1. Quantos números de dois algarismos não são primos nem múltiplos de 2, 3 ou 5? A) 1 B) 3 C) 2 D) 4 E) mais de 4

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1 XXIII OLIMPÍD RSILEIR DE MTEMÁTI Primeira Fase Nível 3 - Prova de 5 questões. - duração da prova é de 3 horas. - Não é permitido o uso de calculadoras nem consultas a notas ou livros. - Você pode solicitar papel para rascunho. - Entregue apenas a folha de respostas. a. Fase Olimpíada Regional M GO P RJ RS S 09 de junho de 00. Quantos números de dois algarismos não são primos nem múltiplos de, 3 ou 5? ) ) 3 ) D) 4 E) mais de 4. O triângulo DE pode ser obtido pela rotação do triângulo de 90 o no sentido antihorário ao redor de, conforme mostrado no desenho abaixo. Podemos afirmar que é igual a: D 60 O E ) 75 o ) 65 o ) 70 o D) 45 o E) 55 o 3. No conjunto {0, 00, 0 00,..., } cada elemento é um número formado pelo algarismo nas extremidades e por algarismos 0 entre eles. lguns desses elementos são números primos e outros são compostos. Sobre a quantidade de números compostos podemos afirmar que: ) é igual ) é igual a 4 ) é menor do que 3 D) é maior do que 4 e menor do que E) é 3 4. Uma pera tem cerca de 90% de água e 0% de matéria sólida. Um produtor coloca 00 quilogramas de pera para desidratar até o ponto em que a água represente 60% da massa total. Quantos litros de água serão evaporados? (lembre-se: litro de água tem massa de quilograma). ) 5 litros ) 45 litros ) 75 litros D) 80 litros E) 30 litros 5. Os números inteiros positivos de a 000 são escritos lado a lado, em ordem crescente, formando a seqüência Nesta seqüência, quantas vezes aparece o grupo 89? ) 98 ) 3 ) D) 89 E) 6. Um serralheiro tem 0 pedaços de 3 elos de ferro cada um, mostrados abaixo. 40 O Ele quer fazer uma única corrente de 30 elos. Para abrir e depois soldar um elo o serralheiro leva 5 minutos. Quantos minutos no mínimo ele levará para fazer a corrente? ) 30 ) 35 ) 40 D) 45 E) 50

2 7. O número N de três algarismos multiplicado por 7 deu como resultado um número que termina em 7. soma dos algarismos de N é: ) 0 ) ) D) 3 E) 4 8. Os pontos P, P, P 3, estão nesta ordem sobre uma circunferência e são tais que o arco que une cada ponto ao seguinte mede 35. O menor valor de n > tal que P n coincide com P é: ) 37 ) 73 ) 09 D) 4 E) DE é um pentágono regular e F é um triângulo equilátero interior. O ângulo FD mede: ) 38 ) 40 ) 4 D) 44 E) Um círculo é dividido, por n + raios, em n + setores congruentes. Qual é o número máximo de regiões do círculo determinadas por estes raios e por uma reta? ) 3n ) 3n + ) 3n + D) 3n + 3 E) 4n. Papa-Léguas participou de uma corrida (junto com o Ligeirinho e o Flash), que consistia em dar 00 voltas em um circuito. omo sempre, o oiote queria pegar o Papa-Léguas e colocou um monte de alpiste no meio da pista. É claro que o oiote não conseguiu pegar o Papa-Léguas, mas ele fez com que a velocidade média dele na primeira volta fosse de apenas 00 km/h. Sabendo disso, a velocidade média do Papa-Léguas na corrida: ) Não ultrapassa 00 km/h. ) Não ultrapassa 50 km/h, mas pode ultrapassar 00km/h. ) Não ultrapassa 000 km/h, mas pode ultrapassar os 