EFEITO DA ESPESSURA NOS FATORES DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO EM BARRAS SOB TRAÇÃO

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1 EFEITO DA ESPESSURA NOS FATORES DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO EM BARRAS SOB TRAÇÃO Ana Cristina Cosme Soares José Lui de França Freire DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PUC-Rio Fernando José Cardoso S. Cunha DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA UFPB Trabalho apresentado no VII SAET Simpósio de Análise Experimental de Tensões. Salvador, agosto, 2002 As informações e opiniões contidas neste trabalho são de exclusiva responsabilidade do(s) autor(es). 1

2 SINOPSE Foi analisada a variação do fator de concentração de tensões, Kt, em componentes contendo entalhes em U e furos circulares, à medida que se aumenta a espessura do componente. Para estas geometrias o Kt disponível na literatura foi obtido em componentes planos. Foram feitas simulações utiliando o método dos elementos finitos. Os resultados obtidos foram comparados com dados da literatura, os quais utiliaram fotoelasticidade tridimensional e elementos finitos, havendo boa concordância nos dois casos. Houve uma diferença de 4% entre os valores de Kt para o modelo mais espesso e os obtidos por análise plana. Além disso, observou-se que as tensões máximas nas superfícies dos componentes são 29% menores que aquelas no centro destes. 1. Introdução. Grande parte da literatura existente apresenta o problema da concentração de tensão ocorrido em regiões de estruturas que têm descontinuidades como um problema plano, isto é, que não apresenta variação com a espessura dos componentes [1]. Entretanto, estudos experimentais feitos por fotoelasticidade tridimensional [2] demonstram que à medida que o componente torna-se mais espesso, o estado de tensões varia ao longo da espessura. Além disso, as tensões desenvolvidas nestes componentes são maiores que aquelas desenvolvidas em componentes planos, podendo-se com isso cometer erros não conservativos. Neste trabalho, propõe-se uma explicação para a variação da tensão ao longo da espessura, baseada na variação da rigide dos paralelepípedos elementares, situados na região da descontinuidade, causada por estados planos de tensão (pontos próximos à superfície) e de deformação (pontos no interior do componente). Com o objetivo de averiguar esta hipótese e também obter outros resultados que não foram possíveis de se obter experimentalmente, tais como campos de deslocamentos, foram feitas simulações aplicando o método dos elementos finitos em modelos de barras com entalhe em U e com furos, submetidos à tração e empregando diversas relações espessura/raio do entalhe. Os resultados obtidos concordaram com os dados experimentais, determinados em [2]. 2. O Fator de Concentração de Tensão. A concentração de tensões surge em componentes que possuem mudanças abruptas na sua geometria ou descontinuidades, tais como furos, entalhes em U, ombros, rasgos de chavetas, etc [1]. Devido à presença destas descontinuidades ocorre um aumento no valor da tensão, geralmente quantificado pelo fator de concentração de tensão, Kt, definido por: 2

