SOBRE UM ESTUDO COMPARATIVO DA SUBTRAÇÃO E DIVISÃO ENTRE A MATEMÁTICA EGÍPICA ANTIGA E ALGUNS LIVROS DIDÁTICOS

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1 SOBRE UM ESTUDO COMPARATIVO DA SUBTRAÇÃO E DIVISÃO ENTRE A MATEMÁTICA EGÍPICA ANTIGA E ALGUNS LIVROS DIDÁTICOS GT 01 Educação matemática no ensino fundamental: anos iniciais e anos finais Ronaldo Bressan Pes 1, UFSM, ronaldobressan@hotmail.com Ricardo Fajardo, UFSM, rfaj@ufsm.br Rodrigo de Freitas Gabert, UFSM, rodrigogabert@gmail.com Resumo: Neste artigo apresenta-se um trabalho de iniciação científica sobre as raízes históricas da matemática elementar que ocorreu durante o ano de Decidiu-se investigar uma relação entre a subtração e divisão encontrada em livros didáticos e a aritmética egípcia antiga, visto que a grande maioria dos acadêmicos dos Cursos de Licenciatura em Matemática apresenta dificuldades conceituais. Discorre-se sobre as quatro operações do antigo Egito. Após, apresenta-se uma comparação de discussão de três livros didáticos. Finalmente, nas considerações finais mencionamse os benefícios do projeto, bem como, apresenta-se algumas propostas para fazer-se uma matemática crítica dentro da sala de aula. Palavras-chave: matemática; Egito; subtração; divisão; operações inversas. Introdução No decorrer do ano de 2010, durante os encontros semanais do projeto de Iniciação Científica intitulado Um Estudo sobre as Raízes Históricas da Matemática Elementar, iniciaram-se algumas discussões sobre as dificuldades, de cunho matemático, que, salvo algumas exceções, os acadêmicos dos Cursos de Licenciatura em Matemática apresentam durante a sua vida acadêmica. Esta preocupação fundamenta-se no fato desses estudantes emergirem da escola básica e, quando graduados, retornarem à mesma, desta vez, como professores. Desta forma, o círculo vicioso se perpetua, a menos que haja, entre outras, uma mudança na abordagem do conteúdo matemático, tanto a nível básico quanto superior. Após alguma reflexão e troca de idéias sobre as experiências do grupo, este concordou que 1 Bolsa IC-REUNI/UFSM

2 o cerne desta dificuldade encontrava-se na matemática elementar, mais especificamente nas operações inversas da adição e multiplicação. Esta dificuldade revela-se claramente na dificuldade que os alunos apresentam mais tarde na resolução de equações, citando um exemplo. Assim, após ter-se estudado a Matemática Egípcia Antiga segundo Bunt, Jones e Bedient (1988) e Gillings (1982), decidiu-se efetuar um estudo comparativo conceitual da subtração e divisão entre a Matemática Egípcia Antiga e alguns livros didáticos. Objetivos Os objetivos do projeto foram: proporcionar o desenvolvimento de uma ferramenta didática de cunho histórico dos conteúdos de numeração e aritmética; e investigar como a História da Matemática pode tornar-se um viés satisfatório de motivação para o ensino da matemática na escola básica, em particular no ensino da numeração e aritmética. Fundamentação Teórica Por que se optou pela Matemática Egípcia Antiga? Porque, segundo Bunt, Jones e Bedient (1988), a matemática mais antiga na forma escrita conhecida atualmente encontrase gravada na cabeça de pedra do cetro cerimonial do rei egípcio Menes, o fundador da primeira dinastia faraônica, cerca de anos AC. Por que se decidiu efetuar um estudo comparativo entre a Matemática Egípcia Antiga e alguns livros didáticos? Porque um estudo desta natureza possibilita analisar, até certo nível, o quanto se usufrui atualmente do conteúdo histórico que faz parte da nossa herança de conhecimento, visto que os egípcios antigos usavam a matemática para fins aplicados e práticos, fato que colabora na conexão entre a matemática prática e teórica. Notação aritmética egípcia Segundo Bunt, Jones e Bedient (1988) o papirus Rhind é a melhor fonte de informação sobre a aritmética egípcia. Eram usados os símbolos para 1, 10, 100, 1.000,..., Em hieróglifos estes símbolos eram representados segundo a figura abaixo.

