Caderno : Análise Complexa

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1 SCTE - UL Engenharia de Telecomunicações e nformática Engenharia de nformática, o Ano Cadeira: Análise Matemática Caderno : Análise Complexa Elaborado de: Rosário Laureano, Helena Soares, Diana Mendes Departamento de Métodos Quantitativos Maio de

2 Capítulo Funções analíticas. Funções complexas de variável complexa Consideremos uma função f : D C, onde D é um subconjunto de C. A função f diz-se uma função complexa de uma variável complexa. Trata-se de uma correspondência que associa a cada elemento z D um único elemento w no plano complexo (designado por imagem de z por f ou valor de f em z): w f(z) f(x + yi) u(x, y)+v(x, y)i, onde u(x, y) e v(x, y) são funções reais de duas variáveis reais x e y, designadasporparte real e parte imaginária de f(z), respectivamente. O conjunto D C é designado por domínio de f e o conjunto das imagens w édesignadoporcontradomínio de f. Exemplo Consideremos a função f(z) z +3.Temos f(x + yi) (x + yi) +3x +xyi y +3 x y +3 +xyi, elogou(x, y) x y +3 e v(x, y) xy. Odomíniodef étodooconjuntoc. Exemplo Afunçãof(z) z/ z + tem por domínio o conjunto D z C : z +6 ª. Dado que z + z z i z i, podemos concluir que D C\{ i, i}.

3 CAPÍTULO. FUNÇÕES ANALÍTCAS Exemplo 3 Seja f afunçãodefinida por f(z) z 4z +Re(z). Então, f(x + yi) (x + yi) 4(x + yi)+x (x y 3x)+(xy 4y)i, elogou(x, y) x y 3x e v(x, y) xy 4y. Odomíniodef étodooconjuntoc. Nota Verificamosqueacadafunçãof(z) corresponde um par de funções reais de duas variáveis reais, u(x, y) e v(x, y), e que o recíproco também se verifica, isto é, f(z) fica completamente determinada pelas respectivas funções u(x, y) e v(x, y). Exemplo Seja f a função complexa de variável complexa tal que u(x, y) xy e v(x, y) 3x y 3. Sem determinar a expressão f(z) de f na variável z é possível determinar a imagem w de qualquer objecto z. Por exemplo, a imagem de z i é o número complexo w +i, visto que f( i) u(, ) + iv(, ) ( ) + i(3 ( 8)) +i. Consideremos o número complexo z x + y i.sez x + yi, a expressão q z z (x x ) +(y y ) representa a distância entre os afixos e de z e z, respectivamente. Como tal, os pontos do plano complexo que satisfazem a equação z z ε, ε>, são os pontos da circunferência de centro z eraioε. Eixo imaginário z-z ε z ε Eixo real Exemplo 4 A condição z é a equação da circunferência de centro z eraioε. A condição z +3i 6é a equação da circunferência de centro z 3i eraioε 6. 3 Acondição z caracteriza o círculo de centro z eraioε, designado por círculo unitário na origem.

4 .. FUNÇÕES COMPLEXAS DE VARÁVEL COMPLEXA 3 Exemplo 5 Seja A oconjuntodefinido pela condição Re(z) >. Estacondiçãodefine um semiplano direito no plano complexo. O conjunto A é constituído pelos números complexos z x + yi com x>. Trata-se de um conjunto aberto. Eixo imaginário Re(z)> leixo real OconjuntoA definido pela condição < z 3i < é um conjunto aberto. Eixo imaginário 5i 4i i +3i i 3 4 Eixo real Trata-se do conjunto dos pontos z do plano complexo cuja distância ao ponto z +3i é superior a mas inferior a. Um conjunto deste tipo designa-se por coroa circular aberta. A fronteira de A é {z C : z 3i z 3i }, o conjunto dos pontos que pertencem à circunferência de centro z +3i eraioε ou à circunferência de centro z +3i eraioε. O conjunto fechado B {z C : z 3i }, designado por coroa circular fechada, tem a mesma fronteira que A. Oconjuntocomple- mentar de A édefinido pela condição z 3i z 3i. Exercícios resolvidos. ndique o domínio das seguintes funções complexas de variável complexa:

5 4 CAPÍTULO. FUNÇÕES ANALÍTCAS (a) f(z) z z +3i (c) f(z) ; (b) f(z) z + ; x x + ixy; (d) f(z) lnx +(x y) i. + y. Determine as funções parte real e parte imaginária das seguintes funções complexas de variável complexa: (a) f(z) iz +6z; (b) g(z) z ; (c) h(z) z/z. Calcule f( + 3i), g( 3i) e h( i). 3. Determine o conjunto dos números complexos que satisfazem as seguintes condições: (a) Re(z +)4; (b) z + z Averigúe se os conjuntos de números complexos, caracterizados pelas seguintes condições, são abertos ou fechados, conexos ou não conexos: (a) z < ; (b) Re(z +) 4; (c) m z > z < 5. Propostas de resolução. (a) D {z C : z +3i 6 } {z C : z 6 3i} C\{ 3i}. (b) O domínio desta função é D z C : z +6 ª. Dado que z + z cis( π) z p cis( π) µ π cis + kπ, k, z µ π cis i z ³ π cis i, temos D C\ i, i ª. (c) O domínio desta função é D z x + iy C : x + y 6 ª. Mas x + y x y z. Logo, D C\{}. (d) Recordemos que o domínio da função real de variável real logaritmo neperiano, ln x, é oconjuntor +. Logo, o conjunto dos pontos para os quais faz sentido calcular ln x + (x y) i é D {z x + iy C : x>}, ou seja, é o conjunto dos pontos do semiplano direito aberto do plano complexo.

6 .. FUNÇÕES COMPLEXAS DE VARÁVEL COMPLEXA 5. Seja z x + iy. (a) Temos f(z) i (x + yi)+6(x yi) y +6x +(x 6y)i. Logo, u(x, y) y +6x e v(x, y) x 6y. Como u(, 3) 6+6 e v(x, y) 8 6, temos f( + 3i) 6i 6i. Alternativamente, podemos calcular directamente (b) g(z) x + iy x + y. f( + 3i) i ( + 3i)+6( 3i) 6+6+( 8)i 6i. Então, u(x, y) x + y e v(x, y) e g( 3i) u(, 3) + iv(, 3) +( 3) + i 9. (c) h(z) x + iy (x + iy)(x + iy) x iy (x iy)(x + iy) x y x + y + xy x + y i. Logo, u(x, y) x y / x + y, v(x, y) xy/ x + y e 3. Seja z x + yi. (a) Dado que h( i) u(, ) + iv(, ) ( ) +( ) + ( ) +( ) i +( ) i i. Re(z +)4 Re(x yi +)4 x +4 x 3, acondiçãore(z +)4 representa o conjunto dos pontos do plano complexo na recta vertical de equação x 3. (b) Temos z + z 4 x ++yi x +yi 4 p (x +) + y p (x ) + y 4 p (x +) + y 4+ p (x ) + y (x +) + y 6+(x ) + y +8 p (x ) + y x +x +6+x x ++8 p (x ) + y x 4 p (x ) + y (x 4) 4 (x ) + y x 4 x 8x +64x 8x +4+4y x 4 3x +4y x 4 x 4 + y x 4. 3

7 6 CAPÍTULO. FUNÇÕES ANALÍTCAS Atendendo a que a elipse x /4+y /3não intersecta o semiplano direito x 4, podemos concluir que o conjunto dos números complexos que satisfazem a condição z + z 4évazio. 4. (a) A condição z < representa o interior do círculo de centro em z eraior. Trata-se de um conjunto aberto e conexo. (b) Do exercício 3(a) concluímos que Re(z +) 4 x 3. O conjunto de pontos que verifica esta condição é um semiplano fechado e conexo. (c) Se z x + iy então m z > z 5 y > z < 5 (y < y>) z < 5 Trata-se da intersecção de cada semiplano, y< ou y>, com o interior do círculo de centro em z eraior 5. Logo, o conjunto dos pontos caracterizados pela condição m z > z < 5 é um conjunto aberto e não conexo.. Limites e continuidade As definições de limite e continuidade de uma função complexa de variável complexa num ponto são análogas às conhecidas no cálculo real. Consideremos uma função f : D C definida em D C. Sejaz C tal que f está definida numa certa vizinhança de z (não necessariamente no ponto z ). Definição Diz-se que f tem limite L no ponto z z (ou que o número complexo L éo limite de f quando z se aproxima do ponto z ), e denota-se lim z z f(z) L, se para qualquer δ> existe ε> tal que f(z) L <δsempre que < z z <ε.seexisteo limite de f no ponto z entãoestelimiteéúnico. Proposição Propriedades operacionais do limite Sejam f e g funções complexas de variável complexa. Se existem os limites de f e g no ponto z, são válidas as seguintes igualdades:

8 .. LMTES E CONTNUDADE 7 (a) (b) (c) lim (f(z) ± g(z)) lim f(z) ± lim g(z); z z z z z z lim (f(z) g(z)) lim f(z) lim g(z); z z z z z z lim f(z)/g(z) lim f(z)/ lim g(z), desde que lim g(z) 6. z z z z z z z z Proposição Sejam f : D C uma função complexa de variável complexa e z x + y i tal que f está definida numa certa vizinhança de z.sendou(x, y) e v(x, y) as partes real e imaginária de f demonstra-se (exercício ) que,paraz x + yi, (.) lim f(z) lim u(x, y)+i lim z z (x,y) (x,y ) (x,y) (x,y ) v(x, y), onde os dois últimos limites são de funções reais de duas variáveis reais. Definição Sejam f : D C umafunçãocomplexadevariávelcomplexaez D tal que f está definida numa certa vizinhança de z.afunçãof diz-se contínua em z se lim z z f(z) f(z ). Afunçãof diz-se contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio D. Nota Resultadaproposiçãoanteriorqueasomaf + g, a diferença f g eoprodutofg de funções contínuas em z éaindaumafunçãocontínuaemz. Se g(z ) 6 omesmoseverifica para o quociente f/g. Além disso, podemos ainda concluir que f écontínuaemz x + y i seesóseasfunções reais de variáveis reais u e v são contínuas em (x,y ). Deste modo, o estudo da continuidade de funções complexas reduz-se ao estudo da continuidade de funções reais de variáveis reais. Exercícios resolvidos. Seja f : D C uma função complexa de variável complexa, f(x + yi) u(x, y)+v(x, y)i, esejaz um ponto interior a D. Mostre que, para z x + yi e z x + y i,setem lim z z f(z). Calcule os seguintes limites: (a) lim (x,y) (x,y ) lim 3xy + i(x y ) ; (b) lim z +i z +i u(x, y)+i lim (x,y) (x,y ) v(x, y). z 5 z z + ; (c) lim. iz z i z i

9 8 CAPÍTULO. FUNÇÕES ANALÍTCAS 3. Mostre, recorrendo à definição, que lim z i /z i. 4. Verifique que a função f(z) z écontínuaemc. 5. Mostre que a função f : C C definida por z f(z) z se z 6 se z não é contínua em z. Propostas de resolução. Assumamos, em primeiro lugar, que existem os limites lim (x,y) (x,y ) u(x, y) u e lim (x,y) (x,y ) v(x, y) v. Para cada δ> existem, então, números positivos ε e ε tais que (.) u(x, y) u < δ q(x sempre que < x ) +(y y ) <ε e (.3) v(x, y) v < δ q(x sempre que < x ) +(y y ) <ε. Seja ε min{ε,ε }. Atendendo a que u(x, y)+v(x, y)i (u + v i) u(x, y) u +(v(x, y) v ) i u(x, y) u + v(x, y) v e q (x x ) +(y y ) (x x )+(y y ) i (x + yi) (x + y i) segue de (.) e (.3) que u(x, y)+v(x, y)i (u + v i) < δ + δ δ sempre que < (x + yi) (x + y i) <ε.concluímos, então, que existe o limite lim z z f(z) u + iv. Reciprocamente, suponhamos que existe o limite lim z z f(z) w com w u +iv.para cada δ> sabemos, então, que existe ε> tal que (.4) u(x, y)+v(x, y)i (u + v i) <δ

10 .. LMTES E CONTNUDADE 9 sempre que < (x + yi) (x + y i) <ε.dadoque u(x, y) u u(x, y) u +(v(x, y) v ) i u(x, y)+v(x, y)i (u + v i),. e v(x, y) v u(x, y) u +(v(x, y) v ) i u(x, y)+v(x, y)i (u + v i) (x + yi) (x + y i) (x x )+(y y ) i q (x x ) +(y y ), segue de (.4) que u(x, y) u <δ e v(x, y) v <δ, q sempre que < (x x ) +(y y ) <ε. sto mostra que existem os limites lim (x,y) (x,y ) u(x, y) u e lim (x,y) (x,y ) v(x, y) v. (a) Comecemos por observar que u(x, y) 3xy e v(x, y) x y. Atendendo ao exercício, lim 3xy + i(x y ) lim z +i x y 3xy + i lim (x y ) x y 3( ) + i 6 5i. (b) Recorrendo às propriedades operacionais dos limites, z 5 ( + i) 5 lim lim 5+i z +i iz z +i i ( + i) +i i. (c) Substituindo z por i, obtemos uma indeterminação do tipo /. Noentanto, seobser- varmos que z +(z i)(z + i), podemos calcular facilmente o limite: z z + z (z + i)(z i) lim lim lim z (z + i). z i z i z i z i z i 3. É preciso que mostrar que dado δ> existe um ε> tal que z i <δ sempre que z ( i) z + i <ε.

11 CAPÍTULO. FUNÇÕES ANALÍTCAS Escrevendo /z i em função de z + i, e usando as propriedades do módulo, obtemos z i iz z i (z + i) z i (z + i) z z + i i z z + i z. Dado que z i, podemossuporque z > /. Como tal, z i z + i < z + i. z Mas para que z > / é necessário que z + i <ε/. Defacto, z z + i i ( i)+(z + i) i z + i z + i > / /. Escolhendo ε min{δ/, /}, sempre que z + i <ε, garantimos que z i < z + i <δ. 4. A função complexa de variável complexa f(z) z x yi tem por domínio o conjunto C. Dado z C, lim z lim (x yi) x z z x x y i z. y y Logo, f é contínua. 5. Analisemos se lim z f(z) f(). Temosf() e lim f(z) lim z z z z lim x y x y lim x y x + y + i lim x y x y +xyi x + y xy x + y. Relativamente ao o dos limites, calculemos os respectivos limites sucessivos (ou iterados): lim y lim x µ lim x µ lim y x y x + y x y x + y y lim y y lim( ) y x lim x x lim. y A obtenção de dois limites diferentes permite concluir que não existe o lim x,y x y / x + y. Como tal, não existe o lim z f(z) e, logo, a função f não é contínua no ponto z.

12 .3. DERVAÇÃO E ANALTCDADE.3 Derivação e analiticidade Definição 3 Seja f umafunçãocomplexadevariávelcomplexadefinida num conjunto aberto D esejaz D. Define-se a derivada de f em z,edenota-seporf (z ) (ou df /dz ou dw/dz) como sendo o limite f f(z) f(z ) (z ) lim z z z z (caso exista). Se f tem derivada em z (i.e., se este limite existe) então f diz-se diferenciável em z. Escrevendo z z z,adefinição é equivalente à expressão f f (z + z) f (z ) (z ) lim z z Exemplo 6 Seja f(z) x +3yi de domínio C. Vejamosquef não é diferenciável em nenhum ponto z x + iy. Calculemos o limite respectivo, considerando z x + i y, onde x x x e y y y : f (x + x)+3(y + y)i (x +3y i) (z ) lim z x + i y x +3i y lim z x + i y. Suponhamos que z ao longo de uma recta horizontal (caminho ). Então y eo valor do limite (direccional) é x +3i y lim z x + i y lim x x x. Por outro lado, se escolhermos outra direcção, por exemplo que z ao longo de uma recta vertical (caminho ), temos x e o valor do limite (direccional) é x +3i y lim z x + i y lim 3i y y i y 3. Δy z+δz z Δx A obtenção de dois limites direccionais diferentes permite concluir que não existe o limite pretendido.

13 CAPÍTULO. FUNÇÕES ANALÍTCAS Proposição Se a função f : D C é diferenciável em z então f écontínuaemz. Notemos que, tal como no cálculo real, o recíproco não é verdadeiro: existem funções contínuas num determinado ponto do seu domínio que não têm derivada nesse ponto. A análise complexa estuda essencialmente as funções complexas de variável complexa que são diferenciáveis nalguma região do seu domínio. Definição 4 Seja f uma função complexa de variável complexa definida num conjunto aberto D e seja z D. Afunçãof diz-se analítica em z se é diferenciável em z e numa certa vizinhança de z.sef éanalíticaemtodosospontosded então diz-se analítica (regular ou holomorfa) em D. Proposição 3 Seja D C um conjunto aberto e sejam f e g funçõesanalíticasemd. São válidas as seguintes propriedades: (a) af(z)+bg(z) éanalíticaemd e [af(z)+bg(z)] af (z)+bg (z), para quaisquer números complexos a e b (linearidade da derivada); (b) f(z)g(z) éanalíticaemd e [f(z)g(z)] f (z)g(z)+f(z)g (z); (c) Se g(z) 6 então f(z)/g(z) éanalíticaemd e µ f(z) f (z)g(z) f(z)g (z) g(z) g ; (z) (d) Se n N então f n (z) éanalíticaemd e [f n (z)] nf n (z)f (z). Sabemos, por (d), que as potências inteiras não negativas, z, z, z 3,... são analíticas em C. Podemos então concluir, por (a), que toda a função polinomial f(z) c n z n + c n z n c z + c z + c éinteiraeasuaderivadaé f (z) nc n z n +(n )c n z n c z + c. Quanto ao quociente de duas funções polinomiais f(z) a nz n a z + a z + a b m z m b z, + b z + b designado por função racional, é analítica em todo o seu domínio, ou seja, no conjunto aberto z C : b m z m b z + b z + b 6 ª.

