MATEMATIKA I. Raúl Medina Galarza Oihana Aristondo Etxeberria EUSKARA ETA ELEANIZTASUNEKO ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA

Transcrição

1 MATEMATIKA I Raúl Medina Galarza Oihana Aristondo Etxeberria EUSKARA ETA ELEANIZTASUNEKO ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA Liburu honek UPV/EHUko Euskara eta Eleaniztasuneko Errektoreordetzaren diru laguntza jaso du

2 AURKIBIDEA: 1. GAIA. EGITURA ALJEBRAIKOAK Multzoak Multzoen arteko eragiketak Taldeak eta Gorputzak Ariketak GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK Definizioa eta propietateak..1.. Azpiespazio bektorialak Konbinaketa linealak Menpekotasun eta independentzia lineala Espazio bektorial baten oinarria eta dimentsioa Osatugabeko oinarriaren teorema Azpiespazioen arteko bildura, ebakidura eta baturak Batura zuzenak Bektore baten koordenatuak Ariketak. 5 i

3 . GAIA. MATRIZEAK ETA DETERMINANTEAK...1. Matrizearen definizioa Matrize motak.... Matrizeen arteko eragiketak Matrize karratu baten determinantea Matrize Iraulia. Propietateak Matrize karratu baten alderantzizkoa Matrize baten heina Matrize karratuen berreketak eta erroak Blokekako matrizeak Zenbaki konplexuen gainean definituriko matrizeak Matrize sakabanatuak Zenbakizko metodoak Oinarri aldaketako matrizea Matrizeen ariketak GAIA. EKUAZIO-SISTEMA LINEALAK Sarrera Rouche Frobenius-en teorema Cramer-en erregela Ekuazio-sistema linealen baliokidetasunak Ekuazio linealen sistema homogeneoak Ekuazio-sistema linealen ebazpenerako metodo orokorra Zenbakizko metodoen aplikazioa Ekuazio sistema linealen ariketak...85 ii

4 5.GAIA. APLIKAZIO LINEALAK Aplikazio linealaren definizioa Aplikazio motak Aplikazio lineal baten Irudia Aplikazio lineal baten Matrizea Aplikazio linealen arteko batura Aplikazio lineal baten eta eskalar baten arteko biderkadura Aplikazio linealen arteko biderkadura(konposaketa) Aplikazio lineal baten nukleoa Aplikazio linealen ariketak ENDOMORFISMO BATEN DIAGONALIZAZIOA Balio eta bektore propioak Balio eta bektore propioen kalkulua Autobalio baten anizkoiztasun aljebraikoa eta geometrikoa Endomorfismo diagonalgarriak Jordan-en Forma Kanonikoa Ariketak. 118 iii

5 BIBLIOGRAFIA TEORIA Euskaraz 1. Oinarrizko Aljebra. ZURUTUZA, I. Elhuyar. Gaztelaniaz. Algebra Lineal y Teoría de Matrices. BARBOLLA, R, y otros.. Algebra Lineal BURGOS, J. McGraw-Hill. Madrid, Curso de Algebra y Geometría. BURGOS, J. 5. Algebra Lineal y Geometría. GARCIA G., J. LOPEZ PELLICER, M. Marfil. Valencia. 6. Algebra Lineal y algunas de sus aplicaciones. GOLOVINA L. Y. Mir. Moscu, Algebra y Geometría Analítica. GRANERO, F. McGraw-Hill. Madrid, Ingelesez 8. Linear Algebra and its aplications. GRIFFEL, D.H. Ellis Horwood Ltd. Chichester, Applied Numerical Linear Algebra. HAGER, W. Prentice Hall., U.S.A., iv

6 PROBLEMAK Euskaraz 1. Aljebra lineala. Azterketarako Problema Ebatziak. BOnostia, Elkar Gastelaniaz. Problemas de Algebra Lineal y Geometría. BLANCO, F. y otros.. Problemas de Algebra Lineal. COLECCIO NR.A.E.C. 4. Problemas de Algebra Lineal. DIEGO, B. y otros. Demos. Madrid, Algebra Lineal. LANG, S. 6. Lecciones Básicas de Algebra Lineal. MALAINA, J.L. y otros. 7. Análisis Numérico. MERAYO GARCIA, F. NEVOT CUNA, A. Editorial Paraninfo, S.A. 8. Algebra Lineal Aplicada. NOBLE, B. DANIEL, J.W. Prentice Hall, México, Algebra Lineal. ROJO, J. 10. Algebra Matricial y Lineal (Teoría y 179 Problemas resueltos). SERIE SCHAUM 11. Matrices SERIE SCHAUM. 1. Algebra Lineal y sus Aplicaciones. STRENG, G. Addison Wesley Iberoamericana, Problemas de Algebra Lineal. TEBAR, F. Ingelesez 14. Numerical Methods for Mathematics, Science & Engineering. MATHEWS, J.H. v

7 vi

8 EGITURA ALJEBRAIKOAK Zenbaki Errealen Zuzen Erreala π x Zuzen Erreala π π x K.a.b.c + -Barne-konposizioko lege -Elkarkorra -Neutroa -Simetrikoa -Trukakorra Talde Abeldarra Zenbaki konplexuak ( C ) Errealak ( R ) Arrazionalak ( Q ) Irrazionalak ( I ) * -Barne-konposizioko lege -Elkarkorra -Neutroa Oso negatiboak ( -Z ) Osoak ( Z ) Zero Zenbaki naturalak ( N ) -Simetrikoa (e ezik) -Trukakorra Zenbaki lehenak ( P ) Konplexuak (C) Errealak (R) Arrazionalak (Q) Osoak (Z) Naturalak (N) Lehenak 1

9 1. GAIA. EGITURA ALJEBRAIKOAK 1.1. Multzoak Definizioa: Intuitiboki, multzo bat, ondo definituriko zerrenda edo bilduma bat da. Multzoa osatzen duten objektuei elementu deitzen zaie. Multzo bat definitzeko bi era daude: HEDADURAZ: Multzoko elementu guztiak zerrendatuz. Adibidea: A = { 1,,, 4, 5} EZAUPIDEZ: Multzoko elementuen propietateen bidez. Adibidea: A = { x / x bikoitia} p Q = / p Z eta q Z q Oharra: Multzoak izendatzeko letra larriak erabiltzen dira: A, B, C Elementuak adierazteko, aldiz, letra xeheak erabiltzen dira: x, y, a, b Barnekotasuna x elementua A multzoari dagokiola adierazteko, x A (x barne A) notazioa erabiltzen da. Alderantziz, x elementua A multzoari ez badagokio, orduan x A. Adibidea: 7 Q

10 Zenbatzaile unibertsala sinboloa multzo bateko elementu baten aurrean jarriz, propietate hau elementu guztiek (guztietarako) betetzen dutela adieraziko du. Existentzia sinboloa elementu baten aurrean jarriz, propietate hau elementuren batek (gutxienez batek) betetzen duela adieraziko da. Partekotasuna A eta B bi multzo izanik, B-ren elementu guztiak A-ren elementuak badira, B multzoa A-ren azpimultzoa dela esaten da, eta honela izendatu: B A (B parte A). Multzo hutsa: Elementu bat ere ez duena da, eta ikurraz adierazten da. ZENBAKI NATURALEN MULTZOA: Zenbaki naturalak zenbaki oso positiboak dira, eta N letraz adierazten dira: { } = { } N = x / x zenbaki oso positiboak 1,,, 4,... ZENBAKI OSOEN MULTZOA: Zenbaki osoak hauek dira: zenbaki naturalak, zeroa eta zenbaki natural negatiboak. Z letraz adierazten dira. Z = {...,,, 1, 0, 1,,,... } Oharra: Bi zenbaki osoren batura, kendura eta biderkadura beste zenbaki oso bat da. Zatidura, aldiz, ez da beti zenbaki oso bat izaten.

11 Adibideak: +5=7, non 7 zenbaki osoa baita ; *6=18, non 18 Z 10-5=5, non 5 zenbaki osoa baita; 7/=,, non, Z ZENBAKI ARRAZIONALEN MULTZOA: Zenbaki arrazionalak bi zenbaki osoren zatidura gisa idazten diren zenbakiak dira, eta Q letraren bitartez adierazten dira. p Q = / p Z eta q Z, q 0 q Oharra: Zenbaki osoak arrazionalak ere izango dira, q=1 eginez. Beraz, ZQ -ren azpimultzo bat izango da. Hau da, N Z Q ZENBAKI IRRAZIONALEN MULTZOA: Zenbaki irrazionalen multzoa arrazionalak ez diren zenbaki errealez osaturik dago, eta I bitartez adierazten da. Oharra: Zenbaki irrazionalen multzoa zenbaki arrazionalen multzo osagarri bat da. Adibidea: S= { 7, e=.718, π=.1416, 1 }. Orduan, S Q ' = I ZENBAKI ERREALEN MULTZOA: Zenbaki errealen propietate garrantzitsuenetariko bat zera da: marra zuzen batean puntuen bitartez adieraz daitezkeela. 4

12 Zenbaki errealen zuzen erreala 7 π x x π - 7 Oharra: Orain arte ikusitako multzo guztiak barnean ditu zenbaki errealen multzoak. N Z Q R eta Q' R ZENBAKI KONPLEXUEN MULTZOA: Zenbaki konplexuak forma hau duten zenbakiak dira: a ± bi, non a, b R eta i = 1 zenbaki irudikaria. Oharra: Zenbaki errealak zenbaki konplexuen barne egongo dira, b=0 ordezkatuz. R C. Zenbaki konplexuak ( C ) Errealak ( R ) Arrazionalak ( Q ) Irrazionalak ( Q' ) Osoak ( Z) Natural negatiboak (- N ) Zero Naturalak ( N ) 5

13 1.. Multzoen arteko eragiketak Bildura Izan bitez A eta B bi multzo. Bi multzo horien bildura beste multzo bat da. Multzo horretako elementuak A-ko elementuak edo B-ko elementuak izango dira. A B idatziko dugu. { / } A B = x x A edo x B Adibidea: A = { g, o, m, a} B = { g, a, t, o} A B = { g, o, a, m, t} Propietatea: A A B eta B A B Ebakidura Izan bitez A eta B bi multzo. Bi multzo horien ebakidura beste multzo bat da. Multzo horretako elementuak A-ko elementuak eta B-ko elementuak izango dira. A B idatziko dugu. { / } A B = x x A eta x B Adibidea: A = { g, o, m, a} B = { g, a, t, o} A B = { g, o, a} Propietateak: A B A eta A B B A B A B = A Definizioa: bi multzoen ebakidura multzo nulu bat bada ( A B ) disjuntuak direla esango dugu. =, A eta B 6

14 Diferentzia A-ren eta B-ren diferentzia beste multzo bat da. A-koak diren eta B-koak ez diren elementuek osatzen dute multzo hori. A B = { x A / x B} Multzo osagarriak Izan bedi A multzo bat, non A E. A-n ez dauden E-ko elementuek osaturiko multzoari E-rekiko A-ren osagarria deritzo. A' edo c A izendatuko dugu: { : eta } = c A x x E x A Bi multzoen arteko biderkadura kartesiarra: Izan bitez A eta B bi multzo. Orduan, A B biderkadura kartesiarra A eta B multzoetako pare ordenatuek sortzen duten elementuen multzoa da. A B= {(a,b) / a A, b B} ( Normalean A B B A ) Adibidea: Izan bitez A= { a, b, c, d } eta B= { l, m }. Orduan, A B= {(a,l), (a,m), (b,l), (b,m), (c,l), (c,m), (d,l), (d,m)} Konposizio-legeak: Konposizio-legea aplikazio bat da, A B biderkadura kartesiar batetik C multzo batera doana. Barne-konposizioko legeak: Barne-konposizioko lege bat aplikazio bat da, A A -tik A-ra doana. 7

15 Adibideak: N zenbaki naturalen arteko batuketa (+) Z zenbaki osoen arteko kendura (-) Q zenbaki arrazionalen arteko biderkadura Propietateak: Propietate hauek barne-konposizioko legeek bete ditzaketenak dira, baina ez dituzte nahitaez bete behar. 1. Elkarkorra Barne-konposizioko lege bat elkarkorra izango da, baldin eta hau betetzen bada: (a b) c = a (b c) a, b, c A. Trukakorra Barne-konposizioko lege bat trukakorra izango da, baldin eta hau betetzen bada: a b = b a a, b A. Elementu idenpotentea a A idenpotentea dela esango dugu, baldin hau betetzen bada: a*a = a. 4. Elementu neutroa e A elementu neutroa dela esango dugu, baldin eta hau betetzen bada: a e = a = e a a A 5. Elementu simetrikoa edo alderantzizko elementua dugu, baldin: Izan bedi a A elementu bat, orduan -1 a -1-1 a a = e = a a, non e elementu neutroa baita. A a-ren alderantzizkoa dela esango 8