3 Figura 1: símbolos hieroglíficos (BUNT; JONES; BEDIENTE, p. 6) Ao contrário dos demais, os números de 1 até 9 eram representados por traços verticais, conforme mostra a figura abaixo. Figura 2: símbolos hieroglíficos iniciais (BUNT; JONES; BEDIENTE, p. 7) A partir dessas representações, todos os outros números naturais eram escritos através de suas combinações. Além disso, os hieróglifos eram escritos da direita para esquerda, ou seja, um algarismo representante de uma unidade apareceria à esquerda dos demais. Por outro lado, como se representaria o número 103 na forma de hieróglifos, uma vez que não possuíam um símbolo para o número zero? Os egípcios escreviam No entanto, isto também poderia significar o número 13. Deste momento em diante, escreverse-á na notação ocidental, para facilitar a leitura. A notação numérica egípcia era decimal e não posicional. Um símbolo substituía dez símbolos de denominação imediatamente menor. Por exemplo, dez 2 (que equivale a 10) era substituído por 3 (que equivale a 100). Operações aritméticas Adição Na notação hieroglífica a adição não apresentou qualquer dificuldade. Não existiam combinações a serem memorizada, tal como = 11. Como os egípcios sabiam que 10 traços verticais poderiam ser substituídos por 2, 10 símbolos 2 by 3, e assim por diante,

4 eles poderiam proceder contando o número de símbolos nos dois números a serem adicionados. Logo, eles escreviam a soma de e diretamente como Tendo contado dez traços verticais, escreve-se 2 e, então, marca-se um traço vertical restante, sem ter que saber que 5+6=11 e lembrar de carregar o 1. Ao contar dez 3, escreve-se 4. Subtração Os egípcios usavam uma maneira para a subtração que estava ligada diretamente com a adição. Por exemplo, se eles queriam calcular 18 4, eles imaginavam quanto seria preciso completar 4 para obter 18. Tal remate foi chamado de Saikam (skm). Ainda hoje, métodos como esse são usados, como por exemplo, quando se entrega R $5,00 ao caixa, visto que o produto que comprou custava R $2,39, o caixa precisa devolver certa quantia em dinheiro e então faz inconscientemente: R$2, 39 + * R$0, 01* = R$2, 40 + * R$0, 60* = R$3, 00 + * R$2, 00* = R$5, 00. Assim, ele devolverá: R$0, 01 + R$0, 60 + R$2, 00 = R$2, 61. Sabe-se que a esta idéia está associada ao fato da subtração ser a operação inversa da adição, e que todo problema como 18 4 resume-se em 4 +? = 18. A partir daí, a adição torna-se uma operação fundamental, onde a subtração é definida em temos dela e sem ela não pode existir. Multiplicação

5 A multiplicação no antigo Egito era feita de uma maneira diferente da atual. O método egípcio para multiplicar baseava-se em duas operações: duplicação e adição. Quando desejavam calcular 6 8, por exemplo, eles pensavam da seguinte forma: 2 8 = = 2( 2 8) = 32 Adicionando-se em ambos os lados da igualdade, obtém-se ( 2 + 4) 8 = 48 e, portanto, 6 8 = 48. Em hieróglifos o desenvolvimento do cálculo de 6 8 ocorria da seguinte maneira: 1 8 \ 2 16 \ 4 32 soma 48 Os traços ao lado dos números 2 e 4, indicam que somente estas linhas serão adicionadas a fim de se encontrar o produto desejado. Nota-se que os egípcios já se utilizavam da propriedade distributiva, sendo fundamental no processo de multiplicação, no qual eles usavam. Mas não apenas ela era usada, outro fato importante conhecido pelos egípcios é que o multiplicador sempre podia ser decomposto como soma de potências de 2. Não somente por dobros e adições é que era feita a multiplicação no antigo Egito, mas também, em alguns casos, multiplicava-se diretamente por 10. Por exemplo, o cálculo de era feito da seguinte forma: Portanto, = \ \ soma 600