50km/h. D) Não ultrapassa 0000 km/h, mas pode ultrapassar os 000 km/h. E) Pode ultrapassar 0000 km/h. x x. O número de soluções inteiras distintas da equação ( 6x x ) 4 é: ) 0 ) ) D) 3 E) 4 3. Uma rifa foi organizada entre os 30 alunos da turma do Pedro. Para tal, 30 bolinhas numeradas de a 30 foram colocadas em uma urna. Uma delas foi, então, retirada da urna. No entanto, a bola caiu no chão e se perdeu e uma segunda bola teve que ser sorteada entre as 9 restantes. Qual a probabilidade de que o número de Pedro tenha sido o sorteado desta segunda vez? ) /9 ) /30 ) /3 D) /60 E) /3 4. inco animais,,, D, e E, são cães ou são lobos. ães sempre contam a verdade e lobos sempre mentem. diz que é um cão. diz que é um lobo. diz que D é um lobo. D diz que e E são animais de espécies diferentes. E diz que é um cão. Quantos lobos há entre os cinco animais? ) ) ) 3 D) 4 E) 5 5. São escritos todos os números de a 999 nos quais o algarismo aparece exatamente vezes (tais como,,, 4, etc). soma de todos estes números é: ) 688 ) 5994 ) 4668 D) 74 E) 3448

3 6. Uma mesa retangular, cujos pés têm rodas, deve ser empurrada por um corredor de largura constante, que forma um ângulo reto. a b Se as dimensões da mesa são a e b (com a < b), qual deve ser a largura mínima do corredor para que a mesa possa ser empurrada através dele? ) a + b ) ( a b) ) ( a b) D) ( a b) E) ( a b) Somente uma das figuras a seguir representa a planificação de um cubo na qual está destacada a sua interseção com um plano. Qual? ) ) ) D) E) 4 8. Seja f(x) = x 3x + 4. Quantas soluções reais tem a equação f(f(f(...f(x)))) = (onde f é aplicada 00 vezes)? ) 0 ) ) D) 00 E) Quantos dígitos tem o menor quadrado perfeito cujos quatro últimos dígitos são 00? ) 9 ) 5 ) 6 D) 7 E) 8 0. Seja D um trapézio retângulo cujos únicos ângulos retos são  e ˆ. M e N são os pontos médios de e D, respectivamente. respeito dos ângulos = N ˆ e = M ˆ D, podemos dizer que: ) < ) > ) = D) pode ocorrer qualquer uma das situações das alternativas ), ) e ). E) o ângulo é reto. soma dos valores reais de x tais que x + x + = 56/(x + x) é: ) 3 ) 6 ) D) E) 6. Para cada ponto pertencente ao interior e aos lados de um triângulo acutângulo, considere a soma de suas distâncias aos três lados do triângulo. O valor máximo desta soma é igual ) à média aritmética das 3 alturas do triângulo. ) ao maior lado do triângulo. ) à maior altura do triângulo D) ao triplo do raio do círculo inscrito no triângulo. E) ao diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo.

4 3. Seja f uma função de Z em Z definida como f(x) = x/0 se x é divisível por 0 e f(x) = x + caso contrário. Se a 0 = 00 e a n+ = f(a n ), qual é o menor valor de n para o qual a n =? ) 0 ) 38 ) 93 D) 000 E) a n nunca é igual a 4. O hexágono DEF é circunscritível. Se =, =, D = 3, DE = 4 e EF = 5, quanto mede F? 3? D F 4 5 E ) ) 3 ) 5/8 D) 6 E) 9 5. No triângulo, = 5 e = 6. Qual é a área do triângulo, sabendo que o ângulo Ĉ tem a maior medida possível? ) 5 ) 5 7 ) 7 7 / D) 3 E) 5 /

5 GRITO Este é o gabarito para os três níveis. Observe que algumas questões são utilizadas em mais de um nível e a solução é dada apenas uma vez. onsideramos o uso de uma mesma questão em mais de um nível como um fator interessante e que reflete o caráter da Olimpíada de Matemática como uma prova de raciocínio e não de verificação do aprendizado de material ao qual o aluno tenha sido exposto recentemente. NÍVEL (5 a. e 6 a. séries) ) E 6) ) 6) D ) D 7) ) D 7) E 3) 8) 3) 8) 4) 9) 4) 9) D 5) D 0) D 5) 0) RESUMO DS SOLUÇÕES. (E) Para que a diferença seja a menor possível, os algarismos das centenas desses números devem diferir em uma unidade. lém disso, o número formado apenas por algarismos pares deve ter a menor dezena possível, ou seja, 0; o número formado apenas por algarismos ímpares deve ter a maior dezena possível, ou seja 97. ssim o menor valor possível para a diferença ocorre quando os números são 40 e 397 ou 60 e 597, e, portanto, é 5.. (D) asta escolher um ponto de cada circunferência. Isso pode ser feito de 435=0 maneiras diferentes (no enunciado subentende-se que dos quatro pontos escolhidos de cada vez, não haja três alinhados). 3. () Os números da seqüência, quando divididos por 5, deixam resto igual a. O menor número de três algarismos nessas condições é o () omo os números devem ser compostos e ter dois algarismos, eles devem ser múltiplos de 7, mas não múltiplos de, de 3 nem de 5. Só podem ser 77 = 49, 7 = 77 e 73 = (D) O conjunto dado tem números. Os números com quantidade par de zeros são divisíveis por. Por exemplo, 00 é igual a 9 (na verdade, basta aplicar o critério de divisibilidade por ). Há 5 números nessas condições; além disso, o número 0 é primo, logo a quantidade de números compostos é maior do que 4 e menor do que. (na verdade, 0 é primo e os dez outros números são compostos). 6. () Inicialmente, há 90 kg de água e 0 kg de matéria sólida. s peras devem ser desidratadas até o ponto em que esses 0 kg representem 00% 60% = 40% da massa total, ou seja, até que a massa total seja igual a % 0,4 kg. Logo 90 (5 0) = 75 litros de água serão evaporados. 7. () Para formar um triângulo de lado, são necessários 4 T, para formar um triângulo de lado 3 são necessários 9 T, etc. Pode-se provar que para formar um triângulo de lado n, são necessários n triângulos T. Logo o triângulo formado por 49 triângulos T tem lado () Na seqüência aparecem os números de um algarismo 8,9; com números de dois algarismos aparece uma vez o 89 e o agrupamento 98,99; com números de três algarismos que terminam com 89 temos 89, 89,..., 989 num total de 9 números; com números que começam com 89, temos 890, 89,..., 899 num total de 0 números; os agrupamentos 908, 909; 98, 99;...; 998,999 também aparecem, num total de 0 números. Portanto, 89 aparece = 3 vezes. 9. () brindo uma cadeia de três elos, o serralheiro emenda 4 cadeias de 3 elos, formando um pedaço de 5 elos. Por isso, com 6 elos, ele forma dois pedaços de 5 elos; abrindo mais um elo de um desses pedaços, ele emenda 5 com 4, formando a corrente de 30 elos. Levará portanto 75= 35 minutos. Para verificar que não é possível em menos tempo, basta observar que, abrindo 6 elos, restam pelo menos 8 pedaços formados por, ou 3 elos fechados e que necessitam de pelos menos 7 elos abertos para serem ligados.

