ANÁLISE DE DADOS AMBIENTAIS DO ESTADO DO PIAUÍ UTILIZANDO A DISTRIBUIÇÃO DE PARETO GENERALIZADA (GPD)

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1 ANÁLISE DE DADOS AMBIENTAIS DO ESTADO DO PIAUÍ UTILIZANDO A DISTRIBUIÇÃO DE PARETO GENERALIZADA (GPD) Stênio R. Lima (bolsista do ICV-UFPI), Fernando F. Nascimento (orientador, Dept. de Estatística - UFPI) Introdução A cidade de Teresina é caracterizada por elevadas temperaturas. Em estudo de temperatura, o aquecimento global tem sido um assunto em destaque nos últimos anos devido a rápidas alterações climáticas que o planeta vem sofrendo. Estas mudanças implicam em alterações no número de eventos extremos de temperatura, seja esta de máximos ou mínimos. Eventos de temperatura extrema são mais responsáveis por mudança na natureza do que mudanças na temperatura média (Parmesan et al., [2000]). Dada a ocorrência de eventos extremos e meteorológicos, os retornos podem ser avaliados sob o conceito da Teoria de Valores Extremos, como neste trabalho, que verifica a adequação da Distribuição de Pareto Generalizada (GPD) para modelar retornos de eventos meteorológicos. Em séries temporais, é estudado como o comportamento dos dados pode se alterar com o tempo. Este tipo de alteração é comum para dados de valores extremos. Em dados ambientais, por exemplo, em chuva, vento e temperatura, seus níveis podem estar correlacionados com a sazonalidade, além de apresentar uma tendência de aumento ao longo dos anos, devido mudanças climáticas no planeta (Nascimento [2009], capítulo 5). Metodologia Distribuição GPD para Excessos acima de um limiar A Teoria de Valores Extremos (TVE) é um ramo da probabilidade que estudo o comportamento estocástico de extremos associados a fenômenos com risco elevados de impactos catastróficos. Estes fenômenos constituem um conjunto de vetores aleatórios. Incluímos também dentro de extremos o máximo e o mínimo, estatísticas de ordem extremas e excessos acima (ou abaixo) dos limiares altos (ou baixos). O importante é que as características e propriedades das distribuições desses extremos aleatórios são determinadas pelas caudas extremas (inferior e superior) da distribuição dos dados. Restringir a atenção às caudas de uma distribuição apresenta a vantagem de termos diversos modelos estatístico adequados para as mesmas (Coles [2001]). Estes modelos fundamentados exclusivo em valores além dos limiares nos permitirão fazer inferências mais precisas sobre as caudas e parâmetros da distribuição dos dados extremos. De fato, a inferência estatística sobre acontecimentos raros pode ser deduzida a partir daquelas observações que são extremas sob determinado tipo de critério. A escolha do limiar será feita através do gráfico DIP (Dispersion Index Plot). A GPD explica a distribuição limite dos excessos além do um limiar suficientemente alto. A distribuição de Pareto generalizada foi desenvolvida por Pickands [1975], é baseada no seguinte teorema: Teorema 1: Se X for uma variável aleatória (v.a.) com função distribuição (f.d.) F, que pertence ao domínio de atração de uma distribuição GEV, então, quando, u, Fx u = PrX u + x X > u, possui distribuição GPD, possui a seguinte função de distribuição

2 1 1 + ξ Px ξ, σ, u =, se ξ # 0 (1) 1 exp & se ξ = 0. onde u > 0, σ > 0, x u ) 0, se ξ > 0, e 0 x u σ/ξ, se ξ + 0. O caso ξ = 0 é interpretado como sendo o limite quando ξ 0, é a distribuição exponencial de parâmetro 1/σ. Os parâmetros são ξ, σ e u e representam a forma, escala e limiar da distribuição. Modelagem dinâmica para a distribuição GPD A modelo dinâmico é usado para modelar os parâmetros da GPD, que mudam ao longo do tempo. No gráfico de séries temporais das três estações estudada, observa-se que a temperatura tem um aumento com o passar do tempo, como por exemplo na estação de Picos (Figura 1). Com isso, motivou-se realizar uma modelo linear dinâmico DLM para os parâmetros da GPD. Figura 1: Gráfico de séries temporais dos máximos mensais de temperatura Fonte: Dados INMET O modelo DLM, visto em West e Harrison [1997] (Citado por Nascimento [2009], capítulo 5), é usado para modelar os parâmetros da GPD, que muda ao longo do tempo pela seguinte estrutura Resultados e Discussão, -. - = / e 1 0 = (2) A análise dos dados de temperatura foi feito no software R, utilizando o pacote POT, pois a ideia é observar as temperaturas acima de um limiar. Coles [2001], sugere algumas alternativas como, agrupar dados e observar o máximo nestes grupos. Nas análises de dados de temperatura deste trabalho, foram analisados os máximos mensais. Inicialmente foram obtidos dados meteorológicos de temperatura no Piauí, onde os dados foram coletados diariamente, em três estações do estado, e posteriormente, para cada estação, foi agrupado em máximos mensais. O ajuste dos dados foi estimado utilizando a distribuição GPD. O limiar foi determinado utilizamos o gráfico DIP plot (ver figura 2), com isso, usamos um limiar, respectivamente, 38 para a estação Teresina, 36 para estação de Paranaíba e 39 para estação de Picos. O limiar é escolhido a partir do ponto que o gráfico entra na área hachurada.

