Foi efectuado um estudo numérico do escoamento numa roda de uma turbina hidráulica axial, com 0,5 m de diâmetro.

Transcrição

1 Agradecimentos Agradeço ao Prof. Luís Gato, orientador desta dissertação, pela possibilidade que me ofereceu em realizar este trabalho, pela sua orientação que sempre me levou ao caminho que eu procurava e à sua abertura às minhas ideias. Ao Prof. Luís Ferro, do instituto politécnico de Setúbal, pela evolução que me proporcionou ao longo deste trabalho, pelos dados do seu projecto disponibilizados e pelas conversas esclarecedoras que me ofereceu. Agradeço ainda ao Prof. Luís Eça, por toda a sua informação fornecida e pela sua disponibilidade em expô-la e discuti-la. Ao Prof. José Conde, da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa, pelos seus esclarecimentos e conselhos. Aos Engenheiros João Baltazar, Miguel Lopes e Rui Gomes agradeço as suas boas energias fornecidas e incansável partilha de informação. Agradeço também ao Doutor João Henriques, do Instituto Nacional de Engenharia, Tecnologia e Inovação, pelo material disponibilizado e pela sempre disponibilidade em colaborar. Agradeço também à minha família e a todos, os que me apoiaram neste desafio. À minha menina quero ainda agradecer seu apoio e pedir-lhe desculpas pela minha ausência durante a execução deste trabalho. Agradeço ainda à Cristina Pureza pela preciosa revisão de texto. i

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3 Resumo Foi efectuado um estudo numérico do escoamento numa roda de uma turbina hidráulica axial, com,5 m de diâmetro. O escoamento bidimensional em torno das cascatas de pás foi modelado utilizando um método de painel. São apresentados resultados das distribuições de pressão, das características polares e da evolução do coeficiente de sustentação numa gama de ângulos de ataque próximos dos ângulos de projecto para escoamento invíscido e viscoso, incluindo o cálculo de camada limite de acordo com a teoria de interacção fraca viscosa-invíscida, para as cascatas de perfis da roda localizadas em diferentes raios. O escoamento tridimensional viscoso foi calculado utilizando o código FLUENT. Utilizaram-se os modelos de turbulência Spalart Allmaras, k-ε padrão e k-ω proposto por Wilcox. As malhas utilizadas são estruturadas e não estruturadas, com um máximo de aproximadamente 6 elementos, tendo sido analisada a independência da solução com o número de elementos da malha. As condições fronteira utilizadas são as de perfil de velocidade imposto na secção de entrada, condição de projecto de distribuição de quantidade de movimento angular conhecida (momento angular constante), e de condição de saída livre na secção de saída. Comparam-se as distribuições de pressão, de velocidade e de quantidade de movimento angular nas secções de entrada e saída e na superfície das pás, obtidas com os diferentes modelos e com as calculadas utilizando código o FLUENT para o escoamento tridimensional invíscido. As distribuições de pressão sobre a superfície da pá são ainda comparadas com as obtidas com o modelo de escoamento bidimensional invíscido (condição de projecto) e com as obtidas com o modelo bidimensional viscoso. Palavras Chave: Roda, Turbina Axial, FLUENT, Método dos Painéis iii

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5 Abstract The paper reports a numerical study of the flow through the rotor of a.5 m diameter axial hydraulic turbine. The two-dimensional flow around the blade cascades was modelled using a panel method. Results for the pressure distribution, lift and drag coefficients are presented, in a range of incidence angles close to the design incidence angle, assuming inviscid and viscous flows. The latter, includes the boundary layer calculation according to a weak viscous-inviscid interaction formulation. Results are presented for several rotor blade sections located at different radial positions. The three-dimensional viscous flow was computed using the FLUENT code. The Spalart-Allmaras, standard k-ε and k-ω (proposed by Wilcox) turbulence models were used. Non-structured and structured meshes were tested, limited to a maximum of about x 6 elements. The independence of the solution relative to the number of the mesh elements was analysed. Pressure, velocity and angular momentum distributions at the inlet and outlet sections and on the blade surface, obtained with the different turbulence models were compared with the ones computed using the FLUENT code for three-dimensional inviscid flow. The pressure distributions on the blade surface were also compared with the ones obtained by the twodimensional inviscid method (design condition) and the ones obtained by viscous bidimensional method. Keywords: Rotor, Axial Turbine, FLUENT, panel method v

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7 Índice Agradecimentos... i Resumo...iii Abstract... v Índice...vii Lista de Quadros...ix Lista de Figuras...xi Lista de Símbolos...xv - INTRODUÇÃO Objectivos e Estrutura da Tese.... Revisão Bibliográfica..... Método Bidimensional..... Método Tridimensional... PROBLEMA EM ESTUDO Método de Projecto Descrição da Geometria TÉCNICAS NUMÉRICAS DE ANÁLISE Método Bidimensional (Método dos Painéis) Método Tridimensional Equações de Reynolds (introdução da média) Conservação da Massa Balanço da Quantidade de Movimento Modelos de Turbulência Modelo Spalart-Allmaras Modelo k-ε Padrão Modelo k-ω Padrão Condições fronteira Superfície de Entrada Superfície de Saída Superfícies Periódicas Superfícies Sólidas Modelo Spalart-Allmaras Modelo k-ε Padrão Modelo k-ω RESULTADOS Método Bidimensional Método Tridimensional Geração de Malha Modelo k-ε Modelos k-ω e Spalart-Almaras Descrição das Simulações Condições de Fronteira Convergência Estimação do Erro Numérico e Convergência da Solução... 4 vii

8 Modelo k-ε Modelo k-ω Modelo Spalart-Allmaras Convergência do Processo Iterativo Modelo k-ε Modelo k-ω Modelo Spalart-Allmaras Verificação de Y Modelo k-ε Modelo k-ω e Spalart-Allmaras Resultados Obtidos Comparação entre o Método Bidimensional e o Tridimensional Simulações com o Esquema PRESTO PRESTO no modelo k-ω PRESTO no modelo Spalart-Allmaras CONCLUSÕES... 7 Referências Bibliográficas... 7 Anexos Anexo Geometria dos diferentes perfis de projecto Anexo Características de projecto Anexo 3 Índices de qualidade das malhas utilizadas Anexo 4 Gráficos da evolução do resíduo viii

9 Lista de Quadros Tabela.: características das cascatas de pás da roda 8 Tabela 4.: Resultados obtidos no método bidimensional para cada perfil...4 Tabela 4.: Características das malhas não estruturadas utilizadas Tabela 4.3: Características das malhas não estruturadas no anel da pá....3 Tabela 4.4: Número de elementos nas fronteiras das malhas não estruturadas..33 Tabela 4.5: Distribuição do ângulo de distorção dos elementos nas malhas não estruturadas.33 Tabela 4.6: Distribuições dos elementos nas direcções r, θ e z para as malhas hexaédricas estruturadas.34 Tabela 4.7: Número de elementos nas fronteiras das malhas não estruturadas.. 34 Tabela 4.8: Distribuição do ângulo de distorção dos elementos nas malhas estruturadas. 35 Tabela 4.9: Distribuições dos elementos nas direcções r, θ e z para as malhas hexaédricas estruturadas. 36 Tabela 4.: Características das malhas não estruturadas no anel da pá.. 36 Tabela 4.: Número de elementos nas fronteiras das malhas estruturadas Tabela 4.: Distribuição do ângulo de distorção dos elementos nas malhas estruturadas...37 Tabela 4.3: Incerteza numérica devida ao erro de discretização para as malhas estruturada e não estruturada mais refinadas, no modelo k-ε Tabela 4.4: Incerteza numérica devida ao erro de discretização para as malhas estruturada e não estruturada mais refinadas, no modelo Spalart-Allmaras. 45 Tabela 4.5: Factores de sub-relaxação utilizados no modelo k-ε com as malhas estruturadas.46 Tabela 4.6: Factores de sub-relaxação utilizados no modelo k-ε com as malhas não estruturadas.47 Tabela 4.7: Factores de sub-relaxação utilizados no modelo k-ω.48 Tabela 4.8: Factores de sub-relaxação utilizados no modelo Spalart-Allmaras..49 Tabela A: Características geométricas dos diferentes perfis em função do raio.75 Tabela A: Ângulos geométricos e cinemáticos (medidos em graus).75 Tabela A3: Valores utilizados no projecto dos perfis intermédios 76 Tabela A4: Parâmetros de qualidade das malhas para a malha não estruturada de 4838 elementos utilizada no modelo k-ε.76 Tabela A5: Parâmetros de qualidade das malhas para a malha não estruturada de 334 elementos utilizada no modelo k-ε. 76 Tabela A6: Parâmetros de qualidade das malhas para a malha não estruturada de elementos utilizada no modelo k-ε.76 Tabela A7: Parâmetros de qualidade das malhas para a malha não estruturada de elementos utilizada no modelo k-ε..77 Tabela A8: Parâmetros de qualidade das malhas para a malha estruturada de 968 elementos utilizada no modelo k-ε.77 ix

10 Tabela A9: Parâmetros de qualidade das malhas para a malha estruturada de 3958 elementos utilizada no modelo k-ε.77 Tabela A: Parâmetros de qualidade das malhas para a malha estruturada de 838 elementos utilizada no modelo k-ε.77 Tabela A: Parâmetros de qualidade das malhas para a malha estruturada de 556 elementos utilizada no modelo k-ε..78 Tabela A: Parâmetros de qualidade das malhas para a malha estruturada de 788 elementos utilizada no modelo k-ω e Spalart-Allmaras.78 Tabela A3: Parâmetros de qualidade das malhas para a malha estruturada de 9978 elementos utilizada no modelo k-ω e Spalart-Allmaras.78 Tabela A4: Parâmetros de qualidade das malhas para a malha estruturada de elementos utilizada no modelo k-ω e Spalart-Allmaras.78 Tabela A5: Parâmetros de qualidade das malhas para a malha estruturada de 334 elementos utilizada no modelo k-ω e Spalart-Allmaras...79 x

11 Lista de Figuras Figura.: Características geométricas dos perfis do rotor. (a) e/e max (b) f/f max (c) declive da linha média (m)....7 Figura.: Características aerodinâmicas dos perfis mãe (a) coeficiente de pressão mínimo em função do ângulo de ataque α, (b) localização do ponto de pressão mínima em função do ângulo de ataque α...7 Figura.3: Geometria pá: (a) perspectiva; (b) vista rebatida no plano meridiano; (c) cascata cilíndrica; (d) vista ZY; (e) vista XY; (f) vista ZX...8 Figura 4.: Evolução do coeficiente de resistência em função do coeficiente de sustentação nos perfis onde não ocorre separação 5 Figura 4.: Evolução do coeficiente de resistência em função do coeficiente de sustentação nos perfis onde não ocorre separação 7 Figura 4.3: Distribuição do coeficiente de pressão em cada um dos perfis para fluido perfeito e fluido real..8 Figura 4.4: Descrição da configuração da roda na topologia turbo.3 Figura 4.5: Domínio de cálculo utilizado em todas as simulações tridimensionais...3 Figura 4.6: Pormenor da malha não estruturada (a) em torno da pá, (b) próximo do cubo e da caixa e no restante domínio.. 3 Figura 4.7: (a) Anel em torno da pá, (b) subdivisões da malha não estruturada 3 Figura 4.8: Subdivisões da malha estruturada Figura 4.9: Vista geral da malha estruturada de 9 mil elementos...35 Figura 4.: Perspectiva geral da geometria utilizada no modelo k-ω padrão e Spalart-Almaras Figura 4.: Vista geral da malha estruturada de 3 mil elementos com camada limite fina.37 Figura 4.: Vista geral das três regiões cubo da roda com a pá 39 Figura 4.3: Variação de grandezas globais com o número de elementos da malha no modelo k-ε: (a) número de rotação à entrada; (b) número de rotação à saída; (c) ângulo da componente radial à entrada; (d) ângulo da componente radial à saída; (e) rendimento; (f) coeficiente de perda..4 Figura 4.4: Variação de grandezas globais com o número de elementos da malha no modelo k-ω: (a) número de rotação à entrada; (b) número de rotação à saída; (c) ângulo da componente radial à entrada; (d) ângulo da componente radial à saída; (e) rendimento; (f) coeficiente de perda. 44 Figura 4.5: Variação de grandezas globais com o número de elementos da malha no modelo Spalart-Allmaras: (a) número de rotação à entrada; (b) número de rotação à saída; (c) ângulo da componente radial à entrada; (d) ângulo da componente radial à saída; (e) rendimento; (f) coeficiente de perda.45 xi

12 Figura 4.6: Gráfico de evolução do resíduo para a malha estruturada de 556 elementos Figura 4.7: Gráfico de evolução do resíduo para a malha não estruturada de elementos 47 Figura 4.8: Gráfico de evolução do resíduo para a malha de elementos..49 Figura 4.9: Gráfico de evolução do resíduo para a malha de 334 elementos...5 Figura 4.: Valores de Y + obtidos na malha estruturada de 556 elementos para o modelo k-ε: (a) no invólucro exterior; (b) no cubo; (c) no lado de pressão da pá; (d) no lado de sucção da pá..5 Figura 4.: Valores de Y + obtidos na malha não estruturada de elementos para o modelo k-ε: (a) no invólucro exterior; (b) no cubo; (c) no lado de pressão da pá; (d) no lado de sucção da pá...5 Figura 4.: Valores de Y + obtidos na malha estruturada de elementos para o modelo k-ω: no invólucro exterior; (b) no cubo; (c) no lado de pressão da pá; (d) no lado de sucção da pá 53 Figura 4.3: Valores de Y + obtidos na malha estruturada de 334 elementos para o modelo Spalart-Allmaras: (a) no invólucro exterior; (b) no cubo; (c) no lado de pressão da pá; (d) no lado de sucção da pá...53 Figura 4.4: Médias axissimétricas da velocidade axial: na secção de entrada: (a) realce dos perfis, (b) vista geral, (c) pormenor junto do invólucro exterior; (d) na secção em z =.75 m..55 Figura 4.5: Médias axissimétricas da velocidade axial na secção de saída 55 Figura 4.6: Médias axissimétricas da velocidade radial: (a) entrada; (b) saída..56 Figura 4.7: Médias axissimétricas da velocidade tangencial: (a) entrada; (b) saída..56 Figura 4.8: Médias axissimétricas da velocidade tangencial relativa: (a) entrada; (b) saída 56 Figura 4.9: Médias axissimétricas do momento angular: (a) entrada; (b) saída.57 Figura. 4.3: Distribuições do coeficiente de pressão total, C, na secção de entrada para: (a) Modelo k-ε não estruturada; (b) Modelo k-ε estruturada; (c) Modelo k-ω; (d) Modelo Spalart-Almaras Figura 4.3: Distribuições do coeficiente de pressão total na saída: (a) Modelo k-ε não estruturada; (b) Modelo k-ε estruturada; (c) Modelo k-ω; (d) Modelo Spalart-Almaras Figura 4.3: Distribuições do momento angular na secção de entrada para: (a) Modelo k-ε não estruturada; (b) Modelo k-ε estruturada; (c) Modelo k-ω; (d) Modelo Spalart-Almaras...59 Figura 4.33: Distribuições do momento angular na secção saída para: (a) Modelo k-ε não estruturada; (b) Modelo k-ε estruturada; (c) Modelo k-ω; (d) Modelo Spalart-Almaras...6 xii