6 0. (D) Observando como os números aparecem nos cantos, percebemos que aparecem omo 000 é múltiplo de 4, a resposta correta é: múltiplo de 4 mais múltiplo de 4 mais 3 múltiplo de 4 mais múltiplo de 4 mais múltiplo de 4. () Se 6 bananas = melancia então 4 bananas = melancias = 9 laranjas + 6 bananas. Portanto, 8 bananas = 9 laranjas, ou seja, bananas = laranja. ssim, laranjas + bananas = 4 bananas + bananas = 36 bananas = 3 melancias.. (D) cada 0 inteiros consecutivos aparecem todos os algarismos 0,,,, 9 como último algarismo. omo sua soma é 45, que termina em 5, e 7 5 = 35, que também termina em 5, a soma de 70 números inteiros positivos consecutivos sempre termina em () quilogramas de moedas de 0 centavos correspondem a moedas de 0 8 centavos, que valem o mesmo que 00 moedas de 50 centavos. ssim, 00 moedas de 50 centavos pesam quilograma, logo cada moeda pesa 0 gramas. 4. () b a a Trace retas paralelas aos lados a uma distância. O perímetro é igual em valor numérico à soma das áreas dos quatro retângulos finos junto aos lados. omo esta soma é igual à área total do retângulo vemos que a área do pequeno retângulo central é igual à soma das áreas dos quatro quadrados nos cantos. ssim ( a )( b ) 4. omo a b temos a = 4, b = ou a =, b = () = (D) Se cada linha tiver 5 casas ocupadas teremos 30 casas ocupadas, apenas. Logo, alguma linha tem 6 ou mais casas ocupadas. 7. (E) O número total de alunos da turma é menor que 30, é par, é maior que 5 e deixa resto quando dividido por 5. Logo, é 6. Temos meninos. 8. () Os números formados são da forma a, a ou a, onde a é um dos nove algarismos restantes. Para um dado a, a soma dos três números acima é aaa + = (a+). Logo, a sua soma para todos os nove valores possíveis de a é: S = [( ) + (9 )] = (44 + 8) = (D) Se é cão, é cão, é lobo, D é cão, E é lobo, o que é absurdo, pois E diria que é um lobo. ssim, é lobo, é lobo, é cão, D é lobo e E é lobo, e portanto há quatro lobos no grupo de animais. 0. () No primeiro mosaico, temos = 8 azulejos pretos; no segundo, temos = ; no terceiro, temos = 6; não é difícil perceber ( e verificar) que os próximos mosaicos têm 0 e 4 azulejos pretos. omo = 80, é possível construir exatamente 5 mosaicos. ssim serão necessários = = 55 azulejos brancos.

7 NÍVEL (7 a. e 8 a. séries) ) 6) ) 6) ) ) E 7) ) D 7) E ) D 3) D 8) D 3) 8) 3) 4) 9) nulada 4) E 9) D 4) D 5) 0) 5) D 0) 5) RESUMO DS SOLUÇÕES. () Veja a solução do problema 4 do nível.. (E), logo D. omo m( ˆ D) 90 o, temos m( D ˆ ) m( Dˆ ) 45 o. Mas m( ˆ ) m( Dˆ E) 80 o. Portanto, = 80 o (45 o + 80 o ) = 55 o. 3. Veja a solução do problema 5 do nível. 4. Veja a solução do problema 6 do nível. 5. Veja a solução do problema 8 do nível. 6. Veja a solução do problema 9 do nível. 7. Veja a solução do problema do nível. 8. Veja a solução do problema do nível. 9. nulada 0. Veja a solução do problema 5 do nível.. () Seja x o número de arcos percorridos e y o número de voltas dadas. P P r 35x 360 y 7x 7y x 7. Logo, n = 73.. Veja a solução do problema 6 do nível. 3. () ˆ ˆ 80(5 ) D ˆ ˆ ˆ F 60, F 48, F 66. FD ˆ Logo 4. Veja a solução do problema 7 do nível. 5. (D) Uma reta determina o número máximo de regiões no círculo quando corta o número máximo de setores (ou seja, o maior número possível de raios). figura mostra uma reta que corta n+ raios, ou seja, n+ setores, determinando assim n+ novas regiões, para um total de 3n+3 regiões. Este número é máximo, já que as extremidades dos raios extremos cortados por uma reta estão sempre em um mesmo semiplano determinado pela paralela à reta passando pelo centro do círculo. 3 n n+

