Método de Painel para o Cálculo do Escoamento Potencial em Torno de Vários Perfis Sustentadores

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1 Método de Painel para o Cálculo do Escoamento Potencial em Torno de Vários Perfis Sustentadores Diogo de Arriaga e Cunha Matos Chaves Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Mecânica Júri Presidente: Orientador: Vogal: Professor Doutor Mário Manuel Gonçalves da Costa Professor Doutor Luís Rego da Cunha Eça Professor Doutor João Manuel de Melo e Sousa Outubro de 2012

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3 Agradecimentos Ao professor Luís Eça por toda a disponibilidade, orientação e apoio dado durante a elaboração da dissertação. iii

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5 Resumo Neste trabalho efetuou-se uma implementação em ambiente MATLAB de um método de painel 2D para aplicações a hiper-sustentadores e perfis sob efeito solo. O código teve como base um código original apenas para perfis simples implementado na linguagem de programação FORTRAN utilizando um método de 1ª ordem com fontes e vórtices de intensidade constante e painéis rectos. A descrição detalhada do método utilizado é incluída, assim como a metodologia seguida na criação do código. Efetuou-se uma extensa verificação do código, primeiro para perfis simples e depois para multicomponentes, a fim de se quantificar ordem de convergência do erro numérico do código e a incerteza dos resultados. Mostram-se também vários exemplos de possíveis aplicações do programa, onde se compararam resultados obtidos com o código desenvolvido com alguns resultados experimentais e outros provenientes de cálculos de CFD disponíveis na literatura específica da área. No que diz respeito ao efeito solo, constatou-se que os resultados do coeficiente de sustentação e da distribuição de pressão seguem em geral as mesmas tendências que os casos sujeitos a análise, concluindo-se que o código é ideal para análises qualitativas, sendo também ideal para ser utilizado em optimizações de geometrias e orientações relativas entre corpos sustentadores. Palavras-Chave: Método de Painel, Multi-Componente, Efeito solo, Hiper-Sustentadores. v

6 Abstract An implementation in MATLAB of a 2D panel method was performed for use in applications with airfoils in ground effect and multi-element configurations. The code was based on an earlier code developed in the FORTRAN language, using a 1 st order panel method that followed an implementation with constant source and vortex strengths and flat panels. The description of the method used is included, as is the methodology used in the development of the code. An extensive verification procedure to quantify the uncertainty and the error convergence was performed both for single airfoils and for multi-element configurations. Also, several examples of possible applications of the program were analyzed, where the results obtained with the developed code were compared with some experimental and CFD results available in relevant papers. Regarding profiles in ground effect, it is demonstrated that the trends of the lift coefficient and pressure distribution results follow those of the experimental or CFD results, making this code an ideal tool for qualitative analyses and optimization of geometries and relative orientations between airfoils. Keywords: Panel Method, Multi-Element, Ground Effect, High-Lift Devices vi

7 Índice Agradecimentos... iii Resumo... v Abstract...vi Índice de Figuras... ix Índice de Tabelas... xi Lista de Abreviaturas... xii 1. Introdução Formulação Matemática Formulação Básica Método de Hess & Smith Equações da velocidade em cada painel Cálculo dos coeficientes de influência Equações de velocidade normal nula na superfície do corpo Equação da condição de Kutta Resolução do sistema de equações para as incógnitas e Cálculo das velocidades tangenciais em cada ponto de controlo Cálculo dos coeficientes de pressão em cada ponto de controlo Cálculo dos coeficientes adimensionais Introdução da circulação no ASA 2D Extensão do método para múltiplos componentes Cálculo das velocidades tangenciais e do coeficiente de pressão Cálculo dos coeficientes adimensionais Organização do Método de Cálculo Pré-processador Malha de pontos gerados externamente Geração de um perfil NACA da série de 4 dígitos Geração de um perfil de Kármán-Trefftz e de Joukowski Sistema de eixos local e sistema de eixos global Processador Cálculo com Efeito solo Cálculo sem Efeito solo Pós-processador vii

8 Cálculo das velocidades em pontos de uma malha Visualização das linhas de corrente do escoamento Visualização da distribuição de velocidade em torno dos perfis Visualização da distribuição dos coeficientes de pressão em torno do perfis Visualização dos vetores de velocidade do escoamento Visualização das distribuições de pressão de cada perfil Escrita dos resultados obtidos num ficheiro Verificação do código Verificação para Perfis Simples Procedimento de verificação Casos teste Parâmetros Seleccionados Resultados Verificação para Multi-Componente Procedimento de verificação Casos Teste Resultados Aplicações Práticas Perfis sujeitos a Efeito solo Perfil NACA Perfil NACA Perfil NACA Perfil Tyrrell026 invertido Turbina de Eixo Vertical com Rotor Duplo Conclusões Bibliografia viii

9 Índice de Figuras Figura 1 - Fronteira S e volume V... 5 Figura 2 - Região de integração... 6 Figura 3 - Definição da circunferência em torno do ponto P... 8 Figura 4 - Escoamento não circulatório Figura 5 - Escoamento de um vórtice puro Figura 6 - Escoamento que satisfaz a condição de Kutta Figura 7 - Discretização dos painéis Figura 8 - Nomenclatura utilizada nos painéis Figura 9 - Definição de um ponto de controlo Figura 10 - Bordo de Fuga do perfil Figura 11 - Sistema de coordenadas local e global Figura 12 - Nomenclatura utilizada na construção das matrizes de influência Figura 13 - Forças actuantes no perfil em função do ângulo de ataque Figura 14 - Comparação entre resultados com métodos diferentes Figura 15 Vista em pormenor da distribuição de pressão no bordo de fuga Figura 16 - Discretização da linha média do perfil Figura 17 - Perfil NACA 4412 com 80 painéis Figura 18 - Círculo gerador da transformação conforme Figura 19 - Círculo Gerador 61 pontos Figura 20 - Perfil Plano transformado 61 pontos Figura 21 - Sistema de Eixos Global para Perfil Simples Figura 22 - Sistema de Eixos Global e Local Figura 23 - Exemplo de Transformação de Coordenadas de dois perfis Figura 26 - Exemplo de criação de uma imagem de um perfil simples Figura 27 - Exemplo de criação de uma imagem de um perfil simples com rotação Figura 28 - Criação de uma malha de pontos em torno do corpo Figura 29 - Linhas de corrente em torno de um perfil invertido com hiper-sustentador em efeito solo.. 43 Figura 30 - Mapa de cores da velocidade no escoamento Figura 31 - Mapa de cores dos coeficientes de pressão Figura 32 - Vista em pormenor dos vetores de velocidade numa região do escoamento Figura 33 - Distribuição de pressão do perfil principal Figura 34 - Distribuição de pressão do hiper-sustentador Figura 33 - Ilustração do método para se encontrar o ponto mais próximo do ponto de controlo Figura 34 - Nomenclatura utilizada Figura 35 - Resultados obtidos para o perfil Kármán-Trefftz simétrico Figura 36 - Resultados obtidos para o perfil Kármán-Trefftz com flecha ix

10 Figura 37 - Resultados obtidos para o perfil Joukowski com flecha Figura 38 - Resultados da norma L1 para o perfil Joukowski com flecha Figura 39 - Comparação das distribuições de pressão analitica e numérica Figura 40 - Pormenor do pico de sucção Figura 41 - Resultados obtidos para o perfil Joukowski simétrico Figura 42 - Tendência de evolução do erro numérico do perfil de Joukowski simétrico Figura 43 - Resultados obtidos para o perfil NACA Figura 49 - Coeficiente de Sustentação em função de h/c para = Figura 46 - Incerteza de CL para NACA 0015 com h/c=0.2 e = Figura 47 - Incerteza de CL para NACA 4412 com h/c=0.1 e α= Figura 48 - Incerteza de CL para NACA 4412 com h/c=0.5 e α= Figura 48 Definições da distância ao solo Figura 49 - Resultados para o NACA 0015, = Figura 50 - Resultados para o NACA Figura 51- Fig. 13 da referência [26]. Efeito de h/c no coeficiente de sustentação de um perfil NACA Figura 52 - Efeito de h/c no coeficiente de sustentação de um perfil NACA Figura 53 - Distribuição de pressão do NACA Figura 54 - Resultados para o perfil NACA Figura 55 - Geometria do perfil Tyrrell Figura 56 - Resultados para o perfil Tyrrell026 a = Figura 57-5 Configurações dos Perfis objeto de análise Figura 58 - CL vs para as várias configurações possíveis Figura 59 - CP vs para as várias configurações possíveis Figura 60 - CP vs CL para as várias configurações possíveis Figura 61 - Distribuições de pressão para o 1º e 2º perfil respectivamente Figura 62 - Linhas de corrente e mapa de velocidades para configuração 1, = x

11 Índice de Tabelas Tabela 1 Resultados de CL calculados pelos dois métodos alternativos Tabela 2 - Casos teste para verificação do código para perfil simples Tabela 3 Casos teste utilizados na verificação para multi-componente Tabela 4 - Resultados incerteza para os perfis analisados Tabela 5 - Coordenadas das Várias Configurações em Análise xi

12 Lista de Abreviaturas Coeficiente de sustentação obtido pela circulação Coeficiente de sustentação obtido pela integração Coeficiente de resistência obtido pela integração Coeficiente de pressão Coeficiente de momento em torno do centro do perfil Ângulo de ataque Comprimento da corda do perfil Comprimento da corda do perfil principal 2D Bidimensional 3D Tridimensional CFD Mecânica dos fluidos computacional Velocidade do escoamento uniforme Componentes da velocidade nas direcções e Influência do painel no painel devido a uma fonte Influência do painel no painel devido a um vórtice Potencial do escoamento uniforme Ângulo do painel em relação ao eixo Número de painéis de um perfil Intensidade da fonte no painel Intensidade do vórtice Comprimento do painel da linha média Intensidade do vórtice corrigida Vetor relacionado com o escoamento uniforme Matriz dos coeficientes de influência na direcção normal Matriz dos coeficientes de influência na direcção tangencial Matriz que contém as matrizes individuais Vetor que contém as singularidades de cada corpo Vector que contém os vetores individuais Matriz que contém as matrizes individuais Vetor das velocidades tangenciais devido às singularidades Comprimento do painel de superfície Coordenada do ponto de fronteira Coordenada do ponto de fronteira Integração da pressão na direcção Integração da pressão na direcção xii

13 Componente do momento na direcção Componente do momento na direcção Distribuição de espessura para um perfil NACA da série de 4 dígitos Distribuição de curvatura para um perfil NACA da série de 4 dígitos BA Bordo de ataque BF Bordo de fuga, Coeficientes de influência no ponto devido a uma singularidade na direcção and Declive de um determinado painel Declive da normal de um determinado painel ( ) Função que procura o ponto analítico mais próximo do perfil discretizado Norma do erro numérico do coeficiente de pressão Distância à parede adimensionalizada pela corda do perfil Erro numérico para a malha zero Parâmetro de refinamento da malha Ordem de convergência observada Constante Erro numérico de xiii

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15 1. Introdução Uma das primeiras implementações de mecânica dos fluidos computacional tornada possível pelo aparecimento dos computadores foram os chamados métodos de painel. Estes métodos, que apareceram por volta da década de sessenta do século passado, tornaram possível o cálculo de escoamentos em torno de geometrias arbitrárias complexas através da discretização da superfície do corpo em segmentos de recta, posterior distribuição de singularidades pela superfície do corpo e resolução da equação de Laplace [1] como um somatório das contribuições das singularidades em cada painel. Estes métodos podem ser aplicados a uma grande gama de geometrias incluindo vários corpos inseridos no mesmo problema e têm a possibilidade de se uma boa precisão numérica com um reduzido número de painéis. Além disso, efectuando cálculos com corpos sustentadores a pequenos ângulos de ataque, obtém-se uma concordância muito boa com o escoamento real, mesmo sem se considerar a camada limite. Quando surgiram os primeiros computadores com capacidade para efetuar cálculos de escoamento potencial, os cálculos bidimensionais invíscidos foram os que primeiro foram alvo de estudo, tendo-se desenvolvido vários programas comerciais com base em vários métodos, entre eles, o método dos painéis desenvolvido por Hess, J. e Smith, A. [2]. Mais tarde, com a evolução das capacidades de cálculo dos computadores, houve uma clara tendência para se concentrarem esforços no desenvolvimento de programas de cálculo para geometrias tridimensionais e, paralelamente, no desenvolvimento de códigos de cálculo viscoso pelas maiores capacidades de previsão das características dos escoamentos reais que quer um tipo quer outro consegue fornecer. Os cálculos invíscidos a duas dimensões foram então perdendo importância em detrimento dos a três dimensões e dos de cálculo viscoso, quer numa questão de esforços de desenvolvimento de métodos de cálculo distintos, quer também em termos de utilização dos códigos já anteriormente desenvolvidos. Contudo, embora os resultados de métodos de cálculo mais evoluídos se aproximem mais das condições de um escoamento real, são poucas as aplicações destes programas que não beneficiem de um cálculo prévio com um método de painel a duas dimensões [3], não só pela grande precisão numérica e facilidade de uso deste método comparativamente a qualquer outro método mais complexo, mas também pela grande correlação que se consegue alcançar entre os resultados obtidos por este método e os resultados obtidos por outros métodos mais pesados, fornecendo uma boa estimativa preliminar da solução a uma fracção muito reduzida do elevado tempo de cálculo que outros métodos mais complexos inevitavelmente consomem. Deste modo, apesar de hoje em dia existirem programas de CFD já muito avançados que contemplam escoamentos turbulentos e ocorrências de separação, métodos tão simples como o método de painel bidimensional ainda são utilizados em situações em que não interessa tanto saber o valor exacto do coeficiente de sustentação ou obter a distribuição de pressão exacta em torno de perfis, mas sim saber 1

