Exercícios de Matemática Progressão Aritmética

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1 Exercícios de Matemática Progressão Aritmética ) (UNICAMP-009) Um casal convidou seis amigos para assistirem a uma peça teatral. Chegando ao teatro, descobriram que, em cada fila da sala, as poltronas eram numeradas em ordem crescente. Assim, por exemplo, a poltrona de uma fila era sucedida pela poltrona da mesma fila, que, por sua vez, era sucedida pela poltrona 3, e assim por diante. a) Suponha que as oito pessoas receberam ingressos com numeração consecutiva de uma mesma fila e que os ingressos foram distribuídos entre elas de forma aleatória. Qual a probabilidade de o casal ter recebido ingressos de poltronas vizinhas? b) Suponha que a primeira fila do teatro tenha 8 cadeiras, a segunda fila tenha cadeiras a mais que a primeira, a terceira fila tenha cadeiras a mais que a segunda e assim sucessivamente até a última fila. Determine o número de cadeiras da sala em função de n, o número de filas que a sala contém. Em seguida, considerando que a sala tem 44 cadeiras, calcule o valor de n. ) (VUNESP-009) Um viveiro clandestino com quase trezentos pássaros foi encontrado por autoridades ambientais. Pretende-se soltar esses pássaros seguindo um cronograma, de acordo com uma progressão aritmética, de modo que no primeiro dia sejam soltos cinco pássaros, no segundo dia sete pássaros, no terceiro nove, e assim por diante. Quantos pássaros serão soltos no décimo quinto dia? a) 55. b) 43. c) 33. d) 3. e) 30. 3) (UFSCar-009) Uma partícula se move ao longo do primeiro quadrante do plano cartesiano ortogonal a partir do ponto (0, 0), conforme indica o gráfico a seguir. d) 7 horas. e) 9 horas e meia. 4) (PASUSP-009) Na Grécia Antiga, Pitágoras estudou várias propriedades dos chamados números figurados, como, por exemplo, os números triangulares. Os primeiros cinco números triangulares são: O número triangular T é a soma dos n números naturais de a n. A soma da sequência dos números inteiros de a n pode ser obtida considerando-se que a soma do primeiro termo com o último é igual à do segundo termo com o penúltimo e assim por diante. Desse modo, o resultado pode ser obtido, somando-se o primeiro termo ao último e multiplicando-se o valor encontrado pela metade do número de termos da sequência. Pode-se utilizar a noção de números triangulares para resolver o problema dos apertos de mão, segundo o qual, se em uma festa todos se cumprimentam uma única vez, o número de apertos de mão é um número triangular. Se forem dados 78 apertos de mão em uma festa, em que todos os presentes se cumprimentem uma única vez, com um aperto de mão, quantas pessoas haverá na festa? a) 0 b) 3 c) 6 d) 9 e) 5) (PASUSP-009) Na Grécia Antiga, Pitágoras estudou várias propriedades dos chamados números figurados, como, por exemplo, os números triangulares. Os primeiros cinco números triangulares são: O número triangular T é a soma dos n números naturais de a n. A soma da sequência dos números inteiros de a n pode ser obtida considerando-se que a soma do primeiro termo com o último é igual à do segundo termo com o penúltimo e assim por diante. Desse modo, o resultado pode ser obtido, somando-se o primeiro termo ao último e multiplicando-se o valor encontrado pela metade do número de termos da sequência. Mantido o mesmo padrão de movimento, a partícula atingirá o ponto (50, 50), a partir do início do deslocamento, em exatas a) 4 horas e meia. b) 38 horas. c) 36 horas e meia. O nono número triangular T 9 é: a) 66 b) 55 c) 45 d) 36 e) 8 Projeto Futuro Militar

2 6) (FUVEST-008) Um polinômio de grau 3 possui três raízes reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética em que a soma dos termos é igual a 5 9. A diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é 4. 5 Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinômio é 5, determine a) a progressão aritmética. b) o coeficiente do termo de grau desse polinômio. 7) (UNIFESP-008) Números triangulares são números que podem ser representados por pontos arranjados na forma de triângulos eqüiláteros. É conveniente definir como o primeiro número triangular. Apresentamos a seguir os primeiros números triangulares. Se T n representa o n-ésimo número triangular, então T =, T = 3, T 3 = 6, T 4 = 0, e assim por diante. Dado que T n satisfaz a relação T n = T n- + n, para n =,3,4,..., pode-se deduzir que T 00 é igual a a) b) c).87. d).458. e) 79. 8) (UFSCar-008) Observe o padrão de formação das figuras numeradas. a) Sabendo-se que as figuras, e 3 são formadas, respectivamente, por 5, 3 e 5 quadrados de área cm, calcule a área da figura 0 da seqüência indicada. b) Seja x o número da figura x, e f(x) o número de quadrados de cm que compõem essa mesma figura. Em relação à função f, determine sua lei de formação e seus conjuntos domínio e imagem. 9) (UFSCar-008) Sejam as seqüências (75, a, a 3, a 4,...) e (5, b, b 3, b 4,...) duas progressões aritméticas de mesma razão. Se a 00 + b 00 = 496, então 73 a) 3 69 b) 9 47 c) d) 9 36 e) 7 a b é igual a 0) (UNIFESP-007) As medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados formam uma progressão aritmética em que o primeiro termo é a e a razão é r > 0. a) Se a 5º e se r 0º, obtenha o valor máximo possível para n nas condições enunciadas. b) Se o maior ângulo mede 60º e a razão é igual a 5º, obtenha o único valor possível para n. ) (UNIFESP-007) Entre os primeiros mil números inteiros positivos, quantos são divisíveis pelos números, 3, 4 e 5? a) 60. b) 30. c) 0. d) 6. e) 5. ) (Mack-007) Observe a disposição, abaixo, da seqüência dos números naturais ímpares. ª linha ª linha 3,5 3ª linha 7,9, 4ª linha 3,5,7,9 5ª linha,3,5,7, O quarto termo da vigésima linha é a) 395 b) 37 c) 387 d) 40 e) 399 3) (FUVEST-007) Em uma progressão aritmética a, a,..., a n,... a soma dos n primeiros termos é dada por S n = b.n + n, sendo b um número real. Sabendo-se que a 3 = 7, determine Projeto Futuro Militar

