CÁLCULO I. Jair Vignolle da Silva

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1 INSTITUTO FEDERAL SUL-RIO-GRANDENSE UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL Programa de Fomento ao Uso das TECNOLOGIAS DE COMUNICAÇÃO E INFORMAÇÃO NOS CURSOS DE GRADUAÇÃO - TICS CÁLCULO I Jair Vignolle da Silva Ministério da Educação

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3 Cálculo I SILVA, J. V. 2012/1 Copyright 2011 Universidade Aberta do Brasil Instituto Federal Sul-rio-grandense Produzido pela Equipe de Produção de Material Didático da Universidade Aberta do Brasil do Instituto Federal Sul-rio-grandense TODOS OS DIREITOS RESERVADOS

4 TECNOLOGIAS DE COMUNICAÇÃO E INFORMAÇÃO NOS CURSOS DE GRADUAÇÃO - TICS PRESIDÊNCIA DA REPÚBLICA Dilma Rousseff PRESIDENTE DA REPÚBLICA FEDERATIVA DO BRASIL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Fernando Haddad MINISTRO DO ESTADO DA EDUCAÇÃO Luiz Cláudio Costa SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR - SESU Eliezer Moreira Pacheco SECRETÁRIO DA EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA Luís Fernando Massonetto SECRETÁRIO DA EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA SEED Jorge Almeida Guimarães PRESIDENTE DA COORDENAÇÃO DE APERFEIÇOAMENTO DE PESSOAL DE NÍVEL SUPERIOR - CAPES INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA SUL-RIO-GRANDENSE [IFSUL] Antônio Carlos Barum Brod REITOR Daniel Espírito Santo Garcia PRÓ-REITOR DE ADMINISTRAÇÃO E DE PLANEJAMENTO Janete Otte PRÓ-REITORA DE DESENVOLVIMENTO INSTITUCIONAL Odeli Zanchet PRÓ-REITOR DE ENSINO Lúcio Almeida Hecktheuer PRÓ-REITOR DE PESQUISA, INOVAÇÃO E PÓS-GRADUAÇÃO Renato Louzada Meireles PRÓ-REITOR DE EXTENSÃO IF SUL-RIO-GRANDENSE CAMPUS PELOTAS IF SUL-RIO-GRANDENSE DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Luis Otoni Meireles Ribeiro CHEFE DO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Beatriz Helena Zanotta Nunes COORDENADORA DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL UAB/IFSUL Marla Cristina da Silva Sopeña COORDENADORA ADJUNTA DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL UAB/ IFSUL Cinara Ourique do Nascimento COORDENADORA DA ESCOLA TÉCNICA ABERTA DO BRASIL E-TEC/IFSUL Ricardo Lemos Sainz COORDENADOR ADJUNTO DA ESCOLA TÉCNICA ABERTA DO BRASIL E-TEC/ IFSUL IF SUL-RIO-GRANDENSE UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL Beatriz Helena Zanotta Nunes COORDENADORA DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL UAB/IFSUL Marla Cristina da Silva Sopeña COORDENADORA ADJUNTA DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL UAB/ IFSUL Mauro Hallal dos Anjos GESTOR DE PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO PROGRAMA DE FOMENTO AO USO DAS TECNOLOGIAS DE COMUNICAÇÃO E INFORMAÇÃO NOS CURSOS DE GRADUAÇÃO TICs Raquel Paiva Godinho GESTORA DO EDITAL DE TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO TICS/IFSUL Ana M. Lucena Cardoso DESIGNER INSTRUCIONAL DO EDITAL TICS Lúcia Helena Gadret Rizzolo REVISORA DO EDITAL TICS José Carlos Pereira Nogueira DIRETOR-GERAL DO CAMPUS PELOTAS Clóris Maria Freire Dorow DIRETORA DE ENSINO João Róger de Souza Sastre DIRETOR DE ADMINISTRAÇÃO E PLANEJAMENTO Rafael Blank Leitzke DIRETOR DE PESQUISA E EXTENSÃO Roger Luiz Albernaz de Araújo CHEFE DO DEPARTAMENTO DE ENSINO SUPERIOR

5 EQUIPE DE PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO UAB/IFSUL Lisiane Corrêa Gomes Silveira GESTORA DA EQUIPE DE DESIGN Denise Zarnottz Knabach Felipe Rommel Helena Guimarães de Faria Lucas Quaresma Lopes Tabata Afonso da Costa EQUIPE DE DESIGN Catiúcia Klug Schneider GESTORA DE PRODUÇÃO DE VÍDEO Gladimir Pinto da Silva PRODUTOR DE ÁUDIO E VÍDEO Marcus Freitas Neves EDITOR DE VÍDEO João Eliézer Ribeiro Schaun GESTOR DO AMBIENTE VIRTUAL DE APRENDIZAGEM Giovani Portelinha Maia GESTOR DE MANUTENÇÃO E SISTEMA DA INFORMAÇÃO Anderson Hubner da Costa Fonseca Carlo Camani Schneider Efrain Becker Bartz Jeferson de Oliveira Oliveira Mishell Ferreira Weber EQUIPE DE PROGRAMAÇÃO PARA WEB

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7 Estatística Básica Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense SUMÁRIO CONTENTS S GUIA DIDÁTICO 9 UNIDADE A - NÚMEROS REAIS 13 Conjuntos numéricos fundamentais 14 Relação de ordem em IR 16 Intervalos 16 Inequações 17 Módulo ou valor absoluto 19 Propriedades 19 Exercícios 20 UNIDADE B - LIMITES - CONTINUIDADE 21 Noção intuitiva de limite de uma função 22 Definição formal de limite de uma função 24 Relação entre valor numérico e limite 24 Propriedades operatórias dos limites 25 Limites indeterminados 26 Limites no infinito 28 Limites infinitos 31 Limites fundamentais 33 Exercícios 38 Continuidade de funções 39 Exercícios 43 UNIDADE C - DERIVADAS 45 Definição de derivada de uma função 46 Regras de derivação 49 Exercícios 61 Derivadas sucessivas 63 Derivadas das funções implícitas 64 Derivadas das funções na forma paramétrica 64 Aplicações de derivadas 65 Exercícios 75 UNIDADE D - INTEGRAIS 77 Definição de diferencial de uma função 78 Definição de primitiva ou antiderivada de uma função 79 Definição de integral de uma função 79 Integração imediata 81 Integração por partes 83 Integração de funções que contém trinômios do 2 o grau 85 Integral definida 87 Área de figuras planas por integração 89 Volume dos sólidos de revolução 91 Exercícios 93 Respostas 96 7