14 .3. DERVAÇÃO E ANALTCDADE 3 Proposição 4 Regra da derivação da função composta (ou regradacadeia)sejamf : A C e g : B C funções analíticas nos abertos A e B, respectivamente, tais que f(a) B. Então a função g f : A C definida por (g f)(z) g(f(z)) éanalíticaema e Exercícios resolvidos (g f) (z) g (f(z))f (z).. Calcule as derivadas das seguintes funções: (a) f(z) z 4 z 3 +iz; (b) g(z) (z +3) 4 ; +( i) z (c) h(z) ; (d) j(z) z +/z. z +9. Determine o conjunto dos pontos do plano complexo onde a função f(z) / z 3 z + é analítica. 3. Averigúe se a função f : C C definida por x 3 ( + i) y 3 ( i) f(z) x + y se z 6 se z é diferenciável na origem. Propostas de resolução. As funções f e g são polinomiais e logo, o seu domínio é C. A função h é uma função racional, cujo domínio é o conjunto dos pontos tais que z +96,ouseja,C\{ 9/}. Da mesma forma, a função j (designada usualmente por função de Joukowski) é também racional e tem por domínio o conjunto C\{}. Mais, estas funções são diferenciáveis nos seus domínios. Para obter a expressão da derivada podemos simplesmente usar as regras de derivação: (a) f (z) z 4 z 3 +i (z) 8z 3 3z +i, z C; h (b) g (z) (z +3) 4i 4(z +3) 3 8(z +3) 3, z C; (c) h (z) ( + ( i) z) (z +9) ( + ( i) z)(z +9) (z +9) ( i)(z +9) ( + ( i) z) 6 9i (z +9), z C\{ 9/} ; (z +9) (d) j (z) z + z +( )z, z C\{}. z. A função f(z) / z 3 z + é racional e tem por domínio o conjunto aberto D z C : z 3 6 z +6 ª.

15 4 CAPÍTULO. FUNÇÕES ANALÍTCAS Conforme visto no exemplo. da secção., a equação z 3 tem por raízes os pontos z, z /+ 3/i e z / 3/i. Quanto à equação z cis( π), as suas raízes são dadas pela expressão z µ cis π + kπ, para k,, ou seja, z ³ cis π i z cis ³ π π + i. Concluímos, assim, que n D C\, /+ 3/i, / 3/i, i, o i. A função f é analítica em D e, para obter a expressão da derivada podemos simplesmente usar as regras de derivação, f (z) h z 3 z + i ( ) z 3 3z z + + z 3 ( ) z + z 3z (z 3 ) (z +) z (z 3 ) (z +). 3. Calculando a derivada no ponto z com z ρ (cos θ + i sin θ), obtemos f( z) f() lim z z lim ρ ρ 3 lim ρ ρ 3 cos 3 θ ( + i) ρ 3 sin 3 θ ( i) ρ cos θ + ρ sin θ ρ (cos θ + i sin θ) cos 3 θ ( + i) sin 3 θ ( i) ρ 3 (cos θ + i sin θ) cos3 θ sin 3 θ + i cos 3 θ +sin 3 θ, cos θ + i sin θ que depende do ângulo θ tomado. Concluímos então que f não é diferenciável na origem..4 Equações de Cauchy-Riemann Teorema Cauchy-Riemann Seja f : D C umafunçãocomplexadevariávelcomplexa definida por f(z) u(x, y) +v(x, y)i num conjunto aberto D e z x + y i D. A derivada f (z ) existe (ou seja, f é diferenciável em z )seesóseasfunçõesu e v são contínuas e têm derivadas de a ordem contínuas numa vizinhança de (x,y ) e, no ponto (x,y ), satisfazem as equações de Cauchy-Riemann u x (x,y ) v y (x,y ) e u y (x,y ) v x (x,y ).

16 .4. EQUAÇÕES DE CAUCHY-REMANN 5 Assim, se as derivadas parciais de a ordem das funções u e v existem, são contínuas e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann em D então f éanalíticaemd. Exemplo 7 Consideremos a função f(z) x +3yi. Vimos no exemplo 3., que f não é diferenciável em nenhum ponto do seu domínio C. De facto, as equações de Cauchy-Riemann não são válidas em nenhum ponto (x, y): u 6 3 v x y embora u y v x. Exemplo 8 Consideremos a função f(z) x + y +(y x)i definida em C. Temos u(x, y) x + y e v(x, y) y x, donde u x 4x, v y y e u v y x. Verificamos que as funções u e v são contínuas e têm derivadas contínuas em todos os pontos. Pelo teorema de Cauchy-Riemann, f é diferenciável em todos os pontos em que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas, ou seja, em pontos (x, y) tais que 4x y y x Logo f é diferenciável nos pontos da recta y x. No entanto, dado que nenhum ponto desta recta tem uma vizinhança na qual as equações de Cauchy-Riemann sejam válidas, f não é analítica em nenhum ponto do seu domínio C. Exemplo 9 Consideremos a função f(z) z/ z definida no conjunto aberto D C\{}. Temos x f(z) x + y y x + y i, logo, u x y x (x + y ) v u e y y xy (x + y ) v x. Portanto, as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em C\{}. Pelo teorema de Cauchy- Riemann, f éanalíticaemc\{}. Exercícios resolvidos. Verifique as equações de Cauchy-Riemann para a função f(z) z +3z +.. Considere a função f(z) x y i. Determine os pontos onde f é diferenciável e mostre que f não é analítica em nenhum ponto do seu domínio. Determine ainda a expressão da derivada nos pontos em que ela existe.

17 6 CAPÍTULO. FUNÇÕES ANALÍTCAS 3. Determine os subconjuntos do plano complexo onde as seguintes funções são analíticas e calcule as suas derivadas: (a) f(z) x 3 i( y) 3 ; (b) f(z) z z; (c) f(z) e y (cos x + i sin x); (d) f(z) x + y i. 4. Prove que as funções f(z) z e g(z) z não são analíticas em nenhum ponto do seu domínio. 5. Mostre que as equações de Cauchy-Riemann, escritas em coordenadas polares, são dadas por u r v r θ e v r u r θ. Propostas de resolução. A função f(z) z +3z + tem parte real u(x, y) x y +3x + e parte imaginária v(x, y) xy +3y. Como u v x +3, x u x +3, y y y e v x y, as equações de Cauchy-Riemann são válidas em todos os pontos do domínio C.. Temos u(x, y) x e v(x, y) y. Logo, u x x, v y y e u v y x. Verificamos que as equações de Cauchy-Riemann são válidas em pontos (x, y) tais que x y, ou seja, na recta de equação y x. Como as funções u, v, u/ x, u/ y, v/ x e v/ y são contínuas em todos os pontos, concluímos, pelo teorema de Cauchy-Riemann, que f é diferenciável nos pontos da recta y x e a derivada é dada por f (z) x +i x y. No entanto, dado qualquer ponto desta recta, não existe uma vizinhança desse ponto na qual as equações de Cauchy-Riemann sejam válidas. Logo, f não é analítica em nenhum ponto do seu domínio C. 3. (a)pretendemosdeterminarospontosemquef é diferenciável. Para esta função temos u(x, y) x 3 e v(x, y) ( y) 3. Logo, u x 3x, v y 3( y), u v e y x.

18 .4. EQUAÇÕES DE CAUCHY-REMANN 7 As funções u e v e as suas derivadas parciais de a ordem são contínuas em todos os pontos do plano. Então, pelo teorema de Cauchy-Riemann, f é diferenciável em todos os pontos em que as equações de Cauchy-Riemann sejam satisfeitas, isto é, quando 3x 3( y) x y x +y, já que u/ y v/ x éverificado para qualquer (x, y). As condições x y e x + y definem analiticamente rectas. A função f é diferenciável em pontos z x + yi que pertencem a uma das rectas x y ou x +y. No entanto, dado qualquer ponto destas rectas, não existe uma vizinhança desse ponto na qual as equações de Cauchy-Riemann sejam válidas. Concluímos então que f não é analítica em nenhum ponto do seu domínio C. A derivada de f nos pontos das rectas x y ou x +y é dada por f (z) 3x +i 3x 3( y). (b) À função f(z) z z corresponde u(x, y) e v(x, y) y. Temos u v 6 x y e u y v x. Verificamos que as equações de Cauchy-Riemann não são válidas qualquer que seja o ponto (x, y). Pelo teorema de Cauchy-Riemann concluímos que f não é analítica (nem diferenciável) em nenhum ponto do seu domínio C. (c) À função f corresponde u(x, y) e y cos x e v(x, y) e y sin x. Temos u x ey sin x, u y e y cos x e v y ey sin x v x ey cos x. Verificamos que as equações de Cauchy-Riemann são válidas em pontos (x, y) tais que e y sin x e y sin x e e y cos x e y cos x,ouseja,taisquesin x e cos x (notemos que e y 6, y R). Não e xiste qualquer valor real x tal que sin x cosx,comotalnenhumpontododomínio C de f verifica as equações de Cauchy-Riemann. Pelo teorema de Cauchy-Riemann, f não é analítica (nem diferenciável) em nenhum ponto do seu domínio. (d) À função f(z) x + y i corresponde u(x, y) x e v(x, y) y.temos u x x, v y y e u v y x.

19 8 CAPÍTULO. FUNÇÕES ANALÍTCAS Verificamos que as equações de Cauchy-Riemann são válidas em pontos (x, y) tais que x y, ou seja, na recta de equação y x. Como as funções u, v, u/ x, u/ y, v/ x e v/ y são contínuas em todos os pontos, pelo teorema de Cauchy-Riemann, f é diferenciável nos pontos da recta y x. A derivada de f nospontosdarectay x é dada por f (z) x +i x y. No entanto, dado qualquer ponto desta recta, não existe uma vi-zinhança desse ponto na qual as equações de Cauchy-Riemann sejam válidas. Concluímos então que f não é analítica em nenhum ponto do seu domínio C. 4. À função f(z) z corresponde u(x, y) p x + y e v(x, y).temos u x x p x + y, v y, u y y v p e x + y x. Verificamos que as equações de Cauchy-Riemann são válidas em pontos (x, y) tais que x/ p x + y e y/ p x + y,ouseja,noponto(, ). Como as funções u e v e as suas derivadas parciais de a ordem são contínuas em todos os pontos, concluímos pelo teorema de Cauchy-Riemann que f é diferenciável no ponto z. A derivada de f neste ponto é dada por Ã! f x () p x + y (,) Ã! y ip x + y No entanto, não existe uma vizinhança de z na qual as equações de Cauchy-Riemann sejam válidas. Logo, f não é analítica em nenhum ponto do seu domínio C. À função g(z) z corresponde u(x, y) x e v(x, y) y. Temos u x, v y, u y e v x. Verificamos que as equações de Cauchy-Riemann não são válidas, qualquer que seja o ponto (x, y). Pelo teorema de Cauchy-Riemann, concluímos que f não é analítica (nem diferenciável) em nenhum ponto do seu domínio C. (,) 5. Temos a seguinte relação entre as coordenadas rectangulares e polares: x r cos θ e y r sin θ., Como tal, num ponto z x + y i r cos θ + ir sin θ r cisθ,temos u r (r,θ ) u x (x,y )cosθ + u y (x,y )sinθ, v θ (r,θ ) v x (x,y )( r sin θ )+ v y (x,y )r cos θ.

20 .5. FUNÇÕES HARMÓNCAS 9 Atendendo às equações de Cauchy-Riemann em coordenadas rectangulares, De modo análogo, temos u r (r,θ ) v y (x,y )cosθ v x (x,y )sinθ r µ v y (x,y )r cos θ v x (x,y )r sin θ r v θ (r,θ ). u θ (r,θ ) u x (x,y )( r sin θ )+ u y (x,y )r cos θ, v r (r,θ ) v x (x,y )cosθ + v y (x,y )sinθ donde, atendendo novamente às equações de Cauchy-Riemann em coordenadas rectangulares, v r (r,θ ) u y (x,y )cosθ + u x (x,y )sinθ r µ u y (x,y )( r )cosθ + u x (x,y )( r )sinθ r u θ (r,θ )..5 Funções harmónicas Definição 5 Dada uma função u : D R, definida num subconjunto aberto D de R,com derivadas parciais de a ordem contínuas, designa-se por Laplaciano de u a expressão u x (x, u y)+ (x, y) y e denota-se por 5 u(x, y). A função u diz-se harmónica se satisfaz a equação 5 u (x, y), para todo o (x, y) D, designada por equação de Laplace. Temos então o seguinte resultado: Proposição 5 Seja f(z) u(x, y)+v(x, y)i uma função complexa de variável complexa. Se f é analítica num conjunto aberto D então u e v são funções harmónicas em D. Verificamos então que as partes real e imaginária de uma função analítica verificam a equação de Laplace. Esta ligação entre funções analíticas e a equação de Laplace reforça a importância das funções de variável complexa e abre caminho para numerosas aplicações da matemática. Definição 6 Se f u + iv é uma função analítica definida num conjunto aberto D, então as funções u e v são designadas por harmónicas conjugadas em D.

21 CAPÍTULO. FUNÇÕES ANALÍTCAS Exemplo Consideremos a função polinomial f(z) z. Trata-se de uma função analítica em C aquecorrespondeu(x, y) x y e v(x, y) xy. Temos u x x, u y y, v x y e v y x, pelo que u x + u y +( ) v x + v y +. sto mostra que u e v são funções harmónicas em C. Além disso, são conjugadas harmónicas por constituírem as partes real e imaginária, respectivamente, da função analítica f(z) z. Proposição 6 Se u é uma função harmónica num conjunto aberto D e z D, entãoexisteuma vizinhança de z na qual u Re(f). Por outras palavras, existe uma função harmónica v definida em D tal que a função definida por f(z) u(x, y)+v(x, y)i éanalíticaemd. Exemplo 3 Seja u(x, y) x 3 3xy. Trata-se de uma função harmónica em todos os pontos do plano u x x (3x 3y )6x u y ( 6xy) 6x. y Pela proposição 9, existeumafunçãof analítica em C (trata-se de uma função inteira) tal que u Re(f). Determinemos então a função f. Sabemos que f étalquef(z) x 3 3xy +v(x, y)i, onde a função v(x, y) está por determinar. Pelas equações de Cauchy-Riemann, temos v x u y 6xy o que implica v(x, y) 3x y + c(y). Por outro lado, v y u x 3x 3y ou seja, 3x y + c(y) / y 3x 3y. Então, 3x + c (y) 3x 3y c (y) 3y c(y) y 3 + K, para qualquer K R. Obtemos v(x, y) 3x y y 3 + K e, como tal, para z x + yi, f(z) x 3 3xy +(3x y y 3 + K)i. O exemplo apresentado mostra que a função harmónica conjugada de uma dada função harmónica u está univocamente determinada a menos de uma constante aditiva real.

22 .5. FUNÇÕES HARMÓNCAS Exercícios resolvidos. Considere a função u(x, y) x 3 3xy. Encontre uma função conjugada harmónica v que verifique v(, ).. Determine os conjuntos nos quais as seguintes funções são harmónicas: y (a) u(x, y) Re(z +/z); (b) u(x, y) x +(y +). 3. Encontre, se possível, uma função f inteira tal que Re(f) x 3x y. Propostas de resolução. Podemos mostrámos que v(x, y) 3x y y 3 + K para qualquer constante K R. Paraque v verifique v(, ) a constante real K não pode ser arbitrária. De facto,. Afunçãov pedida é v(x, y) 3x y y 3 +. v(, ) 3 +K K. (a) Notemos que u é parte real da função f(z) z +/z, analítica no conjunto aberto C\{}. Então, pela proposição 7, afunçãou é harmónica em C\{}. (b) A função u não está definida nos pontos para os quais o denominador se anula. Como x +(y +) se e só se x e y, o domínio de u é D C\{ i}. Efectuando os cálculos necessários para z 6 i, obtemos u (y +) ³x +(y +) 8x (y +) x ³x +(y +) 3, u y (y +) ³x +(y +) 4(y +) ³(y +) x ³x +(y +) 3. Então, u x + u y 4(y +) ³x +(y +). 4(y +) ³x +(y +) Logo, u é harmónica no seu domínio, isto é, em D C\{ i}. Alternativamente, se observarmos que u(x, y) é parte imaginária da função analítica em C\{ i}, f(z) / (z + i), concluímos de imediato que u é harmónica neste conjunto.

