2. Função bicrescente. Dizemos que H é uma função bicrescente se V H (B) 0, para todo B. Denição 3.3. Aplanada. Sejam S 1 e S 2 subconjuntos não-vazios de R. Uma aplicação H : S 1 S 2 R é aplanada se H(x, a 2 ) = 0 = H(a 1,y) para todo (x,y) H : S 1 S 2 sendo a i = min(z i ; z i S i ), i = 1,2. Denição 3.4. Sub-cópula. Uma sub-cópula é uma função C com as seguintes propriedades: 1- Dom(C ) = S 1 S 2, no qual S 1 e S 2 são subconjuntos de I contendo 0 e 1; 2- C é aplanada e bicrescente; 3- C é marginalmente uniforme, ou seja, para todo u S 1 e v S 2, C (u,1) = u e C (1,v) = v. Com as denições acima conseguimos denir, de uma maneira formal, o que é uma cópula. Denição 3.5. Cópula. Uma Cópula é uma Sub-cópula cujo domínio é I 2. O teorema a seguir, mostra que toda cópula é limitada. Teorema 3.1. Seja C uma sub-cópula. Então para todo (u,v) Dom(C ), max(u + v 1,0) C (u,v) min(u,v). Demonstração: Seja (u,v) um ponto arbitrário do Dom(C ). Como C, por hipótese, é aplanada, marginalmente uniforme e não-decrescente, então 0 = C (0,v) C (u,v) C (1,v) = v e também, 0 = C (u,0) C (u,v) C (u,1) = u. Logo, 0 C (u,v) min(u,v). Agora, considere B = [u,1] [v,1], então: V C (B) = C (1,1) C (u,1) C (1,v) + C (u,v) = 1 u v + C (u,v) 0, pois C é uma sub-cópula, ou seja, é função bicrescente. Daí, C (u,v) u + v 1. Além disso, C (u,v) 0 para todo (u,v) Dom(C ). Logo, C (u,v) max(u + v 1,0). Portanto, max(u + v 1) C (u,v) min(u,v), para todo (u,v) Dom(C ).

31 CAPÍTULO 3. TEORIA DE CÓPULAS 17 A desigualdade anterior é denominada de Desigualdade dos Limitantes de Fréchet, sendo: W (u,v) = max(u + v 1,0) : Limitante inferior de Fréchet; M(u,v) = min(u,v) : Limitante superior de Fréchet. Corolário 3.1. M(u,v) e W (u,v) são cópulas. 3.2 Teorema de Sklar O Teorema de Sklar é o resultado central da teoria de cópulas. Tal teorema elucida o desempenho da cópula na relação entre funções de distribuições multivariadas e suas marginais univariadas. Antes de enunciar o teorema, daremos algumas denições importantes. Denição 3.6. Função de distribuição.uma função de distribuição é uma função F com domínio R, tal que: 1- F é não decrescente; 2- F ( ) = 0 e F ( ) = 1. Denição 3.7. Função de distribuição conjunta. Uma função de distribuição conjunta é uma função H com domínio R 2, tal que: 1- H é bicrescente; 2- H(x, ) = H(, y) = 0 e H(, ) = 1. H tem marginais F e G dadas por F (x) = H(x, ) e G(y) = H(, y), respectivamente. Teorema 3.2. Sklar. Seja H uma função de distribuição conjunta com marginais F e G. Então existe uma cópula C tal que para todo x, y R, H(x,y) = C(F (x), G(y)). (3.2) Se F e G são contínuas, então C é única, caso contrário, C é unicamente determinada em Im(F ) Im(G). Reciprocamente, se C é uma cópula e F e G são funções de distribuições, então a função H denida em 3.2 é uma função de distribuição conjunta com marginais F e G. Denição 3.8. Inversa generalizada. Seja F uma função de distribuição. A inversa generalizada de F é qualquer função F ( 1) com domínio em I, tal que:

