ESTIMAÇÃO E PREDIÇÃO POR MODELO LINEAR MISTO COM ÊNFASE NA ORDENAÇÃO DE MÉDIAS DE TRATAMENTOS GENÉTICOS 1

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1 Modlo lr msto m ttmtos étcos 19 ESTIMAÇÃO E PREDIÇÃO POR MODELO LINEAR MISTO COM ÊNFASE NA ORDENAÇÃO DE MÉDIAS DE TRATAMENTOS GENÉTICOS 1 João Btst Durt *; Rold Vcovsky,3 Escol d Aroom - UFG, C.P CEP: Goâ, GO. 3 Dpto. d Gétc - USP/ESALQ, C.P CEP: Prcc, SP. *Autor corrspodt <durt@uol.com.r>. RESUMO: O prst rto propôs-s rfltr torcmt o procsso d stmção/prdção d méds d trtmtos, os dlmtos m locos, com êfs s sus plcçõs m tsts d ótpos, o mlhormto vtl. Nst stdo, procurou-s comprr s álss sds o modlo lr fxo (áls trlocos) o modlo lr msto com ótpos ltóros (áls rcuprdo formção trtrtmtos), uscdo dtfcr os ftors qu podm dtrmr dfrts clssfcçõs otípcs. A áls tórc prmtu costtr qu ordm d modlo msto (com trtmtos ltóros), comprtvmt às álss trdcos (méds mrs áls trlocos), m rl, lv : ) mor homodd ds méds d trtmtos; ) slção d dfrts trtmtos étcos, qudo vrâc otípc for x m rlção à vrâc do rro os sos form ão ortoos dslcdos. Adms, s os trtmtos form orudos d várs populçõs, prdção BLUP podrá dtrmr dfrt clssfcção ds méds d trtmtos, m rlção à áls trlocos, msmo so ortooldd lcmto. Plvrs-chv: rcuprção d formção, dlmto m loco, méd BLUP, slção otípc, ordmto ESTIMATION AND PREDICTION USING LINEAR MIXED MODELS: THE RANKING OF MEANS OF GENETIC TREATMENTS ABSTRACT: Ths study rvwd th thory of stmto/prdcto of trtmt ms, rdomzd lock dss, mphsz spcts of trst to plt rdrs. Comprsos wr md tw lyss sd o fxd (trlock) d mxd (wth rdom trtmts ffcts - rcovr trotypc formto) lr modls for dtfy th dtrm fctors tht my ffct th clssfcto of otyps. Th mxd modl pproch, comprso wth th trdtol lyss (mrl ms d trlock lyss), rl, lds to: ) mor uformly dstrutd trtmt ms; d ) slcto of dffrt tc trtmts wh th tc vrc s smll rltv to th vromtl vrc, s wll s dss o-orthool d ulcd. I ddto, f trtmts of dstct rfrc popultos r vlutd th sm xprmt, BLUP prdcto c ld to dffrt rk of ms, comprso wth th trlock lyss, v f dss r lcd d orthool. Ky words: formto rcovr, lock ds, BLUP m, otypc slcto, shrk INTRODUÇÃO No mlhormto d plts tm sdo comum o uso d áls sd m modlo fxo pr stmção d méds d trtmtos (x: ótpos), msmo qudo sts form otdos por mostrm um populção. Isto é, m stuçõs m qu o modlo é tpcmt msto, pos clu, lém d ftos fxos (x: locos), os ftos ltóros dos ótpos. Em o prt dos csos, modlm mst é utlzd, com o ror d suposção, ps pr stmção d compots d vrâc pr costrução dos tsts F proprdos áls d vrâc. Etr s rzõs qu lvm os mlhorsts prátcos ão utlzrm prdçõs sds m modlos mstos stão flt d vvêc com sts métodos su pqu dvulção (Buo Flho, 1997). Acrsct-s qu os ftos prudcs d ordm trdcol ormlmt são tdos como mímos, poto d ão rcompsr os sforços com