13 Figura 4.34: Distribuições do coeficiente de pressão no intradorso da pá para: (a) Modelo k-ε não estruturada; (b) Modelo k-ε estruturada; (c) Modelo k-ω; (d) Modelo Spalart-Almaras...6 Figura 4.35: Distribuições do coeficiente de pressão no extradorso da pá para: (a) Modelo k-ε não estruturada; (b) Modelo k-ε estruturada; (c) Modelo k-ω; (d) Modelo Spalart-Almaras... 6 Figura 4.36: Distribuição do coeficiente de pressão para os três modelos nos doze perfis utilizado.63 Figura 4.37: Distribuição do coeficiente de pressão para os três modelos nos doze perfis utilizado para o modelo Spalart-Allmaras e método bidimensional 65 Figura 4.38: Gráfico de evolução do resíduo da malha estruturada de 9978 elementos utilizada no modelo k-ω com o esquema de segunda ordem.67 Figura 4.39: Gráfico de evolução do resíduo da malha estruturada de 9978 elementos utilizada no modelo k-ω com o esquema PRESTO..67 Figura 4.4: Gráfico de evolução do resíduo da malha estruturada de 334 elementos utilizada no modelo Spalart-Allmaras com o esquema PRESTO...68 Figura 4.4: Distribuição do coeficiente de pressão os dois esquemas de pressão no modelo Spalart-Allmaras e método bidimensional.. 7 Figura A: Geometria dos diferentes perfis de projecto 74 Figura A: Gráfico de desenvolvimento residual da malha estruturada de 968 elementos utilizada no modelo k-ε...79 Figura A3: Gráfico de evolução do resíduo da malha estruturada de 3958 elementos utilizada no modelo k-ε...79 Figura A4: Gráfico de evolução do resíduo da malha estruturada de 838 elementos utilizada no modelo k-ε Figura A5: Gráfico de evolução do resíduo da malha estruturada de 556 elementos utilizada no modelo k-ε...8 Figura A6: Gráfico de evolução do resíduo da malha não estruturada de 4838 elementos utilizada no modelo k-ε...8 Figura A7: Gráfico de evolução do resíduo da malha não estruturada de 334 elementos utilizada no modelo k-ε...8 Figura A8: Gráfico de evolução do resíduo da malha não estruturada de elementos utilizada no modelo k-ε...8 Figura A9: Gráfico de evolução do resíduo da malha não estruturada de elementos utilizada no modelo k-ε...8 Figura A: Gráfico de evolução do resíduo da malha estruturada de 788 elementos utilizada no modelo k-ω.8 Figura A: Gráfico de evolução do resíduo da malha estruturada de 9978 elementos utilizada no modelo k-ω.8 xiii

14 Figura A: Gráfico de evolução do resíduo da malha estruturada de elementos utilizada no modelo k-ω.8 Figura A3: Gráfico de evolução do resíduo da malha estruturada de 334 elementos utilizada no modelo k-ω.83 Figura A4: Gráfico de evolução do resíduo da malha estruturada de 788 elementos utilizada no modelo Spalart-Allmaras..83 Figura A5: Gráfico de evolução do resíduo da malha estruturada de 9978 elementos utilizada no modelo Spalart-Allmaras..83 Figura A6: Gráfico de evolução do resíduo da malha estruturada de elementos utilizada no modelo Spalart-Allmaras..84 Figura A7: Gráfico de evolução do resíduo da malha estruturada de 334 elementos utilizada no modelo Spalart-Allmaras..84 xiv

15 Lista de Símbolos A c área corda C D coeficiente de resistência C L coeficiente de sustentação C P coeficiente de pressão C coeficiente de pressão total d D D H D in E e max f max distância à parede diâmetro exterior diâmetro hidráulico diâmetro interior energia interna, constante empírica espessura máxima flecha máxima f υ função de amortecimento G k G υ h H I k κ geração de energia cinética turbulenta produção de viscosidade turbulenta a dimensão típica da malha. altura de queda intensidade de turbulência momento angular, energia cinética turbulenta constante de Von Kárman k P energia cinética turbulenta no ponto P k S rugosidade l μ comprimento de mistura de μ l ε comprimento de mistura de ε n n elem n g P coordenada local paralela à parede número de elementos número de malhas pressão estática, passo, ordem de convergência observada P rel pressão total relativa p Q r R Re pressão estática de referência caudal mássico raio raio exterior número de Reynolds xv

16 S ~ s i medida escalar do tensor de deformação comprimento inicial S m distância do ponto médio do painel ao bordo de fuga s max S ij T t c t c tr i ta i u ~ i u i u i u τ U comprimento máximo taxa de deformação temperatura taxa de crescimento taxa de crescimento em duplo sentido taxa de crescimento segundo a direcção radial taxa de crescimento segundo a direcção axial valor médio da velocidade velocidade média flutuação da velocidade média velocidade de corte (fricção) velocidade exterior U P velocidade média no ponto P U ( φ) incerteza V a velocidade axial V r velocidade radial V ref velocidade de referência V θ velocidade tangencial v w velocidade de transpiração v r vector velocidade W θ velocidade tangencial relativa X sep Υ υ y localização da separação da camada limite turbulenta dissipação da viscosidade turbulenta distância à parede y P distância do ponto P à parede + y altura do primeiro elemento adjacente a uma parede sólida υ ρ μ μ t viscosidade cinemática massa específica viscosidade dinâmica viscosidade turbulenta Δ M erro estimado Γ número de rotação xvi

17 Γ k Γ ω β η difusão efectiva de k difusão efectiva de ω ângulo da componente radial rendimento ζ a coeficiente de perda α λ γ ângulo de ataque ângulo de calagem da cascata intensidade do vórtice γ constante a ser determinada pela condição de Kutta * δ φ espessura de deslocamento da camada limite solução numérica φ exact solução exacta φ ~ φ valor médio de uma quantidade escalar média de uma quantidade escalar φ flutuação da média de uma quantidade escalar φ i φ o ε ω τ Φ ~ υ Ω ij solução para uma dada malha estimativa da solução exacta para uma malha de dimensão infinitesimal taxa de dissipação de turbulência taxa de dissipação específica tensor das tensões função de dissipação variável transportada no modelo Spalart-allmaras vorticidade xvii

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19 - Introdução. - Objectivos e Estrutura da Tese Neste trabalho pretende-se validar, através de um estudo numérico para escoamento viscoso o método de projecto do rotor de uma turbina hidráulica do tipo tubular, proposto pelo Mestre Luís Morão Cabral Ferro, na sua dissertação para a obtenção do grau de doutor em Engenharia Mecânica, a ser submetida em 8 []. Para o estudo numérico utilizaram-se dois métodos: um bidimensional método dos painéis com camada limite em cascata []; e um tridimensional, com um grau de complexidade mais elevado quando comparado com o estudo bidimensional equações de Navier-Stokes escritas em função dos valores médios de Reynolds incluídas no código FLUENT (versão 6..6) [3], com malhas geradas utilizando o código GAMBIT. [4]. O estudo inicia-se com uma breve revisão bibliográfica sobre a evolução dos métodos de análise utilizados (tópico seguinte deste capitulo introdutório). Seguidamente, no capítulo, é descrito, genericamente, o método de projecto utilizado no dimensionamento da roda, assim como a geometria utilizada. No terceiro capítulo descrevem-se as técnicas numéricas de análise utilizadas neste estudo; o método dos painéis (-D) e as Equações de Navier-Stokes escritas em função dos valores médios de Reynolds incluídas no código FLUENT, com os respectivos modelos de turbulência e condições de fronteira. As simulações efectuadas pelos dois métodos de estudo são descritas no capítulo 4, seguidas da apresentação dos resultados obtidos e sua comparação. Também nesse capítulo, comparam-se os valores do método de projecto e os valores de um estudo invíscido tridimensional, efectuado com o mesmo código [5], com os resultados das simulações descritas. Por fim, as conclusões são discutidas e apresentadas no capítulo 5.. Revisão Bibliográfica Nesta secção refere-se, brevemente, a evolução dos métodos de análise utilizados na validação do método de projecto da roda da turbina em estudo.

20 .. Método Bidimensional Os primeiros modelos numéricos do escoamento em torno de perfis alares são baseados na técnica de transformação conforme [6]. A técnica de transformação conforme, da qual a mais conhecida neste contexto é a transformação de Jowkowski, procura uma transformação do escoamento no domínio de um cilindro circular, com circulação, para o escoamento no domínio de um perfil alar [7], neste caso o perfil de Jowkowski. De forma a se obter solução para qualquer tipo de perfil real, a transformação conforme é desenvolvida analiticamente e aplicada no método de Theodorsen [8]. Este método utiliza a transformação de Jowkowski e em seguida, através de uma série de transformações de influência localizada, obtém a geometria do perfil pretendido. Com base no teorema de Green podem ser conseguidas distribuições de singularidades ao longo da fronteira do corpo em vez de no seu interior, permitindo contornar o inconveniente referido atrás. O método das equações integrais de fronteira, recorrendo às distribuições de singularidades em torno do perfil discretizado, ficou conhecido como o método do painel, inicialmente desenvolvido e explorado em computador por John Hess [8,9]. Eça & Falcão de Campos [] apresentam uma abordagem que permite introduzir os efeitos de camada limite. A solução do escoamento potencial é baseada na solução da equação de Laplace usando distribuições superficiais de fontes. A intensidade dos vórtices varia, com a distância ao bordo de fuga, ao longo da linha média. A solução invíscida é acoplada com um cálculo de camada limite de acordo com a teoria de interacção fraca viscosa-invíscida... Método Tridimensional O método das diferenças finitas é o método mais antigo para a solução numérica de equações diferenciais e acredita-se que foi introduzido por Euler no século XVIII. O seu ponto de partida é a equação da conservação na forma diferencial, que é aproximada em cada ponto da malha por diferenças finitas []. O método dos volumes finitos usa as equações da conservação na forma integral como ponto de partida. O domínio de solução é subdividido num número finito de volumes de controlo, sendo as equações de conservação aplicadas em cada um deles []. A aplicação do método dos volumes finitos na resolução das equações de Navier-Stokes em valor médio, em geometrias complexas, tornou-se possível com o aumento de memória e da velocidade de processamento dos computadores. Os progressos ocorridos ao nível da eficiência e precisão dos algoritmos permitem que estas técnicas sejam também utilizadas no projecto de turbomáquinas [].

21 Os trabalhos desenvolvidos por Spalart & Allmaras [], entre outros, na modelação da turbulência foram decisivos para desenvolver algoritmos capazes de analisar o escoamento nas pás de turbomáquinas em condições reais. O cálculo do escoamento turbulento tridimensional em zonas de escoamento complexo, utilizando modelos de turbulência, é ainda hoje um assunto em pleno desenvolvimento [3]. 3

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23 Problema em Estudo. - Método de Projecto O presente estudo refere-se ao projecto da turbina hidráulica apresentada em [] que seguidamente se descreve de forma sumária. As pás da roda da turbina estão contidas entre duas superfícies aproximadamente cilíndricas de eixo comum, coincidente com o eixo de rotação da turbina. A superfície exterior, correspondente ao invólucro exterior do rotor, tem diâmetro D e a interior, correspondente ao cubo, tem diâmetro D in, excepto na região da pá, em que estas superfícies tomam a forma de uma calote esférica, de forma a poder regular o ângulo das pás e permitir a sua rotação em torno do seu eixo. A forma das superfícies de corrente a montante da pá pouco se deverá afastar de superfícies cilíndricas de revolução coaxiais com o eixo de rotação. Se se admitir que a montante e a jusante das pás a velocidade axial não varia com o raio e que o momento angular rv θ é constante, segundo a coordenada radial, então a componente radial será nula e o escoamento pode ser considerado como potencial ao longo das pás. O escoamento real no rotor pode assim ser substituído por um conjunto de escoamentos planos em cascata de pás, correspondente às várias superfícies de corrente, e pode ser resolvido, entre outros, pelo método de painel. Nos cálculos efectuados para o método de projecto foi utilizado um método de painel de ª ordem, baseado no descrito em [4]. A definição da forma dos perfis de velocidade exige a especificação dos triângulos de velocidade a montante e a jusante da roda. A solução do escoamento meridiano, obtida pelo método da curvatura das linhas de corrente [5], conduziu a resultados que não são compatíveis com a aproximação de escoamento plano numa cascata cilíndrica, com variações da componente axial na direcção do eixo. Para o método de projecto foi considerada a velocidade axial como a média das velocidades nas secções de entrada e de saída da roda e o raio da superfície cilíndrica como a média dos raios das linhas de corrente do escoamento meridiano nas secções de entrada e saída da roda. A componente tangencial da velocidade na secção de entrada da roda é dada por V θ = K/r, onde K é o momento angular na secção de entrada, constante ao longo do raio. Na secção de saída foi assumido que a componente tangencial da velocidade e, consequentemente, o momento angular são nulos (rv θ = ). O tipo de perfil foi escolhido de forma que as suas características geométricas assegurem que a carga sobre a pá é o mais uniforme possível e a reduzir a possibilidade de cavitação, evitando gradientes acentuados nas distribuições de pressão sobre o contorno do perfil. Todos os perfis escolhidos pertencem à mesma família, NACA 66 modificado tal como descrito por Brockett [6], de forma a se obter uma menor torção da pá e uma superfície mais regular. Estes perfis tem boas características aerodinâmicas (baixos valores de C D /C L ) e boas 5

24 características relativamente à cavitação, com distribuições de carga quase constante ao longo do perfil na figura. estão representadas as características geométricas desta série de perfis. Por razões construtivas, as distribuições de espessura foram modificadas, relativamente às distribuições padrão para uma espessura finita na região do bordo de fuga. A definição da geometria da pá exige a especificação de quatro grandezas: a razão corda/passo (c/p), a razão flecha máxima/corda (f max /c), a razão espessura máxima sobre a corda (e max /c) e o ângulo de calagem da cascata, λ. Os valores da flecha máxima f max do perfil e do ângulo de calagem foram escolhidos de modo a que o valor mínimo de pressão sobre a pá ocorria na região do extradorso bem distante do bordo de ataque e a garantir o valor de circulação de projecto.. - Descrição da Geometria O método de projecto acima descrito foi aplicado no projecto da roda de uma turbina hidráulica axial do tipo tubular, com um diâmetro exterior D =,5 m, para aplicação numa central hidroeléctrica de pequenas dimensões. A relação de diâmetros do rotor é dada por D in /D =,48. Para o dimensionamento foi imposto um caudal nominal Q = 3,36 m 3 /s, uma altura de queda H=75,6 m e uma velocidade de rotação de 5 r.p.m. O fluido utilizado foi ar à temperatura e pressão ambiente. A utilização, como fluido de trabalho, do ar em vez de água permitiu que os ensaios experimentais realizados em [] se efectuassem em circuito aberto. Além disso e em igualdade de dimensões do modelo as potências postas em jogo são muito menores, mesmos tendo em conta que a velocidade de rotação nos ensaios em ar pode ser substancialmente maior do que em água. Nas simulações numéricas efectuadas neste trabalho utilizou-se também ar como fluído. Deste modo, abdicou-se da possibilidade de obter quaisquer resultados significativos sobre o comportamento da turbina no que respeita à cavitação, limitando-os aos valores do coeficiente de pressão mínimo. Um outro ponto importante a ter em conta relaciona-se com o facto de a viscosidade cinemática do ar ser inferior à da água. No caso em questão, a velocidade de rotação prevista para os ensaios em ar é de 5 r.p.m., ou seja, cerca de três vezes o valor da velocidade de rotação da turbina, de igual dimensão, funcionando em água. Este factor de três compensa parcialmente a maior viscosidade cinemática do ar. O valor do número de Reynolds do escoamento, utilizando ar, para esta turbomáquina é da ordem de 4,36 x 6 enquanto, para a utilização de água, é da ordem de,954 x 7. As curvas típicas dos factores de rendimento e altura, f η e f H, respectivamente, em função do número de Reynolds, permanecem constantes para estes valores de Reynolds e, portanto, asseguram a independência de Reynolds entre os dois fluidos. 6