32 CAPÍTULO 3. TEORIA DE CÓPULAS Se t Im(F ) então F ( 1) (t) = x, x R, tal que F (x) = t, ou seja, F (F ( 1) (t)) = t, para qualquer t Im(F ); 2- Se t / Im(F ) então F ( 1) (t) = inf{x F (x) t} = sup{x F (x) t}. Corolário 3.2. Sejam H, F, G e C denidas como anteriormente e sejam F ( 1) e G ( 1) as inversas generalizadas de F e G, respectivamente. Então, para qualquer (u,v) Dom(C ), C (u,v) = H(F ( 1) (u), G ( 1) (v)). (3.3) Teorema 3.3. X, Y variáveis aleatórias independentes C(u,v) = u.v, para todo u, v I. Demonstração: Sejam F e G funções de distribuições de X e Y, respectivamente e H a função de distribuição conjunta de X e Y. Consideremos também, u = F (x) F 1 (u) = x e v = G(y) G 1 (v) = y. ( ) Como, por hipótese, X e Y são variáveis aleatórias independentes, podemos escrever as distribuição conjunta como sendo o produto das marginais, ou seja, H(x,y) = F (x).g(y). Do Corolário 3.2, C(u,v) = H(F 1 (u), G 1 (v)) C(u,v) = H(u,v) C(u,v) = uv, para todo (u, v) I 2. ( ) Do teorema de Sklar 3.2, C(u,v) = uv H(x,y) = C(F (x)g(y)) = F (x)g(y), para todo x, y R 2. Portanto, X e Y são variáveis aleatórias independentes se, e somente se, C(u,v) = uv, para todo u, v I. Denição 3.9. Ordem de concordância. Se C 1 e C 2 são cópulas, dizemos que C 1 é menor que C 2 (ou C 2 é maior que C 1 ), e escrevemos C 1 C 2 (ou C 2 C 1 ) se C 1 (u,v) C 2 (u,v) para todo u,v I. Existem famílias de cópulas que são totalmente ordenadas. Chamaremos uma família paramétrica {C θ } de cópulas positivamente ordenadas se C α C β sempre que α β; e negativamente ordenada se C α C β sempre que α β.

33 CAPÍTULO 3. TEORIA DE CÓPULAS 19 Ao considerarmos os Limites de Fréchet, descrito no Teorema 3.1, temos que: C C C +, em que C = W (u,v) = max(u + v 1,0) é o limitante inferior, C + = M(u,v) = min(u,v) é o limitante superior e C é uma cópula qualquer. Logo, C + é a maior de todas as cópulas e C é a menor. Considerando as cópulas dos Limitantes de Fréchet, temos que a distribuição de C contém toda sua massa sobre a diagonal entre (0,1) e (1,0), enquanto que a distribuição de C + tem toda sua massa sobre a diagonal entre (0,0) e (1,1). Dessa maneira, dizemos que C + e C descrevem dependência perfeita positiva e dependência perfeita negativa, respectivamente. Se pensarmos no ponto de vista do Teorema 3.2, ao considerarmos duas variáveis aleatórias, X e Y, com dependência perfeita positiva (perfeitamente correlacionadas), então a distribuição conjunta H é da seguinte forma: H(x,y) = C + (F (x), G(y)), em que F e G são as funções de distribuição de X e Y, respectivamente. De uma maneira informal, quando duas variáveis são perfeitamente correlacionadas temos que o conhecimento de uma implicará o conhecimento da outra. Jouanin et al. (2004) demonstram, utilizando um banco de dados com dois tipos de perdas operacionais, que considerar o cálculo do VaR operacional global como a simples soma dos VaRs operacionais para cada classe de risco operacional corresponde ao caso da agregação dos riscos operacionais utilizando a cópula limitante superior de Fréchet. Dentre as principais famílias de cópulas estão as Arquimedianas e as Elípticas. Na Tabela 3.1 apresentamos algumas cópulas da família Arquimediana. Na família Elíptica se destacam a cópula normal e cóputa t. Para mais detalhes sobre as famílias de cópulas ver Nelsen (1999) e Cherubini et al. (2004). 3.3 Estimação e escolha da cópula Na literatura são encontrados diversos métodos de estimação para cópulas. Nesta seção, apresentamos três métodos: Maximum likelihood - ML, o Inference function for margins - IFM (proposto por Joe & Xu (1996)) e o Canonical maximum likelihood - CML. De uma forma resumida, no método ML são estimados todos os parâmetros (tanto das marginais, quanto da cópula) de uma única vez. Já no IFM, estima-se inicialmente os parâmetros das marginais