3 Figura 2: Gráfico de determinação do limiar para os dados de temperatura. Fonte: Dados meteorologicos, INMET, 2012 Com isso, usando os limiares acima, para cada estação, obtivemos os seguintes estimadores para os parâmetros da GPD, quadro 1. Observou-se que as estimativas para o parâmetro 5 foi negativo nas três estações, concluindo que tem cauda leve para a estimação. Conclusão Quadro 1: Estimativa dos Parâmetros, forma(5) e escala(6), da GPD. Estação Estimativas Intervalo de confiança (95%) Teresina [-0.716;-0.360] [1.20;1.95] Parnaíba -0,3534 0,8988 [-1.013;-0.22] [0.701;1.614] Picos [-0.543; ] [0.555; 1.061] Após a análise inicial, onde foi utilizado a Distribuição Parete Generalizado para modelor os dados de temperatura máxima mensais depois de um limiar fixado, pode notar que nas cidade de Teresina e Picos as temperaturas máximas observadas tiverem comportamento bem similiares, enquanto que na cidade de Parnaíba as temperatura máximas mensais tiveram um comportamento crescente ao longo do tempo. Nas cidades de Teresina, Parnaíba e Picos, respectivamente, é esperado que ocorro temperaturas máximas mensais de 41ºC, 38ºC e 42ºC. Após modelar os dados pelo modelos dinâmicos, observamos que o método se mostrou eficiente com o comportamento parâmetros da cauda apresentando uma evolução ao longo do tempo. O modelo estima bem o limiar, e as estimações do parâmetros do modelo permite calcular de maneira eficiente medidas importante de temperturas máximas. Apoio: Universidade Federal do Piauí - UFPI Referências Coles, S An Introduction to Statistical Modelling of Extreme Values. Springer Series in Statistics. Springers Series in Statistics, London. Nascimento, F. F Abordagem Bayesiana não-paramétrica para análise de valores extremos Tese (Doutorado em estatística) Programa de Pós-Graduação em Estatística, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro. Parmesan, C., Root, T. L. e Willing, M. R Impacts of extreme weather and climate on terrestrial biota Bulletion of the American Meteorological Society, 81, Pickands, J. Statistical inference using extreme order statistics, Annals of Society, 81, , Palavras-chave: Temperatura, Distribuição GPD, Modelos dinâmicos

4 ANÁLISE DE DADOS AMBIENTAIS DO ESTADO DO PIAUÍ UTILIZANDO A DISTRIBUIÇÃO DE PARETO GENERALIZADA (GPD) Stênio R. Lima (bolsista do ICV-UFPI), Fernando F. Nascimento (orientador, Dept. de Estatística - UFPI) Introdução A cidade de Teresina é caracterizada por elevadas temperaturas. Em estudo de temperatura, o aquecimento global tem sido um assunto em destaque nos últimos anos devido a rápidas alterações climáticas que o planeta vem sofrendo. Estas mudanças implicam em alterações no número de eventos extremos de temperatura, seja esta de máximos ou mínimos. Eventos de temperatura extrema são mais responsáveis por mudança na natureza do que mudanças na temperatura média (Parmesan et al., [2000]). Dada a ocorrência de eventos extremos e meteorológicos, os retornos podem ser avaliados sob o conceito da Teoria de Valores Extremos, como neste trabalho, que verifica a adequação da Distribuição de Pareto Generalizada (GPD) para modelar retornos de eventos meteorológicos. Em séries temporais, é estudado como o comportamento dos dados pode se alterar com o tempo. Este tipo de alteração é comum para dados de valores extremos. Em dados ambientais, por exemplo, em chuva, vento e temperatura, seus níveis podem estar correlacionados com a sazonalidade, além de apresentar uma tendência de aumento ao longo dos anos, devido mudanças climáticas no planeta (Nascimento [2009], capítulo 5). Metodologia Distribuição GPD para Excessos acima de um limiar A Teoria de Valores Extremos (TVE) é um ramo da probabilidade que estudo o comportamento estocástico de extremos associados a fenômenos com risco elevados de impactos catastróficos. Estes fenômenos constituem um conjunto de vetores aleatórios. Incluímos também dentro de extremos o máximo e o mínimo, estatísticas de ordem extremas e excessos acima (ou abaixo) dos limiares altos (ou baixos). O importante é que as características e propriedades das distribuições desses extremos aleatórios são determinadas pelas caudas extremas (inferior e superior) da distribuição dos dados. Restringir a atenção às caudas de uma distribuição apresenta a vantagem de termos diversos modelos estatístico adequados para as mesmas (Coles [2001]). Estes modelos fundamentados exclusivo em valores além dos limiares nos permitirão fazer inferências mais precisas sobre as caudas e parâmetros da distribuição dos dados extremos. De fato, a inferência estatística sobre acontecimentos raros pode ser deduzida a partir daquelas observações que são extremas sob determinado tipo de critério. A escolha do limiar será feita através do gráfico DIP (Dispersion Index Plot). A GPD explica a distribuição limite dos excessos além do um limiar suficientemente alto. A distribuição de Pareto generalizada foi desenvolvida por Pickands [1975], é baseada no seguinte teorema: Teorema 1: Se X for uma variável aleatória (v.a.) com função distribuição (f.d.) F, que pertence ao domínio de atração de uma distribuição GEV, então, quando, u, Fx u = PrX u + x X > u, possui distribuição GPD, possui a seguinte função de distribuição