16 estimativas e tendências de variação daqueles parâmetros consoante as condições do cálculo. Tomando como exemplo situações de efeito solo, saber como varia o parâmetro pode ser suficiente para alguns estudos preliminares no design de certas geometrias, algo que, como se verá posteriormente, este método consegue captar facilmente. Embora no final do século passado tenham sido efectuados diversos estudos com métodos de painel aplicados a asas dianteiras duplas de carros de Fórmula 1 por Katz, J. [4] [5] [6] [7] e Knowles et al [8] (ver tab. 1 em [9]), hoje em dia estudos mais aprofundados sobre o efeito solo são efectuados com códigos CFD mais complexos. No entanto, uma vez que os métodos de painel são extremamente rápidos quando comparados com outros métodos mais complexos, podem ser por exemplo utilizados em algoritmos genéticos para optimizações de design de corpos sustentadores em diversas situações. Como exemplo, Sun, S. et al [10] utilizou um método de painel invíscido de 2ª ordem juntamente com um algoritmo genético para optimizar uma asa dianteira sob efeito solo de um carro de Fórmula 1. No mesmo artigo [10], é citado que as razões pela qual se utilizou um método de painel invíscido devem-se à sua versatilidade no cálculo de diversas geometrias e pelo seu reduzido tempo de cálculo, condição essencial para se efectuar este tipo de optimização num tempo aceitável. Outro procedimento de optimização da geometria de perfis em que se utilizou um método de painel de 1ª ordem acoplado a um algoritmo genético é descrito por Wickramasinghe, U. et al em [11]. Assim, dada a importância dos códigos de cálculo bidimensionais ainda nos dias de hoje, o desenvolvimento deste trabalho consistiu na generalização de um programa de cálculo baseado num método de painel bidimensional invíscido para permitir a sua utilização com multi-componentes, ou seja, com vários corpos inseridos no mesmo escoamento. O objectivo principal foi o de fornecer um programa fácil de utilizar, rápido e que representasse fielmente o escoamento real em torno de vários perfis para situações em não ocorra separação do escoamento. A extensão do programa apresenta várias vantagens em relação ao programa original, pois não só o programa pode ser aplicado ao cálculo de um perfil isolado, mas possibilita também a aplicação a várias situações em que se tem mais do que um perfil, tal como são os casos dos hiper-sustentadores e nos estudos do efeito solo, abrindo portas a que este código seja utilizado em rotinas de optimização de geometrias e orientações relativas entre corpos sustentadores, tal como referido nos exemplos do parágrafo anterior. O programa original, chamado ASA 2D [12], utiliza fontes e vórtices de intensidade constante com base no método desenvolvido por Hess & Smith [2] e originalmente estava escrito na linguagem de programação FORTRAN. A parte inicial do trabalho desenvolvido foi a de reescrever o programa na linguagem de programação MATLAB e de estudar a convergência do erro numérico para perfis simples, comparando soluções exatas dadas pela transformação conforme com os resultados obtidos pelo programa. A segunda parte do trabalho consistiu na extensão do código para o cálculo com múltiplos componentes, tendo-se novamente efetuado uma extensa verificação do código, onde se mostra que numa situação de efeito solo a solução tende para a do perfil isolado à medida que a distância à parede 2

17 aumenta e onde também se quantifica qual a incerteza associada ao cálculo para um determinado número de painéis. A terceira e última parte consistiu na aplicação do programa a várias situações de cálculos com mais de um perfil. O objectivo foi o de demonstrar a boa concordância dos resultados que se obtêm com o código com resultados disponíveis na literatura, ao mesmo tempo que se dão a conhecer possíveis aplicações deste programa. Efectuaram-se vários cálculos de corpos sustentadores sob efeito solo, onde se demonstra que os resultados do parâmetro para várias distâncias ao solo é o mesmo que se obtém através de códigos CFD e com resultados experimentais. Efectuou-se também um estudo de um rotor duplo de uma turbina de eixo vertical, onde, com o objectivo de reduzir o pico de sucção máximo, mostrou-se que o programa pode ser utilizado para a optimização da configuração ideal dos corpos sustentadores que compõem o rotor. 3

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19 2. Formulação Matemática 2.1. Formulação Básica Tal como referido na introdução, este trabalho baseou-se num método de painel, pelo que nesta secção se fará primeiro uma exposição do modelo matemático por detrás destes métodos, baseada nas descrições de Katz & Plotkin [1], Moran [13] e Mason [14]. O método dos painéis é uma técnica de solução aplicável à teoria de escoamento potencial, pelo que a equação que rege a formulação matemática do método é a equação de Laplace, dada pela seguinte expressão: (2-1) A equação acima é válida para um escoamento estacionário, incompressível e irrotacional, condições que se verificam num escoamento de fluido perfeito. Embora haja várias formas de resolver esta equação, o método utilizado neste caso é através de singularidades, funções algébricas que satisfazem a equação de Laplace. As singularidades mais comuns são as fontes (e poços), os dipolos e os vórtices. Uma vez que a equação é linear, é possível utilizar uma sobreposição de singularidades para se obter a solução de um determinado escoamento. Na teoria potencial clássica, algumas superfícies podem ser criadas a partir de singularidades localizadas dentro dos corpos (exemplo do cilindro criado por um dipolo com origem no centro do círculo). No entanto, para se criar uma forma arbitrária, tal não é possível. É necessária então uma abordagem mais sofisticada para se determinar o escoamento potencial em torno de corpos de forma arbitrária. Defina-se então um volume que contém um corpo cuja superfície é, visível na Figura 1. Figura 1 - Fronteira S e volume V 5

20 Para resolver o problema, primeiramente é necessário definir as duas condições de fronteira. A primeira dita que a componente normal da velocidade em qualquer superfície sólida tem de ser nula. A segunda impõe que a velocidade do escoamento tenda para a velocidade do escoamento não perturbado à medida que nos afastamos do corpo. As expressões seguintes descrevem respectivamente estas condições: (2-2) (2-3) Definidas as condições de fronteira, é necessário agora obter a equação do potencial que seja passível de ser utilizada nos cálculos do método dos painéis. Para tal, aplica-se o teorema da divergência de Gauss, que relaciona um integral de volume com um integral de superfície: (2-4) O integral da equação (2-4) é aplicado ao problema interior, ou seja, ao interior de uma fronteira arbitrária. Figura 2 - Região de integração Para começar a derivação, introduz-se o vector função de dois escalares, dado por: (2-5) Substituindo a equação (2-5) no teorema da divergência de Gauss (Eq. (2-4)) obtém-se: 6

21 ( ) ( ) (2-6) Utilizando agora a identidade vectorial equação (2-6), e recordando que, obtém-se: para simplificar o lado esquerdo da ( ) ( ) ( ) (2-7) Substituindo então na equação (2-6), obtém-se: ( ) ( ) (2-8) Ou igualmente, recordando que, ( ) ( ) (2-9) Chega-se assim a uma expressão conhecida por Teorema de Green de segunda ordem. A partir deste ponto seria possível continuar o desenvolvimento da equação acima para uma situação a duas ou a três dimensões. Uma vez que a implementação desenvolvida neste trabalho foi a duas dimensões, omitir-seá o desenvolvimento para o caso tridimensional. Pode-se então agora substituir e por quantidades de interesse para se chegar a uma expressão para o potencial que descreva o escoamento bidimensional. Assim, define-se e, onde é uma função harmónica que satisfaz a equação de Laplace. O termo é uma singularidade do tipo fonte a duas dimensões, onde é a distância a um determinado ponto. Substituindo agora e pelas suas respectivas definições na equação principal e trocando os termos, obtém-se: [ ( )] [ ( )] (2-10) Onde é a região compreendida na superfície. Pela equação (2-1), é igual a zero, pelo que a equação (2-10) reduz-se a: 7

22 [ ( )] ( ) (2-11) Se um ponto for exterior a, então a expressão ( ) será nula em todo espaço, uma vez que é uma fonte e satisfaz a equação de Laplace ( ). Assim, a expressão acima fica: [ ( )] (2-12) No entanto, definiu-se a origem dentro da região, pelo que se estiver dentro de, então ( ) em. Para excluir o ponto da região de integração, define-se uma circunferência de raio que engloba a origem, tal como na Figura 3. Figura 3 - Definição da circunferência em torno do ponto P Então, aplicando o integral à região entre e, obtém-se: [ ( )] [ ] (2-13) Ou, passando o 2º termo para o membro direito [ ] [ ] (2-14) Considerando o integral do membro esquerdo, fazendo e assumindo que a função é bem comportada, será aproximadamente constante e logo. Assim, é apenas necessário avaliar o integral dado por: 8

23 (2-15) O qual será calculado ao longo da linha da circunferência onde linha é dado pela expressão:. Para um círculo, o elemento de (2-16) Substituindo a expressão de no integral acima, obtém-se: (2-17) Integrando de até, obtém-se: (2-18) Obtendo-se finalmente o resultado final dado por: [ ] (2-19) Substituindo este resultado na expressão (2-14), obtém-se: ( ) [ ] (2-20) Com a expressão acima, o valor de em qualquer ponto dentro da região pode ser obtido sabendo-se o valor de e de na fronteira do corpo. Até agora utilizou-se a região interior do corpo sólido para que se pudesse escrever a origem no ponto. No entanto, esta equação pode ser estendida para a região exterior a. Aplicando a solução encontrada entre a superfície do corpo e uma superfície arbitrária Σ que envolva e deixando esta última tender para o infinito, os integrais sobre Σ tenderão para, ou seja, para o escoamento não perturbado pelo corpo, tal como a 2ª condição de fronteira impõe. Assim, chega-se à expressão final do potencial a duas dimensões para qualquer ponto do escoamento na região exterior ao corpo: 9

24 ( ) [ ] (2-21) Na equação acima é a normal unitária que aponta no sentido exterior à superfície. Utilizando a regra do produto interno da normal com o gradiente, obtém-se a expressão: ( ) [ ( )] (2-22) A equação acima está agora numa forma em que é possível interpretar o integral como uma função de uma distribuição de singularidades. O primeiro termo do integral pode ser interpretado como o potencial de uma fonte de intensidade, enquanto o 2º termo pode ser interpretado como o potencial de um dipolo de intensidade. A expressão final fica então: ( ) [ ] (2-23) O problema pode agora ser resolvido encontrando as intensidades das fontes e dos dipolos para uma determinada geometria e determinadas condições do escoamento não perturbado,. A principal conclusão da equação (2-23) é que é possível representar uma qualquer geometria arbitrária a partir da sobreposição de fontes e dipolos distribuídos por painéis segmentos de recta no caso a duas dimensões ao longo da sua superfície. No entanto, é preponderante que se certifique que a superfície do corpo é totalmente fechada e que a normal à superfície aponta sempre para fora. Para implementar este método, há várias formas de abordar o problema, sendo possível variar as singularidades utilizadas, variar a intensidade das singularidades ao longo de cada painel e utilizar diferentes geometrias dos painéis. Embora haja várias abordagens possíveis aplicando a teoria acima exposta, o método utilizado no desenvolvimento do código foi o já conhecido método de Hess & Smith [2], o qual será abordado em detalhe na próxima secção Método de Hess & Smith O método de Hess & Smith [2] foi a primeira forma do método dos painéis a ser implementada e foi concretizada pelo matemático John Hess e pelo aerodinamicista A.M.O. Smith. A exposição do método que se apresenta de seguida foi baseada nos textos de Hess [2], Moran [13] e Mason [14]. 10

25 Neste método apenas se utilizam fontes e poços para se definir a forma de um corpo arbitrário, pelo que a equação (2-23), referente ao potencial de um ponto exterior ao corpo, reduz-se neste caso à seguinte expressão: (2-24) No entanto, um modelo matemático baseado apenas num escoamento uniforme e numa distribuição de fonte e poços produziria um escoamento como o da figura seguinte: Figura 4 - Escoamento não circulatório O escoamento resultante reproduz corretamente a forma do corpo, mas no entanto, uma vez que a condição de Kutta não é verificada, não há circulação e logo o corpo não produz sustentação. Assim, há que introduzir na equação do potencial algo que produza a circulação necessária para que a condição de Kutta se verifique. Um vórtice puro, cujo escoamento se pode observar na Figura 5, cumpre os requisitos para satisfazer a equação de Kutta. Figura 5 - Escoamento de um vórtice puro Assim, somando à equação (2-24) o potencial de um vórtice puro, pelo princípio da sobreposição obtém-se: 11