3 a) o valor de b e a razão da progressão aritmética. b) o 0º termo da progressão. c) a soma dos 0 primeiros termos da progressão. 4) (VUNESP-007) Um fazendeiro plantou 3960 árvores em sua propriedade no período de 4 meses. A plantação foi feita mês a mês, em progressão aritmética. No primeiro mês foram plantadas x árvores, no mês seguinte (x + r) árvores, r > 0, e assim sucessivamente, sempre plantando no mês seguinte r árvores a mais do que no mês anterior. Sabendo- se que ao término do décimo quinto mês do início do plantio ainda restavam 60 árvores para serem plantadas, o número de árvores plantadas no primeiro mês foi: a) 50. b) 75. c) 00 d) 50. e) 65. 5) (UNIFESP-006) Se os primeiros quatro termos de uma progressão aritmética são a, b, 5a, d, então o quociente b d é igual a a) 4 b) 3 c). d) 3 e) 5. a) Mostre que a seqüência (P, P,..., P n,...) é uma progressão aritmética, determinando seu termo geral, em função de n, e sua razão. b) Considere a seqüência (B, B,..., B n,...), definida por A P n Bn = n. Calcule B, B e B 3. Calcule, também, a soma dos 40 primeiros termos dessa seqüência, isto é, B + B B 40. 7) (ESPM-006) De 995 a 004, a população de uma cidade vem aumentando anualmente em progressão aritmética. Em 004 constatou-se que o número de habitantes era 8% maior que no ano anterior. Pode-se concluir que, de 995 a 004, a população dessa cidade aumentou em: a) 00% b) 80% c) 60% d) 00% e) 80% 8) (Vunesp-006) A figura mostra duas semi-retas, r e s, de mesmo vértice V, formando um ângulo de 60. Os pontos A r e B s são arbitrários, diferentes de V. a) Explique por que os ângulos do triângulo AVB estão em progressão aritmética. b) Se os lados de um triângulo medem 3 cm, 7 cm e 8 cm, mostre que seus ângulos estão em progressão aritmética. 6) (Vunesp-006) Considere a figura ao lado, onde estão sobrepostos os quadrados OX Z Y, OX Z Y, OX 3 Z 3 Y 3, OX 4 Z 4 Y 4,..., OX n Z n Y n,..., n, formados por pequenos segmentos medindo cm cada um. Sejam A n e P n a área e o perímetro, respectivamente, do n-ésimo quadrado. 9) (Mack-006) Num encontro de dirigentes esportivos, foi aprovada a realização de um torneio A de futebol, que aconteceu, pela primeira vez, anos depois, e, posteriormente, a cada 9 anos. No mesmo encontro, foi aprovada a realização de um torneio B, que ocorreu pela primeira vez somente 9 anos depois, acontecendo, a cada 7 anos. Dessa forma, a partir da aprovação, os dois torneios ocorreram, pela primeira vez no mesmo ano, após a) 50 anos. b) 55 anos. c) 58 anos. d) 60 anos. e) 65 anos. 3 Projeto Futuro Militar

4 0) (Mack-006) As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Se b é a medida do maior cateto, a área do triângulo é 4b a) 3 3b b) c) 4b 3b d) 8 e) b ) (UFPB-006) Uma escada foi feita com 0 blocos cúbicos iguais, que foram colocados uns sobre os outros, formando pilhas, de modo que a primeira pilha tinha apenas bloco, a segunda, blocos, a terceira, 3 blocos, e assim sucessivamente, até a última pilha, conforme a figura ao lado. A quantidade de degraus dessa escada é: a) 50 b) 40 c) 30 d) 0 e) 0 ) (UFC-006) Seja f uma função polinomial de primeiro grau, crescente e tal que f(f(x)) = 9x + 8, para todo x real. Sabendo-se que, 5, 8,..., 44 é uma progressão aritmética de razão 3, o valor numérico de f() + f(5) + f(8) f(44) é: a) 00 b) 065 c) 0 d) 85 e) 60 3) (IBMEC-005) Certo autor escreveu um livro com 60 capítulos em 00 páginas, enumeradas de a 00. Em todas as páginas ímpares inicia-se pelo menos um capítulo. É correto afirmar que a) nenhum capítulo iniciou em uma página par. b) há pelo menos uma página ímpar em que dois capítulos são iniciados. c) é possível que existam páginas ímpares em que se iniciaram dois capítulos. d) a soma dos número das páginas em que se inicia algum capítulo é certamente maior do que 000. e) em todas as páginas cujo número é um primo menor do que 00 se inicia um capítulo. 4) (Mack-005) A soma de todos os termos, que são 3 5 7,,,,... menores que, da P.A é: a) 0. b) 44. c) 50. d) 60. e) 40. 5) (UERJ-005) A figura acima apresenta 5 retângulos. Observe que quatro desses retângulos contêm números e um deles, a letra n n 30 Podem ser escritos, em todos os outros retângulos, números inteiros positivos, de modo que, em cada linha e em cada coluna, sejam formadas progressões aritméticas de cinco termos. Calcule: a) a soma dos elementos da quarta linha da figura; b) o número que deve ser escrito no lugar de n. 6) (Vunesp-005) Uma pessoa resolve caminhar todos os finais de tarde. No º dia de caminhada, ela percorre uma distância de x metros. No º dia, ela caminha o dobro do que caminhou no º dia; no 3º dia, caminha o triplo do que caminhou no º dia, e assim por diante. Considerando o período do º ao 5º dia, ininterruptos, ela caminhou um total de metros. a) Encontre a distância x percorrida no º dia. b) Verifique quanto ela terá percorrido no 30º dia. 7) (Vunesp-005) Em 05 de junho de 004, foi inaugurada uma pizzaria que só abre aos sábados. No dia da inauguração, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir daí, o número de fregueses que passaram a freqüentar a pizzaria cresceu em progressão aritmética de razão 6, até que atingiu a cota máxima de 36 pessoas, a qual tem se mantido. O número de sábados que se passaram, excluindo-se o sábado de inauguração, para que a cota máxima de fregueses fosse atingida pela primeira vez, foi: 4 Projeto Futuro Militar

5 a) 5. b) 6. c) 7. d) 8. e) 6. 8) (Vunesp-005) Uma pessoa resolve caminhar todos os finais de tarde. No º dia de caminhada, ela percorre uma distância de x metros. No º dia, ela caminha o dobro do que caminhou no º dia; no 3º dia, caminha o triplo do que caminhou no º dia, e assim por diante. Considerando o período do º ao 5º dia, ininterruptos, ela caminhou um total de metros. a) Encontre a distância x percorrida no º dia. b) Verifique quanto ela terá percorrido no 30º dia. 9) (FMTM-005) Em um jogo, por cada bola retirada de uma urna (sem reposição) um apostador deve pagar da seguinte forma: R$,00 pela primeira bola retirada, R$,0 pela segunda, R$,40 pela terceira, R$,60 pela quarta, e assim sucessivamente. Sabe-se que, de início, a urna contém bolas numeradas de a 00, e que o jogo se encerra com o pagamento de um prêmio quando o apostador retirar a primeira bola contendo um número múltiplo de 7. Nas condições do jogo, o valor máximo, em R$, despendido pelo apostador até obter o prêmio é a) 3,0. b) 87,0. c) 598,60. d) 85,0. e) 835,0. 30) (Mack-005) A caixa d água reserva de um edifício, que tem capacidade para 5000 litros, contém, em um determinado dia, 9600 litros. Contrata-se uma empresa para fornecer 400 litros de água nesse dia, 600 litros no dia seguinte, 800 litros no próximo e assim por diante, aumentando em 00 litros o fornecimento de cada dia. O número de dias necessários para que a caixa atinja a sua capacidade total é: a) b) 3 c) 4 d) e) 0 3) (Mack-005) No primeiro semestre deste ano, a produção de uma fábrica de aparelhos celulares aumentou, mês a mês, de uma quantidade fixa. Em janeiro, foram produzidas 8000 unidades e em junho, Se a fábrica exporta 30% de sua produção mensal, o total de aparelhos celulares exportados nos meses de março e abril foi: a) 3400 b) c) 4500 d) 600 e) ) (ITA-005) Seja a, a,... uma progressão aritmética infinita tal que n a 3k k = n +.n, para n IN* Determine o primeiro termo e a razão da progressão. 33) (PUC-SP-005) Considere as seqüências (, 4, 7, 0,..., 67) e (8,, 6, 0,..., 04). O número de termos comuns a essas duas progressões é a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 34) (Unicamp-005) A ANATEL determina que as emissoras de rádio FM utilizem as freqüências de 87,9 a 07,9 MHz, e que haja uma diferença de 0, MHz entre emissoras com freqüências vizinhas. A cada emissora, identificada por sua freqüência, é associado um canal, que é um número natural que começa em 00. Desta forma, à emissora cuja freqüência é de 87,9 MHz corresponde o canal 00; à seguinte, cuja freqüência é de 88, MHz, corresponde o canal 0, e assim por diante. Pergunta-se: a) Quantas emissoras FM podem funcionar [na mesma região], respeitando-se o intervalo de freqüências permitido pela ANATEL? Qual o número do canal com maior freqüência? b) Os canais 00 e 85 são reservados para uso exclusivo das rádios comunitárias. Qual a freqüência do canal 85, supondo que todas as freqüências possíveis são utilizadas? 35) (UNIFESP-004) A primeira figura representa um retângulo de 00cm por 50cm, com uma escada E contendo 50 degraus de cm de largura por cm de altura. O ponto A indica a extremidade inferior da escada E. Pretende-se ampliar a largura dos degraus de E, de forma a obter uma nova escada, E, contendo também 50 degraus, todos de mesma largura e tendo como extremidade inferior o ponto B, conforme figura. Na nova escada, E, a altura dos degraus será mantida, igual a cm A área da região sombreada, sob a escada E, conforme a segunda figura, será: 5 Projeto Futuro Militar