23 CAPÍTULO. FUNÇÕES ANALÍTCAS 3. A função u é harmónica, u x (x 3) x u y ( y) y eestádefinida em todo o conjunto C. Pela proposição 9 existe v(x, y) tal que u(x, y)+v(x, y)i é analítica em C. Pelas equações de Cauchy-Riemann, temos v x u y y, que implica v(x, y) xy + c(y). Por outro lado, v y u x 3, x ou seja, (xy + c(y)) / y x 3. Então, x + c (y) x 3 c (y) 3 c(y) 3y + K, para qualquer constante real K. Obtemos v(x, y) xy 3y + K e, escolhendo K,vemv(x, y) xy 3y e f(z) x 3x y +(xy 3y) i. Exercícios propostos. Determine as funções parte real e parte imaginária de cada uma das seguintes funções complexas de variável complexa: (a) f(z) z +3z i; (b) f(z) z + z ; (c) f(z) 3iz +4(i + z); (d) f(z) z i z i.. Caracterize geometricamente os conjuntos definidos pelas seguintes condições e indique quais os que são regiões: (a) z +4 > ; (b) (m z) 4; (c) < Re z ; (d) 3π/4 < arg z<π. 3. Estude as seguintes funções definidas em C quanto à continuidade na origem: m z Re z se z 6 se z 6 (a) f(z) z ; (b) f(z) + z. se z se z 4. Mostre que a função f(z) (xy +5x)+ x 5y y i éinteiraecalculef (z). 5. Mostre que as funções f(z) Rez, g(z) y + xi eh(z) z não são analíticas em nenhum pontodoplanocomplexo.

24 .5. FUNÇÕES HARMÓNCAS 3 6. Determine em que pontos as seguintes funções são diferenciáveis. Mostre que não são analíticas em nenhum ponto do plano complexo. (a) f(z) 3x y 6x y i;; (b) f(z) x x + y + y 5y x i. 7. Determine o valor da derivada de f no ponto indicado (a) f(z) (z i) / (z + i) em i; (b) f(z) z 4 + /z 4 em i. 8. Determine a imagem das funções (a) f(z) x y + y x i,paraz na recta x ; (b) f(z) z 3,paraz no o quadrante ( Re z e m z ); (c) f(z),para z. z 9. Determine os valores reais de a e b para os quais a função f(z) 3x y +5+(ax + by 3) i éinteira.. Mostre que a função u(x, y) x 3 3xy 5y é harmónica em R e determine uma função conjugada harmónica v.. Determine a função analítica f(z) u(x, y)+v(x, y)i tal que (a) u(x, y) x y ; (b) v(x, y) y(x ); (c) u(x, y) x 3 3xy ; (d) u(x, y) ln x + y.. Determine os valores reais de a e b para os quais as seguintes funções são harmónicas em R e determine as funções conjugadas harmónicas. (a) u(x, y) ax 3 + by 3 ; (b) u(x, y) e ax cos 5y. 3. Determine, caso existam, os seguintes limites (a) lim z i 4z 3 5z +4z + 5i ; (b) lim z i z 4 / (z i); (c) lim z z/z. 4. Mostre que, dada uma função analítica f, são válidas as seguintes expressões para cálculo da derivada f u x i u y e f v y + i v x. 5. Para x> considere a função f(z) ln(x + y )+i arctan y x.

25 4 CAPÍTULO. FUNÇÕES ANALÍTCAS Soluções (a) Use as equações de Cauchy-Riemann para mostrar que f é diferenciável em todo o seu domínio; (b) Mostre que f (z) /z; (c) Mostre que a função conjugada f não é diferenciável em nenhum ponto do seu domínio.. (a) u(x, y) x y +3x 5, v(x, y) xy +3y; (b) u(x, y) x + y + x (x ), v(x, y) + y 3y (x ) + y ; (c) u(x, y) 4x +3y, v(x, y) 3x +4y +4; (d) u(x, y) x x +(y ), y v(x, y) x +(y ).. (a) Todo o plano complexo excepto o círculo de centro ( 4, ) eraio ;(b)uniãodedois semiplanos fechados: y e y ; (c) união de duas faixas ilimitadas verticais, definidas pelas condições x< e <x ; (d) porção do plano complexo no o quadrante delimitada pelas rectas y x e x, excluindo-as. São regiões os conjuntos definidos em (a) e (d). 3. (a) É contínua; (b) 4. f (z) y 5+xi. 5. Usar teorema de Cauchy-Riemann. 6. (a) É diferenciável ao longo dos eixos coordenados; (b) é diferenciável ao longo da recta de equação y x (a) i/; (b) 5 ( i) /. 8. (a) A parábola de equação v u u; (b) os três primeiros quadrantes, incluindo a semirecta y e x, e a semirecta x e y ; (c) o círculo de centro em z e raio, excluindo opontoz. 9. a, b 3.. v(x, y) 3x y y 3 +5x +3.. (a) f(z) x y +(xy + K) i z + Ki, K R; (b) f(z) z z ++K, K R; (c) f(z) z 3 + K, K R; (d) f(z) ln x + y +(arctan(y/x)+k) i, K R.. (a) a b,v(x, y) K, K R; (b) a ±5, v(x, y) ±e ±5x sin 5y + K, K R.

26 .5. FUNÇÕES HARMÓNCAS 5 3. (a) 6 5i; (b) 4i; (c) não existe.

27 6 CAPÍTULO. FUNÇÕES ANALÍTCAS

28 Capítulo Funções elementares. A função exponencial Definição 7 Para qualquer z x + yi C, define-se a função exponencial de z por e z e x+yi e x e yi e x (cos y + i sin y), que pode também ser denotada por exp z. Nota 3 Quando tomamos z como número real, z x +i, adefinição de e z definição já conhecida em R: coincide com a e z e x+i e x (cos + i sin ) e x ( + i) e x. Deste modo, a função exponencial de variável complexa é um prolongamento da função exponencial de variável real. Sejam z,w C. São válidas as seguintes pro- Proposição 7 Propriedades da exponencial priedades: (a) e z+w e z e w ; (b) e z nunca se anula; (c) ex+iy e x ; (d) e z é uma função periódica, com período πi; (e) e z z nπi, paraalgumn ; (f) (e z ) n e nz,comn. 7

29 8 CAPÍTULO. FUNÇÕES ELEMENTARES Proposição 8 A função exponencial f (z) e z e x (cos y + i sin y) éanalíticaemc easuaderivadaé f (z) e z (e z ) e z Exercícios resolvidos. Escreva na forma algébrica os números complexos e 3+i, e π 4 i e e ±3πi.. Mostre,usandoadefinição de derivada, que f(z) e z é uma função inteira (analítica). 3. Resolva a equação e z. 4. Determine o domínio de analiticidade da função g(z) z / (e z ). Propostas de resolução. Relembramos que Então temos: z x + iy z r (cos θ + i sin θ) re θi onde r z p ³ y x + y e θ arctan x e 3+i e 3 (cos + i sin ) e 3 cos + e 3 sin i; ³ e π 4 i e ³cos π ³ + i sin π 4 4 i: e ±3πi e (cos (±3π)+i sin (±3π)) e ( +i) e +i e.. Dado um complexo arbitrário z procedamos ao cálculo, pela definição, da derivada de f em z : f (z ) f f(z + z) f(z ) e z+ z e z (z ) lim lim z z z z lim z e z (e z ) z e z lim z e z z e z visto que lim z e z / z, logo a derivada existe para qualquer z, logo a função éanalítica.

30 .. AS FUNÇÕES TRGONOMÉTRCAS 9 3. Temos e z e x (cos y + i sin y) e x cos y +(e x sin y) i e x cos y sin y e x cos y y kπ, k Se k éparentãocos y e logo, e x cos y e x, o que sabemos ser impossível. Se k é ímpar, dado que cos y, temos e x cos y e x x. Então, e z x y (n +)π, com n. O conjunto S das soluções da equação e z é dado por S {(n +)πi : n }. 4. A função g(z) z / (e z ) tem por domínio o conjunto D {z C : e z 6 }. Tratando-se do quociente de duas funções inteiras, a função g(z) é analítica em todos os pontos tais que e z 6, ou seja, em todos os pontos do domínio D. Mas, pela alínea (e) da proposição 3, e z 6 e z 6 z 6 nπi, n. Logo, o domínio de analiticidade da função dada é D C\{z C : z nπi, n }.. As funções trigonométricas Definição 8 Para qualquer z C, definem-se as funções seno e coseno de z por sin z ezi e zi i e cos z ezi + e zi. Nota 4 Vejamos que se mantêm as propriedades já conhecidas em R. Proposição 9 Propriedades do seno e do coseno Sejam z, w C. Sãoválidasasseguintes propriedades:

31 3 CAPÍTULO. FUNÇÕES ELEMENTARES (a) sin( z) sin z; (b) cos( z) cosz; (c) sin z +cos z ; (d) sin(z ± w) sinz cos w ± cos z sin w; (e) cos(z ± w) cosz cos w sin z sin w; (f) sin z e cos z são funções periódicas, com período π. Proposição As funções sin z e cos z são analíticas em C e tem lugar as seguintes regras de derivação: (sin z) cosz e (cos z) sin z Nota 5 Outras funções trigonométricas de variável complexa e as suas derivadas Exercícios resolvidos tan z sin z cos z, onde (tan z) cos, z cos z 6 cot z cos z sin z, onde (cot z) sin, z sin z 6 sec z cos z, onde (sec z) secz tan z, cos z 6 csc z sin z, onde (csc z) csc z cot z, sin z 6. Mostre que cos z não é analítica em nenhum ponto do seu domínio.. Determine as partes real e imaginária das funções seno e coseno. 3. Mostre que sin z sin x. 4. Resolva a equação cos z. 5. Mostre que sin(z) sinz cos z e cos(z) cos z sin z. 6. MostrequeaindaéválidaemC a fórmula de Euler e iz cosz + i sin z.

32 .. AS FUNÇÕES TRGONOMÉTRCAS 3 Propostas de resolução. Dado z x + yi, cos z ezi + e zi e(x yi)i + e (x yi)i ey (cos x + i sin x)+e y (cos x i sin x) (ey + e y )cosx + i(e y e y )sinx. A esta função correspondem as partes real e imaginária ey+xi + e y xi u(x, y) (e y + e y )cos x e v(x, y) (ey e y )sin x, respectivamente. As funções u e v não verificam as equações de Cauchy-Riemann. Por exemplo, u x v ey + e y sin x y (ey + e y )sin x ey + e y e y + e y e y + e y, trata-se de uma equação impossível.. Atendendo às expressões de seno e coseno hiperbólicos conhecidas em R, podemos escrever sin z ezi e zi i e y+xi e y xi i e y (cos x + i sin x) e y (cos x i sin x) i (e y e y )cosx + i (e y + e y )sinx i e y + e y sin x + i ey e y cos x sinx cosh y + i cos x sinh y. Logo, u(x, y) sinx cosh y e v(x, y) cosx sinh y. Analogamente, cos z ezi + e zi e y+xi + e y xi e y (cos x + i sin x)+e y (cos x i sin x) (e y + e y )cosx + i (e y e y )sinx e y + e y cos x i ey e y sin x cosx cosh y i sin x sinh y, donde u(x, y) cosx cosh y e v(x, y) sinx sinh y.

33 3 CAPÍTULO. FUNÇÕES ELEMENTARES 3. Notemos que, dado y R, temos cosh y sinh y Atendendo ao exercício, podemos escrever µ e y + e y µ e y e y e y +e y e y + e y e y e y e y + e y 4 4e y+y. 4 sin z sin x cosh y + i cos x sinh y (sinx cosh y) +(cosx sinh y) sin x( + sinh y)+cos x sinh y sin x + sin x +cos x sinh y sin x +sinh y sin x +sinh y. Logo, sin z sin x e, dado que sin z e sin x representam números reais positivos, concluímos que sin z sin x. De modo análogo prova-se que cos z cos x +sinh y, o que permite concluir que cos z cos x, paraz x + yi. 4. Temos cos z ezi + e zi e zi + e zi 4. Multiplicando por e zi 6, obtemos a equação quadrática Então, cos z e zi 4e zi + e zi 4 ± 6 4 ± 3. e (x+yi)i e y+xi e y (cos x + i sin x) ± 3, o que permite concluir que e y cos x ± 3 e y sin x.

34 .3. AS FUNÇÕES HPERBÓLCAS 33 De e y sin x concluímos que sin x,ouseja,quex nπ, paran. Se n ímpar então cos x e logo e y ± 3 e y ± 3, o que sabemos ser impossível, visto que ± 3 <. Sen par, cos x e logo, e y ± ³ 3 y ln ± ³ 3 y ln ± 3. Atendendo a que ln 3 ln + 3, podemos concluir que as soluções da equação são z kπ ± i ln + 3. Notemos que esta equação é impossível em R. 5. sin(z) sin(z + z) sinz cos z +cosz sin z sinz cos z; cos(z) cos(z + z) cosz cos z sin z sin z cos z sin z. 6. cos z + i sin z ezi + e zi + i ezi e zi i ezi ezi..3 As funções hiperbólicas Recordemos que para x R, as funções hiperbólicas seno e coseno são definidas através da função exponencial de variável real por (.) sinh x ex e x e cosh x ex + e x. As respectivas funções de variável complexa definem-se de modo análogo. Definição 9 Para qualquer z C, definem-se as funções seno hiperbólico e coseno hiperbólico de z por sinh z ez e z e cosh z ez + e z. Proposição As funções seno e coseno hiperbólico são analíticas em C e são válidas as seguintes fórmulas de derivação: (sinh z) ez + e z coshz e (cosh z) ez e z sinhz. Também se podem definir as funções tangente e cotangente hiperbólicas de variável complexa, asaber tanh z sinh z cosh z, cosh z coth z sinh z tanh z, assim como a função secante hiperbólica, / cosh z, e a função cosecante hiperbólica, / sinh z. Proposição As funções hiperbólicas tem asa seguintes propriedades

35 34 CAPÍTULO. FUNÇÕES ELEMENTARES. As funções seno e coseno hiperbólico são periódicas de período πi. sinh (iz) i sin (z), cosh (iz) cosz 3. sin (iz) i sinh (z), cos (iz) cosh(z) 4. sinh (z) sinh(x)cos(y)+i cosh (x)sin(y) 5. cosh (z) cosh(x)cos(y)+i sinh (x)sin(y) 6. sinh (z) z nπi, n N 7. cosh (z) z (n +) π i, n N Exercícios resolvidos. Determine, às relações entre as funções trigonométricas e as funções hiperbólicas, as partes real e imaginária das funções seno e coseno.. Mostre que cos z cosh(iz). 3. Mostre que cosh z sinh z. 4. Mostre que πi é o período das funções seno e coseno hiperbólicos. Propostas de resolução. sin z sin(x + yi) sinx cos(yi)+cosx sin(yi) sinx cosh y + i cos x sinh y cos z cos(x + yi) cosx cos(yi) sin x sin(yi) cosx cosh y i sin x sinh y.. cos(iz) e(iz)i + e (iz)i e z + e z coshz. 3. cosh z sinh z (ez + e z ) (ez e z ) 4 4 ez +e z z + e z e z +e z z e z Temos sinh(z +πi) sinh(x +(π + y)i) sinhx cos(π + y)+i cosh x sin(π + y) sinhx cos y + i cosh x sin y sinhz,

36 .4. A FUNÇÃO LOGARTMO 35 assim como cosh(z +πi) cosh(x +(π + y)i) coshx cos(π + y)+i sinh x sin(π + y) coshx cos y + i sinh x sin y coshz. Nãoseriadeesperaroutrovalorparaoperíodo,dadoqueestasfunçõessãodefinidas através da função exponencial..4 A função logaritmo No caso das funções reais, a função logaritmo neperiano é simplesmente a função inversa da função exponencial neperiana. Dados x, y R temos x lny seesósee x y. O caso complexo é mais delicado. A função exponencial é periódica de período πi e, como tal, não é invertível em todo o seu domínio C. No entanto, pretende-se que a relação (.) log z w seesóse z e w se mantenha válida em C. Se(.) se verificar para w u + vi então e u+vi z e u (cos v + i sin v) z z e u arg z v u ln z v argz. Deste modo, para z 6 (visto que e w 6para todo o w C), é natural definir (.3) log z ln z + i arg z. Existem, no entanto, infinitos valores para log z, um para cada argumento de z. Adiferença entre quaisquer dois destes valores é um múltiplo inteiro de πi. Assim, a expressão (.3) não define uma função. Observemos que, se z z e i arg z x + yi, e log z e ln z +i arg z e ln z e i arg z z e i arg z z. Mas, log(e z ) ln e z + i arg e z lne x + i(y +kπ) x +(y +kπ)i (x + yi)+kπi z +kπi, para k. No entanto, se considerarmos para argumento de z o seu argumento principal, caso em que tomamos k,épossíveldefinir a função logaritmo.