34 CAPÍTULO 3. TEORIA DE CÓPULAS 20 Tabela 3.1: Famílias de Cópulas Arquimedianas. Família Cθ(u,v) φθ(t) θ Limitantes e Casos especiais Clayton [max(u θ + v θ 1,0)] 1/θ 1 θ (t θ 1) [ 1, ) \ {0} C 1 = W, C0 =, C1 =, C = M uv Ali-Mikhail-Haq 1 θ(1 u)(1 v) ln 1 θ(1 t) t [ 1, 1) C0 =, C1 = Gumbel exp ( [( lnu) θ + ( lnv) θ ] 1/θ) ( lnt) θ [1, ) C1 =, C = M ( ) Frank 1 θ ln 1 + (e θu 1)(e θv 1) e θ 1 Joe 1 [(1 u) θ + (1 v) θ (1 u) θ (1 v) θ ] 1 θ 1 (1 exp( t)) 1 θ [1, ] ln e θt 1 (, ) \ {0} e θ 1 C = W, C0 =, C = M

35 CAPÍTULO 3. TEORIA DE CÓPULAS 21 e, a partir desses parâmetros estimados, estima-se o parâmetro da cópula. No método CML primeiramente uniformizamos o conjunto de dados e depois estimamos o parâmetro da cópula através do método ML. Para a escolha da cópula usaremos como ferramenta a cópula empírica que será detalhada mais adiante. O objetivo dessa seção é mostrar como se estima e escolhe a cópula para um determinado banco de dados Estimação Apresentamos a seguir os três métodos citados anteriormente. Método ML No método ML todos os parâmetros (distribuições marginais e cópula) são estimados de uma única vez. Seja C a cópula bivariada para as variáveis aleatórias X e Y, em que F e G são as funções de distribuições e f e g são as funções de densidade de X e Y, respectivamente. Seja h a função de densidade conjunta para X e Y : h(x,y) = c(f (x), G(y))f(x)g(y), (3.4) em que c é a densidade da cópula C: Neste caso, a função log-verossimilhança será: l(α) = n ln c(f (x i, α 1 ), G(y j, α 2 ); θ) + i=1 c(u,v) = C(u,v) u v. (3.5) n (ln f(x i,α 1 ) + ln g(y j,α 2 )), i = j = 1,..., n, i=1 (3.6) em que α = (α 1, α 2, θ) é o vetor de parâmetros das distribuições marginais (α 1, α 2 ) e da cópula (θ). Daí, ˆα ML será o estimador de MV maximizando l(α). Método IFM O problema com o método ML se deve ao fato de que para casos com altas dimensões, a computação pode ser intensiva, pois estimaremos ao mesmo tempo os parâmetros das distribuições marginais e o da cópula. O método IFM é apresentado no trabalho de Joe & Xu (1996). Tal método é baseado em dois passos:

36 CAPÍTULO 3. TEORIA DE CÓPULAS 22 1º passo: Estima-se os parâmetros das marginais pelo método da máxima verossimilhança. 2º passo: Estima-se o parâmetro da cópula considerando a estimação feita no 1º passo. Neste caso, a log-verossimilhança descrita na Equação (3.6), será: n n l(α) = ln c(f (x i, α 1 ), G(y j, α 2 ); θ) + (ln f(x i,α 1 ) + ln g(y j,α 2 )), i = j = 1,..., n, i=1 i=1 (3.7) em que α = (α 1, α 2, θ). α 1 e α 1 são os vetores dos parâmetros das distribuições marginais F e G, respectivamente, e θ é o parâmetro da cópula C. O 1º passo é determinar ˆα 1 e ˆα 1 através do método de máxima verossimilhança: ˆα 1 = arg max n i=1 ln f(x i,α 1 ) ˆα 2 = arg max n i=1 ln g(y j,α 2 ). O 2º passo é substituir ˆα 1 e ˆα 1 na Equação (3.7) e estimar θ: ˆθ = arg max n i=1 ln c(f (x i, ˆα 1 ), G(y j, ˆα 2 ); θ). Método CML O método CML é baseado nas distribuições empíricas das funções de distribuições marginais. Este método também consiste em dois passos: 1º passo: Uniformizar o conjunto de dados (x i, y j ), i = j = 1,...,n em (û, ˆv); 2º passo: Estimar o parâmetro da cópula através do método ML da seguinte forma: ˆθ = arg max n i=1 ln c(û i, ˆv i ; θ). Para mais detalhes sobre os métodos descritos anteriormente ver Durrleman et al. (2000) Escolha da cópula A escolha da cópula é baseada na cópula empírica que foi introduzida por Deheuvels (1979). De forma sucinta a escolha da cópula é feita da seguinte maneira: dene-se um conjunto nito de cópulas, o qual denotamos por C, e calculamos uma distância entre a cópula empírica e as cópulas pertencentes a C. Assim, a cópula com menor distância será a escolhida. A seguir, deniremos cópula empírica e daremos mais detalhes sobre o processo de escolha da cópula. Denição Cópula empírica. A cópula empírica é uma função, C n, denida como: C n (u,v) = número de pares {(u k,v k )} n k=1, tal que u k u, v k v, (3.8) n em que (u,v) I 2 e {(u k,v k )} n k=1 são os dados uniformizados.

37 CAPÍTULO 3. TEORIA DE CÓPULAS 23 Note que essa denição vem do fato de queremos estimar C(u,v) através de C n (u,v), em que C(u,v) = P (U u, V v), (u,v) I 2. Então através da amostra {(u k,v k )} n k=1 do par (U,V ) devemos estimar empiricamente P (U u, V v), (u,v) I 2 em que esta estimação é obtida através de C n. Exemplo 3.1. Consideremos o seguinte conjunto de dados uniformizados, obtidos através da função de distribuição empírica: {(u k, v k ); k = 1,2,3,4} = {(1/2, 1/3), (1/2,1/4), (1/3, 1/6), (2/3,1)} Podemos construir a cópula empírica para todos (u,v) I 2. A seguir, apresentamos alguns valores para C n. C n ( 1 2, 1 2 ) = 3 4 ; C n ( 1 2, 1 3 ) = 3 4 ; C n ( 1 2, 1) = 0; C n ( 2 3, 1 2 ) = 0; C n (1, 1 2 ) = 3 4 ; C n (1, 1) = 1; Para mais detalhes sobre cópula empírica ver Deheuvels (1979). Após a construção da cópula empírica, iremos denir um conjunto nito de cópulas, C = {C 1,...,C J }. A escolha das cópulas deste conjunto pode ser feita através da análise do comportamento dos dados uniformizados. Assim, caso os dados tenham características similares ao comportamento de certas cópulas, por exemplo simetria, assimetria, dependência na cauda à esquerda ou à direita etc., podemos selecioná-las para pertencerem ao conjunto C. Após denido o conjunto C, estimamos os parâmetros das cópulas através dos dados. Assim, para a escolha da cópula calculamos uma distância entre C n e as cópulas do conjunto C. Denotaremos essa distância por d(c n, C j ), j = 1,..., J. Assim, a cópula a ser escolhida será a de menor distância. Podemos usar as distâncias baseadas em diversas normas, como a norma L 2 ou absoluta. Como estamos trabalhando com o caso bivariado, detonaremos a distância por d 2. A seguir denimos a norma L 2 e a absoluta, respectivamente: