Cópula Gaussiana Aplicada a uma Nova Modelagem da Dependência em Risco Operacional

Transcrição

1 Cópula Gaussiana Aplicada a uma Nova Modelagem da Dependência em Risco Operacional Guaraci Requena 1 Débora Delbem 2 Carlos Diniz 3 Resumo O Acordo de Basileia II recomenda que os bancos reservem um capital para se assegurarem contra perdas operacionais inesperadas. Neste Acordo são recomendadas algumas abordagens que os bancos devem adotar. A Abordagem Avançada (AMA) permite que os bancos tenham a liberdade de propor suas próprias metodologias para a determinação deste capital. A metodologia usual do cálculo desse capital, em geral, feito hoje, considera que as variáveis perdas agregadas são perfeitamente correlacionadas, e isso não reflete a realidade, tornando assim o capital regulatório final, para o risco operacional, superestimado. Nesse trabalho, discutimos uma nova metodologia para esse cálculo, via cópula Gaussiana, que leva em consideração a dependência entre tais variáveis. Palavras-chave: Risco operacional, capital regulatório, dependência e cópula Gaussiana. 1 Introdução O estudo do Risco Operacional (RO) é recente nas instituições de todo o mundo. Em 2004, com o Acordo de Basileia II é que se formalizou a preocupação com o RO. O Comitê de Basileia tem como principal objetivo assegurar um nível adequado de capital regulatório (CR) para proteger e reforçar a segurança sistema financeiro internacional. A ideia de RO pode ser vista como a exposição à incerteza ao se realizar um trabalho. Formalmente, RO é o risco devido à a possibilidade de ocorrência de perdas resultantes de falha, deficiência ou inadequação de processos internos, pessoas e sistemas, ou de eventos externos. Alguns exemplos são: fraudes internas e externas; acidentes de trabalho; prática inadequada com clientes ou transações; falhas em sistemas; entre outros. 1 Departamento de Estatística UFSCar guaracirequena@gmail.com 2 Departamento de Estatística UFSCar 3 Departamento de Estatística UFSCar 1

2 Objetivo A metodologia estatística de cálculo do CR mais usual (a partir do LDA Modelo de Distribuição de Perdas) considera que as unidades de risco dentro de uma mesma instituição financeira tem correlação perfeitamente positiva, o que é muito conservador (conhecido como método do somatório). É discutida então, uma proposta de metodologia de cálculo, de tal forma que, são captadas as relações de dependência entre as unidades de risco, baseando-se na Teoria de Cópulas. As cópulas terão o papel de captar a dependência entre duas ou mais variáveis aleatórias (perdas operacionais) para construir uma distribuição estocástica conjunta e a partir disso discutir um CR mais realístico do que o método do somatório. Um estudo de simulação é feito para compararmos os resultados de ambas metodologias, a atual e a proposta. 2 Material e métodos Perdas Agregadas Operacionais As perdas agregadas operacionais são variáveis aleatórias do problema. As distribuições mais frequentes na literatura são Gama, Pareto, Weibull e Lognormal. As variáveis que são observáveis, no entanto, são N e S 1,S 2,...,S N que são respectivamente frequência: o número de vezes que um dado evento de perda ocorreu; e severidades: valores monetários das ocorrências. O LDA constrói a variável perda X em uma determinada unidade de risco, como X = N k=1 S k. No entanto, nesse trabalho trataremos o problema a partir de duas perdas (caso bivariado), com distribuições de probabilidades predefinidas. Cópula Gaussiana Em suma, cópulas são funções que juntam funções de distribuição marginais em uma conjunta. Sejam as variáveis aleatórias X e Y com funções de distribuição respectivamente F( ) e G( ). Então existe uma cópula C tal que H C (x,y) = C(F(x),G(y)). A garantia dessa existência se dá pelo teorema de Sklar. A definição formal de cópula e o teorema citado podem ser encontrados em Nelsen(2006). Cópula Gaussiana: É uma cópula elíptica bivariada definida por: C ρ (u,v) = Φ 1 (u) Φ 1 (v) 1 2π(1 ρ 2 exp ) 1/2 { x2 2ρxy + y 2 2(1 ρ 2 ) } dxdy, onde Φ 1 ( ) é a inversa da função de distribuição normal padrão e ρ é o coeficiente de correlação linear (que é o único parâmetro da cópula). A cópula Gaussiana tem como uma propriedade, a captação de estrutura de dependência simétrica. 2

3 Capital Regulatório O capital regulatório tem intenção cobrir a perda inesperada total (UL TOTAL ) devido aos riscos assumidos pelos bancos. A definição de perda inesperada marginal exige a definição usual de opvar. Opvar : Seja X a perda para uma unidade de risco, com função de distribuição dada por G( ). O Operational Value at Risk com horizonte de um ano e uma confiabilidade de 99.9% é uma medida para RO definida como opvarx = G 1 (0.999) = in f {x G(x) x}. Sendo X a perda de interesse com função de densidade g( ), os bancos classificam suas perdas como: Perdas esperadas,assumindo valores entre 0 e E(X); Perdas inesperadas, assumindo valores entre E(X) e opvarx; e Perdas catastróficas, assumindo valores acima de opvarx. O nosso interesse é em responder a questão: o que é perda inesperada total para a instituição financeira como um todo? O que é bem definida até aqui é a perda inesperada marginal de cada unidade de risco. No método do somatório, calcula-se o opvarx i da unidade de risco i, para i = 1,2,..., p, sendo p o número de unidades de risco e então faz-se UL TOTAL = p i=1 opvarx i. Está implícito nesse método que as unidades 1,2,..., p são perfeitamente correlacionadas. Metodologia proposta O método exposto acima (somatório) não modela a dependência entre as perdas. Para uma solução mais realista do problema, i.e., para responder o que é a UL TOTAL considerando a dependência entre as variáveis perdas no caso bivariado, devemos determinar a probabilidade das perdas inesperadas marginais ocorrerem conjuntamente. É plausível que o CR seja de tal modo que, se a probabilidade de ocorrência do evento ((X,Y ) [EX,opvarX] [EY, opvary ]) é grande, então o CR deve ser grande; e se essa probabilidade for pequena, então o CR deve ser pequeno. O que queremos dizer é que o CR deve ter uma relação direta com essa probabilidade. Pois é baseado na chance de sofrer essas perdas inesperadas (em cada unidade) conjuntamente, que a instituição financeira deve alocar o CR. Sabemos que essa probabilidade é a maior possível quando nós consideramos ρ = 1 (na cópula Gaussiana bivariada), isso acontece pois coincide com o limite superior de Fréchet (baseado no resultado: max(u+v 1,0) C(u,v) min(u,v), (u,v) I 2 ). Considere H ρ (x,y) a função de distribuição conjunta das perdas X e Y com funções de distribuição marginais F( ) e G( ), respectivamente, construída a partir da cópula Gaussiana com parâmetro ρ. Então a probabilidade de ocorrência das perdas inesperadas marginais conjuntamente, p, é: p = P((X,Y ) [EX,opvarX] [EY,opvarY ]] = H ρ (opvarx,opvary ) H ρ (EX,opvarY ) H ρ (opvarx,ey ) + H ρ (EX,EY ). Note que se ρ = 1, então essa probabilidade é nula pois os eventos (X [EX,opvarX]) 3

4 e (Y [EY,opvarY ]) não podem ocorrer ao mesmo tempo. Note também que a maior probabilidade possível é: pmax = min(0.999, 0.999) min(f(ex), 0.999) min(0.999, G(EY )) + min(f(ex),g(ey )). Então, obtemos as seguintes relações entre o CR e a probabilidade p: 1. se p = 0, então somente um dos eventos, (X [EX,opvarX]) ou (Y [EY,opvarY ]), pode ocorrer. Então é plausível que UL TOTAL = max(ulx,uly ), onde ULX e ULY são as perdas inesperadas marginais definidas anteriormente. 2. se p = pmax, então, sendo UL SUM = ULX +ULY (superestimada pelo método do somatório), devemos ter UL TOTAL = UL SUM. Acreditamos que a relação entre p e a UL TOTAL seja linear. Assim, o método discutido aqui propõe que a perda inesperada total seja determinada pela reta UL TOTAL = a p + b, onde a e b são determinados pelas relações (i) e (ii) acima. Então obtemos: ( ) ULSUM max(ulx,uly ) UL TOTAL = p + max(ulx,uly ). pmax 3 Resultados e discussões Para efeito de simulação, consideramos duas perdas X Weibull(1.5, 1.25) e Y Lognormal(0, 0.5) e construímos H ρ = C ρ (F(x),G(y)), onde C ρ é a cópula Gaussiana com parâmetro ρ. Variamos ρ de 1 a 1 para estudar o comportamento da UL TOTAL proposta. Nessa simulação, não usamos estimadores, e nem geramos dados, i.e., usamos as distribuições teóricas para obter o comportamento real da UL TOTAL proposta, sem erros provindos da estimação dos parâmetros devido a aleatoriedade. No método do somatório nós obtemos que o capital regulatório a ser alocado é UL SUM = Note que o CR aqui permanece constante e superestimado independentemente do valor de ρ. A UL TOTAL proposta, para esse exemplo, é: UL TOTAL = p A dependência entre X e Y é claramente captada através de p. O resultado dessa metodologia proposta pode ser vista na figura 1 Algumas comparações particulares podem ser vistas na tabela abaixo: 4 Conclusões A metodologia proposta nos mostra que quando se considera a "real" dependência entre as unidades de risco e a modelamos através de cópulas, o CR final (UL TOTAL ) é menor do que 4

5 Figura 1: Comportamento do CR final segundo as duas metodologias. Tabela 1: Algumas comparações entre as duas metodologias ρ CR (somatório) CR (usando cópula Gaussiana) o calculado pela metodologia usual (método do somatório). Os bancos, quando não utilizam modelos que captam a dependência entre as unidades de risco, i.e., quando eles são conservadores supondo correlação perfeita, alocam um capital além do que o necessário. No ponto de vista teórico, propomos uma metodologia que capta a dependência através da cópula Gaussiana (também podem ser utilizadas outras cópulas) e reflete essa dependência na probabilidade das perdas inesperadas marginais ocorrerem conjuntamente, a qual está linearmente ligado com o CR final a ser alocado. Na UL TOTAL proposta nesse trabalho a dependência está modelada na probabilidade p. Também é importante comentar que o método proposto coincide com o do somatório quado a correlação entre as variáveis é perfeita. Referências [1] CRUZ, M.G. Measuring and Hedging Operational Risk. Editora: John Wiley&Sons Ldt, [2] EMBRECHTS, P., LINDSKOG, F., MCNEIL, A. Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management. Department of Mathematics ETHZ. Zürich. September [3] FRACHOT, A., GEORGES, P., RONCALLI, T. Loss Distribution Approach for operational risk. Groupe de Recherche Opérationnelle, Crédit Lyonnais, France, [4] FRACHOT, A.,RONCALLI, T., SALOMON, E. The Correlation Problem in Operational Risk. Groupe de Recherche Opérationnelle. France. January [5] NELSEN, R. B. An Introduction to Copulas. Editora: Springer Science+Business Media Inc, [6] YAN, J. Journal of Statistical Software: Enjoy the Joy of Copulas: With a Package copula. October, 2007, Vol