6 b) 38. c) 37. d) 33. e) 3. a).050cm. b).500cm. c).550cm. d).750cm. e) 5.000cm. 36) (ITA-004) Considere um polígono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética de razão igual a 5º. Então, seu maior ângulo mede, em graus, a) 0 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 37) (UFC-004) Uma progressão aritmética é tal que a soma n dos n primeiros termos é, para todo inteiro positivo n. Determine a progressão. 38) (Vunesp-004) Num laboratório, foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. Ao final de um minuto do início das observações, existia elemento na população; ao final de dois minutos, existiam 5, e assim por diante. A seguinte seqüência de figuras apresenta as populações do vírus (representado por um círculo) ao final de cada um dos quatro primeiros minutos. 39) (FGV-004) Seja a seqüência (a, a, a 3, a n, ) tal que a n = log0 n-, em que n N*. O valor de a) b) c) d) e) a n n é: 40) (UFSCar-004) Um determinado corpo celeste é visível da Terra a olho nu de 63 em 63 anos, tendo sido visto pela última vez no ano de 968. De acordo com o calendário atualmente em uso, o primeiro ano da era Cristã em que esse corpo celeste esteve visível a olho nu da Terra foi o ano a) 5. b) 9. c) 3. d) 7. e) 3. 4) (Fuvest-004) Um número racional r tem representação decimal da forma r = a a,a 3 onde a 9, 0 a 9, 0 a 3 9. Supondo-se que:» a parte inteira de r é o quádruplo de a 3,» a, a, a 3 estão em progressão aritmética,» a é divisível por 3, então 3 a vale: a) b) 3 c) 4 d) 6 e) 9 4) (Fatec-003) Um auditório foi construído de acordo com o esquema abaixo: Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, o número de vírus no final de hora era de: a) 4. 6 Projeto Futuro Militar

7 A platéia tem 8 filas de assentos e cada fila tem 4 lugares a mais que a anterior. Se forem convidadas 800 pessoas para assistir a um evento e todas comparecerem, a) ficarão vagos 40 lugares. b) ficarão vagos 64 lugares. c) faltarão 44 lugares. d) faltarão 0 lugares. e) não sobrarão nem faltarão lugares. 43) (Vunesp-003) Sabendo-se que (X, 3, Y, Z, 4), nesta ordem, constituem uma P.A. de razão r, a) escreva X, Y e Z em função de r; b) calcule a razão r da P.A. e os valores de X, Y e Z. 44) (Fatec-003) As medidas dos lados de um triângulo retângulo, em centímetros, são numericamente iguais aos termos de uma progressão aritmética de razão 4. Se a área desse triângulo é de 96 cm, o perímetro desse triângulo, em centímetros, é a) 5 b) 48 c) 4 d) 38 e) 36 45) (Fatec-003) Dois viajantes partem juntos, a pé, de uma cidade A para uma cidade B, por uma mesma estrada. O primeiro anda quilômetros por dia. O segundo anda 0 quilômetros no primeiro dia e daí acelera o passo, em meio quilômetro a cada dia que segue. Nessas condições, é verdade que o segundo a) alcançará o primeiro no 9 o dia. b) alcançará o primeiro no 5 o dia. c) nunca alcançará o primeiro. d) alcançará o primeiro antes de 8 dias. e) alcançará o primeiro no o dia. 46) (FGV-003) a) O º termo de uma progressão geométrica é A, a razão é q e o último termo é B. Obtenha o número de termos n desta progressão, em função de A, B e q. b) Um empréstimo de R$7.500,00 deve ser pago sem juros em parcelas mensais. A ª parcela vale R$500,00 e, cada parcela a partir da ª é R$50,00 superior à anterior. Quantas parcelas são necessárias para pagar a dívida? b) 550 S < 750 c) 750 d) 950S < 50 e) S 48) (Unifesp-003) A soma dos termos que são números primos da seqüência cujo termo geral é dado por a n = 3n +, para n natural, variando de a 5, é a) 0. b) 6. c) 8. d) 33. e) ) (Unicamp-003) Considere o conjunto S = {n IN: 0 n 500}. a) Quantos elementos de S são múltiplos de 3 e de 7? b) Escolhendo-se ao acaso um elemento de S, qual a probabilidade de o mesmo ser um múltiplo de 3 ou de 7? 50) (Fuvest-003) a) Quantos múltiplos de 9 há entre 00 e 000? b) Quantos múltiplos de 9 ou 5 há entre 00 e 000? 5) (UFC-003) A soma dos 5 primeiros termos de uma Progressão Aritmética é 50. O 8 o termo desta P.A. é: a) 0 b) 5 c) 0 d) 5 e) 30 j (j ) 5) (FGV-003) a) calcule. b) Obtenha o 0 o termo da progressão geométrica x x,,, ) (Mack-00) Os múltiplos de 7, existentes entre 0 e 508, são em número de: a) 7 b) 70 c) 68 d) 67 e) 69 47) (PUC-PR-003) A soma S de todos os números naturais de dois algarismos que divididos pelo número 5 dão resto igual a é tal que: a) S < ) (OMU-00) Considere as seqüências S n = n e T n = n(n + ). Calcule S 4, T 4 e T 4 - S 4. Ache n tal que T n - S n = 0. 7 Projeto Futuro Militar

8 3 a 55) (UECE-00) Se a 3 e 6 são, respectivamente, o segundo e terceiro termos de uma progressão geométrica, então o seu primeiro termo, a, é igual a: a),5 b),4 c),3 d), 56) (UFC-00) Uma seqüência de números reais é dita uma progressão aritmética de segunda ordem quando a seqüência formada pelas diferenças entre termos sucessivos for uma progressão aritmética. Assinale a alternativa na qual se encontra parte de uma progressão aritmética de segunda ordem. a) (0, 5,,, 3) b) (6, 8, 5, 7, 44) c) (-3, 0, 4, 5, 8) d) (7, 3,, 0, -) e) (, 4, 8, 0, 30) 57) (UFSCar-00) Uma função f é definida recursivamente 5f(n) f(n ) como 5. Sendo f() = 5, o valor de f(0) é a) 45. b) 50. c) 55. d) 60. e) ) (UFSCar-00) A soma dos cinco primeiros termos de uma PA vale 5 e o produto desses termos é zero. Sendo a razão da PA um número inteiro e positivo, o segundo termo dessa seqüência vale a) 0. b). c). d) 3. e) 4. 59) (UFPR-00) Considere um conjunto de circunferências cujas medidas dos raios, em milímetros, formam a progressão aritmética 0,,, 3,..., 50. A respeito dessas circunferências, é correto afirmar: - O total de circunferências é O comprimento da maior dessas circunferências é 5 vezes o comprimento da menor. - As medidas dos diâmetros dessas circunferências, em milímetros, da menor para a maior, formam uma progressão aritmética de razão. - A soma dos comprimentos de todas as circunferências, em centímetros, é 7. 60) (Emescam-00) Se em uma PA de 7 termos, de razão K, retirarmos o segundo, terceiro, quinto e o sexto termos, qual será a razão da PA definida a partir da seqüência restante? a) K b) K c) 0,5K d) 3K e) 5K 6) (UniAra-00) A média de pontos obtidos em um teste de seleção par a candidatos a emprego em uma empresa tem diminuído de maneira constante. A média do teste aplicado em 994 foi 5 pontos, enquanto que em 999 foi apenas 97 pontos. Nestas condições a média de pontos em.00 será: a) 85 pontos b) 76 pontos c) 86 pontos d) 8 pontos e) 75 pontos 6) (Vunesp-00) Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os formandos foram dispostos em 0 filas de modo a formar um triângulo, com formando na primeira fila, 3 formandos na segunda, 5 na terceira e assim por diante, constituindo uma progressão aritmética. O número de formandos na cerimônia é a) 400. b) 40. c) 40. d) 800. e) ) (Fuvest-000) Sejam a, b, c três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo ABC, cujos vértices são A = ( a, 0), B = (0, b) e C = (c, 0), é igual a b, então o valor de b é: a) 5 b) 4 c) 3 d) e) 64) (Vunesp-999) As medidas dos lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética crescente de razão r. a) Mostre que as medidas dos lados do triângulo, em ordem crescente, são 3r, 4r e 5r. b) Se a área do triângulo for 48, calcule r. 8 Projeto Futuro Militar