8 6. () Paulo tem x reais e ezar tem y reais x 5 ( y 5) 8, ( y 5) Logo, x = 4 e y =. y x = (E) Tomemos como unidade a quantidade de ração que vaca come em dia n n Veja a solução do problema 8 do nível. 9. (D) mesa pode ser empurrada pelo corredor de dois modos: utilizando apenas movimentos de translação ou girando-a em torno do ponto de encontro dos dois corredores. No primeiro caso, é preciso um corredor de largura igual à maior dimensão da mesa (ou seja b). No segundo caso, a posição crítica ocorre quando a mesa está igualmente inclinada em relação aos dois corredores (isto é, faz um ângulo de 45 com a horizontal). Neste caso, a largura mínima deve ser igual a b a (a b). omo a < b, este valor é menor que b 4 menor que b. Logo, a largura mínima do corredor deve ser igual a ( a b). 4 a a e, portanto, b b () O plano que secciona o cubo no item é aquele que contém os segmentos que ligam os pontos médios de arestas paralelas não coincidentes de duas faces adjacentes. Pode-se verificar que as demais planificações não contém representações de interseções de planos com o cubo.. () Seja n o quadrado perfeito. omo ele termina com 00, temos n = 0000m + 00 n = 000(5m + ) (n )(n + ) = (5m + ). omo mdc(n ; n + ) = mdc(n + ; n + (n )) = mdc(n +, ) = (pois n é ímpar), n ou n + é divisível por 5 3 = 5, assim n = 5t + ou n = 5t, onde t é inteiro positivo. omo n é ímpar, t é par, logo o menor valor possível para t é. Para n = 5 = 49, temos n = 600, que termina em 00. Logo o menor quadrado perfeito cujos últimos quatro dígitos são 00 é 49 = 600 que tem 5 dígitos.. (D) Seja S a extensão do circuito, t 0 o tempo gasto pelo Papa-Léguas para dar a primeira volta e s t' 0 o tempo gasto para dar as outras 99 voltas. Temos 00 e a velocodade média do Papat 00S 0000t Léguas na corrida é Por outro lado, como nada sabemos sobre o t t' t t' 00s valor de t, se t' 9t teremos 000. ssim a opção correta é D. t t' 3. Veja a solução do problema 0 do nível. 4. Veja a solução do problema 9 do nível. 5. () Sejam M, N, O, P, Q e R os pontos de tangência dos lados,, D, DE, EF e F na circunferência inscrita, respectivamente, e seja x = M. Temos R = M = x, M = x, N = M = x, N = ( x) = + x, O = N = + x, OD = 3 ( + x) = x, DP = OD = x, PE = 4 ( x) = + x, EQ = PE = + x, QF = 5 ( + x) = 3 x e FR = QF = 3 x. Logo F = FR + R = 3 x + x = 3.

9 NÍVEL 3 (Ensino médio) ) 6) ) D 6) D ) ) E 7) ) D 7) ) 3) D 8) 3) 8) 3) 4) 9) 4) D 9) 4) 5) 0) D 5) 0) 5) E RESUMO DS SOLUÇÕES. Veja a solução do problema 4 do nível.. Veja a solução do problema do nível. 3. Veja a solução do problema 3 do nível. 4. Veja a solução do problema 4 do nível. 5. Veja a solução do problema 5 do nível. 6. Veja a solução do problema 9 do nível. 7. Veja a solução do problema 5 do nível. 8. Veja a solução do problema do nível. 9. Veja a solução do problema 3 do nível. 0. Veja a solução do problema 5 do nível.. Veja a solução do problema do nível.. (D) Observemos que a base da potência no lado esquerdo da igualdade é par. omo o expoente da potência é inteiro e positivo (é igual a (x ) + ), temos que a base, em módulo, é menor ou igual a 4, sendo então igual a, ou 4. ssim, a equação dada é equivalente a ( 6x + x = e x x + = ) ou ( 6x + x = e x x + = ) ou ( 6x + x = 4 e x x + = ). Na primeira possibilidade, temos x = 0 ou x = ; a segunda possibilidade não apresenta solução; a terceira possibilidade nos fornece x =. ssim, a equação admite três soluções inteiras distintas. 