b) O quadriculado medimágico abaixo tem os números 7, 9 e 20 nas posições indicadas. Qual é o valor de x?

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Thomaz Leveck Brandt
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Preparação para a 2ª fase da OBMEP 2018 Nível 3 Conteúdo: Aritmética elementar, Geometria básica, Geometria espacial, Perímetro e área, Funções polinomiais, Contagem e Probabilidade Aluno(s):.

.. [X] Para o lar [X] Individual [X] Dupla [X] Trio [X] Quatro ou mais [X] Folha [X] Caderno [X] Livro/Apostila [X] Internet [X] Calculadora [X] Grafite [X] Azul/Preta [X] Corretivo [X] Rasura [X]

1 Preparação para a 2ª fase da OBMEP 2018 Nível 3 Conteúdo: Aritmética elementar, Geometria básica, Geometria espacial, Perímetro e área, Funções polinomiais, Contagem e Probabilidade Aluno(s):... N o(s) :... Aluno(s):... N o(s) :... Pontuação:... Professor: Fábio Vinícius Turma:... Data:.../.../... Valor obtido:... [X] Para o lar [X] Individual [X] Dupla [X] Trio [X] Quatro ou mais [X] Folha [X] Caderno [X] Livro/Apostila [X] Internet [X] Calculadora [X] Grafite [X] Azul/Preta [X] Corretivo [X] Rasura [X] Rascunho Apresente suas soluções de forma clara, indicando, em cada caso, o raciocínio que conduziu à resposta. Aritmética elementar Questão 1. (2017.N3F2Q1) Júlia faz o seguinte cálculo com números inteiros positivos: ela escolhe um número, eleva esse número ao cubo e subtrai desse cubo o próprio número. Veja na figura que o resultado do cálculo de Júlia com o número 2 é igual a 6. a) Qual é o resultado do cálculo de Júlia com o número 3? b) Qual é o número que deve ser escolhido por Júlia para que o resultado do cálculo seja 1320? c) Explique por que, para qualquer número que Júlia escolher, o resultado final do cálculo será sempre um múltiplo de 6. Questão 2. (2016.N3F2Q1) Um quadriculado 3x3 preenchido com números inteiros é chamado de medimágico quando, em cada linha horizontal, vertical ou diagonal, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois. a) Preencha o quadriculado abaixo para que ele seja medimágico. b) O quadriculado medimágico abaixo tem os números 7, 9 e 20 nas posições indicadas. Qual é o valor de x? c) Explique por que, em qualquer quadriculado medimágico, a soma de todos os números é um múltiplo de 9. Geometria básica Questão 3. (2016.N3F2Q5) As medidas em graus dos ângulos BA D, DA C, AB D e DB C estão indicadas na figura. O ponto E é a interseção de BC com o prolongamento de AD, e o ponto F é a interseção de AB com a perpendicular a BD por E. fabiovinicius.mat.br 1 18 de setembro de 2018

A circunferência gira, sem deslizar, pela base do triângulo. Ao girar, o ponto de tangência T (da circunferência com a base BC) move-se ao longo do lado BC.

2 a) Qual é a medida do ângulo BD E? b) Mostre que os triângulos AC E e AF E são congruentes. c) Qual é a medida do ângulo BC D? Questão 4. (2015.N3F2Q5) Nas figuras, AB C é um triângulo isósceles, retângulo em A. A altura do triângulo em relação à base BC mede 1 e a circunferência de centro O tem raio 1. A circunferência gira, sem deslizar, pela base do triângulo. Ao girar, o ponto de tangência T (da circunferência com a base BC) move-se ao longo do lado BC. A Figura 1 ilustra a situação em que T é o ponto médio de BC. A Figura 2 ilustra uma posição genérica do ponto T. Em ambas as figuras, P e Q são os pontos de interseção dos lados AB e AC, respectivamente, com a circunferência. a) Na situação da Figura 1, quantos graus mede o arco determinado pelos pontos P e Q que contém o ponto T? b) Na situação da Figura 2, seja D o ponto em que o prolongamento do cateto BA intersecta a circunferência. Mostre que AD = AQ. c) Explique por que, para qualquer posição de T, o comprimento do arco determinado pelos pontos P e Q que contém o ponto T é sempre o mesmo. Geometria espacial Questão 5. (2017.N3F2Q5) A figura mostra três vistas de uma obra de arte feita com um pedaço de tubo circular reto e um trapézio isósceles de arame, fixado no tubo em quatro pontos. Os lados paralelos do trapézio medem 6 cm e 24 cm, e ambos são paralelos ao plano que contém a base do cilindro. O plano que contém o trapézio faz ângulo de 45 com o plano que contém a base do cilindro. a) Qual é o comprimento dos lados paralelos do trapézio da Figura 2? b) Qual é o comprimento dos lados não paralelos do trapézio da Figura 2? c) Qual é o diâmetro do tubo? d) Quantos centímetros de arame foram utilizados para construir o trapézio fixado no tubo? fabiovinicius.mat.br 2 18 de setembro de 2018

Perímetro e área Questão 6. (2016.N3F2Q4) Uma figura é construída por fileiras horizontais de quadradinhos 1x1, dispostos lado a lado, sem sobreposição e sem espaçamento.