doção d ov mtodolo. A ordm d clssfcção dos ótpos, m rl, ão s ltr o cso d sos qu sum dlmtos ortoos lcdos. Assm, stmção d méds dmtdo-s modlo fxo, qudo vrdd o modlo é msto, ão modfcr o rsultdo fl d slção. Por outro ldo, ocorrêc d dslcmto ão pldo, dcorrt d prd d prcls, é um fto orml ss tpo d xprmtção. Adms, s fss prlmrs do procsso sltvo, qudo os ótpos são umrosos 1 Prt d Ts d Doutordo do prmro utor, prstd à USP/ESALQ - Prcc, SP. Sct Arcol, v.58,.1, p ,./mr. 1

2 11 Durt & Vcovsky d possum turz ltór (Ppho, 1994), é comum o uso d dlmtos ão ortoos como BIB (locos compltos lcdos) PBIB (locos compltos prclmt lcdos). Tmém têm hdo plcção crsct os dlmtos umtdos (Fdrr, 1956), os qus, por costrução, são dslcdos ão ortoos. Nsts csos, possldd d clssfcçõs otípcs dfrcds tr s dus ords lítcs é um rldd. Assm, optr-s pl covêc d suposção d um ftor como fxo ou ltóro pod str lo d sr prátc ofsv (Buo Flho, 1997). Atulmt, mtodolo d modlos mstos tm-s tordo ms cssívl os usuáros rçs à su mplmtção m sstms sttístco-computcos d mpl dvulção como o SAS (Sttstcl Alyss Systm). Loo, su roros plcção é prftmt xqüívl smpr qu o modlo suct os ddos for d tl turz. Nst cso, covrâcs olocmt cohcds (x: ótpos rlcodos por orm /ou prtsco) pssm sr lvds m cot ão só os tsts sttístcos, ms tmém stmção prdção d ftos d mplcção drt o ordmto slção dos ótpos. Os stmdors corrspodts, m rl, têm vrâc mor do qu os d modlo fxo, rsultdo, ssm, m stmtvs d mor cofldd (Hdrso, 1975; Vrk & Molrhs, 1997; Fdrr, 1998). O propósto dst rto é potr, por mo d xplctçõs tórcs, os ftors qu podm dtrmr dfrçs clssfcção ds méds otípcs (d trtmtos), qudo sts form otds por modlos fxo ou msto, d áls. O dsvolvmto ctr-s ordm d modlos lrs mstos, por rzõs d rldd d dvulção. A êfs prcpl stá um modlo d dlmto m locos, dmtdo-s os ftos d locos como fxos os d trtmtos como ltóros. Adms, procurou-s vlr xtsão ds costtçõs otds m lums vrçõs dst modlo. UM MODELO DE DELINEAMENTO EM BLOCOS Cosdr-s um dlmto xprmtl m locos, com trtmtos (ótpos) d ftos (=1,,...,) locos (compltos ou compltos) d ftos (=1,,...,). Com o propósto d rlzção, fz-s sr o úmro d vzs qu o trtmto prc o loco ( =,1,,...). Portto: Σ Σ = (úmro d osrvçõs); Σ =. =k (tmho ou úmro d prcls do loco ); Σ =. = (úmro d rptçõs do trtmto ); lém d qu Σ =Σ k=. Dot-s d por Y r osrvção um crátr ou vrávl ltór Y (osrvávl), rltv à r- ésm prcl (,,..., ) qu rcu o trtmto, dtfcd tmém plo loco. Um modlo lr qu crctrz ss couto d ddos pod sr: Y r = m r ; com: r N(, ); N(, ); E(Y r ) = m+ ; Vr(Y k ) = +. Nst modlo, o fto d loco ( ) é ssumdo como fxo o d trtmto ( ), como ltóro. A costt m é d turz smpr fx r é um vrávl ltór ão osrvávl. Isso crctrz o qu s cohc ltrtur por um modlo msto, pos corpor um mstur d tpos d ftos, fxos ltóros (Srl, 1987). Dss form, os trtmtos tstdos