Universidade Federal de Lavras Departamento de Ciências Exatas

Transcrição

1 Universidade Federal de Lavras Departamento de Ciências Exatas Dependência via Cópulas Devanil Jaques de Souza Lucas Monteiro Chaves 27/11/2009

2 Variável aleatória bi-dimensional ( XY, ) ~ FXY, ( x, y) As marginais: FX ( x ) e FY ( y )

3 Variável aleatória bi-dimensional ( XY, ) ~ FXY, ( x, y) As marginais: FX ( x ) e FY ( y ) A estrutura de dependência entre X e Y

4 Variável aleatória bi-dimensional ( XY, ) ~ FXY, ( x, y) As marginais: FX ( x ) e FY ( y ) A estrutura de dependência entre X e Y O coeficiente de correlação de Pearson ρ XY, Cov X, Y = σ σ ρ ρ + + XY, = ax b, cy d ( μ )( μ ) E X X Y Y = X Y E X E Y ( μ ) ( μ ) 2 2 X Y

5 Problema: Capta dependência linear Y = ax + b ρ =± 1

6 Como modelar outras dependências: Tau de Kendall amostral Uma amostra bivariada de tamanho n: ( x, y ), ( x, y ),..., ( x, y ) c número de pares concordantes ( x x )( y y ) > 0 n n i j i j d número de pares discordantes ( x x )( y y ) < 0 O coeficiente Tau de Kendall amostral: c d t = c + d i j i j

7 Tau de Kendall populacinal ( X, Y ) e (, ) 1 1 F. X 2 Y 2 duas cópias independentes de uma população XY, Probabilidade de concordância do tipo 1 P ( X X )( Y Y ) c1 = P > ( ) ( ) = 2 F x, y f x, y dx dy, XY, XY, Probabilidade de discordância do tipo 1 P ( X X )( Y Y ) d1 = P < 0 = 1 P c Tau de Kendall populacional τ = Pc 1 P 1 d

8 Se X e Y têm distribuição conjunta normal bivariada então ` 2 τ = arcsinρ π

9 ( ) sgn ( ) A sgn X X Y Y = ( j i) ij j i j i sgn ( u) 2 T = n n 1 caso u > 0 = -1 caso u < 0 ( 1) n 1 n i= 1 j= i+ 1 A ij T é um estimador não viesado e consistente de τ.

10 O RHO de Spearman amostral Amostra (, ),(, ),...,(, ) x y x y x y de uma população bivariada ( X, Y ). Sejam (, ),(, ),...,(, ) n n p q p q p q os respectivos postos. n n n ( ) 2 i i. S = p q i= 1 O Rho de Spearman amostral 6 S R = 1 = n n 2 ( 1) n i= 1 n ( Pi P)( Qi Q) n ( Pi P) ( Qi Q) i= 1 i= 1 2 2

11 O RHO de Spearman populacional (, ) X i Y i, ( j, j ) X Y e (, ) população bivariada e contínua ( X, Y ). Probabilidade de concordância do tipo 2: c2 = P j i k i > 0 Probabilidade de discordância do tipo 2: P ( X X )( Y Y ) P ( X X )( Y Y ) d 2 X Y três cópias independentes de uma k = P j i k i < 0 RHO de Spearman populacional ( ) ρ = 3 P P = 6P 3= 3 6P S c d c k d

12 Relação entre o RHO de Spearman e o coeficiente de correlação produtomomento de Pearson X e Y com distribuição conjunta normal bivariada: 6 ρ ρ S = arcsin π 2

13 Variável aleatória bidimensional ( XY, ) ( xy, ) F F F, ( x, y) ( x) ( y) XY X Y ( F ( x), F ( y) ) F ( x, y) X Y X, Y Uma cópula

14 Sejam I 0,1 = ( uv, ) I 2 2 Cópula bi-dimensional: uma função C: I P1 - C( 0, v) = C( u,0) = 0, Cu (,1) = u e ( 1, ) I C v = v

15 C(u,v) u v P2 - Cbd ( ) Cad ( ) Cbc ( ) Cac ( ),,, +, 0 em que a< b c< d

16 Exemplos de Cópulas E1 - (, ) C u v = uv I

17 E2 - C ( u v) = { u+ v } 0, max 1,0

18 E3 - C ( u v) = { u v} 1, min,

19 Desigualdade de Fréchet-Hoeffding: Se C ( u v) = { u+ v } 0, max 1,0 e C ( u v) = { u v} então 1, min, (, ) (, ) (, ) C u v C u v C u v 0 1

20 Teorema de Sklar: Sejam X e Y variáveis aleatórias com distribuições marginais X ( ) = P[ ] G ( y) = P[ Y y] F x X x e distribuição conjunta ( ) [ ] H, x, y = P X x, Y y. XY Então, tomando-se u = F ( x) e v G ( y) X Y ( ) =, 1 1 (, ) = ( ), ( ) é uma cópula. C u v H F u G v XY, X Y Y

21 Além disso: para quaisquer FX ( x ) e GY ( y ) e qualquer cópula ( ) C( u, v, ) H ( x y) = C F ( x) G ( y) é uma conjunta XY X Y,,, admissível. se FX ( x ) e GY ( y ) são contínuas, para cada conjunta H ( x y ) admissível existe uma e somente uma cópula XY,, ( ) C( u, v ) tal que H ( x y) C F ( x) G ( y),, =,. XY X Y

22 Propriedade: Se f (.) e (.) estritamente crescentes então C C UV, = f U, g V g são funções

23 Cópulas e o TAU de Kendall = 4 F x, y f x, y dx dy 1 τ ( ) ( ) XY, XY, 2 (, ) C u v = 4 C( u, v) dudv 1 u v Cópulas e o RHO de Spearman ρ F ( x) F ( y) f ( x y) S = 12, X Y X, Y 2 (, ) C u v = 12 u v du dv 3 u v

24 Construção de Cópulas - Método da mistura (compound) Exemplo: γ x P X x γ = 1 e P X x E γ P X x γ = = 1 1+ x γ ~ Gama ( r, λ ) X 1 e X 2 independentes, a menos de um risco γ. F ( x, x ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ( λ ) r 1r 1r = F1 x1 + F2 x2 1 ( 1 F1 x1 ) + ( 1 F2( x2) ) 1 r r 1 r 1 r C( u, v ) u v ( u) ( v) = + +

25 Construção de Cópulas - Cópulas Arquimedianas φ : 0,1 0, função convexa estritamente decrescente 1 ( ( u ) + ( v )) = C ( u, v ) φ φ φ φ () t () t t φ ( ) t φ ( ) 1 1 φ 0 = 0 0 ( ) 1 φ (.) função geradora da cópula Cuv (, ) = φ φ( u) + φ( v)

26 11 Ajuste de Cópulas: τ C( u v) 00 2 (, ) C u v = 4, dudv 1 u v Os dados: X índice de estresse hídrico da região de Castro Paraná Y produtividade de soja no município de Castro Paraná Período de 1980/1981 a 2007/2008 X = ( 1.156, 1.147,..., ) Y = ( 2200, 2134,..., 3126) Corr ( X, Y ) = 0.47

27 As cópulas e a relação entre os parâmetros e o Tau de Kendall ( ) Família Expressão C u, v parâmetro Tau de Kendall 1 θ Clayton max θ θ u v 1,0 + θ 1 θ θ+2 1 θ θ ( ) θ 1 Gumbel exp ( lnu) + ( ln v) θ 1 1 θ 2 Normal NXY, N u, N u 1 1 arcsin π 2 Morgenstern uv 1 + θ( 1- u)( 1 v) 1 θ 1 θ ( U ( ) V ( )) ρ ( ρ) Clayton θ = Gumbel θ = τ = Normal ρ = Morgenstern NA

28 Qualidade do ajuste Método gráfico: comparar o scatter plot de uma amostra grande da cópula ajustada e os pontos ( R ( n + 1, ) S ( n + 1) ) (suporte da cópula empírica) i i

29 Clayton(1,024) samp.clayton[, 1] Gumbel-Hougaard(1,512) samp.gumbel[, 1] samp.clayton[, 2] samp.gumbel[, 2]

30 Clayton(1,024) samp.clayton[, 1] Normal(0,518) samp.normal[, 1] samp.clayton[, 2] samp.normal[, 2]

31 Gumbel-Hougaard(1,512) samp.gumbel[, 1] Normal(0,518) samp.normal[, 1] samp.gumbel[, 2] samp.normal[, 2]

32 Referências Anjos, U.U., Ferreira, F.H., Kolev, N.V., Mendes, B.V.M., Modelando dependências via Cópulas. ABE. 16º SINAPE. Joe, H., 1997, Multivariate Models and Dependence Concepts, Chapman&Hall-CRC Nelsen, R.B., Dependence Modeling with Archimedian Copulas. Proceedings of the First Brazilian Conference on Statistical Modeling in Insurance and Finance. IME-USP. Nelsen, R.B., Concordance and copulas: A survey. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, pp Nelsen, R.B. 1999, An Introduction to Copulas, Springer. Yan, J. 2007, Enjoy the joy of copulas: With a package copula. Journal of Statistical Software, Volume 21, Issue 4.

33 Genest, C., Rémillard, B. e Beaudoin, D. 2007, Goodness-of-fit for copulas: A review and a power study. Insurance:Mathematics and Economics 44, , Genest, C. e Favre, A.C., Everything You Always Wanted to Know about Copula Modeling but Were Afraid to Ask. Journal of Hydrological Engineering. Frees, E.W. e Valdez, E.A., 1998, Understanding Relationships Using Copulas. North American Actuarial Journal, volume 2, number 1.1