16 6. barne-konposizioa, * barne-konposizioarekiko banakorra a (b*c) = (a b)*(a c) a, b, c A betetzen bada, *-rekiko banakorra dela esango dugu. Kanpo-konposizioko legeak: Kanpo-konposizioko lege bat A B -tik B-ra doan aplikazio bat da. α A, b B, orduan (α,b) bikoteari c B elementu bat dagokio, eta c=α b idazten da. Eskuarki, sinboloa erabiliko dugu, kanpo-konposizioko lege bat adierazteko. Adibidea: A =Z eta B= { ax +bx+c / a, b, c Z } Aplikazioa oso baten eta polinomio baten arteko biderkadura izango da. ( ) = ( ) ( ) ( ) α ax +bx+c αa x + αb x+ αc Argi dago biderkadura B multzoko elementu bat izango dela. Beraz, kanpokonposizioko lege bat da. 1.. Taldeak eta gorputzak Taldeak: Izan bitez A multzo bat eta * A-n definituriko barne-konposizioko lege bat. Orduan, A talde bat izango da, baldin: 1) * elkarkorra bada (a b) c = a (b c) a, b, c A ) elementu neutroa badu a e = a = e a a A ) A-ko elementu guztiek alderantzizkoa badute a A a A non a a = e = a a Oharra: Talde bat trukakorra bada, orduan talde abeldarra edo trukakorra dela esango dugu. 9

17 Gorputzak: Izan bitez K multzo bat eta + eta barne-konposioko bi lege. Orduan, ( K,+, ) hirukotea gorputza izango da, baldin: 1) ( K, + ) talde abeldarra ) ( K-{ e },) talde abeldarra ) + banakorra eragiketarekiko a (b+c) = (a b)+(a c) Adibideak: ( Q + ) ( R + ) ( C + ),,,,,,,, gorputzak dira 10

18 1.4. Ariketak Zenbakien multzoei buruzko galderak Esan problema hauek egia edo gezurra diren, eta arrazoitu erantzuna. a) 7 N ERANTZUNA b) Q ' c) 4 Z d) 9 C e) π Q f) 6 Q g) 7 R h) 1 Z i) 5 Q ' j) 1 R k) 8 N l) 9 ' 4 Q m) Z n) π R o) 4 R 11

19 E Bektoreen arteko biderkadura z E z = u + v v u u E u E u E u u u Eskalar baten eta bektore baten arteko biderkadura 1

20 . GAIA. BEKTORE-ESPAZIOAK.1. Definizioa eta propietateak Bektore-espazioak Definizioa: Izan bedi V multzo bat eta ( K,+, ) gorputz bat. Orduan, V K gainean bektore-espazioa edo V K bektore-espazioa da, baldintza hauek betetzen badira: i) V-n barne-konposizioko lege bat definiturik dago * eta (V,*) talde abeldarra da. ii) ( *: V V V ) V-n kanpo-konposizioko lege bat definiturik dago eta hurrengo : propietateak betetzen ditu ( : K V V ) 1) Eskalarren arteko baturarekiko banakortasuna ( ) α +α v = α v * α v 1 1 ) Bektoreen arteko baturarekiko banakortasuna ( ) ) Elkarkortasuna α v *v = α v * α v α (α v) = (α α ) v 1 1 4) K-ko elementu neutroa 1 v = v α, α, α K v, v, v V Oharrak: 1) V-ko elementuak bektoreak dira, eta honela adierazten dira: x, y, z ) V-ko barne-konposizioko legeari *, bektoreen arteko batura deritzo. Bektore neutroa bektore nulua da eta 0 adierazten da; eta x V bektorearen elementu simetrikoa x -ren aurkako bektorea deritzo, eta - x adierazten da. 1

21 ) K-ko elementuak eskalarrak dira, eta α, β, δ... letrez adierazten dira. + eta legeak eskalarren arteko batura eta biderkadura izango dira. Batura eta biderkadurarekiko elementu neutroak 0 eta 1 dira hurrenez hurren, eta baturarekiko α eskalar baten simetrikoa - α da. 4) Bektore-espazioaren adierazpena hau da: ( ) ( ) V,*, K, +,, 5) Gehienetan K gorputza R izango da, batura eta biderkadura nabariduna. R bektore-espazioa: i R multzoko + barne-konposizioko legea hau da: (x 1, x ) + (y 1, y ) = (x 1+y 1, x +y ) Talde abeldarra da. i R -ko R gaineko kanpo-konposizioko legea hai da: α (x, x ) = (α x, α x ) 1 1 ( ) ( ),+,, +,, R R bektore-espazioa da, propietate guztiak betetzen baititu. R bektore-espazioa: i R multzoko + barne-konposizioko legea hau da: (x 1, x, x ) + (y 1, y, y ) = (x 1+y 1, x +y, x +y ) Talde abeldarra da. i R -ko R gaineko kanpo-konposizioko legea hau da: α (x, x,x ) = (α x, α x, α x ) 1 1 ( ) ( ),+,, +,, R R bektore-espazioa da, propietate guztiak betetzen baititu. 14

22 n R bektore-espazioa: i n R multzoko + barne-konposizioko legea hau da: (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1+y 1,..., x n +y n ) Talde abeldarra da. i n R -ko R gaineko kanpo-konposizioko legea hau da: α (x,...,x ) = (α x,..., α x ) 1 n 1 n ( ) ( ) n,+,, +,, R R bektore-espazioa da, propietate guztiak betetzen baititu. Bektore-espazioen adibideak: 1) A(m,n) da m errenkada eta n zutabe dituzten matrize guztien multzoa. Eragiketak honako hauek dira: matrizeen arteko batuketa eta matrizeen eta K multzoko eskalar baten arteko biderketa, non K zenbaki errealak edo irudikariak baitira. ) P n (x) da n mailako polinomio guztien multzoa, non koefizienteak K gorputzekoak baitira. Eragiketak honako hauek dira: polinomioen arteko batuketa eta polinomio eta K =R -ko elementu baten arteko biderketa. ) K gorputzeko F(x) x-ren funtzio guztien multzoa. Eragiketak honako hauek dira: funtzioen arteko batuketa, eta funtzioen eta K =R multzoko eskalar baten arteko biderketa. Adibidea: R -n barne-konposizioko lege hau definitzen dugu: (x 1, x ) + (y 1, y ) = (x 1+y 1, x +y ) 15

23 R -ren (, +, ) R gaineko kanpo-konposizioko legea hau da: α (x, x ) = (α x, α x ) 1 1 Bektore-espazioa den ikusiko dugu. Lehenengo kanpo-konposizioko legearen propietateak ikusiko ditugu. 1.Eskalarren arteko baturarekiko banakortasuna: α, β R, x R α+ β (x,y ) = α (x,y ) + β (x,y ) bete behar da i ( ) ( β ) ( β ) ( β ) ( β + αβ ) ( β + αβ ) α+ (x,y ) = ( α+ x, α+ y ) = ( α + x, α + y ) ( ) ( ) α (x,y ) + β (x,y ) = ( α + β x, α + β y ) Lehenengo propietatea ez da betetzen; beraz, ez da bektore-espazioa. Bektore-espazioen propietateak: Izan bedi [ V,+, ] bektore-espazioa: 1) α ( x y) = α x α y α K eta x, y V ) ( α β ) x = α x β x α, β K eta x V ) α 0 = 0 α K 4) 0 x = 0 x V 5) α ( x) = ( α x) x V α K 6) α x = 0 baldin eta soilik baldin α = 0 edo x = 0 x V α K 7) α x = β x baldin eta soilik baldin α β x V 0 8) α x = α y baldin eta soilik baldin x = y = { } α K { 0} 16

24 .. Azpibektore-espazioak Definizioa: Izan bitez ( V,+, ) K gaineko bektore-espazioa eta F V-ren azpimultzo bat ( F V ). Orduan, F V-ren azpibektore-espazio bat izango da, ( F,+, ) K gainean bektore-espazioa bada. Teorema: Hauek dira F V-ren azpibektore-espazio bat izateko baldintza beharrezko eta nahikoak: x, y F x + y F α, β K eta x, y F biak batuz α K eta x F α x F α x + β y F Oharrak: 1. 0 bektore nulua V-ren azpibektore-espazio guztien barne dago.. V bektore-espazio guztiek azpiespazio hauek dituzte: 0 = { 0 } multzo nulua eta V espazio osoa... Konbinazio linealak 1,... n { x x } Izan bedi [ ] V,+, K bektore-espazioa. x V bektore bat beste n bektoreren konbinazio lineala dela esango dugu baldin: n α,..., 1 αn K existitzen badira, non: x = α1x αnx n = αix i i= 1 Proposizioa: x V, S={ x 1,..., x n} bektore-sistemako bektoreen konbinazio lineala bada eta x i bektore bakoitza G={ y 1,..., y m} bektore-sistemako bektoreen konbinazio lineala bada, orduan x G bektore-sistemako bektoreen konbinazioa lineala da. 17

25 Sistema sortzaileak Izan bedi V K gaineko bektore-espazio bat, eta har dezagun S={ x 1,..., x n} azpimultzo ez-nulu bat. V-ren S-ren konbinazio lineal guztien multzoa L(S) izendatuko dugu: L(S)=... /,..., { α x + + α x α α R } 1 1 n n 1 n V-ren azpibektore-espazioa da, eta S multzoa barne izango du. Oharra: S={ x 1,..., x n} multzoa L(S)-ren sistema sortzailea dela esango dugu..4. Menpekotasun eta independentzia lineala finitu bat. Izan bedi K gaineko V bektore-espazio baten P { x x } = 1,..., n bektoreen sistema Definizioa: x,..., 1 xn 1,..., n bektoreak linealki independenteak/askeak edo { x x } askea dela esango dugu, honako hau betetzen bada: α1x αnxn = 0 bada, orduan α1 =... = α n = 0 betetzen bada sistema Definizioa: x,..., 1 xn 1,..., n bektoreak linealki menpekoak edo { x x } esango dugu, honako hau betetzen bada: α1x αnxn = 0 bada, orduan α i 0 sistema lotua dela Ondorioak: a) Sistema aske bateko bektore guztiak bektore nuluaren desberdinak dira. b) Sistema lotu bati bektore berriak gehitzen badizkiogu, lorturiko sistema ere lotua izango da. c) Sistema aske bateko edozein azpimultzo sistema aske bat izango da. 18

26 .5. Bektore-espazio baten oinarria eta dimentsioa Izan bedi E K gorputzaren gainean definituriko bektore-espazio bat. Har dezagun V={ v 1,...,vn} E bektore-sistema bat. Definizioa: V sistema E bektore-espazioaren oinarri bat dela esango dugu, V E-ren sistema sortzaile aske bat bada, hau da, x E edozein bektore era bakar batean V-ren konbinazio lineal gisa adieraz badaiteke. x = α v α v v V 1 i n 1 1 n n i Oharrak: { v v } 1. 1,... n E-ren sistema sortzailea. v1,... vn linealki independenteak 1) [ E, +, ] K gaineko bektore-espazio finitu batean beti izango da gutxienez oinarri bat. ) Oinarri guztiek bektore kopuru bera izango dute. Bektore-espazio baten dimentsioa E K gaineko bektore-espazio baten dimentsioa bere edozein oinarritako bektore kopurua izango da. Eta dim(e) izendatuko dugu. Izan bedi S, [ E, +, ] K gaineko bektore-espazio baten azpibektore-espazioa, F = u1,..., un S eta har dezagun bektore-sistema bat: { } F S-ren oinarri bat izango da, F S-ren sistema sortzailea bada eta sistema askea bada. 19

27 .6. Osatugabeko oinarriaren teorema Demagun n dimentsioko E bektore-espazio batean { t,..., 1 t p} ( p n ) p bektore linealki independente ditugula. Orduan, { t p 1, t p,..., tn} { t1,..., t p, t p 1,..., tn} + E-ren oinarri bat baita. + + n-p bektore existitzen dira, non Oharra: S E-ren azpibektore-espazioa bada eta { t,..., 1 t p} S-ren oinarri bat bada, orduan { t,..., 1 t p} bektoreak dituen E-ren oinarri bat aurki dezakegu. Argi dago oinarri hau ez dela bakarra izango..7. Azpiespazioen arteko bildura, ebakidura eta baturak Izan bitez F 1 eta F E-ko bi azpibektore-espazio. Orduan, ebakidura eta batura honela definitzen dira: F F = x E x F x F { non edo } 1 1 F F = x E x F x F { non eta } 1 1 F + F = x + y E x F y F { non eta } 1 1 Oharra: F1 F eta F1 + F azpibektore-espazioak dira, baina F1 F azpibektoreespazioa izan daiteke edo ez. { } Adibidea: Izan bitez W = ( x, x, x ) / x + x = 0 eta ( ) {,, / 0} W = x x x x x = 1 azpibektore-espazioak. Kalkulatu: W1 W eta W1 + W. W1 W azpibektore-espazioa da? 0

28 Ebazpena: W 1 -en oinarria ( x, x, x ) = ( x, x, x ) = x ( 1, 1,0 ) + x ( 0,0,1) B W1 = ( 1, 1,0 ),( 0,0,1) { } W -ren oinarria ( x, x, x ) = ( x, x, x ) = x ( 1,0,0 ) + x ( 0,1,1) B W = ( 1,0,0 ),( 0,1,1) { } W + W -ren oinarria 1 x W + W / x = u + v non u W eta v W 1 1 u W 1 u W ( x, x, x ) = α ( 1, 1, 0) + α ( 0, 0,1) + α ( 1, 0, 0) + α ( 0,1,1) Beraz, W1 + W bektore-espazioaren sistema sortzailea {( 1, 1,0 ),( 0,0,1 ),( 1,0,0 ),( 0,1,1) } da. R -n ezin direnez 4 bektore aske egon, bat kenduko dugu, eta besteak linealki askeak direla frogatuko dugu. { } B W 1, 1,0, 0,0,1, 1,0,0 1 + W = da. Beraz, oinarria ( ) ( ) ( ) W W -ren oinarria 1 x W W / x W eta x W 1 1 x W1 ( x1, x, x ) non x1 + x = 0 x1 + x = 0 ( x1, x, x ) non x W ( x1, x, x ) non x x = 0 x x = 0 { } (,, ) ( 1, 1, 1) ( 1, 1, 1) = = x1 x1 x1 x1 BW 1 W 1

29 W W bektore-espazioa da? 1 x W W / x W edo x W 1 1 Demagun x W1 W1 W y W W W eta 1 dugula. x W ( x, x, x ) non x x 0 y W ( y y y ) y = + = α1 ( x1 x x ) + α ( y1 y y ) W 1 W 1,, non y 0,,,,? ( ) ( ) ( ) α x, x, x + α y, y, y = α x + α y, α x + α y, α x + α y W W? = 0?????? ( α α ) ( α α ) α ( ) α ( ) x + y + x + y = x + x + y + y =???? W ?????? = 0 ( α α ) ( α α ) α ( ) α ( ) x + y x + y = x x + y y =???? W Beraz, W1 W ez da azpibektore-espazioa..8. Batura zuzenak Definizioa: x E edozein bektoreren deskonposizioa F 1 -eko eta F -ko elementuen batuketa gisa bakarra bada, orduan E F 1 eta F -ren batura zuzena izango da. Hau da: E=F F 1 E bektore-espazioa F 1 -en eta F -ren batura zuzena bada, eta W = { w,..., 1 wp} = F 1 -en eta F -en oinarriak badira, orduan W U da E-ren oinarria. eta U { u,..., 1 uq} Teorema: Izan bitez F 1 eta F E bektore-espazioko bi azpibektore-espazio. Orduan: Beraz, E = F + F 1 = 1 F1 F = 0 E F F E F F = 1 { } dim E = dim F + dim F dim F1 F = 0 1 ( dim( F F ) = dim(f )+dim(f )-dim(f F )) + beti betetzen da

30 { } Adibidea: Izan bitez W = ( x, x, x ) / x + x = 0 eta ( ) azpibektore-espazioak. W W = R betetzen da? Ebazpena: 1 {,, / 0} W = x x x x x = 1 Badakigu hau: dim( W + W ) =, dim( W ) = = dim( W ) eta ( W W ) 1 1 ( dim( W1 W ) dim( W1 ) dim( W ) dim( W1 W )) dim = = + propietatea erabil dezakegu. Kasu horretan, = + = dimw1 W = 1 0 dim R dimw1 dimw 4 denez R W1 W Ariketak: { } 1) Izan bitez W = ( x, x, x ) / x x = 0 eta ( ) { } W = a, a, a / a R azpibektoreespazioak. Kalkulatu: W1 W eta W1 + W. W1 W azpibektore-espazioa da? W W R 1 = betetzen da? { } ) Izan bitez W = ( x, x, x ) / x + x = 0 eta x + x = 0 eta ( ) { } W = b, b, c / b, c R azpibektore-espazioak. Kalkulatu: W1 W eta W1 + W. W1 W azpibektore-espazioa da? W W = R betetzen da? 1 ) Izan bitez ( ) {,, / 0 0} W = x x x x + x = eta x x = eta {( ) } W = 4 b, b, b / b R azpibektore-espazioak. Kalkulatu: W1 W eta W1 + W. W W azpibektore-espazioa da? W W = R betetzen da? 1 1 { } 4) Izan bitez W = ( x, x, x ) / x x = 0 eta ( ) 1 1 { } W = a, a, c / a, c R azpibektoreespazioak. Kalkulatu: W1 W eta W1 + W. W1 W azpibektore-espazioa da? W W R 1 = betetzen da?

31 5) Izan bitez ( ) {,,, / 0 0} W = x x x x x + x + x = eta x + x = eta {( ) } W = a, a, c, c / a, c R azpibektore-espazioak. Kalkulatu: W1 W eta W1 + W. W 4 W azpibektore-espazioa da? W W = R betetzen da? 1 1 6) Izan bitez ( ) {,,, / } W = x x x x x = x eta x = x eta b d W =, b,, d / b, d R 4 azpibektore-espazioak. Kalkulatu: W1 W eta W1 + W. W W azpibektore-espazioa da? W W = R betetzen da? Bektore baten koordenatuak V = v1,..., vn E E-ren oinarri bat. Orduan: Izan bitez [ E, +, ] dimentsio finitua duen K gainean definituriko bektoreespazioa eta { } x E, α,..., α K 1 n bakarrak non x = α1 v αn v n α,..., α n eskalarrak x bektorearen V oinarriko koordenatuak izango dira. 1 n 4

32 .10. Ariketak 4,,,,, R R -ko azpibektoreespazioak. 1) Esan azpimultzo hauetatik zein diren ( + ) ( + ) a) E = {( x, x, x, x ) / x + x = 1} b) E = {( x, x, x, x ) / x + x = x + x } c) E = {( x, x, x, x ) / x x = 0} 1 4 d) E = {( x, x, x, x ) / x x + x x = 0} e) E = {( x, x, x, x ) / x = x = x } f) E = {( x, x, x, x ) / x Q } g) E = {( x, x, x, x ) / x R } h) E = {( x, x,0,0) / x, x R } Emaitzak: a, c, f Ez b, d, e, g,h Bai )Har dezagun R bektore-espazioko azpimultzo hau: {(,, ) / 0 ; 0} B = x x x x x = x x + x = Frogatu B azpibektore-espazioa dela. )Har dezagun 4 R bektore-espazioko azpimultzo hau: {(,,, ) / 1; } A = x x x x x + x x = x + x + x = Frogatu ez dela 4 R -ko azpibektore-espazioa. 4)Har ditzagun bektore hauek: v = (1, 1,0,,0) ; v = (0,0, 1,0,1) ; v = (1, 1,1,1,0) ; v = (0,0,1,1,1) 1 4 eta ikus dezagun linealki independenteak diren. Erantzuna: Bai, badira. 5

33 5)Har ditzagun bektore hauek: v = (1,,, 1) ; v = (0,1,,1) ; v = ( 1,7,, 4) ; v = (1,0,0,1) 1 4 eta ikus dezagun linealki independenteak diren. Lotuak badira, aurkitu menpekotasunerlazioa. Erantzuna: Ez dira L.I. Menpekotasun-erlazioa: v = v1 + v + v4 6) Aurkitu hauek 4 R -n: a) v 1 = (1,,1,1) bektorea duen oinarri bat b) v 1 = (1,1, 0, ) eta v = (1, 1,,0) bektoreak dituen oinarri bat c) v 1 = (1,1, 0, 0), v = (0,0,, ) eta v = (0,,, 0) bektoreak dituen oinarri bat bektore kanonikoak erabili gabe. 7) R bektore-espazioan, W 1 eta W azpiespazioak ditugu: { R} { R} W 1= (a,b,0) / a,b a) W = (0,b,c) / b,c { R} { R} W 1= (a,b,0) / a,b b) W = (0,0,c) / c { R} { R} W 1= (a,b,c) / a=b=c c) W = (0,b,c) / b,c { } { R} W 1= (a,b,0) / a+b+c=0 d) W = (d,d,d) / d Aztertu zein kasutan R den W 1 eta W azpibektore-espazioen batura zuzena. Erantzuna: a) Ez b), c), d) Bai 6

34 8)Izan bedi E x aldagai bateko eta R -ko koefizienteak dituzten polinomioen multzo bat, non maila R gaineko bektore-espazioa baita. Har ditzagun polinomio hauek: ( ) = f x ax bx cx d a a) Frogatu f ( x), f '( x), f ''( x), f '''( x ) polinomioek E-ko oinarri bat osatzen dutela. b) Izan bedi f ( x) = 5x + x x + 1 polinomioa, eta aurkitu g( x) = 15x 1x 18x + 7 bektorearen koordenatuak { ( ), '( ), ''( ), '''( )} B = f x f x f x f x oinarriarekiko. Erantzuna: g(x)-en koordenatuak B oinarrian (,-,0,1) dira R bektorearen koordenatuak B { v } 1, v, v 9) x Aurkitu x bektorearen koordenatuak B ' { u, u, u } = oinarrian x = (1,,) B = oinarrian, jakinik 1 u = v + v v ; u = 4 v + v + v ; u = v 5 v + v ; dira. Erantzuna: x bektorearen B ' { u, u, u } = oinarrian ,, dira. B ' {, 1 / } B = x x + x R 10) ( ) R -ko azpibektore-espazioa da? 11) Frogatu B = {(1,1, 1),(0,1,),(,1,0) } multzoa Kalkulatu B oinarriarekiko x = (4,0, 4) bektorearen koordenatuak. R -ko oinarri bat dela. 1) B = {(1,0,0),(0,1,0) } bektore-espazioaren oinarri bat da? R -ko oinarri bat da? Eta B ( ) {,,0 /, } V = x y x y R 1) B = {(1,1,1),(,1, 1),(1,0, ) } multzoa R -ko oinarri bat da? 14) B = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,1) } multzoa R -ko oinarri bat da? 7

35 15)Frogatu B = {(,1, 1,1),(1, 0,,1),(0, 0, 0,1) } dela {(,,, ) /,, } V = x + y x x y x + y + z x y z R bat. 4 R -ko bektore-espazioaren oinarri a + b a 16)Frogatu V = / a, b b 5a + 4b eta lortu oinarri bat. R M -ko azpibektore-espazioa dela, 17)Izan bedi B {(1 x x ),( x x x )} = + + P -ko bektore multzo bat ( P, x aldagai bateko polinomioen multzoa, non maila ) a) P -ko oinarri bat da? { /, } b) Frogatu ( ) V = a + bx + cx + dx b = d c = b a multzoa P -ko azpibektoreespazioa dela. c) B V bektore-espazioko oinarri bat da? d) Kalkulatu B-rekiko x = + 5x + x + 5x bektorearen koordenatuak. 18)Izan bitez V = (1, 1, m,), V = (1, n,,0), V = (, 1, m, 6) 4 R -ko 1 bektoreak, kalkulatu m-ren eta n-ren balioak, aurreko bektoreak linealki menpekoak izan daitezen. Kalkulatu erlazioa. Erantzuna: planteatu αv1 + βv + δv = 0 konbinazio lineala, bektoreak linealki menpekoak izatera behartuz. 4 19)Izan bedi V = {(6,,0, 1),( 1,0,0, ) } R multzoa. Zer balio hartu behar du k parametroak, x = (,,0, k) bektorea V-ren konbinazio lineala izan dadin. 8

36 0) M matrizeen bektore-espazioan frogatu bektore hauek askeak direla: M1 =, M =, M =, M 4 = Kalkulatu 0 1 B = 4 bektorearen koordenatuak oinarri horrekiko. Kalkulatu bektore-espazio horrekiko oinarri kanonikoa. 1) Aztertu 4 maila duten polinomioen bektore-espazioan 4 4 {( ), (5 ), ( ), ( )} B = + x x x x x + x sistema lotua den ala ez. Zein da bektoreespazio horren oinarri kanonikoa? )Aztertu A = {( x, x, x, x ) / x + x x = 0} R -ko azpibektore-espazioa den. Berdin: B = {( x, x, x, x ) / x + x x = 1, x + x + x = } C = ( x, x, x ) / x x = 0, x x + x = R Berdin: { } x1 + x x4 = 0 ) R -n har dezagun multzo hau: F = ( x1, x, x, x4) /. x1 + x + x = 0 4 Frogatu R -ko azpibektore-espazioa dela, eta aurkitu bi oinarri eta x = (,,1,1) bektorearen koordenatuak oinarri horrekiko. 9

37 Bektore-espazioei buruzko galderak 1) (G,+) bektoreen talde abeldarra da. Zein motatako konposizio-legea da +, eta zer adierazten du? ) Adierazi zer propietate bete behar dituen (G,+)-k talde abeldarra izateko. ) Bektore-espazio hau emanik, ( + ) ( + ) da eta zer adierazten du?,,,,, R R, zein motatako konposizio-legea 4) 4 R -n, bektore askez osaturiko multzo batek zer eratzen du? 5) R bektore-espazioan 4 bektore linealki independente izan al daitezke? n 6) ( + ) ( + ),,,,, R R bektore-espazioa emanik, zer adierazten du n -k? 7) Nola definituko zenuke bektore-espazio baten dimentsioa? 8) Zein dira bete beharreko propietatek, R = W W izan dadin? 1 9) dimentsioa duen bat aurki dezakegu? 4 R -ko azpibektore-espazio baten oinarria erabiliz 4 R -ko oinarri 10) V bektore-espazio batek n bektore dituen oinarri bat badu, V-ren oinarri guztiek n bektore izango dituzte? = 1,,..., n E bektore-espazio baten oinarria bada, orduan x E era bakar 11) B { u u u } batean idatz daiteke oinarriko bektoreen konbinazio lineal gisa? 0

38 1) Izan bedi E n dimentsioko bektore-espazioa. Esan esaldiok egia edo gezurra diren. bat da. a) B { u u u } = 1,,..., n E-ko bektoreak linealki askeak badira, orduan B E-ko oinarri b) B { u u u } = 1,,..., n E-ko sistema sortzaile bat bada, orduan B E-ko oinarri bat da. 1) E bektore-espazio batek n dimentsioa badu, n bektore baino gehiago dituen edozein sistema lotua izango da. 14) E bektore-espazio batek n dimentsioa badu, E-ren edozein sistema sortzailek gutxienez n bektore izango ditu. 15) E bektore-espazio bat izanik, gutxienez bi azpibektore-espazio izango ditu, { 0 } eta E. 16) Bi bektore-espazioren, U1 eta U, ebakidura, U1 U, azpibektore-espazio bat da. 17) Bi bektore-espazioren, U1 eta U, bildurak, U1 U izan., ez du zertan bektore-espazioa 18) Esan esaldi hauek egia edo gezurra diren. a) Elementu ez-nulu bat duen multzoa bat askea izango da. b) 0 bektorea ez da inoiz sistema aske baten barne egongo. c) Edozein sistema askeren azpimultzo bat askea izango da. d) Sistema aske batek izan dezakeen bektore maximoa bektore horiek dituzten koordenatu kopurua da. 1

39

40 . GAIA. MATRIZEAK ETA DETERMINANTEAK.1. Matrizearen definizioa Definizioa: n p mailako A K gaineko matrize bat n p elementu dituen multzo bat izango da. Elementu horiek n errenkadatan eta p zutabetan ordenaturik daude, eta elementu bakoitzak bi ezaupide izango ditu: lehenengo azpindizeak zein errenkadatan dagoen esango digu, eta bigarren azpindizeak, zein zutabetan dagoen. ( ) M n p a 11 a 1... a1p a 1 a... a p = a n1 a n... a np.. Matrize motak Errenkada-matrizea: ( M ) 1 p = ( a 11 a 1... a1p ) Zutabe-matrizea: ( ) a a 11 1 M n 1 =. a n1 Matrize nulua: ( ) M n p = Aurkako matrizea: -a 11 -a a1p -a 1 -a... -a p ( M ) n p = a n1 -a n... -a np

41 Matrize iraulia: t ( ) M p n a 11 a 1... a n1 a 1 a... a n = a 1p a p... a np Matrize karratua: errenkada eta zutabe kopuru berdina duen matrizea da. ( ) M n n a a... a a a... a a a... a n 1 n = n1 n nn. Oharra: Matrize karratuetan a 11, a,, a nn elementuek diagonal nagusia osatzen dute. Matrize triangeluarra: diagonal nagusitik gora edo behera dauden elementuak nuluak dituen matrize karratu berezi bat da Goi-triangeluarra Behe-triangeluarra ( ) M n n a a... a 0 a... a a n n = nn ( ) M n n a a a a a... a 1 = n1 n nn Matrize diagoanala: diagonal nagusikoak ez diren elementu guztiak nuluak dituen matrize karratu bat da. ( ) M n n a a a = nn 4

42 Identitate-matrizea: diagonal nagusiko elementuak batekoak dituen matrize diagonal bat da. ( ) M n n = Oharra: Matrizeetako elementuek ez dute zertan zenbakiak izan, funtzioak izan daitezke. Bektore-funtzioa: elementutzat funtzioak dituen n elementuko bektore bat da. v( x) f1( x) f ( x). fn ( x) = Matrize-funtzioa: elementutzat funtzioak dituen matrize bat da. A n p f 11(x) f 1(x)... f 1p( x) f 1(x) f (x)... f p( x) ( x) = f n1(x) f n(x)... f np( x) 5

43 .. Matrizeen arteko eragiketak BATUKETA Izan bitez A = ( a ij ) eta B = ( b ij ) ordena bereko bi matrize. Orduan, A eta B matrizeen batuketa A + B = ( a + b ) matrizea izango da. ij ij a 11 a 1... a1p b 11 b 1... b1p a 11+b 11 a 1+ b... a + b a 1 a... a p b 1 b... bp ( A) n p + ( B) n p = + = a +b a +b... a + b a n1 a n... a np b n1 b n... b np a +b a +b... a + b 1 1p 1p 1 1 p p n1 n1 n n np np Propietateak: Izan bitez n p dimentsioko A, B eta C hiru matrize: Elkarkorra: (A+B)+C = A+(B+C) Elementu neutroa: A+0 = 0+A = A Aurkako elementua: A+(-A) = (-A)+A = 0 Trukakorra: A+B= B+A ESKALAR BATEN ETA MATRIZE BATEN ARTEKO BIDERKADURA Izan bitez A = ( a ij ) matrize bat eta α K eskalar bat. Orduan, α eskalarraren eta A matrizearen arteko biderkadura α A = ( α a ij ) matrizea izango da, A-ko elementu guztiak α -z biderkatzea lortzen duena. α a 11 α a 1... α a1p α a 1 α a... α a p α A = α a n1 α a n... α a np 6

44 Propietateak: Izan bitez n p dimentsioko A eta B bi matrize eta α eta β bi eskalar: Matrizeen batuketarekiko banakortasuna: α (A+B) = α A+α B Eskalarren batuketarekiko banakortasuna: ( α + β ) A = α A + β A Elkarkorra: ( α β ) A = α ( β A) Elementu neutroa: 1 A = A Oharra: ( + ) ( ) M n p,, K,+,, n p dimentsioko matrizeen multzoa bektore-espazio bat da K gorputzaren gainean. + matrizeen arteko batuketa eta matrize baten eta eskalar baten arteko biderketa izanik. MATRIZEEN ARTEKO BIDERKADURA biderkadura Izan bitez A M n p eta A M p m bi matrize. A eta B matrizeen arteko C M n m matrize bat izango da, non c ij lortzen baita A matrizeko i errenkadako elementuen eta B matrizeko j zutabeko elementuen biderkaduraren batuketa eginez. p p p a b a b... a b a 11 a 1... a1p b 11 b 1... b1m p p p a 1 a... a p b 1 b... bm ( A) n p ( B) a b a b... a b p m = = i=1 i=1 i= a b n1 a n... a np p1 b p... b pm p p p a b a b... a b i=1 i=1 i=1 1i i1 1i i 1i im i=1 i=1 i=1 i i1 i i i im ni i1 ni i ni im 7

45 Adibidea: Izan bitez 1 7 A= eta 1 0 B= 1 1 matrizeak. Kalkulatu biderketa hauek: A B eta B A. A B ezinezkoa da, A-ren zutabe kopurua eta B-ren errenkada kopurua desberdinak direlako. B A egin dezakegu: B A = = = = C Propietateak: Izan bitez A, B eta C hiru matrize: Elkarkorra: (A B) C = A (B C) Batuketarekiko banakorra: (A+B) C = A C + B C ; A (B+C) = A B+A C Elementu neutroa (matrize karratuetarako): A I = I A = A Ez dago simetrikorik: -1 A matrize batzuetarako bakarrik existitzen da Ez da trukakorra: A B B A (kasu batzuetan berdintza izan dezakegu).4. Matrize karratu baten determinantea A n mailako matrize karratu batek zenbaki bat elkarturik badu, A-ren determinante deritzo, eta honela izendatzen da: Det(A) = A. Det(A) = A = a a... a n a a... a 1 n a a... a n1 n nn Determinantearen balioa: matrizeko n elementuren biderkaduren baturak. Biderketa horietan, errenkada eta zutabe bakoitzetik elementu bakar bat hartuko da, zeinu positibo nahiz negatibokoa. 8

46 . ordenako matrizeak a a a 11 1 a 1 = a a a a ordenako matrizeak Sarrus-en erregela a a a a a a = a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a a a a 1 Determinanteen propietateak: 1.Matrize baten determinantea eta matrize irauliarena berdinak dira. A = A t Adibidea: = = Matrizearen bi lerro (errenkada edo zutabe) paralelo elkarrekin trukatuz gero, Adibidea: determinantea zeinuz aldatzen da = = Matrizearen lerro (errenkada edo zutabe) bateko elementu guztiak zenbaki berberaz biderkatzen badira, determinantea zenbaki horretaz biderkatuta geratzen da. 9

47 Adibidea: A = = = = = Matrizearen lerro bat (errenkada edo zutabe) beste lerro paralelo batzuen konbinazio lineala bada, determinantea nulua da. Beraz, A 0 bada, errenkada eta zutabe guztiak linealki independenteak izango dira. a b c a b c a b c 5. x+y z+q r+s = x z r + y q s d e f d e f d e f 6.Matrizearen lerro (errenkada edo zutabe) bati beste lerro paralelo batzuen konbinazio lineala batzen badiogu, determinantearen balioa ez da aldatzen. Adibidea: = ( ) =. Bigarren errenkadari lehenengoaren 1 1 hirukoitza batuz = ( ) = Matrize triangeluar eta diagonaletan determinantearen balioa diagonal nagusiko elementuen biderkadura izango da. 8. A B = A B 40

48 Definizioa: Izan bedi A matrize bat. a ij elementuaren minor osagarria α ij izendatuko dugu, eta i. errenkada eta j. zutabea ezabatuz lortzen den matrizearen determinantea izango da. Adibidea: Izan bedi A = Kalkula ditzagun minor osagarri batzuk: α1 = = 1 9 = 1, α1 = = 15 1 =, α = = 6 4 = Definizioa: Izan bedi A matrize bat, a ij elementuaren minor adjuntua edo adjuntua ( 1) i + A = j α da. ij ij Adibidea: Izan bedi A = Kalkula ditzagun adjuntu batzuk: 5 0 A = ( 1) = (0 0) = 0, A = ( 1) = + (4 7) = Orain, determinanteen azkeneko propietate bat enuntziatuko dugu: 9.Matrizearen lerro (errenkada edo zutabe) baten elementuen eta beste lerro paralelo baten elementuen adjuntuaren biderkaduren batura zero izango da. 41

49 Adibidea: Izan bedi 1 A = 1 1. Kalkula ditzagun hirugarren errenkadako adjuntuak: A1 = ( 1) = 1, A = ( 1) = 5, A = ( 1) = Orain, lehenengo errenkadako elementuak eta hirugarren errenkadako adjuntuak biderkatuz: a11a 1+a1A +a1a =1 (-1)+ 5+ (-) = 0 Orain, hiru baino maila handiagoko matrizeen determinanteak kalkulatuko ditugu. Horretarako, hiru metodo ikusiko ditugu: 1) Adjuntuak erabiliz: matrize baten determinantea lerro baten elementuen eta haren adjuntuen biderkaduraren batura da. Adibidea: Garatu determinantea lehenengo errenkadan: = 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 = = 1 ( + 1) ( ) + 4 ( 1) ( + 1) ( 1) 4 = 4 ) Chio-ren erregela: Hainbeste adjuntu ez kalkulatzeko, matrizean 1 den elementu bat bilatuko dugu. Elementu hori erabiliz, errenkadako edo zutabeko elementuak zero egingo ditugu (determinanteen 6. propietatea erabiliz). Ondoren, determinantea errenkada edo zutabe hori erabiliz garatuko dugu. 4

50 Adibidea: = = = = ( 1) ( 98) 98 Oharra: Matrizean 1ekorik ez badago, errenkada bat errenkada horretako elementu batez zatituko dugu 1eko bat lortzeko. Kontuan hartu Chio-ren erregela aplikatu aurretik. propietatea aintzat hartu behar dela. ) Matrizea triangelatuz: Matrizea triangeluar bihurtuko dugu 6. propietatea erabiliz. Beraz, determinantea diagonal nagusiko elementuen biderkadura izango da. Adibidea: = 4 6 = 0 6 = 0 6 = 1 8 = Matrize iraulia. Propietateak Definizioa: A matrize baten matrize iraulia A-ren zutabeak errenkadekin aldatuz lortzen den matrizea da. t A gisa adieraziko dugu. a 11 a 1... a1p a 11 a 1... a n1 a 1 a... a p a 1 a... a t n ( A) n p = ( A ) p n = a a n1 a n... a np 1p a p... a np 4

51 Propietateak: t ( A ) t = A ( ) t t t A + B = A + B ( ) t t t A B = B A ( ) t t λ A λ A = ( A 1 ) t = ( A t ) 1.6. Matrize karratu baten alderantzizkoa Definizioa: A matrize karratu bat erregularra dela esango dugu, alderantzizkoa badu, hau da, A / A A =A A=I. Bestela, A singularra dela esango dugu. Teorema: A erregularra da A 0 Alderantzizkoaren kalkulua: A -1 = Adj( A t ) 1 A Izan bedi A a a... a a a... a a a... a n 1 n = n1 n nn matrizea. Haren iraulia: A t a a... a a a... a a a... a 11 1 n1 1 n = 1n n nn Irauliaren adjuntua: t Adj(A ) A A... A A A... A A A... A 11 1 n1 1 n = 1n n nn 44

52 Adibidea: Kalkulatu 1 A = matrizearen alderantzizkoa. Lehenengo matrizea erregularra dela frogatuko dugu: 1 A = 1 0 = 0 5 Orain, haren iraulia kalkulatuko dugu: t A 1 = Ondoren, irauliaren adjuntua: Beraz, A-ren alderantzizkoa: t Adj(A ) = = = A = 1 Frogatu dezagun A-ren alderantzizkoa dela: = A =

53 Propietateak: -1 A existitzen bada, bakarra da A = A = -1 ( A ) 1 A ( ) A B = B A ( -1 t ) ( t A = A ) 1 Definizioa: Izan bedi A matrize erregular bat, orduan A ortogonala dela esango dugu, t -1 A =A betetzen bada..7. Matrize baten heina Definizioa: Izan bedi A n n matrize bat. m mailako minor bat m m ordenako A- ren azpimatrize baten determinantea da. a 11 a 1... a 1m... a1p a 1 a... a m... a p A = a m1 a m... a mm... a mp a n1 a n... a nm... a np Minor bat B = a a... a m a a... a 1 m a a... a m1 m mm m mailako minor bat desberdin 0 bada, determinante hori sortzen duten m zutabeak eta errenkadak linealki askeak izango dira. 46