37 36 CAPÍTULO. FUNÇÕES ELEMENTARES Definição Para qualquer z x + yi C, comz 6,define-se a função logaritmo principal de z por log z ln z + i arg z, com arg z [ π, π[. Podemos agora afirmar que a função logaritmo principal, log z, éafunçãoinversadare- strição da função exponencial de variável complexa à região fundamental {x + yi : π y<π}. Ou seja, verifica-se (.). Nota 6 Podemos definir a função logaritmo mais geralmente da seguinte forma: a função logaritmorelativaaointervalo[θ,θ +π[ éafunção log z ln z + i arg z, arg z [θ,θ +π[. Esta função designa-se muitas vezes por ramo do logaritmo correspondente ao intervalo [θ,θ +π[; quando θ π, obtém-se o ramo principal do logaritmo. A função logaritmo relativa ao intervalo [θ,θ +π[ é a função inversa da restrição da função exponencial à região fundamental {x + yi : θ y<θ +π}. Nota 7 Quando z é um número real positivo, z x +i com x>, adefinição de log z coincide com a definiçãojáconhecidaemr log z logx ln x + i arg x lnx. Salvo indicação em contrário, em tudo o que se segue, quando nos referimos à função log z referimo-nos à função logaritmo principal. Nota 8 Nocálculoreal,nãoestádefinido o logaritmo de números negativos. Em C tal não é verdade. Por exemplo, log( ) ln + i arg( ) ln + i ( π) πi. Este é um dos motivos que nos leva a considerar notações diferentes para o logaritmo de um número complexoeparaologaritmoneperianodeumnúmeroreal. A parte real da função logaritmo, u(x, y) ln z ln p x + y, é contínua em C\{}. Contudo, a parte imaginária v(x, y) arg(x + yi) é descontínua nos pontos de coordenadas (x, ), com x< (exercício 5). Como tal, a função logaritmo não é contínua no eixo real negativo, ou seja, em complexos z da forma z x +i, comx. As propriedades do logaritmo que se verificam no cálculo real continuam válidas em C, desde que correctamente interpretadas. Vejamos os seguintes exemplos.

38 .4. A FUNÇÃO LOGARTMO 37 Exemplo 4 Consideremos os números complexos z e w i e escolham-se os argumentos no intervalo [, π[. Temos z, arg z π, w e arg w π/. Comotal, ³ log z +logw (ln+iπ)+ ln + i π 3π i. Por outro lado, ³ zw cis π + π cis 3π, pelo que µ 3π log (zw) ln+i 3π i. Logo, neste caso, verifica-se a igualdade log z +logw log(zw). Escolha-se agora o intervalo [ π, [ para os argumentos de z e w. Então, arg z π, arg w 3π/ e arg (zw) π/, donde µ log z +logw (ln iπ)+ ln i 3π 5π i, ³ log (zw) ln+i π π i. Neste caso, verificamos que a diferença (log z +logw) log (zw) éde πi. Proposição 3 Propriedades do logaritmo propriedades: Sejam z,w C\{}. São válidas as seguintes (a) log(zw) logz +logw (mod πi); (b) log(z/w) logz log w (mod πi). (c) log (z) é analítica no conjunto C\{x + iy : x e y } e a sua derivada é dada por (log z) z Exercícios resolvidos. Determine os valores de log( ), log i, log( i) e log 3+i.. Resolva a equação e z 3+i. 3. Calcule o valor principal de log( 3). 4. Considere os números complexos z i e w +i. Mostrequelog (z/w) logz log w (mod πi).

39 38 CAPÍTULO. FUNÇÕES ELEMENTARES 5. Mostre que a função v(x, y) arg(x + yi) é descontínua nos pontos de coordenadas (x, ), com x<. 6. Mostre que a função f(z) logz verifica as condições de Cauchy-Riemann para z x + yi, com z 6 e z 6 x<. 7. Derive a função f(z) log(e z +), indicando a região em que é analítica. Propostas de resolução. log( ) ln + i arg ( ) ³ ln + i(π +kπ), π +kπ log i ln+i arg i i, log ( i) ln +i arg( i) ln +i µ 3π4 +kπ, log 3+i ln+i arg 3+i ³ π +kπ ln+i, k. 6. Temos e z ³ 3+i z log 3+i. Pelo exercício, o conjunto solução da equação é n ³ π +kπ S ln + i 6 o : k. 3. Dado que 3 3cis ( π), o valor principal do logaritmo de 3 é log( 3) ln 3 + i( π) ln3 πi. 4. Consideremos os números complexos z i e w +i e escolham-se os argumentos no intervalo [ π, π[. Temos z, arg z π/, w e arg w 3π/4. Como tal, ³ ³ log z log w ln + i π µ ln +i 3π 4 ln µ +i π 3π ln i 5π 4 4. Por outro lado, pelo que z w µ cis π 3π µ cis 5π cis 3π 4 4 4, log z w ln +i 3π 4. Verificamos então que a diferença (log z log w) log (z/w) éde πi.

40 .4. A FUNÇÃO LOGARTMO Seja (x, ) R tal que x <. Então, enquanto que lim (x,y) (x,) y> lim (x,y) (x,) y< arg(x + yi) π, arg(x + yi) π. Podemos assim concluir que, para x <, nãoexistelim (x,y) (x,) v(x, y). 6. Para z x + yi re iθ temos u(r, θ) lnr e v(r, θ) θ. Assim, u r v r r e e u θ v θ, o que mostra serem válidas as equações de Cauchy-Riemann estabelecidas para coordenadas polares, u r v v e r θ r u r θ. 7. A função e z + é analítica em C. Logo, log (e z +) é analítica em todos os pontos tais que e z +pertence ao domínio de analiticidade da função logaritmo, ou seja, é analítica no conjunto C\{z C :m(e z +) Re (e z +) }. Escrevendo z x + yi, m (e z +) e x sin y sin y y nπ, para n. Por outro lado, Re (e z +) e x cos y + e x cos y. Como y nπ, n, temoscos y,sen épar,ecos y, sen éímpar. Sen for par então e x, oqueéimpossível.sen for ímpar então e x, ouseja,x. Concluímos que f é analítica no conjunto C\{z x + yi : x y (k +)π, k }. Utilizando o teorema da função composta, f (z) ez e z +.

41 4 CAPÍTULO. FUNÇÕES ELEMENTARES Exercícios propostos. Calcule todos os valores de e i, log( i), e 3log( i).. Resolva, em C, as seguintes equações: (a) cos z ; (b) cos z sinz; (c) sin z ; (d) sinh z i; (e) e iz 3; (d) e z +6e z Apresente as seguintes funções na forma f(z) u + vi: (a) f(z) e iz ; (b) f(z) e z. 4. Determine as regiões onde as seguintes funções são analíticas e calcule f (z): (a) f(z) e πz3 ; (b) f(z) cos(/z)+e z + ; (c) f(z) sin log z ; (d) f(z) z. 5. Determine para que valores de z é válida a igualdade log z logz, quando se considera o ramo principal do logaritmo. 6. Mostre que a função f(z) e z não é analítica em nenhum ponto do seu domínio. 7. Mostre que e πi, e π/i i, e πi, e π/i i e e πi. 8. Mostre que eiy,paratodooy R. 9. Mostre que u(x, y) Re ³e z é uma função harmónica.. Mostre que tan z u+vi onde u(x, y) sinx/ (cos x +coshy) e v(x, y) sinhx/ (cos x +coshy).. Prove que a função tan z éperiódicadeperíodoπ.. Mostre que, para quaisquer z,w C, são válidas as seguintes igualdades (a) cosh (z + w) coshz cosh w +sinhz sinh w; (b) sinh (z + w) sinhz cosh w +coshz sinh w; (c) cosh z +sinh z. 3. Mostre que cos z cos z.

42 .4. A FUNÇÃO LOGARTMO 4 Soluções. cos + i sin ; ln + i ( π +kπ), k ; i.. (a) z nπ ± i ln + 3 ;(b)z π/4 +nπ; (c)z π/ +nπ i ln ± 3 ;(d) z ( π/+nπ) i; (e)( π +nπ) (ln 3) i; (f)z ln3+nπi z ln+nπi. 3. (a) e y cos x ie y sin x; (b)e x y cos (xy)+ie x y sin (xy). 4. (a) f (z) 3πz e πz3, z C; (b)f (z) µ z sin z z (z +) e z +, z C\{ i,,i};(c) f (z) z cos log z z, z C\{z yi : y R}; (d) z, z C\ z yi z x, x ª. 5. z re iθ,comr> e θ [ π/,π/[.

43 4 CAPÍTULO. FUNÇÕES ELEMENTARES

44 Capítulo 3 ntegração no plano complexo O estudo da integração no plano complexo é importante por duas razões essenciais. Por um lado, podem ocorrer integrais de variável real cujo cálculo não é imediato pelos métodos usuais de integração real mas que a integração complexa permite resolver facilmente. Por exemplo, o cálculo do integral sin x x dx. Por outro lado, algumas propriedades básicas das funções analíticas podem ser estabelecidas com base na integração complexa não sendo as abordagens alternativas imediatas. O teorema de Cauchy-Goursat, por exemplo, permite concluir que as funções analíticas possuem derivadas de todas as ordens. 3. ntegrais curvilíneos Os integrais curvilíneos, integrais de uma função f(z) ao longo de uma certa curva no plano complexo, são definidos de forma análoga à usada para definir integrais curvilíneos no plano bidimensional R. Definição Sejam a, b R, com a b. Uma curva em C é o contradomínio de uma função contínua :[a, b] C. A função édesignadaporparametrização da curva (de parâmetro real t) e por equação paramétrica da curva. (t) x(t)+iy(t), t [a, b] Podemospensarnumacurvacomoatrajectóriadeumpontomaterial(x(t),y(t)) x(t)+iy(t) C, emcada instante t, comt avariarnumintervalodetempo[a, b]. 43

45 44 CAPÍTULO 3. NTEGRAÇÃO NO PLANO COMPLEXO Dada uma curva parametrizada por (t) x(t)+y(t)i, t [a, b], et [a, b], o vector (t )x (t )+iy (t ) designa-se por vector tangente à curva no ponto t t. Sempre que não haja ambiguidade, referimo-nos à curva para mencionar a curva parametrizada por. Definição Uma curva diz-se suave (ou regular)quandoasfunçõesx(t) e y(t) têm derivadas contínuas no intervalo [a, b] eovector (t) x (t)+iy (t) não se anula em [a, b]. Se existir uma partição do intervalo [a, b], ouseja,umnúmerofinito de valores reais a,a,...,a n, com a a<a < <a n b, tal que as restrições j ]aj,a j [, j,,...,n,sãocurvas suaves então a curva diz-se seccionalmente suave (ou seccionalmente regular). Neste caso, diz-se a soma (ou união) das curvas j, j,,...,n,edenota-sepor n. (b) a t b y (t) (a) x A suavidade de uma curva significa geometricamente que ela tem vector tangente (t) x (t)+ iy (t) único em cada ponto e que este varia continuamente em t. Exemplo Afunção(t) x(t) +iy(t) tal que ½ x(t) t y(t) t, t R define a parábola dada, em coordenadas rectangulares, pela equação y x. Consideremos a função :[, ] C definida por (t) t + it.dadoquex(t) e y(t) são funções contínuas com derivadas contínuas no intervalo [, ], é uma curva suave que corresponde ao arco da parábola Note-se que é uma aplicação de variável real. Como tal, a existência da derivada (t) implica que existam as derivadas x (t) e y (t) enquanto derivadas de funções reais de variável real. Em cada instante t, o vector tangente (x (t),y (t)) x (t)+iy (t) pode ser interpretado como o vector velocidade de um ponto material, com posição (x(t),y(t)).

46 3.. NTEGRAS CURVLÍNEOS 45 y x compreendido entre os pontos z ( ) +i e z () + 4i. Note-se que (t) +ti 6 para t. Geometricamente, y - - x Exemplo A circunferência de centro na origem e de raio pode ser parametrizada por (t) cos t + i sin t e it, t [, π]. Defacto, x (t)+y (t) cos t +sin t. Trata-se de uma curva suave visto que x(t) cost e y(t) sint são funções contínuas com derivadas contínuas no intervalo [, π] e (t) sin t + i cos t 6 para t π (as funções seno e coseno não têm zeros coincidentes). Exemplo A elipse de centro na origem e de semi-eixos horizontal e vertical com medidas a 6 e b 6, respectivamente, tem parametrização (t) a cos t + ib sin t, t [, π]. Com efeito, x (t) a + y (t) b cos t +sin t. Trata-se, tal como a circunferência, de uma curva suave. Exemplo 3 Acurva parametrizada por ½ t + it se t (t) t +4i se t 3 é seccionalmente suave. Dado que () (), éauniãodacurva (t) ],[ (t) t + it com a curva (t) ],3[ (t) t +4i. Além disso, é uma curva suave dado que as funções x(t) t e y(t) t têm derivadas contínuas e (t) +ti 6. Analogamente, a restrição é uma curva suave. Observamos que não é suave pois () + 4i enquanto que (). No que segue todas as curvas consideradas são seccionalmente suaves, salvo indicação em contrário.

47 46 CAPÍTULO 3. NTEGRAÇÃO NO PLANO COMPLEXO Definição 3 A orientação ou sentido de uma curva :[a, b] C, a b, éde(a) para (b). Acurva parametrizada por ( )(t) (a + b t), t [a, b], corresponde ao mesmo conjunto de pontos mas orientada no sentido inverso ao de. Quando o ponto final coincide com o ponto inicial, (a) (b), acurva diz-se fechada. A orientação de uma curva fechada diz-se positiva (ou directa) se é contrária à dos ponteiros do relógio e diz-se negativa (ou indirecta) nocasocontrário. Se (t ) 6 (t ) sempre que t 6 t,comt,t ]a, b[, então a curva diz-se simples. Uma curva simples e fechada é designada por curva de Jordan 3. Exemplo 4 Acurva(t) z + re it,comt [α, β] e β α +π, define um arco da circunferência de centro z ederaior, com extremidades inicial e final (α) e (β), respectivamente. Trata-se de uma curva suave dado que x(t) x + r cos t e y(t) y + r sin t têm derivadas contínuas e (t) ire it 6em todos os pontos. Quando β α +π, temos (α) (β) eacurvaé fechada e descrita no sentido positivo. Atendendo a que se trata de uma circunferência, é imediato que se trata de uma curva simples. A curva ( )(t) z + re it, t [α, α +π], representaa mesma circunferência, mas orientada no sentido negativo. Comecemos por definir o integral curvilíneo de uma função complexa de variável real. Definição 4 Seja h : [a, b] C umafunçãocomplexadevariávelrealdefinida por h(t) u(t)+iv(t), parafunçõesu e v contínuas em [a, b]. Define-se o integral curvilíneo da função h no intervalo [a, b] como sendo o número complexo b h(t)dt b u(t)dt + i b a a a v(t)dt, onde os integrais de u e v são integrais usuais de funções reais de uma variável real. Exemplo 5 Pretendemos determinar o integral curvilíneo da função h(t) t ++t 3 i no intervalo [, ]. Dado que u(t) t + e v(t) t 3 são as partes real e imaginária de h, respectivamente, temos t ++it 3 dt (t +)dt + i t 3 dt i. Segue-se a definição de integrais curvilíneos para funções complexas de variável complexa. 3 Em referência a Camille Jordan (838-9).

48 3.. NTEGRAS CURVLÍNEOS 47 Definição 5 Sejam f uma função contínua definida num aberto A C e :[a, b] C uma curva seccionalmente suave tal que ([a, b]) A. Define-se o integral curvilíneo (ou simplesmente integral) ao longo de, quesedenotapor R f(z)dz (ou simplesmente por R f), como sendo o número complexo f(z)dz nx j aj a j f j (t) j(t)dt, onde a a<a < <a n b éumapartiçãodointervalo[a, b] tal que as restrições j ]aj,a j [,paraj,...,n, parametrizam curvas suaves. A função f édesignadaporfunção integranda. Quando a curva é fechada é usual a notação H f. A continuidade da função f em todos os pontos da curva e a continuidade das restrições j, para j,...,n, garantem a existência do integral. O valor do integral corresponde, assim, à soma (finita) dos n integrais curvilíneos das funções complexas de variável real f j (t) j (t) em cada um dos intervalos [a j,a j ],conformeadefinição 6. Nocasoparticulardef ser uma função contínua em todos os pontos de uma curva suave :[a, b] C, temos o caso mais simples em que b f(z)dz f ( (t)) (t)dt. a Exemplo 5 Consideremos a circunferência de centro na origem e de raio. Uma parametrização para esta curva suave pode ser definida por (t) cost + isint e it, t [, π]. Pretendemos calcular o valor do integral de f(z) /z aolongodacurva. Afunçãof está definidaeécontínuaemtodosospontosdacurva (f tem por domínio C\{} mas a origem não pertence à curva). Então, dado que (t) sint + icost, π f(z)dz f( cos t + isint)( sint + icost) dt π π π π ( sint + icost) dt cost + isint cost isint 4cos t +4sin ( sint + icost) dt t 4cost sin t +4i cos t + i4sin t +4sint cos t dt 4 4i 4 dt i π dt πi. Em alternativa, podemos usar a forma (t) e it. Temos então (t) ie it eointegralédado

49 48 CAPÍTULO 3. NTEGRAÇÃO NO PLANO COMPLEXO por f(z)dz π π f e it ie it dt e it ieit dt π idt i π dt πi. Exemplo 6 Consideremos a curva representada na figura e a função f(z) z definida em todo o plano complexo. y +i x Trata-se de uma curva seccionalmente suave, união de duas curvas suaves: o segmento de recta que une z a z parametrizado por (t) t, t [, ], e o segmento de recta que une z a z +i parametrizado por (t) +(t ) i, t [, 4]. Dado que a função f(z) z é contínua em C (em particular, na curva) e (t) e (t) i, o integral curvilíneo é obtido como soma de dois integrais na variável real t, f(z)dz f(t)dt + tdt + tdt + i f ( + (t ) i) idt ( + (t ) i) idt dt 4 (t ) dt 4i. Exemplo 6 Consideremos a função f(z) z, de domínio C, e o arco da circunferência de centro naorigemederaio situado no o quadrante, parametrizado por (t) cost + i sin t, t [,π/]. Temos (t) sin t + i cos t e, sendo f(z) x yi umafunçãocontínuaemtodosospontosda curva, obtemos f(z)dz π/ π/ π/ f (cos t + i sin t)( sin t + i cos t)dt (cos t i sin t)( sin t + i cos t)dt i cos t +sin t dt i π/ dt π i.