6 Vendo-se, assim, a grande peculiaridade do método de multiplicar desenvolvido pelos egípcios, temos esta operação como fundamental à divisão, uma vez definida em termos da multiplicação e através dessa operação que se passa à divisão. Divisão A divisão egípcia também era feita de maneira diferente da atual. Os egípcios quando desejavam calcular 28 4 pensavam: Calcule com 4 até que 28 esteja completo. Ou seja, considera-se o número de vezes que o número 4 cabe em 28. \ 1 4 \ 2 8 \ 4 16 soma 28 Assim, como ( ) 4 = 7 4 = 28, então, tem-se 28 4 = 7. Logo, a divisão era feita através de um processo inverso: quanto se deve multiplicar por 4 para obter 28? Exatamente uma multiplicação, isto é, a divisão era vista como a operação inversa da multiplicação. Caso a divisão não fosse exata, o conceito de fração era usado. No entanto, este conceito não será abordado neste artigo, pois estaria fora do seu foco. Método Foi através do uso do método conceitual egípcio de subtração e divisão, como ferramentas básicas, que se analisou seis livros didáticos do ensino fundamental, buscando relações entre a maneira de subtrair e dividir dos egípcios antigos com a maneira atual. Resultados e Discussão Embora se tenha analisado seis livros didáticos, devido ao espaço, apresentar-se-á a análise de três livros. Subtração

7 Análise I O primeiro livro a ser analisado, foi o livro de Munhoz (2008), ressaltando que o mesmo não é um livro-texto. Nesse, há dois capítulos no qual a subtração é trabalhada, embora nos dois os conceitos são trabalhados através de situações-problema. No primeiro capítulo, observou-se que a subtração está separada em situações, dentre elas tanto situações de tirar quanto situações de comparar e completar. Situações como a de completar estão diretamente conectadas com o método egípcio de subtrair e é somente nesta que fica evidente que a adição e a subtração são operações inversas, mesmo que esta não seja a mais trabalhada. Um exemplo do livro em que esta situação é retratada é o seguinte: Pense e descubra o número que falta em cada adição: a) 15 + [ ] = 44, b) 29 + [ ] = 65. Observa-se que esse era o processo no qual os antigos egípcios faziam suas subtrações, uma vez que os itens a e b são equivalentes a 44 15=[ ] e 65 29=[ ], respectivamente. O livro também trabalha a subtração embutida em situações de comparar e tirar. Análise II A segunda análise é feita em cima de um livro da 5º série do ensino fundamental, Bigode (1994). Buscando entender de como é trabalhada a subtração neste livro, nota-se que, em geral, não é trabalhado o fato de que a subtração é a operação inversa da adição, visto que a idéia vinculada a tal operação está, não somente a situações de tirar, como também a situações que envolvem verbos como quebrar, dar, diminuir, descarregar, perder, reduzir, abandonar, descontar, cortar, enfim, deixando em segundo plano as situações de completar, a qual está intimamente ligada ao método egípcio de subtrair. Apesar de ser falado a respeito da relação existente entre as operações de adição e subtração, percebe-se que tal relação servia para um eficaz cálculo mental, como também