3 Perímetro e área Questão 6. (2016.N3F2Q4) Uma figura é construída por fileiras horizontais de quadradinhos 1x1, dispostos lado a lado, sem sobreposição e sem espaçamento. Cada fileira, com exceção da primeira, está encostada inteiramente na fileira de baixo. A primeira fileira possui um número ímpar de quadradinhos e cada uma das demais possui dois quadradinhos a menos do que a fileira imediatamente abaixo. A última fileira sempre contém um único quadradinho. Ao lado, vemos uma figura na qual a primeira fileira contém 11 quadradinhos. a) Encontre a área e o perímetro de uma figura com 13 quadradinhos na primeira fileira. b) Mostre que, independentemente do número de quadradinhos da primeira fileira, o número total de quadradinhos de uma figura é o quadrado de um número natural. c) Mostre que, independentemente do número de quadradinhos da primeira fileira, a área A e o perímetro p da figura satisfazem a igualdade ( p + 2 ) 2 = 36A. Funções polinomiais Questão 7. (2016.N3F2Q3) A figura mostra um polígono ABCDE em que todos os lados, exceto AE, são horizontais ou verticais e têm os comprimentos indicados na figura. Considere, agora, uma reta vertical distante x do vértice A, com 0 < x 5. Ela divide o polígono ABCDE em dois polígonos, um situado à direita da reta e outro à esquerda. Considere a função f que associa a cada valor de x o perímetro do polígono situado à esquerda da reta. Por exemplo, f(3) é o perímetro do triângulo AHE, enquanto f(5) é o perímetro do polígono ABCDE. a) Calcule f(3). b) Calcule f(5). c) Escreva as expressões de f(x) para 0 < x 3 e para 3 < x 5. d) Esboce o gráfico da função f. Questão 8. (2013.N3F2Q4) A figura mostra um triângulo de papel ABC, retângulo em C e cujos catetos medem 10 cm. Para cada número x tal que 0 x 10, marcam-se nos catetos os pontos que distam x cm do ponto C e dobrase o triângulo ao longo da reta determinada por esses pontos. Indicamos por f(x) a área, em cm 2, da região onde ocorre sobreposição de papel. Por exemplo, na figura ao lado a área da região cinzenta, em cm 2, é f(7). fabiovinicius.mat.br 3 18 de setembro de 2018

a) Calcule f(2), f(5) e f(7). b) Escreva as expressões de f(x) para 0 x 5 e 5 x 10. c) Determine o maior valor possível para a área da região de sobreposição. d) Faça o gráfico de f(x) em função de x.

Joaquim retira, uma a uma, quatro bolas da caixa e observa seus números, sem recolocá-las na caixa. a) Qual é a probabilidade de que o menor número observado seja 1?

4 a) Calcule f(2), f(5) e f(7). b) Escreva as expressões de f(x) para 0 x 5 e 5 x 10. c) Determine o maior valor possível para a área da região de sobreposição. d) Faça o gráfico de f(x) em função de x. Contagem e Probabilidade Questão 9. (2016.N3F2Q6) Seis bolas idênticas foram numeradas de 1 a 6 e colocadas em uma caixa. Joaquim retira, uma a uma, quatro bolas da caixa e observa seus números, sem recolocá-las na caixa. a) Qual é a probabilidade de que o menor número observado seja 1? b) Qual é a probabilidade de que o maior número observado seja 5? c) Qual é a probabilidade de que o menor número observado seja 1 e o maior seja 5? d) Qual é a probabilidade de que o menor número observado saia na primeira bola retirada e o maior, na última bola? Questão 10. (2015.N3F2Q6) Para a primeira fase de um torneio internacional de futebol foram classificadas 3 equipes espanholas, 2 francesas, 1 alemã, 1 portuguesa e 1 italiana. Nessa fase, serão realizadas quatro partidas, com os confrontos definidos por sorteio. Em seguida, duas semifinais serão realizadas com as quatro equipes vencedoras da primeira fase, também com os confrontos definidos por sorteio. As duas equipes vencedoras jogarão a partida final. a) Qual é a probabilidade de que, na primeira fase, as duas equipes francesas se enfrentem? b) Qual é a probabilidade de ocorrer, na primeira fase, um confronto entre duas equipes espanholas? c) Admitindo que em cada confronto do torneio as equipes têm, todas, iguais probabilidades de ganhar, qual é a probabilidade de que a final seja realizada entre duas equipes de um mesmo país? fabiovinicius.mat.br 4 18 de setembro de 2018

5 Preparação para a 2ª fase da OBMEP 2018 Nível 3 Conteúdo: DESAFIOS Lógica e Aritmética elementar Aluno(s):... N o(s) :... Aluno(s):... N o(s) :... Pontuação:... Professor: Fábio Vinícius Turma:... Data:.../.../... Valor obtido:... [X] Para o lar [X] Individual [X] Dupla [X] Trio [X] Quatro ou mais [X] Folha [X] Caderno [X] Livro/Apostila [X] Internet [X] Calculadora [X] Grafite [X] Azul/Preta [X] Corretivo [X] Rasura [X] Rascunho Apresente suas soluções de forma clara, indicando, em cada caso, o raciocínio que conduziu à resposta. Lógica e Aritmética elementar Questão 1. Certo dia, um funcionário do Censo Demográfico bate na porta da casa de uma senhora e pergunta: Quantos filhos a senhora tem? Tenho três filhos. E o produto das idades deles é 36. Com essa informação, é impossível descobrir a idade de cada um deles. falou o funcionário. A soma das idades deles é igual ao número de janelas daquele prédio. diz a senhora, apontando para a construção à frente. Bem, isso ajuda, mas ainda não tenho como saber as idades de seus filhos. O mais velho toca piano. Ah! Agora posso saber todas as idades! Quantos anos tem cada um dos filhos? [1] fabiovinicius.mat.br 5 18 de setembro de 2018

6 Referências Bibliográficas [1] HOLANDA, Bruno, CHAGAS, Emiliano A., Círculos de Matemática da OBMEP, Volume 1: Primeiros passos em Combinatória, Aritmética e Álgebra. fabiovinicius.mat.br 6 18 de setembro de 2018

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