3 K t max = (1) nom onde max é a tensão máxima na viinhança imediata da descontinuidade e nom é a tensão que ocorreria na seção reduida da região que contém a descontinuidade, caso não ocorresse a perturbação na distribuição de tensões causada pela mudança abrupta de geometria. Existem na literatura, informações sob a forma de gráficos, tabelas e expressões analíticas para auxiliar na obtenção dos valores de Kt para diversas geometrias e carregamentos. Estas informações foram reunidas por Peterson [1], que compilou resultados de diversos trabalhos, que empregaram fotoelasticidade bidimensional e tridimensional, soluções analíticas e soluções por diferenças finitas para a determinação de Kt. Para componentes com entalhes em U, furo e ombros o método mais utiliado no passado para obter o Kt, foi a fotoelasticidade bidimensional. Peterson informa que há restrições ao uso destes valores de Kt se o componente for espesso; no caso de placas com furos a relação t r não deve ser maior que 1.5 e para entalhes em U, não é estabelecido nenhum valor, embora seja dito claramente que aqueles valores de Kt só se aplicam para peças muito finas. Ainda segundo esta referência, no meio da espessura do componente podem ocorrer tensões até 3% maiores que aquelas indicadas pelo Kt. Mesmo assim, o consenso geral é que os valores apresentados para componentes bidimensionais são suficientemente precisos para quaisquer espessuras. 3. Tensão Plana x Deformação Plana [3]. Alguns casos particulares de estados de tensão atuantes em pontos de componentes estruturais são classificados como: estados planos de tensão e estados planos de deformação. Os primeiros são caracteriados pela não existência de tensões paralelas a uma determinada direção que passa pelo ponto estudado. Por exemplo, é o caso da direção paralela à espessura de placas muito finas ou direções ortogonais aos pontos que estão nas superfícies de componentes estruturais. Os estados planos de deformação são aqueles em que as deformações principais são nulas numa determinada direção. É bastante comum analisar-se os estados de tensão em componentes estruturais através do uso de paralelepípedos elementares. Paralelepípedos representativos dos estados planos de tensão e deformação estão mostrados na Figura 1. Figura 1 Paralelepípedos elementares submetidos a: (a) tensão plana e (b) deformação plana. 3

4 Numa placa submetida à tração, Figura 2, tem-se que os pontos situados nas duas faces estão submetidos a estados planos de tensão. A tensão na direção y é ero. Se a placa for fina, não há como a tensão variar muito de um lado da placa para o outro e os três elementos infinitesimais mostrados estarão sob tensão plana. Mesmo que a placa contenha uma descontinuidade, tal como um furo, o estado continuará a ser de tensão plana, se o raio do furo for muito maior que a espessura da placa. Na Figura 3, tem-se uma representação esquemática do estado de tensões de uma placa espessa com entalhe em U. À medida que a espessura aumenta, direção, o estado de tensões torna-se mais complexo. Os blocos de material A e B destacados em cina, não estão carregados. As superfícies destes blocos, correspondentes às faces x, y, e estão sob tensão ero por causa das condições de contorno do problema, já que são três superfícies livres. Estes blocos deslocam-se na direção x, mas não têm tendência de se deslocar ou se deformar na direção. Devido à compatibilidade de deslocamentos, outros blocos paralelos a estes, no interior do entalhe, terão o mesmo comportamento. Assim, os elementos a, b e c terão os mesmos deslocamentos e deformações na direção x. O mesmo não ocorre na direção ; os elementos a, b e c estão sob altas tensões x e, por efeito de Poisson, teriam tendência de se deformar na direção. Os elementos a e c, por estarem na superfície e portanto estarem submetidos a estados planos de tensão acabam se deformando nesta direção. Por outro lado, o elemento b, por estar restrito pelos blocos pouco carregados circunviinhos, não tem deformação na direção. Assim, este elemento passa a estar sob deformação plana, pois uma das componentes de deformação é ero, enquanto os elementos a e c ainda estão em tensão plana. Para haver uma deformação ε = 0, surge uma tensão = µ x conforme será visto adiante. Figura 2 Estada de tensão plana numa placa fina submetida à tração. Os valores de deformações atuantes ε x nos elementos a e c, podem ser calculados pela lei de Hooke. A deformação na direção x, agindo no elemento a é: 1 a a a a ε x = [ x µ y µ ] (2) E mas, nestes elementos as tensões y e a tensão são ero, pois tratam-se de faces de paralelepípedos elementares que se encontram em superfícies livres. Estes elementos estão submetidos a um estado uniaxial de tensão. Assim, tem-se: 4