26 (2-25) (2-26) ( ) (2-27) [ ] Onde ( ) e ( ). O sinal negativo que antecede o membro referente ao vórtice deve-se ao facto de se considerar por convenção o sentido contrário ao dos ponteiros do relógio como o sentido positivo da circulação. Como tal, uma vez que a circulação necessária para satisfazer a condição de Kutta é no sentido dos ponteiros do relógio, o membro da equação respeitante ao vórtice aparece com sinal negativo. O escoamento resultante do potencial dado pela equação acima já obedecerá à equação de Kutta, e como tal, produzirá sustentação. Será então da forma que se apresenta na Figura 6. Figura 6 - Escoamento que satisfaz a condição de Kutta Visto de uma forma simples, o método consiste em discretizar a superfície do corpo em segmentos de reta, aplicar fontes de intensidade constante ao longo de cada painel mas variando de painel para painel e aplicar um vórtice de intensidade constante ao longo de cada painel com o mesmo valor para todos os painéis. Uma vez que a velocidade normal em cada ponto da superfície tem de ser nula, a intensidade das fontes tem de variar de painel para painel. No entanto, dado que o vórtice necessário para que se verifique a condição de Kutta é apenas um, a sua intensidade pode ser a mesma em todos os painéis. A figura abaixo ilustra como a forma do corpo é aproximada por vários segmentos de reta. A numeração dos pontos fronteira que definem a geometria começa no bordo de fuga, prosseguindo ao longo do intradorso até ao bordo de ataque, continuando ao longo do extradorso e terminando novamente no bordo de fuga. A linha encarnada e a linha verde que representam respetivamente o extradorso e o 12

27 intradorso contêm exatamente o mesmo número de pontos fronteira. Assim, definem painéis. pontos fronteira Figura 7 - Discretização dos painéis A equação do potencial após a discretização do corpo é então dada pela expressão seguinte: ( ) [ ( ) ] (2-28) Onde, como já referido anteriormente, é o valor da velocidade do escoamento no infinito,,, e são as coordenadas de um determinado ponto do escoamento e ( ) e são respetivamente a intensidade da fonte (ou poço) em cada painel e a intensidade do vórtice, comum para todos os painéis. Para se definir a geometria de cada painel, utiliza-se a nomenclatura representada na figura 2. Figura 8 - Nomenclatura utilizada nos painéis O painel é definido como estando entre os nós e o, tem comprimento e o ângulo que faz com o eixo das abcissas é, tal como está representado na Figura 8. Assim, o seno e o cosseno de são dados pelas seguintes expressões: (2-29) (2-30) E os versores normais e tangenciais de cada painel são dados por: 13

28 (2-31) (2-32) Para cada painel, existe um ponto de controlo situado no centro deste. Será neste ponto que será satisfeita a condição de velocidade normal nula na superfície do corpo. Figura 9 - Definição de um ponto de controlo As coordenadas do ponto de controlo são então definidas pelas seguintes expressões: (2-33) (2-34) Definida a geometria de cada painel, as equações que permitem resolver o sistema a incógnitas são, como já referido anteriormente, as equações referentes à condição de velocidade normal nula em cada ponto de controlo e a equação referente à condição de Kutta. A condição de velocidade normal nula na superfície é dada pela expressão desenvolvida na seguinte expressão:, a qual pode ser ( ) ( ) (2-35) Ou, rearranjando: 14

29 (2-36) Para cada. Embora neste caso apenas nos interesse que a velocidade normal num determinado ponto de controlo seja nula, tal não é necessariamente obrigatório. É possível definir uma velocidade de transpiração na parede [12], podendo-se desta forma por exemplo simular o efeito da camada limite numa determinada superfície através do desvio das linha de corrente da superfície originado por uma velocidade normal a apontar para o exterior da superfície. Falta apenas a equação N+1, a qual é dada pela condição de Kutta. Esta condição dita que o escoamento saia paralelo à bissectriz que divide o bordo de fuga, ou por outras palavras, implica que no bordo de fuga a pressão seja igual no intradorso e no extradorso. Existem várias formas de abordar numericamente esta condição, mas a utilizada neste método é a de obrigar a que as velocidades tangenciais no primeiro e no último painel (os painéis adjacentes ao bordo de fuga) sejam iguais. Figura 10 - Bordo de Fuga do perfil Utilizando esta condição, o erro do método vai ser afetado pelo tamanho dos dois painéis adjacentes ao bordo de fuga, diminuindo à medida que o tamanho destes painéis for reduzindo e se ambos tiverem tamanhos semelhantes. A condição é então dada pela expressão: (2-37) Ou tendo em conta a diferença de sinal entre os dois versores tangenciais: (2-38) Efetuando o desenvolvimento da expressão (2-38), obtém-se a expressão final: (2-39) Expostas as linhas principais deste método e as relações que permitem resolver o problema, descreverse-á agora detalhadamente cada passo a seguir para se chegar a uma solução Equações da velocidade em cada painel 15

30 As componentes da velocidade em cada painel i são dadas pela soma das contribuições do escoamento não perturbado e das velocidades induzidas pela distribuição de fontes e de vórtices em cada painel. Assim: (2-40) (2-41) Onde,, e são os coeficientes de influência. Como exemplo, o coeficiente de influência é a componente x da velocidade induzida em devido a uma fonte unitária sobre o painel j Cálculo dos coeficientes de influência Para se determinar os coeficientes de influência,, e, utiliza-se o sistema de coordenadas local e, que está ligado ao sistema de coordenadas global e através do angulo, tal como ilustrado na figura abaixo. Figura 11 - Sistema de coordenadas local e global Deste modo, a integração da distribuição das fontes e dos vórtices ao longo do painel fica uma tarefa fácil, procedendo-se à passagem para o sistema de coordenadas global através de uma transformação de coordenadas simples. As expressões que executam a rotação de eixos são as seguintes: 16

31 (2-42) (2-43) Estabelecido o sistema de eixos, o próximo passo é descobrir as velocidades induzidas pelas singularidades. No caso da fonte, a velocidade induzida por uma fonte nas suas coordenadas cilíndricas naturais é: (2-44) Passando a expressão acima para coordenadas cartesianas, tem-se que: ( ) ( ) (2-45) (2-46) Onde a origem da fonte é em e. Colocando as fontes ao longo da coordenada de cada painel num ponto e integrando num comprimento, as velocidades induzidas pelas distribuições de fontes são obtidas pelas expressões: ( ) ( ) (2-47) ( ) ( ) (2-48) Para se obter os coeficientes de influência, escrevem-se as equações acima no referencial e com ( ). ( ) (2-49) ( ) (2-50) Resolvendo os integrais das expressões acima com recurso a tabelas, obtém-se o seguinte resultado: 17

32 [( ) ] (2-51) ( ) (2-52) As expressões acima podem ser interpretadas com a ajuda da Figura 12. Na expressão da velocidade tangencial, os termos dentro do logaritmo podem ser interpretados como as distâncias e. Na expressão da velocidade normal, os termos dentro da inversa da tangente podem ser interpretados como os ângulos e. Figura 12 - Nomenclatura utilizada na construção das matrizes de influência Assim, os coeficientes de influência devido às fontes resultam nas expressões finais que se seguem: ( ) (2-53) (2-54) Ou, simplificando: ( ) (2-55) (2-56) O caso da auto-indução a velocidade induzida num painel por si mesmo requere especial consideração. A fonte apenas induz velocidades normais e não tangenciais, pelo que a velocidade 18

33 será nula e depende do lado pelo qual se faz a aproximação. Neste caso, trata-se de uma aproximação pelo lado exterior, pelo que então será igual a, e logo: Considerando agora a influência dos vórtices, as expressões para as velocidades induzidas são semelhantes ao caso das fontes devido à semelhança das expressões gerais da velocidade em coordenadas cilíndricas. (2-57) Tal como no caso da fonte, passando a expressão (2-57) para coordenadas cartesianas, obtêm-se as seguintes expressões: ( ) ( ) (2-58) (2-59) Onde a origem do vórtice é em e e é a intensidade do vórtice. Realizando o mesmo exercício feito para as fontes, também é possível chegar às expressões para os coeficientes de influência devido a um vórtice. Integrando num comprimento no referencial do painel e substituindo ( ), obtêm-se as seguintes expressões para os coeficientes de influência devido a um vórtice no referencial e : ( ) (2-60) ( ) (2-61) Resolvendo as equações (notando que os integrais são os mesmos que se tinham para o caso das fontes, embora trocados), obtêm-se as expressões finais dos coeficientes de influência devido a um vórtice. 19

34 (2-62) ( ) (2-63) Onde a nomenclatura é a mesma utilizada no caso das fontes, patente na Figura 12. No caso da autoindução, como agora neste caso o vórtice apenas induz velocidade tangencial, será nula, e, tal como no caso das fontes e uma vez que a aproximação é feita pelo lado exterior, e logo: Equações de velocidade normal nula na superfície do corpo Para se encontrarem os valores das intensidades das singularidades, é necessário primeiro obter uma matriz de dimensão ( ) que contenha os coeficientes de influência das fontes e vórtices e uma matriz que contenha as componentes respeitantes ao escoamento uniforme. Assim, com base nas equações da velocidade normal nula (eq. (2-36)), o objetivo nesta primeira parte é o de se obter um sistema de equações da forma: (2-64) Assim, recordando a equação (2-36): (2-36) Onde as velocidades são dadas por: (2-65) (2-66) Substituindo as equações (2-65) e (2-66) na equação (2-36), fica-se com: 20

35 ( ) ( ) (2-67) Reagrupando, a expressão (2-67) dá origem à expressão: ( ) ( ) ( ) (2-68) A expressão (2-68) pode ser aplicada para todos os pontos de controlo Equação da condição de Kutta A equação necessária para completar o sistema a ser resolvido vem da expressão da condição de Kutta, tal como já referido anteriormente. Esta equação dita que a velocidade e consequentemente a pressão no bordo de fuga seja igual no intradorso e no extradorso. Como tal, é necessário garantir que a velocidade tangencial nos pontos de controlo dos painéis adjacentes ao bordo de fuga é igual. Recordando a expressão (2-39): (2-69) O sinal negativo no lado direito da equação advém do facto de o sentido positivo da direção tangencial ser no sentido dos ponteiros do relógio, e como tal, em sentido contrário nos dois painéis referidos. Com base na equação (2-39), o objetivo neste caso é o de se obter a linha da matriz, que será da forma: (2-70) As expressões para as velocidades nos painéis adjacentes ao bordo de fuga são: 21

36 (2-71) (2-72) (2-73) (2-74) As quais, substituindo na equação (2-39), fica-se com: ( ) ( ) ( ) ( ) (2-75) O desenvolvimento e reagrupamento da equação (2-75) origina: 22

37 ( ) [ ( )] ( ) (2-76) Os coeficientes de influência,, e,, são calculados no referencial local do painel j e transformados para o sistema de eixos global através das expressões (2-42) e (2-43): Resolução do sistema de equações para as incógnitas e. Expostas as equações necessárias e juntando as equações (2-64) e (2-70), neste momento é possível resolver o sistema de equações global para se encontrarem os valores das singularidades em cada painel. O sistema final é o seguinte: [ ] [ ] [ ] (2-77) O qual é facilmente resolvido pelo método de eliminação de Gauss-Jordan [15] com recurso a uma rotina do MATLAB Cálculo das velocidades tangenciais em cada ponto de controlo Calculados os valores das singularidades, é agora possível saber-se a velocidade tangencial ao longo da superfície do corpo. Desenvolvendo a expressão da equação da velocidade tangencial para cada ponto de controlo, tem-se: ( ) (2-78) ( ) Onde,,, são novamente os coeficientes de influência calculados anteriormente. 23

38 Tal como para o caso das velocidades normais em que se introduziu a matriz, a expressão acima também pode ser simplificada introduzindo a matriz. Assim, analogamente à matriz, a matriz irá conter as componentes tangenciais dos coeficientes de influência induzidos pelas fontes e pelos vórtices em cada painel. A equação para o cálculo das velocidades tangenciais poderá então ser simplificada para: ( ) ( ) ( ) ( ) (2-79) Cálculo dos coeficientes de pressão em cada ponto de controlo. Sabendo a velocidade tangencial em cada ponto de controlo, é possível agora calcular o coeficiente de pressão ao longo da superfície do perfil através da definição de e da equação de Bernoulli, dadas respectivamente pelas seguintes expressões: (2-80) (2-81) Onde é a velocidade tangencial calculada por (2-79) num determinado ponto do escoamento. Através de uma manipulação algébrica simples é possível chegar à forma mais conveniente para a expressão de de modo a se poder calcular a pressão em qualquer ponto sabendo apenas a velocidade local. Assim, a expressão final para o coeficiente de pressão é dada por: ( ) (2-82) Com a expressão (2-82) é assim possível calcular o em cada ponto de controlo do perfil Cálculo dos coeficientes adimensionais O coeficiente de sustentação pode ser calculado através de duas formas. A primeira é através da equação de Kutta-Joukowski [16]. Para tal é necessário primeiro calcular a circulação total através da expressão: 24

39 (2-83) Onde é a intensidade do vórtice constante em todos os painéis vindo da solução do sistema de equações e é o comprimento do respetivo painel i. Sabendo a circulação total, pela equação de Kutta tem-se que: (2-84) Onde é a velocidade do escoamento não perturbado e é a corda do perfil. Também é possível calcular o coeficiente de sustentação através da integração da pressão ao longo do perfil, assim como também é possível calcular o coeficiente de resistência e o coeficiente momento em torno do centro do perfil. Figura 13 - Forças actuantes no perfil em função do ângulo de ataque O coeficiente de sustentação e o coeficiente de resistência são dados respectivamente pelas seguintes expressões: (2-85) (2-86) Onde e são dados pela regra de integração do ponto médio [17]: 25

40 ( ) ( ) (2-87) ( ) ( ) (2-88) Também é possível calcular o coeficiente de momento em torno do centro do perfil através da expressão: (2-89) Onde e são dados pelas integrações da pressão multiplicadas pelo braço em relação ao centro do perfil: ( ) (2-90) ( ) ( ) (2-91) Para um perfil em fluido perfeito, o coeficiente de resistência ( ) deverá aproximar-se o mais possível de zero, uma vez que não existem forças viscossas. Será um um parâmetro útil na verificação do código uma vez que quanto mais se aproximar de zero, maior será a precisão numérica Introdução da circulação no ASA 2D No programa ASA 2D a circulação é introduzida de forma diferente daquela descrita pelo método de Hess & Smith original. Embora o método original seja numericamente simples, os resultados da distribuição de pressão não são satisfatórios para bordos de fuga muito pronunciados, tal como demonstrado por Hess, J. [18]. Na Figura 14 e Figura 15 utilizou-se um perfil de Joukowski com espessura de 15% e flecha relativa de 5% a um ângulo de ataque de 2 para demonstrar este efeito. 26

41 Figura 14 - Comparação entre resultados com métodos diferentes Embora o valor de Figura 15 Vista em pormenor da distribuição de pressão no bordo de fuga Método Utilizado Vórtices na Superfície Vórtices na Linha Média Método Exacto Tabela 1 Resultados de CL calculados pelos dois métodos alternativos obtido pela condição de Kutta não seja demasiado diferente nos dois casos, como se pode depreender dos resultados da Tabela 1, é fácil de constatar que no caso em que se aplicam os vórtices na superfície, a distribuição de pressão junto do bordo de fuga é errada. Seguindo o método que será exposto de seguida, os resultados obtidos aproximam-se consideravelmente mais da 27

42 distribuição de pressão exata para o perfil de Joukowski definido acima, a qual é dada pela transformação conforme. O método alternativo difere do tradicional na forma como são distribuídos os vórtices no corpo. No método de Hess & Smith [2], os vórtices são distribuídos por cada painel da superfície do corpo. Neste caso, aplica-se uma distribuição de vórtices constantes ao longo de painéis contidos numa linha média do perfil, correspondentes aos triângulos da Figura 16. Figura 16 - Discretização da linha média do perfil A linha média é definida a partir das coordenadas dos pontos que definem a superfície do corpo e o número de painéis nesta linha é metade dos painéis da superfície. Embora no método de Hess & Smith [2] original não seja necessário que os pontos fronteira homólogos no intradorso e no extradorso tenham o mesmo valor de abcissa, nesta implementação alternativa tal é necessário porque há que garantir que nenhum ponto de controlo dos painéis definidos no interior do perfil tem abcissa negativa, situação que conduziria a resultados errados. A intensidade do vórtice em cada painel é constante e é dada pela expressão disponível em [12]: (2-92) Onde é a distância medida ao longo da linha média desde o ponto de controlo de um dado painel até ao bordo de fuga e é a intensidade do vórtice a ser determinada pela condição de Kutta, tal como no método original. A circulação total em torno do perfil, dada pela equação de Kutta, obtém-se através da expressão seguinte: (2-93) Onde é o comprimento do painel e é o número de painéis da linha média. 28

43 2.4. Extensão do método para múltiplos componentes Na descrição do método de Hess & Smith chegou-se ao sistema de equações final para calcular as singularidades que definem o escoamento em torno de um perfil (2-77), o qual, recordando, era da forma: [ ] [ ] [ ] (2-77) Tinha-se então um sistema com equações para incógnitas, onde é o número de painéis do perfil. Estas equações são as equações correspondentes à condição de fronteira que dita que a componente normal da velocidade seja nula na superfície do corpo e mais uma equação correspondente à condição de Kutta. Assim, para se estender este método dos painéis para um número de corpos arbitrário serão necessárias ( ) equações, onde é o número de componentes definido e é o número de painéis de cada perfil. Estas equações correspondem igualmente às condições de fronteira descritas anteriormente para cada perfil, mas agora terão de ser satisfeitas para todos os perfis. O sistema de equações geral será então da forma que se apresenta de seguida: [ ] [ ] [ ] (2-94) No sistema acima, cada posição na matriz corresponde a uma matriz, tal como se tinha no caso para apenas um perfil. As posições da diagonal principal correspondem aos coeficientes de influência dos painéis de um perfil sobre si mesmo. As restantes posições correspondem aos coeficientes de influência de um determinado perfil sobre os restantes outros perfis. Assim, por exemplo, e por ordem, a primeira linha da matriz contém a matriz de influência do primeiro perfil sobre si mesmo, a matriz de influência do segundo perfil sobre o primeiro perfil, a matriz de influência do terceiro perfil sobre o primeiro perfil, etc. até se chegar ao último perfil, seguindo-se a mesma lógica para as restantes linhas da matriz. Por sua vez, o vetor contém por ordem as intensidades das fontes e dos vórtices associados aos painéis de cada perfil, que no sistema não resolvido ainda são incógnitas. O vetor (o qual não deve ser confundido com o vetor definido anteriormente) corresponde à junção dos vetores individuais de cada perfil, tal como se havia definido antes na equação (2-77). 29

44 O sistema de equações estendido para perfis é assim em grande medida semelhante ao sistema de equações para o cálculo de apenas um perfil. Cada posição das matrizes do sistema é calculada individualmente exatamente pelo mesmo método que seria calculada para apenas um perfil, tornando o cálculo sistemático Cálculo das velocidades tangenciais e do coeficiente de pressão Para o cálculo das velocidades tangenciais em cada painel, agora é necessário contar com todas as contribuições de todas as distribuições de singularidades nos perfis. Tal como a matriz se transformou na matriz, a matriz será agora a junção de várias sub-matrizes, agrupadas na matriz : [ ] (2-95) Uma vez mais, as posições da diagonal principal serão os coeficientes de influência na direcção tangencial de um determinado perfil sobre si mesmo. As restantes posições serão as componentes tangenciais dos coeficientes de influência de um determinado perfil sobre outro, consoante a posição na matriz. A posição será por exemplo a matriz das componentes tangenciais do perfil número 2 sobre o perfil número 1. Multiplicando a matriz pelo vector das singularidades, obtém-se um vetor aqui designado por que conterá para cada painel a soma de todas as contribuições dos outros restantes painéis. [ ] [ ] (2-96) A velocidade tangencial em cada painel para cada perfil será então a soma da resultante do escoamento de aproximação com a respectiva posição no vector : ( ) (2-97) Finalmente, o cálculo do coeficiente de pressão é feito utilizando a mesma equação que é utilizada para o caso de se ter apenas um perfil, dada por: 30

45 ( ) (2-82) Cálculo dos coeficientes adimensionais Tal como no caso em que se tinha apenas um perfil, através da condição de Kutta é possível calcular o coeficiente de sustentação através da circulação. No entanto, uma vez que a equação de Kutta- Joukowski [16] apenas é válida para a circulação total do sistema, quando se tem mais de um corpo não é possível calcular os coeficientes de sustentação individuais de cada perfil. Assim, a circulação de cada perfil é novamente calculada através da seguinte expressão: (2-98) Onde é a intensidade do vórtice calculado para o perfil e é o comprimento de cada painel do respetivo perfil. A circulação total será dada por: (2-99) Sabendo a circulação total, pela equação de Kutta-Jowkowski [16] tem-se que: (2-100) Onde é a velocidade do escoamento não perturbado. Por uma questão de uniformização dos resultados, escolheu-se definir os coeficientes de sustentação de todos os perfis em função da corda do perfil principal, o qual, como se verá adiante, será por regra o primeiro perfil a ser definido. Assim, corresponde à corda do perfil principal. Da integração da pressão ao longo da superfície de cada perfil, é possível também calcular os coeficientes de sustentação, de resistência e de momento em torno do perfil através das mesmas equações utilizadas para o caso em que se tinha apenas um perfil (equações (2-81), (2-82) e (2-84)), com a ressalva de agora a corda utilizada para a adimensionalização ser a do perfil principal. 31

46 32

47 3. Organização do Método de Cálculo A parte inicial deste trabalho consistiu na passagem do programa ASA 2D, desenvolvido em linguagem FORTRAN, para o ambiente MATLAB. A principal razão para esta escolha deveu-se ao facto de o software Matlab permitir uma melhor manipulação dos resultados, possibilitando a criação de gráficos e figuras que facilitam a posterior análise de resultados. Optou-se por desenvolver o programa em três blocos, um bloco pré-processador onde se podem definir as geometrias dos perfis e a sua orientação relativa, um processador onde se efetua o cálculo pelo método dos painéis propriamente dito e um pós-processador onde se podem visualizar os gráficos dos resultados e onde se podem gerar ficheiros de saída Pré-processador No pré-processador é possível escolher entre quatro opções para se gerar a geometria dos perfis. Essas opções são: - Malha de pontos gerados externamente. - Geração de um perfil NACA da série de 4 dígitos. - Geração de um perfil de Kármán-Trefftz. - Geração de um perfil de Joukowski. Apresenta-se de seguida uma descrição detalhada de cada opção de construção dos perfis Malha de pontos gerados externamente Nesta opção é possível introduzir-se o nome de um ficheiro no qual estão contidas as coordenadas dos pontos de definem um perfil. Também fica a possibilidade de se introduzir uma rotina que interpole os pontos e que gere um perfil consoante o número de painéis que se queira Geração de um perfil NACA da série de 4 dígitos Os perfis NACA da série de 4 dígitos são construídos com base em equações analíticas [16], sendo necessários três parâmetros para definir um determinado perfil: a espessura, a flecha máxima e a abcissa relativa onde esta ocorre. O sistema de numeração dos perfis NACA segue uma lógica que tem por base estes parâmetros. A nomenclatura é definida como: 33

48 Onde: F é a flecha máxima no perfil, em percentagem da corda. M é a abcissa em percentagem da corda onde ocorre a flecha máxima TT é a espessura máxima em percentagem da corda. As equações que definem o intradorso e o extradorso do perfil são dadas por: ( ) ( ) ( ) (3-1) e ( ) ( ) ( ) (3-2) Onde ( ) e ( ) representam respetivamente a distribuição de espessura e a distribuição de curvatura, definidas mais adiante, e onde, o declive da função de curvatura, é dado por: ( ) (3-3) Embora estas funções possam ser contínuas, de modo a que estes perfis possam ser aplicados no método dos painéis há que criar uma distribuição discreta de pontos. Como tal, utilizou-se a chamada função de espaçamento do cosseno. A sua expressão é dada por: [ { ( ) ( ) }] (3-4) Onde é o número de painéis pretendido. Esta função tem como objetivo o de criar mais pontos e consequentemente mais painéis junto do bordo de ataque e do bordo de fuga. A necessidade de haver mais painéis junto do bordo de ataque tem a ver com o facto de nesta zona haver uma rápida variação da geometria, enquanto que no bordo de fuga a precisão numérica melhora quanto mais pequenos forem os painéis. A função de distribuição de espessura e distribuição de curvatura do perfil, assim como as respetivas derivadas, são dadas respetivamente pelas expressões: 34