54 a a... a m a a... a 1 m B = 0 bada, a a... a m1 m mm a11 a1 a1m a 1 a a m... ; ; a m1 a m a mm a a a n1 n nm bektoreak linealki independenteak dira. Halaber, m errenkada-bektoreak linealki independenteak dira. Definizioa: Matrize baten heina bere errenkadekin (zutabeekin) lor daitekeen minor eznulu handienaren ordena da. Adibidea: Ikus dezagun adibide baten bitartez nola kalkulatzen den A = Has gaitezen. mailako minor bat hartuz 1 0 c 1 eta c = zutabebektoreak askeak direla. Beraz, heina(a). Ondoren, orlatu dezagun minor hori, hirugarren zutabea erabiliz:. errenkadarekin 1 5 = 0 oraingoz c c 1,c

55 4. errenkadarekin 1 5 = 0 oraingoz c c 1,c errenkadarekin 1 5 = 1 0 c c 1,c ; beraz, { c 1, c, c} sistema aske bat da, eta heina(a) da. Orain, lorturiko. mailako minor ez-nulua, erabiliz orlatuko dugu , laugarren zutabea Falta diren bi errenkadak gehituko ditugu: = 0 oraingoz c 4 c 1,c,c = 0 oraingoz c 4 c 1,c,c Errenkada guztiak erabili ditugunez, c 4 c 1,c,c dezakegu. Beraz, { c 1,c, c,c4} sistema lotua da, eta heina(a)<4. betetzen dela baiezta Ondorioz, A-ren heina hiru da: heina(a)=. Gainera, { c 1,c, c,c4} bektoreak sortzen duen azpiespazioaren dimentsioa dela esan dezakegu, eta haren oinarri bat dela. { c 1,c,c} 48

56 a 11 a 1... a1p a 1 a... a p Teorema: Izan bedi A = matrize bat. Orduan, haren heina a n1 a n... a np matrizearen zutabeek (errenkadek) sortzen duten azpiespazioaren dimentsioa da. Propietateak: Izan bedi matrize hau: a 11 a 1... a1p a 1 a... a p A = a n1 a n... a np A matrizearen i zutabe(errenkada)-bektore hartuta, linealki independenteak dira, baldin eta soilik baldin i mailako minor ez-nulu bat existitzen bada. p zutabe-bektoreek sorturiko azpiespazioaren dimentsioa, eta n errenkadabektoreek sorturiko azpiespazioren dimentsioa berdinak dira, hau da, heinaren berdinak. Beste zutabeen (errenkaden) konbinazio lineal den zutabe (errenkada) bat ezabatuz gero, matrizearen heina ez da aldatzen. Matrize baten heina ez da aldatzen, zutabe (errenkada) bati besteen konbinazio lineal bat batuz gero. Matrize baten heina ez da aldatzen, zutabe (errenkada) bat eskalar batez biderkatuz gero..8. Matrize karratuen berreketak eta erroketak Definizioa: Izan bedi A matrizea. Haren p. berreketa A bere buruarekin p aldiz biderkatuz lortzen da: p A =A A... A (p N ). Definizioa: Izan bedi A matrizea. Haren p. erroketa (p N) maila bereko beste matrize bat da 1 1 p A p, non A p = A (p N ). 49

57 Propietateak: p, q N : A A = A + p, N : ( ) p q p q p q A = A q 1 p A erregularra bada: p N : ( A ) = ( A ) 1 A erregularra bada: p, q N : A A = A p A erregularra bada:, N : ( ) p q p p q ( p+ q) q p q A = A p q Oharra: Kontua izan behar dugu berreketetan, matrizeen arteko biderkadura trukakorra ez delako. A B = A B A B = A B A B A B Adibidea: ( ) ( ) ( ).9. Blokekako matrizeak Kasu batzuetan, hainbat kalkulu egiteko komenigarria da, A matrize bateko elementuak azpimatrize errazagotan, bloketan (A i ), banatzea. Kasu horretan, blokekako matrize bat izango dugu, non haren elementuak matrizeak baitira. Adibidea: A1 A A A = -1 4 = -1 4 = A4 A5 A A1 = 1, A = 4,..., A5 =, A 6 = 5 non ( ) ( ) 50

58 Matrize horien arteko eragiketak: a) Eskalar bat bider matrizea λ A1 λ A λ A λ A = λ A4 λ A5 λ A6 A b) Blokeka dauden matrizeak batzeko, bi matrizeek blokeka era berean zatituta egon behar dute. A A 4 B B 4 A + B A 4 + B 4 + B = + = A A B B A + B A + B c) Izan bitez m p eta p n dimentsioetako A eta B bi matrize. A-ren eta B-ren arteko biderketa egiteko, zentzua izan behar dute biderketek blokeka: 1) A-ren zutabe kopuruak eta B-ren errenkada kopuruak berdinak izan behar dute: A1 A A B1 B B ) Zatitutako A matrizearen K-garren zutabeko zutabe kopuruak eta zatitutako B matrizearen K-garren errenkadako errenkada kopuruak berdinak izan behar dute. A. i i i i i i i i i i i i B = i i i i i i i i i i i i i i i. i i i i i i i i i i i i i i i

59 Blokekako matrize baten alderantzizkoa: Gomendagarria da oso maila handia duen matrize baten alderantzizkoa kalkulatzeko hura blokeka banatzea. Ar r Br s M = C s r D s s non n = r + s Izenda dezagun M X Y = Zs r Ts s 1 r r r s M matrizearen alderantzizkoa. Beraz, A 0 1 r r Br s X r r Yr s I r r r s n Cs r Ds s Zs r Ts s 0s r Is s M M = I = AX + BZ = I AY + BT = 0 eragiketak eginez,, X, Y, Z eta T matrizeak kalkulatzen ditugu. CX + DZ = 0 CY + DT = I Adibidea: Kalkulatu matrize honen alderantzizkoa: M = Partiketa hau egingo dugu: M = I A = 0 B 5

60 Alderantzizkoa kalkulatzeko: X + AZ = I (1) I A X Y I 0 Y + AT = 0 () = 0 B Z T 0 I BZ = 0 () BT = I (4) (4) ekuaziotik, 1 BT I T B = = = 1 1 () ekuaziotik, B 0 denez, BZ = 0 Z = 0 (1) ekuaziotik, Z=0 denez, orduan X = I () ekuaziotik, Y AT 1 5 = = = Beraz, M =

61 .10. Zenbaki konplexuen gainean definituriko matrizeak Orain, zenbaki konplexuen gainean definituriko matrizeak aztertuko ditugu. Definizioa: Izan bedi A matrize bat zenbaki konplexuen gorputzaren gainean definitua. Haren konjokatua A beste matrize bat da, non elementuak A matrizeko elementuen konjokatuak baitira. Adibidea: + 4i 0 1 A = i i 7 i matrizearen konjokatua 4i 0 1 A = i i 7 + i da. Definizioa: Izan bedi A matrize bat zenbaki konplexuen gorputzaren gainean definitua, * t haren matrize elkartua A = ( A ) beste matrize bat da, hau da, haren irauliaren * konjokatua (era berean, A = ( A) t konjokatuaren iraulia). Adibidea: 1+ i 0 i t A = ; haren iraulia: A i 1+ i 4 = 0 1 ; haren elkartua: i 1 i A * 1 i 4 = 0 1. i 1+ i Definizioa: Izan bedi A matrize karratu bat zenbaki konplexuen gorputzaren gainean definitua. Hermitikoa dela esango dugu, * A =A betetzen bada. Diagonal nagusiko elementuak errealak izango dira. 54

62 Adibidea: 0 1 i + i A = 1+ i 4 i i i 6 hermitikoa da. Iraulia: 0 1+ i + i t A = 1 i 4 i ; eta + i i 6 t haren elkartua: ( ) 0 1 i + i A = 1+ i 4 i = A i i 6 Definizioa: Izan bedi A matrize karratu bat zenbaki konplexuen gorputzaren gainean definitua. Antihermitikoa dela esango dugu, * A = A betetzen bada. Diagonal nagusiko elementuak zenbaki konplexu zehatzak dira..11. Matrize sakabanatuak Definizioa: A n n dimentsioko matrize karratu bat sakabanatua dela esango dugu, elementu nuluak ez-nuluak baino gehiago direnean. Matrize sakabanatuen adierazpen grafikoa errazteko, haien egitura-matrizea erabiliko da: a =1, A matrizean a 0 ij ij A egit = a ij =0, A matrizean a ij = 0 Beste kasu batzuetan, adierazpena gehiago errazteko, elementu ez-nuluen tokian * edo jartzen da, eta nuluak nuluik uzten dira. 55

63 Adibidea: 0 0 dimentsioko matrize sakabanatu baten egitura: * * * * * * * * * * *** * ** * * * ** **** * ** *** * *** ** *** * * * * *** * * * ** * * * * * * *** * * * * * * * * * * ** * Nuluune guztiak zeroak dira, eta izarñoak balio ez-nuluak..1. Zenbakizko metodoak Matrize erregular baten alderantzizkoa kalkulatzeko. Gauss-en metodoa aztertuko dugu. Gauss-en murrizketa-metodoa erabiltzeko, ( A I ) matrize hedatua eraikiko dugu, I dimentsio bereko identitate-matrizea izanik. Ondoren, errenkadekin eragiketak egingo ditugu: i) edozein bi errenkada truka daitezke, ii) edozein errenkada 0 ez den zenbaki batez biderkatu daiteke, iii) edozein errenkadatako multiplo bat beste bati batu diezaiokegu, ezkerraldean identitate-matrizea lortu arte. Kasu horretan, eskuinaldeko matrizea A -1 izango da. ( ) 1 Ezinezkoa bada ( I A ) Errenkadekin eragiketak A I ( I A 1 ) forma lortzea, A matrizeak ez du alderantzizkorik izango. 56

64 Adibidea: Izan bedi 0 8 A = Matrize hedatua: ( A I ) = eta. errenkadak trukatuz: errenkada + (-1) 1. errenkada: errenkada (1/): errenkada + (-). errenkada: errenkada : errenkada errenkada eta. errenkada (-5/) +. errenkada: = ( I A ) A = Horrenbestez, lortu dugu A-ren alderantzizkoa. 57

65 .1. Oinarri-aldaketako matrizea Demagun U = { u u u } eta V { v v v },,..., n 1 = 1,,..., n E bektore-espazioko oinarriak direla. x E daiteke: edozein bektore U-ko edo V-ko bektoreen konbinazio lineal gisa idatz x1 x = n n = ( 1... n ). x x u x u x u u u u edo. x n x ' 1 x ' = n n = ( 1... n ). x x v x v x v v v v. x ' n Beraz, x1 x ' 1 x x ' x = x denez : ( u1 u... un ). = ( v1 v... vn )... U oinarrian x V oinarrian n x ' n. x bektorea x bektorea Demagun gure erreferentzia-oinarria U dela; hau da, bektore guztiak U-ren oinarrian idatzita daudela. x bektorea ere U oinarrian idatzita dago, eta gure helburua V oinarrian idaztea izango da. Egin dezagun, beraz, oinarri-aldaketa. 58

66 Bestalde, V oinarriko bektoreak U oinarrian idatz ditzakegu: v1 = v11u 1 + v1u vn 1un v = v1u 1 + vu vnu... v = v u + v u v u n 1n 1 n nn n n Adierazpen honetan, bektore horiek zutabeka erabiliko ditugu: x1 v11 v1... v1 n x ' x v1 v... vn x ' = x v v... v x ' n n1 n nn n U-ko bektoreak U oinarrian idatzita x bektorea U oinarrian idatzita V-ko bektoreak U oinarrian idatzita x bektorea V oinarrian idatzita V oinarrian idatzitako x bektorea ebaztea falta zaigu: 1 ' 1 v11 v1... v1 n x1 x x ' v1 v... v n x = x ' n vn 1 vn... v nn x n x bektorea V oinarrian idatzita (V -1 ) U x bektorea U oinarrian idatzita Horrenbestez, lortu dugu oinarri-aldaketako adierazpena. 59

67 .14. Matrizeen ariketak 1) Murriztu matrize-adierazpen hauek: a) ( ) ( ) ( ) A + B A A + B B + A B t t t t t t b) A B ( B A) + B A + ( A B) t t t t t c) ( B A) + A B ( B A ) A B non A simetrikoa den ( A = A ) t Emaitza: a) B A A B b) A B c) A B t ) Askatu matrize-sistema hau: X Y = A non A = eta B = 4X + 5Y = B Emaitza: X = eta Y = ) A eta B matrizeak alderantzikagarriak direla joz, frogatu berdintza betetzen dela: t t ( A B ) = ( A B ) t 4) Aurkitu matrize honen heina: A = Emaitza: Heina(A) = 60

68 5) Askatu ekuazio-sistema hau: X Y = M t X + X = N non M = 0 5, N = 1, P = 1 0 t Y Y = P ) Aurkitu matrize honen heina, eta adierazi zutabe-bektoreek sortzen duten azpiespazioaren dimentsioa: A = m Emaitza: m=- heina(a)=; m - heina(a)=4 7) Sinplifikatu t M + ( ) A N 1 t matrize-adierazpena, jakinik t t N A M = betetzen dela 8) Kalkulatu matrize honen heina a eta b balioen arabera: a b 1 A = ab 1 b a 9) Kalkulatu matrize honen heina a eta b balioen arabera: a b A = Emaitza: b a heina(a)=; b=a heina(a)= 61

69 10) Izan bedi Gauss-en metodoa erabiliz A =. Kalkulatu A matrize adjuntuaren metodoa, 11) Kalkulatu matrize honen heina: Emaitza: Heina(A) = A = ) Kalkulatu m -ren eta n -ren balioak, A matrizeak ekuazio hau bete dezan: ( ) A + m A + n I = 0, non 1 A =. Emaitza: m=-4 eta n= 1 1) Kalkula itzazu matrize hauen heinak: A = B = C = D = heina( A) = heina( B) = Erantzuna: heina( C) = 5 heina( D) = 6

70 14) Kalkulatu matrize hauen alderantzizkoak: A = B = C = Erantzunak: 1 A =, B 1, 1 C = ) Kalkulatu determinanteon balioak: a) b) Erantzuna: a) -4/5 b)-510 c) c) ) Izan bedi V = {(1,0, ), (1,1,1), (0,0,)} R ko oinarri bat. Oinarri-aldaketaren metodoa erabiliz, kalkulatu x (,1,0) bektorearen koordenatuak V oinarrian. Erantzuna: x(,1,0) = x(1,1, 1) V 17) Izan bitez V = {(1,,0), (,1,1), (1,1,) } eta W = {(,1,1), (1,1,0), (0,1, ) } R -ko bi oinarri. Frogatu V eta W sistema askeak direla. Kalkulatu x (5,, 4) Kalkulatu y (,1,1) V bektorearen koordenatuak V eta W oinarriekiko. bektorearen koordenatuak W oinarriekiko. 6

71 18) Izan bedi V { v, v, v } = R -ko oinarri bat eta x (1,,) V 1 bektore bat. Oinarrialdaketaren metodoa erabiliz, kalkulatu x bektorearen koordenatuak {,, 1 } V = b b b oinarrian non: b = v + v v 1 1 b = 4v + v + v, 1 b = v 5v + v eta 1 Erantzuna: x(1,,) V = x,, B 19) Izan bitez V = {(1,1,1), (1,0, ), (1,0,1) } eta U = {(1,1,0), (1,0,0), (0, 1, 1) } ko bi oinarri eta x (0,1, ) V bektorea. R - Oinarri-aldaketaren metodoa erabiliz, kalkulatu x bektorearen koordenatuak U oinarriarekiko. Erantzuna: x(0,1, ) = x(0,,0) B 64

72 65

73 4. GAIA. EKUAZIO-SISTEMA LINEALAK 4.1. Sarrera Izan bitez n berdintza hauek: f x + f x f x = b p p 1 f x + f x f x = b 1 1 p p... f x + f x f x = b n1 1 n np p n (1) non f ij koefizienteak eta b i gai askeak K gorputzeko elementuak baitira. Sistema horri p ezezaguneko ekuazio-sistema lineala deritzo. Ezezagunak x1, x,..., x p dira. (1) sistemaren soluzio guztiak lortzea K-n sistema ebaztea izango da. Ekuazio-sistema linealak homogeneoak dira, b i = 0 betetzen bada, eta ezhomogeneoak, b i 0. Soluzioa duten ekuazio-sistema linealak sistema bateragarriak direla esango dugu. Soluzioa bakarra bada, sistema bateragarri determinatua izango da, eta soluzio bat baino gehiago badira, sistema bateragarri indeterminatua izango da. Soluzioa ez duten ekuazio-sistema linealak sistema bateraezinak izango dira. Sistema homogeneoek beti izango dute soluzio nabari bat. x1 = x =... x p = 0 Nahiz eta soluzio nabaria soluzioa izan, interesgarria izaten da nabariaren desberdinak diren soluzioak aurkitzea. Beraz, sistema homogeneoen kasuan, sistema bateragarria dela esango dugu soluzio nabariaz gainera beste soluzio batzuk existitzen direnean. 66

74 (1) sistema honela idatz dezakegu: f11 f1 f1 p b1 f f1 f p b x 1 + x x p = f n1 f n f b np n () ()-ko zutabe-bektoreak f1, f,..., f p eta b izendatuz, (1) sistema hau da: x1 f1 + x f xp f p = b () Matrize eran ere idatz daiteke: f11 f1 f1 p x1 b1 f1 f f p x b.... = f x n1 fn f np p b n (4) Beraz, matrizeen biderketak erabiliz (4) berdintza laburtu dezakegu: x1 x f f f = b... x p (,,..., 1 p ) (5) Beraz, ezezagunen koefizienteen matrizea honako hau izango da: f11 f1 f1 p f1 f f p... fn 1 fn f np (6) Matrize hedatua, aldiz, gai askeak gehituz lortzen da: f11 f1 f1 p b1 f1 f f p b... fn 1 fn fnp b n (7) 67

75 4.. Rouche Frobenius-en teorema () sistemaren arabera, (1) sistemak soluzioa izateko baldintza beharrezkoa eta nahikoa da b, f1, f,..., f p bektoreen konbinazioa lineala izatea. Baldintza hori honela idatz dezakegu: (1) ekuazio-sistema lineala bateragarria da, baldin eta soilik baldin koefizienteen matrizearen heina eta matrize hedatuaren heina berdinak badira. Bi kasu egon daitezke: 1) Heina ezezagun kopuruaren berdina izatea. Orduan, sistema bateragarri determinatua izango da. ) Heina ezezagun kopurua baino txikiagoa izatea. Orduan, sistema bateragarri indeterminatua izango da. Indeterminazio-maila, aldiz, ezezagun kopurua ken heina izango da. Sistema homogeneoen kasuan: f x + f x f x = p f x + f x f x = p... f x + f x f x = 0 n1 1 n np p p p Beti izango dugu soluzio nabari bat: x1 = x =... x p = 0. Beraz, sistema homogeneo batek nabariaz gainera beste soluzio batzuk izango ditu, baldin eta soilik baldin koefizienteen matrizearen heina ezezagun kopurua baino txikiagoa bada. 68

76 4.. Cramer-en erregela Izan bedi n ezezagunen n ekuazio-sistema: f x + f x f x = b n n 1 f x + f x f x = b 1 1 n n... f x + f x f x = b n1 1 n nn n n (8) Jo dezagun koefizienteen matrizearen determinantea ez-nulua dela, hau da: f f f n f f f 1 n... f f f n1 n nn 0 (9) Orduan: Koefizienteen matrizearen heina = matrize hedatuaren heina = Ezezagun kopurua Rouche Frobenius-en teoremaren arabera, (8) sistema bateragarri determinatua da. Beraz, aurki dezagun haren soluzio bakarra. (8) sistema matrize eran idatziz: f11 f1 f1n x1 b1 f1 f fn x b. = fn 1 fn f nn x n b n (10) 69

77 (9)-tik ( f ij ) matrizea erregularra dela ondoriozta dezakegu; beraz, (10) ekuazioaren atal bakoitza( f ) 1 ij -ez biderkatuz: x1 b1 F11 F1 Fn 1 x1 b1 x 1 b 1 F1 F Fn x b = ( fij ) =. = det ( f ) ij x b F F F x b n n 1n n nn n n (11) Non F ij f ij elementuaren adjuntua baita. (11)-n eragiketak eginez, (8) sistemaren soluzioa lortzen da. b F + b F b F x1 = det( f ) x n n1 b F + b F b F = det( f ) 1 1 n n... x n b F + b F b F = det( f ) 1 1n n n nn ij ij ij (1) Ondorioz, b f f 1 1 1n b f f n... b f f n n nn = b F + b F b F n n1 Beraz, berdintza hori erabiliz, (1) ekuazioa berridatz dezakegu: b f f f b f 1 1 1n n b f f f b f n 1 n b f f f b f x = ; x = ;...; x = n n nn n1 n nn 1 f11 f1 f1n f11 f1 f1 n f f f f f f 1 n 1 n f f f f f f n1 n nn n1 n nn n f f b f f b 1 f f b n1 n n f f f n f f f 1 n f f f n1 n nn 70

78 Adibidea: x + x + x = 6 1 x + x x = 0 1 x x + x = 1 Koefizienteek sorturiko determinantea zeroren desberdina da: = x1 = = 1 ; x = = ; x = = ; 4.4. Ekuazio-sistema linealen baliokidetasunak Bi ekuazio-sistema lineal baliokideak direla esango dugu, soluzio berdinak badituzte. Hiru metodo ikusiko ditugu, sistema batekiko baliokideak diren beste sistema batzuk aurkitzeko: Lehenengo metodoa: Ekuazio-sistema lineal batean ekuazio bati beste ekuazioen konbinazio lineal bat ebazten edo gehitzen badiogu, lortzen dugun sistema lehenengoaren baliokidea izango da. Adibidez, bi ekuazio-sistema linealok: f x + f x f x = b p p 1 f x + f x f x = b 1 1 p p... f x + f x f x = b n1 1 n np p n (1) 71

79 f x + f x f x = b p p 1 f x + f x f x = b (14) 1 1 p p... ( a f a f + f ) x ( a f a f + f ) x = a b a b + b 1 11 n 1 ( n 1)1 n p n 1 ( n 1) p np p 1 1 n 1 n 1 n Bereziki, ekuazio-sistema batean ekuazio bati gai biak eskalar ez-nulu batez biderkatuz sistema baliokide bat lortuko dugu. Bigarren metodoa: Ekuazio-sistema lineal batean, lehenengo ataleko ezezagun bat edo gehiago bigarren atalera pasatzen badira, sistema baliokide bat lortzen da. f x + f x f x = b f x p 1 p 1 1 1p p f x + f x f x = b f x 1 1 p 1 p 1 p p... f x + f x f x = b f x n1 1 n np 1 p 1 n np p Hirugarren metodoa: Gauss-en metodoaren aplikazioa. Izan bedi sistema hau: f x + f x f x = b p p 1 f x + f x f x = b 1 1 p p... f x + f x f x = b n1 1 n np p n (15) ( f ) 1 Jo dezagun f11 0 dela. Orduan, bigarren ekuazioari lehenengo ekuazioa bider f 11 gehituko diogu; hirugarren ekuazioari lehenengoa bider ( f ) 1 garren ekuazioari lehenengoa bider ( f ) n 1 f 11 f 11 ; ; eta n- gehituko diogu. Eragiketa horiekin sistema baliokide bat lortzen dugu, baina ekuazio berri horretan x 1 ezezaguna lehenengo ekuazioan bakarrik azalduko da. Beraz, lortzen den sistemak forma hau izango du: 7

80 f x + f x f x = b p p 1 f x f x = b p p... f x f x = b n np p n (16) Sistema berri horri prozesu berdina aplikatzen badiogu, bigarren, hirugarren,, eta (n-1)-garren ekuazio erabiliz, sistema hau lortuko dugu: 1. kasua: f x + f x f x = b n n 1 f x f x = b n n... f x = b nn n n (17) 11 f 0, f 0,..., f nn 0 bada. Kasu horretan, azkeneko ekuazioa erabiliz x n kalkulatuko dugu. Ondoren, xn -ren balioa (n-1) ekuazioan ordezkatuz xn 1 -en balioa kalkulatuko dugu, eta era berean beste ezezagunen balioak x1 -eraino. Sistema, kasu honetan, BATERAGARRI DETERMINATUA da. Adibidea: Ebatzi sistema hau Gauss-en metodoa erabiliz: x + x + x = 6 1 x + x x = 0 1 x x + x = 1 lehenengo ekuazioa bider ( f ) 1 diogu, eta bider ( f ) 1 f 11 f 11, hots 1, hau da 1 1, eginda bigarren ekuazioari gehituko, eginda hirugarren ekuazioari. x + x + x = 6 1 x = 6 x x = 9 7

81 Ez dugu Gauss-en metodoa berriro aplikatu behar; bigarren ekuaziotik x aska dezakegu. Orduan, x =. Orain, hirugarren ekuazioan ordezkatuz, x = 9, x =. Azkenekoz, x eta x balioak lehenengo ekuazioan ordezkatuz x 1 = 1 lortzen dugu. Beraz, sistema bateragarri determinatua da. f 11, f,..., f nn koefizienteren bat nulua bada, koefiziente nulua duen ekuaziora heltzean bi gauza gerta daitezke, identitate bat lortzea edo kontraesan bat lortzea. Identitatearen kasuan, sistema bateragarri indeterminatua da, zero egiten den koefizientearen ezezagunak edozein balio har dezake eta. Kontraesanaren kasuan, sistema bateraezina da. Adibidea: Ebatzi sistema hau Gauss-en metodoa erabiliz: x + x x = 1 x + 5x 4x = 4 1 x + 7x 7x = 7 1 Lehenengo ekuazioa bider 1 eginez, bigarren ekuazioari gehituko diogu; eta bider 1 eginez, hirugarren ekuazioari gehituko diogu. x + x x = x x = x x = 6 Bigarren ekuazioa bider -1 eginez, hirugarren ekuazioari gehituko diogu. 74