9 65) (UERJ-998) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada, no gráfico, por 6 pontos de uma mesma reta. depósito foi de R$ 0,00, no segundo mês foi de R$ 5,00, no terceiro mês foi de R$ 0,00 e assim por diante, depositando a cada mês R$ 5,00 a mais do que havia depositado no mês anterior. Feito o 4 depósito, o total depositado por ele era: a) R$.630,00 b) R$.60,00 c) R$.65,00 d) R$.60,00 e) R$.600,00 Quem comprar 0 unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a: a) 4,50 b) 5,00 c) 5,50 d) 6,00 69) (Fuvest-998) 500 moedas são distribuídas entre três pessoas A, B e C, sentadas em círculo, da seguinte maneira: A recebe uma moeda, B duas, C três, A quatro, B cinco, C seis, A sete, e assim por diante, até não haver mais moedas suficientes para continuar o processo. A pessoa seguinte, então, receberá as moedas restantes. a) Quantas foram as moedas restantes e quem as recebeu? (Deixe explícito como você obteve a resposta.) b) Quantas moedas recebeu cada uma das três pessoas? 66) (UERJ-998) Geraldo contraiu uma dívida que deveria ser paga em prestações mensais e iguais de R$ 500,00 cada uma, sem incidência de juros ou qualquer outro tipo de correção monetária. Um mês após contrair essa dívida, Geraldo pagou a ª prestação e decidiu que o valor de cada uma das demais prestações seria sempre igual ao da anterior, acrescido de uma parcela constante de K reais, sendo K um número natural. Assim, a dívida poderia ser liquidada na metade do tempo inicialmente previsto. a) Considerando t o tempo, em meses, inicialmente previsto, t > e t - como um divisor par de 000, 000 demonstre que K = t. b) Se a dívida de Geraldo for igual a R$ 9000,00, calcule o valor da constante K. 70) (Fuvest-998) A soma das frações irredutíveis, positivas, menores do que 0, de denominador 4, é: a) 0 b) 0 c) 60 d) 80 e) 00 7) (UFRJ-998) Num Ka Kay, o oriental famoso por sua inabalável paciência, deseja bater o recorde mundial de construção de castelo de cartas. Ele vai montar um castelo na forma de um prisma triangular no qual cada par de cartas inclinadas que se tocam deve estar apoiado em uma carta horizontal, excetuando-se as cartas da base, que estão apoiadas em uma mesa. A figura a seguir apresenta um castelo com três níveis. 67) (Vunesp-998) Imagine os números inteiros não negativos formando a seguinte tabela: a) Em que linha da tabela se encontra o número 39? Por quê? b) Em que coluna se encontra esse número? Por quê? Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 níveis. Determine o número de cartas que ele vai utilizar. 68) (Uneb-998) Um pai fez depósitos mensais na caderneta de poupança de seu filho. No primeiro mês o 9 Projeto Futuro Militar

10 7) (Fatec-997) Inserindo-se 5 números entre 8 e 96, de modo que a seqüência (8, a, a 3, a 4, a 5, a 6, 96) seja uma progressão aritmética, tem-se a 3 igual a: a) 43 b) 44 c) 45 d) 46 e) 47 73) (Unicamp-997) Em uma agência bancária cinco caixas atendem os clientes em fila única. Suponha que o atendimento de cada cliente demora exatamente 3 minutos e que o caixa atende o primeiro da fila ao mesmo tempo em que o caixa o segundo, o caixa 3 o terceiro e assim sucessivamente. a) Em que caixa será atendido o sexagésimo oitavo cliente da fila? b) Quantos minutos depois da abertura dos caixas será iniciado o atendimento desse mesmo sexagésimo oitavo cliente? 74) (UFSE-997) No mês de maio de 996, uma pessoa colocou R$ 00,00 em sua caderneta de poupança e, todos os meses, vem fazendo depósitos, cada mês colocando R$ 0,00 a mais do que no mês anterior. Dessa forma, ao efetuar o 4 o depósito, terá depositado a quantia total de: a) R$ 80,00 b) R$ 380,00 c) R$ 60,00 d) R$ 3 0,00 e) R$ 3 40,00 75) (Fuvest-997) Do conjunto de todos os números naturais n, n 00, retiram-se os múltiplos de 5 e, em seguida, os múltiplos de 6. Calcule a soma dos números que permanecem no conjunto. 76) (Unaerp-996) A soma dos 0 primeiros termos de uma progressão aritmética é 85 e a soma dos primeiros é 58, então, o o termo e a razão são respectivamente: a) 3 e 5. b) 5 e 3. c) 3 e -5. d) -5 e 3. e) 6 e 5. 77) (UFC-996) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Determine a tangente do menor ângulo agudo deste triângulo. 78) (UFC-996) Considere a seqüência (a n ), na qual o produto a.a.....a n = n.n! Determine a soma a + a a 8. 79) (UFBA-996) Em um paralelepípedo retângulo P, a altura h, a diagonal da base d e a diagonal D são, nessa ordem, os termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão r =. Sendo a base do paralelepípedo P um quadrado, pode-se afirmar: (0) h.d.d = 60 cm 3 (0) O volume de P é V = 6 cm (04) A área total de P é S = 4(4+3 ) cm (08) A área do círculo inscrito na base de P é S = cm (6) O perímetro do triângulo cujos lados coincidem com h, d, D é p =cm A resposta é a soma dos pontos das alternativas corretas 80) (FGV-995) Para todo n natural não nulo, sejam as seqüências (3, 5, 7, 9,..., a n,...) (3, 6, 9,,..., b n,...) (c, c, c 3,..., c n,...) com c n = a n + b n. Nessas condições, c 0 é igual a: a) 5 b) 37 c) 0 d) 9 e) 49 8) (Fatec-995) Uma pessoa, pesando atualmente 70kg, deseja voltar ao peso normal de 56kg. Suponha que uma dieta alimentar resulte em um emagrecimento de exatamente 00g por semana. Fazendo essa dieta, a pessoa alcançará seu objetivo ao fim de: a) 67 semanas. b) 68 semanas. c) 69 semanas. d) 70 semanas. e) 7 semanas. 8) (Unirio-995) Dado um triângulo retângulo cujos catetos medem cm, construímos um segundo triângulo retângulo onde um dos catetos está apoiado na hipotenusa do primeiro e o outro cateto mede cm. Construímos um terceiro triângulo com um dos catetos medindo cm e o outro apoiado na hipotenusa do segundo triângulo. Se continuarmos a construir triângulos sempre da mesma forma, a hipotenusa do 5 o triângulo medirá: a) 5cm. b) 5 cm. c) 4cm. d) 8cm. 0 Projeto Futuro Militar

11 e) 8 cm. 83) (Unirio-995) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo-se que o perímetro mede 57cm, podemos afirmar que o maior cateto mede: a) 7cm b) 9cm c) 0cm d) 3cm e) 7cm 84) (Unitau-995) Um triângulo retângulo tem seus lados c, b, e a em uma progressão aritmética crescente, então podemos dizer que sua razão r é igual a: a) c. b) c/3. c) a/4. d) b. e) a - b. 85) (Fuvest-995) Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são -a, -a, quarto termo desta P.A. é: a) b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 a. O b) c) 3 d) 4 e) 5 90) (UFPB-977) O termo médio de uma progressão aritmética de 5 termos, cuja soma vale 5, é: a) -3 b) - c) d) 3 e) 5 9) (UFRS-0) Para p e q inteiros e positivos, a soma dos 00 primeiros múltiplos de p é A e a soma dos 00 primeiros múltiplos de q é B. O valor de (A+B) é: a) 00pq b) 00(p+q) c) 500(p+q) d) 5050(p+q) e) 505pq 9) (UFSCar-0) A condição para que três números a,b e c estejam, simultaneamente em progressão aritmética e progressão geométrica é que: a) ac = b b) a+c = b c) a + c =b d) a = b = c e) ac = b 86) (UEL-994) Uma progressão aritmética de n termos tem razão igual a 3. Se retirarmos os termos de ordem ímpar, os de ordem par formarão uma progressão: a) aritmética de razão b) aritmética de razão 6 c) aritmética de razão 9 d) geométrica de razão 3 e) geométrica de razão 6 87) (UFPB-993) Qual a quantidade de múltiplos de 3 no intervalo [3455, 3740]? 88) (Olimpíada de Matemática Argentina-988) Dados os números 7 e 5 determinar um terceiro número positivo tal que, ao se efetuar de todas as maneiras possíveis a soma de dois quaisquer deles multiplicada pelo restante se obtenham três números em progressão aritmética. Indique todas as soluções. 89) (UFPB-98) A soma dos 3 primeiros termos de uma sucessão, onde a = e a n+ = a n + 3 para todo n, é: a) Projeto Futuro Militar

12 Gabarito ) a) /4 (5%) b) 9 filas. ) Alternativa: C 3) Alternativa: A 4) Alternativa: B 5) Alternativa: C ) a),, b) 5 7) Alternativa: A 8) a) A área é cm. b) f(x) = x + x +, x IN* Domínio: D = IN* Conjunto imagem: Im = {5, 3, 5,, x + x +, }, x IN* 9) Alternativa: A 0) a) n = 8 b) n = 9 ) Alternativa: D ) Alternativa: C 6 3) a) b = e r = 5 5 b) a 0 = 39 5 c) S 0 = 500 4) Alternativa: A 5) Alternativa: D 6) a) cada novo quadrado tem 4 segmentos a mais, de forma que a seqüência é uma PA de razão 4, e termo geral P n = 4 + (n-).4 = 4n b) 4 ; S 40 = ; 4 7) Alternativa: A ;... (PA de razão 4 ) 8) a) Como 60 é um dos ângulos, a soma dos outros dois ( e, por exemplo) é 0º. Assim, 60º é a média aritmética entre e, e então a seqüência (, 60, ) é uma progressão aritmética. b) Usando a lei dos cossenos, se for o ângulo oposto ao lado que mede 7, temos que cos = e portanto = 60º. Assim, do exposto no item (a) podemos afirmar que os ângulos estão em PA. 9) Alternativa: E 0) Alternativa: D ) Alternativa: D ) Alternativa: B 3) Alternativa: D 4) Alternativa: B 5) a) Soma dos elementos da 4ª linha = 5.75 = 375 b) n 65 x y 30 x z 75 0 Na 3ª linha 65 x 30 x 4r r 65 x 65 3x y x x 75 z Na 4ª linha Na ª coluna y 65 z x x 65 Projeto Futuro Militar