49 ( ) [ ] (3-5) ( ) [ ] (3-6) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] (3-7) Com estas expressões a construção do perfil NACA da serie de 4 dígitos fica totalmente definida. Como exemplo, na Figura 17 mostra-se o resultado da construção de um perfil NACA 4412 gerado com 81 pontos fronteira que definem 80 painéis. Figura 17 - Perfil NACA 4412 com 80 painéis É possível observar uma maior concentração de pontos junto dos bordos de ataque e de fuga, resultado da função de distribuição de cosseno Geração de um perfil de Kármán-Trefftz e de Joukowski Esta opção permite criar perfis de Kármán-Trefftz e de Joukowski através da transformação conforme [16], baseado no círculo gerador e respetiva nomenclatura, visível na Figura

50 Figura 18 - Círculo gerador da transformação conforme Introduzindo as coordenadas do centro do círculo gerador no sistema de eixos e, através da transformação Kármán-Trefftz e de Joukowski é possível criar perfis no plano transformado. A transformação de Kármán-Trefftz é dada pela seguinte expressão: ( ) ( ) ( ) ( ) (3-8) Onde são as coordenadas complexas de um determinado ponto no plano do círculo gerador, é a abcissa em que o círculo corta o eixo positivo das abcissas e é um valor que varia entre 2 e 1 e está relacionado com o ângulo do bordo de fuga do perfil, sendo dado pela seguinte expressão: (3-9) A transformação de Joukowski é um caso particular da transformação de Kármán-Trefftz, e dá-se quando, ou seja, quando o ângulo do bordo de fuga é nulo. Fica-se então numa situação em que a expressão (3-8) se reduz a: (3-10) Mais uma vez, embora estas funções sejam contínuas, para estes perfis poderem ser aplicados ao método dos painéis é necessário discretizá-las por pontos. Criando pontos no círculo gerador com espaçamento igual, irão haver mais pontos junto do bordo de ataque e de fuga do perfil no plano transformado, tal como está demonstrado nas Figura 19 e Figura

51 Figura 19 - Círculo Gerador 61 pontos Figura 20 - Perfil Plano transformado 61 pontos Com um espaçamento igual dos pontos no círculo gerador, o perfil no plano transformado terá mais pontos junto do bordo de ataque e de fuga, tal como pretendido devido às razões já anteriormente expostas Sistema de eixos local e sistema de eixos global Cada perfil tem associado a si um sistema de eixos local, tendo a origem no bordo de ataque e o eixo das abcissas alinhado com a corda do perfil, tal como visível na Figura 21. Figura 21 - Sistema de Eixos Global para Perfil Simples No entanto, uma vez que o programa suporta cálculos com vários componentes, torna-se necessário definir um sistema de eixos global e independente do sistema de eixos de cada perfil. Assim, é necessário definir as coordenadas dos bordos de ataque e de fuga de cada perfil em relação a uma origem arbitrária. Como cada perfil continua individualmente a ser definido em relação ao seu 37

52 referencial local, a partir deste momento há que proceder a uma rotação de eixos e a uma translação consoante a respetiva posição de cada perfil no referencial global. O procedimento da transformação de coordenadas é descrito de seguida para um determinado perfil, podendo este exercício ser aplicado ao número de perfis pretendido. Tenha-se por exemplo um perfil no sistema de eixos global onde se definiram as coordenadas do borde ataque e do bordo de fuga, tal como se pode ver na Figura 22. Figura 22 - Sistema de Eixos Global e Local Com base nas coordenadas do bordo de ataque (BA) e do bordo de fuga (BF), define-se o ângulo corda do perfil faz com o eixo. que a ( ) (3-11) Com base no ângulo acima definido, pode-se agora fazer uma rotação de eixos, sendo as novas coordenadas dos pontos definidas por: (3-12) (3-13) As coordenadas do perfil no referencial local estão definidas numa escala entre e, ao que lhe corresponde uma corda igual a. No entanto, no referencial global, tal pode não ser o caso. Como tal, é necessário calcular o valor da corda com base na expressão: 38

53 ( ) ( ) (3-14) As coordenadas do perfil têm de ser adimensionalizadas pela nova corda com recurso à expressão: ( ) (3-15) ( ) (3-16) Onde o valor corresponde ao valor da corda original do perfil definida em coordenadas locais. Por fim, é necessário efetuar uma translação das coordenadas para posicionar o perfil na sua posição do referencial global. Tal é conseguido com base nas expressões: (3-17) (3-18) Como exemplo, mostra-se na Figura 23 o resultado do procedimento de transformação de coordenadas descrito acima, onde se definiu um perfil principal com um hiper-sustentador. Figura 23 - Exemplo de Transformação de Coordenadas de dois perfis É preciso notar que o ângulo de ataque dos perfis é definido no pré-processador aquando da introdução das coordenadas do bordo de ataque e do bordo de fuga. No entanto, no processador também é possível alterar o ângulo que o escoamento uniforme faz com o eixo das abcissas do referencial geral, e logo, é possível alterar o ângulo de ataque dos perfis definidos no pré-processador. 39

54 3.2. Processador Definidas as geometrias dos perfis, é possível efetuar o cálculo propriamente dito através do método dos painéis. Tal é concretizado no Processador. Primeiro, é necessário definir o ângulo que o escoamento uniforme faz com a horizontal (que pode ser nulo se não se desejar alterar o ângulo de ataque dos perfis já definidos), e de seguida existe a opção de efetuar o cálculo com ou sem efeito solo. Uma vez que o cálculo difere substancialmente entre uma opção ou outra, de seguida descrever-se-á cada uma destas opções Cálculo com Efeito solo Em teoria de fluido perfeito, é possível simular a existência de uma parede plana num escoamento através do método das imagens [19]. Criando uma imagem reflectida de um determinado perfil utilizando a parede que se pretende simular como eixo de simetria, a linha de corrente plana que se criará entre os dois perfis poderá ser interpretada como uma parede. Este método é aplicado no código do programa para se simular o efeito solo. Definindo-se a distância à parede pretendida, é criada uma imagem reflectida dos perfis do outro lado da parede. Assim, as fontes e poços responsáveis pela definição da geometria do perfil terão a mesma intensidade que as dos perfis originais, enquanto que o vórtice responsável pela verificação da condição de Kutta terá sinal contrário ao do perfil original. Na Figura 24 mostra-se um exemplo de criação de imagens para um perfil simples. Figura 24 - Exemplo de criação de uma imagem de um perfil simples Se tiver sido definido um valor diferente de zero para o ângulo que o escoamento uniforme faz com a horizontal, os perfis são rodados de tal modo a que o ângulo do escoamento uniforme seja nulo em relação à parede, uma vez que para se poder aplicar o método das imagens, o escoamento tem de ser 40

55 paralelo à parede. O ponto sobre o qual os perfis rodam é definido como estando sobre a parede e a metade da corda do perfil principal. Este processo é exemplificado na Figura 25, onde se definiu um ângulo com a horizontal de 10 : Figura 25 - Exemplo de criação de uma imagem de um perfil simples com rotação Após os procedimentos de criação de imagens e rotação de coordenadas, o cálculo prossegue aplicando o método de cálculo exposto na secção Cálculo sem Efeito solo Escolhendo efetuar o cálculo sem efeito solo, após definido o ângulo que o escoamento uniforme faz com o eixo das abcissas, o programa aplica o método de cálculo em Pós-processador Após terminado o cálculo no processador, é possível proceder à visualização dos resultados. De seguida enumeram-se as possibilidades à disposição: I. Visualização das linhas de corrente do escoamento. II. Visualização da distribuição de velocidade em torno dos perfis. III. Visualização da distribuição dos coeficientes de pressão em torno do perfis. IV. Visualização dos vetores de velocidade do escoamento. V. Visualização das distribuições de pressão de cada perfil. VI. Escrita dos resultados obtidos num ficheiro. O primeiro passo para se poder visualizar as quatro primeiras opções é o de calcular as velocidades induzidas pelas singularidades dos perfis em pontos do escoamento, procedimento que é descrito de 41

56 seguida (secção 3.3.1). Nos restantes itens expõe-se as possibilidades de visualização dos resultados utilizando um exemplo em que se tem um perfil NACA 3312 com um hiper-sustentador NACA 3312 sujeitos a efeito solo Cálculo das velocidades em pontos de uma malha De modo a se poderem calcular as velocidades (e os coeficientes de pressão) numa região do escoamento em torno do corpo, o primeiro passo é criar uma malha de pontos resultante da discretização dessa mesma região, tal como é visível na Figura 26. Figura 26 - Criação de uma malha de pontos em torno do corpo. Criada a malha de pontos, é possível agora calcular as velocidades induzidas em cada ponto. Primeiro é necessário calcular as matrizes de influência das singularidades do corpo em cada ponto da malha nas direções tangencial e normal, respetivamente e. Estas matrizes são calculadas tal como está descrito na secção 2.2, embora agora não seja necessário passar do referencial local de cada painel para o referencial global, uma vez que o referencial de cada ponto já é referencial global. Assim, a velocidade induzida nas direções tangencial e normal em cada ponto é dada pelas seguintes expressões: (3-19) (3-20) Onde o subscrito representa o número total de pontos na malha e representa o número de painéis do corpo. As expressões acima são idênticas às utilizadas para calcular a velocidade tangencial nos 42

57 pontos de controlo de um corpo, patentes na secção 2.2.6, embora nesse caso apenas se calcule a velocidade tangencial. O mesmo exercício tem de ser efetuado para todos os perfis presentes no escoamento, somando-se depois todas as velocidades induzidas devidas as todos os perfis. Finalmente, é possível obter a velocidade absoluta em cada ponto através da expressão: (3-21) A partir deste momento também é possível calcular os coeficientes de pressão através da expressão já conhecida: ( ) (3-22) Visualização das linhas de corrente do escoamento Esta opção de visualização permite ver as linhas de corrente do escoamento. Na Figura 27 é possível ver um exemplo deste tipo de gráfico, onde se definiram um perfil invertido e um hiper-sustentador com efeito solo. Figura 27 - Linhas de corrente em torno de um perfil invertido com hiper-sustentador em efeito solo É possível observar as linhas de corrente a curvarem em torno dos perfis e a zona com maior densidade de linhas junto da parede, sinal de que a velocidade é muito elevada nessa zona Visualização da distribuição de velocidade em torno dos perfis 43

58 Esta opção permite visualizar a velocidade absoluta em todo o escoamento através de curvas de nível de velocidade, facilitando a análise do escoamento. Na Figura 28 pode-se observar um exemplo deste tipo de gráfico, onde o limite inferior da figura representa uma vez mais a parede. Figura 28 Distribuição de velocidade em torno dos perfis Visualização da distribuição dos coeficientes de pressão em torno do perfis Utilizando a expressão (3-22), também é possível visualizar os coeficientes de pressão no escoamento em torno do corpo. Naturalmente, este gráfico é equivalente ao da Figura 28. Na Figura 29 apresenta-se um exemplo deste tipo de figura. Figura 29 - Distribuição dos coeficientes de pressão em torno dos perfis Visualização dos vetores de velocidade do escoamento 44

59 Esta opção permite visualizar a velocidade em torno dos perfis através de vetores com um tamanho proporcional à sua intensidade. Na Figura 30 é possível ver em pormenor uma região de um escoamento com efeito solo, onde o limite inferior da figura representa a parede. Figura 30 - Vista em pormenor dos vetores de velocidade numa região do escoamento É possível verificar que os vetores variam de tamanho consoante a sua intensidade e que na extremidade inferior os vetores são paralelos à parede Visualização das distribuições de pressão de cada perfil Esta opção permite visualizar a distribuição de pressão para cada perfil presente no escoamento. As abcissas dos gráficos representam as abcissas relativas no referencial local do perfil. Na Figura 31 e Figura 32 apresentam-se as distribuições de pressão correspondentes aos perfis da Figura 27, Figura 28, Figura 29 e Figura 30. Figura 31 - Distribuição de pressão do perfil principal Figura 32 - Distribuição de pressão do hiper-sustentador Escrita dos resultados obtidos num ficheiro 45

60 Esta última opção possibilita a escrita dos resultados obtidos para cada perfil num determinado ficheiro. Guarda características do escoamento, tal como o ângulo de ataque e o coeficiente de sustentação, assim como também guarda as coordenadas de cada ponto de controlo, as suas respetivas velocidades e respetivos coeficientes de pressão. 46

61 4. Verificação do código 4.1. Verificação para Perfis Simples Procedimento de verificação O objectivo desta secção é o de demonstrar que o código está correcto para perfis simples. Tratando-se de um único perfil, é possível testar perfis com solução analítica, e como tal, verificar se o erro numérico associado à discretização dos perfis tende para zero quando o número de painéis utilizado tende para infinito. Para esse efeito, utilizaram-se malhas que variaram entre 40 e 1280 painéis. O parâmetro de refinamento de malha é definido como: Em que e varia entre 40 e Assim, variará entre 1 e 32. Com base neste parâmetro pode-se definir a fórmula utilizada para se estudar o erro numérico [20] [21]: ( ) (4-1) Na equação (4-1) representa a solução do parâmetro para o qual se está a estudar o erro, é uma constante a determinar, é erro que numérico que se obteria se se utilizasse um número de painéis infinito e é a ordem de convergência assimptótica do parâmetro. Na subsequente análise a perfis com solução exacta, o objectivo é o de estimar caso se tenha atingido a região assimptótica e mostrar que é desprezável, ou seja, que é da ordem de erro de arredondamento da máquina. foi determinado pelo método dos mínimos quadrados com base nas últimas 5 malhas [22], embora se tenham utilizado mais malhas de modo a verificar se é constante. Se for desprezável, a equação (4-1) pode ser escrita na forma logarítmica, a qual irá ajudar à análise: ( ) (4-2) Se estiver na região assimptótica, a equação (4-2) corresponderá a uma recta em escala logarítmica com declive. 47

62 Casos teste Para se estudar o erro associado ao cálculo numérico do código para perfil simples, utilizaram-se 2 perfis de Joukowski, 2 perfis de Kármán-Trefftz e um perfil NACA da serie de 4 dígitos, todos sujeitos a um ângulo de ataque de 2. Como já foi referido no início desta secção, utilizaram-se perfis de Joukowski e de Karman-Trefftz por estes terem solução exata, podendo-se assim efetuar um estudo do erro numérico do código. O perfil NACA foi incluído de forma a analisar-se também um perfil que existe na realidade e não apenas os perfis académicos de Kármán-Trefftz e de Joukowski. As características dos perfis utilizados estão na tabela abaixo. Perfil Espessura Relativa Flecha Relativa Karman-Trefftz ( ) 3% 0% Karman-Trefftz ( ) 3% 5% Joukowski 3% 0% Joukowski 3% 5% NACA % 5% Tabela 2 - Casos teste para verificação do código para perfil simples Escolheram-se perfis com uma espessura relativa pequena (3%) para que se pudesse observar um pico de sucção bastante pronunciado para um ângulo de ataque de 2 graus e assim se poderem testar casos exigentes. Escolheu-se também uma espessura relativa de 12% para perfil NACA 5412 para se observar a convergência do erro para um perfil já com um pico de sucção menos pronunciado Parâmetros Seleccionados Os parâmetros para o qual se estudou o erro numérico foram o coeficiente de sustentação calculado através da circulação ( ), o coeficiente de sustentação proveniente da integração da pressão ( ) e o coeficiente de resistência ( ), também vindo da integração da pressão. O valor do coeficiente de sustentação exacto é dado pela equação de Kutta-Joukowski [16], dada pela expressão: (4-3) e é o valor da circulação vinda da condição de Kutta, é a corda do perfil. é a velocidade do escoamento não perturbado Para um cálculo efectuado com um certo número de painéis, o valor do erro numérico de um certo parâmetro é a diferença entre o valor determinado através do método dos painéis e entre o valor 48

63 analítico. O coeficiente de resistência não tem uma expressão analítica uma vez que nos encontramos em fluido perfeito e logo não existem forças viscosas que causem força de resistência. Desse modo, o valor de apresentado é uma estimativa directa do erro numérico do método. O erro numérico dos três parâmetros seleccionados foi então calculado através das seguintes expressões: (4-4) (4-5) (4-6) Para o perfil de Joukowski com flecha também se estudou a convergência do erro numérico dos coeficientes de pressão. Como tal, de modo a se poderem comparar os valores numéricos do coeficiente de pressão em cada ponto de controlo com os valores calculados pela transformação conforme, foi necessário obter o ponto do perfil analítico mais próximo do ponto de controlo do perfil discretizado pelos painéis. Este processo foi necessário porque a forma do corpo criada pelos vários painéis não é uma forma contínua, mas sim uma sucessiva soma de retas formadas pelos pontos fronteira que definem o perfil, tal como está exemplificado na Figura 33. Figura 33 - Ilustração do método para se encontrar o ponto mais próximo do ponto de controlo O ponto do perfil exacto mais perto do ponto de controlo do painel da Figura 33 é onde a normal ao painel (recta encarnada) e o contorno do perfil exacto se cruzam, representado pelo círculo. O primeiro passo é saber o declive do painel, e, partindo deste, o declive da recta normal ao painel: 49

64 (4-7) (4-8) Com base nos declives, para se determinar o ponto recorreu-se a uma função ( ) que corresponde à diferença entre o declive de uma recta formada entre o ponto de controlo e o ponto a determinar, e entre o declive da recta normal ao painel. Assim, quando a função ( ) for zero, as duas rectas serão iguais e estarão encontradas as coordenadas do ponto mais próximo. A função ( ) é dada então pela expressão: ( ) ( ) ( ) (4-9) Onde ( ) e ( ) são as coordenadas do ponto transformado do contorno exacto e e são as coordenadas do ponto de controlo de um dado painel. Na Figura 34 é possível compreender melhor a nomenclatura utilizada. Figura 34 - Nomenclatura utilizada Efectuando este procedimento para todos os painéis, sempre que a função ( ) tender para zero (utilizou-se uma tolerância de ) para um determinado painel, sabe-se o valor do angulo para o qual a transformação conforme originou o ponto ( ), ( ), sendo depois possível com esse valor calcular a solução analítica do coeficiente de pressão para esse respectivo ponto. Seguindo este procedimento para todos os painéis do perfil, obtém-se a estimativa do erro numérico médio do coeficiente de pressão utilizando a norma, dada pela seguinte expressão: (4-10) 50

65 Resultados Nesta secção serão apresentados os resultados obtidos para os vários perfis analisados. Os resultados são apresentados em forma de gráfico, onde se mostram as respetivas ordens de convergência para as quantidades analisadas, que são, como já referido, o coeficiente de sustentação vindo da circulação e o coeficiente de sustentação e de resistência vindos da integração. Graficamente mostra-se o erro em função do parâmetro de refinamento de malha, que tal como referido no início desta secção, relaciona o número de painéis utilizado para um determinado cálculo com o número de painéis, que representa o número máximo de painéis utilizado nesta verificação. O número mínimo de painéis utilizado neste procedimento foi 40, pelo que o valor de máximo será 32. É preciso notar que o valor de p encontrado para cada um dos parâmetros é uma interpolação dos últimos 5 resultados, obtidos com a matriz mais fina (região à esquerda no gráfico). Na Figura 35 apresentam-se os gráficos com os resultados obtidos para o perfil de Kármán-Trefftz simétrico. 51

66 e( ) e( ) 10-1 C l ( ) p= 1.2 C l p= 1.0 C d 10-2 p= C l ( ) p= C l p= 1.0 C d p= 1.1 h i /h h i /h 1 Figura 35 - Resultados obtidos para o perfil Kármán-Trefftz simétrico. a) Erro numérico em escala logarítmica b) Erro numérico em escala linear Constata-se que para este perfil foi possível determinar as ordens de convergência e que todas estão muito perto da ordem do método utilizado, ou seja, da ordem de 1. Observa-se que os pontos do erro de e estão sempre na chamada região assimptótica e que as rectas são quase perfeitas. O erro numérico de só entra na região assimptótica por volta de, uma vez que para maiores os pontos afastam-se da recta. Na imagem b) da Figura 35 observa-se que a extrapolação das rectas do erro numérico de todos os parâmetros tende para muito perto de zero quando o número de painéis tende para infinito. O erro do perfil analisado acima convergiu como esperado. No entanto, este é um perfil com uma geometria que não apresenta grandes problemas na convergência, uma vez que não tem um pico de 52

67 e( ) e( ) sucção demasiado pronunciado e não tem um bordo de fuga com ângulo nulo, como é o caso dos perfis de Joukowski. Analisando agora os outros perfis, ver-se-á que estes apresentarão limitações à convergência do erro devido às suas características geométricas. Veja-se agora o perfil de Kármán-Trefftz com espessura de 3% e flecha de 5%, cujos gráficos com os resultados podem ser observados na Figura C l ( ) p= 1.5 C l p= 1.5 C d 10-2 p= h i /h C l ( ) p= 1.5 C l p= 1.5 C d p= h i /h 1 Figura 36 - Resultados obtidos para o perfil Kármán-Trefftz com flecha. a) Erro numérico em escala logarítmica b) Erro numérico em escala linear Observa-se desde logo na imagem a) da Figura 36 que a ordem de convergência subiu ligeiramente e que apenas a convergência do parâmetro continua a ser uma recta. Os outros parâmetros nunca chegam a entrar na região assimptótica uma vez que nunca chega a ser constante e as curvas de convergência não são rectas. Olhando em específico para o parâmetro, nota-se uma clara diferença de ordem de convergência entre os últimos 4 pontos e os restantes pontos, levando a crer que 53

68 e( ) e( ) se se prosseguisse o cálculo com mais painéis do que aqueles que foram utilizados, a tendência da ordem de convergência ir-se-ia aproximando de 1. Esta constatação leva a crer que nas discretizações mais finas (mais à esquerda no gráfico), o erro numérico deve-se principalmente a erros relacionados com o pico de sucção muito pronunciado e com a retoma de pressão no bordo de fuga, enquanto no caso de discretizações mais esparsas, o erro deste factores fica diluído entre outras causas para o erro, notando-se menos a sua influência. Olhando para o gráfico b), conclui-se que a extrapolação do erro numérico de todos os parâmetros tende para zero quando o número de painéis tende para infinito. Olhe-se agora para os gráficos do erro do perfil de Joukowski com flecha, representados na Figura C l ( ) p= 1.5 C l p= 2.2 C d 10-2 p= C l ( ) p= C l p= 2.2 C d p= 1.0 h i /h h i /h 1 Figura 37 - Resultados obtidos para o perfil Joukowski com flecha. a) Erro numérico em escala logarítmica b) Erro numérico em escala linear Como é possível observar na Figura 37, a ordem de convergência observada dos parâmetros, e é, respetivamente, 1.5, 2.2 e 1.0, sendo, com excepção de, também acima do esperado 54

69 e( ) teoricamente. Uma vez mais a ordem de convergência de um dos parâmetros, neste caso, é afectada pelo facto de haver uma diferença grande entre os 4 últimos pontos e os restantes. A diferença da ordem de convergência entre e é de 0.7, mas no entanto os últimos 4 pontos estão quase sobrepostos. A ordem de convergência destes parâmetros só chegaria perto de 1 com mais painéis utilizados. No entanto, como se pode ver no gráfico b) da Figura 37, a ordem de grandeza do erro numérico quando as curvas são extrapoladas para discretizações mais finas é muito pequena. Para este perfil também se analisou o comportamento da norma (eq. (4-10)). O gráfico correspondente está demonstrado na Figura L1 Cp p= h i /h 1 Figura 38 - Resultados da norma L1 para o perfil Joukowski com flecha É possível verificar que a ordem de convergência é 1.3, embora à direita no gráfico os pontos nunca cheguem a entrar na região assimptótica. A relativa inconstância do erro para as discretizações mais esparsas (à direita no gráfico) deve-se ao facto de haver um pico de sucção bastante pronunciado, cuja localização é mais variável quanto menos painéis houver a discretizar a zona da sua localização. À medida que se aumenta o número de painéis, os resultados vão cada vez mais tendendo para uma reta, tal como previsto. Seriam necessárias discretizações mais finas para se chegar a uma ordem de convergência assimptótica recta e de valor 1. Para efeitos ilustrativos, na Figura 39 e Figura 40 está representada a distribuição de pressão correspondente à solução numérica (encarnado) e a distribuição de pressão correspondente à solução analítica encontrada nos pontos do perfil analítico mais próximo do perfil discretizado (azul), correspondente ao procedimento explicitado na secção

70 Figura 39 - Comparação das distribuições de pressão analítica e numérica Figura 40 - Pormenor do pico de sucção Em geral, as duas curvas aproximam-se muito uma da outra, mas nos pontos mais críticos, tal como o pico de sucção (Figura 40), os valores afastam-se mais, razão pela qual a norma apresenta um erro relativamente grande e com um comportamento irregular quando se discretiza o perfil com poucos painéis. Olhando agora para o caso do perfil de Joukowski simétrico, os resultados obtidos estão nos gráficos da Figura

71 e( ) e( ) 10-1 C l ( ) p= 1.6 C l p= 2.3 C d p= h i /h C l ( ) p= C l p= 2.3 C d p= h i /h 1 Figura 41 - Resultados obtidos para o perfil Joukowski simétrico a) Erro numérico em escala logarítmica b) Erro numérico em escala linear As ordens de convergência dos parâmetros e estão ligeiramente acima do esperado. e entram na região assimptótica e convergem numa reta a partir de certo ponto, o que está de acordo com o esperado, embora fossem necessárias mais discretizações para se atingir uma ordem de convergência mais perto de 1. Também se pode observar no gráfico b) que a extrapolação do erro numérico destes coeficientes tende para zero quando. No entanto, não converge como esperado. A partir de 1280 painéis, a diferença entre o valor numérico e o exato passa de positiva para negativa. Para se compreender para onde tende a solução, efectuaram-se mais cálculos utilizando um sucessivo maior número de painéis. Assim, obteve-se o gráfico na Figura 42, no qual se denota uma 57

72 Erro absoluto tendência para o erro continuar a divergir de zero até atingir um máximo local, voltando depois novamente a convergir para zero. 0, Erro Absoluto vs Número de Painéis CL gama 0, , , , , Número de Painéis CL integração Figura 42 - Tendência de evolução do erro numérico do perfil de Joukowski simétrico É preciso notar que embora a convergência do erro para este tipo de perfil não seja a ideal ou a esperada, a ordem de grandeza do erro em questão quando este fenómeno sucede é sempre muito pequena, tal como se pode observar no gráfico b) da Figura 42, pelo que este efeito poderá ser ignorado, ou evitado se se mantiver o cálculo afastado de um número de painéis demasiado elevado. O facto de o perfil ter um bordo de fuga com ângulo nulo e ser simétrico são provavelmente factores que contribuem para os resultados não serem monótonos. Este tipo de bordo de fuga torna o problema mal condicionado quando o número de painéis tende para infinito, uma vez que os dois painéis adjacentes ao bordo de fuga têm a mesma orientação e tendem cada vez mais para zero. O facto de o perfil ser simétrico contribui para este fenómeno porque o erro converge mais rapidamente do que na situação em que se tem o perfil com flecha, e como tal, chegam-se a ordens de grandeza do erro muito pequenas mais rapidamente, ajudando a que este fenómeno se manifeste. Com toda a probabilidade, se se continuasse a aumentar o número de painéis utilizado no cálculo para o perfil de Joukowski com flecha, a solução também deixaria de ser monótona e aconteceria o mesmo fenómeno ao erro associado. Embora este tipo de perfis com bordo de fuga com ângulo nulo não exista na realidade, esta situação merece ser tida em conta aquando da utilização do programa. Finalmente, analise-se agora o perfil NACA O único parâmetro cujo erro numérico pode ser analisado é o coeficiente de resistência, uma vez que não existe solução analítica para o coeficiente de sustentação destes perfis. O objectivo desta análise é o de mostrar que o erro numérico de converge assimptoticamente e que e convergem para o mesmo valor. Os gráficos com os resultados podem ser observado na Figura

73 e( ) C d p= h i /h C l ( ) p= 0.5 C l p= Figura 43 - Resultados obtidos para o perfil NACA 5412 a) Erro numérico de Cd em escala linear b) Valores absolutos de CL O número de painéis utilizado não foi suficiente para que se entrasse na região assimptótica, uma vez que a curva não é uma recta, tal como se pode observar no gráfico a) da Figura 43. No entanto, a extrapolação do erro numérico tende para zero quando o número de painéis tende para infinito. Observando o gráfico b), constata-se que os valores de e convergem para um mesmo valor à medida que o número de painéis utilizado aumenta h i /h 1 Com o objectivo de se estudar o comportamento da variação de com o ângulo de ataque, elaborouse um gráfico onde se comparam os resultados obtidos com o programa ASA 2D para um perfil NACA 0012, com os resultados experimentais obtidos para o mesmo perfil a um número de Reynolds disponível em [23]. O gráfico pode ser visualizado na figura abaixo. 59

74 Coeficiente de Sustentação CL vs Ângulo de ataque 2,5 2 y = 0,1196x + 0,0048 Resultados ASA_2D 1,5 1 Resultados experimentais - Re=1x10^6 0,5 Linear (Resultados ASA_2D) Ângulo de Ataque Gráfico 1 - Variação de CL com o ângulo de ataque para o perfil NACA 0012 baseada em [23] Como seria de esperar, a variação dos resultados obtidos com o programa é uma recta. A variação dos resultados experimentais também é uma recta até por volta do ângulo de ataque igual a, altura em que, por ocorrer separação da camada limite, o coeficiente de sustentação decresce muito, embora não abruptamente. Também se observa que o declive das rectas é ligeiramente diferente, uma vez mais por este programa não ter em conta os efeitos da camada limite, que, ao se introduzirem os efeitos viscosos, farão o coeficiente de sustentação baixar em relação à solução invíscida equivalente. Concluise assim que o programa, embora sobrestime o coeficiente de sustentação em relação ao experimental, produz resultados com um erro muito pequeno dentro do limite de pequenos ângulos de ataque. Conclui-se que embora nem sempre tenha sido possível chegar à zona de convergência assimptótica, ter-se-ia lá chegado se se tivessem efectuado cálculos com mais painéis. Conclui-se também que apesar de a convergência de alguns perfis ter apresentado algumas restrições, o erro numérico tende sempre para zero quando o número de painéis do cálculo tende para infinito, mostrando que o código está correcto e que produz resultados fiáveis. 60

75 4.2. Verificação para Multi-Componente Procedimento de verificação No procedimento de verificação para perfis simples descrito anteriormente (pág. 47), efetuou-se um estudo da convergência do erro para três parâmetros diferentes, nomeadamente o coeficiente de sustentação calculado através da circulação ( ) e os coeficientes de sustentação ( ) e de resistência ( ) calculados pela integração da pressão. No entanto, uma vez que não se sabe de antemão a solução exacta de cálculos com vários corpos sustentadores (ao contrário do caso da verificação para perfil simples), neste caso efetuou-se antes um estudo da incerteza associada aos parâmetros calculados. Para além disso, também ao invés do que foi feito para os perfis simples, nesta verificação para multi-componente apenas se estudou a incerteza associada ao parâmetro. Não se efetuou este estudo para o por escolha, pois tendo já este coeficiente sido analisado aquando da verificação para o perfil simples, não houve necessidade de o analisar aqui por o parâmetro de maior interesse nesta implementação ser o coeficiente de sustentação. Também não se estudou a incerteza associada ao pelo facto de numa situação em que se tenha mais de um perfil não ser possível utilizar a equação (2-84), tal como exposto na secção Tendo em conta que numa situação em que se tenha mais de um perfil o caso desta verificação o escoamento em torno de qualquer destes perfis não é uniforme devido à influência dos outros perfis, esta equação não pode ser aplicada nestes casos. Como tal, os valores calculados para o para um perfil individual numa situação em que se tenha mais do que um componente, não têm validade, razão pela qual se ignorou esse parâmetro nesta verificação. Para as três situações expostas na Tabela 3, efetuaram-se cálculos entre os 80 e os 320 painéis com 9 pontos neste intervalo. Tomou-se como garantia de precisão suficiente um número de painéis que garantisse uma variação inferior a 1%, que, tal como se verá adiante, foi obtida no intervalo do número de painéis escolhido Casos Teste No procedimento de verificação da validade do programa para vários componentes, efetuou-se primeiro um estudo do comportamento do coeficiente de sustentação à medida que a distância à parede tende para infinito, de modo a comprovar que a solução tende para aquela do perfil isolado. Assim, para o perfil 4412 com um ângulo de ataque a 2 apresenta-se um gráfico que demonstra esta tendência. Escolheram-se também 3 casos para análise, todos sob a influência do efeito solo, de modo a estimarse a incerteza associada ao cálculo. Estes casos estão expostos na Tabela 3: 61

76 Perfil h/c NACA NACA NACA Tabela 3 Casos teste utilizados na verificação para multi-componente Escolheram-se perfis simples sujeitos a efeito solo e logo uma situação em que se têm dois perfis por esta ser uma situação que irá ser posteriormente explorada em detalhe na secção Resultados Observe-se a Figura 44, que mostra um gráfico do coeficiente de sustentação em função da distância ao solo. O objectivo é mostrar que à medida que tende para infinito (onde é a distância do perfil à parede e é a corda do perfil), o valor do coeficiente de sustentação tende para a solução do perfil isolado, cujo valor é NACA =2 o C l h/c Figura 44 - Coeficiente de Sustentação em função de h/c para =2 O eixo das abcissas da Figura 44 está em escala logarítmica para facilitar a leitura do gráfico. Pode-se observar que o valor do coeficiente de sustentação vai decrescendo à medida que a distância à parede aumenta até se atingir um mínimo por volta de, começando novamente a crescer tendendo para o valor de do perfil isolado, tal como esperado. 62

77 Os gráficos da Figura 45, Figura 46 e Figura 47 (apresentadas de seguida) têm como ordenada o coeficiente de sustentação e como abcissa o parâmetro, em que corresponde ao maior número de painéis utilizado (320) e varia entre 80 e 320. Na Tabela 4 apresentam-se os resultados obtidos. Perfil h/c Incerteza (%) NACA NACA NACA Tabela 4 - Resultados incerteza para os perfis analisados Verifica-se que todas as incertezas associadas ao cálculo estão abaixo de 1%. Na Figura 45 estão os resultados obtidos para o perfil NACA NACA 0015, =0 o, h/c= C L h i /h 1 Figura 45 - Incerteza de CL para NACA 0015 com h/c=0.2 e =0 Pode-se observar na Figura 45 que o valor de tende assimptóticamente para um valor. é negativo uma vez que o ângulo de ataque é nulo e é um perfil sem curvatura perto da parede. Na Figura 46 e Figura 47 estão os resultados para o perfil NACA 4412 para um ângulo de ataque de 2 e de 6 respetivamente. 63

78 0.898 NACA 4412, =2 o, h/c= C l h i /h 1 Figura 46 - Incerteza de CL para NACA 4412 com h/c=0.1 e α= NACA 4412, =6 o, h/c= C L h i /h 1 Figura 47 - Incerteza de CL para NACA 4412 com h/c=0.5 e α=6 Embora em ambos os gráficos as curvas não sejam rectas, estas tendem para um valor monotonamente e os valores da incerteza são ambos inferiores a 1%, tal como era o objetivo. Conclui-se assim que o código para multi-componente se comporta como o esperado e que para aplicações do programa a situações de multi-componentes, 320 painéis são suficientes para se obter uma incerteza abaixo de 1%. 64

79 5. Aplicações Práticas Nesta secção pretendem-se ilustrar possíveis aplicações do código, demonstrando a qualidade dos resultados quando comparados com a literatura. Não se abordarão os exemplos numa perspectiva de análise quantitativa dos resultados, mas sim numa perspectiva de mostrar que os resultados obtidos seguem as mesmas tendências de variação em relação a resultados experimentais ou de CFD, assim como também se aproveita para dar a conhecer os potenciais usos que se poderão dar ao código. Numa primeira parte aplicar-se-á o programa a situações de efeito solo, quer para perfis normais, quer para perfis invertidos. Numa segunda parte estudar-se-á a variação do coeficiente de sustentação e do pico de sucção de um rotor duplo de uma turbina eólica de eixo vertical. Em todos os resultados apresentados inclui-se uma barra de incerteza associada a cada ponto calculado, de modo a demonstrar que a incerteza dos cálculos é muito inferior às variações dos resultados devido à alteração dos parâmetros do cálculo Perfis sujeitos a Efeito solo Uma aplicação direta deste programa é o efeito solo. Uma vez que é fácil simular este efeito através do método das imagens, esta é uma ferramenta rápida e fiável de se obter uma estimativa do coeficiente de sustentação e da distribuição de pressão em situações de efeito solo. De um modo geral, a eficiência aerodinâmica de um determinado perfil aumenta quando este se encontra perto do solo [24]. Este efeito deve-se a dois factores, um devido à diminuição do coeficiente de resistência induzido, e outro devido ao aumento do coeficiente de sustentação. Nas aplicações seguintes apenas se irá explorar o efeito do aumento do, uma vez que por se tratar de um modelo bidimensional o induzido não é contabilizado, e como tal, não é possível detetar uma redução deste coeficiente. Assim, de seguida apresentar-se-ão diversos resultados experimentais e de CFD em que se tenha analisado o efeito solo, sendo estes depois comparados com os resultados obtidos pelo código desenvolvido. O objectivo desta análise é o de captar as mesmas tendências de variação do coeficiente de sustentação para várias distâncias ao solo quando comparado com casos disponíveis na literatura, pois os valores absolutos serão sempre algo diferentes uma vez que os resultados produzidos pelo código tratam-se de soluções invíscidas. Tentou-se explorar resultados provenientes de várias fontes e sob diversas condições, de modo a abranger situações típicas de efeito solo. As possíveis definições de são apresentadas na Figura 48. A primeira hipótese é a de ser a distãncia do ponto mais inferior do perfil à parede. A segunda possibilidade é a de ser a distância do bordo de fuga à parede. 65

80 Figura 48 Definições da distância ao solo a) Definição da distância h (1º possibilidade). b) Definição da distância h (2º possibilidade) Nos casos que se apresentam de seguida será explicitada qual a definição de utilizada de forma a evitar equívocos Perfil NACA 0015 Nesta análise efectuaram-se cálculos para um perfil NACA 0015 a um ângulo de ataque nulo para vários valores de e compararam-se estes resultados com os obtidos através de um código desenvolvido por Caresse, R. [25]. A definição de é a correspondente à Figura 48 b). Na Figura 49 apresentam-se os resultados obtidos em [25] e os resultados obtidos pelo código objecto de estudo neste trabalho. C L h/c Figura 49 - Resultados para o NACA 0015, =0 a) Fig. 5 de [25] b) Resultados obtidos com o código NACA 0015 =0 o 66