8 de método para operar com os números, sendo este uma conseqüência oriunda das situações de tirar. O fato é que os egípcios perceberam, muito cedo, a grande relação entre as duas operações, sentindo-se muito à vontade para usá-la. Tendo esta idéia, de pensar no número no qual adicionado com 5 encontra-se 12, não teria sido a subtração uma conseqüência desta situação? E por que não se trabalha assim em sala de aula, até chegarse numa formalização para a subtração? Análise III O livro de Dante (2008) da análise aborda a subtração de números naturais, que como de partida o seguinte exemplo é colocado: Carlos tinha R$3.596,00 na poupança e tirou R$2.378,00 para comprar um computador. Quantos reais restaram na poupança de Carlos? Para resolver este exemplo o livro se utiliza do algoritmo da subtração, fazendo a subtração entre o todo e a certa quantia tirada do todo, obtendo-se assim a resposta desejada. Em particular, a resposta é R$1.218,00. O livro propõe uma maneira de verificação do resultado obtido, no qual ele chama de tirar a prova, da seguinte forma: soma-se a resposta obtida com o subtraendo, e se o resultado for o minuendo, então a resposta que tinha sido encontrada estava correta. Observe que o método de verificação de resposta utilizado pelo livro está relacionado com o fato das operações de adição e subtração serem operações inversas. Neste exemplo, o livro está destacando uma situação na qual a subtração está presente, a situação de tirar, onde se tem o todo, e do todo se tira uma quantia. Mas, não é somente em situação deste tipo em que a subtração é apresentada neste livro. Situações de comparar duas quantidades, decidindo-se quanto a mais uma quantidade é maior que a outra, como também as de completar são trabalhadas. Além do algoritmo tradicional da subtração ser dado, outro algoritmo é mencionado. Esse novo algoritmo surgiu para resolver subtrações do tipo e

9 , ou seja, quando o minuendo termina com 00, 01, 02 e 03. O primeiro exemplo se resume em decompor 4000 em , e assim usar o algoritmo tradicional para efetuar Feito isso, adiciona-se o resultado com 1. Já no segundo, decompõe-se 2003 como sendo , seguindo o resto da mesma forma como no caso anterior. O livro ainda explora várias situações que envolvam o uso destes algoritmos. Mais adiante, o fato da subtração ser a operação inversa da adição é trabalhado com questões que estimulam o aluno a pensar em uma subtração como uma adição e vice-versa, facilitando assim a resolução de exercícios, bem como um melhor entendimento sob o significado de tais operações. Dentre tudo, a matemática egípcia está um pouco distante dessa realidade, visto que as inúmeras situações que a subtração hoje contextualiza, há anos antes de Cristo não existiam. Sem contar que os egípcios não possuíam um algoritmo para a subtração. Agora, mesmo que este livro tinha como objetivo enfatizar os algoritmos, abraçouse nas raízes históricas da matemática elementar para desenvolver o significado de uma operação, como também a contextualizou em várias outras situações que lhe eram cabíveis, sem perder o seu foco. Portanto, o que se pode concluir a partir da análise feita neste livro, é que tanto a eficácia ou precisão do cálculo quanto o significado do mesmo andam juntas. Divisão Análise I Não apenas na subtração, mas também na divisão, o livro de Munhoz (2008) trabalha os conceitos através de situações-problemas. Primeiramente, é abordado situações do tipo: quantos agrupamentos com determinada quantidade de elementos se pode fazer, conhecendo-se o total de elementos, ou seja, quantas vezes A cabe em B? Por meio dessas situações, mais de uma solução era apresentada para o mesmo problema, uma envolvendo um processo de subtrações

10 sucessivas até que se esgotassem as possibilidades de se realizar novas subtrações, ou, também, adicionando sucessivamente até que o todo estivesse completo. A outra usava multiplicações sucessivas e, por fim, sendo a última, o uso de um algoritmo, que nada mais é que a tradução da primeira solução apresentada só que de forma esquemática. Evidentemente, essa não foi a única situação trabalhada. Após isso, outras situações foram executadas como a de repartir igualmente, desenvolvendo, novamente, as várias maneiras de solucionar tal problema. Dessa forma, objetivando culminar no algoritmo da divisão de Euclides, o livro traz consigo, através das soluções que propõe, uma idéia de trabalhar com a divisão muito parecida com a maneira que os egípcios faziam, criando situações que proporcionam ao aluno enxergar a divisão como uma multiplicação. Análise II Não somente na subtração, mas também na divisão, no livro de Bigode (1994), a ênfase, dada ao fato da divisão ser a operação inversa da multiplicação, é deixada em segundo plano, mesmo que o objetivo deste seja atingir o algoritmo de Euclides. Na verdade, a impressão que se tem, é que o vínculo entre as duas operações, divisão e multiplicação, está colocado apenas para um futuro uso com o algoritmo da divisão e não para justificar situações do porque não é possível dividir por zero, por exemplo. Mais uma vez, este livro associa à palavra divisão uma lista de verbos relacionados a situações que envolvem a mesma, o que não significa estar errado. Contudo, no momento em que se faz isso, restringe-se a casos, deixando de lado eventuais situações, que, além disso, acabam estreitando nosso conhecimento sobre divisão. Situações tais como partir, repartir, fracionar, fragmentar, reparar, dividir, são exemplos nos quais a divisão está envolvida, mas nenhuma delas expressa uma situação do tipo: quantas vezes A cabe em B, pelo menos, não explicitamente.

11 Análise III Novamente o livro de Dante (2008) começa trabalhando a operação de divisão exemplificando um dos contextos na qual ela se encontra. Tal exemplo recai em uma situação de repartir igualmente. Por exemplo: Em uma fábrica há 824 funcionários distribuídos igualmente em 8 setores. Quantos funcionários trabalham em cada setor? A resposta desta pergunta está no cálculo (por quê?). O livro pressupõe o conhecimento deste cálculo, proveniente dos anos anteriores. Assim, para efetuar essa conta, basta usar o algoritmo da divisão. Da mesma forma com que foi feito na subtração, o livro chama de tirar a prova a verificação do resultado obtido em tal problema, como por exemplo, para fazer a prova real do exemplo dado anteriormente, basta efetuar e se o resultado for 824 significará que a resposta encontrada está correta. Este método faz-se enxergar a divisão e multiplicação como operações inversas. Além de propor vários exercícios de divisão usando o algoritmo usual, o livro propõe exercícios que se permite pensar: quantas vezes X cabe em Y? O livro apresenta também relações importantes entre a divisão e a multiplicação, a qual já foi comentada. Explica, por exemplo, que 180 6=30 se justifica pelo fato de que 30 6=180, seguindo vários exercícios propostos para que esta idéia fique bem clara. Algumas situações-problema também eram exploradas como, por exemplo: Emília comprou 5m de tecido e pagou R$190,00. Quanto ela pagaria por 4m? O livro ainda divide o algoritmo da divisão em três algoritmos, sendo o primeiro o algoritmo usando a tabuada, o segundo o algoritmo das estimativas e, por último, o algoritmo usual, onde o divisor possui dois ou mais algarismos. No algoritmo das tabuadas, o exemplo que mostra como o mesmo é trabalhado é da seguinte forma: Quantas dúzias de lápis se pode separar, no máximo, quando se tem 84 lápis? A solução obtém-se ao verificar quantas vezes 12 cabe em 84. Assim, pode-se ir testando 12 5=60, 12 6=72 e, por fim, 12 7=84, donde se conclui que, no máximo, pode-