rprstm um mostr d um populção d ótpos, cus rsposts são dstruíds ormlmt, m toro d um méd comum (µ P = m+ ) com vrâc ; ou s, os trtmtos são rlzçõs d vrávs ltórs ão osrvávs, s qus corrspodm os ftos s (dsvos otípcos ltóros m rlção à méd µ P ). O trtmto sttístco dss tpo d modlo, o cmpo do mlhormto étco vtl, tm rcdo ultmmt domção d áls com rcuprção d formção trvrtl ou trotípc (Fdrr & Wolfr, 1996; Wolfr t l.,1997; Fdrr & Wolfr, 1998; Fdrr, 1998). Mtrclmt, xprssão qu rlz ss outrs modls msts ltrtvs pod sr scrt prtr do vtor y (x1) d osrvçõs, form do chmdo modlo lr msto rl: y = Xβ + Zγ + ε ; com: ε N(φ,R); γ N(φ,G); E(y)=Xβ; Vr(y)= V () = ZGZ + R. Nst cso tm-s: todos os ftos fxos rudos o vtor prmétrco β (px1) ; os ftos ltóros o vtor prmétrco γ (qx1), xcto os rros qu compõm o vtor ε (x1) ; X (xp) Z (xq) são s mtrzs d cdêcs dos ftos cotdos m β γ, rspctvmt; G (q) R () são s mtrzs d vrâcs-covrâcs dos vtors ltóros γ ε, rspctvmt, s qus compõm V (), mtrz d vrâcs-covrâcs ds osrvçõs. As covrâcs tr vtors dfrts são ssumds uls (Hdrso, 1984). Aqu, por smplfcção, dotr-s-á: G=I () R=I () ; od I (.) dot um mtrz dtdd =q (úmro d ívs do ftor ltóro). ESTIMAÇÃO E PREDIÇÀO NUM MODELO LINEAR MISTO So s codçõs trormt dfds, o método d qudrdos mímos ordáro (OLS) ão é ms um om procdmto d stmção, pos ssum smpls strutur V=I, mmzdo: (y-xβ) (y-xβ). A rcomdção rc, tão, sor o método d qudrdos mímos rlzdo (GLS), o qul cotmpl qulqur strutur ão sulr d V, o qu lv mmzr xprssão ms érc: (y-xβ) V -1 (y- Xβ). Todv, pr sso é cssáro cohcr mtrz V, trvés d G R, ou, ltrtvmt, srr lum stmtv d V o prolm d mmzção GLS. Nst últm stução, o qu dv sr fto é cotrr rzoávs stmtvs d G d R por mo d lum método d stmção. Etr sts, dstcm-s plo volum d plcçõs, os procdmtos ANOVA sdos o Sct Arcol, v.58,.1, p ,./mr. 1

3 Modlo lr msto m ttmtos étcos 111 método dos momtos (Fshr, 1918; Hdrso, 1953) os métodos d máxm vrossmlhç, ML (Hrtly & Ro, 1967) REML (Pttrso & Thompso, 1971). Em várs stuçõs, prfrêc tm sdo dd os métodos sdos m vrossmlhç, os qus xplorm suposção d qu γ ε têm dstrução orml (Lttll t l., 1996; Vrqu, 1994). Todv, o cso d modlos mstos, ão xst cosso sor mlhor form d stmr compots d vrâc (Chrsts t l., 199). Optdo-s por ML ou REML é cssáro, tão, costrur um fução otvo mxmzá-l m rlção todos os prâmtros dscohcdos. Sudo ordm do SAS Isttut (1997), com lus cálculos é possívl rduzr o prolm d mxmzção ps os prâmtros m G R. Assm, os corrspodts lortmos d fução d vrossmlhç (l ML ) d fução d vrossmlhç rstrt/rsdul (l REML ) são: l ML (G,R)= -(1/) lo V - (/) lo(r V -1 r) - (/) [1+ lo(π/)] ; l REML (G,R)= -(1/)lo V -(1/)lo X V -1 X -[(-p)/]lo(r V -1 r)-[(-p)/ ]{1+lo[π/(-p)}. od: r = y X(X V -1 X) - X V -1 y; p, qu, é o posto (rk) d X;, dd um mtrz A qulqur, A - dot um vrs rlzd