Medida de Risco via Teoria de Valores Extremos. Análise de Risco (8) R.Vicente

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1 Medida de Risco via Teoria de Valores Extremos Análise de Risco (8) R.Vicente 1

2 Resumo EVT: Idéia geral Medidas de risco Teoria de Valores Extremos (EVT) Distribuição de Máximos Distribuição de Exceedances Estimação de Parâmetros Intervalos de Confiança Bibliografia 2

3 EVT: Idéia Geral 1. Teoremas limite similares ao Teorema do Limite Central para o comportamento de desvios extremos; 2. Permite inferência do comportamento de eventos raros e extremos a partir de poucas observações; 3. Suposição de que, apesar da variedade de causas possíveis, há comportamentos estatísticos gerais nos extremos; 4. Teoremas de EVT se aplicam desde que o comportamento (desconhecido) dos extremos possa ser descrito por distribuições que se enquadrem em uma família suficientemente bem comportada (e.g. com segundo momento pelo menos). 3

4 Novamente: Medidas de Risco 1. VaR VaR = F 1 ( 1 p) p 2. Expected Shortfall 1. Nível de Retorno ( ) ( ) ES = E X X > VaR = E X VaR X > VaR + VaR p p p p p k Rn = H 1 k 1 1, onde H é a distribuição de máximos observados em janelas sucessivas sem intersecção de comprimento n. A medida de risco é o valor que se espera violar em 1 em k períodos de comprimento n. 4

5 Extremos: Definição 1. Máximo em Blocos 2. Violações de um limiar Limiar u 5

6 Teoremas Limite 1: Máximo em Blocos 1. Máximo em Blocos M ( ) (Fisher and Tippett (1928), Gnedenko (1943)) Seja uma seqüência de variáveis aleatórias iid. Sejam M n os máximos de blocos com tamanho n. Se existem constantes c 0, e uma distribuição não-degenerada H tal que n > dn ( 1 x) 1/ + n c dn d então ( ) n e X t H H x Generalized Extreme Value (GEV) distribution se = x e e se = 6 0 0

7 Teoremas Limite 1: Máximo em Blocos Generalized Extreme Value (GEV) distribution H x ( ) e ( 1+ x) 1/ se = x e e se = 0 0 = 1 α = 1 α = 0 Fréchet Weibull Gumbel 7

8 Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar 8

9 Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar 1. Violações de um Limiar Limiar u (Pickands (1975), Balkema e De Haan (1974)) Pra uma classe grande de distribuições F a distribuição do excedente condicional Fu( y) para u suficientemente grande é bem aproximada por : G, σ ( y) 1/ 1 1+ y se 0 = σ y / σ 1 e se = 0 σ Para < F Distribuição generalizada de Pareto (GPD) y [0,( x u)] se 0 y 0, se 0 9

10 Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar Distribuição generalizada de Pareto (GPD) G, σ ( y) 1/ ( x u) se 0 = σ ( x u)/ σ 1 e se = 0 limite exponencial Caudas pesadas : forma u : posiçao σ : escala 10

11 Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar Obtendo a distribuição de extremos: n é o número total de observações e N u é o número de observações acima do limiar u 11

12 Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar Calculando risco dos extremos: Considerando o seguinte resultado de EVT para < 1 : Assumindo 12

13 Violações de um Limiar: Estimação de parâmetros Três parâmetros para estimar: : forma u : posiçao σ : escala 1. POSIÇÃO: Ainda não há um algoritmo que permita estimação automática do parâmetro de posição. Utilizando o seguinte resultado de EVT: Pode-se estimar: Montando um gráfico para este estimador procuramos pelo valor de u acima do qual e(u) é uma reta. 13

14 Violações de um Limiar: Estimação de parâmetros 1. POSIÇÃO: 4 Montando um gráfico para este estimador procuramos pelo valor de u acima do qual e(u) é uma reta. Sample mean excess function 2 Sample mean excess function u u 14

15 Violações de um Limiar: Estimação de parâmetros 2. ESCALA e FORMA: os outros dois parâmetros podem ser obtidos via maximização da log-verossimilhança, dado o limiar u (POSIÇÃO): Para maximização dessa função pode-se utilizar algoritmos de gradiente. 15

16 Violações de um Limiar: Estimação de parâmetros GPD ajustada via maximização de log-verossimilhança. De posse dessa distribuição pode-se, em princípio, calcular VaR com confianças superiores a 99%. 16

17 Determinação de Barras de Erro para o Risco estimado. Como as estimações de EVT envolvem sempre poucos dados é estritamente necessário calcular barras de erro para os parâmetros, e conseqüentemente para o risco estimado. Há, pelo menos, duas formas clássicas de estimar estas barras de erro: 1. Invertendo o teste de razão de verossimilhança; 2. Realizando simulações (bootstraping). 17

18 Determinação de Barras de Erro: Inversão do teste de razão de verossimilhança. Nessa alternativa leva-se em conta que a distribuição assintótica do log da razão de verossimilhanças é conhecida (Qui-quadrado com dois graus de liberdade). Assim calculam-se as diferenças entre logverossimilhanças A região de confiança dos parâmetros é escolhida de forma que a probabilidade de estar dentro do intervalo de parâmetros da barra de erro seja, por exemplo, 95%. 18

19 Determinação de Barras de Erro: Inversão do teste de razão de verossimilhança Região de 95 % de Confiança 0.7 σ

20 Determinação de Barras de Erro: Bootstraping Essa alternativa é computacionalmente mais pesada mas é mais apropriada para situações em que o número disponível de observações é limitado. No bootstrapping amostram-se com reposição subconjuntos de dados e reestimam-se os parâmetros para cada subconjunto utilizando máxima verossimilhança. O resultado é uma nuvem de pontos que pode ser utilizada para estimar barras de erro através da construção de histogramas 20

21 Determinação de Barras de Erro: Bootstraping 6 FORMA 6 ESCALA VaR(0.001) ES(0.001) 21

22 Determinação de Barras de Erro diretamente para o VaR ou ES É possível obter barras de erro diretamente para o VaR ou ES utilizando: para reparametrizar as distribuições. 22

23 Determinação de Barras de Erro diretamente para o VaR ou ES Com as mudanças apropriadas de variável obtemos: para 0 23

24 Determinação de Barras de Erro diretamente para o VaR ou ES Para o ES obtemos: ES ES Intervalo de confiança a 95% para a razão de verossimilhança Região equivalente de confiança a 95%. Pontos representam o resultado bootstrap 24

25 Determinação de Barras de Erro diretamente para o VaR ou ES Para o VaR obtemos: VaR 0.01 Intervalo de confiança a 95% para a razão de verossimilhança Região equivalente de confiança a 95%. Pontos representam o resultado bootstrap 25

26 Bibliografia Gilli, M. and Këllezi E., Na application of Extreme Value Theory for Measuring Risk, Fevereiro Efron, B. and Tibshirani R.J., An Introduction to the Bootstrap, Chapman&Hall, Nova York (1993) 26