25 e/e max f/f max m x/c x/c x/c (a) (b) (c) Fig..: Características geométricas dos perfis do rotor. (a) e/e max (b) f/f max (c) declive da linha média (m). Foi considerada, ao longo do raio, uma distribuição linear da espessura absoluta máxima de cada perfil. Próximo do cubo (r/r =,58), foi fixada uma espessura relativa do perfil de % e para o perfil próximo da extremidade da pá (r/r =,96) de 3% [7]. Os valores da razão corda/passo foram determinados a partir dos valores dos coeficientes de sustentação C L máximos [7] para o perfil próximo do cubo (C L =, em r/r=,47) e da extremidade da pá (C L =,4 em r/r=,96) recorrendo à equação () [8], tendo-se obtido uma relação c/p =,5 e c/p =,84 respectivamente. C L p ΔV = c W θ. () De modo a que o perfil produzisse a deflexão especificada, o ângulo de calagem, λ, e a flecha máxima foram escolhidos com o ângulo de ataque, α, centrado no bucket de cavitação do perfil. A bossa laminar e a localização do ponto de pressão mínima, em função do ângulo de ataque α, para os dois perfis, estão representados na figura.. α Projecto r/r=,96 Projecto r/r=,58 x/c (%) r/r=,58 r/r=, r/r =,58 r/r =, C p (mínimo) - - α Fig..: Características aerodinâmicas dos perfis mãe :(a) coeficiente de pressão mínimo em função do ângulo de ataque α, (b) localização do ponto de pressão mínima em função do ângulo de ataque α. A geometria final da pá foi obtida posicionando os perfis mãe de modo que seus centros da gravidade fossem coincidentes com o mesmo eixo e de direcção radial. Posteriormente foram definidos mais dez perfis para raios compreendidos entre os perfis mãe e com centros de gravidade localizados no mesmo eixo. A respectiva corda foi determinada de 7

26 modo a obter bordos de ataque e de fuga quase rectilíneos. A flecha máxima é calculada, de modo semelhante aos perfis mãe utilizando os respectivos bucket de cavitação. Na tabela. resumem-se as características de todos os perfis utilizados na definição da geometria da pá da roda (as medidas dimensionais estão em milímetros) [5]. Na figura.3 mostram-se as três vistas da pá e um rebatimento circular num plano meridiano. O rendimento e potência óptimos previstos de projecto são, respectivamente, 88% e,75 kw. R r/r c p c/p λ(º) α(º) c circun. e e/c f max f max /c 7,,48 3, 68,,37 34,7-3,75 6,8 3,8 4,3 3,,3 8,,47 8, 85,4,3 4,4-3,59 5,8 3, 3, 9,4 8,5 9,5,58 33,9 3,4,5 47,4 -,87 7, 8,, 5,9 6,8 48,5,594 45, 33,3,5 54, -,3 98, 4,9,,8 5, 65,,66 56, 59,,988 58,6 -,6 8,6, 8,6,8 4, 8,5,7 67,4 83,5,94 6,8 -,3 35,7 9,6 7,3 9,4 3,5 94,5,778 78, 35,5,9 64, -,85 5, 7, 6, 8,6 3, 6,5,86 87,9 34,4,887 65,7 -,63 6,4 5, 5,3 8,,8 9,,876 98,4 344,,867 67, -,44 74,8 3, 4,4 7,6,55 3,,9 38, 36,3,85 68, -,9 85,8,3 3,7 7,,35 4,5,96 37,3 377,8,84 69, -,9 96,3 9,5 3, 7,, 5,, 36, 39,8,83 69,7 -,7 35,8 7,9,4 6,7,5 Tabela.: características das cascatas de pás da roda. (a) (b) (c) (d) (e) (f) Fig..3 Geometria pá: (a) perspectiva; (b) vista rebatida no plano meridiano; (c) cascata cilíndrica; (d) vista ZY; (e) vista XY; (f) vista ZX. 8

27 3 Técnicas numéricas de análise 3. - Método Bidimensional (Método dos Painéis) A utilização de métodos de cálculo numérico na análise de geometrias complexas permite avaliar os métodos de projecto utilizados, geralmente mais simples, bem como estimar os erros cometidos pelas simplificações utilizadas. No estudo bidimensional efectuado foi utilizado o método dos painéis acoplado com um cálculo de camada limite de acordo com a teoria de interacção fraca viscosa-invíscida. A solução do escoamento invíscido é baseado na solução da equação de Laplace usando distribuições superficiais de fontes. O perfil é discretizado por painéis planos com distribuições superficiais constantes de fontes em cada painel distribuições de singularidades [9]. A intensidade da distribuição de fontes é determinada pela condição fronteira aplicada no ponto médio de cada painel. A componente da velocidade normal no painel é igualada a zero para o escoamento puramente potencial, num primeiro cálculo, mas considerando o efeito de camada limite, estas são iguais à velocidade de transpiração []. Para se satisfazer a condição de Kutta, segundo a qual a velocidade no bordo de fuga tem de ser finita, é sobreposto um escoamento circulatório, introduzindo uma distribuição de vórtices ao longo da linha média. A intensidade dos vórtices varia, com a distância ao bordo de fuga, ao longo da linha média, e é dada por:,4 s m γ = γ, (3.) onde, γ é a intensidade do vórtice, γ é uma constante a ser determinada pela condição de Kutta e S m é a distância do ponto médio do painel ao bordo de fuga []. A camada limite laminar é calculada pelo método integral de Thwaites. A região do ponto de estagnação é calculada pela solução exacta de Hiemenz para um escoamento de ponto de estagnação plano []. Quando se prevê separação da camada limite laminar, é assumido que a transição ocorre no ponto de separação. A transição da camada limite é condensada num ponto e é calculada por uma expressão empírica que pode ser consultada em []. Para a solução da região de escoamento viscoso é desprezada a influência da esteira e, portanto, apenas é incluída a região laminar e a camada limite turbulenta []. A compatibilização da solução invíscida com a viscosa é obtida por cálculo iterativo através da teoria da interacção fraca. O cálculo de escoamento potencial determina a velocidade exterior imposta na camada limite. As condições de fronteira do escoamento potencial são obtidas pelo cálculo da camada limite. As condições de fronteira do escoamento potencial são aplicadas aos pontos médios dos painéis do perfil. A velocidade normal em cada 9

28 um desses pontos é dada pela velocidade de transpiração, que depende da espessura de deslocamento, * δ, da camada limite: * ( ) d v w = U δ, (3.) dx onde, U é a velocidade exterior []. O ciclo continua até ser obtida a convergência especificada Método Tridimensional Os códigos de mecânica dos fluidos computacional têm vindo a tornar-se num componente essencial no projecto de alguns produtos e processos industriais. Actualmente, estes, podem ser extremamente poderosos, mas a sua utilização ainda requer ao utilizador um alto nível de experiência e conhecimento para se poder obter resultados significativos em situações complexas, dada a complexidade subjacente à descrição dos escoamentos de fluidos. Neste estudo, a solução do escoamento foi obtida através do código FLUENT 6. [3], que utiliza uma discretização numérica chamada método dos volumes finitos. Os códigos de CFD contêm algoritmos numéricos que resolvem um conjunto de equações, que no caso do FLUENT, para este estudo, são as equações de Navier-Stokes em valor médio (média temporal de Reynolds). As variáveis são definidas no centro de cada volume de controlo. A turbulência é modelada por modelos de viscosidade turbulenta: o modelo de turbulência k-ε padrão [] (i.e. para altos números de Reynolds), o k-ω proposto por Wilcox [] e o modelo Spalart Allmaras []. Para se tomar as melhores decisões, ao se utilizar um código de CFD, é necessário alguma experiência e sensibilidade de forma reduzir a complexidade mantendo as características do problema. Uma boa compreensão da solução do algoritmo numérico é também crucial [3]. De forma a manter a mesma nomenclatura e coerência de apresentação com o código, as secções seguintes usam como principal referência o manual do FLUENT [3].

29 3.. Equações de Reynolds (introdução da média) Nos valores médios de Reynolds, as variáveis instantâneas do escoamento são decompostas num valor médio mais uma componente de flutuação. Assim, a título de exemplo, as componentes da velocidade, ficam: + = i i i u u u ~, (3.3) onde, i u e i u são as componentes da velocidade média e a respectiva flutuação (i =,,3). Assim, como para a pressão e outras quantidades escalares: φ φ φ + = ~. (3.4) As equações (3.3) e (3.4) definem as médias de Reynolds ( Reynolds - averaged ) e usa-se, daqui em diante, i i u u =. Substituindo-as nas equações instantâneas e aplicando a média temporal às equações da continuidade e do momento (equações de Navier-Stokes), obtém-se, para escoamento em regime permanente: ( ) = i i u x ρ, (3.5) ( ) ( ) ( ) j i j l l ij i j j i j i j i j i u u x x u x u x u x x p u u x u t = + ρ δ μ ρ ρ 3. (3.6) Considerando o escoamento incompressível, as equações anteriores ficam: = i i x u, (3.7) ( ) ( ) j i j i j j i j i j j i i u u x x u x u x x p x u u t u = + ρ μ ρ ρ. (3.8) As equações (3.7) e (3.8) são chamadas as equações Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS) e têm a mesma forma geral das equações instantâneas de Navier-Stokes, mas com as variáveis representadas em valor médio. A consequência desta aproximação é o aparecimento de novos termos representando os efeitos de turbulência. Estas tensões de Reynolds, j i u u ρ, podem ser representadas por um aumento de viscosidade, de forma a fechar a equação (3.8). Boussinesq propôs a seguinte aproximação [7]: ij i i t i j j i t j i x u k x u x u u u δ μ ρ μ ρ + + = 3. (3.9) Para o caso de escoamento incompressível, fica: k x u x u u u ij i j j i t j i ρδ μ ρ 3 + =, (3.) onde, t μ é a viscosidade turbulenta e k a energia cinética turbulenta. Esta aproximação é utilizada para os modelos Spalart-Allmaras, k-ε e k-ω, usados no estudo tridimensional. No

30 caso do modelo Spalart-Allmaras, apenas uma equação de transporte adicional é resolvida, enquanto nos modelos k-ε e k-ω são resolvidas duas equações de transporte adicionais para a energia cinética turbulenta, k, e para a taxa de dissipação de turbulência, ε, ou a taxa de dissipação específica, ω e μ t é calculado como função de k e ε. As equações da conservação (3.7 e 3.8) atrás referidas são explicadas mais detalhadamente nas duas subsecções seguintes Conservação da Massa A lei da conservação para uma propriedade traduz a taxa de variação para uma quantidade dessa propriedade, que para a massa, não é criada nem destruída, pode ser escrita como: ρ r + t onde, v r é o vector velocidade e ρ a massa específica. ( ρv ) = Para escoamento incompressível, a equação de estado, fica: (3.) ρ = const. (3.) E a equação da continuidade toma a forma: r u u x y u z. v = + + x y z =. (3.3) 3... Balanço da Quantidade de Movimento Considerando o fluido newtoniano, a equação do balanço de quantidade de movimento, para um sistema de coordenadas inercial, pode ser escrita da seguinte forma: t r rr ( ρv ) + ( ρvv ) = p + τ, (3.4) onde, p é a pressão estática, a que se subtraiu a componente hidrostática, e τ é o tensor das tensões. O tensor das tensões é dado por: r r = ( v + v T r τ μ ) vi, (3.5) 3 onde, μ é a viscosidade dinâmica, I é o tensor unitário, e pela equação (3.3), toma a forma: r r [( v + v )] T τ = μ. (3.6) Substituindo esta equação na equação da conservação do momento linear, depois de alguma manipulação matemática, obtém-se, para escoamento incompressível: r v r r r ρ + ρv v = p + μ v. (3.7) t

31 Esta equação corresponde à lei da conservação do momento linear e deve ser satisfeita em todos e cada um dos pontos do escoamento. A força de inércia é, obviamente, uma quantidade vectorial, que no caso do código FLUENT, dá origens a três equações correspondentes às três componentes cartesianas. O escoamento que se pretende estudar é turbulento. Para fechar o sistema de equações com os novos termos representando os efeitos de turbulência (as tensões de Reynolds), o FLUENT inclui vários modelos de turbulência alternativos. Para este estudo, foram utilizados os modelos Spalart-Allmaras, k-ε standard e k-ω proposto por Wilcox. 3.. Modelos de Turbulência Os escoamentos turbulentos são caracterizados por flutuações nos campos de velocidades. Dado que estas flutuações podem ser de escalas e de frequências muito distintas, são demasiado exigentes, computacionalmente, para serem simuladas directamente Modelo Spalart-Allmaras A variável transportada no modelo Spalart-Allmaras, ~ υ, é idêntica à viscosidade turbulenta cinemática excepto na região próxima das paredes sólidas afectadas pelos efeitos viscosos da sub-camada laminar. A equação de transporte para ~ υ, é: onde, t x σ ~ υ x ~ υ x j ~ υ x j ( ρ ~ ν ) + ( ρυ~ u ) = Gυ + ( μ + ρυ~ ) + C ρ Υυ i i G υ é a produção de viscosidade turbulenta e j b (3.8) Υ υ é a dissipação da viscosidade turbulenta que ocorre na vizinhança das paredes sólidas. Os valores de σ v ~ e C b são constantes e υ é a viscosidade cinemática molecular. A viscosidade turbulenta é calculada por: μ ρυ~ t = f υ, (3.9) onde, a função de amortecimento é dada por: e f υ 3 3 Cυ χ =, (3.) 3 χ + ~ υ χ. (3.) υ O termo da produção de viscosidade turbulenta, G υ, é modelado por: ~ G = C ρ ~ υ, (3.) υ b S 3

32 onde com, κ, a constante de Von Kárman e, ~ ~ υ S S + f υ, (3.3) κ d f υ χ =. (3.4) + χf υ O valor de C b é constante, d é a distância à parede e S é uma medida escalar do tensor de deformação. Tendo em conta a vorticidade e a deformação causada pela produção de turbulência, temos que: com, em que, S c ij prod Ωij Ωij Ωij, C =., Sij SijSij, prod Ω ij é a vorticidade e ( S Ω ) = Ω + C min,, (3.5) S ij a taxa de deformação, e são definidas como: ij ij Ω ij u = x i j u x i j, (3.6) u j ui S = + ij. (3.7) xi x j O último termo da equação (3.5) não pertence ao modelo original e tem como intenção corrigir os efeitos de vorticidade axial. O termo de dissipação é modelado da seguinte forma: ~ υ Υ υ = C ω ρf ω, (3.8) d onde / C ω3 f ω = g, (3.9) 6 6 g + Cω3 6 ( r r ) g = r + Cω, (3.3) ~ υ r ~, (3.3) Sκ d Os valores de C ω, C ω e C ω3 são constantes e S ~ é determinado pela equação (3.3). As constantes do modelo têm por defeito, os seguintes valores: C ω C b =,355, C b =, 6, σ ~ = 7,, ( + ) C b Cb + κ σ ~ υ =, C ω =, 3, C ω3 =,, κ =, 487. υ 4

33 3... Modelo k-ε Padrão O modelo k-ε padrão é baseado nas equações de transporte da energia cinética turbulenta, k, e da sua taxa de dissipação, ε. Este modelo assume que o escoamento é completamente turbulento e que os efeitos da viscosidade molecular são desprezáveis face à difusão turbulenta. A energia cinética turbulenta, k, e a taxa de dissipação, ε, para escoamento incompressível, são obtidas a partir das seguintes equações de transporte: e t x x μ k σ k x j t ( ρk ) + ( ρku ) = μ + + G ρε i i j k, (3.3) onde, ε ρ + ρ t x i ( εu ) i = x j μt ε μ + + C σ ε x j ε ε G k k C ε ε ρ, (3.33) k G k representa a geração de energia cinética turbulenta devido aos gradientes de velocidade média e C ε, C ε e C 3ε são constantes. As constantesσ k e σ ε são os números de Prandtl para k e ε. Neste modelo, a viscosidade turbulenta, μ t, é calculada, combinando k e ε, pela seguinte expressão: k μt = ρcμ, (3.34) ε As constantes do modelo k-ε, têm por defeito, os seguintes valores: C ε =,44, C ε =, 9, C =, 9, σ k =,, σ ε =, 3. O termo G k na equação (3.3), que representa a geração de energia cinética turbulenta, e pode ser definido como: Para avaliar G k μ u j = ρ ui u j. (3.35) x G k de forma consistente com a hipótese de Boussinesq, onde, S é o modulo da taxa de deformação e definida por: G k i = μ S, (3.36) t S S ij S ij. (3.37) Modelo k-ω Padrão O modelo k-ω é um modelo baseado nas equações de transporte da energia cinética turbulenta, k, e da taxa de dissipação especifica, ω. 5

34 A energia cinética turbulenta, k, e a taxa de dissipação especifica, ω, para escoamento incompressível, são obtidas a partir das seguintes equações de transporte: e k k ( kui ) ρ + ρ = Γ k + Gk Υk, (3.38) t xi x j x j Nestas equações, ω ρ + ρ t x i x ε x j ( ωu ) i = Γω + Gω Υω j. (3.39) G k representa a geração de energia cinética turbulenta devido aos gradientes de velocidade média e G ω representa a geração de ω. As variáveis Γ k e Γ ω representam a difusão efectiva de k e ω, respectivamente. Os termos de difusão de k e ω para este modelo são dados por: μ Γ k = μ +, (3.4) σ t k μt Γ ω = μ +, (3.4) σ onde, σ k e σ ε são os números de Prandtl para k e ω, respectivamente. A viscosidade turbulenta, μ t, é calculada, combinando k e ω, pela seguinte expressão: ρk μt =. (3.4) ω O termo G k representa a produção de energia cinética turbulenta. Pela equação exacta de transporte de k, este termo pode ser definido como: Para avaliar G k ω u j = ρ ui u j. (3.43) x G k de forma consistente com a hipótese de Boussinesq, G k i = μ S, (3.44) onde, S é o modulo da taxa de deformação e definida da mesma forma que para o modelo k-ε (equação 3.37). A produção de ω é dada por: onde, por: G t ω k ω = G, (3.45) k G k é dado pela equação (3.44). A dissipação de energia cinética turbulenta, para escoamentos incompressíveis, é dada Υ = ρβ f β kω, (3.46) k * 6

35 onde e χ k f = * + 68χ (3.47) β k χ > k + 4χk k χ k 3 ω x j ω. (3.48) x j A dissipação de ω é dada por: Υ = ρβ f β ω, (3.49) ω i onde + 7χω f β =, (3.5) + 8χ ω χ ω = Ωij Ω jks ki, (3.5) ( β ) * ω 3 u u i j Ω = ij. (3.5) x j xi As constantes do modelo k-ω, têm por defeito, os seguintes valores: β * =,9, β i =, 7, σ k =,, σ ω =, 3..3 Condições fronteira As condições de fronteira especificam o valor das variáveis nas fronteiras do domínio físico em estudo. No âmbito das simulações efectuadas existem quatro tipos de condições de fronteira: entrada, saída, periódicas e superfícies sólidas Superfície de Entrada Dos diferentes tipos disponíveis no código FLUENT, na fronteira de entrada, optou-se por definir a velocidade do escoamento. Esta condição de fronteira é identificada no código FLUENT como Velocity Inlet. As pressões totais (ou de estagnação) do escoamento não estão fixas e podem tomar os valores necessários para garantir a distribuição de velocidade imposta. A turbulência na secção de entrada é modelada a partir da intensidade de turbulência, I, e do diâmetro hidráulico, D H. 7

36 O FLUENT utiliza os dados introduzidos nesta fronteira para calcular o caudal que atravessa o domínio e para calcular os fluxos de quantidade de movimento e energia a partir da entrada Superfície de Saída Na fronteira de saída do domínio utilizou-se a condição de saída livre, designada no código como Outflow, que corresponde a efectuar uma extrapolação do valor das variáveis de grau zero, a partir do interior do domínio, sem ser necessário impor qualquer valor a qualquer variável. A extrapolação actualiza, ainda, o perfil de velocidades de forma a garantir a conservação da massa Superfícies Periódicas Nas superfícies periódicas as faces dos elementos são tratadas como faces interiores do domínio. O FLUENT iguala as propriedades do escoamento nas células de uma fronteira periodica às propriedades das células vizinhas do plano periódico oposto Superfícies Sólidas Os escoamentos turbulentos são significativamente afectados pela presença de paredes. O campo de velocidades é afectado com a condição de não escorregamento, que tem que ser satisfeito nas paredes. O modelo k-ε incluído no FLUENT só é válido para escoamentos turbulentos afastados das paredes, ou seja, aplica funções parede, contudo é possível adaptar o modelo para resolver escoamentos próximos das paredes. O modelo Spalart-Allmaras e o k-ω foram modelados de forma a resolver, para além da camada da parede (região logarítmica), a sub-camada viscosa. Para cada modelo de turbulência é necessário implementar condições de fronteira para as paredes sólidas, que diferem de modelo para modelo Modelo Spalart-Allmaras Para o modelo Spalart-Allmaras, a viscosidade cinemática turbulenta modificada, ~ υ, nas paredes, é igualada a zero. Para resolver a sub-camada linear, as tensões de corte na parede são obtidas a partir da seguinte relação: * u ρu τ y U = =, (3.53) u μ τ 8

37 equivalente a, τ w u = μ y y = ΔU μ Δy (3.54) onde, u é a componente da velocidade paralela à parede, u τ é a velocidade de corte (fricção) e y é a distância à parede Modelo k-ε Padrão As funções parede foram modeladas semi-empiricamente e não resolvem a sub-camada viscosa. Servem como ligação entre a parede e a região de escoamento completamente turbulento. As funções parede estão activas por defeito no modelo k-ε. A lei da parede para um campo de velocidades médio é dada por: onde U * * ( Ey ) = ln, (3.55) κ / 4 UPCμ k P U *, (3.56) τ ρ w / com, / 4 / ρ μ P κ = constante de Von Kármán (=,487), E = constante empírica (=9,793), U P = velocidade média no ponto P, k P = energia cinética turbulenta no ponto P, y P = distância do ponto P à parede, μ = viscosidade dinâmica do fluido. C k P y y *, (3.57) μ Para evitar velocidades de corte nulas, aquando da ocorrência de separação, a equação (3.55) utiliza a energia cinética turbulenta para determinar a velocidade de corte. Esta condição permite garantir valores suficientemente altos de logarítmica. * y de forma a poder aplicar a lei A lei logarítmica é valida para * < 3 < y,5δ, em que δ é a espessura da camada limite, e portanto, dependente do número de Reynolds. No FLUENT, a lei logarítmica é aplicada quando y * >, 5. A variáveis célula está localizada na região logarítmica. + y e * y têm valores comparáveis quando a primeira 9

38 A equação de transporte de energia cinética turbulenta, k, é resolvida em todo o domínio, incluindo nas células adjacentes à parede. A condição de fronteira para k imposta na parede é: k =, (3.58) n onde, n é a coordenada local paralela à parede. A produção de energia cinética, G k, e a sua taxa de dissipação, ε, nas células adjacentes à parede, que são os termos fonte na equação de transporte de k, são calculadas com base na hipótese de equilíbrio local. Assim, assume-se que os valores da produção de k e da sua taxa de dissipação são iguais no volume de controlo adjacente à parede e, portanto, podem ser calculadas pelas seguintes expressões: G k U τ τ w = τ w, (3.59) y κρc y 3 / 4 3 / P P w / 4 / μ kp P Cμ k ε P =. (3.6) κy Desta forma, nas células adjacentes à parede, a equação de transporte de ε não é resolvida, sendo a taxa de dissipação de energia cinética turbulenta calculada pela equação (3.6). As funções de parede satisfazem, com razoável precisão, a maioria dos escoamentos para altos valores de Reynolds, contudo, o refinamento da malha estará subjacente a esta aproximação. O FLUENT disponibiliza métodos de tratamento para regiões de aproximação à parede, combinando o modelo de duas camadas com as leis da parede automáticas, ou seja, + para y >. No modelo de duas camadas, o domínio é subdividido na região da sub-camada laminar e na região de completamente turbulento. Para a região de escoamento completamente desenvolvido, são resolvidas as equações de transporte de k e ε como explicado no tópico 3... Para a região da sub-camada, é aplicado o modelo de uma equação em que a viscosidade turbulenta, μ t, é calculada por: onde, o comprimento de mistura de μ, μ = ρc l k, (3.6) t μ μ l μ, é dado por: μ = ycl Rey / Aμ ( e ) Para a região da sub-camada, ε passa a ser calculado por: l. (3.6) 3 / k onde, o comprimento de mistura de ε, l ε, é dado por: ε =, (3.63) l ε = ycl ε Rey / Aε ( e ) l. (3.64)

39 As constantes são dadas por: 3 / 4 = κc μ c l, A = 7, A = cl μ ε. As leis da parede automáticas combinam a sub-camada linear com a lei logarítmica usando a seguinte função: onde, a função de combinação é dada por: com a =, e b = 5. u + Γ + Γ + = e ulam + e uturb + ( y ) a Γ = + by 4 +, (3.65), (3.66) Similarmente, a equação geral para a derivada du dy + + é: du dy + + = e Γ du dy + lam + + e Γ du dy + turb +. (3.67) Esta aproximação permite que a lei logarítmica seja facilmente modificada e alargada de forma a garantir um correcto comportamento para variações de valores de + y, assim como, uma representação razoável dos perfis de velocidade em casos em que os valores de y + caem dentro da região tampão ( 3 < < ) + y Modelo k-ω No modelo k-ω, a condição de fronteira para a parede, para a equação de k, é tratada da mesma forma que no modelo k-ε para a resolução da camada linear. No código FLUENT, o valor de ω na parede é definido como: O valor assimptótico de ( u ) + ρ τ ωw = ω. (3.68) μ + ω na sub-camada linear é dado por: onde ω = min ω w,, (3.69) β i + ( y ) 5 + k < + S 5 + ω = ks w, (3.7) + k 5 + S ks

40 com e k S é a rugosidade. k ρksuτ = max. (3.7) μ + S,

41 4 - Resultados 4. - Método Bidimensional Os doze perfis utilizados na definição da geometria da pá da roda (em anexo ) foram discretizados com painéis no intradorso e extradorso, respectivamente, obedecendo a uma distribuição dada pela função co-seno ao longo da corda. Os cálculos foram efectuados para um número de Reynolds baseado na seguinte expressão: U c Re =, (4.) υ onde, U é a velocidade do escoamento, c é a corda do perfil e ν é a viscosidade cinemática do ar à temperatura de º C. O número de Reynolds juntamente com a razão corda/passo (c/p), o ângulo de calagem da cascata, λ, e o ângulo de ataque, α, são as variáveis de entrada do código bidimensional utilizado e, excepto para os ângulos de ataque, foram apenas simulados valores de projecto. No caso do ângulo de ataque, para cada perfil, foi simulado o valor de projecto e uma gama de º a 4º, com variações de meio em meio grau. A corda do perfil, c, a razão corda/passo (c/p), o ângulo de calagem da cascata, λ, e o ângulos de ataque, α, de projecto, respectivamente, para cada perfil estão disponíveis no anexo. Para cada ângulo de ataque é efectuada uma primeira iteração para escoamento puramente potencial, e considerando o efeito camada limite são efectuadas mais vinte iterações, caso o cálculo chegue ao fim, ou seja, quando não ocorre separação da camada limite turbulenta. Os resultados obtidos foram sintetizados nas tabelas seguintes. Para cada perfil, correspondente ao respectivo raio, é apresentado o valor do coeficiente de sustentação para os escoamento potencial, C L, o coeficiente de sustentação, C L, e o coeficiente de resistência, C D, para escoamento com camada limite caso tenha chegado à última iteração. Se tiver ocorrido separação da camada limite turbulenta, é também apresentada a respectiva localização, X sep /C. Na última coluna de cada tabela é apresentado o número de iterações alcançado no cálculo com camada limite. R=.7 m R=.8 m α C L C L C D X sep /C It α C L C L C D X sep /C It % % % % % % % % % CNPP % CNPP % -.5. CNPP -.56 CNPP -.49 CNPP CNPP % % % (a) (b) Tab. 4. Resultados obtidos no método bidimensional para cada perfil. 3

42 R=.95 m R=.48 m α C L C L C D X sep /C It α C L C L C D X sep /C It CNPP CNPP CNPP CNPP CNPP CNPP % NO % NO % % % NO % % % NO % % (c) (d) R=.65 m R=.85 m α C L C L C D X sep /C It α C L C L C D X sep /C It NO NO CNPP NO NO NO CNPP NO NO -.54 CNPP NO CNPP NO NO NO NO NO NO NO NO (e) (f) R=.945 m R=.65 m α C L C L C D X sep /C It α C L C L C D X sep /C It NO NO NO NO NO NO NO NO NO NO CNPP NO CNPP -.45 CNPP CNPP CNPP NO NO.74 CNPP.66 CNPP (g) (h) R=.9 m R=.3 m α C L C L C D X sep /C It α C L C L C D X sep /C It CNPP % CNPP NO NO CNPP NO NO NO NO NO NO NO NO CNPP NO NO NO NO NO (i) (j) R=.45 m R=.5 m α C L C L C D X sep /C It α C L C L C D X sep /C It % % % % NO % NO NO NO -.8 \ NO NO NO NO NO NO NO NO.436 CNPP.39 CNPP (k) (l) Tab. 4. (continuação) Resultados obtidos no método bidimensional para cada perfil. 4

43 O coeficiente de resistência é obtido pelas aproximações de Squire & Young [] e o coeficiente de sustentação é determinado pela lei de Kutta-Joukowski: L Γ C L = = (4.) ρu c U c Consideraram-se valores de coeficiente de resistência, C D, apenas quando não ocorre separação (representado pela sigla NO nas tabelas) ou, com alguma reserva, para separações ocorridas em regiões superiores a 98% da corda. A sigla CNPP corresponde a simulações em que o cálculo não pode prosseguir e deve-se ao facto de o método de camada limite ter atingido o limite de validade, ou seja, nos casos em que não ocorre separação da camada limite laminar antes de 9% da corda. Os perfis escolhidos pertencem à mesma família, NACA 66 modificado, e são designados perfis laminares. Neste tipo de perfis, o ponto de espessura máxima é recuado, na direcção do bordo de fuga, conseguindo uma menor penalização em C D numa gama restrita de valores de C L não muito elevados, o que produz um gradiente de pressão favorável promovendo um desenvolvimento de camada limite em regime laminar, ao longo de uma maior extensão do perfil. A figura 4. mostra o desenvolvimento do coeficiente de resistência em função do coeficiente de sustentação nos perfis onde não ocorre separação. Na generalidade dos casos o ângulo de ataque de projecto encontra-se na gama de baixos valores de C D, que é designada por bossa laminar (bucket de cavitação), contudo, para os perfis correspondentes aos raios,945 m e,65 m nada se pode concluir dado que o cálculo não pode prosseguir para os respectivos ângulos de projecto. C L R=.48 F. Real R=.65 F. Real R=.85 F. Real C D (a) C L.9.8 R=.945 F. Real R=.65 F. Real.7 R=.9 F. Real C D (b) C L.9.8 R=.3 F. Real R=.45 F. Real.7 R=.5 F. Real C D (c) Fig. 4. Evolução do coeficiente de resistência em função do coeficiente de sustentação nos perfis onde não ocorre separação. 5