5 Figura 3 (a) Detalhe de um componente com entalhe em U, no qual os elementos a e c estão na superfície e o elemento b está no meio do componente. (b) Vista superior destacando os elementos representados como molas antes e (c) e depois da deformação. 1 E ε a a x = a a x x a onde ε x é a deformação na direção x, sofrida pelo elemento a, e é a tensão na direção x, agindo no elemento a. a x No elemento b, conforme visto acima, existem as tensões x e. Então: 1 b = Eε (3) b b ε x = [ x µ ] (4) E Caso este estado seja caracteriado com um estado plano de deformação, a deformação na direção é nula, e então: Substituindo em 4, vem: 1 b b b ε = [ µ x] = 0 E 1 2 b b = µx (5) b b ε x = [ x (1 µ )] (6) E Se a hipótese que os blocos de material com baixa tensão for válida, os deslocamentos a b destes blocos na direção x serão iguais e então as deformações ε x e ε x serão iguais. b a b a 2 Portanto, a tensão x deve ser maior que a x, ou seja: = (1 ) x x µ Nas Figuras 3b e 3c, mostram-se os elementos infinitesimais como se fossem molas e blocos de material que se deslocam rigidamente; as três molas têm que sofrer o mesmo deslocamento Ux, mas a mola b é mais rígida, pois tanto sofre tensão na direção x 5

6 quanto na direção, ambas positivas. Portanto, a força agindo nesta mola, proporcional b a x, deve ser maior que aquela agindo nas outras molas, para garantir o mesmo deslocamento na direção x. 4. O Modelo Numérico. Foram simulados oito modelos tracionados, cinco com entalhes em U e três com furos circulares. Na Figura 4, tem-se um esboço destes modelos. As relações entre as dimensões são mostradas nas Tabelas 1 e 2. As dimensões usadas neste trabalho são as mesmas utiliadas num trabalho anterior [2], no qual os resultados foram obtidos por fotoelasticidade tridimensional e por elementos finitos usando o programa SAPV [4]. Figura 4 Representação esquemática dos modelos tracionados com entalhes em U e com furos circulares. Tabela 1 Dimensões do modelo com entalhe em U Tabela 2 Dimensões do modelo com furo Modelo D D/d r/d t/r U U U U U U Modelo D D/d r/d t/r F F F Neste trabalho, para proceder às simulações, usou-se o programa Ansys 6.0 [5], University High Option. Como se tratam de modelos simétricos utiliou-se apenas 1/8 do modelo, impondo-se as condições de contorno adequadas. A Figura 5 apresenta a parte do modelo que foi analisada, bem como as restrições e as forças aplicadas. O elemento escolhido foi o Solid95, o qual tem 20 nós e três graus de liberdade por nó. 6

7 Figura 5 Representação esquemática do quadrante analisado do modelo com furo. Carregamento e restrições similares foram usados no modelo em U. Foram analisados tensões, deformações e deslocamentos ao longo de três linhas, 1-2, 1-3 e 3-4, as quais estão destacadas na Figura 6, na qual o ponto 1 está na superfície do modelo enquanto o ponto 2 está na metade da espessura do modelo. No caso do modelo com espessura pequena, próximo de um modelo bidimensional, espera-se que x tenha variação mínima ao logo da linha 1-2 e também que os valores de sejam próximos de ero. À medida que a espessura dos modelos aumenta, aumenta também a variação de x e os valores de, no interior do modelo. Ainda ao longo desta linha, espera-se que a relação ε ε x, seja muito próxima ao coeficiente de Poisson, µ = 0. 3, nos componentes mais finos, pois para estes o estado de tensões ao longo de toda a linha 1-2, aproxima-se de um estado uniaxial. Se a hipótese de deformação plana for válida, a medida que o componente torna-se mais espesso, esta relação diminui, pois ε tende a ero para pontos no interior do modelo. A linha 3-4 foi analisada a fim de verificar se os elementos ao longo desta linha têm o mesmo deslocamento Ux. Figura 6 Detalhe do modelo em U, destacando as linhas a serem analisadas (em preto). Finalmente a linha 1-3 foi utiliada para avaliar os deslocamentos e as deformações na direção. Espera-se que no modelo menos espesso, por ser menos rígido nesta direção, o deslocamento U normaliado com relação à espessura, seja maior que nos outros modelos, na região próxima do ponto 1. Se as hipótese que os blocos A e B têm baixa 7