13 n = 05 x = 5 35) Alternativa: C 36) Alternativa: E ) PA(,,,...) com a = 38) Alternativa: C 39) Alternativa: A e razão r =. 6) a) 750 metros b) 500 metros 7) Alternativa: B 8) a) 750 metros b) 500 metros 40) Alternativa: A 4) Alternativa: E Se a aparte inteira de r é o quádruplo de a 3, então 0a + a = 4.a 3. Considerando que a, a,a 3 estão em PA, então a = a + a 3. Isolando a 3 na a equação e substituindo na a, temos que a = a. Então, a é par, e, conforme o enunciado, divisível por 3. Assim, a = 6 e a 3 = 9. 4) Alternativa: C 9) Alternativa: E 30) Alternativa: A 3) Alternativa: E 3) O primeiro termo é -, e a razão é ) Alternativa: A 34) EXPECTATIIVA DE RESPOSTA DA BANCA ELABORADORA DA UNICAMP a) Intervalo [fechado] de freqüências: [87,9; 07,9]. Amplitude: 0 MHz. Este intervalo deve ser dividido em 0/0, = 00 sub-intervalos e, portanto, 0 pontos de divisão, com uma emissora em cada ponto. Resposta: São 0 emissoras e o canal de maior freqüência é o canal 300. b) A freqüência do canal 00 é de 87,9 MHz, a freqüência do canal 0 é de 87,9 + 0, = 88, MHz, a freqüência do canal 0 é de 87,9 +.0, = 88,3 MHz, a freqüência do canal 85 é de 87,9+85.0,=87,9+7=04,9 MHz Resposta: A freqüência do canal 85 é de 04,9 MHz. 43) a) X = 3 - r; (ou 4-4r) Y = 3 + r (ou 4 - r) Z = 3 + r (ou 4 - r) b) r = 7, X = -4, Y = 0 e Z = 7. 44) Alternativa: B (N.do.E.: não é necessário fornecer a área do triângulo para que seja resolvido esse exercício.) 45) Alternativa: A 46) a) Supondo que seja possível determinar n, ou seja, supondo que q0, A0 e q, então temos que n = + B log q. A b) 5 parcelas. 47) Alternativa: D S = = 98 48) Alternativa: D 49) a) os múltiplos de 3 e de 7 são múltiplos de : são 3 múltiplos b) são (500 9 = 48) 48 números no espaço amostral; desses, 60 são múltiplos de 3; 69 são múltiplos de 7 e 3 são múltiplos comuns de 3 e 7, ou seja, temos ( = 06) 06 números no evento pedido. 06 Assim, P = 48 3 Projeto Futuro Militar

14 50) a) 00 b) = 40 5) Alternativa: A 5) a) S = = 3600 x b) ) Alternativa: B 54) a) S 4 = = 30. T 4 = = 40. T 4 - S 4 = 0. n n(n ) Tn Sn (i )i i i b) i i. Assim n + n - 40 = 0, logo (n - 0)(n + ) = 0, assim n = 0. 55) Alternativa: A 56) Resposta: B Construindo as seqüências das diferenças obtemos a) (5, 7, 9, ) b) (, 7, 7) c) ( 3, 4,, 3) d) (-4, -, -, -) e) (, 4,, 0) Apenas (, 7,, 7) representa uma parte de uma progressão aritmética. Portanto apenas a seqüência (6, 8, 5, 7, 44) contém parte de uma P. A. de segunda ordem. 57) Alternativa: A 58) Alternativa: A 59) F F V V 60) Alternativa: D 6) Alternativa: E 6) Alternativa: A 63) Alternativa: E 64) a) Sejam os lados a PA (x-r, x e x+r). Então, (x+r) = x + (x-r) 4xr = x x = 4r ou x=0 (não convém). Para x = 4r, a PA fica (3r, 4r, 5r). cqd. b) r = 8 65) Alternativa: A 66) a) Dívida original em t prestações valor total = 500t n Com a mudança em t prestações valor total = t K + K K K = (t )K 50.t Igualando os totais, obtemos: K = t 000 b) 500t = 9000 t = 8, então K = 8 = 5 67) a) ª linha b) 07ª coluna Observe que:» Os números da ª linha da tabela são múltiplos de 3;» Os números da ª linha da tabela são múltiplos de 3 mais ;» Os números da 3ª linha da tabela são múltiplos de 3 mais ;» 39 = Portanto, o 39 se encontra na ª linha (o resto da divisão por 3 é igual a ) e na 07ª coluna (existem 06 colunas antes do número 39). 68) Alternativa: B 69) a) B recebeu as 4 moedas restantes. b) A: 76 B: 59 C: 65 70) Alternativa: E 7) 40 cartas 7) Alternativa: B 73) a) no caixa 3 b) após 39 minutos: o caixa 3 atenderá o cliente 3, 8, 3, 8,..., 63, 68. Na PA (3, 8, 3,...68) o termo 68 é o 4 o. Assim, antes dele houveram 3 clientes, e 3.3 = 39 min. 74) Alternativa: D 75) S = = ) Alternativa: B 77) tg = Projeto Futuro Militar

15 78) a =, a =4, a 3 =6,...a 8 =6, portanto a soma a +...+a 8 = 7 79) V - F - F - V - V = 5 80) Alternativa: C 8) Alternativa: D 8) Alternativa: D 83) Alternativa: B 84) Alternativa: B 85) Alternativa: B 86) Alternativa: B 87) 95 múltiplos 88) Seja x o terceiro número, temos então seis possibilidades: ) x 7(x + 5) 5(x + 7), então a razão, calculando a diferença entre os últimos termos, seria 8x, por outro lado, calculando entre os dois primeiros, seria 05-5x, logo 05-5x = 8x, e x = 05/3. ) 7(x + 5) x 5(x + 7), então por um lado a razão deveria ser 05-7x, e por outro 5x - 05, assim 05-7x = 5x - 05, então x = 05/. 3) 7(x + 5) 5(x + 7) x, então teríamos pelo mesmo argumento 7x - 05 = 8x, logo x = -05, que não convém. 89) Alternativa: E 90) Alternativa: E 9) Alternativa: D A = p+p+3p+4p p = p( ) = (00).00 p = 5005p B = q+q+3q+4q+ +00q = q( ) = 5005q A+B = 5005(p+q) 9) Alternativa: D 5 Projeto Futuro Militar