44 .5.5 R=.48 F. Perfeito R=.48 F. Real.5.5 C L C L.5 R=.7 F. Perfeito R=.8 F. Perfeito R=.95 F. Perfeito α (a) α (b).5.5 R=.65 F. Perfeito R=.65 F. Real R=.85 F. Perfeito R=.85 F. Real.5.5 C L C L α (c) α (d).5.5 R=.945 F. Perfeito R=.945 F. Real R=.65 F. Perfeito R=.65 F. Real.5.5 C L C L α (e) α (f).5.5 R=.9 F. Perfeito R=.9 F. Real R=.3 F. Perfeito R=.3 F. Real.5.5 C L C L α α (g) (h) Fig. 4. Evolução do coeficiente de resistência em função do coeficiente de sustentação nos perfis onde não ocorre separação. 6

45 .5.5 R=.45 F. Perfeito R=.45 F. Real R=.5 F. Perfeito R=.5 F. Real.5.5 C L C L α α (i) (j) Fig. 4. (continuação) Evolução do coeficiente de resistência em função do coeficiente de sustentação nos perfis onde não ocorre separação. Na figura 4., apresenta-se a evolução de C L na gama de valores de α utilizados em cada perfil, para fluido perfeito e para fluido real nos casos em que não ocorreu separação. Como seria de esperar, a evolução de C L com α é muito aproximadamente linear, na gama de ângulos de ataque utilizados, dado não ser prevista a ocorrência de separação. Uma evolução linear de C L com α é ainda bem verificada em fluido real, na gama de pequenos ângulos de ataque, mas com um declive inferior ao previsto, com base num modelo de fluido perfeito. Em fluido real, o coeficiente de sustentação produzido pelos perfis é menor que em fluido perfeito. Essa diferença torna-se menos acentuada com a aproximação dos perfis ao invólucro exterior, porque os gradientes de pressão adversos são menos intensos, induzindo menores espessuras de deslocamento. Com a aproximação ao cubo, os coeficientes de sustentação tornam-se mais elevados. Este aumento é desejado dada a diminuição da corda nesses perfis e a intenção de manter a quantidade de movimento angular constante ao longo do raio..5 R=.7 F. Perfeito R=.8 F. Perfeito R=.945 F. Perfeito R=.65 F. Perfeito.5 R=.95 F. Perfeito R=.95 F. Real -C p.5 -C p X/C X/C (a) (b) Fig. 4.3 Distribuição do coeficiente de pressão em cada um dos perfis para fluido perfeito e fluido real. 7

46 .5 R=.48 F. Perfeito R=.48 F. Real.5 R=.65 F. Perfeito R=.65 F. Real -C p.5 -C p X/C (c) X/C (d).5 R=.85 F. Perfeito R=.85 F. Real.5 R=.9 F. Perfeito R=.9 F. Real -C p.5 -C p X/C (e) X/C (f).5 R=.3 F. Perfeito R=.3 F. Real.5 R=.45 F. Perfeito R=.45 F. Real -C p.5 -C p X/C (g) X/C (h).5 R=.5 F. Perfeito R=.5 F. Real -C p X/C (i) Fig. 4.3 (continuação) Distribuição do coeficiente de pressão em cada um dos perfis para fluido perfeito e fluido real. 8

47 Na figura 4.3 é apresentada a distribuição do coeficiente de pressão, C p, em cada um dos perfis, para fluido perfeito e para fluido real, apenas para ângulos de ataque de projecto. O coeficiente de pressão é definido pela seguinte expressão: C p = p p ρu. (4.3) Nos raios r=,7 m e r=,8 m, há separação e só é representada a evolução de para fluido perfeito, assim como para os raios r=,945 m e r=,65 m, em que o cálculo não pode prosseguir. Estas distribuições estão representadas na figura 4. a). O ponto de estagnação encontra-se no bordo de ataque ( C =) ou na sua proximidade, na maioria dos casos. Não são previstas fortes variações de velocidade, na região do bordo de ataque dado não existirem fortes gradientes de pressão. No bordo de fuga, para fluido perfeito, verifica-se a tendência do valor de C p para o de um ponto de estagnação. Contudo não é atingido C p = devido à discretização do perfil. Para fluido real, no bordo de fuga, como seria de esperar, o coeficiente de pressão toma valores inferiores a, dada a dissipação de energia ao longo da camada limite. O pico de sucção é previsto entre os 75% e os 9% da corda, evoluindo na direcção do bordo de fuga com a diminuição do raio. No caso dos dois perfis mais próximos do cubo, após o pico de sucção, verifica-se um forte gradiente adverso de pressão, que para a simulação de fluido perfeito, deu origem a separação da camada limite turbulenta a, aproximadamente, 95% da corda. À medida que o raio aumenta, a espessura dos perfis diminui e a distribuição de para fluido real aproxima-se tendencialmente da de fluido perfeito. p C p C p 4. - Método Tridimensional 4.. Geração de Malha Para efectuar a simulação tridimensional construíram-se malhas estruturadas hexaédricas e não estruturadas tetraédrica, excepto nas regiões junto à parede. As malhas foram geradas utilizando o código GAMBIT., recorrendo à topologia turbo [4]. O domínio computacional para o escoamento entre pás da roda foi obtido a partir das linhas de fronteira do escoamento meridiano (figura 4.4), a linha exterior, correspondente ao invólucro exterior, e a linha interior, correspondente ao cubo. A coordenada radial r está compreendida entre,5 e,7 metros e a coordenada axial z entre,67 e,67 metros, definindo a fronteira de entrada a uma distância de uma corda e meia a montante do bordo de ataque da pá e a fronteira de saída a três cordas a jusante do bordo de fuga da pá [5]. O domínio está delimitado na direcção tangencial por duas fronteiras periódicas, distanciadas entre si 9º, correspondente a uma pá (figura 4.5). A sua forma foi definida, dentro do possível, 9

48 com a intenção de minimizar os fluxos que as atravessam, seguindo assim, aproximadamente, as linhas de corrente na região em que estão contidas.a forma das pás foi definida através da introdução das doze secções de projecto. Esta geometria final apresenta algumas simplificações. Primeiro, a zona da calote esférica, projectada para permitir alterar o ângulo das pás, foi retirada de forma a facilitar a geração da malha. Segundo, a folga entre a extremidade da pá e o invólucro exterior foi desprezada, alterando a carga nessa zona da pá. De forma a facilitar a construção da malha e a permitir uma discretização adequada nas zonas de camada limite, a geometria foi dividida em seis zonas, igualmente espaçadas segundo a coordenada radial (figura 4.8). Fig. 4.4 Descrição da configuração da roda na topologia turbo. Nos três modelos de turbulência testados são necessários diferentes refinamentos de malha na proximidade das paredes, dado que o tratamento que cada modelo aplica na condição de fronteira nas paredes é diferente. No modelo k-ε padrão, são aplicadas as funções parede, e portanto, na proximidade da parede, o refinamento da malha foi direccionado para que a altura do primeiro elemento cumprisse valores de + y correspondentes à região logarítmica, ou seja, 3 y < 3. Contudo, para este modelo, valores abaixo da região < + logarítmica estão protegidos pela opção enhanced wall treatment, como foi referido na sub-secção No caso dos modelos k-ω e Spalart-Allmaras, as malhas devem ser suficientemente finas de modo a que estes possam resolver a sub-camada linear, y < 5. + Fig. 4.5 Domínio de cálculo utilizado em todas as simulações tridimensionais. 3

49 4... Modelo k-ε Para o Modelo k-ε padrão foram construídas quatro malhas estruturadas hexaédricas quase geometricamente semelhantes com 968, 3958, 8338 e 556 elementos, respectivamente, e quatro malhas com elementos hexaédricos estruturados em torno da pá, elementos prismáticos nas regiões do cubo e da caixa e elementos tetraédricos não estruturados no restante domínio (figura 4.6). Estas malhas têm 4838, 334, e elementos, respectivamente, e serão identificadas neste trabalho, daqui em diante, como malhas não estruturadas. (a) (b) Fig. 4.6 Pormenor da malha não estruturada: (a) em torno da pá; (b) próximo do cubo e da caixa e no restante domínio. Nas malhas não estruturadas, das seis zonas criadas segundo a direcção radial deixaram-se apenas as zonas junto ao cubo e junto à caixa, as restantes quatro zonas centrais foram unidas, onde foi gerada malha não estruturada tetraédrica (figura 4.6.b)). Dada a complexidade da geometria e a natureza do problema, houve a necessidade de subdividir a geometria. Primeiro, devido à torção da pá; foi necessário criar um anel em torno desta de forma a se poder criar uma malha suficientemente fina junto à sua superfície (figura 4.7.a)). Segundo, devido à forma das fronteiras periódicas e, porque só na região da pá há rotação do cubo, subdividiu-se a geometria em três zonas segundo a direcção axial (figura 4.7.b)). (a) (b) Fig. 4.7 (a) Anel em torno da pá, (b) subdivisões da malha não estruturada. 3

50 Definida toda a geometria final, foi necessário determinar a altura do primeiro elemento junto às paredes, ou seja, no cubo, no invólucro exterior e na pá. Para isso, gerou-se uma malha bastante grosseira do tipo camada limite junto das fronteiras sólidas e conclui-se que a altura do primeiro elemento nessas fronteiras teria valores próximos de,5 milímetros, para satisfazer os valores de y + da região logarítmica. Como referência, foi tomada esta altura para o primeiro elemento, em todas as malhas utilizadas no modelo k-ε padrão. Número de Zona de Entrada Zona da Pá Zona de Saída Elementos tc Smáx Si tc Smáx tc Smáx 48 x 3,5 7 8,5 7, x 3,5 5,9,5,5 797 x 3,5 8,4 4,,5 8,4,5 8,4 936 x 3,5 6 3,5 6,5 6 Tab. 4. Características das malhas não estruturadas utilizadas. No anel da pá, foram construídas malhas estruturadas, com distribuições de elementos ao longo do perfil da pá, n elem, e taxa de crescimento para o bordo de fuga e bordo de ataque, t c, e na direcção normal à pá, uma taxa de crescimento, t c, para o exterior. A tabela 4.3 mostra estas características para as quatro malhas utilizadas. As malhas não estruturadas, figura 4.6, foram construídas fixando o tamanho dos elementos junto do anel da pá e impondo uma taxa de crescimento dos elementos, t c, para o exterior e o seu tamanho máximo. A tabela 4. mostra as principais características das malhas utilizadas, os parâmetros s i e s max são, respectivamente, o menor (inicial) e maior comprimento dos elementos na respectiva zona. As distribuições dos elementos segundo as três direcções foram escolhidas de modo assegurar que o refinamento da malha é maior na região vizinha das pás. Segundo a direcção radial, no volume intermédio as malhas têm 6,, 8 e 4 elementos, respectivamente para as malhas de 4838, 334, e elementos. Para as duas zonas adjacentes ao cubo e à caixa (figura 4.6 b)), foram geradas malhas por projecção de camadas (malha Cooper [4]) com distribuição de elementos igual à utilizada na direcção normal à pá para a malha no anel da pá (tabela 4.3). Número de Intradorso Extradorso Normal à Pá Elementos n elem t c n elem t c n elem t c 48 x 3 38,5 38,5 3, 334 x 3 53,5 53,5 4, x 3 73,5 73,5 5,9 936 x 3 6,9 Tab. 4.3 Características das malhas não estruturadas no anel da pá. O tamanho máximo e mínimo dos elementos foi ajustado de modo a aumentar o número de elementos nas secções de entrada e de saída, diminuindo o erro do cálculo das grandezas integrais (ângulo β médio, ângulo α médio, pressão total média e número de 3

51 rotação (swirl number), Γ [3]). A tabela seguinte apresenta o número de elementos em cada fronteira do domínio para as quatro malhas não estruturadas: Número de Elementos Entrada Saída Cubo Caixa Intradorso Extradorso Periódicas 48 x x x x Tab. 4.4 Número de elementos nas fronteiras das malhas não estruturadas. A qualidade das malhas obtidas pode ser analisada pela observação de alguns dos parâmetros referidos no programa GAMBIT [4]. Para este estudo optou-se pelo ângulo de distorção (equiangle skew), que para as malhas não estruturadas são apresentados na tabela 4.5. Contudo, para os restantes parâmetros [4] estão disponíveis as respectivas tabelas no anexo 3. O ângulo de distorção é uma medida que é definida como: Q EAS θmax θeq θeq θmin = max,, (4.4) 8 θeq θeq onde, θ max e θ min são o ângulo máximo e mínimo, em graus, entre as arestas do elemento, e θ eq é o ângulo correspondente a um elemento equilateral de forma semelhante. Para elementos tetraédricos, θ = 6º, e para elementos hexaédricos, θ = 9º. eq A análise da tabela 4.5 mostra que a qualidade das malhas tetraédricas é boa, com mais de 9% dos seus elementos com um ângulo de distorção inferior a,5 em todas as malhas não estruturadas. Relativamente ao ângulo de distorção (equisize skew), em [4] refere-se que uma malha é excelente se a maioria dos seus elementos tiver para este parâmetro um valor inferior a,5 e será boa se este valores forem superiores a,5 e inferior ou igual a,5. eq Ângulo de distorção (Equiangle) Número Limites de Elementos -,5,5 -,5,5 -,75,75 -,9,9 - Pior Elemento (3,7%) 99 (6,8%) 97 (6,%) 37 (,5%) 4 (%),99 ( - ) (34,9%) 984 (59,4%) 84 (5,5%) 58 (,7%) (%),86 ( - ) (36,%) (58,4%) 435 (5,4%) 354 (,7%) (%),96 ( - ) (36,3%) 596 (58,5%) 74 (5,54%) 363 (,9%) 8 (%),99 ( - ) Tab. 4.5 Distribuição do ângulo de distorção dos elementos nas malhas não estruturadas. Para as malhas estruturadas, mantiveram-se as seis zonas criadas no domínio na direcção radial. Na região da pá, correspondente à zona de rotação do cubo, subdividiram-se os volumes de forma a facilitar a geração de malhas estruturadas (figura 4.8). 33

52 Fig. 4.8 Subdivisões da malha estruturada. As características da malhas hexaédricas, número de elementos em cada direcção, N, e taxas de crescimento, tc, são apresentadas na tabela 4.6, segundo as direcções tangencial, θ, radial, r, e axial, z, onde tr i e ta i são a taxa de crescimento segundo a direcção radial e axial, respectivamente e significa que o correspondente valor não é constante no referido volume. Os valores de ta i dependem das distribuições segundo a direcção axial, z, e foram escolhidas de modo assegurar que o refinamento da malha é maior na região vizinha das pás. Os valores de tr i dependem das distribuições segundo a direcção radial, r, e na proximidades das fronteiras sólidas, o cubo e a caixa, tomam os valores representados na tabela 4.3, para a direcção normal à pá e nas zonas intermédias, têm distribuições uniformes. Número de Elementos Zona de Entrada Zona da Pá Zona de Saída r [mm] Θ [mm] z [mm] r [mm] Θ [mm] z [mm] r [mm] Θ [mm] z [mm] N / t c N / t c N / t c N / t c N / t c N / t c N / t c N / t c N / t c x 3 tr i, tr i,5 ta i tr i, x 3 tr i, tr i,5 ta i tr i, x 3 tr i, tr i,5 ta i tr i, x 3 tr i, tr i,5 ta i tr i,5 Tab. 4.6: Distribuições dos elementos nas direcções r, θ e z para as malhas hexaédricas estruturadas (tr i e ta i indicam taxa de crescimento variável). As distribuições de elementos no anel da pá são iguais às utilizadas nas correspondentes malhas não estruturadas, e estão representadas na tabela 4.3. A tabela seguinte apresenta o número de elementos em cada fronteira do domínio para as quatro malhas estruturadas: Número de Elementos Entrada Saída Cubo Caixa Intradorso Extradorso Periódicas 9 x x x x Tab. 4.7 Número de elementos nas fronteiras das malhas estruturadas. 34

53 Relativamente ao ângulo de distorção, as malhas estruturadas hexaédricas tem valores significativamente mais elevados quando comparadas com as malhas não estruturadas. Contudo, quase a totalidade dos elementos estão abaixo de,9 e apenas, aproximadamente, 5% se encontram no intervalo entre,75 e,9, podendo-se concluir que, em média, a malha apresenta índices de qualidade médios. Os restantes índices de qualidade disponibilizados pelo GAMBIT [4] estão, para estas malhas, apresentados no anexo 3. Ângulo de distorção (Equiangle) Número de Limites Elementos -,5,5 -,5,5 -,75,75 -,9,9 - Pior Elemento (58,3%) 969 (4,84%) 443 (,7%) 86 (5,7%) 67 (,5%),93 ( - ) (57,7%) 4839 (5,4%) (,8%) 4787 (5,%) 8 (,7%),94 ( - ) (58,54%) 338 (4,85%) 3 (,9%) 8773 (4,9%) 38 (,4%),95 ( - ) (6,6%) 3764 (4,44%) 6573 (,35%) 8689 (3,4%) 54 (,%),95 ( - ) Tab. 4.8 Distribuição do ângulo de distorção dos elementos nas malhas estruturadas. Fig. 4.9 Vista geral da malha estruturada de 9 mil elementos Modelos k-ω e Spalart-Almaras Como já foi referido, nos modelos k-ω e Spalart-Allmaras, as malhas devem ser suficientemente finas na proximidade das fronteiras sólidas de modo a que estes possam resolver a sub-camada linear. Assim, de modo a facilitar a sua geração, as malhas simuladas com estes modelos são todas hexaédricas estruturadas. A geometria, com as respectivas sub-divisões, é semelhante à utilizada no modelo k-ε (figura 4.), com a diferença que o primeiro elemento tem, obrigatoriamente, uma altura diferente. Tal como para o modelo k-ε, gerou-se uma malha grosseira com malha mais fina junto das fronteiras sólidas e conclui-se que a altura do primeiro elemento nessas fronteiras teria valores próximos de, milímetros, na região da pá, e de,3 milímetros, no cubo e na caixa. Em todas as malhas utilizadas, nos modelos k-ω padrão e Spalart-Almaras, foi tomada esta altura, como referência, para o primeiro elemento. 35

54 Fig. 4. Perspectiva geral da geometria utilizada no modelo k-ω padrão e Spalart-Almaras. As características da malhas hexaédricas utilizadas nestes dois modelos (figura 4.), número de elementos em cada direcção, N, e taxas de crescimento, tc, são apresentadas na tabela 4.9, segundo as direcções tangencial, θ, radial, r, e axial, z, onde tr i e ta i são a taxa de crescimento segundo a direcção radial e axial, respectivamente e significa que o correspondente valor não é constante no referido volume. Os valores de ta i dependem das distribuições segundo a direcção axial, z, e foram, também para estes modelos, escolhidas de modo assegurar que o refinamento da malha é maior na região vizinha das pás. Os valores de tr i dependem das distribuições segundo a direcção radial, r, e na proximidades das fronteiras sólidas, o cubo e a caixa, tomam os valores representados na tabela 4. para a direcção normal à pá e nas zonas intermédias, têm distribuições uniformes. Número de Elementos Zona de Entrada Zona da Pá Zona de Saída r [mm] Θ [mm] z [mm] r [mm] Θ [mm] z [mm] r [mm] Θ [mm] z [mm] N / t c N / t c N / t c N / t c N / t c N / t c N / t c N / t c N / t c 7 x tr i,5 tr i,5 ta i tr i, 3 x tr i,5 tr i,5 ta i tr i, 766 x tr i,5 tr i,5 ta i tr i, 33 x tr i,5 tr i,5 ta i tr i, Tab. 4.9: Distribuições dos elementos nas direcções r, θ e z para as malhas hexaédricas estruturadas. Número de Elementos Intradorso Extradorso Normal Pá n elem t c n elem t c n elem t c 7 x 3 38,5 38,5 3, 3 x 3 53,5 53,5 4, x 3 73,5 73,5 5,9 33 x 3 6,9 Tab. 4. Características das malhas não estruturadas no anel da pá. 36

55 No anel da pá, tal como nas malhas anteriores, foram construídas malhas estruturadas, com distribuições de elementos ao longo do perfil da pá, n elem, e taxa de crescimento para o bordo de fuga e bordo de ataque, t c e na direcção normal à pá, uma taxa de crescimento, t c, para o exterior (tabela 4.). A tabela seguinte apresenta o número de elementos em cada fronteira do domínio para as quatro malhas estruturadas: Número de Elementos Entrada Saída Cubo Caixa Intradorso Extradorso Periódicas 7 x x x x Tab. 4. Número de elementos nas fronteiras das malhas estruturadas. Relativamente ao ângulo de distorção, as malhas estruturadas hexaédricas tem valores significativamente mais elevados quando comparadas com as malhas não estruturadas. Contudo, tal como nas malhas estruturadas hexaédricas para o modelo k-ε, quase a totalidade dos elementos estão abaixo de,9 e apenas, aproximadamente, 5% se encontram no intervalo entre,75 e,9, podendo-se concluir que, em média, a malha apresenta índices de qualidade médios, e são apresentados na tabela seguinte. Número de Elementos Ângulo de distorção (Equiangle) Limites -,5,5 -,5,5 -,75,75 -,9,9 - Pior Elemento (5.34%) 659 (.65%) 6534 (3.%) 8938 (4.89%) 53 (.%).97 ( - ) (5.8%) 5994 (9.99%) 4399 (4.4%) (4.9%) 339 (.%).95 ( - ) (5.39%) 4899 (9.45%) 8 (4.39%) 85 (4.6%) 33 (.7%).97 ( - ) (5.8%) 3748 (8.7%) (5.49%) 788 (3.68%) 554 (.7%).97 ( - ) Tab. 4. Distribuição do ângulo de distorção dos elementos nas malhas estruturadas. Os restantes índices de qualidade disponibilizados pelo GAMBIT [4] estão, para estas malhas, apresentados no anexo 3. Fig. 4. Vista geral da malha estruturada de 3 mil elementos com camada limite fina. 37

56 4.. Descrição das Simulações O FLUENT permite escolher duas técnicas de solução para resolver as equações que regem o escoamento (continuidade e transporte). Um método utiliza um algoritmo de cálculo que resolve o sistema de equações de uma forma acoplada (coupled solver [3]); o outro método utiliza um algoritmo que resolve o sistema de equações de forma segregada (segregated solver [3]). O método utilizado foi o segregado, dado que exige menores recursos computacionais e também é apropriado para a utilização de um sistema de coordenadas em rotação, como sugerido em [3]. Para o método segregado estão disponíveis alguns algoritmos para resolver o acoplamento entre a velocidade e a pressão: de entre estes seleccionou-se o SIMPLEC [4], dado ser mais consistente que o algoritmo SIMPLE [3]. O código FLUENT resolve a forma linearizada do sistema das equações de transporte discretizadas, utilizando um algoritmo de resolução do tipo Gauss-Siedel ponto-a-ponto, em conjunto com um método algébrico de malha múltipla. Os termos difusivos das equações são discretizados pelo esquema de diferenças centrais de segunda ordem [3]. As derivadas da pressão são aproximadas por esquemas de segunda ordem. Os termos convectivos nas faces dos volumes de controlo são interpolados pelo esquema QUICK [5] de terceira ordem. De entre os diferentes esquemas para obter a pressão nas faces dos volumes de controlo, optouse por escolher o esquema de interpolação de segunda ordem [3]. Nas simulações efectuadas foram sempre utilizadas variáveis com precisão simples. Os cálculos foram efectuados considerando pressões relativas, de forma a minimizar o efeito do arredondamento. Nas simulações efectuadas, a pressão de referência é definida na secção de entrada, tem valor igual à pressão atmosférica padrão, 35 Pa. O fluido é ar, com massa volúmica e viscosidade constantes: ρ =,5 kg/ m3 e μ =,789 x -5 Pa.s Condições de Fronteira As condições de fronteira especificam o valor das variáveis nas fronteiras do domínio físico em estudo. No âmbito das simulações efectuadas existem cinco tipos de condições de fronteira: entrada, saída, superfícies sólidas e superfícies periódicas. Dos diferentes tipos disponíveis no código FLUENT, na fronteira de entrada optou-se por atribuir o valor das componentes da velocidade para o referêncial absoluto. Esta condição de fronteira é identificada no código como Velocity Inlet. Utilizou-se o sistema de coordenadas cilindrico local com origem no eixo axial z da turbina. As componentes da velocidade de entrada de projecto para este sistema de coordenadas são dadas por: V = (4.5) r,49 V θ = m / s (4.6) r 38

57 Q V a = =,96 m / s (4.7) A onde, r é o raio, Q o caudal e A a área da secção de entrada de projecto. As componentes tangencial e axial de velocidade são obtidas, respectivamente, dos valores de quantidade de movimento angular e do caudal. A turbulência na secção de entrada foi modelada a partir da intensidade de turbulência, I, e do diâmetro hidráulico, D H. Para a intensidade de turbulência utilizou-se um valor de 4%, como sugerido em [3]. O diâmetro hidráulico foi obtido pela seguinte expressão: A DH = = D Din =, 86 m (4.8) P Na fronteira de saída do domínio utilizou-se a condição de saída livre, designada no código por Outflow, que corresponde a efectuar uma extrapolação do valor das variáveis de grau zero, a partir do interior do domínio, sem ser necessário impor qualquer valor a qualquer variável. Dada a rotação do cubo, é necessário definir o sistema de coordenadas em rotação. Para isso, nas condições de fronteira, em fluido, é dada a velocidade de rotação desejada de 5 r.p.m. Na formulação da velocidade deve-se ter em conta a rotação do fluido, ou seja, se maioritariamente a velocidade tem componente rotacional em todo o domínio ou não. No caso em estudo, é de se esperar, a jusante da pá, fraca ou nula, preferencialmente, rotação do fluido. Se se observar a forma das fronteiras periódica (por exemplo, na figura 4.5) desde a secção de entrada até à de saída, o domínio foi gerado de forma a acompanhar, aproximadamente, as linhas de corrente. Assim, de forma a diminuir os fluxos nas fronteiras periódicas optou-se pela formulação absoluta para a velocidade. Nas superfícies do domínio que correspondem a superfícies sólidas é imposta a condição de impermeabilidade para todas as simulações efectuadas, como definido no tópico Contudo, dada a rotação do domínio, foi necessário definir a rotação das fronteiras sólidas. No invólucro exterior, na região do cubo de entrada e na de saída foi definida velocidade de rotação nula. Na região central do cubo e as faces de pressão e sucção da pá foi definida uma velocidade de rotação de 5 r.p.m.. Na figura 4. é facilmente identificável as três regiões referidas do cubo. Nas superfícies periódicas foi definida periodicidade rotacional. Fig. 4. Vista geral das três regiões cubo da roda com a pá. 39

58 4..4 Convergência Estimação do Erro Numérico e Convergência da Solução Existem três tipos de contribuições para o erro de uma solução numérica em mecânica dos fluidos computacional: o erro de arredondamento; o erro iterativo e o erro de discretização [6, 7]. O erro de arredondamento é devido à precisão finita dos computadores e tende a aumentar com o refinamento da malha. Nas simulações efectuadas neste estudo foram sempre utilizadas variáveis com precisão simples. O erro iterativo é devido ao carácter não linear do sistema de equações resolvidas [7]. Este erro pode ser estimado pela diferença entre a solução obtida para uma determinada tolerância (ou critério de paragem do processo iterativo) e a solução convergida até a precisão da máquina. Para todas as simulações efectuadas neste estudo, o critério de paragem do processo iterativo, foi inferior a -5. Na determinação da incerteza numérica considerou-se que o erro de arredondamento e erro de iterativo são desprezáveis quando comparados com o erro de discretização. O objectivo da estimativa da incerteza numérica é garantir que a solução exacta se encontra no intervalo definido pela solução numérica e a sua incerteza: ( φ) φ φ U( φ) φ U exact +, (4.9) onde, φ é uma variável genérica, exact U φ a incerteza da solução. O procedimento adoptado neste trabalho é o proposto por Eça [7, 3] e corresponde a estimar o erro, Δ M, pela diferença máxima entre os resultados disponíveis: onde, φ a sua solução exacta e ( ) M ( j φi ) i j ng Δ = max φ,, (4.) n g é o número de malhas disponíveis. Contudo, o erro poderia ter sido estimado através de uma expansão em série de potências em que se retém apenas o primeiro termo [6]: e d p ( φ ) φ φ = αh =, (4.) i o onde, φ i é a solução para uma dada malha, φ o é uma estimativa da solução exacta; α é uma constante; p é a ordem de convergência observada; e h i é a dimensão típica da malha. A opção pelo primeiro método é justificada pela quase inevitabilidade da presença de ruído, dada a complexidade do escoamento, como se poderá verificar nas subsecções seguintes. Assim, por [7], quando não se observa convergência monotónica: U φ = 3Δ. (4.) ( ) M Para avaliar o erro numérico dos resultados obtidos nos três modelos de turbulência, compararam-se os valores dos parâmetros integrais que se podem obter com o código FLUENT. i 4

59 As variáveis consideradas foram o números de rotação, Γ, e os valores médios do ângulo da componente radial, β, à entrada e à saída, a rendimento, η, e o coeficiente de perda, ζ a. O números de rotação, Γ, é definido da seguinte forma: r S rv ( v nˆ θ ) ds Γ = r, (4.3) r v ( v nˆ ) ds S z onde, r é a coordenada radial, v θ é a velocidade tangencial, v z é a velocidade axial, v r é o vector velocidade, nˆ é o vector unitário normal à superfície, S representa a secção de entrada ou de saída, e r = S S rds. (4.4) Os valores médios do ângulo da componente radial, β, são definidos como: A v = θ da β tan, (4.5) A v zda onde, A é a área da secção de entrada ou saída. A rendimento, η, é calculada pelo código através da seguinte expressão: ( ) Q P η = P, (4.6) Τω onde, Q é o caudal volúmico, P e P são a pressão total nas secções de entrada e de saída, respectivamente, Τ é o binário aplicado sobre a roda e ω é a velocidade de rotação. O coeficiente de perda, ζ a, é definido por: ( P P ) ξa =, (4.7) ρω R onde, R é o raio da roda. Os valores dos parâmetros integrais são apresentados em função de h/h, onde h = Vol N é uma medida representativa da dimensão da malha, h é o h da malha mais 3 / elem fina, Vol o volume do domínio e N elem o número total de volumes de controlo Modelo k-ε Como já foi referido na subsecção 4.., para o modelo k-ε foram geradas quatro malhas estruturadas hexaédricas e quatro malhas não estruturadas tetraédricas. As variações dos parâmetros integrais com o refinamento da malha para este modelo são apresentadas na figura 4.3, juntamente com os valores de projecto. Como se pode observar, na maioria das distribuições das variáveis há presença de ruído, não sendo possível obter uma convergência monotónica. Contudo, é possível concluir-se que, como seria de esperar, o ruído das variáveis diminui com o refinamento da malha. 4

60 Considerando que o código não introduz erros, a causa da ocorrência de ruído deve-se, essencialmente, ao refinamento das malhas, que é condicionado pelos recursos computacionais. Assim, como já foi referido, para a estimativa de erro optou-se por utilizar a diferença máxima entre os resultados obtidos Hexaédrica tetraédrica Projecto.8.6 Γ entrada.63 Γ saida.4. Hexaédrica tetraédrica Projecto h i /h h i /h (a) (b) β entrada Hexaédrica tetraédrica Projecto h i /h (b) β saida Hexaédrica tetraédrica Projecto h i /h (d) η Hexaédrica tetraédrica Projecto ξ a Hexaédrica tetraédrica Projecto h i /h h i /h (e) (f) Fig. 4.3 Variação de grandezas globais com o número de elementos da malha no modelo k-ε: (a) número de rotação à entrada; (b) número de rotação à saída; (c) ângulo da componente radial à entrada; (d) ângulo da componente radial à saída; (e) rendimento; (f) coeficiente de perda. 4

61 Na tabela 4.3 apresenta-se o valor da incerteza associada ao erro de discretização das variáveis Γ entrada, Γ saída, β entrada, β saida, η, e ζ a para as malhas utilizadas no modelo k-ε. Variável Projecto Estruturada Não Estruturada Ø U U /Ø Ø U U /Ø Γ entrada.63989,63,334,58,63,95,464 Γ saída,55,57,99,58,38,634 β entrada -,85,675 3,74,336,694 5,46 β saída -,56,793,633 -,443,55 3,5 η 88 87,77,74,85 87,77,46,57 ζ a ,384,374,974 -,384,64,64 Tab. 4.3 Incerteza numérica devida ao erro de discretização para as malhas estruturada e não estruturada mais refinadas, no modelo k-ε. Verifica-se, neste caso, que esta incerteza não se comporta de forma diferente devido ao tipo de malha, dependendo das variáveis, num caso é menor, noutro não. O valor de projecto encontra-se dentro da banda de incerteza das soluções obtidas φ ± U, excepto para o número de rotação à saída nas duas malhas e para ângulo da componente radial à saída na malha estruturada Modelo k-ω Para as simulações que se efectuaram com o modelo k-ω, como já foi referido, foram geradas quatro malhas estruturadas. Contudo, apenas foi alcançada convergência com duas malhas, de 788 e elementos, respectivamente. Neste caso a estimativa de erro é bastante limitada devido à existência de resultados para apenas duas malhas. Apesar deste facto, as variações dos parâmetros integrais com o refinamento da malha para este modelo são apresentadas na figura 4.4, e permitem concluir que tomam valores próximos dos de projecto e, na maioria dos casos, variam num intervalo relativamente pequeno..635 Hexaédrica Projecto Hexaédrica Projecto Γ entrada.637 Γ saida h i /h h i /h (a) (b) Fig. 4.4 Variação de grandezas globais com o número de elementos da malha no modelo k-ω: (a) número de rotação à entrada; (b) número de rotação à saída. 43

62 β entrada Hexaédrica Projecto -..5 h i /h.5 (b) β saida Hexaédrica Projecto h i /h (d) Hexaédrica Projecto η Hexaédrica Projecto ξ a h i /h h i /h (e) (f) Fig. 4.4 (continuação) Variação de grandezas globais com o número de elementos da malha no modelo k-ω: (c) ângulo da componente radial à entrada; (d) ângulo da componente radial à saída; (e) rendimento; (f) coeficiente de perda Modelo Spalart-Allmaras Para o modelo Spalart-Almaras foram geradas quatro malhas estruturadas hexaédricas. As variações dos parâmetros integrais com o refinamento da malha para este modelo são apresentadas na figura 4.5. Também para neste modelo, pode-se observar, que na maioria das distribuições das variáveis há presença de ruído Hexaédrica Projecto Γ entrada Hexaédrica Projecto Γ saida h i /h h i /h (a) (b) Fig. 4.5 Variação de grandezas globais com o número de elementos da malha no modelo Spalart-Allmaras: (a) número de rotação à entrada; (b) número de rotação à saída; 44

63 β entrada Hexaédrica Projecto h i /h..5 (b) β saida Hexaédrica Projecto h i /h..5 (d) Hexaédrica Projecto -.36 Hexaédrica Projecto η 89. ξ a h i /h (e) h i /h (f) Fig. 4.5 (continuação) Variação de grandezas globais com o número de elementos da malha no modelo Spalart-Allmaras: (c) ângulo da componente radial à entrada;(d) ângulo da componente radial à saída; (e) rendimento; (f) coeficiente de perda. Na presença de ruído, como já foi dito, é razoável assumir como melhor opção, utilizar a diferença máxima entre os resultados obtidos para a estimativa de erro. Pela figura 4.5 é também possível verificar uma tendência alternada, com o refinamento da malha, para a solução exacta. Na tabela 4.4 apresenta-se o valor da incerteza associada ao erro de discretização das variáveis Γ entrada, Γ saída, β entrada, β saida, η, e ζ a para as malhas utilizadas no modelo Spalart-Allmaras. Variável Projecto Ø U U/Ø Γentrada,63,63,53,43 Γsaída,395,54,37 βentrada -,349,93,64 βsaída -,398,658,87 η 88 9,4,78,38 ζa -,38 -,38,46,368 Tab. 4.4 Incerteza numérica devida ao erro de discretização para as malhas estruturada e não estruturada mais refinadas, no modelo Spalart-Allmaras. 45

64 Para este modelo, a incerteza toma valores relativamente inferiores quando comparada com os modelos k-ε. O valor de projecto encontra-se dentro da banda de incerteza das soluções obtidas φ ± U, excepto para o número de rotação à saída Convergência do Processo Iterativo Para avaliar a convergência do processo iterativo verifica-se em que medida as equações discretizadas são satisfeitas para os valores correntes das variáveis dependentes. O resíduo total, que é a soma dos resíduos para todos os volumes de controlo do domínio, é adimensionalizado por uma grandeza ponderada pelo fluxo mássico no domínio [3]. Como critério de paragem do processo iterativo, foi imposto que este resíduo seja inferior a -8 para todas as equações, tendo-se interrompido o cálculo quando a evolução do resíduo estabilizou. Estas simulações foram efectuadas num computador pessoal com processador Intel Core a.4 GHz e com GB de memória RAM Modelo k-ε Nas simulações efectuadas com o modelo k-ε, em geral, o resíduo da equação da continuidade é menor que -5 e os resíduos das restantes equações, inferiores a -7. Os factores de sub-relaxação utilizados nas as malhas estruturadas e não estruturadas são apresentados nas tabelas 4.5 e 4.6. Para garantir a estabilidade do cálculo foi necessário utilizar factores de sub-relaxação relativamente baixos, desta forma o número de iterações até atingir o critério de convergência imposto torna-se mais elevado. A consequência directa desta prática é que o tempo de cálculo de cada simulação aumenta. Número de Elementos Pressão Massa Específica Forças mássicas Factores de Sub-Relaxação Quantidade de movimento Energia Cinética Turbulenta Taxa de Dissipação de Energia Viscosidade Turbulenta 968,3,3,,, 3958,3,3,,, 838,3,3,,, 556,3,3,,, Tab. 4.5 Factores de sub-relaxação utilizados no modelo k-ε com as malhas estruturadas. 46

65 Número de Elementos Pressão Massa Específica Forças mássicas Factores de Sub-Relaxação Quantidade de movimento Energia Cinética Turbulenta Taxa de Dissipação de Energia Viscosidade Turbulenta 4838,3,3,,, 334,3,7,8, ,3,3,,, 93634,3,3,,, Tab. 4.6 Factores de sub-relaxação utilizados no modelo k-ε com as malhas não estruturadas. Os gráficos de evolução do resíduo para as malhas mais finas, estruturada e não estruturada, são apresentados nas figuras 4.6 e 4.7. Estes gráficos mostram o número de iterações necessárias até se conseguir a convergência e o comportamento do resíduo para os factores de sub-relaxação utilizados. No caso da malha estruturada, o resíduo não apresenta oscilações apreciáveis, embora, para a malha não estruturada, entre as 3 e as iterações, sejam visíveis algumas oscilações, que posteriormente desapareceram na sua quase totalidade. Fig. 4.6 Gráfico de evolução do resíduo para a malha estruturada de 556 elementos. Fig. 4.7 Gráfico de evolução do resíduo para a malha não estruturada de elementos. 47

66 Os gráficos de desenvolvimento residual para as restantes malhas são apresentados no anexo Modelo k-ω Para o modelo k-ω, o resíduo da equação da continuidade mantém-se, em geral, menor que -5. O resíduo da equação de ω também ronda os mesmos valores e os resíduos das restantes equações são inferiores a -7. Os factores de sub-relaxação utilizados nas simulações deste modelo são apresentados na tabela 4.7. Número de Elementos Pressão Massa Específica Forças mássicas Factores de Sub-Relaxação Quantidade de movimento Energia Cinética Turbulenta Taxa de Dissipação de Energia Viscosidade Turbulenta 788,,5,,, 9978,,,,, 76584,3,3,,, 334,,5,5,5,,, Tab. 4.7 Factores de sub-relaxação utilizados no modelo k-ω. Para garantir a estabilidade do cálculo foi necessário, para este modelo, utilizar factores de sub-relaxação ainda mais baixos que os utilizados no modelo k-ε, como se pode observar pela tabela anterior, sendo necessárias ainda mais iterações até o resíduo estabilizar. Mesmo assim, não foi possível obter-se convergência com malha de 9978 elementos e, no caso da malha de 334, como consequência dos factores de sub-relaxação utilizados e dado o refinamento da malha, após, aproximadamente, mês e dias de cálculo, com um Intel Core a.4 GHz e com GB de memória RAM, não foi possível conseguir-se a estabilidade do resíduo. Perante tais circunstâncias, apenas foi alcançada a convergência do resíduo em duas malhas, a de 788 e a de elementos, respectivamente. Na figura 4.8 é apresentado a evolução do resíduo da malha de elementos, correspondente à malha mais fina com que se obteve resultados considerados suficientemente precisos, que como se pode observar não apresenta instabilidade relevante no cálculo. Para as restantes simulações, os gráficos de evolução do resíduo podem ser consultados no anexo 4. 48

67 Fig. 4.8 Gráfico de evolução do resíduo para a malha de elementos Modelo Spalart-Allmaras No caso das simulações do modelo Spalart-Allmaras, que utilizou as mesmas malhas que o modelo k-ω, a convergência não foi tão difícil, pois permitiu utilizar factores de sub-relaxação mais elevados, poupando-se tempo de cálculo. Mas esta redução de recursos não só é devida aos factores de sub-relaxação mais baixos, mas também porque este modelo resolve apenas uma equação de transporte, ao contrário dos modelos k-ε e k-ω, que recorrem a duas equações. Nas simulações efectuadas com este modelo, em geral, o resíduo da equação da continuidade em valores menores que -5 e os resíduos das restantes equações, inferiores a -7. Os factores de sub-relaxação utilizados são apresentados na tabela 4.8. Factores de Sub-Relaxação Número de Elementos Pressão Massa Específica Forças mássicas Quantidade de movimento Viscosidade Turbulenta Modificada Viscosidade Turbulenta 788,3,3,, 9978,3,3,, 76584,3,3,, 334,3,4,4,4 Tab. 4.8 Factores de sub-relaxação utilizados no modelo Spalart-Allmaras. Nestas condições, o cálculo durou apenas, aproximadamente, quatro dias para a malha mais refinada. Na figura 4.9 é apresentado o gráfico de evolução do resíduo da malha de 334 elementos, correspondente à malha mais fina utilizada neste modelo, que como se pode observar não apresenta instabilidade. Apenas é visível, próximo das iterações, um pequeno pico devido ao aumento dos factores de sub-relaxação de,3 para,4 relativas à viscosidade turbulenta modificada e à viscosidade turbulenta. 49

68 Fig. 4.9 Gráfico de evolução do resíduo para a malha de 334 elementos. Os restantes gráficos de evolução do resíduo para as restantes simulações efectuadas, com este modelo de turbulência, encontram-se disponíveis no anexo Verificação de Y + Nesta sub-secção apresentam-se os valores de Y + obtidos nos elementos adjacentes às paredes sólidas para as malhas mais finas utilizadas neste estudo e cujos resultados são considerados suficientemente precisos. Como já foi referido, nos três modelos de turbulência testados são necessários diferentes refinamentos de malha na proximidade das paredes, dado que tratamento que cada modelo aplica na condição de fronteira nas paredes é diferente Modelo k-ε No modelo k-ε padrão, são aplicadas as funções parede, e portanto, na proximidade da parede, o refinamento da malha foi direccionado para que a altura do primeiro elemento cumprisse valores de y + correspondentes à região logarítmica, ou seja, 3 < y + < 3 e, + preferencialmente, y 5. Contudo, para este modelo, valores abaixo da região logarítmica estão protegidos pela opção enhanced wall treatment, como foi referido em A figura seguinte mostra os respectivos valores, em cada uma das fronteiras sólidas, obtidos neste modelo para a malha estruturada de 556 elementos. Como se pode observar a grande maioria dos elementos apresenta-se dentro da gama de 3 y < 3. Na região do bordo de ataque, na vizinhança do ponto de estagnação, e do bordo de fuga, na vizinhança da esteira, na pá e no cubo, + y toma valores menores que 3. < + 5

69 4 Invólucro Exterior 4 Cubo-Zona da Pá Cubo-Zona de Entrada Cubo-Zona de Saída Y Y Z (a) Z (b) Y + 4 Pressão Z (c) Y + 4 Sucção Z (d) Fig. 4. Valores de Y + obtidos na malha estruturada de 556 elementos para o modelo k-ε: (a) no invólucro exterior; (b) no cubo; (c) no lado de pressão da pá; (d) no lado de sucção da pá. No caso da malha não estruturada de elementos utilizada neste modelo, como seria de esperar, os valores de + y tomam valores muito semelhastes aos obtidos com a malha estruturada, dado que se manteve a altura do primeiro elementos adjacente às paredes sólidas. Tal facto é observável na figura seguinte. 4 Invólucro Exterior 4 Cubo-Zona da Pá Cubo-Zona de Entrada Cubo-Zona de Saída Y + 8 Y Z (a) Z (b) Fig. 4. Valores de Y + obtidos na malha não estruturada de elementos para o modelo k-ε: (a) no invólucro exterior; (b) no cubo; 5