50 3.. NTEGRAS CURVLÍNEOS 49 Exemplo 7 Dadaafunçãof(z) z contínua em todo o plano complexo, pretendemos calcular o valor do seu integral ao longo do segmento de recta definido, em coordenadas rectangulares, pela equação y 5x, entre os pontos z e z +i. Podemos considerar a própria variável x como parâmetro e usar a parametrização (x) x +5xi, com x [, ]. Temos (x) +5i eo integral é então dado por f(z)dz f (x +5xi)(+5i)dx (x +5xi) ( + 5i)dx x i 4x ( + 5i)dx 74x x i dx 74x dx i x dx i. Nota 9 Seja f(z) u(x, y)+v(x, y)i e (t) x(t)+iy(t) a parametrização de uma curva. Sem perda de generalidade, podemos supor que ésuave 4.Temos Re f(z)dz [u(x, y)dx v(x, y)dy], e m f(z)dz [u(x, y)dy + v(x, y)dx]. Ointegralcurvilíneo R f(z)dz pode assim ser escrito em termos de dois integrais de linha no plano bidimensional. Algumas propriedades dos integrais curvilíneos são enunciadas a seguir. Proposição 4 Seja uma curva em C seccionalmente suave. Sejam f e g funções definidas e contínuas na curva. São válidas as seguintes propriedades: (a) R [C f(z)+c g(z)] dz C R f(z)dz+c R g(z)dz para constantes C,C C (linearidade do integral curvilíneo); (b) R f(z)dz R f(z)dz (integral curvilíneo na orientação inversa); (c) Se n então R f(z)dz R f(z)dz + + R f(z)dz (integral + + n n curvilíneo ao longo da união de curvas). 4 No caso em que é uma curva seccionalmente suave basta, atendendo à definição 8, usar o mesmo raciocínio em cada subintervalo [a j,a j ] da partição do intervalo [a, b]. 5 Escrevemos + para denotar que éaunião ou soma das curvas seccionalmente suaves e : dadas curvas :[a, b] C e :[b, c] C com (b) (b), define-se + :[a, c] C por (t) se a t b ( + )(t). (t) se b t c Asomageral + + n define-se de forma análoga.

51 5 CAPÍTULO 3. NTEGRAÇÃO NO PLANO COMPLEXO Exemplo 7 Considerando a curva apresentada na figura, Eixo imaginário +i +i Eixo real pretendemos calcular o valor do integral curvilíneo da função f(z) x + y i ao longo desta curva seccionalmente suave. Esta curva é a união de duas curvas suaves, uma parametrizada por (t) t + ti com t [, ] e outra parametrizada por (t) +ti, com t [, ]. Então + elogo f(z)dz f(z)dz + f(z)dz (+i) f( (t)) (t)dt + f( (t)) (t)dt t + t i ( + i) dt + +t i idt t ( + i)dt + (+i) t dt + i dt i t dt (+i) 3 + i i. A mesma curva pode ser parametrizada por diferentes funções. Põe-se a questão de saber se o valor do integral curvilíneo R f(z)dz é independente da parametrização usada. Para responder a esta questão necessitamos da seguinte definição. Definição 6 Dada uma curva seccionalmente suave parametrizada por :[a, b] C, umanova h função e : ea, e i h b C diz-se uma reparametrização de se existe uma função α :[a, b] ea, e i b tal que α (t) >, α(a) ea, α(b) e b e (t) e (α (t)). As condições impostas a α, α (t) >, α(a) ea e α(b) e b, garantem que a curva parametrizada por e tem a mesma orientação que a curva parametrizada por. h Proposição 5 Se e : ea, e i b C é uma reparametrização de :[a, b] C então f(z)dz f(z)dz. t dt

52 3.. NTEGRAS CURVLÍNEOS 5 Exemplo 8 Pretendemos calcular R Re(z)dz ao longo do segmento de recta que une z a z +i. Escolha-se a parametrização :[, ] C dada por (t) t + it. A função integranda é contínua nos pontos da curva. Dado que (t) +i, temos Re(z)dz Re ((t)) (t)dt Re (t + it)(+i)dt t( + i)dt (+i) tdt + i. Para a mesma curva podemos considerar outras parametrizações, por exemplo, e : [, ] C definida por e(t) (t ) + i (t ). Verificamos que o integral é dado pelo mesmo valor, Re(z)dz Re (e(t)) e (t)dt Re [t +i (t )] ( + i)dt (t ) ( + i)dt (+i) (t ) dt + i. Frequentemente, é útil obter uma estimativa superior do módulo de um integral. Dada uma curva parametrizada por (t) x(t)+y(t)i, comt [a, b], ocomprimento da curva édefinido por b p b l () x (t) + y (t) dt (t) dt. a Nota-se que, o comprimento de uma curva é independente da parametrização considerada. Proposição 6 Seja f uma função complexa de variável complexa definida e contínua num aberto A C eseja :[a, b] A uma curva seccionalmente suave em A. Se f for limitada sobre a curva, isto é, se existir M tal que f(z) M, paratodooz ([a, b]), então f(z)dz M l(). Exemplo 9 Consideremos a função complexa f(z) e z / (z +) de domínio C\{ }. Pretendemos obter uma estimativa superior do módulo do integral de f ao longo da circunferência de centro na origem e de raio 4, definida por z 4. Considerando a parametrização (t) 4cost +4sint, t π, o comprimento desta curva é dado pelo integral π q π l () ( 4sint) +(4cost) dt 4 dt 8π (comoseriadeesperarpelafórmuladoperímetrodeumacircunferência).quantoàlimitaçãoda função f ao longo desta circunferência, podemos escrever e z z + ez z + ez z ez 4 ez 3 ex 3 e4 3, a

53 5 CAPÍTULO 3. NTEGRAÇÃO NO PLANO COMPLEXO já que o valor máximo que x Re(z) pode tomar ao longo da circunferência é 4. Então, pela proposição 6, obtemos a estimativa pedida, e z z + dz e4 8πe4 8π 3 3. Exercícios resolvidos. Dada a função complexa f(z) z calcule o valor do integral curvilíneo R f(z)dz onde éa curva definida por x(t) 3t e y(t) t,comt [, 4].. Calcule o valor do integral curvilíneo R f(z)dz para (a) f(z) y x 3x i sobre a curva que é a união do segmento de recta que une z a z i com o segmento de recta que une z i a z +i; (b) f(z) (z +)/z sobre a semicircunferência parametrizada por (θ) e iθ,com θ π; (c) f(z) /z sobre os pontos da semicircunferência de centro ederaio com parte real superior a e percorrida no sentido negativo. 3. Considere o caminho (t) e it,parat [, π]. Prove que são nulos os integrais curvilíneos z dz e z dz. 4. Calcule o valor do integral curvilíneo R f(z)dz onde é a curva de equação dada, em coordenadas rectangulares, por y x 3 entre os pontos z i e z +i, e onde f éafunção definida por ½ se y< f(z) 4y se y>. 5. Considere a curva (t) e it,comt [,π]. Mostreque e z z dz eπ. 6. Escrevendo o integral curvilíneo em termos de integrais reais, prove que dz B A quando a integração é feita ao longo de uma curva seccionalmente suave que una o ponto A ao ponto B.

54 3.. NTEGRAS CURVLÍNEOS 53 Propostas de resolução.dadaacurva(t) 3t + it,comt [, 4], temos (t) 3+ti. Sendo x(t) 3t e y(t) t funções contínuas com derivadas contínuas no intervalo [, 4], acurva ésuave. Corresponde ao arco da parábola definida, em coordenadas rectangulares, pela equação y x /9 entre os pontos z ( ) 3+i e z (4) + 6i. Sendo a função f(z) z contínuaemtodosospontosdacurva, o integral curvilíneo é dado por zdz 4 4 3t + it (3 + ti)dt 4 3t t i (3 + ti)dt 9t +t 3 +3t i 4 dt 9t +t 3 4 dt +3i t dt i i. 3. (a) O segmento de recta que une z a z i pode ser parametrizado por (t) ti, com t, eosegmentoderectaqueunez i a z +i por (t) t + i, com t. Eixo imaginário +i i Eixo real Dado que a função f(z) y x 3x i está definida e é contínua ao longo de cada uma das curvas suaves consideradas, temos f(z)dz i f(ti)i dt+ tdt+ f(t + i) dt ( t) dt 3i ti dt + t 3t i dt t dt i + 3i 3. (b) A semicircunferência parametrizado por (θ) e iθ,com π θ, centradana origem e com raio situada nos 3 o e 4 o quadrantes, é uma curva suave com (θ) ie iθ. A função f(z) (z +)/z está definida (o seu domínio é C\{} e a origem não pertence

55 54 CAPÍTULO 3. NTEGRAÇÃO NO PLANO COMPLEXO a ) e é contínua na semicircunferência. Temos, então f(z)dz f e iθ ie iθ e iθ + dθ π π e iθ ie iθ dθ i e iθ + dθ i ( (cos θ + i sin θ)+)dθ π π i ( cos θ +)dθ +i sin θdθ π π i [π +i ( )] i(π 4i) 4+πi. (c) Os pontos da semicircunferência de centro ederaio com parte real superior a, percorrida no sentido negativo,.podem ser parametrizados por (t) + cost i sin t com π t π. Eixo imaginário 3 Eixo real Trata-se de uma curva suave onde a função f(z) /z está definida (o seu domínio é C\{}) e é contínua. O integral curvilíneo é dado por π/ f(z)dz f( + cos t i sin t)( sin t i cos t)dt π/ π/ π/ π/ π/ π/ π/ π/ π/ π/ π/ ( sin t i cos t)dt +cost i sin t ( + cos t + i sin t)( sin t i cos t) ( + cos t i sin t)(+cost + i sin t) dt sint i cos t i ( + cos t) +sin t dt sint i ( cos t ) dt 4+4cost sin t +cost dt i 4 π/ π/ cost +cost dt. Efectuando a mudança de variável no o integral simples tan t/ s, temoscos t

56 3.. NTEGRAS CURVLÍNEOS 55 s / +s e t / +s. Obtemos, então, f(z)dz π/ π/ sin t +cost dt i s +s 4 + s +s [ln +cost ]π/ π/ i (ln ln ) i + i 4 3s +s ds i 4 i 4 [3s 4arctans] i 4 i π (6 π) 3 i. 4 +s ds s s +s + s +s ds 3s +s ds µ 3 4 ds +s ³3 4 π ³ π 4 3.Dadaacurva(t) e it,parat [, π] temos (t) ie it. Trata-se da circunferência de centro na origem e de raio, onde as funções f(z) / z e g(z) / z, de domínio C\{}, estãodefinidas e são contínuas. Para esta curva suave os integrais curvilíneos são dados por π z dz π e it ieit dt ie it dt e it π e πi π z dz π e it ieit dt e ieit dt e π ie it dt. 4. A curva pode ser parametrizada por (t) t + t 3 i,com t. Trata-sedeumacurva suave com (t) +3t i. A função f, de domínio C, é contínua em todos os ponto da curva. Temos f(z)dz f((t)) (t)dt f(t + t 3 i) +3t i dt +3t i dt + 4t 3 +3t i dt dt +3i t dt +4 3i i 6 +i. t 3 dt +i 5. A curva (t) e it,parat [,π], é a semicircunferência de centro na origem e de raio situada nos o e o quadrantes. Trata-se de uma curva suave onde a função f(z) e z /z, de domínio C\{}, estádefinida e é contínua. Pretendemos obter uma estimativa superior t 5 dt

57 56 CAPÍTULO 3. NTEGRAÇÃO NO PLANO COMPLEXO do módulo do integral curvilíneo de f ao longo da semicircunferência. O comprimento da semicircunferência é π, π q π l () ( sin t) +(cost) dt dt π, e todos os seus pontos verificam z e it. Quanto à limitação da função f ao longo desta semicircunferência, podemos escrever e z z ez ez z ex e, já que o valor máximo que x pode tomar ao longo da circunferência é. Então, por (5.), temos a estimativa pedida e z z dz eπ. 6. Consideremos a parametrização (t) com t [a, b] para uma curva seccionalmente suave que unaopontoa ao ponto B. Temos a função f(z) que é contínua ao longo de qualquer curva seccionalmente suave. Como tal, b b dz f((t)) (t)dt (t)dt (b) (a) B A. 3. Primitivação complexa a O teorema fundamental do cálculo integral para funções reais de variável real afirma que o integral da derivada de uma função é a diferença dos valores da função nos extremos do intervalo de integração e que o integral indefinido de uma função é uma primitiva para a função. Vejamos um resultado análogo para integrais curvilíneos complexos. Definição 7 Dada uma função complexa f definida e contínua numa região A C, afunçãof tal que F (z) f (z), paratodoz A, diz-seumaprimitiva de f (ou uma antiderivada de f). Notemos que esta definiçãoimplicaquef é analítica em A (e, portanto, também contínua em A) por ter derivada em todos os pontos do aberto A. Exemplo AfunçãoF (z) cos z é uma primitiva de f(z) sinz visto que ( cos z) sinz. Dado que ( cos z + C) sinz, qualquer que seja C C, cos z + C é a expressão geral das primitivas de f(z) sinz. Sejam f umafunçãocomplexadefinida e contínua numa região A C e F u + iv uma primitiva de f em A. Se :[a, b] C é uma curva contida em A parametrizada por (t) a

58 3.. PRMTVAÇÃO COMPLEXA 57 x(t)+y(t)i então f(z)dz b a f((t)) (t)dt Está assim provado o seguinte resultado. b a d F ((t))dt F ((b)) F ((a)). dt Teorema Teorema fundamental do cálculo integral Sejam :[a, b] C uma curva e f umafunçãocontínuanumaregiãoa C contendo a curva. Se F é uma primitiva de f em A então f(z)dz F ((a)) F ((b)). Em particular, se (a) (b), f(z)dz. Se (a) z e (b) z é usual escrever f(z)dz [F (z)] z z F (z ) F (z ). Notemos ainda que, nas condições do teorema anterior, o valor do integral R f(z)dz depende apenas dos extremos da curva. Assim,seα for outra curva com as mesmas extremidades, o valor do integral é o mesmo. Diz-se que o integral é independente da curva considerada epode denotar-se simplesmente por R z z f(z)dz. Teorema 3 Seja f uma função contínua numa região A C. Então são equivalentes as seguintes afirmações: (i) f tem uma primitiva em A; (ii) o valor do integral curvilíneo de f é o mesmo ao longo de qualquer curva contida em A ligando pontos z e z fixos; (iii) o valor do integral curvilíneo de f é zero ao longo de qualquer curva fechada contida em A. Exercícios resolvidos. Mostre que não existe uma função analítica f definida em C\{} tal que f (z) /z.. Calcule R z dz, paraacurva(t) e it sin 3 t,comt [,π/]. 3. Calcule R ez dz sobre o contorno do triângulo de vértices z, z e z πi. 4. Calcule o valor de cada um dos seguintes integrais curvilíneos:

59 58 CAPÍTULO 3. NTEGRAÇÃO NO PLANO COMPLEXO (a) R π+i cos (z/) dz; (b) R i/ e πz dz; i (c) R 3 (z )3 dz. 5. Seja a parametrização de uma curva contida no conjunto C\{z C :Rez } que una o ponto z i ao ponto z i. Calcule o valor do integral curvilíneo R /z dz. 6. Calcule R log zdz, onde é o arco da circunferência de centro na origem e de raio r situado no o quadrante. 7. Demonstre as implicações (i) (ii) e (ii) (iii) do teorema. Propostas de resolução. Suponhamos, por absurdo, que existe uma função f analítica definida em C\{} tal que f (z) /z. Vimos que a função logaritmo principal log z verificava (log z) /z. Contudo, a função logaritmo, embora definida em C\{}, não é analítica no eixo real negativo.. A função f(z) z écontínuaemc e F (z) z 3 /3 é uma primitiva de f. A curva (t) e it sin 3 t,parat [,π/], une o ponto z () ao ponto z e πi/ i. Então, pelo teorema, z 3 i f(z)dz i3 3 3 i O contorno do triângulo de vértices, e πi é seccionalmente suave. Eixo imaginário πi Eixo real Consideremos as parametrizações (t) t +i, com t, (t) t/π + ti. com t π e 3 (t) ti,com π t. A função f(z) e z écontínuanocontornodo

60 3.. PRMTVAÇÃO COMPLEXA 59 triângulo. Temos então f(z)dz f(t) dt + e t dt + π π f( t µ π + ti) π + i dt + e t π +ti µ π + i dt + π π e ti ( i)dt f( ti)( i)dt e t h + e t +tii π π + e ti π e + eπi e + e e πi e. 4. (a) A função f(z) cos(z/) é contínua em todos os pontos do seu domínio C e F (z) sin(z/) é uma primitiva de f. Então, pelo teorema, h f(z)dz sin z i π+i ³ π i sin + e(π/+i)i e (π/+i)i i e +π/i e π/i i e ( + i) e ( i) i e e e. e (b) A função f(z) e πz é contínua em todos os pontos do seu domínio C e F (z) /πe πz é uma primitiva de f. Então, pelo teorema, i/ f(z)dz π eπz ³e πi π/i e (i ). i π π (c) A função f(z) (z ) 3 é contínua em todos os pontos do seu domínio C e F (z) (z ) 4 /4 é uma primitiva de f. Então, pelo teorema, (z ) 4 3 f(z)dz ( ) A função f(z) /z é contínua em todos os pontos do seu domínio C\{}, ao qual pertencem todos os pontos da curva, e F (z) logz é uma primitiva de f. Então, pelo teorema, temos ³ f(z)dz [log z] i i log( i) log i ln+i π ³ ln + i π πi. 6. A função f(z) logz é analítica em todos os pontos do conjunto C \{z C :Rez }, ao qual pertencem todos os pontos da curva, e F (z) z log z z é uma primitiva de f. Afunção F tem derivada contínua em todos os pontos do conjunto C \{z C :Rez } ao qual pertencem todos os pontos da curva. Então, pelo teorema, temos f(z)dz [z log z z] ri i ri log(ri) ri (i log i i) ³ ri ln r + i π ³ ri i ln + i π + i π ( r) + r (ln r ) i.