12 se separar 7 dúzias de lápis. Apesar desse método não se utilizar de dobros e nem de somas como os antigos egípcios faziam, ainda preserva o fato da multiplicação e divisão serem operações inversas, pois resolve fazendo sucessivas multiplicações. Já no algoritmo das estimativas, a idéia para fazer, por exemplo, a conta é pensar quantas vezes 21 cabe em 756. Assim, estima-se, por exemplo, 20 e faz-se 20 21=420. Novamente, se pergunta quantas vezes 21 cabe em 336 ( )? Da mesma forma, estima-se um valor, suponha 10 e faz-se 10 21=210. Mais uma vez, pergunta-se: quantos 21 cabem em 126 ( )? Obtém-se 105. Por fim, quantos 21 cabem em 21 que restaram? A resposta é 1. Desta forma, soma-se =36. Portanto =36. Um método muito interessante que, mais uma vez, utiliza-se da multiplicação como operação fundamental no processo de divisão. O terceiro algoritmo é o algoritmo usual. Porém, com o divisor com dois ou mais algarismos. A partir destes métodos de resolução de divisões, várias situações-problema são colocadas para exploração. Percebe-se assim, que a grande variedade de situações com que é trabalhada a divisão neste livro, assim como o número de métodos para resolvê-la, são fatores que, de certa forma, atenuam a aritmética desenvolvida pelos antigos egípcios. Contudo, sem essa aritmética nenhum desses métodos, talvez, teriam sido desenvolvidos. Considerações finais Para os acadêmicos envolvidos nesta pesquisa foi proveitosa a experiência de analisar livros didáticos e efetuar comparações, visto que lhes proporcionou momentos de reflexão, em vez de, simplesmente, seguir o conteúdo que se encontra no livro. Este fato vai de encontro com as idéia de Skovsmose (2008, p. 16) que declara que a matemática em si é um tópico sobre o qual é preciso refletir. Assim, a partir dessa reflexão, por parte do professor, o aluno também terá a oportunidade de refletir sobre a matemática ensinada em sala de aula. Além do mais, embora exista a disciplina de História da Matemática no Curso de Licenciatura em Matemática na Universidade Federal de Santa Maria, a história e o desenvolvimento da matemática são muito abrangentes para serem amplamente tratados numa única disciplina de 60 horas. Em geral, o licenciando não desenvolve um estudo

13 amplo sobre as raízes históricas da matemática elementar, o que seria muito benéfico à sua formação profissional visto que esta é a matemática ensinada na escola básica. O conhecimento e domínio dessas raízes históricas ajudarão o futuro professor a compreender melhor o que e como se está ensinando, bem como proporcionará uma ferramenta didática a ser usada dentro da sala de aula como parte do processo de ensino e aprendizagem. Nos livros didáticos pesquisados observou-se que embora não houvesse uma relação direta com a matemática do antigo Egito, as operações de subtração e multiplicação foram abordadas como operações inversas da adição e multiplicação, respectivamente, em todos os livros, com exceção de um. Então, sendo que as operações inversas estão sendo abordadas, questionou-se a razão das dificuldades dos alunos em aplicá-las como, por exemplo, na resolução de equações do primeiro grau. Acredita-se que o cerne da questão encontra-se no fato de adotar-se o paradigma do exercício. Segundo Skovsome (2008, p. 16) este paradigma pode ser contraposto a uma abordagem de investigação, passível de tomar muitas formas, como o trabalho de projeto. Desta forma, a investigação através de projetos proporciona ao aluno uma maior reflexão sobre o conteúdo. Referências BIGODE, A. J. L. Matemática atual. São Paulo: Atual, BUNT, L. N. H.; JONES, P. S.; BEDIENT, J. D. The historical roots of elementary mathematics. New York: Dover Publications, Inc., DANTE, L. R. Matemática, 5º ano. 1. ed. São Paulo: Ática, GILLINGS, R. J. Mathematics in the time of the pharaohs.new York: Dover Publications, Inc., MUNHOZ, A. F. Fazer, compreender e criar em matemática. 3. ed. São Paulo: IBEP, SKOVSMOSE, O. Desafios da reflexão em educação matemática crítica. Tradução: Orlando de Andrade Figueiredo, Jonei Cerqueira Barbosa. Campinas: Papirus, 2008.