81 Observa-se que há uma grande concordância dos resultados, embora haja uma diferença marginal entre os (neste caso negativo), devendo-se tal às diferenças de método de cálculo utilizado. No entanto, as curvas seguem a mesma tendência, cumprindo-se assim o objectivo desta análise Perfil NACA 4412 Outro dos perfis sujeito a análise foi o NACA 4412, tendo sido analisado a vários ângulos de ataque e a diferentes distâncias ao solo de modo a se descobrirem as tendências de aumento ou diminuição do coeficiente de sustentação, tendo-se depois comparado estes resultados com os obtidos por Rong W. [24], obtidos através de um código de escoamento viscoso RANS. Assim, na Figura 50 apresentam-se ambos os gráficos, primeiro os obtidos em [24] e de seguida os obtidos com o código desenvolvido. A definição de é a correspondente à Figura 48 a) NACA C L =0 o =2 o =4 o 0.2 =6 o =8 o h/c Figura 50 - Resultados para o NACA 4412 a) Fig. 6 de [24] b) Resultados obtidos com o programa 67

82 As tendências de evolução do coeficiente de sustentação da Figura 50 b) estão em concordância com as obtidas em [24]. Observando a curva para o ângulo de ataque nulo na Figura 50 b), aumenta muito ligeiramente à medida que a distância à parede diminui, até que chega a um ponto em que decresce abruptamente por volta de. Este decréscimo súbito deve-se ao efeito de Venturi que se cria na parte inferior do perfil para ângulos de ataque pequenos, o qual reduz a pressão no intradorso, e por conseguinte faz diminuir o. Mais informação sobre este fenómeno pode ser consultada em [24]. Para os restantes ângulos de ataque verifica-se que aumenta sempre à medida que a distância ao solo diminui. Comparando com a Figura 50 a), a tendência de variação do é idêntica, embora os valores absolutos de sejam inferiores aos calculados na Figura 50 b), devendo-se tal diferença ao facto de os resultados obtidos em [24] terem em conta o efeito da camada limite. Olhando agora para os resultados obtidos por Hsiun, C. [26] para o perfil NACA 4412, onde foram resolvidas as equações de Navier-Stokes utilizando um modelo de turbulência do tipo, também se podem fazer comparações interessantes. Na Figura 51 encontram-se os resultados obtidos em [26] para o coeficiente de sustentação em função da distância ao solo e na Figura 52 os resultados obtidos pelo programa para os mesmos parâmetros. Figura 51- Fig. 13 da referência [26]. Efeito de h/c no coeficiente de sustentação de um perfil NACA

83 1.8 NACA C L 1.4 =10 o =5 o h/c Figura 52 - Efeito de h/c no coeficiente de sustentação de um perfil NACA 4412 À primeira vista pode parecer que não há muita concordância entre os resultados das duas figuras. Se bem que isso seja verdade olhando para a tendência decrescente do coeficiente de sustentação entre e para ambos os ângulos de ataque na Figura 52, verifica-se que a tendência é a mesma para os valores entre e. Como se pôde observar na Figura 44 aquando da verificação do código para multi-componente, o valor de apresentava um mínimo por volta de, pelo que os resultados obtidos seguem essa mesma tendência na Figura 52. Sendo o número de Reynolds para escoamento potencial igual a infinito (uma vez que não há viscosidade), é natural que os valores calculados pelo programa estão algo exagerados, mesmo quando comparados com um número de Reynolds já relativamente elevado ( ). Na Figura 53 a), retirada de [26], podem-se ver as distribuições de pressão para com e sem efeito solo. Na Figura 53 b) podem-se observar as distribuições de pressão obtidas com o programa para, com e sem efeito solo. Na Figura 53 b) também se apresentam os resultados da distribuição de pressão para, uma vez que é este o ângulo de ataque equivalente obtido com base na fig. 4 da referência [26], a qual relaciona o ângulo de ataque com e sem viscosidade. 69

84 Figura 53 - Distribuição de pressão do NACA 4412 a) Fig. 14, referência [26]. b) Resultados obtidos com o programa Embora os picos de sucção das distribuições de pressão da Figura 53 b) para sejam bastante mais pronunciados do que os resultados experimentais da Figura 53 a), a distribuição de pressão para e é muito semelhante à da Figura 53 a) para, confirmando-se que a viscosidade provoca uma redução do ângulo de ataque efectivo do perfil. 70

85 Perfil NACA 0012 No seguimento das análises anteriores, também se efetuou um estudo do comportamento do coeficiente de sustentação para vários ângulos de ataque de um perfil NACA 0012 em função da distância ao solo. Os resultados obtidos foram comparados com resultados obtidos também disponíveis em [25]. A definição de é a correspondente à Figura 48 b). Assim, na Figura 54 apresentam-se os resultados, primeiro os obtidos em [25] e de seguida os obtidos com o código desenvolvido neste trabalho NACA 0012 =1 o =2 o =3 o =4 o =5 o =6 o 0.6 C L h/c Figura 54 - Resultados para o perfil NACA 0012 a) Resultados disponíveis em [25]. b) Resultados obtidos com o programa Uma vez mais as tendências de variação do coeficiente de sustentação são semelhantes entre ambos os gráficos. Para um ângulo de ataque até 3 o coeficiente de sutentação diminui com a aproximação à parede em ambos os gráficos, começando a aumentar a partir de, também em ambos os gráficos. Uma vez mais os resultados gerados pelo código estão exagerados em relação aos obtidos em [25], mas tal deve-se uma vez mais aos efeitos viscosos. 71

86 Perfil Tyrrell026 invertido Este próximo exemplo de aplicação difere dos anteriores na medida em que agora se trata de um perfil invertido sob efeito solo. Este exemplo de aplicação é baseado nos resultados experimentais disponíveis em [27] e nos resultados de CFD disponíveis em [28], onde se analisou um perfil Tyrrell026, utilizado na asa dianteira de um carro de Fórmula Um. O objectivo foi o de comparar os valores do coeficiente de sustentação (negativo) dados pelo programa para um ângulo de ataque de 3.6 em função da distância ao solo. É de notar que para um perfil invertido o ângulo de ataque é definido como positivo quando a rotação aproxima o bordo de ataque do solo [28]. A forma do perfil pode ser observada na Figura 55. Figura 55 - Geometria do perfil Tyrrell026 Pode-se notar que o perfil já está rodado em relação à horizontal, tendo um ângulo de ataque de 3.6. Na Figura 56 apresentam-se os resultados disponíveis em [28] e os resultados obtidos com o programa. A definição de para esta análise é a que está na Figura 48 a). 72

87 Perfil Tyrrell = C L h/c Figura 56 - Resultados para o perfil Tyrrell026 a =3.6 a) fig. 9 retirada de [28]. Resultados experimentais e de CFD b) Resultados obtidos com o programa Na Figura 56 a) a curva de interesse é a que está a encarnado, respeitante aos resultados experimentais disponíveis em [27]. Todos os valores na ordenada de ambos os gráficos representam o módulo de, pois tratando-se de um perfil invertido, é negativo. Os resultados obtidos pelo programa na Figura 56 b) seguem a mesma tendência dos resultados experimentais da Figura 56 a) até por volta de, altura em que o experimental decresce abruptamente devido à ocorrência de separação junto do bordo de fuga [28], ao contrário dos resultados da Figura 56 b), que continuam a crescer. 73

88 5.2. Turbina de Eixo Vertical com Rotor Duplo Também como parte das aplicações do código desenvolvido, utilizou-se o programa para explorar a utilização de uma turbina de eixo vertical com rotor duplo. Estas turbinas normalmente utilizam rotores com apenas um perfil alar, e estão sujeitas a ângulos de ataque que podem chegar a valores muito elevados. Como tal, em alguns momentos do período de rotação do rotor o pico de sucção pode ser extremamente pronunciado, levando à separação do escoamento e consequente perda de rendimento da turbina. Assim, nesta secção estudou-se o comportamento de um rotor duplo composto por dois perfis NACA 0015 em oposição a um composto por um apenas um perfil, de modo a demonstrar as potencialidades do programa no estudo da mitigação deste problema. Foram então analisadas 5 possíveis configurações dos perfis, as quais estão listadas na Tabela 5. Perfil 1 Perfil 2 Distância Nº Configuração Posição Bordo de Ataque Posição Bordo de Fuga Posição Bordo de Ataque Posição Bordo de Fuga Cor do 2º perfil vertical h/c entre os perfis 1 (0,0) (100,0) (0,30) (100,30) Azul (0,0) (100,0) (0,45) (100,45) Cyan (0,0) (100,0) (0,115) (100,115) Encarnado (0,0) (100,0) (50,30) (150,30) Verde (0,0) (100,0) (100,30) (200,30) Preto 0.15 Tabela 5 - Coordenadas das Várias Configurações em Análise A Figura 57 mostra todas as configurações, sendo compostas pelo perfil preto com contorno a cheio e pelo perfil com a cor associada a cada configuração. Figura 57-5 Configurações dos Perfis objeto de análise 74

89 O objectivo desta análise foi ver como aumenta o coeficiente de sustentação do rotor em função do ângulo de ataque para as várias configurações em estudo e observar o comportamento do pico de sucção. Na Figura 58 pode-se observar um gráfico do coeficiente de sustentação total do rotor em função do ângulo de ataque para as 5 configurações Conf. 1 Conf. 2 Conf. 3 Conf. 4 Conf. 5 Perfil Livre Rotor Duplo C L Figura 58 - CL vs. para as várias configurações possíveis Pode-se observar que todas as configurações conseguem um coeficiente de sustentação total superior ao perfil simples para ângulos de ataque elevados, embora para ângulos pequenos as configurações 4 e 5 tenham um coeficiente de sustentação inferior. 0-2 Rotor Duplo -4-6 C P,min Conf. 1 Conf. 2 Conf. 3 Conf. 4 Conf. 5 Perfil Livre Figura 59 - CP vs. para as várias configurações possíveis 75

90 Na Figura 59 pode-se observar que para ângulos de ataque elevados o pico de sucção das primeiras três configurações é inferior ao do perfil livre, sendo no entanto bastante superior para as outras configurações. A incerteza associada no cálculo do pico de sucção mínimo em alguns pontos é bastante superior ao que se tinha verificado até agora, devendo-se isso ao facto de ser bastante difícil que um ponto de controlo capte exatamente o pico de sucção do perfil. Até agora observaram-se os gráficos do coeficiente de sustentação e do pico de sucção em função do ângulo de ataque. Sendo o objectivo desta análise mostrar que é possível com este programa fazer este tipo de estudos preliminares, interessa um gráfico em que se tenha o pico de sucção em função do coeficiente de sustentação. Assim, na Figura 60 apresenta-se o gráfico do pico de sucção mínimo em função do coeficiente de sustentação. 0-2 Rotor Duplo -4-6 C P,min Conf. 1 Conf. 2 Conf. 3 Conf. 4 Conf. 5 Perfil Livre C L Figura 60 - CP vs. CL para as várias configurações possíveis Com o gráfico da Figura 60 depreende-se quede facto algumas configurações melhoram o pico de sucção ao mesmo tempo que aumentam o coeficiente de sustentação. Ter-se-iam que saber mais detalhes da turbina para se poder fazer a selecção da geometria, mas fica demonstrado que este programa pode ser uma ferramenta útil neste tipo de estudos. De seguida apresentam-se as distribuições de pressão e imagens do escoamento para a 1ª configuração a um ângulo de ataque de 8. Na Figura 61 pode-se então observar as distribuições de pressão de ambos os perfis para o caso da 1ª configuração. 76

91 Figura 61 - Distribuições de pressão para o 1º e 2º perfil respectivamente Pode-se observar que o efeito de Venturi que se forma entre os perfis diminui bastante a pressão no extradorso do 1º perfil, aumentando assim o seu coeficiente de sustentação. Por outro lado, a mesma diminuição de pressão no intradorso do 2º perfil provoca uma grande redução do seu respetivo coeficiente de sustentação. No entanto, observando o gráfico da Figura 58 depreende-se que de qualquer maneira o coeficiente de sustentação global dos dois perfis é superior ao do perfil simples. Este é um dos tipos de análise possibilitado por estes gráficos de pressão. Outro tipo de gráficos que podem ajudar na análise são do tipo dos que se apresentam na Figura 62, onde é possível ver as linhas de corrente e a distribuição de velocidades em torno dos perfis para as mesmas condições descritas anteriormente. Figura 62 - Linhas de corrente e mapa de velocidades para configuração 1, =8 Estes gráficos ajudam a visualizar o escoamento e a detectar as zonas mais críticas onde por exemplo poderá ocorrer a separação do escoamento. 77