5 1 1 + ξ Px ξ, σ, u =, se ξ # 0 (1) 1 exp & se ξ = 0. onde u > 0, σ > 0, x u ) 0, se ξ > 0, e 0 x u σ/ξ, se ξ + 0. O caso ξ = 0 é interpretado como sendo o limite quando ξ 0, é a distribuição exponencial de parâmetro 1/σ. Os parâmetros são ξ, σ e u e representam a forma, escala e limiar da distribuição. Modelagem dinâmica para a distribuição GPD A modelo dinâmico é usado para modelar os parâmetros da GPD, que mudam ao longo do tempo. No gráfico de séries temporais das três estações estudada, observa-se que a temperatura tem um aumento com o passar do tempo, como por exemplo na estação de Picos (Figura 1). Com isso, motivou-se realizar uma modelo linear dinâmico DLM para os parâmetros da GPD. Figura 1: Gráfico de séries temporais dos máximos mensais de temperatura Fonte: Dados INMET O modelo DLM, visto em West e Harrison [1997] (Citado por Nascimento [2009], capítulo 5), é usado para modelar os parâmetros da GPD, que muda ao longo do tempo pela seguinte estrutura Resultados e Discussão, -. - = / e 1 0 = (2) A análise dos dados de temperatura foi feito no software R, utilizando o pacote POT, pois a ideia é observar as temperaturas acima de um limiar. Coles [2001], sugere algumas alternativas como, agrupar dados e observar o máximo nestes grupos. Nas análises de dados de temperatura deste trabalho, foram analisados os máximos mensais. Inicialmente foram obtidos dados meteorológicos de temperatura no Piauí, onde os dados foram coletados diariamente, em três estações do estado, e posteriormente, para cada estação, foi agrupado em máximos mensais. O ajuste dos dados foi estimado utilizando a distribuição GPD. O limiar foi determinado utilizamos o gráfico DIP plot (ver figura 2), com isso, usamos um limiar, respectivamente, 38 para a estação Teresina, 36 para estação de Paranaíba e 39 para estação de Picos. O limiar é escolhido a partir do ponto que o gráfico entra na área hachurada.

6 Figura 2: Gráfico de determinação do limiar para os dados de temperatura. Fonte: Dados meteorologicos, INMET, 2012 Com isso, usando os limiares acima, para cada estação, obtivemos os seguintes estimadores para os parâmetros da GPD, quadro 1. Observou-se que as estimativas para o parâmetro 5 foi negativo nas três estações, concluindo que tem cauda leve para a estimação. Conclusão Quadro 1: Estimativa dos Parâmetros, forma(5) e escala(6), da GPD. Estação Estimativas Intervalo de confiança (95%) Teresina [-0.716;-0.360] [1.20;1.95] Parnaíba -0,3534 0,8988 [-1.013;-0.22] [0.701;1.614] Picos [-0.543; ] [0.555; 1.061] Após a análise inicial, onde foi utilizado a Distribuição Parete Generalizado para modelar os dados de temperatura máxima mensais depois de um limiar fixado, pode-se notar que nas cidade de Teresina e Picos as temperaturas máximas observadas tiverem comportamento bem similiares, enquanto que na cidade de Parnaíba as temperatura máximas mensais tiveram um comportamento crescente ao longo do tempo. Nas cidades de Teresina, Parnaíba e Picos, respectivamente, é esperado que ocorra temperaturas máximas mensais de 41ºC, 38ºC e 42ºC. Após modelar os dados pelo modelos dinâmicos, observamos que o método se mostrou eficiente com o comportamento dos parâmetros da cauda apresentando uma evolução ao longo do tempo. O modelo estima bem o limiar, e as estimações do parâmetros do modelo permite calcular de maneira eficiente medidas importante de temperturas máximas. Apoio: Universidade Federal do Piauí - UFPI Referências Coles, S An Introduction to Statistical Modelling of Extreme Values. Springer Series in Statistics. Springers Series in Statistics, London. Nascimento, F. F Abordagem Bayesiana não-paramétrica para análise de valores extremos Tese (Doutorado em estatística) Programa de Pós-Graduação em Estatística, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro. Parmesan, C., Root, T. L. e Willing, M. R Impacts of extreme weather and climate on terrestrial biota Bulletion of the American Meteorological Society, 81, Pickands, J. Statistical inference using extreme order statistics, Annals of Society, 81, , Palavras-chave: Temperatura, Distribuição GPD, Modelos dinâmicos