61 6 CAPÍTULO 3. NTEGRAÇÃO NO PLANO COMPLEXO 3.3 Teorema de Cauchy-Goursat Em 85, o matemático francês Louis-Augustin Cauchy provou um dos mais importantes teoremas da análise complexa: se parametriza uma curva simples e fechada (i.e., uma curva de Jordan) no plano complexo e f é uma função analítica em todos os pontos da curva e do seu interior então f(z)dz. Se f não for analítica em toda a região do interior da curva então o valor do integral poderá ou não ser nulo. Consideremos o seguinte exemplo. Exemplo Afunçãof(z) /z analítica em C \{}. SeacurvadeJordanconsideradafora circunferência de centro na origem e de raio r, f(z)dz i π π f re iθ re iθ dθ π dθ i [θ] π πi. r e iθ ire iθ dθ Não era esperado um resultado nulo dado que a função f nãoéanalíticanocírculodecentrona origem e de raio r. Noentanto,paraafunçãof(z) /z temos π π f(z)dz f re iθ re iθ dθ r e iθ ire iθ dθ e iθ π r e iπ e, r mas tal não ocorre por consequência do teorema de Cauchy. De facto, f éanalíticaemc \{}, não sendo, portanto, analítica na curva e no seu interior. Definição 8 Um conjunto D diz-se simplesmente conexo se toda a curva de Jordan em D pode ser deformada num ponto de D, semsairdoconjuntod. Dito de outro modo, num conjunto simplesmente conexo D, cada curva simples fechada inteiramente contida em D delimita apenas pontos do conjunto D. Numconjuntosimplesmenteconexo nãoéadmitidaaexistênciade bura- cos. Todo o plano complexo é um exemplo de conjunto simplesmente conexo. O interior de uma curvadejordanéumaregião simplesmente conexa. No entanto, o exterior de uma curva fechada não o é, assim como também não o é a região entre duas circunferências. Uma região que

62 3.3. TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT 6 não é simplesmente conexa designa-se por região multiplamente conexa. Região simplesmente conexa Região multiplamente conexa Região multiplamente conexa Teorema 4 Sejam f uma função analítica e com derivada contínua em todos os pontos de uma região simplesmente conexa D e a parametrização de uma curva de Jordan contida em D. Então f(z)dz. Uma versão mais precisa do teorema de Cauchy foi desenvolvida pelo matemático francês Edouard Goursat em 883. Ele provou que a hipótese de continuidade de f pode ser omitida. A reformulação do teorema é a seguinte. Teorema 5 Teorema de Cauchy-Goursat Sejam f é uma função analítica numa região simplesmente conexa D e a parametrização de uma curva de Jordan contida em D. Então f(z)dz. Visto que o interior de uma curva de Jordan é uma região simplesmente conexa, o teorema de Cauchy-Goursat pode ter a seguinte reformulação mais simples. Teorema 6 Se f é uma função analítica numa região simplesmente conexa D então, para cada curva de Jordan contida em D, éválidoque f(z)dz. Exemplo 8 Consideremos a função inteira f(z) sin(e z ). Em particular, é analítica nos pontos da circunferência de centro na origem e raio bemcomonoseuinterior. Sendo uma parametrização desta curva de Jordan temos, pelo teorema 4, sin(e z )dz.

63 6 CAPÍTULO 3. NTEGRAÇÃO NO PLANO COMPLEXO Exemplo 9 Pretendemos determinar o valor do integral curvilíneo de f(z) e z ao longo de qualquer curva de Jordan. Trata-se de uma função inteira que, em particular, é analítica em todos os pontos da curva e do seu interior. Temos então, pelo teorema 4, e z dz. Exemplo Consideremos a função racional f(z) /z eaelipsedefinida, em coordenadas rectangulares, por (x ) +(y 5) /4.AfunçãoéanalíticaemC \{} mas a origem não é pontodaelipsenemdoseuinterior. Podemosentão, peloteorema4, concluir que dz. z Exemplo Pretendemos calcular o valor do integral curvilíneo R / z + dz ao longo da circunferência definida por z 3. A função f(z) / z + éanalíticaemcâ { i, i} visto que z +(z i)(z + i). Ambos os complexos z i e z i estãonointeriordacurva. Atendendoaque z + i z i i z + i temos z + dz µ i z i dz. z + i Consideremos as curvas de Jordan e definidas por z i / e z + i /, respectivamente. Temos, então, pelo teorema 8, z + dz µ i z i z + i i z i dz i dz + µ i z + i dz + i z i z + i dz z i dz i z + i dz. Visto que a função / (z + i) é analítica na circunferência enoseuinterior,assimcomoafunção / (z i) é analítica na circunferência e no seu interior temos, pelo teorema 4, H /(z+i)dz H /(z i)dz. Quanto aos restantes integrais curvilíneos, consideremos as parametrizações (θ) i + eiθ e (θ) i + eiθ com θ π. Temos, então, π z i dz π (θ) i (θ)dθ e π z + i dz π (θ)+i (θ)dθ eiθ ieiθ dθ i eiθ ieiθ dθ i π π dθ πi dθ πi.

64 3.3. TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT 63 Como tal, z + dz i πi πi. i Exercícios resolvidos. Determine o domínio de analiticidade das seguintes funções e aplique o teorema 4 para mostrar que H f(z)dz,onde é uma parametrização da circunferência definida por z. (a) f(z) ze z ; (b) f(z) / z +z + ; (c) f(z) log(z +).. Calcule H e3z / (z iπ) dz, onde é a elipse de equação z + z + 6descrita no sentido positivo. 3. Sejam f(z) u + iv uma função analítica numa região D e (t) x(t)+y(t)i, comt [a, b], uma curva de Jordan contida e D. Mostre que u x dx v x dy e u x dy v x dx. 4. Sejam e η parametrizações de curvas que unam z i a z i definidas por (t) e it, para t [ π/,π/], e η(t) ( +t) i, parat [, ]. µ z µ z + z dz e + z dz e determine os seus valores. Justifique que não é possível utilizar o teorema Sejam z,z C \{}, z 6 z.se éumcaminhodez para z no interior de uma região simplesmente conexa que não contenha a origem, mostre que z z dz z z dz. z z 6. Use um integral indefinido para calcular o valor do integral curvilíneo i i η z dz ao longo de qualquer curva que une z i a z i, contida no semiplano direito.

65 64 CAPÍTULO 3. NTEGRAÇÃO NO PLANO COMPLEXO Propostas de resolução. A circunferência definida por z é uma curva de Jordan. (a) A função f(z) ze z tem domínio C e é contínua em todo o seu domínio. Podemos então, pelo teorema 4, concluirque ze z dz. (b) A função racional f(z) / z +z + tem por domínio o conjunto z C : z +z +6 ª. A equação z +z +éequivalentea z + 4 / +i z 4 / i. Como tal, temos D f C \{ +i, i}. A função f écontínuaemtodooseu domínio. Nenhum dos pontos + i e i pertence à circunferência definida por z ou ao seu interior. De facto, +i > etambém i >. Podemos então, pelo teorema 4, concluirque z dz. +z + (c) A função f(z) log(z +) está definida para números complexos tais que z 6. Temos então D f C \{ }. Afunçãof é analítica em complexos z tais que z + não seja um número real negativo, ou seja, f é analítica em C \{x + yi : x y }. Nenhum dos pontos do conjunto {x + yi : x y } pertence à circunferência definida por z ou ao seu interior. De facto, os pontos deste conjunto têm módulo superior ou igual a. Podemos então, pelo teorema, concluir que log(z +)dz.. A elipse de equação z + z + 6tem centro em (, ) e semieixos maior e menor de valor 3 e 5, respectivamente. De facto, o que implica x + yi + x + yi + 6 p (x ) + y + p (x +) + y 6, (x ) + y + p (x ) + y p (x +) + y +(x +) + y 36.

66 3.3. TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT 65 Temos, então, x +4 y p (x ) + y p (x +) + y que implica x +4 y ³(x ³ ) + y (x +) + y x +4 y x + y +4 4x x + y +4+4x x 4 8x +x y y + y 4 x + y +4 6x x +36y 8 5x +9y 45 x 9 + y 5. A função f(z) e 3z / (z iπ) tem por domínio C \{πi} e é analítica em todo o seu domínio. Opontoπi não pertence à elipse definida por z + z + 6ou ao seu interior. De facto, πi + πi + 4+π > 6. Podemos então, pelo teorema 4, concluir que e 3z dz. z iπ 3. Sendo f(z) u + iv uma função analítica numa região D e uma curva de Jordan contida em D, sabemos ser nulo o valor do integral H f(z)dz. Temos então, (udx vdy)+i (udy + vdx), o que permite concluir que (udx vdy) e (udy + vdx), equivalente a udx vdy e udy vdx. sto permite concluir que u x dx v x dy e u x dy v x dx. 4. Consideremos a função f(z) z /+ z. Trata-se de uma função definida e contínua em todo o plano complexo. Podemos escrever a expressão de f como segue: f(z) z z µ z + z z z + z. Cada uma das parametrizações e η define uma curva suave e f está definida ao longo de cada uma dessas curvas. sto garante a existência de cada um dos integrais curvílineos presentes

67 66 CAPÍTULO 3. NTEGRAÇÃO NO PLANO COMPLEXO no exercício. Para o cálculo de cada um desses integrais, consideremos que (t) ie it e η (t) i. Temosentão µ z µ Ã! z π/ + z dz z + z dz e it e it π/ + eit ie it dt. Atendendo a que e it e it cos t +sin t, temos então µ z Ã! π/ + e z dz i it + eit dt De modo análogo, temos µ z + z dz η i i 3 η π/ π/ π/ π/ π/ µ z z + z dz ( +t) i µ cos t i sin t +cost i sin t dt (cos t i sin t) dt i 3 ( i ) 3i. Ã ( +t) i µ ( t) i ( t) i! +( +t) i idt +( +t) i dt i ( t) µ + t idt i µ i i. Não é possível utilizar o teorema 4 porque nenhuma das curvas é fechada. µ +t t dt 5. Basta atender a que F (z) /z é uma primitiva de f(z) /z e que o integral curvilíneo /z dz é independente do caminho considerado, podendo denotar-se simplesmente por R z z /z dz. Notemos que as funções f(z) /z e F (z) /z estão definidas em C \{} mas, atendendo a que é um caminho de z para z no interior de uma região simplesmente conexa que não contém a origem, está garantido que F é uma função com derivada contínua num aberto G contendo a curva. Obviamente, estamos a considerar que parametriza uma curva seccionalmente suave. 6. Um integral indefinido (ou primitiva) de f(z) /z é F (z) logz. Como tal, temos i ³ dz [log z]i i ³ln i z ln+iπ + i π πi, considerando qualquer curva seccionalmente suave que una z i a z i orientada no sentido positivo.

68 3.4. APLCAÇÕES DO TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT Aplicações do teorema de Cauchy-Goursat 3.4. Fórmulas integrais de Cauchy Apresentado o teorema de Cauchy-Goursat, podemos agora estabelecer algumas consequências importantes deste teorema. Teorema 7 Fórmula integral de Cauchy Seja f uma função analítica no interior e sobre uma curva de Jordan orientada no sentido positivo. Se z é um ponto qualquer no interior de, então f(z ) f(z) dz. πi z z Esta fórmula mostra que os valores de f sobre determinam completamente os valores de f no interior de. Dito de outro modo, o valor de uma função analítica no interior de uma curva de Jordan é determinado pelos seus valores sobre essa curva. Exemplo 3 Pretendemos calcular o valor do integral curvilíneo cos z/zdz, onde éumacurva de Jordan contendo a origem no seu interior. A função f(z) cosz é inteira. Pela fórmula integral de Cauchy, tomando z,temos cos z dz πi f() πi, z já que f(). Recorrendo à fórmula integral de Cauchy podemos, ainda, obter uma fórmula para a derivada f (z ). Teorema 8 Fórmula integral de Cauchy para a primeira derivada Seja f uma função analítica no interior e sobre uma curva de Jordan orientadanosentidopositivo. Sez éum pontoqualquernointeriorde, então f (z ) f(z) πi (z z ) dz. Podemos agora enunciar o resultado que afirma que uma função analítica é infinitamente diferenciável, possui derivadas de todas as ordens. Este resultado fornece ainda uma fórmula para as derivadas de todas as ordens. A sua demonstração usa o método de indução matemática.

69 68 CAPÍTULO 3. NTEGRAÇÃO NO PLANO COMPLEXO Teorema 9 Fórmula integral de Cauchy para derivadas de qualquer ordem Seja f uma função analítica no interior e sobre uma curva de Jordan orientada no sentido positivo. Se z é um ponto qualquer no interior de, então f (n) (z ) n! f(z) πi n+ dz. (z z ) Exemplo 4 Pretendemos calcular o valor do integral curvilíneo z e z / (z ) 4 dz. Para tal, consideremos a função inteira f(z) e z que verifica f (n) (z) e z.opontoz está no interior da circinferência definida por z. É então possível aplicar a fórmula integral de Cauchy para aderivadadeordemn 3,obtendo-se e z πi 4 dz f (3) () πe (z ) 3! 3 i, já que f (3) () e. z Exercícios resolvidos. Calcule o valor do integral curvilíneo H (ez + z) / (z ) dz, onde (a) é uma parametrização da circunferência de centro na origem e de raio ; (b) é uma parametrização da circunferência de centro na origem e de raio 3.. Calcule o valor dos seguintes integrais curvilíneos (a) H [sin (3z)] / (z + π/) dz; z 5 (b) H z i / z +4 dz; (c) H z [log (z +3)]/ z z +9 dz. 3. Seja f(x+iy) y 3 x 3 +3xy 3x y +i x 3 + y 3 3xy 3x y.calcule f(z)/z dz. z 4. Seja f uma função analítica sobre e no interior de uma curva de Jordan parametrizada por. Sez éumpontoquenãoestásobreacurva,mostreque f (z) f(z) dz z z (z z ) dz.