d A (tl qu AA - A=A). Do procssmto umérco d um dsts xprssõs, trvés d lortmos trtvos como Nwto- Rphso (mplmtdo o PROC MIXED do sstm SAS) ou EM (Expctto Mxmzto), pod-s otr s stmtvs ML ou REML d trss ( G! R).! Nos outros métodos, stmção fudmt-s costrução d forms qudrátcs do tpo y P t y (t=1,,...,s; od s é o úmro d prâmtros srm stmdos), s qus t são qucods com sus sprçs mtmátcs, E(y P t y). As forms qudrátcs quvlm às soms d qudrdos otds corrspodt áls d vrâc E(y P t y) é um fução dos prâmtros. Dscrçõs t dtlhds dsts métodos são dspoívs m Vléro Flho (1991), Srl t l. (199) Lops t l. (1993). D poss dos vlors prmétrcos dos compots d (co)vrâc (G R) ou d sus stmtvs ( G!!R), pss-s, tão, os prolms d stmr o vtor d ftos fxos β (ou um fução l ssocd) d prdzr o vtor d ftos ltóros γ (ou tmém lum fução d γ). Amos os prolms podm sr rsolvdos, smultmt, trvés ds chmds quçõs d modlo msto (EMM), dsvolvds por Hdrso m 1948 (Lttll t l., 1996; Hdrso, 1984): XR X XR Z + β XR ZR X ZR Z G = γ ZR y y Não s cohcdo s mtrzs G R, smplsmt susttum-s por!g! R. Mpulçõs d álr mtrcl lvm, por cosut, às soluçõs do sstm: β = ( XV X) XV y ; γ = GZ V ( y Xβ ) = CV ( y Xβ ) od: C=GZ é mtrz d covrâcs tr y γ (covrâc tr osrvçõs fotípcs vlors otípcos vrddros). A otção ds soluçõs do sstm por mo dsts xprssõs ão são, todv, usus, h vst dmsão x d mtrz V sr vrtd. O uso d um vrs rlzd d mtrz d cofcts m EMM rprst um opção d mor sforço computcol, um vz qu st mtrz tm dmsão (p+q)x(p+q), fror x (McL t l., 1991). Outrs ltrtvs d são dspoívs (Adré, 1999). É otóro qu, s G -1 td pr mtrz ul (x:, o cso prtculr G=I ), s EMM tdm pr s quçõs d GLS pr stmr β γ, qudo os compots d γ são cosdrdos fxos (Roso, 1991). Por outro ldo, qudo G -1 dom s EMM (x:, so G=I ), γ td pr zro. Nos csos trmdáros, G -1 opr rduzdo (shrk, m lês) mtud ds stmtvs d γ supostmt fxo, té zro (SAS Isttut, 1997). S G R form cohcds, β (ou, ms provvlmt, lum fução stmávl L β o ) é chmdo mlhor stmdor lr ão vsdo (BLUE - st lr usd stmtor) d β (ou d L β o ), γ é domdo mlhor prdtor lr ão vsdo (BLUP - st lr usd prdctor) d γ. O uso do trmo prdtor tm ps o propósto d dstur stmdors d ftos ltóros dquls d ftos fxos (Roso, 1991). Porém, como á mcodo, G R rlmt são dscohcds, dspodo-s ps d stmtvs otds por lum método. Nst cso, os trmos BLUE BLUP ão ms s plcm, sdo proprdo susttuílos por EBLUE (mprcl st lr usd stmtor) EBLUP (mprcl st lr usd prdtor), rspctvmt (SAS Isttut, 1997; Lttll t l., 1996). O trmo mpírco é dcodo, portto, pr dcr ss tpo d proxmção. A corrspodt mtrz d vrâcscovrâcs dos prâmtros, C β, ou! γ,, é dd por: C β, = γ XR X XR Z ZR X ZR Z+ G C β γ ou C! XR! X XR! Z β,!!! = γ ZR X ZR Z+ G Ddo qu os rsultdos d prtção dsts mtrzs são rs, cohcdo-s ou ão s mtrzs prmétrcs G R, pod-s smplsmt scrvr: C β, = γ C C C C ; com C11 = ( X V X) ; C1 = GZ V XC11; C = ( Z R Z + G ) C1X V ZG Sct Arcol, v.58,.1, p ,./mr. 1