70 Y Pressão Z (c) Y Sucção Z (d) Fig. 4. (continuação) Valores de Y + obtidos na malha não estruturada de elementos para o modelo k-ε: (c) no lado de pressão da pá; (d) no lado de sucção da pá Modelo k-ω e Spalart-Allmaras No caso dos modelos k-ω e Spalart-Allmaras, as malhas devem ser suficientemente finas de modo a que estes possam resolver a sub-camada linear, y < 5 e, preferencialmente, + y. As figuras seguintes mostram os valores de + + y obtidos, em cada uma das fronteiras sólidas, para a malha de elementos do modelo k-ω e para a malha de 334 elementos utilizada no modelo Spalart-Allmaras, respectivamente. Como se pode observar todos os elementos tomam valores de y < Invólucro Exterior 5 4 Cubo-Zona da Pá Cubo-Zona de Entrada Cubo-Zona de Saída 4 3 Y + 3 Y Z (a) Z (b) Fig. 4. Valores de Y + obtidos na malha estruturada de elementos para o modelo k-ω: no invólucro exterior; (b) no cubo; 5

71 7 7 6 Pressão 6 Sucção Y + 3 Y Z (c) Z (d) Fig. 4. (continuação) Valores de Y + obtidos na malha estruturada de elementos para o modelo k-ω: (c) no lado de pressão da pá; (d) no lado de sucção da pá Invólucro Exterior 5 4 Cubo-Zona da Pá Cubo-Zona de Entrada Cubo-Zona de Saída 4 3 Y + 3 Y Z (a) Z (b) Pressão 6 Sucção Y + 3 Y Z Z (c) (d) Fig. 4.3 Valores de Y + obtidos na malha estruturada de 334 elementos para o modelo Spalart-Allmaras: (a) no invólucro exterior; (b) no cubo; (c) no lado de pressão da pá; (d) no lado de sucção da pá. 53

72 4..6 Resultados Obtidos Nesta sub-secção são apresentados os resultados obtidos com o código FLUENT para o escoamento viscoso, na roda da turbina, utilizando os três modelos de turbulência referidos anteriormente. Os resultados apresentados foram calculados com as malhas mais refinadas com as quais se obteve resultados considerados suficientemente precisos. Ou seja, para o modelo k-ε a malha não estruturada de elementos e a malha estruturada de 556 elementos, para o modelo Spalart-Allmaras a malha estruturada de 334 e para o modelo k-ω a malha estruturada de Esta última malha apresenta um refinamento mais grosseiro, quando comparada com as utilizadas nos outros modelos de turbulência, dado que, como já referido na sub-secção , corresponde à malha mais refinada com que se conseguiu a convergência desejada. Começa-se por se apresentar as médias axissimétricas das componentes da velocidade e da quantidade de movimento, nas secções de entrada e de saída. Em todos os gráficos, os valores apresentados referem-se a valores nas células e não nos nós e, portanto, junto das paredes, os valores das velocidades não tomam valores nulos, contudo, verifica-se uma tendência para esse valor. Todas as médias circunferenciais da velocidade apresentadas neste trabalho são adimensionalizadas com a velocidade axial média na secção de entrada da roda e, a quantidade de movimento angular, é ainda adimensionalizada pelo raio da roda. Os perfis das médias axissimétricas da componente axial da velocidade, V * a, na secção de entrada, são apresentados nas figuras 4.4a), 4.4b) e 4.4c), onde é possível observar um aumento da velocidade axial na secção de entrada junto das fronteiras sólidas (cubo e invólucro exterior). Nos modelos k-ω e Spalart-Allmaras, este aumento é mais acentuado do que no modelo k-ε, pois nos dois primeiros é resolvida a sub-camada laminar e no modelo k-ε são aplicadas funções de parede. O seu propósito é compensar o défice de caudal junto da parede, ou seja, satisfazer a condição de fronteira de entrada velocidade axial uniforme cumprido assim o caudal desejado. Na figura 4.4d) são apresentados os perfis das médias axissimétricas da componente axial mas numa secção 8 centímetros a jusante da secção de entrada. O efeito da camada limite obriga a um aumento de 3% desta componente da velocidade, na região central, sendo também aqui visível, a diferença entre o tratamento, na vizinhança das paredes, dos diferentes modelos de turbulência. 54

73 K-Epsilon Não Estruturada K-Epsilon Estruturada K-Omega Spalart-Allmaras V a * K-Epsilon Não Estruturada K-Epsilon Estruturada K-Omega Spalart-Allmaras D * (a) V a * D * (b).6 K-Epsilon Não Estruturada K-Epsilon Estruturada K-Omega. Spalart-Allmaras.6 K-Epsilon Não Estruturada K-Epsilon Estruturada K-Omega. Spalart-Allmaras.8.8 V a *.4 V a * D * (c) D * Fig. 4.4 Médias axissimétricas da velocidade axial: (a) na secção de entrada - vista geral; (b) na secção de entrada - realce dos perfis; (c) na secção de entrada - pormenor junto do invólucro exterior; (d) numa secção a z =.75 m. (d) Os perfis das médias axissimétricas da velocidade axial na secção de saída (figura 4.5) são aproximadamente uniformes, excepto na vizinhança das paredes. Os resultados são muito semelhantes em todos os modelos de turbulência, contudo, o modelo Spalart-Allmaras apresenta maior uniformidade e diferenças existentes, entre os modelos, devem-se aos diferentes tipos e refinamentos de malha. Este resultado está de acordo com o previsto no projecto da roda [], tendo em vista a distribuição radial adoptada para a troca de energia por unidade de massa, E r, entre a roda e o fluido [8] V a * K-Epsilon Não Estruturada K-Epsilon Estruturada K-Omega Spalart-Allmaras D * Fig. 4.5 Médias axissimétricas da velocidade axial na secção de saída. 55

74 As figuras seguintes representam, respectivamente, as médias circunferenciais na secção de entrada e saída, das componentes radial e tangencial da velocidade, nos referenciais absoluto e relativo, e da quantidade de movimento angular K-Epsilon Não Estruturada K-Epsilon Estruturada K-Omega Spalart-Allmaras V r * -.5 V r * K-Epsilon Não Estruturada K-Epsilon Estruturada K-Omega Spalart-Allmaras D * D * (a) (b) Fig. 4.6 Médias axissimétricas da componente radial da velocidade: (a) entrada; (b) saída. V θ * K-Epsilon Não Estruturada K-Epsilon Estruturada K-Omega Spalart-Allmaras D * V θ * K-Epsilon Não Estruturada K-Epsilon Estruturada -. K-Omega -. Spalart-Allmaras D * (a) (b) Fig. 4.7 Médias axissimétricas da componente tangencial da velocidade: (a) entrada; (b) saída. W θ * K-Epsilon Não Estruturada K-Epsilon Estruturada K-Omega Spalart-Allmaras D * W θ * K-Epsilon Não Estruturada K-Epsilon Estruturada K-Omega Spalart-Allmaras D * (a) (b) Fig. 4.8 Médias axissimétricas da componente tangencial da velocidade relativa: (a) entrada; (b) saída. 56

75 (rv θ ) *.48 K-Epsilon Não Estruturada K-Epsilon Estruturada.479 K-Omega.478 Spalart-Allmaras D * (rv θ ) *.9 K-Epsilon Não Estruturada.8 K-Epsilon Estruturada.7 K-Omega Spalart-Allmaras D * (a) (b) Fig. 4.9 Médias axissimétricas da quantidade de movimento angular: (a) entrada; (b) saída. Os resultados representados na figura 4.6 mostram que para todos os modelos de turbulência, a componente radial da velocidade à entrada, que é imposta na condição de fronteira, é nula excepto junto à parede. Esta ligeira variação é expectável devido ao comportamento da componente axial da velocidade nesta secção. Na secção de saída, os resultados obtidos, para a componente radial da velocidade, com a malha não estruturada utilizada no modelo k-ε, apresentam um perfil de velocidade diferente do esperado, e dos restantes casos simulados. Presume-se que na origem desta disparidade esteja um menor refinamento de elementos, na secção de saída, quando comparado com o grau de refinamento das malhas estruturadas. A componente tangencial da velocidade, nos referenciais absoluto e relativo, à entrada (figura 4.7a) e 4.8a)), impostas na condição de fronteira de entrada, apresentam, para a escala representada, uma distribuição regular e muito semelhante ou praticamente coincidente, nos três modelos. A evolução da quantidade de movimento angular segundo a direcção radial na secção de entrada é também apresentada no gráfico da figura 4.9a). Neste gráfico, o modelo Spalart-Allmaras mostra algumas oscilações indesejadas e não explicáveis, contudo, estas oscilações induzidas são de pequena escala, na ordem e % do valor de referência (k=,475). É também visível a presença da camada limite. Na secção de saída, a componente tangencial da velocidade e a quantidade de movimento angular não são nulos como imposto na condição de projecto, contudo, a sua variação atinge, valores máximos, entre os,6 e,85, apenas na região próxima do invólucro exterior. Estes valores indicam que, nessa região, para que a condição de projecto seja satisfeita é necessário retirar mais energia ao fluído, aumentando a deflexão do escoamento, ou seja, aumentando a corda, a flecha, a espessura ou o ângulo de ataque. Na figura 4.3 e 4.3 são apresentados, nas secções de entrada e de saída, respectivamente, o coeficiente de pressão total, P P ref C = (4.8) ρv ref 57

76 calculado para cada modelo de turbulência e tipo de malha, onde a velocidade de referência, V ref, é igual à velocidade média na secção de entrada, a pressão de referência, P ref, é igual à pressão de total média à entrada e P é a pressão total em cada nó da malha. Na secção de entrada, as isolinhas mostram o efeito de camada limite em cada modelo, para os diferentes tipos de tratamento de proximidade à parede. No caso dos modelos Spalart-Allmaras e k-ω, dado que é resolvida a sub-camada laminar, o coeficiente de pressão total apresenta gradientes mais acentuados na proximidade do cubo e do invólucro exterior, por imposição de velocidade axial uniforme à entrada. É também visível, no caso do modelo k-ε, com malha não estruturada, o efeito da extrapolação efectuada pelo código para a fronteira de entrada, dado que as variáveis são calculadas no centro dos elementos. A uniformidade dos campos de pressão, segundo teta, é razoavelmente bem verificada em todos os casos, excepto na malha não estruturada utilizada no modelo k-ε, que apresenta menor discretização da malha. (a) (b) (c) (d) Fig. 4.3 Distribuições do coeficiente de pressão total, C, na secção de entrada para: (a) Modelo k-ε e malha não estruturada; (b) Modelo k-ε e malha estruturada; (c) Modelo k-ω; (d) Modelo Spalart-Almaras. A não uniformidade dos campos de pressão, na região central da secção de saída da roda, em todos os modelos de turbulência e tipos de malha utilizados, permitem duvidar da distância, no domínio computacional, entre a secção de saída da roda e o bordo de fuga da pá, aconselhando o seu aumento. A variação dos campos de pressão entre os modelos de turbulência e tipos de malha utilizados é novamente mais visível na malha não estruturada do modelo k-ε e na malha estruturada do modelo k-ω. Nos dois casos as malhas apresentam menor discretização secção de saída, 768 e 347 elementos, respectivamente, enquanto as malhas estruturadas dos modelos k-ε e Spalart-Allmaras têm 6696 e 678 elementos, respectivamente. 58

77 (a) (b) (c) (d) Fig. 4.3 Distribuições do coeficiente de pressão total na saída: (a) Modelo k-ε e malha não estruturada; (b) Modelo k-ε e malha estruturada; (c) Modelo k-ω; (d) Modelo Spalart-Almaras. (a) (b) (c) (d) Fig. 4.3 Distribuições do momento angular na secção de entrada para: (a) Modelo k-ε e malha não estruturada; (b) Modelo k-ε e malha estruturada; (c) Modelo k-ω; (d) Modelo Spalart-Almaras. A quantidade de movimento angular, para secção de entrada, é representado por isolinhas na figura 4.3. As pequenas oscilações representadas, devem-se, novamente a discretização da malha e à extrapolação efectuada pelo código para a obtenção das variáveis na fronteira. Contudo, esta variação é muito ligeira, atendendo à escala da legenda. No caso do modelo Spalart-Allmaras, as variações apresentadas comprovam as oscilações da figura 4.9a). As distribuições da quantidade de movimento angular mostram que a condição de fronteira ( rv θ = const. ), na secção de fronteira de entrada, é satisfeita com boa aproximação. Para a secção de saída, o comportamento do momento angular mostra pequenas diferenças entre os modelos de turbulência. Próximo do cubo, o seu valor é nulo, ou ligeiramente negativo, e próximo do invólucro exterior apresenta uma pequena região de valores positivos, significando que, nessa região, não foi extraída toda a energia ao fluido que tinha sido prevista no projecto da roda. Estas distribuições permitem concluir que, para os diferentes modelos de turbulência e tipos de malha, a quantidade de movimento angular é 59

78 difundida ou dissipada a uma taxa diferente. O modelo k-ε apresenta resultados muito parecidos entre os dois tipos de malha utilizados. (a) (b) (c) (d) Fig Distribuições do momento angular na secção saída para: (a) Modelo k-ε e malha não estruturada; (b) Modelo k-ε e malha estruturada; (c) Modelo k-ω; (d) Modelo Spalart-Almaras. Nas figuras 4.34 e 4.35 são comparadas as distribuições do coeficiente de pressão no intradorso e extradorso da pá, respectivamente. O coeficiente de pressão, C p, é dado por: C p P P rel = (4.9) ρv ref com, P a pressão estática, P rel a pressão de estagnação relativa à entrada e V ref a velocidade de referência, obtida pela seguinte expressão: VaE + VaS WθE + WθS VrE + VrS Vref = + + (4.) onde os índices a, r, θ, E e S representam a direcção axial, radial e tangencial da velocidade, nas secções de entrada e saída, respectivamente. Estes valores são integrados nas duas secções e a componente radial à entrada e saída foi desprezada, dado tomar valores muito baixos (próximos de zero) quando comparada com as componentes axial e tangencial. Para os diferentes modelos de turbulência e tipos de malha, as distribuições obtidas são muito semelhantes, existindo apenas diferenças perceptíveis no intradorso da pá, na região vizinha do cubo e no extradorso, na região vizinha do invólucro exterior. No intradorso, as distribuições de pressão são bastante suaves numa área significativa da superfície, tal como previsto nas condições de projecto. No extradorso, o ponto de pressão mínima encontra-se numa zona próxima da região central da superfície e apresenta, também, uma distribuição de pressão suave. Estas distribuições, entre o lado de pressão e de sucção da pá, implicam carga aproximadamente constante ao longo de uma parte significativa da sua envergadura, como previsto por projecto. 6

79 (a) (b) (c) (d) Fig Distribuições do coeficiente de pressão no intradorso da pá para: (a) Modelo k-ε e malha não estruturada; (b) Modelo k-ε e malha estruturada; (c) Modelo k-ω; (d) Modelo Spalart-Almaras. (a) (b) (c) (d) Fig Distribuições do coeficiente de pressão no extradorso da pá para: (a) Modelo k-ε e malha não estruturada; (b) Modelo k-ε e malha estruturada; (c) Modelo k-ω; (d) Modelo Spalart-Almaras. Na figura 4.36 são apresentadas as distribuições do coeficiente de pressão em doze perfis nos raios utilizados no projecto e no estudo bidimensional. O coeficiente de pressão e a velocidade de referência foram determinados recorrendo às equações 4.9 e 4.; as componentes da velocidade utilizadas para velocidade de referência representam a média circunferencial para a respectiva coordenada radial. A distribuição no perfil coincidente com o cubo é a que apresenta menor semelhança entre três modelos utilizados e as maiores diferenças ocorrem entre o bordo de ataque e o ponto de pressão mínima. Para as restantes secções pode observar-se uma ligeira diferença apenas na zona do bordo de ataque, excepto para o perfil coincidente com o invólucro exterior. Neste perfil as distribuições são significativamente diferentes, e variam consoante o tratamento de proximidade às fronteiras sólidas aplicadas nos modelos de turbulência, sendo mais 6