8 tensão for confirmada, a deformação ε será igualmente pequena no ponto 3 para todas as espessuras enquanto no ponto 1, esta deformação será maior nos modelos mais finos. 5. Resultados e Discussão. Uma ve que a hipótese apresentada baseia-se no deslocamento de blocos rígidos (pouco tensionados) A e B, representado pela uniformidade dos deslocamentos Ux da linha 3-4, os primeiros resultados a serem analisados foram os deslocamentos ao longo desta linha. Estes resultados foram normaliados com a espessura e estão apresentados na Figura 7. Percebe-se que para todas as espessuras os valores do deslocamento são constantes, mostrando que de fato, o material na viinhança daquela linha, se desloca como um bloco. A seguir, foram analisados os deslocamentos e deformações U, na linha 1-3. Pode-se observar na Figura 8, que o componente que sofreu os maiores deslocamentos no ponto 1 e que obteve maior diferença entre os pontos inicial e final foi o modelo que mais se aproxima do bidimensional, conforme o esperado. Na figura 9, observa-se a variação da relação ε ε x ao longo da linha 1-2. Confirmou-se que para todos os modelos, no ponto localiado na superfície plana do entalhe, ponto 1, esta relação tende para o coeficiente de Poisson. Para o componente mais fino, este valor é praticamente constante ao longo da linha, ao passo que este valor vai diminuindo para componentes mais espessos. Isto indica, que na parte central dos componentes espessos a deformaçãoε tende para ero. A figura 10 mostra as deformações ε x e ε, ao longo da linha Para todas as espessuras percebe-se que no ponto 3, estas deformações tendem a ero, conforme havia sido dito anteriormente, uma ve que o ponto 3 pertence aos blocos A e B. No ponto 1, observa-se que as duas deformações têm valores diferentes de ero, sendo que ε x é positiva e maior em magnitude que ε, sua raão tendendo para o coeficiente de Poisson, 0.3. Foram analisados a seguir os valores de Kt, ao longo da linha 1-2. Os resultados obtidos demonstram uma variação considerável entre os valores de Kt baseados em modelos mais finos e os mais espessos. Na Figura 11, observa-se que os valores de Kt do modelo mais fino são praticamente constantes. À medida que a espessura do modelo aumenta o Kt varia cada ve mais ao longo da espessura. O mesmo ocorreu para os modelos com furos 2, conforme mostrado na Figura Como todas os modelos tiveram as mesmas tendências, estão mostrados apenas os valores de ε x e ε do modelo mais fino e do modelo mais espesso. 2 Todos os modelos com furo tiveram resultados similares aos modelos em U. Por esta raão, apenas os resultados destes últimos serão apresentados. 8

9 É interessante destacar, que os valores de Kt bidimensionais [1] são intermediários, situando-se dentro da faixa dos valores dos componentes espessos. Considerando que a variação entre Ktmax tridimensional e bidimensional seja da ordem de 3%, pode-se entender por que o uso generaliado do Kt bidimensional para todas as espessuras tra resultados adequados. No caso da tensão, também se nota uma variação pronunciada com a espessura. Na Figura 13, a qual foi normaliada em relação a, nota-se que no modelo bidimensional, o máximo valor de nom nom foi da ordem de 0.05, enquanto para o 9

10 modelo mais espesso este valor foi de 0.4. Este gráfico também evidencia que no meio do componente o estado deixa de ser de tensão plana. Finalmente, tem-se que nom aumenta consideravelmente já no modelo U2, ou seja, t r =1.74. Isto está de acordo com a relação-limite indicada por Peterson, t r =1.5. Na Figura 14 mostra-se uma comparação da variação de Kt ao longo da espessura entre o modelo mais espesso e o modelo mais fino. Pode-se observar que no primeiro o Kt varia de a 2.447, ou seja, 29% enquanto que para o modelo mais próximo ao bidimensional esta variação é de apenas 13%. Devido a esta variação deve-se tomar cuidado, por exemplo, quando extensômetros de resistência elétrica, colados nas superfícies planas dos entalhes, forem usados para avaliar as tensões máximas quando os componentes forem espessos. A tensões indicadas pelos extensômetros podem ser quase 30 % menores que as tensões máximas existentes na região central dos componentes. Mesmo num componente fino, a diferença pode ser de 13%. Na tabela 3, está mostrada uma comparação entre os resultados obtidos neste trabalho, que utiliou elementos finitos de 20 nós, e os resultados de Cunha [2], no qual foram utiliados fotoelasticidade tridimensional e elementos finitos de 8 nós. O valor do Kt bidimensional, segundo Peterson para o modelo com entalhe em U, é Tabela 3 Comparação entre os resultados de K t obtidos por elementos finitos com 8 nós, elementos finitos de 20 nós e fotoelasticidade tridimensional. Modelo E.F. 8 nós [2] F. T [2] E. F. 20 nós Max Min Min Min Max Min U U U U U U E.F. Elementos finitos F. T. Fotoelasticidade Tridimensional Da tabela acima, pode-se notar que há uma diferença de 4% entre os valores de Kt bidimensional e os resultados obtidos neste trabalho para o modelo mais espesso. Esta diferença, aliada à presença da tensão, indica que em componentes espessos pode não ser aconselhável utiliar Kt bidimensional. Pode-se observar também, que os valores 10

11 obtidos por fotoelasticidade, são maiores que os obtidos neste trabalho. Esta diferença pode ser explicada, pela diferença entre os valores dos coeficientes de Poisson usados no modelo numérico, µ = 0. 3 e os do material fotoelástico, µ = [2]. 6. Conclusão Foi estudada a variação do fator de concentração de tensão em modelos espessos sendo proposta uma hipótese para explicar esta variação. Foram simulados diversos modelos em elementos finitos. Os resultados de deslocamentos e deformação obtidos confirmaram a hipótese sugerida, ou seja, o material na viinhança do entalhe se desloca como um bloco. Foi constatado também, que na metade da espessura do modelo, desenvolve-se um estado plano de deformação. Assim, nas superfícies do entalhe tem-se estados planos de tensão enquanto no interior tem-se estados planos de deformação. Em conseqüência disto, os valores de max variam ao longo da espessura do componente, atingindo, no centro, valores maiores que os indicados pelos Kt bidimensionais de Peterson. Os resultados de Kt, determinados por elementos finitos, ao longo da espessura apresentaram boa concordância com os dados experimentais. Foi observada uma variação considerável dos valores de Kt e nom ao longo da espessura dos modelos, tanto para os modelos com entalhes em U quanto para os modelos com furo. Os valores obtidos são, em média, 4% maiores que os esperados pela análise bidimensional, o que confirma o fato de que os valores de Kt bidimensionais não devem ser utiliados em componentes cuja espessura seja maior que 1.5 vees o raio do entalhe. 7. Bibliografia. [1] Peterson, R. E., Stress Concentration Factors, John Willey e Sons, 1974 [2] Cunha, F. J. C. S., Influência da Espessura nos Fatores de Concentração e Intensidade de Tensões em Barras Espessas, Dissertação de Mestrado, Departamento de Engenharia Mecânica, PUC-Rio, 1981 [3] Sokolnikoff, I. S., Mathematical Theory of Elasticity, Krieger Publishing Company, Florida [4] SAPV A Structural Analysis Program for Static and Dynamic Response of Linear Systems University of Southern California Department of Civil Engineering [5] Ansys 6.0 Analysis System, Swarson Analysis System, Inc. 11