70 3.4. APLCAÇÕES DO TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT 69 Propostas de resolução. Consideremos a função f(z) e z + z que é analítica em todo o plano complexo. (a) Embora f seja analítica no interior e sobre a circunferência com centro na origem e raio, não é possível aplicar a fórmula integral de Cauchy visto que z não é um ponto interior a esta circunferência. Consideremos então a função g(z) (e z + z) / (z ) que écontínuaemc \{}. Atendendo a que é possível considerar uma região simplesmente conexa que contenha esta circunferência (que é uma curva de Jordan) e onde g seja contínua temos, pelo teorema 4, e z + z dz. z (b) A função f é analítica no interior e sobre a circunferência com centro na origem e raio 3 (que consideramos orientada no sentido positivo). Tomando z que é um ponto no interior de temos, pela fórmula integral de Cauchy, e z + z z dz πi f() π e + i, já que f() e +.. Qualquer das curvas z 5, z i e z são curvas de Jordan. Para o que segue vamos considerar estas circunferências orientadas no sentido positivo. (a) Consideremos a função f(z) sin(3z) que é analítica no interior e sobre a circunferência comcentronaorigemeraio5. Tomando z π/ queéumpontonointeriordesta circunferência temos, pela fórmula integral de Cauchy, sin (3z) z 5 z + π dz πi f( π µ )πi sin 3π πi. (b) Temos z +4 [(z +i)(z i)] (z +i) (z i). Consideremos a função f(z) / (z +i), de domínio CÂ { i}, que é analítica no interior e sobre a circunferência de centro i ederaio. Tomando z i queéumpontonointeriordesta circunferência temos, pela fórmula integral de Cauchy para a primeira derivada, z i (z +4) dz z i já que f (i) ( ) (i +i) 8i. (z +i) (z i) dz πi f (i) 6π,

71 7 CAPÍTULO 3. NTEGRAÇÃO NO PLANO COMPLEXO (c) Consideremos a função f(z) [log(z +3)]/ z +9, de domínio CÂ { 3i, 3i, 3}, queé analítica no interior e sobre a circunferência de centro na origem e de raio. Tomando z que é um ponto no interior desta circunferência temos, pela fórmula integral de Cauchy, log (z +3) z z (z +9) dz z já que f() [log 3] /9. log (z +3) z +9 dz πi f() π log 3 z 9 i, 3. A função f(z) u(x, y) +iv(x, y) com u(x, y) y 3 x 3 +3xy 3x y e v(x, y) x 3 + y 3 3xy 3x y é analítica em todo o plano complexo visto que se verificam as condições de Cauchy-Riemann, u x (x, y) 3x +3y 6xy v (x, y) y e u y (x, y) 3y +6xy 3x 3x 3y 6xy v (x, y). x Em particular, f é analítica no interior e sobre a circunferência de centro na origem e de raio. Tomando z que é um ponto no interior desta circunferência temos, pela fórmula integral de Cauchy para a primeira derivada, f(z) z dz πi f () z já que f () u v (, ) + i (, ). x x 4. Suponhamos que z éumpontoqueestánointeriordacurvadejordan. Sef uma função analítica sobre e no interior da curva de Jordan parametrizada por temos f(z) (z z ) dz πi f (z ) e, f éinfinitamente diferenciável. Sendo f analítica sobre e no interior da curva de Jordan parametrizada por, também f (z) dz πif (z ), z z conforme o pretendido. Se z éumpontoqueestánoexteriordacurvadejordan(t) x(t)+iy(y), coma t b, então f(z) b (z z ) dz f((t)) b f ((t)) a ((t) z ) (t)dz a ((t) z ) dz b f ((t)) f (z) dz (???) dz (t) z (t) z z z a

72 3.4. APLCAÇÕES DO TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT 7 Teorema Teorema de Morera Seja f uma função contínua numa região simplesmente conexa D tal que R f, para qualquer curva de Jordan contida em D. Então f éanalítica em D. Notemos que o teorema de Morera é o recíprocodoteoremadecauchy-goursat. Exercícios propostos. Calcule H f(z)dz onde éacurvadefinida por z e f cada uma das seguintes funções: (a) f(z) [sin z] / z 5 z +9 ; (b) f(z) tanz; (c) f(z) e z / (z +3) 3z; (d) f(z) z +/ (z 4).. Calcule H f(z)dz onde f(z) z + z + z (a) definida por z /; (b) definida por z 3i ; (c) definida por z. e é cada uma das seguintes curvas: 3. Determine o valor do integral curvilíneo H (z ) / [z (z i)(z 3i)] dz. 4. Determine o valor de cada um dos seguintes integrais: (a) R πi cosh zdz; πi (b) R 4i 4i /z dz; (c) R i i/ (z +) dz. 5. Calcule H zdzonde (t) t3 + t 4 4t 3 + i, t. 6. Mostre que H /z dz πi onde é o contorno do paralelogramo de vértices z i, z, z i e z. 7. Mostre que H zdz i onde é uma curva com ponto inicial z epontofinal z.

73 7 CAPÍTULO 3. NTEGRAÇÃO NO PLANO COMPLEXO Soluções. (a) (b) (c) 6πi (d). (a) πi (b) (c) 4πi 3. π πi 4. (a) (b) i/ (c) 7/6 /3i i 3.5 ntegração 3.5. Exercícios resolvidos. Considere a circunferência decentronaorigemeraio. Calcule o valor do integral H f(z)dz para f(z) /z.. Calcule, pela definição, o valor do integral R (a) z e iθ, θ π; (b) z e iθ, π θ π; (c) z e iθ, θ π. z + dz, onde é parametrizada por: z 3. Seja a circunferência de raio centrada na origem e percorrida uma vez no sentifo positivo. Usando o teorema de Cauchy e as fórmulas integrais de Cauchy, calcule o valor de cada um dos seguintes integrais: (a) R dz;

74 3.5. NTEGRAÇÃO 73 e z (b) R z dz; (c) R cos z (z i) 7 dz; (d) R sin z (z i) 6 dz Propostas de resolução. Uma parametrização para a circunferência de centro na origem e raio pode ser definida por (t) cost + isint e it para t [, π]. Para vector tangente em cada ponto temos (t) sint + icost. Trata-sedeumacurvasuave,poisx(t) cost e y(t) sint são funções contínuas com derivadas contínuas para todo o t π e a função f está definida e é contínua em todos os pontos da curva (f tem por domínio C \{} mas a origem não pertence à curva). Não é necessário considerar uma partição e temos, então, π f(z)dz f( cos t + isint)( sint + icost) dt π π π π ( sint + icost) dt cost + isint cost isint 4cos t +4sin ( sint + icost) dt t 4cost sin t +4i cos t + i4sin t +4sint cos t dt 4 4i 4 dt i π dt πi. Em alternativa, pode-se usar (t) e it tendo-se então (t) ie it. O integral pedido é dado por π f(z)dz f e it ie it dt π e it ieit dt π idt i π dt πi.. (a) Para a parametrização z (θ) e iθ da semicircunferência tem-se z (θ) ie iθ. Portanto, pela definição de integral, temos µ z + dz + π µ dz + z z e iθ ie iθ dθ π ie iθ +i dθ e iθ π +πi 4+πi.

75 74 CAPÍTULO 3. NTEGRAÇÃO NO PLANO COMPLEXO (b) Analogamente z + dz z π π µ + dz z π ie iθ +i dθ e iθ π π µ + e iθ ie iθ dθ π +πi 4+πi. (c) Pela aditividade do integral em relação ao caminho de integração, este integral de linha é a soma dos integrais das alíneas anteriores, z + dz ( 4+πi)+(4+πi) 4πi. z 3. (a) A função constante f(z) é analítica em C, que é uma região simplesmente conexa. Portanto, pelo teorema de Cauchy, o integral de f(z) ao longo de qualquer caminho fechado em C é. Emparticular, dz. (b) A função f(z) e z é analítica em C e é um caminho fechado simples contendo a origem e orientado no sentido positivo. Portanto, pela fórmula de Cauchy, e z z dz f(z) dz πif() πi. z (c) A função cos z (z i) 7 é analítica em C \{i}. Como i nãopertenceaointeriordocontorno, a função é analítica numa região que contem o interior do contorno. Portanto, pelo teorema de Cauchy, cos z (z i) 7 dz f(z)dz. (d) Pode-se escrever o integral na forma sin z (z i) 6 dz sin z 6 z i 6 dz. Aplicando a fórmula integral de Cauchy para a derivada de ordem 5 de uma função analítica à função f(z) sinz que é analítica em C (e, portanto, numa região que contém o interior do caminho ), tem-se sin z (z i) 6 dz µ πi i 6 5! f (5) πi µ i 5 cos πi e + e 8 5 ( + e) πi 9 5 e.

76 Capítulo 4 Representação em série de funções analíticas Consideremos o desenvolvimento em série de Taylor para uma função real de variável real f em torno de um ponto a D f, X f (n) (a) (x a) n f(a)+f (a)(x a)+ n! f (a)(x a) +. n Estabelecer este desenvolvimento pode conduzir a algumas dificuldades. Por um lado, podem não existir as derivadas de todas as ordens. É o caso da função ½ x se x f(x) x se x em que temos f (x) x e, como tal, não existe f (). Por outro lado, as derivadas de todas as ordens podem existir mas a série de Taylor não convergir para a função f. Por exemplo, é possível mostrar por indução matemática que a função ½ exp /x se x 6 f(x) se x. tem derivadas de qualquer ordem na origem e que f (k) (), paratodok N. Como tal, a série detayloremtornodaorigeméasérienula,enquantoqueafunçãonãovalezeroemnenhuma vizinhança de a. No caso de funções complexas de variável complexa, a situação é um pouco mais simples quando falamos de funções f analíticas. Se uma função f é analítica num ponto z,afórmula integral de Cauchy para derivadas garante que f tem derivadas de todas as ordens nesse ponto. Como consequência, veremos que uma série de potências de (z z ) designada por série de Taylor converge para f. Por outro lado, mesmo no caso de f não ser analítica num ponto z, há situações em que é possível obter um outro tipo de desenvolvimento em série através das chamadas séries de Laurent. 75

77 76 CAPÍTULO 4. REPRESENTAÇÃO EM SÉRE DE FUNÇÕES ANALÍTCAS 4. Séries de Taylor e de Laurent Teorema Teorema de Taylor Se f é uma função analítica no disco D(z,R){z : z z <R}, com <R,entãof pode ser representada por uma série de potências que converge para f(z), asaber, X f(z) f (n) (z ) (z z ) n,paratodooz D(z,R). n! n Asériedefinida no teorema anterior designa-se por série de Taylor de f em torno de z (ou sériedetaylordef com centro z )eoscoeficientes a n /n!f (n) (z ) designamse por coeficientes de Taylor de f no ponto z. Este desenvolvimento é único, isto é, se P b n (z z ) n P f (n) (z )(z z ) n /n!, tem-se necessariamente b n /n!f (n) (z ). Quando n n z, a série é designada por sériedemaclaurin da função f. O resto de ordem n da série de Taylor de f em torno do z édadopelaexpressão R n (z) (z z ) n+ f(ζ) πi (ζ z ) n+ (ζ z) dζ. Para além de sabermos que uma função analítica tem derivadas de todas as ordens, verificamos agora que elas podem sempre ser representadas por uma série de potências. Esta propriedade não é, em geral, verdadeira no cálculo real. Existem funções reais de variável real que têm derivadas de todas as ordens mas que não podem ser representadas por uma série de potências. É o caso da função definida por f(x) exp /x para x 6 e f(). Exemplo Seja f(z) expz. A função f éinteiraef (n) (z) expz, paratodoon N. Temos então f (n) (), paratodoon N, logoasériedetaylordef em torno de z é dada por exp z +z + z! + X z n,paratodooz C. n! n Notemos que esta série é a obtida do desenvolvimento em série da função real e x substituindo x por z. Exemplo Seja f(z) /( z). Afunçãof éanalíticae f (n) n! (z) ( z) n+, logo f (n) () n!. Como tal, obtemos a série de Taylor z +z + z + X z n, n Em homenagem ao matemático escocês Colin MacLaurin ( ).

78 4.. SÉRES DE TAYLOR E DE LAURENT 77 para z <. As séries de Taylor são obviamente séries de potências. (demonstrado no exercício ). O recíproco também é verdadeiro Proposição 7 Uma série de potências com raio de convergência não-nulo é a série de Taylor da sua função soma. Para funções como /z ou e z /z oteoremadetaylornãoseaplicaemz, tratando-se de funções não analíticas na origem. Para estas funções existe uma outra expansão, a chamada expansão de Laurent, que recorre a potências inversas de z z em vez de potências de z z. Esta expansão é de grande importância no estudo dos pontos onde uma função não é analítica (designados por singularidades ou pontos singulares) e para obter o teorema dos resíduos, um outro resultado fundamental da análise complexa que será apresentado no próximo capítulo. Teorema Teorema de Laurent Seja f uma função analítica na coroa circular C(z,r,R) {z C :<r< z z <R}, comr e R>r.Então X X f(z) a n (z z ) n b n + (z z ) n, n onde os coeficientes são dados por a n f(ζ) πi n+ dζ, n,,,... (ζ z ) e b n f(ζ)(ζ z ) n dζ, n,,... πi Exemplo 5 Consideremos a função f(z). A função é analítica em C(,, ). Pretendemos determinar a série de Laurent de f nesta região. Temos z (z ) f(z) z (z ) z + z P e sabemos que /( z) z n para z <. Podemos então concluir que n f(z) z z z z z z 3 em C(,, ). Relativamente à região C(,, ), podemos colocar a mesma questão. Temos z z n z

79 78 CAPÍTULO 4. REPRESENTAÇÃO EM SÉRE DE FUNÇÕES ANALÍTCAS e, dado que /z <, Como tal, para z >. z z X n µ n z X n µ n+ z f(z) z + z z + X µ n z n X n X n µ n. z µ n z Exercícios resolvidos. Mostre que uma série de potências com raio de convergência não-nulo é a série de Taylor da sua função soma.. Desenvolva a função f(z) / (z ) (z 3) em série de Laurent para < z < e para < z < 3 Propostas de resolução. Consideremos a série de potências X f(z) a n (z z ) n a + a (z z )+a (z z ) +. n Temos f(z )a. Pela proposição 68 temos f (z) a +a (z z )+3a 3 (z z ) +, donde f (z) a, f (z) a +3 a 3 (z z )+, donde f (z)!a,eemgeral,f (n) (z )n!a n.destemodo,oscoeficientes a n são os que definemasériedetaylordef em torno de z, a n n! f (n) (z ).. Necessitamos exprimir z 3 em termos de z. Se pretendermos atender a que /( z) P z n para z <, escrevemos n f(z) (z ) (z 3) (z ) z 3 (z ) +(z ) (z ) z.

80 4.. SÉRES DE TAYLOR E DE LAURENT 79 Temos, para (z )/ <, f(z) (z ) z (z ) X µ n z, n ou seja, f(z) (z ) 4(z ) 8 (z ) 6 3 (z ) para < z <. Para obter potências de z 3, escrevemosz +(z 3) e, com vista à série binomial, temos f(z) (z ) (z 3) [ + (z 3)] z 3 [ + (z 3)] 4(z 3) z 3 + z 3. Para (z 3)/ <, f(z) " + 4(z 3)! µ z 3 ( ) ( 3) +! µ z 3 + ( ) ( 3) ( 4) 3! µ 3 z 3 + #, ou seja, f(z) 4(z 3) (z 3) 8 (z 3) + para < z 3 <.

81 8 CAPÍTULO 4. REPRESENTAÇÃO EM SÉRE DE FUNÇÕES ANALÍTCAS

82 Capítulo 5 Resíduos e polos Este capítulo tem como resultado principal o teorema dos resíduos que afirma que o valor do integral de uma função analítica f ao longo de uma curva fechada e simples é igual a πi vezes o somatório dos resíduos de f no interior dessa curva. Este teorema é muito útil para o cálculo de integrais. 5. Resíduos Definição 9 Seja f uma função complexa de variável complexa. Diz-se que z éumponto singular de f (ou que f tem no ponto z uma singularidade) sef não é analítica em z (podendo existir em qualquer vizinhança de z pontos onde a função é analítica). Se existe uma vizinhança de z onde f é analítica, excepto no ponto z,entãoopontosingularz diz-se um ponto singular isolado (ou uma singularidade isolada). Exemplo 3 Afunçãof(z) / z(z +4) tem pontos singulares isolados em z, z i e z i. Exemplo 4 Se f(z) logz, todos os pontos do eixo real negativo, incluindo a origem, são pontos singularesmasnãoexistempontossingularesisolados. Seja z um ponto singular isolado de uma função f. Então, existe uma série de Laurent que representa f, f(z) + X k c k (z z ) k + X k + X c k (z z ) k c k + (z z ) k + c (z z ) + c + c + c (z z )+c (z z ) +, z z válidaparaumavizinhançadefinida por < z z <R. Ostermosdasériequeenvolvem potências de z z de expoente negativo, P + k c k/(z z ) k P + k c k(z z ) k,constituem 8 k

83 8 CAPÍTULO 5. RESÍDUOS E POLOS a parte principal de f em z.ocoeficiente c da potência (z z ) designa-se por resíduo de f em z e denota-se por Res(f,z ). Exemplo 5 Dado que z z X µ n z z z z 3, temos Res(/ ( z), ). Exemplo 6 Dado que n (z ) (z 3) (z ) 4(z ) 8 6 (z ) 3 (z ), temos Res / (z ) (z 3), /4. Atendendoaque (z ) (z 3) 4(z 3) (z 3) 8 (z 3) +, Res / (z ) (z 3), 3 /4. Podemos questionar o porquê de atribuir um nome específico ao coeficiente c? Note-se que, dada uma curva de Jordan orientada positivamente no disco < z z <Requecontenhao ponto z no seu interior, temos (5.) c f(z)dz. πi Este facto facilita o cálculo de muitos integrais em variável complexa. Exemplo 6 Pretendemos calcular o valor do integral R exp (/z) dz, onde é a circunferência definida por z com orientação positiva. A função integranda tem um ponto isolado em z. Sabemos que o valor deste integral é πi vezes o resíduo de exp (/z) em z. Recordando que a série de Laurent de exp z em torno do ponto z é dada por para todo o z, temos X j j! zj exp z X j! z j + z +! z +... j Como tal, o resíduo de f em z tem o valor, ouseja,res(f,). Temos então exp πi z dz donde se conclui que R exp(/z)dz πi.

84 5.. RESÍDUOS 83 Suponhamos agora que f é uma função analítica em todos os pontos, excepto num número finito de pontos singulares isolados z,z,..., z n,eque é uma curva simples e fechada (orientada positivamente) contendo no interior os pontos z k, k,...n. Para cada k,...n, consideremos uma circunferência k centrada em z k,contidaem e não contendo outros pontos singulares para além de z k. Então, aplicando o teorema de Cauchy-Goursat para regiões multiplamente conexas e (7), obtemos f(z)dz f(z)dz + f(z)dz f(z)dz n πires(f,z )+πires(f,z )+... +πires(f,z n ) nx πi Res(f,z k ). k Podemos então enunciar o seguinte teorema. Teorema 3 Teorema dos resíduos Seja D uma região simplesmente conexa e uma curva de Jordan orientada positivamente contida em D. Sef é uma função analítica em enoseu interior excepto num número finito de pontos singulares isolados z,z,..., z n do seu interior de, então nx f(z)dz πi Res(f,z k ). Exemplo 7 Pretendemos determinar o valor do integral f(z)dz (z ) (z 3) dz onde é o contorno do rectângulo definido por x, x 4, y e y.temos (z ) dz πi [Res (f,) + Res (f,3)] πi (z 3) De facto, os pontos singulares isolados z e z 3estão contidos no interior de. Noentanto, para a circunferência definida por z,temos µ (z ) dz πires (f,) πi π (z 3) 4 i, já que o ponto singular isolado z 3não está contido no interior da circunferência de centro eraio. Exercícios k. Calcule o valor dos seguintes integrais, onde é a circunferência orientada positivamente definida por z :

85 84 CAPÍTULO 5. RESÍDUOS E POLOS (a) H exp z dz; (b) H cos z dz; (c) H z sin z dz. 5. Polos e outras singularidades Seja z ponto singular isolado de uma função complexa f. SeasériedeLaurentdef em torno de z inclui um número finito de termos envolvendo potências negativas de z z,opontoz édesignado por polo. Significa que a parte principal de f em z é constituída por um número finito de termos não nulos. Neste caso, existe um número inteiro n tal que c n éoprimeirocoeficiente não-nulo da parte principal de f em z. O número n N diz-se a ordem do polo. Um polo de ordem também se designa por polo simples. Se não existem na série de Laurent termos envolvendo potências negativas de z z, o ponto singular isolado z diz-se uma singularidade removível. Trata-se do caso em que a parte principal de f em z é nula, ou seja, todos os coeficientes c n (n N) são nulos. Se a série de Laurent de f em torno de z inclui um número infinito de termos envolvendo potências negativas de z z,opontoz é designado por singularidade essencial. Uma singularidade essencial é portanto um ponto singular isolado que não é polo nem singularidade removível. Verificamos assim que os pontos singulares isolados são classificados conforme a sua parte principal contenha um número finito de termos, um número infinito de termos ou nenhum termo. Exemplo 7 Consideremos a função cuja série de Laurent é dada por f(z) f(z) (z ) (z 3) (z ) (z 3) (z ) 4(z ) 8 (z ) 6 para < z <. Dado que c / 6 (sendo c n para n 3, 4, 5,...), z éum polo de ordem. Exemplo 8 Dado que f(z) sin z z z z 3! + z3 5! para z 6, concluímos que z é um polo simples de f.

86 5.. POLOS E OUTRAS SNGULARDADES 85 Exemplo 9 Se f(z) (sinz) /z então z é uma singularidade removível. De facto, temos f(z) z sin z µz z3 z 3! + z5 5! z7 7! z 3! + z4 5! z6 7! +. Exemplo 3 Dado que exp z P n zn /n! para z 6,asériedeLaurentdef(z) exp3/z em z édadapor exp 3 z X n n! µ n z z + 3!z !z !z 4 + para z 6. Como tal, z é uma singularidade essencial. Verificámos na secção 7. que o teorema dos resíduos é uma boa ferramenta para o cálculo de integrais. Dado que escrever a série de Laurent em cada ponto singular pode ser trabalhoso, é conveniente encontrar técnicas que facilitem o cálculo de resíduos. Vejamos que, em casos especiais mas muito frequentes, os resíduos são de fácil determinação. De facto, para z um polo de qualquer ordem, é fácil determinar Res(f,z ). CASO Suponhamos que z éumpolodef em z de ordem n. Temos c n (5.) f(z) (z z ) n + c n+ (z z ) n + + c + c + c (z z )+ z z para < z z <R. Multiplicando ambos os membros de (8) por (z z ) n,obtemos (z z ) n f(z) c n + c n+ (z z )+ + c (z z ) n + c (z z ) n + c (z z ) n+ +, a série de Taylor de φ(z) (z z ) n f(z). Pretendemos o coeficiente c de (z z ) n que, dada adefinição de série de Taylor, sabemos ser dado por φ (n ) (z )/(n )!. Temos então c Res(f,z ) φ(n ) (z ). (n )! Em alternativa, podemos ainda considerar sucessivas derivações (até á ordem n ), [(z z ) n f(z)] (n ) (n )!c + n!c (z z )+(n +)!c (z z ) +, donde se conclui que ou seja, lim z z [(z z ) n f(z)] (n ) (n )!c c lim [(z z ) n f(z)] (n ). (n )! z z

87 86 CAPÍTULO 5. RESÍDUOS E POLOS Designando (z z ) n f(z) por φ(z) podemos então escrever Res(f,z ) lim φ (n ) (z) (n )! z z (n )! φ(n ) (z ) φ(n ) (z ). (n )! Exemplo 8 Calculemos os resíduos de f(z) (expz) /z z +. A função tem pontos singulares em z, z i e z i. Paraocálculodoresíduodef em z consideremos que é um polo de ordem e, como tal, seja O resíduo é dado pela expressão φ(z) (z ) e z z (z +) ez z +. " Res(f,) φ () z + # e z ze z! (z +). z Para o cálculo do resíduo de f em z i consideremos que é um polo simples e, como tal, seja O resíduo é dado pela expressão φ(z) (z i) Res(f,i) φ(i)! e z z (z +) e z z (z + i). e z z (z + i) zi ei i. De forma análoga, verificamos que Res(f, i) e i i. integral Se pretendermos determinar o valor do e z z (z +) dz, onde é uma curva de Jordan contendo z i e z i (mas não contendo z ), podemos utilizar o teorema dos resíduos, e z z (z dz πi +) µ e i i + e i i πi sin. CASO Suponhamos que a função f(z) se pode escrver como um quociente de funções f(z) p(z) q(z)

88 5.. POLOS E OUTRAS SNGULARDADES 87 onde p e q são funções analíticas em z z,comp(z ) 6, q(z )e q (z ) 6. O ponto singular z é um polo simples de f e podemos escrever f(z) p(z) q(z) p(z )+p (z )(z z )+. q (z )(z z )+ q (z ) (z z ) + Considerando φ(z) (z z )f(z), temos Mas então, φ(z) p(z )+p (z )(z z )+.... q (z )+ q (z ) (z z )+... Res(f,z )φ (z ) p(z ) q (z ). Exemplo 9 Consideremos ocontornodorectângulodeladosdefinido por x ±, y π e y 3π e f afunçãodefinida por f(z) cos z exp z. Pretendemos calcular o valor do integral f(z)dz. Ospontossingularesdafunçãointegrandaf sãoassoluçõesdaequaçãoexp z, ou seja, os pontos z kπi, parak. Os pontos singulares isolados no interior de são z e z πi. Então, pelo teorema dos resíduos, cos z e z dz πi [Res(f,) + Res(f,πi)]. Notemos que f(z) p(z) q(z) cos z e z,ondep e q são funções analíticas em ambos os pontos e πi. Temos ainda p() 6,p(πi) 6, q() q(πi) e q () e 6, q (πi) e πi 6. Como tal, Res(f,) p() q () cos e e Res(f,πi) p(πi) cos πi q(πi) e πi e π + e π. Portanto, cos z e z dz πi µ+ e π + e π. Exercícios resolvidos. Mostre que f(z) (sinz) /z 3 temumpolodeordememz.. Determine os resíduos da função f(z) / z Determine o valor do integral H tan zdz, onde é a circunferência definida por z com orientação positiva.

89 88 CAPÍTULO 5. RESÍDUOS E POLOS 4. Determine o valor do integral H (z +6)/ z +4 dz, onde é a circunferência orientada positivamente definida por z i. 5. Determine o valor do integral H exp z/ z 4 +5z 3 dz, onde é a circunferência definida por z com orientação positiva. 6. Determine o valor do integral H exp (3/z) dz, onde é a circunferência orientada positivamente definida por z. Propostas de resolução. Temos sin z z 3 z sin z z µ z z 3! + z4 5! z6 7! +. z 3! + z 5! z4 7! +.. Sejam z,z,z 3 e z 4 as raizes da equação z 4 +.Temos z exp πi 4, z exp 3πi 4, z 3 exp 5πi 4 e z 4 exp 7πi 4. Condiderando f como quociente de funções analíticas p(z) e q(z) z 4 +,obtemos Res (f,z ) 4z 3 zz 4z 3 µ 4 exp 3πi i, Res (f,z ) 4z 3 zz 4z 3 µ 4 exp 9πi i, Res (f,z 3 ) 4z 3 zz 3 4z3 3 µ 4 exp 5πi i, Res (f,z 4 ) 4z 3 zz 4 4z4 3 µ 4 exp πi i. 3. Dado que f(z) tanz sinz/ cos z e (5.3) cos z z (n +)π para n, temos h ³ tan zdzπi Res f, π ³ + Res f, π i πi [ ] 4πi atendendo a que z π/ e z π/ são os únicos complexos de (9) que pertencem ao interior de. Dadoque(cos z) sin z, temos ³ Res f, π ³ sin π ³ sin π e Res ³ f, π sin π sin π, donde concluímos que tan zdzπi [ ] 4πi.

90 5.. POLOS E OUTRAS SNGULARDADES Exercícios resolvidos. Seja f(z) z k e /z,comk inteiro positivo. (a) Calcule a série de Laurent de f(z) para z próximo de. validade desse desenvolvimento em série? Qual é a maior região de (b) Calcule o resíduo Res f(z) z. (c) Calcule os possíveis valores de f(z)dz ao longo de curvas de Jordan seccionalmente regulares não intersectando a origem. (d) Calcule f(z) z (z ) dz, com a curva orientada no sentido directo.. Seja g(z) uma função analítica em C tal que g() 6. Seja f(z) z m g(z), comm inteiro positivo. Mostre que f (z) dz m, πi z f(z) se a curva for percorrida no sentido directo. 3. Considere a função real de variável real f(x) 5+4cosx. (a) Calcule, utilizando o teorema dos resíduos, o valor dos integrais n π (b) Deduza, da alínea anterior, o valor dos integrais a n π π π π cos (nx) dx e b n f(x) π e inx dx, n,,,... f(x) π π sin (nx) dx, n,,,... f(x) (c) Diga, justificando, qual o valor da soma da série a + P n a n cos (nx) +b n sin (nx) para x [ π, π]. 4. Seja r> e {z C z r}. (a) Calcule, usando o teorema dos resíduos, o valor do integral z (z ) dz. (b) Obtenha o resultado da alínea anterior usando o teorema de Cauchy e majorando o módulo do integral para r grande.

91 9 CAPÍTULO 5. RESÍDUOS E POLOS (c) Prove que f(z) / (z ) não é a derivada de uma função analítica em C\{}. (d) Prove que g(z) z (z ) é a derivada de uma função analítica em C\ [, ]. 5. Seja f uma função inteira tal que f(z) c ( + r α ) se z r, onde c e α pertencem a R +. Oquepodeafirmar quanto a f? Sugestão: prove uma generalização do teorema de Liouville. 5.. Propostas de resolução. (a) Da série de potências e z P z n n n!,obtem-see z P z n n n!. Logo, z k e z X n z k n n! X j k z j (k + j)! zk + z k + zk + +! k! + X z j (k + j)!, j usando uma reindexação n j com j n k. Quanto à maior região de validade recorde-se que, para uma série de Laurent do tipo P n a n (z z ) n, é a maior coroa circular, r< z z <R, que não contém singularidades e que contém pontos onde a série é convergente. A função dada apenas possui uma singularidade, z. Portanto, a maior região de validade desta série de Laurent é a região definida por z >, ou seja, C \{}. (b) Por definição, Res f(z) z a, onde a éocoeficiente correspondente à potência z da série anterior. Como tal, Res f(z) z a (k +)!. Note-se que z é uma singularidade essencial da função z k e z e, como tal, não é um pólo. Assim, não é válida a aplicação da expressão para cálculo de resíduos de pólos de ordem n. (c) Seja a curva de Joprdan ao longo da qual o integral é calculado. Se pertence ao interior da curva, pelo teorema dos resíduos tem-se f(z)dz ±πires f(z) z ± πi (k +)!,

92 5.. POLOS E OUTRAS SNGULARDADES 9 em que o sinal + ou éusadose percorrida, respectivamente, no sentido positivo ou negativo. Se não pertence ao interior da curva, pelo teorema de Cauchy, tem-se f(z)dz. (d) Como o disco z / está contido numa região onde a função f(z) éanalítica, pode aplicar-se a fórmula integral de Cauchy para a primeira derivada, f(z) πi (z ) dz f (). z Dado que f (z) kz k z k e z,obtem-se f(z) (z ) dz πif () πi(k ) e. z. Seja f(z) z m g(z) com g(z) analítica, então f (z) mz m g(z)+z m g (z) e, portanto, para < z tem-se f (z) f(z) mzm g(z)+z m g (z) z m m g(z) z + g (z) g(z). Como g(z) 6,se z, afunçãog (z)/g(z) é analítica para z. Portanto, z éa única singularidade de f (z)/f(z) no disco z e é um pólo simples cujo resíduo facilmente se calcula, f µ (z) m Res lim z f(z) z z z + g (z) m. g(z) Pelo teorema dos resíduos, tem-se f (z) f (z) dz Res m. πi z f(z) f(z) z 3. (a) Seja acurva z parametrizada por z(x) e ix,parax [ π, π]. Então, π e inx π π f(x) dx e inx π e ix n π 5+4cosx dx π 5+(e ix + e ix ) dx z n dz 5+(z + z ) iz i z n z +5z + dz para n,,,... i z n z + dz (z +) " # i πires z n z + (z +) π n 3 ( )n π 3 n, z

93 9 CAPÍTULO 5. RESÍDUOS E POLOS (b) Uma vez que cos (nx) Re e inx e sin (nx) m e inx, imediatamente se conclui que a n π Re ( n) ( )n 3 n e b n π m ( n). (c) Os coeficientes a n para n,,,... e b n para n,,... são os coeficientes de Fourier da função periódica de período π, g(x) 5+4cosx. Como esta função é de classe C em R, pelo teorema de Fourier conclui-se que a soma da série é, para cada x R. 5+4cosx 4. (a) Tem-se Res lim z (z ) z z (z ), e Como tal z (z ) z Res z (z ) µ dz πi Res z z (z ) lim z z. z + Res z (z ) z. (b) O teorema de Cauchy afirma que os integrais de funções analíticas num domínio Ω, ao longo de caminhos homotópicos em Ω, são iguais. Como tal, o valor do integral não depende de r. Tem-se, atendendo a que z z para z >, z (z ) dz z ( z ) dz r (r ) dz πr r r e z (z ) dz quando r +. Logo, dz. z (z ) (c) Seja Ω um domínio em C e f : Ω C uma função contínua. Sabe-se que f éaderivada de uma função analítica se e só se o integral de f ao longo de qualquer contorno fechado em Ω for nulo. Ora, dz πi 6. z z Conclui-se que f(z) não é a derivada de uma função analítica em C\{}. z (d) Se C éumcontornodejordanfechadoemc\ [, ], descrito no sentido positivo, então C é homotópica à curva do enunciado (supondo também descrita no sentido positivo) ou C é homotópica a um ponto, pelo que z (z ) dz dz. z (z ) C

94 5.. POLOS E OUTRAS SNGULARDADES 93 Conclui-se que os integrais de g(z) ao longo de contornos fechados em z (z ) C\ [, ] são nulos. Como tal, g é a derivada de uma função analítica em C\ [, ]. 5. Designe-se por n a parte inteira de α, ou seja, o número natural tal que α <n α. Provemos que a derivada de ordem n + de f é identicamente nula. Seja a C e r>. Pela fórmula integral de Cauchy, f (n+) (n +)! f(z) (a) πi n+ dz. (z a) z a r Então f (n+) (a) (n +)! π (n +)! π (n +)! π (n +)! π z a r z a r z a r f(z) n+ dz z a c ( + z α ) n+ dz z a c [ + (r + a ) α ] r n+ dz c [ + (r + a ) α ] r n+ πr c (n +)! rα+ r n+ quando r +. Assim,f (n+) (a).comoa é arbitrário, f (n+). ntegrando n + vezes, conclui-se que f é um polinómio de grau menor ou igual a n.