82 x + x x = x x = 5 0 = 1 0 = 1 kontraesan bat dugu; beraz, sistema bateraezina da.. kasua: Gauss-en metodoa (15) sistemari aplikatzean ekuazioak sobran egon daitezke. Orduan, (17) motako azpisistema bat lortuko dugu, eta lehenengo kasua aplikatuko dugu. Baina, kasu horietan, azpisistemaren soluzioak sobran dauden beste ekuazioek betetzen dituztela frogatu behar da.. kasua: Gauss-en metodoa aplikatzean ekuazioak falta badira, (17) motako azpisistema bat lortuko dugu, baina azkeneko ekuazioak ezezagun bat baino gehiago izango ditu. Aldagai bat besteen menpe askatuko dugu, eta 1. kasuko metodoa aplikatu. Kasu horretan, sistema bateragarri indeterminatua edo bateraezina izango da. Adibidea: Ebatzi sistema hau Gauss-en metodoa erabiliz: x x + x + 4x = x + x x 11x = x + x + x = 1 4 Lehenengo ekuazioa, -z biderkaturik, bigarren ekuazioari gehituko diogu: x x + x + 4x = x x 19x = 19 4 x + x + x = 1 4 Bigarren eta hirugarren ekuazioak trukatuko ditugu: x x + x + 4x = x + x + x = 1 4 5x x 19x =

83 Bigarren ekuazioa, -5ez biderkaturik, hirugarren ekuazioari gehituko diogu: x x + x + 4x = x + x + x = 1 4 8x 4x = 4 4 Azkeneko ekuazioak bi ezezagun ditu: x eta x 4. Argi dago ezezagun horietako batek λ edozein balio har dezakeela; beraz, x4 = λ eginez, orduan x = λ. Bigarren ekuazioan, balio horiek ordezkatuz, x = + λ, eta lehenengo ekuazioan ordezkatuz, x = + λ. 1 dugu: Beraz, emandako sistemak infinitu soluzio izango ditu, eta bektorialki adieraziko x1 1 1 x = + λ λ R x x Sistema hori bateragarri indeterminatua da, haren maila bat izanik. Haren soluzioen multzoa zera izango da: soluzio partikular bat ( 1,,, 0) gehi bat dimentsioa ( ) duen azpibektore-espazio bateko { λ (1,,,1), λ } R bektore arbitrario bat Ekuazio linealezko sistema homogeneoak Ekuazio linealezko sistema homogeneoak ekuazio-sistema linealen kasu partikular bat dira. Izan bedi ekuazio linealezko sistema homogeneo bateragarri bat: f x + f x + f x = f x + f x + f x = f x + f x + f x =

84 (bateragarria, nabariak ez diren soluzioak ditu; beraz, koefizienteek sortutako determinanteak nulua izan behar du). Lehenengo bi ekuazioak linealki askeak direla joz, soluzioak hauek dira: x x x f f f f f f 1 = = = f f f f 1 f f 1 λ λ K Eta zenbakitzailea zero izango da, izendatzailea zero den kasuetan. Adibidea: Kalkulatu a-ren zein baliotarako bateragarria den ekuazio-sistema lineal homogeneo hau: x + x + x = 0 1 x x + x = 0 1 x + ax = 0 1 Koefizienteek sortutako determinantea ( a) da. a bada, sistemaren soluzioa soluzio nabaria izango da: x1 = x = x = 0. a = bada, lehenengo bi ekuazioak linealki askeak dira, beraz: x1 x x x1 x x = = = λ = = = λ Beraz, sistemaren soluzioa a = denean hau da: x1 1 x = λ 0 λ R x 1 77

85 4.6. Ekuazio-sistema linealak ebazteko metodo orokorra Izan bedi n ekuazio eta p ezezagun dituen ekuazio-sistema bat: f x + f x f x = b p p 1 f x + f x f x = b 1 1 p p... f x + f x f x = b n1 1 n np p n (18) Badakigu sistema bateragarria dela koefizienteen matrizearen heina eta matrize hedatuaren heina berdinak direnean, hau da: f11 f1... f1 p f11 f1... f1 p b1 f1 f... f p f1 f... f p b heina heina... =... f f... f f f... f b n1 n np n1 n np n Jo dezagun: 1) Bi matrizeen heina r dela ) Koefizienteen matrizean, lehenengo r errenkadak linealki askeak direla Beraz, matrize hedatuaren lehenengo r errenkadak linealki askeak dira, eta beste n-r errenkadak lehenengo r errenkaden menpekoak dira. Hala, sistema baliokide hau lortzen dugu: 78

86 f x + f x f x = b p p 1 f x + f x f x = b 1 1 p p... f x + f x f x = b r1 1 r rp p r f x + f x f x = b ( r+ 1) 1 1 ( r+ 1) ( r+ 1) p p ( r+ 1)... f x + f x f x = b n1 1 n np p n f x + f x f x = b p p 1 f x + f x f pxp = b f x + f x f x = b r1 1 r rp p r ) Gainera, koefizienteekin sortutako r mailako determinante hau ez-nulua bada: f f... f r f f... f 1 r... f f... f r1 r rr 0 (19) Beraz, kontuan har ditzagun sistema baliokideok: f x + f x f x + f x f x = b r r 1( r+ 1) ( r+ 1) 1p p 1 f x + f x f x + f x f x = b 1 1 r r ( r+ 1) ( r+ 1) p p... f x + f x f x + f ( 1) x( 1) f x = b r1 1 r rr r r r+ r+ rp p r f x + f x f x = b f x... f x r r 1 1( r+ 1) ( r+ 1) 1p p f x + f x f x = b f x... f x 1 1 r r ( r+ 1) ( r+ 1) p p... r1 1 + fr x frr xr = br fr ( r+ 1) x( r+ 1)... frp xp f x (0) Sistema baliokide hori x,... r+ 1 xp aldagaiak bigarren atalera pasatuz lortu dugu. x,... r+ 1 xp aldagaien koefizienteek ez dute parte hartzen kontuan hartu dugun r mailako (19) determinante ez-nuluan. 79

87 (0) sistema x,... r+ 1 xp aldagaiei balio arbitrarioak emanez askatzen dugu, hau da: x = λ, x = λ,..., x = λ ; eta beste aldagaiak honako sistema honetan Cramer-en r+ 1 1 r+ p p r edo Gauss-en metodoak erabiliz ebatziko dira: f x + f x f x = b f λ... f r r 1 1( r+ 1) 1 1p p r f x + f x f x = b f λ... f 1 1 r r ( r+ 1) 1 p p r... f x + f x f x = b f ( 1) λ1... f λ r1 1 r λ λ rr r r r r+ rp p r λ,..., 1 λp r parametroek balio arbitrarioak har ditzaketenez, parametro independenteak direla esango dugu. Adibidea: Ebatzi sistema: Determinantea: x x + x + 4x = x + x x 11x = = x + x + x = 1 4 Beraz, koefizienteen matrizearen heina = matrize hedatuaren heina =. Bestalde, < aldagai kopurua = 4; beraz, sistema bateragarri indeterminatu sinplea da. x4 = λ eginez, eta bigarren atalera pasatuz, honako hau dugu: x x + x = 6 4λ 1 x + x x = λ 1 x + x = 1 λ x 4 = λ λ R 80

88 Cramer-en erregela aplikatuz: 6 4λ λ λ λ λ λ 1 λ λ λ x = = 1 + λ, x = = + λ, x = = λ Sistemaren soluzio orokorra hau da: x = 1+ λ x x x 1 4 = + λ = λ edo matrize eran adierazita: = λ λ R x1 1 1 x = + λ λ R x x Zenbakizko metodoen aplikazioa Gauss-Jordan metodoa Gauss-en metodoaren aldaera bat da. Metodo berri honetan, aldagai bat ezabatzen dugunean, ez dugu hurrengo ekuazioetan bakarrik ezabatzen, baizik eta ekuazio guztietan. Horrela, ezabapen-prozesu horrek matrize diagonal bat sortuko du matrize triangeluar baten ordez. Beraz, ez da beharrezkoa izango atzeranzko ordezkapensoluzioa lortzeko. Adibidea: Ebatzi sistema hau Gauss-Jordan metodoa erabiliz: x + x + x = 6 1 x x = 0 1 x x = 0 a 11 elementuaren azpitik dauden elementuak 0 egiten ditugu: x + x + x = 6 1 x x = 1 x x = 0 81

89 a elementuaren azpitik eta gainetik dauden elementuak 0 egiten ditugu: x 5 1 x = x x = 1 4x = 1 Azkenik, a elementuaren gainetik dauden elementuak 0 egiten ditugu: x 1 = 1 x = 6 4x = 1 Horrenbestez, soluzioak lortzen ditugu: x1 = 1; x = ; x =. Gauss-Seidel metodoa Metodo hau eta aurreko metodoak (Gauss eta Gauss-Jordan) oso desberdinak dira (haiek metodo zuzenekoak dira). Hau metodo iteratibo bat da. Alegia, hasierako balio bat hartuz, iterazioen bitartez soluzioaren hurbilketa bat lortzen du. Oso erabilgarria da, sistema handiak ditugunean: metodo zuzenekoetan, biribiltze-erroreak izan baititugu, eta metodo iteratuetan, aldiz, biribiltze-erroreak iterazioen bitartez kontrolatzen ahal baititugu. Metodoaren deskribapena: Izan bedi n ekuazio eta n ezezagun dituen sistema hau: f x + f x f x = b p p 1 f x + f x f x = b 1 1 p p... f x + f x f x = b n1 1 n np p n Diagonaleko elementuak zeroren desberdinak badira; lehenengo ekuazioan lehenengo aldagaia aska dezakegu; bigarrenean, bigarrena, eta abar: 8

90 b1 f1x... f1 px x1 = f x 11 b f1x1... f px = f... x n b f x... f x = f n n1 1 n, p 1 p 1 nn p p Orain, x1, x,..., x n aldagaiei hasierako balio bat emanez, prozesua has dezakegu. Soluzio nabaria hasierako soluziotzat har dezakegu. Lehenengo ekuazioan, zeroak b1 sartuz, x1 = balioa lortzen dugu. Ondoren, bigarren ekuazioa ebatziko dugu f 11 b f1x1 x =... = x n = 0, eta lortutako soluzioa ordezkatuko. Beraz, x =. Prozesu f berdina errepikatzen da, azkeneko aldagaira heldu arte. Gero, lehenengo ekuaziora itzul gaitezke, eta prozesu berdina errepika dezakegu, aldagaiak soluziora konbergitu arte. Konbergentzia metodo hau erabiliz baiezta daiteke: j 1 j x i xi ε a, i =.100% < ε j S x Edozein i-rentzat, non j eta j-1 oraingo eta hurrengo iterazioak baitira. i Adibidea: Ebatzi sistema hau, Gauss-Seidel metodoa erabiliz, errorea 0, baino txikiagoa izanik: x 0,1x 0, x = 7,85 1 0,1x + 7x 0, x = 19, 1 0,x 0, x + 10x = 71, 4 1 Oharra: Sistema horren soluzio erreala: x1 =, x = '5, x = 7 da. 8

91 Lehenengo aldagai bakoitza askatuko dugu: 7,85 + 0,1x + 0, x x1 = 19, 0,1x1 + 0,x x = 7 71,4 0,x1 + 0,x x = 10 x = 0 eta x = 0 direla joz: 7,85 x 1 = = x 1 = balio berri hori eta x = 0 ordezkatuz x ekuaziotik: x 19, 0,1( ) = = askatuko dugu bigarren Azkenengoz, x1 eta x aldagaien balioak hirugarren ekuazioan ordezkatuz: x 71, 4 0, ( ) + 0, ( ) = = 7, Beste iterazio bat: ( ) ( ) 7,85 + 0, , 7, x1 = = , 0,1(.99056) + 0,( 7, ) x = = , 4 0,(.99056) + 0, (.4996) x = =

92 Erroreak: e1 = = x x ( ) = = , = = Errore guztiak 0, baino txikiagoak dira. Beraz, lortu dugu soluzio hurbildu bat Ekuazio-sistema linealen ariketak 1) Ebatzi ekuazio-sistema hau, a-ren balioen arabera: y z = a x z = 11 y + z = 6 x + y 4z = a ) Ebatzi ekuazio-sistema hau, a-ren balioen arabera: ax + y + z = 1 x + ay + z = 1 x + y + az = 1 ) Ebatzi ekuazio-sistema hau, a, b eta c parametroen arabera: x + ay + bz = c x = x y z = 1 85

93 4) Ebatzi ekuazio-sistema hau, a eta b parametroen arabera: x + ay + z = 7 x + ay + z + t = b x + ay + t = 1 bx + ay = b 5) Sistema homogeneoa izan dadin, lortu a-ren balioa: ax + y z = 0 x + y + z = 0 x + 10y + 4z = 0 Hau da, soluzio nabari ez diren soluzioak ditu. Eman soluzioak. 6) Sistema ebatzi soluzioa duen kasuetan: x + y + z + t = 0 ax y + z + 4t = 0 x y z + 4t = 0 x + 4y z 9t = 0 7) Izan bedi sistema hau: x y z t = 0 5x 4y + 7z + t = 0 x y + 5z + t = 0 Frogatu sistema hau bateragarri indeterminatu bikoitza dela. Aurkitu soluzioa, eta frogatu lortutako bektoreek f : 4 R R aplikazio lineal honen nukleoaren oinarri bat osatzen dutela: f ( x, y, z, t) = ( x y z t,5x 4y + 7z + t, x y + 5z + t). 86

94 8) Ebatzi ekuazio-sistema hau, a-ren balioen arabera: x + y + az = a x + y + az = ax + y + z = a 9) Ebatzi sistema hau, a eta b parametroen arabera: x y + z = 1 x + y + z = b x 5y + az = 87

95 88

96 5. GAIA. APLIKAZIO LINEALAK 5.1. Aplikazio linealaren definizioa Izan bitez ( E, + ),( K, +, ), eta ( F + ) ( K + ),,,,, K gorputzaren gainean definituriko bi bektore-espazio. E-tik F-rako f aplikazio bat lineala dela esango dugu, baldin eta: f x y f x f y x, y E α, β K ( α + β ) = α ( ) + β ( ) Baldintza hori honako honen baliokidea da: 1. f ( x + y) = f ( x) + f ( y). f ( α x) = α f ( x) x, y E x E α K 5.. Aplikazio motak Definizioa: Izan bedi f : A B aplikazio bat. f aplikazioa injektiboa dela esango dugu, baldin: f ( x) = f ( y) x = y Definizioa: Izan bedi f : A B aplikazio bat. f aplikazioa suprajektiboa dela esango dugu, baldin: y B x A non f ( x) = y Definizioa: Izan bedi f : A B aplikazio bat. f aplikazioa bijektiboa dela esango dugu, injektiboa eta suprajektiboa bada. y B! x A non f ( x) = y 89

97 Aplikazio linealen motak -Aplikazio lineal bat bektore-espazioen arteko homomorfismoa da. - E F eta f injektiboa bada, MONOMORFISMOA da. - E F eta f suprajektiboa bada, EPIMORFISMOA da. - E F eta f bijektiboa bada, ISOMORFISMOA da. - E = F eta f injektiboa edo suprajektiboa bada, ENDOMORFISMOA da. - E = F eta f bijektiboa bada, AUTOMORFISMOA da. 5.. Aplikazio lineal baten irudia Izan bedi f E-ren eta F-ren arteko aplikazio lineala. Orduan, f aplikazio lineal baten irudia E-ko bektoreen irudiek osatzen duten F-ko azpimultzo bat da, eta Imf gisa izendatzen da. Im f = f x / x E { ( ) } Imf, F-ren azpimultzo izateaz gainera, F-ren azpibektore-espazioa da. Imf-ren dimentsioa E-ko oinarri baten irudiekin sortzen den sistemaren heina da. elementu, Izan bitez =, eta x E B E E-ren oinarri bat, non BE { u1, u,..., u p} B E oinarriarekiko koordenatuak ( 1,,... p ) BE x x x izanik. E-ko edozein Orduan, { ( 1 1 p p ) 1 ( 1) ( ) p ( p )} ( 1), ( ),..., ( p ) Im f = f x u + x u x u = x f u + x f u x f u = = f u f u f u Beraz, aplikazioa zehaztua egongo da, f ( u1 ), f ( u ),..., f ( u p ) ezagutzen direnean. Eta: haren irudia: ( ) ( ) ( ) ( y = f x = x ) 1f u1 + x f u xp f u p x = x1u 1 + xu xpu p 90

98 5.4. Aplikazio lineal baten matrizea Izan bitez E eta F p eta n dimentsioa duten bi bektore-espazio eta U eta V E eta F-ko bi oinarri, urrunez hurren. U oinarriko bektoreen irudiak kalkulatzen baditugu eta irudi hauek V oinarriarekiko idatzi. Ondoren irudi hauen V oinarriarekiko koordenatuekin matrize bat osatzen badugu, U eta V oinarriekiko f aplikazio linealaren matrizea lortuko dugu. Hau da, izan bitez U = { u 1, u,..., u p} E-ko oinarri bat eta V { v1, v,..., vp} = F-ko oinarri bat. Orduan, U eta V oinarriekiko f aplikazio linealaren matrizea honako hau da: ( f ( u1 ), f ( u ),..., f ( u p )) U, V non f u ( ) 1 f11 f1 =... f n1, f ( u ) 1 f1 f =... f n,.., f ( u ) 1 f1 p f p =... f np Eta matrizea: f11 f1... f1 p f1 f... f p fn 1 fn... f np Oharra: Laburturiko notazioan U eta V bektore-espazioen f aplikazio linealaren matrizea ( f ) U, V idatziko dugu. Matrize baten heinaren definiziotik, Aplikazio lineal baten irudi multzoaren bektore-espazioaren dimentsioa eta f aplikazioaren matrizearen heina berdinak dira. Balio hori ez da erabilitako oinarrien menpe egongo. 91

99 Berridatziz: y = f x = x f u + x f u + + x f u ( ) 1 ( 1) ( )... p ( p ) matrize eran: y1 f11 f1 f1 p f11 f1... f1 p xp y f f1 f p f1 f... f p xp = x 1 + x x p = y f f f f f... f x p n V n1 V n V np V n1 n np U, V U 5.5. Aplikazio linealen arteko batura Izan bitez f eta g E eta F bektore-espazioen arteko bi aplikazio lineal. Definizioz bi aplikazio linealen arteko batura ( f g ) + E-tik F-rako beste aplikazio lineal bat da. ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) x E = = = ( f + g)( α x + β y) f ( α x β y) g ( α x β y) α f ( x) β f ( y) α g ( x) β g ( y) = α f ( x) + g ( x) + β f y + g y = α f + g x + β f + g y ( ) ( ( ) ( )) (( )( )) (( )( )) Izan bitez U eta V, hurrenez hurren, E-ko eta F-ko oinarriak eta ( f ) U, V eta ( g ) U, V U eta V oinarriekiko f eta g aplikazioaren matrizeak: ( f ) U, V f11 f1... f1 p f1 f... f p = fn 1 fn... f np ( g ) U, V g11 g1... g1 p g1 g... g p = gn 1 gn... g np Orduan, U eta V oinarriekiko ( f g ) ( f g ) f f + g + g f f + g + g f f + g + g f + g f + g... f + g p 1p 1 1 p p + = U, V n1 n1 n n np np + aplikazioaren matrizea honako hau da: 9

100 5.6. Aplikazio lineal baten eta eskalar baten arteko biderkadura Izan bitez f E eta F bektore-espazioen arteko aplikazio lineala eta α K eskalar bat. Definizioz, aplikazio lineal baten eta eskalar baten arteko biderkadura ( α f ) E- tik F-rako beste aplikazio lineal bat da. α f x = α f x x E ( )( ) ( ) = + = + = ( ) ( α f )( a x + b y) α f ( ax by) α a f ( x) b f ( y) = aα f ( x) + bα f ( y) = a ( αf )( x ) + b( αf )( y) Izan bitez U eta V, hurrenez hurren, E-ko eta F-ko oinarriak eta ( f ) U, V U eta V oinarriekiko f aplikazioaren matrizea: ( f ) U, V f11 f1... f1 p f1 f... f p = fn 1 fn... f np Orduan, U eta V oinarriekiko ( α f ) aplikazioaren matrizea honako hau da: ( α f ) U, V α f11 α f1... α f1 p α f1 α f... α f p = α fn 1 α fn... α f np 5.7. Aplikazio linealen arteko biderkadura (konposizioa) Izan bitez E, F eta H K gorputzaren gainean definituriko hiru bektore-espazio, p, n eta q dimentsiodunak, hurrenez hurren. Definizioz, bi aplikazio linealen arteko biderkadura edo konposizioa ( g f ) E-tik H-rako beste aplikazio lineal bat da. ( g f )( x) = g ( f ( x) ) x E 9

101 = + = + = g ( f α x β y ) g ( α f ( x) β f ( y) ) ( ) ( ( )) α (( g f )( x )) + β (( g f )( y) ) ( g f )( α x + β y) ( ) α g f ( x) β g f y = + = Izan bitez U, V eta T E-ko, F-ko eta H-ko oinarriak eta ( f ) U, V U eta V oinarriekiko f aplikazioaren matrizea eta ( g ) V, T V eta T oinarriekiko g aplikazioaren matrizea: ( f ) U, V f11 f1... f1 p f1 f... f p = fn 1 fn... f np ( g ) V, T g11 g1... g1n g1 g... gn = gq1 gq... g qn Orduan, U eta V oinarriekiko ( g f ) aplikazioaren matrizea honako hau da: n p g1 g... gn f1 f... f p = U, T ( g f ) g g... g f f... f g g... g f f... f q1 q qn n1 n np 5.8. Aplikazio lineal baten nukleoa Izan bitez E eta F K gorputzaren gainean definituriko bi bektore-espazio, p eta n dimentsiodunak, eta f E-ren eta F-ren arteko aplikazio lineal bat. Orduan, f aplikazio lineal baten nukleoa 0 irudia duten E-ko bektoreen azpimultzoa da. N(f) edo Ker(f) gisa izendatzen da. 1. propietatea: Ker(f) E-ren azpibektore-espazioa da f α x + β y = α f x + β f y = α 0 + β 0 = 0 Frogapena: ( ) ( ) ( ) 94

102 . propietatea: dim Ker(f)+ dim Im(f)= dim E = p Frogapena: Izan bedi N { n n n } = 1,,..., i nukleoaren oinarri bat. Orduan, N-ko bektoreak dituen E-ko oinarri bat aurki dezakegu: { n1, n,..., ni, ni + 1,..., np}. Beraz, Im f = f ( n1 ), f ( n ),..., f ( ni ), f ( ni + 1),..., f ( np ) = f ( ni + 1),..., f ( np ), f ( n1 ) = f ( n ) =... = f ( n i ) = 0 Orduan: { } a) - f ( n 1 ),..., i+ f ( np ) betetzen da eta. sistema askea bada, orduan: dim Im(f)= dim E - dim Ker(f) { } b) - f ( n 1 ),..., i+ f ( np ) ( ) ( ) sistema lotua bada, orduan: αi+ 1 f ni α p f np = 0 α j 0 j = i + 1,..., p Beraz, α n α n Ker ( f ) n 1, n,..., n p i i p p eta f ( αi ni α pnp ) = 0, eta orduan α 1 =... = α = 0, nukleoko bektoreak bektoreen konbinazio lineala direlako. Beraz, f ( n 1 ),..., i+ f ( np ) dira, eta dim Ker(f)+ dim Im(f)= dim E = p i+ p askeak 95

103 5.9. Aplikazio linealen ariketak 1) Izan bedi f : R R aplikazio lineala: ( ) f ( x, x, x ) = x + x, x x, x + x a. Aplikazio lineal bat dela frogatu. b. R -ko oinarri kanonikoekiko f-ren matrizea lortu. c. Aplikazioaren Kerf eta Imf lortu, oinarri bat eta dimentsioa emanez. d. f aplikazioaren matrizea lortu oinarri kanoniko eta B oinarriarekiko, ( f ), jakinik ( 0,1,1 ), ( 1,0,1 ), ( 1,1,0 ) B, B k { } B =. ) Izan bedi f : R R aplikazio lineala: ( ) f ( x, x, x ) = x + x, x x a. Oinarri kanonikoekiko f-ren matrizea lortu. b. x (,7, ) bektorearen irudia kalkulatu. c. Aplikazioaren Kerf eta Imf lortu, oinarri bat eta dimentsioa emanez. d. f aplikazioaren matrizea U eta V oinarriekiko, ( f ) U, V, jakinik U = {( 1,1,1 ), ( 0,1,1 ), ( 0, 0,1) } eta V = ( 0,1 ), ( 1,1) { } ) Izan bitez f : R R endomorfismoa eta R -ko oinarri batekiko aplikazioaren matrize hau: parametroaren arabera. k Endomorfismoa sailkatu k k 1 k 96

104 4) Izan bitez V eta W bi bektore-espazio, non dimv= eta dimw=4. Izan bitez B = { v, v, v } eta B ' { w, w, w, w } 1 = V eta W espazioetako oinarriak. f 1 4 aplikazio lineal honela definitzen da: 1 = 1 + +, 4 f ( v ) = w w + w 4 f ( v ) w w w w, f ( v ) = 4w w + w 1 4 Homomorfismoaren ekuazioak lortu. Aplikazioa sailkatu, eta Kerf eta Imf lortu, oinarriak eta dimentsioa. 5) P ( x ) eta ( ) 1 P x bektore-espazioen artean ( ) aplikazioa definitzen da. Orduan: a. Aplikazio lineal bat dela frogatu. f a x + a x + a = a x + a 1 1 b. P ( x ) eta P ( ) 1 x oinarri kanonikoekiko f-ren matrizea lortu. c. x = x 7x + 9 bektorearen irudia kalkulatu. d. f aplikazioaren matrizea lortu oinarri U { x x 1, x, x 7} { 1, } ' U x x = + oinarriekiko. = + + eta e. = x x x bektorearen irudia kalkulatu, e) ataleko matrizea erabiliz. f. Aplikazioa sailkatu. 6) Izan bitez aplikazio lineal hauek: ( ) ( ) ( ) f ( x, x, x, x ) = x + x, x + x, g( x, x ) = x, x, x + x, h( x, x, x ) = x,0, x a. Aplikazioaren oinarri kanonikoekiko matrizea lortu. b. Aplikazioaren Kerf eta Imf lortu, oinarri bat eta dimentsioa. c. x ( 1,1, ) B bektorearen irudia kalkulatu, jakinik {(,1,1 ), ( 0,1,1 ), ( 0, 0,1) } B =. d. Aplikazioa sailkatu. 97

105 98