4 11 Durt & Vcovsky Not-s qu C 11 é fórmul fmlr d mtrz d vrâcs-covrâcs d β o, solução d qudrdos mímos rlzdos. Assm, tr outrs proprdds, tm-s (Hdrso, 1984; Srl t l., 199): Vr (L β ) = L C 11 L; Vr ( γ )= CV -1 C -CV -1 XC 11 X V -1 C = G C ; Vr (L β + γ )= Vr (L β ) + Vr ( γ ) EXPLICITAÇÃO DO BLUP DE γ Pr tdr s cosqüêcs d suposção d ltordd dos ftos d trtmtos sor sus stmtvs d méds é cssáro prmrmt lsr o prdtor γ. É covt, portto, drvr xprssão d compots dvdus do vtor γ, sto é, d cd, o BLUP d (=1,,...,). Sm prd d rldd, omt-s, st momto, o ídc (d locos), mtdos ps r, rltvos o trtmto su rptção. So strutur d compots d vrâc G=I R=I, tm-s: V = B (od B J I =1 = ( + ) ( ); =1 dc oprção mtrcl som drt, ou s, otção d um mtrz loco dol com s mtrzs B ; J () é um mtrz qudrd com todos os lmtos utáros). Loo: 1 γ= = " Y! 11 Y11! Y1 Y1 "! Y1 Y 1 11 Y! 1 Y1 Y Y! "! Y Y C = 1 ( =1 ) V = B =1 CV 1 ; com: 1 B = [ I ( λ ] ) J ( ) λ = + sdo: 1' () um vtor lh (d ordm ) com todos os lmtos utáros. Portto, mtrz CV -1, d ordm x, ssum o formto: 1 colus colus colus $ &&&&&&%&&&&&&' $ &&&&& &%&&&&&&& ' $ &&&&& &%&&&&&&& ' 1 1 λ1 1 1 λ1 # 1 1 λ1 # # # CV 1 = # 1 λ 1 λ # 1 λ # #. " " " " " " " " " " " " " # # # 1 λ 1 λ # 1 λ Por cosut, como lustrm Srl t l. (199), o prdtor do fto otípco d um trtmto, ou s, o BLUP( ), fc dtrmdo por: BLUP( ) = = ( Y µ ) = λ ( Y µ ). + Isto rsult do produto d -ésm lh d CV -1 plo vtor (y- Xβ )=( y y! ): = (1 λ )(Yr Y! r ) = (1 λ ) (Yr Y! r ) = (1 ) (Yr Y! r ) + + = ( ) (Yr Y! r ) = (Yr Y! r ) = λ (Yr Y!! r ) = λ(y. Y. ). + + (1) Sdo-s qu: =, tm-s, flmt: Y =. Y Y. Y ( ) ( ) ( = λ Y Y = Y ) µ = λ Y µ + () m qu: Y = µ, rprst méd dos vlors ustdos (pr os ftos fxos) s prcls qu rcrm o trtmto, ou s, méd mtl sprd quls prcls. Nos dlmtos m locos, µ rprst: (méd rl) + (fto médo dos locos qu rcrm o trtmto ), o qu pod sr dmostrdo rtroduzdo-s o ídc d locos (): µ 1 = 1 1 = + = m + m + = m + m = 1 = 1 = 1 = 1 m qu: m (=1,,...,) são os lmtos do vtor solução β, dot o fto médo dos locos qu rcrm o trtmto. Dss modo, o prdtor do vlor otípco do trtmto, o BLUP( ), pod d sr scrto como: 1 = Y m = [ Y ( m )] + λ + + =1 (3) Est dsvolvmto mostr qu o uso d um costt µ, comum pr todo, como prstm Srl t l. (199, p. 71), ão s plc tods s stuçõs dlmtos. Por sso, du-s qu prfrêc à otção µ. Ms, Y tmém stm tudo sso ( m+ ) ms o fto do trtmto ( ). Assm, dfrç ( Y µ ) cotém, d fto, só formção rltv o fto ltóro do trtmto, ou s, méd d sus ftos otípcos stmdos por prcl. É tmém oportuo osrvr qu o trmo λ é quvlt à hrdldd d méds d trtmtos ( h = Y + / ), cocto d mpl plcção m étc. So o poto d vst xprmtl, é otór mportâc d rptçõs csulzção pr um prdção mprcl d trvés d. