MATEMÁ TICA - FUVEST 2014 E 2015

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1 MATEMÁ TICA - FUVEST 014 E (Fuvest 015) A grafite de um lápis tem quinze centímetros de comprimento e dois milímetros de espessura. Dentre os valores abaixo, o que mais se aproxima do número de átomos presentes nessa grafite é Nota: 1) Assuma que a grafite é um cilindro circular reto, feito de grafita pura. A espessura da grafite é o diâmetro da base do cilindro. ) Adote os valores aproximados de:,g / cm para a densidade da grafita; a) 5 10 b) 1 10 c) g / mol para a massa molar do carbono; 1 6,0 10 mol para a constante de Avogadro d) e) (Fuvest 015) Diz-se que dois pontos da superfície terrestre são antípodas quando o segmento de reta que os une passa pelo centro da Terra. Podem ser encontradas, em sites da internet, representações, como a reproduzida abaixo, em que as áreas escuras identificam os pontos da superfície terrestre que ficam, assim como os seus antípodas, sobre terra firme. Por exemplo, os pontos antípodas de parte do sul da América do Sul estão no leste da Ásia. Se um ponto tem latitude x graus norte e longitude y graus leste, então seu antípoda tem latitude e longitude, respectivamente, a) x graus sul e y graus oeste. b) x graus sul e (180 y) graus oeste. c) (90 x) graus sul e y graus oeste. d) (90 x) graus sul e (180 y) graus oeste. e) (90 x) graus sul e (90 y) graus oeste. Página 1 de 19

2 MATEMÁ TICA - FUVEST 014 E 015. (Fuvest 015) Dadas as sequências an n 4n 4, n n cn an1 an b, e definidas para valores inteiros positivos de n, considere as seguintes afirmações: bn1 d n, bn I. a n é uma progressão geométrica; II. b n é uma progressão geométrica; III. c n é uma progressão aritmética; IV. d n é uma progressão geométrica. São verdadeiras apenas a) I, II e III. b) I, II e IV. c) I e III. d) II e IV. e) III e IV. 4. (Fuvest 015) A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura abaixo. O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 0 m desde o instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 00 m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por P, a partir do instante do lançamento, é de 10 m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi lançado? a) 60 b) 90 c) 10 d) 150 e) 180 ax y 1 5. (Fuvest 015) No sistema linear y z 1, nas variáveis x, y e z, a e m são x z m constantes reais. É correto afirmar: a) No caso em que a 1, o sistema tem solução se, e somente se, m. b) O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m. c) No caso em que m, o sistema tem solução se, e somente se, a 1. d) O sistema só tem solução se a m 1. e) O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m. Página de 19

3 MATEMÁ TICA - FUVEST 014 E (Fuvest 015) De um baralho de 8 cartas, sete de cada naipe, Luís recebe cinco cartas: duas de ouros, uma de espadas, uma de copas e uma de paus. Ele mantém consigo as duas cartas de ouros e troca as demais por três cartas escolhidas ao acaso dentre as cartas que tinham ficado no baralho. A probabilidade de, ao final, Luís conseguir cinco cartas de ouros é: 1 a) 10 1 b) c) d) e) (Fuvest 015) O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE cm, AD 4cm e AB 5cm. A medida do segmento SA que faz com que o volume do sólido seja igual a 4 do volume da pirâmide SEFGH é a) cm b) 4 cm c) 6 cm d) 8 cm e) 10 cm 8. (Fuvest 015) A equação x x y my n, em que m e n são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y x 1 contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto (, 4). Os valores de m e n são, respectivamente, a) 4 e b) 4 e 5 c) 4 e d) e 4 e) e Página de 19

4 MATEMÁ TICA - FUVEST 014 E (Fuvest 015) No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a hipotenusa AC mede 1cm e o cateto BC mede 6cm. Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo MAC é igual a a) b) 7 7 c) 7 d) 7 e) (Fuvest 015) Sabe-se que existem números reais A e x 0, sendo A 0, tais que senx cos x A cos(x x 0) para todo x real. O valor de A é igual a a) b) c) 5 d) e) Página 4 de 19

5 MATEMÁ TICA - FUVEST 014 E (Fuvest 015) Examine o gráfico. Com base nos dados do gráfico, pode-se afirmar corretamente que a idade a) mediana das mães das crianças nascidas em 009 foi maior que 7 anos. b) mediana das mães das crianças nascidas em 009 foi menor que anos. c) mediana das mães das crianças nascidas em 1999 foi maior que 5 anos. d) média das mães das crianças nascidas em 004 foi maior que anos. e) média das mães das crianças nascidas em 1999 foi menor que 1 anos. 1. (Fuvest 015) Na cidade de São Paulo, as tarifas de transporte urbano podem ser pagas usando o bilhete único. A tarifa é de R$,00 para uma viagem simples (ônibus ou metrô/trem) e de R$ 4,65 para uma viagem de integração (ônibus e metrô/trem). Um usuário vai recarregar seu bilhete único, que está com um saldo de R$ 1,50. O menor valor de recarga para o qual seria possível zerar o saldo do bilhete após algumas utilizações é a) R$ 0,85 b) R$ 1,15 c) R$ 1,45 d) R$,50 e) R$,80 1. (Fuvest 014) O gamão é um jogo de tabuleiro muito antigo, para dois oponentes, que combina a sorte, em lances de dados, com estratégia, no movimento das peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil, o número total de casas que as peças de um jogador podem avançar, numa dada jogada, é determinado pelo resultado do lançamento de dois dados. Esse número é igual à soma dos valores obtidos nos dois dados, se esses valores forem diferentes entre si; e é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos dois dados forem iguais. Supondo que os dados não sejam viciados, a probabilidade de um jogador poder fazer suas peças andarem pelo menos oito casas em uma jogada é a) 1 b) 5 1 c) 17 6 d) 1 e) 19 6 Página 5 de 19

6 MATEMÁ TICA - FUVEST 014 E (Fuvest 014) Esta foto é do relógio solar localizado no campus do Butantã, da USP. A linha inclinada (tracejada na foto), cuja projeção ao chão pelos raios solares indica a hora, é paralela ao eixo de rotação da Terra. Sendo μ e ρ, respectivamente, a latitude e a longitude do local, medidas em graus, pode-se afirmar, corretamente, que a medida em graus do ângulo que essa linha faz com o plano horizontal é igual a Nota: Entende-se por plano horizontal, em um ponto da superfície terrestre, o plano perpendicular à reta que passa por esse ponto e pelo centro da Terra. a) ρ b) μ c) 90 ρ d) 90 μ e) 180 ρ 15. (Fuvest 014) Três das arestas de um cubo, com um vértice em comum, são também arestas de um tetraedro. A razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo é a) 1 8 b) 1 6 c) 9 d) 1 4 e) 1 Página 6 de 19

7 MATEMÁ TICA - FUVEST 014 E (Fuvest 014) Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A (0, 0), B (, 4) e C (8, 0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado AB e o vértice P sobre o lado BC. Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é 16 a) 4, 5 17 b), 4 1 c) 5, 5 11 d), 8 e) 6, 5 x (Fuvest 014) Sobre a equação (x ) log x x 1 0, é correto afirmar que a) ela não possui raízes reais. b) sua única raiz real é. c) duas de suas raízes reais são e. d) suas únicas raízes reais são, 0 e 1. e) ela possui cinco raízes reais distintas. 18. (Fuvest 014) O número real x, que satisfaz < x < 4, tem uma expansão decimal na qual os primeiros dígitos à direita da vírgula são iguais a. Os dígitos seguintes são iguais a e os restantes são iguais a zero. Considere as seguintes afirmações: I. x é irracional. 10 II. x III. x 10 é um inteiro par. Então, a) nenhuma das três afirmações é verdadeira. b) apenas as afirmações I e II são verdadeiras. c) apenas a afirmação I é verdadeira. d) apenas a afirmação II é verdadeira. e) apenas a afirmação III é verdadeira. 19. (Fuvest 014) Um apostador ganhou um prêmio de R$ ,00 na loteria e decidiu investir parte do valor em caderneta de poupança, que rende 6% ao ano, e o restante em um fundo de investimentos, que rende 7,5% ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a caderneta de poupança oferece algumas vantagens e ele precisa decidir como irá dividir o seu dinheiro entre as duas aplicações. Para garantir, após um ano, um rendimento total de pelo menos R$ 7.000,00, a parte da quantia a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo, a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Página 7 de 19

8 MATEMÁ TICA - FUVEST 014 E (Fuvest 014) Uma circunferência de raio cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto, igual a a) 4 cm b) 1 cm c) 1 cm d) 9 cm e) 7 cm 1. (Fuvest 014) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 5 metros. Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina. a) m b) m c).000 m d).00 m e).400 m. (Fuvest 014) O triângulo AOB é isósceles, com OA OB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a medida do ângulo AOB, ˆ pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se Dados os valores aproximados: tg 14 0,49, tg 15 0,679 tg 0 0,640, tg 8 0,517 a) 14 θ 8 b) 15 θ 60 c) 0 θ 90 d) 5 θ 10 e) 0 θ 150. (Fuvest 014) Cada uma das cinco listas dadas é a relação de notas obtidas por seis alunos de uma turma em uma certa prova. Assinale a única lista na qual a média das notas é maior do que a mediana. a) 5, 5, 7, 8, 9,10 b) 4, 5, 6, 7, 8, 8 c) 4, 5, 6, 7, 8, 9 d) 5, 5, 5, 7, 7, 9 e) 5, 5,10,10,10,10 Página 8 de 19

9 MATEMÁ TICA - FUVEST 014 E 015 Gabarito: Resposta da questão 1: [C] [Resposta do ponto de vista da disciplina de Química] Cálculo do volume da grafita: 1 diâmetro mm de espessura 10 m 10 cm 1 raio 1 mm de espessura 10 m altura 15 cm V cilindro (Área da base) (altura) Vcilindro π r h 1 V cilindro π (10 ) 15 Vcilindro 0,471 cm dgrafita, g / cm 1 cm, g 0,471 cm mgrafita mgrafita 1,06 g 1 g de grafita 1,06 g de grafita x 5,18 10 átomos de carbono 6,0 10 átomos de carbono x [Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática] Tem-se que o volume de grafite é dado por d 0, π h, ,47cm. Daí, sabendo que a densidade da grafita é m, 0,47 1,0 g., g cm, vem que a massa de grafite é igual a Portanto, sendo n o número de átomos de carbono presentes nessa grafite, temos 1 n 1,0 n Resposta da questão : [B] [Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática] O antípoda do ponto dado tem latitude x graus sul e longitude (180 y) graus oeste. [Resposta do ponto de vista da disciplina de Geografia] Como a latitude é definida pela distancia à Linha do Equador, o antípoda do ponto com latitude x graus norte será de x graus sul. Já a longitude é definida pela distancia ao Meridiano de Página 9 de 19

10 MATEMÁ TICA - FUVEST 014 E 015 Greenwich num intervalo entre 180 leste e 180 oeste e, portanto, se a longitude do ponto é de y graus leste, sua antípoda será 180 y a oeste. Resposta da questão : [E] [I] Falsa. Tem-se que a n1 (n ). Logo, como a razão a n1 (n ) 1 1 a n (n ) n não é constante, segue que a n não é uma progressão geométrica. [II] Falsa. De fato, a razão (n 1) b n 1 n n1 n n1 b n n não é constante. Daí, podemos concluir que b n não é uma progressão geométrica. [III] Verdadeira. A diferença entre quaisquer dois termos consecutivos da sequência c n é an1 a n (n 1) 4(n 1) 4 (n 4n 4) n n 1 4n 4 4 n 4n 4 n 5. Desse modo, c n é uma progressão aritmética de primeiro termo 7 e razão igual a. [IV] Verdadeira. De (II), temos 8 e razão igual a 4. n1 dn, que é uma progressão geométrica de primeiro termo Resposta da questão 4: [D] Adotando convenientemente um sistema de coordenadas cartesianas, considere a figura. Sejam A o ponto de lançamento do projétil e a função quadrática f : [ 0, 0], dada na forma canônica por f(x) a (x m) k, com a, m, k e a 0. É imediato que m 0 e Página 10 de 19

11 MATEMÁ TICA - FUVEST 014 E 015 k 00. Logo, sabendo que f(0) 0, vem 1 0 a 0 00 a. Portanto, temos x f(x) 00 e, desse modo, segue que o resultado pedido é ( 10) f( 10) m. Resposta da questão 5: [A] O determinante da matriz dos coeficientes é igual a a a Logo, se a 1 o sistema possui solução única. Por outro lado, se a 1, devemos tomar a matriz ampliada do sistema para continuar a discussão. Com efeito, escalonando a matriz ampliada, vem m m 1 L ' ( 1) L1 L m L '' ( 1) L ' L ' Portanto, o sistema possui solução única para a 1 e m ; possui infinitas soluções se a 1 e m ; e não possui solução se a 1 e m. Resposta da questão 6: [C] 5 5! Luís pode receber cartas de ouros de 10 maneiras e 5 cartas quaisquer de!!! modos. Portanto, segue que a probabilidade pedida é igual a.! 0! 1771 Resposta da questão 7: [E] Sabendo que ABCDEFGH é paralelepípedo reto, temos EF AB e EH AD. Portanto, segue que o resultado pedido é dado por Página 11 de 19

12 MATEMÁ TICA - FUVEST 014 E [SABCD] [ABCDHEFG] [SEFGH] SA AE (AE SA) SA 9 4 ( SA) SA 10 cm. Resposta da questão 8: [A] Completando os quadrados, vem m m x x y my n (x 1) y n 1. 4 Logo, como o centro m C 1, pertence à reta y x 1, segue que m ( 1) 1 m 4. Por conseguinte, sabendo que a reta intersecta a circunferência em (, 4), obtemos n x x y my ( ) ( ) 4 ( 4) 4. Resposta da questão 9: [B] Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, vem AC AB BC AB 1 6 AB 108 AB 6 cm. Do triângulo ABM encontramos BM tgbam tgbam. AB 6 6 É fácil ver que tgbac tgbam. Logo, obtemos Página 1 de 19

13 MATEMÁ TICA - FUVEST 014 E 015 tgmac tg(bac BAM) tgbam tgbam 1 tgbam tgbam tgbam 1 tg BAM Resposta da questão 10: [C] Tomando arbitrariamente x 0, obtemos sen0 cos 0 A cos(0 x 0) cos x 0. A π Por outro lado, fazendo x, vem π π π 1 sen cos A cos x0 sen x 0. A Por conseguinte, sabendo que A 0 e 1 1 A 5. A A Resposta da questão 11: [D] 0 0 encontramos sen x cos x 1, Para as crianças nascidas em 004, considere a tabela abaixo. Idades x i f i xi fi [15,19] 17 0,199,8 [0, 4] 0,07 6,75 [5, 9] 7 0,7 6,40 [0, 4] 0,148 4,74 [5, 9] 7 0,07,70 5 xii f,97 i1 Desse modo, podemos concluir que a idade média das mães das crianças nascidas em 004 foi maior do que,97 anos. Página 1 de 19

14 MATEMÁ TICA - FUVEST 014 E 015 Resposta da questão 1: [B] Sejam t, m e n, respectivamente, o total gasto, o número de viagens simples e o número de viagens de integração. Logo, devemos calcular o valor mínimo de t que satisfaça t m 4,65 n e t 1,5. Observando que 4,65 1,5, basta tomarmos n e um valor conveniente de m para obtermos o resultado desejado. Com efeito, vejamos: se n e m 0, temos t 4,65 1,95; se n e m, temos t 4,65 15,0; se n 1 e m, temos t 4,65 1 1,65; se n 0 e m 5, temos t 5 15,00. Portanto, segue que o menor valor de recarga para o qual seria possível zerar o saldo do bilhete após algumas utilizações é 1,65 1,5 R$ 1,15. Resposta da questão 1: [C] Existem resultados possíveis, e os casos favoráveis são (, ), (, 6), (, ), (, 5), (, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, ), (6, 4), (6, 5) e (6, 6). Portanto, a probabilidade pedida é Resposta da questão 14: [B] Considere a figura, em que O é o centro da Terra, BOC μ é a latitude do ponto C e CD é a linha inclinada do relógio solar. Página 14 de 19

15 MATEMÁ TICA - FUVEST 014 E 015 Como AOB ACO 90, segue-se que AOC 90 μ e, portanto, OAC μ. Agora, sabendo que CD OA, tem-se ACD μ, que é o resultado pedido. Resposta da questão 15: [B] Seja a medida da aresta do cubo. Logo, seu volume é igual a do tetraedro descrito é dado por Resposta da questão 16: [D] Considere a figura Por outro lado, o volume Portanto, a razão pedida é igual a 1. 6 A equação da reta AB é dada por yb 4 y x y x. xb Logo, tem-se y Q,y 4 e y M,0, 4 com 0 y 4. Além disso, a equação da reta BC é yb yc 4 0 y y C (x x C) y 0 (x 8) xb xc 8 4 y x. 5 5 Daí, 5y P, y 4 e 5y N, 0, 4 com 0 y 4. A área do retângulo MNPQ é dada por (MNPQ) MNPN 5y y (y 0) 4 4 y 8y [(y ) 4)] 8 (y ). Página 15 de 19

16 MATEMÁ TICA - FUVEST 014 E 015 Portanto, o retângulo MNPQ tem área máxima quando y, ou seja, quando Resposta da questão 17: [E] 11 P,. Como x 9 0 para todo x real, vem x 9 (x ) log x x 1 0 (x )log x x 1 0 x 0 ou x x 1 1 x ou x x 1 1 ou x x 1 1 x ou. (x 1 ou x ) ou (x 0 ou x 1) Portanto, a equação dada possui 5 raízes reais distintas. Resposta da questão 18: [E] [I] Falsa. Como x, 000, segue-se que x possui uma expressão decimal finita e, portanto, é um número racional. [II] Falsa. Tem-se que 10, 000 x [III] Verdadeira. De (I), sabemos que,. Logo, x 10, , Resposta da questão 19: [A] Seja x a parte do capital a ser investida na poupança. Logo, Página 16 de 19

17 MATEMÁ TICA - FUVEST 014 E 015 0,06 x ( x) 0, ,015 x x 0,015 x 00000, ou seja, a parte do capital a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo, R$ ,00. Resposta da questão 0: [C] Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre BC, e D é o ponto em que o lado AC tangencia a circunferência de centro em O. Como OH OD cm e AH 8cm, segue que AO 5cm. Logo, AD 4cm. Além disso, os triângulos AHC e ADO são semelhantes por AA e, assim, AD DO 4 AH HC 8 HC HC 6cm. Portanto, como H é o ponto médio de BC, segue-se que BC Resposta da questão 1: [A] 1cm. Seja a medida, em metros, dos lados dos hexágonos que constituem a piscina. Sabendo que a distância entre lados paralelos de um hexágono regular é igual ao dobro do apótema do hexágono, obtemos 5 5 tg0 m. Desse modo, a área da piscina é dada por ,8 m Página 17 de 19

18 MATEMÁ TICA - FUVEST 014 E 015 e, portanto, m é o valor que mais se aproxima da área da piscina. Resposta da questão : [E] Considere a figura, em que M é o ponto médio do lado AB. Do triângulo retângulo OMB, obtemos BM AB tgmob MO. MO θ tg Sem perda de generalidade, suponhamos que AB 1. Assim, AB MO 1 (AOB). θ 4 tg A área do quadrado ABCD é maior do que a área do triângulo AOB se 1 (ABCD) (AOB) 1 θ 4 tg θ 1 tg 0,5. 4 Logo, como tg15 0,679 0,5 e 0 θ 180, vem que 0 θ 180. Note que ]0,150 [ ]0,180 [. Resposta da questão : [D] Na alternativa [A] tem-se x1 7, 7,5 M d ; 6 1 na alternativa [B], x 6, 6,5 M d ; 6 Página 18 de 19

19 MATEMÁ TICA - FUVEST 014 E 015 na alternativa [C], x 6,5 M d. 6 na alternativa [D], x4 6, 6 M d ; 6 4 e na alternativa [E], x5 8, 10 M d. 6 5 Portanto, a única lista na qual a média das notas é maior do que a mediana é a que aparece na alternativa [D]. Página 19 de 19