3. () O fato de que todos os alunos têm a mesma probabilidade de serem sorteados não é alterado pela perda da primeira bola sorteada. ssim, Pedro continua com uma probabilidade igual a /30 de ser sorteado. 4. Veja a solução do problema 9 do nível. 5. Veja a solução do problema 8 do nível. 6. Veja a solução do problema 9 do nível. 7. Veja a solução do problema 0 do nível. 8. () onsidere a equação f(g(x)) =. Temos (g(x)) 3g (x) + 4 = g(x) = ou g(x) =. o resolvermos f(h(x)) =, temos (h(x)) 3h(x) + 4 =, que não tem solução. ssim, sendo g(x) = f(f...(x)) (com f aplicada 999 vezes), temos que resolver f(f(g(x))) = f(g(x)) = ou f(g(x)) =. omo f(g(x)) = não tem solução, temos g(x) = ou g(x) =. Repetindo esta idéia sucessivamente, obtemos f(x) = ou f(x) = x 3x + 4 = ou x 3x + 4 = x = ou x =. ssim a equação tem soluções, a saber, e. 9. Veja a solução do problema do nível. 0. onsidere a figura a seguir (na qual assumimos, sem perda de generalidade, que < D). E M N F D Seja EF a paralela a por N. Temos que m(emf) =. lém disso, m ( ME ˆ ) = ( MF ˆ ) onsidere P sobre MF tal que PF = ME. omo PF = ME, m ( DF ˆ P) = m ( MF ˆ ) = m( ME ˆ ) e ( FP ˆ D m( Mˆ E) m ( MP ˆ ) > m ( PM ˆ D) (observe o triângulo MPD) m ( M ˆ E) > m ( FM ˆ D). P m < 90 o. FD = E, pelo caso LL temos que os triângulos ME e PFD são congruentes. Logo m ) = e PD = M. omo MD = D + M > + M = M, temos MD > M MD > PD

10 ˆ ˆ Logo = m ( EMF) m ( FMD) + m ( ME) = + m ( ME) m ( FMD) >. Outra solução: Pela lei dos senos aplicada ao triângulo ME, temos E M (I) sen ( Mˆ E ) sen ( M Eˆ ) plicando a lei dos senos agora ao triângulo MFD, temos FD MD MD sen ( F Mˆ D ) sen ( M Fˆ D ) sen ( M Fˆ ) De (I) e (II), temos sen ( FMD ˆ ) M sen ( ME ˆ ) MD omo M < MD, temos ( FMD) ˆ sen ˆ < sen ( M ˆ E). omo estes ângulos são agudos, ( FM ˆ D) m ( Mˆ E). Logo = m ( EM ˆ F) m ( FM ˆ D) + m ( M ˆ E) = + m ( M ˆ E) m ( FM ˆ D) >. ˆ (II) ˆ m <. () Seja y = x + x. Temos x + x + = 56/(x + x) y + = 56/y y + y 56 = 0 y = ou y = 3 x + x = ou x + x = 3 x + x = 0 ou x + x + 3 = 0. segunda equação não tem solução, assim a soma das soluções reais da equação original é / =.. () Seja um triângulo acutângulo, no qual supomos que a seja o menor lado. soma das S S S distâncias de um ponto P aos lados é d d d, onde S, S e S são a b c as áreas dos triângulos P, P e P, respectivamente. omo S S S é constante, d d d é máxima quando a única parcela não nula é relativa ao maior coeficiente 0, que é. a Logo, o máximo da soma ocorre quando P é o vértice oposto ao menor lado e é, portanto, igual à maior altura do triângulo. d dc P b d a 3. () Temos a = 00, a = 003,, a 9 = 00, a 0 = 0, a = 0,, a 9 = 0, a 0 =, a =,, a 9 = 30, a 30 = 3, a 3 = 4,, a 37 = 0 e finalmente a 38 =. 4. Veja a solução do problema 5 do nível. 5. (E) onsidere que os pontos e estão fixos e que gira em torno de. ssim, está na circunferência com centro e raio 5. Temos que o ângulo Ĉ é máximo quando tangencia a circunferência. Neste caso, temos que o ângulo  é reto. Logo, pelo teorema de Pitágoras, = = 6 5 = =. ssim, a área do triângulo é / = 5 /.