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9 Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense GUIA DIDÁTICO GD Prezado(a) aluno(a), Bem-vindo(a) ao espaço de estudo da disciplina de Cálculo I. Nosso estudo será dividido em quatro etapas: A, B, C e D. Guia Didático Na etapa A, veremos uma introdução ao cálculo, com conjuntos numéricos fundamentais, intervalos, desigualdades e resolução de equações e inequações modulares. Para a etapa B, estudaremos limites e continuidade de diversos tipos de funções. Seu conceito, propriedades e cálculo, propriamente dito. APRESENTAÇÃO Na terceira etapa, C, aprenderemos a derivar variados tipos de funções bem como estudar suas aplicações. Na etapa, D, finalizamos com o estudo da integração de funções, e suasaplicações. A avaliação se dará por meio de participação em trabalhos propostos como listas de exercícios, participação em fóruns e por instrumento de avaliação no encontro presencial. Bom trabalho! Objetivos Objetivo Geral Ao final desta disciplina o aluno será capaz de aplicar a questões relevantes os principais resultados ligados ao estudo da derivação e da integração de funções de uma variável real. Habilidades Identificar os conjuntos numéricos fundamentais; Resolver equações e inequações; Representar e operar com intervalos; Aplicar a definição de valor absoluto para resolver equações e inequações modulares. Definir limite de uma função; Aplicar as propriedades operatórias do limites; Calcular os diversos tipos de limites: indeterminados, infinitos, no infinito e fundamentais; Calcular limites laterais; Verificar a continuidade de uma função; Definir derivada de uma função; Calcular a derivada de uma função usando a definição de derivada; Derivar as diversas funções, usando as regras de derivação; Derivar usando derivadas sucessivas; Derivar as funções na forma implícita; Derivar as funções na forma paramétrica; Determinar e Interpretar a diferencial de uma função; Aplicar derivadas no cálculo de velocidade e aceleração; 9

10 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação Resolver problemas de taxa de variação; Calcular pontos de máximo e de mínimo de funções, usando derivadas; Determinar intervalos de crescimento e decrescimento de funções, usando derivadas; Aplicar derivadas na determinação de concavidade e ponto de inflexão; Esboçar gráficos de funções; Aplicar as regras de L Hospital; Definir integral indefinida; Resolver integrais imediatas; Calcular integrais pelo método da substituição de variáveis; Aplicar o método da integração por partes; Definir Integral Definida; Aplicar o teorema fundamental do cálculo; Integrar funções trigonométricas; Integrar funções que contenham polinômios do 2 grau; Integrar funções racionais por frações parciais; Calcular áreas planas por integração; Calcular o volume de um Sólido de revolução por integração. Avaliação Avaliação dos alunos O rendimento dos alunos será avaliado através das atividades propostas no curso e do instrumento de avaliação que ocorrerá em encontro presencial. Avaliação da disciplina Formativa: ao longo de seu desenvolvimento, o programa e os materiais da disciplina serão analisados pelos alunos e equipe de professores. Somativa: os alunos avaliarão a validade da disciplina para sua formação através de instrumento específico. Programação Primeira semana As atividades a serem desenvolvidas na 1ª semana são: 1. Conjuntos Numéricos Fundamentais 2. Intervalos 3. Desigualdades 4. Valor Absoluto 5. Equações e Inequações Modulares Segunda semana As atividades a serem desenvolvidas na 2ª semana são: 6. Noção Intuitiva de limite 7. Definição formal de limite 8. Unicidade do limite 9. Propriedades Operatórias dos Limites 10

11 Guia Didático Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense Terceira semana As atividades a serem desenvolvidas na 3ª semana são: 10. Limites Laterais 11. Propriedades dos Limites Infinitos 12. Limites Fundamentais Quarta semana As atividades a serem desenvolvidas na 4ª semana são: 13. Continuidade 14. Propriedades das Funções Contínuas 15. Teorema do Valor Intermediário Quinta semana As atividades a serem desenvolvidas na 5ª semana são: 16. A Reta Tangente 17. A Derivada de uma Função em um Ponto 18. Continuidade de Funções Deriváveis 19. Derivadas Laterais 20. Regras de Derivação 21. Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia) 22. Derivada do Produto 23. Derivada do Quociente 24. Derivada das Funções Elementares: função constante e função exponencial Sexta semana A atividade a ser desenvolvida na 6ª semana é: 25. Derivada das Funções Elementares: função constante, função exponencial, função exponencial composta, funções trigonométricas diretas e diversas, funções trigonométricas, hiperbólicas diretas Sétima semana As atividades a serem desenvolvidas na 7ª semana são: 26. Derivadas Sucessivas 27. Derivação Implícita 28. Derivada de uma Função na Forma Paramétrica Oitava semana A atividade a ser desenvolvida na 8ª semana é: 29. Aplicações de Derivada: velocidade e aceleração, taxa de variação, reta tangente Nona semana As atividades a serem desenvolvidas na 9ª semana são: 30. Aplicações de Derivada: pontos de máximo e de mínimo, funções crescentes e decrescentes, concavidade e ponto de inflexão, assíntotas horizontais e verticais, esboço de gráficos 31. Regras de L Hospital 11

12 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação Décima semana As atividades a serem desenvolvidas na 10ª semana são: 32. Integral Indefinida: definição e propriedades 33. Integrais Imediatas 34. Método da Substituição ou Mudança de Variável para Integração Décima primeira semana As atividades a serem desenvolvidas na 11ª semana são: 35. Método da Integração por Partes 36. Integral Definida: definição e propriedades 37. Teorema Fundamental do Cálculo 38. Integração das Funções que contenham polinômios do 2º grau Décima segunda semana A atividade a ser desenvolvida na 12ª semana é: 39. CONTEÚDOS: Aplicações de Integração: áreas planas por integração Décima terceira semana A atividade a ser desenvolvida na 13ª semana é: 40. Aplicações de Integração: volume de um sólido de revolução Currículo do Professor-Autor Jair Vignolle da Silva Possui graduação em Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade Católica de Pelotas (1985) e mestrado em Engenharia Oceânica pela Universidade Federal do Rio Grande (2008). Atualmente é professor ensino básico, téc. e tecnológico do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Sul- Rio-Grandense. < Referências ANTON, HOWARD ; BIVENS, IRL ; DAVES, STEPHEN. CALCULO. 5 ed.porto ALEGRE : BOOKMAN; vol 1.; STEWART, JAMES. CALCULO. 5 ed. SAO PAULO : THOMSON, 2003, vol 1.; HOFFMANN, LAURENCE D.. CALCULO : UM CURSO MODERNO E SUAS APLICACOES. 2 ed. RIO DE JANEIRO : LTC, 1990, vol 1.; GONCALVES, MIRIAN BUSS ; FLEMMING, DIVA MARILIA. CALCULO A : FUNCOES, LIMITE, DERIVACAO, INTEGRACÃO. 5 ed. FLORIANOPOLIS : UFSC, 1987.; SWOKOWSKI, EARL W.. CALCULO COM GEOMETRIA ANALITICA. 2 ed. SAO PAULO : MAKRON, 1994, vol 1.; 12

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15 Números Reais Unidade A Cálculo I

16 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação UNIDADE A Conjuntos numéricos fundamentais Em nosso cotidiano, frequentemente, fazemos uso dos números que fazem parte de diversas áreas do conhecimento humano. Ao analisarmos um exame de sangue temos uma ideia, por exemplo, de como está nossa taxa de glicemia, que na normalidade, deve variar de 70 a 99. Ao pagarmos uma conta de energia elétrica ou água, uma determinada porcentagem desse valor corresponde a impostos. Em uma compra, podemos decidir se é melhor pagar à vista com desconto ou a prazo, se os juros forem baixos. Percebemos que existe uma quantificação e esta, por sua vez, é expressa por números. Conjunto dos Números Naturais Em Matemática, esses números são organizados e classificados em conjuntos numéricos. O primeiro conjunto numérico que a humanidade fez uso foi o Conjunto dos Números Naturais, expresso por IN e que é constituído apenas por números inteiros e positivos: NÚMEROS REAIS Observa-se que este conjunto possui infinitos elementos, o que é representado pelas reticências (...). Conjunto dos Números Inteiros Relativos Mais tarde, ao surgirem as quantidades negativas, foi preciso ampliar este conjunto, criandose, então, o Conjunto dos Números Inteiros Relativos, indicado por Z, que contém apenas números inteiros positivos, negativos mais o zero: Observa-se que todo o número natural é também um número inteiro relativo. O conjunto Z apresenta os seguintes subconjuntos: ou seja, conjunto dos números inteiros não negativos. conjunto dos números inteiros não positivos. conjunto dos números inteiros positivos. conjunto dos números inteiros negativos. 16

17 Unidade A Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense Conjunto dos Números Racionais Como foi preciso trabalhar também com as quantidades fracionadas, ampliou-se o conjunto Z, construindo-se o Conjunto dos Números Racionais, simbolizado por Q, isto é, o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de fração. Este conjunto não pode ser representado por extensão, enumerando-se os seus elementos, pois dado um número racional, não se sabe qual será o próximo. Neste caso, podemos representar os infinitos números racionais por uma propriedade comum a todos eles, ou seja: Leia-se: o conjunto Q é o conjunto formado pelos elementos x tal que x seja igual a uma fração de numerador p e denominador q, onde p é um número inteiro e q um número inteiro diferente de zero. Verifica-se que todo o número inteiro relativo é também um número racional. Conjunto dos Números Irracionais Porém, há uma classe de números que não podem ser escritos na forma de fração, pois sua parte decimal é constituída de infinitas casas decimais, sem repetição periódica. Como exemplos: Estes números formam o Conjunto dos Números Irracionais, indicado por I. Um número não pode ser racional e irracional ao mesmo tempo, ou seja, ou se pode escrevê-lo na forma de fração ou não se pode. Conjunto dos Números Reais Pode-se representar por diagramas de Venn os conjuntos IN, Z, Q e I, e verificarmos a relação de inclusão que existe entre eles: Assim, temos que IN está contido em Z que está contido em Q, em símbolos: fazermos a união, constituímos o Conjunto dos Números Reais.. Ao Portanto, qualquer número é um número real, exceto os que resultam de uma raiz de índice par com radicando negativo. Estes fazem parte de uma outra classe de números, que pertencem ao Conjunto dos Números Complexos que no momento, não faz parte do nosso estudo. 17

18 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação É possível fazer uma correspondência biunívoca entre os elementos do conjunto dos números reais e os pontos de uma reta (chamada, então, de reta real). Isto significa que a cada ponto dessa reta corresponde um único número real e a cada número real corresponde um único ponto da reta. Vejamos então: Relação de ordem em IR O conjunto IR possui uma relação importantíssima: a relação de ordem entre seus elementos. Esta relação se dá ao ordenarmos seus elementos em ordem crescente. O sentido de crescimento é o da esquerda para a direita. Por exemplo, o elemento 5 é maior que o elemento 3 porque 5 está à direita de 3 na reta real. O elemento 3 é menor que 5 porque está localizado à esquerda de 5 na reta real (veja reta real). Usamos os símbolos <,, > para indicar a relação de ordem: 5 > 3 (leia-se: 5 é maior que 3) 6 10 (leia-se: 6 é maior ou igual a 10) 3 < 5 (leia-se: 3 é menor que 5) 10 6 (leia-se: 10 é maior ou igual a 6) Intervalos Definição de Intervalo Vamos pensar sobre os questionamentos: qual é o próximo número real depois do número real 2? E qual será o último número real antes de número real 3? Difícil de responder não é? Pois é, na verdade, essas perguntas não têm respostas. Vejamos quanto à primeira: pode-se pensar que é o numero real 2,01, mas basta aumentar o número de casas decimais (2,001) e tem-se um número mais próximo de 2. Isto pode ser feito infinitamente. O mesmo ocorre na segunda pergunta: pode-se pensar em 2,99, mas basta aumentar o número de casas (2,9999) e tem-se um valor mais próximo de 3. Também se pode adotar esse procedimento infinitamente. Portanto, existem infinitos números reais entre 2 e 3. 18

19 Unidade A Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense Estes infinitos números reais formam um subconjunto de IR, chamado de intervalo. Tipos de Intervalos e sua Representação Dados dois números reais a e b, extremos do intervalo, com a < b, onde a é o extremo inferior e b o extremo superior, têm-se os seguintes tipos de intervalos e suas respectivas representações: Colhetes Conjuntos Reta ] a, b [ { x IR / a < x < b } [ a, b ] { x IR / a x b } [ a, b [ { x IR / a x < b } ] a, b ] { x IR / a < x b } ] a, + [ { x IR / x > a } [ a, + [ { x IR / x a } ] -, b [ { x IR / x < b } ] -, b ] { x IR / x b } ] -, + [ IR Inequações As inequações são sentenças matemáticas abertas que são expressas por desigualdades. Nesta secção, vamos recordar a resolução de diversos tipos de inequações: do 1 grau, 2 grau, simultâneas, produto e quociente. Exemplos resolvidos: Sendo U=IR, resolva as seguintes inequações: Ex1. Resolução: 19

20 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação Ex2. Como a inequação quer f ( x) < 0, então marcamos o intervalo onde f (x) é negativa: Ex3. Resolução: Para resolvermos esta inequação produto, vamos multiplicar os sinais e o resultado será o 20

21 Unidade A Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense intervalo que apresentar sinal positivo, pois. Módulo ou valor absoluto Define-se como valor absoluto de um número real x como: Significa dizer que se x representa a coordenada de um ponto na reta real, então x é a distância, medida em quantidade de unidades, que esse ponto se encontra da origem. Citamos como exemplos: Propriedades i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) 21

22 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação A seguir, apresentamos resoluções de equações e inequações envolvendo módulo. Essas inequações são resolvidas aplicando-se as propriedades do módulo. Ex4: Sendo U=IR, resolver a equação x + 1 = 2. Resolução: Ex5. Resolva a inequação, sendo U=IR. Resolução: 22

23 Unidade A Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense Exercícios 1. Sendo U=IR, determine o conjunto solução das seguintes inequações: a. b. c. d. e. f. g. 2. Resolva, em IR, as seguintes equações e inequações modulares: a. b. c. d. e. f. g. 23

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25 Limites Continuidade Unidade B Cálculo I

26 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação UNIDADE B Noção intuitiva de limite de uma função Tomemos a função. Vamos verificar o que acontece com o valor da variável dependente y dessa função quando o valor da variável independente x se aproxima do valor 1, por exemplo. Podemos fazer essa aproximação de duas maneiras distintas: por valores ligeiramente menores que 1 (tanto quanto se deseja) e por valores ligeiramente maiores que 1 (tanto quanto se queira), sem no entanto, fazermos o valor de x exatamente igual a 1. Para tal, vamos construir uma tabela, fazendo os valores de x próximos de 1, pela direita (valores ligeiramente maiores que 1): LIMITES x f(x)=-x+2 2 f(1)=-2+2=0 1,5 f(1,5)=-1,5+2=0,5 1,21 f(1,21)=-0,21+2=0,79 1,01 f(1,01)=-1,01+2=0,99 1,00001 f(1,00001)=-1, =0,99999 Verifica-se que quando x se aproxima de 1, por valores ligeiramente maiores que 1, y se aproxima de 1. Em notação matemática, tem-se:. (Leia-se: x tende a 1 pela direita);. (Leia-se: y tende a 1 pela direita); Diz-se, então que o limite lateral de f(x) quando x se aproxima de 1 pela direita é igual a 1 e denota-se: De outra forma, podemos construir uma tabela, fazendo os valores de x próximos de 1, pela esquerda (valores ligeiramente menores que 1): x f(x)=-x+2 0 f(0)=-0+2=2 0,5 f(0,5)=-0,5+2=1,5 0,71 f(0,71)=-0,71+2=1,29 0,95 f(0,95)=-0,95+2=1,05 0,99999 f(0,99999)=-0, =1,00001 Nota-se que quando x se aproxima de 1, por valores ligeiramente menores que 1, y se aproxima de 1. Em notação matemática, tem-se: (Leia-se: x tende a 1 pela esquerda); (Leia-se: y tende a 1 pela esquerda); 26

27 Unidade B Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense Diz-se, então que o limite lateral de f(x) quando x se aproxima de 1 pela esquerda é igual a 1 e denota-se: Convém destacar que essas aproximações são infinitesimais e que x nunca assume o valor exatamente igual a 1. O gráfico abaixo, da função ilustra bem esta situação: Como os limites laterais são iguais, conclui-se, então que o limite de f(x) quando x se aproxima de 1 é igual a 1 e denota-se 27

28 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação Definição formal de limite de uma função Seja f uma função definida em algum intervalo aberto contendo o ponto a, exceto possivelmente o próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a é L e escrevemos: As letras gregas representam valores infinitesimais. O significado dessa definição formal é que se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (o quanto se desejar), fazendo os valores de x se aproximarem de a (pela esquerda e pela direita), sem no entanto, tornarmos. Graficamente, tem-se que Relação entre valor numérico e limite Por definição, valor numérico e limite de uma função são conceitos diferentes. Por isso, a relação entre eles se dá de três maneiras como se vê nos seguintes exemplos: Ex1. f(x) está definida em a e Se, então Ex2 f(x) está definida em a, mas Se então e Ex3 f(x) não está definida em a : Se, então, mas observa-se que o que é uma indeterminação, ou seja,. Mas, por outro lado, este limite existe, sendo. 28

29 Unidade B Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense Vejamos, agora dois teoremas sobre limites: Teorema da Unicidade do Limite. Se o limite de uma função f existir, então é único. Teorema da Existência do Limite Se f é definida em todo intervalo aberto I contendo a, exceto possivelmente o próprio a, então existe, se e somente se. Isto significa dizer, informalmente, que o limite de uma função só existe se os seus limites existirem e forem iguais. Propriedades Operatórias dos Limites a) O limite de uma constante é a própria constante: Ex: b) O limite de uma função polinomial, de grau m, é igual ao valor numérico dessa função para quando a variável independente assume o valor da tendência. c) O limite de uma soma de funções é a soma dos limites dessas funções: Ex: d) O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções. Ex. e) O limite do produto de duas funções é o produto dos limites dessas funções: Ex: 29

30 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação Ex: Ex f) O limite de uma potência de uma função é a potência do limite dessa função. g) O limite da função logarítmica é logaritmo do limite dessa função., se h) O limite de uma função elevada a uma outra função é igual ao limite da função base elevada ao limite da função expoente. Ex. Limites Indeterminados No cálculo de limites, é comum aparecerem expressões do tipo: Diz-se que estas expressões são indeterminadas. Para esclarecer esta questão, vejamos os seguintes exemplos: Ex1:, ou seja, a divisão de zero por zero, dependendo das funções, pode ser qualquer valor real ou até mesmo não existir. Como não nos interessa o valor numérico da função para quando x assume o valor 0, mas sim o que acontece com a função quando x se aproxima de 0, podemos usar artifícios algébricos para calcular o limite em questão: (neste caso, houve uma simplificação do numerador com o denominador da função) Ex2: Simplificando-se o numerador e o denominador temos que 30

31 Unidade B Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense A seguir vejamos mais alguns casos de limites indeterminados que podem ser revolvidos por artifícios algébricos: Ex3: Calcule : (indeterminação!) Neste caso, como além de ser o valor da tendência, é também a raiz do polinômio do numerador e do polinômio do denominador, é possível simplificá-los, dividindo-os por. Outra forma de simplificação, que é mais rápida que a anterior é usar o dispositivo de Briot-Ruffini. Significa decompor esses polinômios em um produto de outros polinômios de grau menor. Aplicando Briot-Ruffini para, tem-se que Logo, Usando Briot-Ruffini para, tem-se que Logo, Podemos, então, calcular o limite, da seguinte forma: Ex4: Calcule (indeterminação!) Neste caso, podemos resolver este limite, multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado da expressão que traz a diferença de duas raízes quadradas. 31

32 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação Ex5: Calcule o valor de. (indeterminação!) A solução para esse tipo de limite, que possui raízes de índices diferentes, porém com o mesmo radicando, é fazermos uma substituição de variável da seguinte maneira: substituímos o radicando por uma variável qualquer, elevado a um expoente que é o m.m.c. (mínimo múltiplo comum) dos índices das raízes. Então fazemos:, mas esta substituição pode alterar o valor da tendência da variável x do limite. Ou seja, quando. Assim, reescrevemos o nosso limite, na variável y: Observe que agora, o limite ainda continua indeterminado, mesmo com mudança de variável. A vantagem é que podemos resolvê-lo como o limite do exemplo 3, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini: Limites no Infinito Observe o gráfico da função Note que quando x tende ao mais infitinto, os valores de y tendem a zero e quanto x tende ao menos infinito, os valores de y também tendem a zero. 32

33 Unidade B Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense Em símbolos podemos representar assim: e Estes limites são exemplos de limites no infinito, cuja definição formal apresentamos a seguir: Definição 1: Seja f uma função definida em um intervalo aberto. Escrevemos quando o número L satisfaz à seguinte condição:. Significa dizer que a partir de um determinado valor A, positivo, a função se estabiliza em torno do valor L. Definição 2: Seja f uma função definida em um intervalo aberto. Escrevemos quando o número L satisfaz à seguinte condição:. Significa dizer que a partir de um determinado valor B, negativo, a função se estabiliza em torno do valor L. Operações com Limites Infinitos: Supondo que sejam resultados de limites de funções, as seguintes situações podem ocorrer: A seguir apresentamos dois teoremas que serão muito úteis na resolução de limites infinitos. 33

34 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação Teorema 1: Se n é número inteiro positivo, então são válidos: Teorema 2: Sejam os polinômios, então Ex. Calcule o seguinte limite, usando os dois teoremas:. Solução: Usando o Teorema 1: Colocam-se os termos de maior grau da variável em evidência, no numerador e no denominador. Desta forma, os termos que estão dentro dos parênteses, com denominador na variável x, tendem a zero. Usando o Teorema 2: Basta usar os termos de maior grau da variável no numerador e no denominador, desprezando-se os demais. 34

35 Unidade B Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense Limites Infinitos No caso, são limites cujo resultado é o infinito. Observe o gráfico da função. Note que quando os valores de x se aproximam de 0, pela esquerda, os valores de y tendem ao mais infinito. E quando os valores de x se aproximam de 0, pela direita, os valores de y também tendem ao mais infinito. Em simbologia matemática, temos: (limites laterais da função) Como os limites laterais são iguais, então o limite da função existe: Definição 1: Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em. Diz-se que, se para qualquer A>0, existir um tal que f(x)>a sempre que. Definição 2: Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em. Diz-se que, se para qualquer B<0, existir um tal que f(x)<b sempre que. Teorema: Se n é um número inteiro positivo qualquer, então: Ex1: Calcule Solução: 35

36 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação Este resultado nos leva a pensar que o resultado desse limite se reduz a três possibilidades: não existir, ser + ou ser -. Nestes casos, uma saída é analisarmos os limites laterais: e Como os limites laterais são diferentes, então, ou seja, não existe este limite. O gráfico abaixo, da função ilustra bem esta situação: Ex2. Indeterminações da forma. Calcule: Ao fazermos a substituição da variável pelo valor da tendência, tem-se: (indeterminação) Solução: reduzir a uma só fração: (indeterminação) Multiplicando-se o limite pelo conjugado de (cos(2x)-1), tem-se: Lembrando que, então : 36

37 Unidade B Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense Ex3. Calcule Solução: (indeterminação) OBSERVAÇÃO: Limites Fundamentais São assim chamados porque apresentam casos especiais de indeterminações do tipo. Podemos agrupá-los em quatro casos distintos: Onde e representa o número de Euler: e =2,718 e k uma constante real. A verificação desses limites fundamentais pode ser feita facilmente traçando os gráficos das respectivas funções e verificando em torno do valor da tendência, o que acontece com a função. 37

38 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação Como ilustração, observe o gráfico da função : Repare que (limites laterais iguais). Então, Ex1. Calcule o valor de Solução: (indeterminação) Para ser um limite fundamental do 1 caso, devem acontecer duas condições: O valor da tendência deve ser tal que faça com que o arco do seno tenda a zero. A expressão algébrica do arco deve ser idêntica à expressão algébrica do denominador Este exemplo 1 é um limite indeterminado, mas não é um limite fundamental, pois falha a segunda condição:. Para resolvê-lo, vamos transformá-lo em um limite fundamental: para não alterar o valor do limite). (divide-se o denominador por 5 e multiplica-se o numerador também por 5 (propriedade operatória do limite) 38

39 Unidade B Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense Ex2. Calcule Resolução: (indeterminação) Ex3.Calcule Resolução: (indeterminação) Ex4: Calcule Solução: (indeterminação) Para transformar esse limite em um limite fundamental, usamos artifícios algébricos: (propriedades operatórias das potências e dos limites). 39

40 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação Ex5 Calcule Solução: (indeterminação) Neste caso, como precisamos trabalhar na base da função, fazemos uma substituição de variável para chegarmos ao limite fundamental: Fazendo ; Quando Ex6: Calcule Solução: (indeterminação) Para resolvê-lo, fazemos a seguinte substituição de variável: Quando Então Ex7: Calcule Solução: (indeterminação) 40

41 Unidade B Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense Observe que este limite é um limite fundamental, pois apresenta duas características: a variável (x) tende para um valor que torna nulo o expoente da base (2). a expressão algébrica do expoente da base (6x) é idêntica ao denominador (6x) Então Ex8: Calcule Solução: (indeterminação) É possível transformar esse limite em um limite fundamental por meio de manipulações algébricas: 41

42 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação Exercícios 1. Calcule os seguintes limites, aplicando as propriedades operatórias dos limites: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. 2. Continuação: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. 42

43 Unidade B Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense 3. Continuação a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. 43

44 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação UNIDADE B Continuidade de funções Empiricamente, identifica-se uma função contínua, quando ao plotarmos o seu gráfico, em um sistema cartesiano ortogonal, por exemplo, observa-se que todos os seus pontos são unidos por uma curva contínua. Isto é, a função não salta de um ponto para outro. Como exemplo, de função contínua, observe o gráfico da função CONTINUIDADE Veja que a função é definida para todos os infinitos pontos do seu domínio. 44

45 Unidade B Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense Como contraexemplo, observe o gráfico de Veja que a função não é definida para x = 1.Além disso, quando os valores de x se aproximam de 1, pela esquerda, os valores de y tendem para e quando os valores de x se aproximam de 1, pela direita, os valores de y tendem para.ou seja, em torno do valor x = 1, a função salta de para e, portanto, não é contínua em x = 1. Convém salientar que a continuidade de uma função é analisada ponto a ponto, ou em um intervalo específico. Uma função pode não ser contínua em um ponto e ser contínua em outro. É o que acontece com o exemplo anterior: a função apresenta descontinuidade somente em x = 1. Definição 1: Uma função f é contínua em um ponto a se forem satisfeitas as seguintes condições: 1. f é definida em algum intervalo aberto contendo o ponto a. Isto significa dizer que a pertence ao domínio de f e, portanto existe f(a). 2. Existe, ou seja, os limites laterais existem são iguais e finitos. 3., ou seja, o limite da função f quando x tende para a dever ser igual ao valor numérico da função no ponto x = a. Quando uma função não é contínua em a, dizemos que estão função é descontínua em a ou que apresenta uma descontinuidade em a. Se a primeira condição falhar, isto é, a não for um ponto que pertence ao domínio da função, então não há sentido em dizer se a função é contínua ou descontínua nesse ponto. Teorema da Continuidade Se uma função f é definida em um intervalo aberto a, então f é contínua em a, se para cada, 45

46 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação existe um, tal que sempre que. Ex1. Usando as condições de continuidade, verifique se a função é contínua no ponto x = 2. Solução: Verificando as condições de continuidade: 1. (o ponto x = 2 pertence ao domínio de f) Como as três condições foram satisfeitas, conclui-se que a função é contínua em x = 2. Observe o gráfico dessa função: Essa função é contínua para qualquer ponto do seu domínio. Ex2. O mesmo para a função no ponto x = 5 Solução: 1. f ( 5) = 3 2. Esta função é definida por mais de uma sentença, então vamos calcular os limites laterais: 46

47 Unidade B Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense 3. Como a terceira condição falhou esta função não é contínua em x = 5. Veja, abaixo, o gráfico dessa função: Repare que o gráfico desta função é uma reta que dá um salto em x = 5 Ex3. O mesmo para a função em x = 1. Solução:

48 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação Como a segunda condição falhou esta função não é contínua em x = 1. Observe o gráfico dessa função: Note que em torno do ponto x = 1 a função dá um salto. Exercícios 1. Verifique se as seguintes funções são contínuas nos pontos indicados. Justifique suas respostas. a. no ponto b. no ponto c. no ponto d. no ponto e. no ponto f. no ponto 48

49 Unidade B Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense 2. Seja, esboce o gráfico de f(x), calcule os limites indicados e verifique se f(x) é contínua em a. b. c. d. e. f. g. h. 49

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51 Derivadas Unidade C Cálculo I

52 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação UNIDADE C Nesta unidade estudamos um operador, aplicado às funções, chamado derivada. Este operador tem larga aplicação nos mais diversos campos das ciências exatas, naturais e até mesmo nas sociais. Como exemplos podem ser citados alguns estudos, entre outros: DERIVADAS A taxa de crescimento ou decrescimento de uma epidemia viral em relação ao tempo; A taxa do custo de produção de determinado produto em relação ao tempo; A taxa de variação do volume de um gás em relação à pressão; A taxa de variação da intensidade de corrente elétrica em relação à potência de um circuito; A taxa de variação do decrescimento da pupila do olho humano em relação à luminosidade de uma fonte de luz. É fácil deduzir, então, que o operador derivada está intimamente relacionado às taxas de variações. Definição de Derivada de uma Função Observe o gráfico de uma função y = f (x) : Marcamos um ponto A( x a, ya) sobre o gráfico de y = f (x) Adicionando-se incrementos Δx e Δy ao ponto A x a, y ), conseguimos o ponto. Veja que pelos pontos A x a, y ) e ( a ( a foi traçada uma reta secante à curva do gráfico, indicada por (s) com inclinação. O ponto C(x a +Δx,y a ) forma, com os pontos um triângulo retângulo. O lado que é um dos catetos desse triângulo é denominado Δx. Já o outro cateto, o lado é denominado de Δy, pois representam variações em x e em y, respectivamente. 52

53 Unidade C Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense Quando o ponto percorre a curva, tendendo para o ponto, A ( x a, ya),isto é, se aproximando cada vez mais, tanto quanto se queira, sem, no entanto chegar a A x a, y ), provoca as seguintes consequências: As diferenças Δx e Δy e tendem a zero:. ( a A reta secante, indicada por (s) que passa pelos pontos,tende a uma reta tangente, indicada por (t), com inclinação no ponto A inclinação da reta secante tende à inclinação da reta tangente: No triângulo ABC, retângulo em C, marcamos o ângulo desse ângulo, temos Incremental.. Calculando-se a tangente trigonométrica.esta relação entre os acréscimos é chamada de Função Razão Levando-se ao limite da Função Razão Incremental, quando o acréscimo dado à variável independente tende a zero, obtém-se a derivada da função y = f (x). Em linguagem matemática, vem: Usam-se os símbolos para se indicar a derivada de uma função, na variável dependente y, em relação à variável independente x. Ou de forma mais simples: a derivada de y em relação à x. Como, de forma geral, e,ou seja, as diferenças entre valores finais e iniciais, a definição de derivada também pode ser escrita assim: E a derivada de uma função y = f (x) em um ponto específico P x 1, y ) é definida por: ( 1 Exemplos: Ex1. Calcule pela definição a derivada da função y = 6 x + 3. Solução: Primeiro, damos acréscimos às variáveis x e y: Isolando, vem que Substituindo y: Dividindo ambos os termos por, tem-se que 53

54 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação Levando-se ao limite, quando Pode-se, também, resolver este exercício usando diretamente a definição: Solução: Substituindo no limite, temos: Ex2. Calcule a derivada da função f ( x) = 3x 2 + 1no ponto de abscissa. Solução: Usando a expressão., vem que Mais adiante, estudaremos qual é o significado geométrico de se calcular uma derivada em um ponto específico. Ex3. Usando a definição de derivada, derive a função Solução: Substituindo no limite, vem que: Ex4. O mesmo para a função 54

55 Unidade C Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense Solução: Substituindo no limite, vem que: Regras de Derivação Derivar uma função pela definição de derivada, como visto anteriormente, é em última análise, calcular um limite específico. Quando se trata de funções mais simples, este processo é eficiente e eficaz, mas para funções mais complexas, o método torna-se improdutivo e frequentemente muito trabalhoso. Para contornar este problema, foram criadas regras de derivação, que com o passar do tempo, foram agrupadas em um formulário denominado Formulário de Derivadas. Com esta ferramenta, o processo de derivação torna-se mais rápido, pois se consegue derivar uma função, sem usar o processo da definição. A seguir apresentamos o Formulário de Derivadas. Na primeira coluna encontram-se vários tipos de funções, em suas formas genéricas e, na segunda, as suas respectivas derivadas. Convém esclarecer que este Formulário de Derivadas está especificando as funções reais, com variável independente x e variável dependente y. Isto é, deriva-se a variável y em relação a variável x, o que não impede o seu uso para quaisquer outras duas variáveis diferentes de y ou x. Mais adiante, faremos exemplos dessa situação. 55

56 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação FORMULÁRIO DE DERIVADAS k, c, a, n constantes reais u, v w funções de x FUNÇÃO DERIVADA 01) 02) 03) 04) 05) ' f ( x) = k f ( x) = 0 ' f ( x) = kx f ( x) = k ' ' ' f ( x) = u( x) v( x) f ( x) = u ( x) v( x) + u( x) v ( x) u( x) f ( x) = v( x) 06) 07) 08) 09) 10) u( x) ' u( x) ' f ( x) = a f ( x) = a ln a u ( x) u( x) ' u( x) ' f ( x) = e f ( x) = e u ( x) f ( x) = log u( x) a f ( x) = ln u( x) 11) ' ' u ( x) f ( x) = u( x) 12) 13) 14) 15) 16) ' ' f ( x) = sen u( x) f ( x) = cos u( x) u ( x) f ( x) = cos u( x) ' 2 ' f ( x) = tan u( x) f ( x) = sec u( x) u ( x) f ( x) = cot u( x) ' ' f ( x) = sec u( x) f ( x) = secu( x) tan u( x) u ( x) 17) f ( x) = csc u( x) 56

57 Unidade C Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense 18) 19) 20) 21) 22) f ( x) = arcsen u( x) f ( x) = arccos u( x) f ( x) = arctan u( x) f ( x) = arccot u( x) f ( x) = arcsec u( x) 23) f ( x) = arccsc u( x) 24) 25) ' ' f ( x) = senh u( x) f ( x) = cosh u( x) u ( x) 26) ' ' f ( x) = cosh u( x) f ( x) = senh u( x) u ( x) 27) ' 2 ' f ( x) = tanh u( x) f ( x) = sec h u( x) u ( x) 28) f ( x) = coth u( x) 29) f ( x) = sec h u( x) 30) f ( x) = csc h u( x) 57

58 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação A seguir apresentamos exemplos resolvidos para cada uma das fórmulas que constam no Formulário de Derivadas. Ex5. Ex6. Ex7. Ex8. Ex9. 58

59 Unidade C Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense Ex10. Ex11. Ex12. 59

60 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação Ex13. Observação: este exemplo poderia ser resolvido, também, com a fórmula 05: Ex14. Ex15. Observação: esta fórmula é uma particularização da anterior, em que a = e 60

61 Unidade C Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense Ex16. Ex17. Observação: esta fórmula é uma particularização da anterior, fazendo-se a = e. Ex18. Observe que u(x)é o arco da função seno. Ex19. 61

62 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação Ex20. Ex21. Ex22. Ex23. 62

63 Unidade C Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense Ex24. Ex25. Ex26. 63

64 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação Ex27. Ex28. Ex29. 64

65 Unidade C Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense Ex30. Antes de continuarmos com os exemplos, convém recordar as funções hiperbólicas: Ex31. Ex32. 65

66 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação Ex33. Ex34. Ex35. \\ 66

67 Unidade C Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense Ex36. Exercícios 1. Derive as seguintes funções, usando a definição de derivada: a. b. c. d. e. f. 2. Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das funções abaixo, nos pontos indicados: a. b c. d. 3. Usando o formulário de derivadas, derive as funções a seguir, simplificando ao máximo os resultados:

68 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação

69 Unidade C Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense UNIDADE C Derivadas Sucessivas Até agora, aprendemos a derivar, uma única vez, diversas funções. É possível, porém, derivarmos mais de uma vez uma determinada função. Este processo tem algumas aplicações importantes que estudaremos mais adiante. A derivada de ordem n ou (n-ésima) derivada de y = f (x), que se representa por é conseguida quando se deriva a derivada de ordem de y = f (x). ' ' Ou seja, se y = f (x) é uma função derivável e se y = f ( x) for também uma função derivável, então a '' sua derivada é denominada derivada segunda de y = f (x), que se representa por y = f ''( x) (leia-se: derivada segunda ou f duas linhas) ou por (leia-se: derivada segunda de f em relação a x) Portanto, de forma geral: Exemplos: Ex1 Determine a quinta derivada de f ( x) = 3x 4 Solução: 1ªderivada: 2ª derivada: 3ª derivada: 4ª derivada: 5ª derivada Observe que a partir da quarta derivada, a ordem é representada por algarismos romanos. Ex2. Calcule a sexta derivada da função y = e Solução: 2x 69

70 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação Derivadas das Funções Implícitas Uma função é chamada de implícita quando se apresenta na forma F ( x, y) = 0, ou seja, quando há uma relação implícita entre as variáveis dependente e independente. Nem sempre é possível explicitar uma dessas variáveis. Caso isto seja possível, pode-se derivar essa função usando-se diretamente o formulário de derivadas. Caso contrário, ocorrendo a impossibilidade de expressarmos a função de forma explícita, ou seja, y = f (x), é necessário que se derive implicitamente a função. Vejamos o seguinte exemplo: Ex3. Calcule a derivada da função, em relação à variável x. Solução Como se quer a derivada de y em relação a x, ou seja,, vem que: Observe que a função derivada fica expressa em função das variáveis x e y. Derivadas das Funções na Forma Paramétrica É comum expressar as funções com uma variável em função de outra. Em muitos casos, torna-se muito conveniente que as ambas as variáveis sejam expressas em função de uma terceira variável chamada parâmetro. Geralmente, usa-se a letra t para indicarmos esse parâmetro. Se x = f (t) e y = f (t) variam dentro de um intervalo de valores de t, então o conjunto de pontos tal que ( x, y) = ( f ( t), g( t) define uma curva parametrizada. Essas equações são chamadas de equações paramétricas dessa curva. Exemplificando, a equação de uma circunferência de centro C (0,0) e raio r = 2 é expressa em sua forma 2 2 cartesiana por x + y = 4. Esta mesma equação pode ser escrita na forma paramétrica da seguinte maneira:, com. Isto significa que quanto t varia com os infinitos valores do intervalo, faz com que descreva todos os pontos x e y da circunferência. Para calcularmos a derivada de uma função, na forma paramétrica, usamos a seguinte fórmula: 70

71 Unidade C Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense Ex4. Dada a função, determine Solução: Esta derivada também pode ser escrita na forma cartesiana. Para isto, fazemos alguns artifícios de cálculos: Tomando a equação na forma Dividindo-se, membro a membro, a equação (1) por (2), vem que Substituindo-se na derivada, temos que Aplicações de Derivadas Reta Tangente Do gráfico 1, deduziu-se que, além disso, que é a definição de derivada de uma função. Sabe-se da geometria analítica, que o coeficiente angular m de uma reta é a tangente trigonométrica da inclinação desta reta. Entende-se como inclinação o menor ângulo positivo que a reta faz com o eixo. Portanto, conclui-se que, isto é, o coeficiente angular da reta tangente a uma curva em um ponto específico é a derivada desta função na abscissa deste ponto. Esta é a interpretação geométrica de derivada. Ex5. Determine as equações das retas tangente e normal à curva y = 2x no ponto A(1, 5) Resolução: Primeiro, vamos determinar a primeira derivada da função dada: Para encontrarmos o coeficiente angular da reta tangente a essa curva, substituímos a abscissa do ponto A na função derivada: 71

72 Cálculo I Fomento ao Uso das Tecnologias da Informação e Comunicação A seguir, escrevemos a equação da reta tangente, usando a fórmula da geometria analítica para a equação de uma reta que passa por um ponto conhecido e tem coeficiente angular m. Uma reta normal a uma curva, em um ponto, é uma reta perpendicular à reta tangente, nesse mesmo ponto. Como retas perpendiculares têm coeficientes angulares inversos e simétricos, fica fácil a determinação da equação da reta normal: O gráfico abaixo, ilustra esta situação: Taxa de Variação Velocidade e Aceleração Sabe-se da Física, que a velocidade escalar média é a razão entre o a variação do espaço percorrido pela variação do tempo: 72

73 Unidade C Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB IF Sul-rio-grandense Veja que é uma função razão incremental. Levando-se ao limite quando o acréscimo dado a variável independente tende a zero, temos a função derivada do espaço percorrido em relação ao tempo. Esta derivada é denominada de velocidade instantânea, em um instante de tempo determinado: Da mesma forma, define-se aceleração escalar média como a razão entre a variação da velocidade pela variação do tempo: Esta aceleração também é uma razão incremental. Calculando-se o limite desta razão,quando o acréscimo dado a variável independente tende a zero, obtém-se a função derivada da velocidade em relação ao tempo decorrido. Tem-se, então, a velocidade instantânea em um determinado tempo específico. Em termos práticos, dada uma função do espaço percorrido em função do tempo, a primeira derivada dessa função, em relação ao tempo é a equação da velocidade e, a segunda derivada, em relação ao tempo, é a equação da aceleração. Ex6. A posição de um corpo, em um instante t é dada por segundos e S em metros, determine: a) A equação da velocidade; b) A equação da aceleração; c) A velocidade quando t = 3s d) A aceleração no instante t = 1s Solução: a). Considerando t expresso em b) c) d) 73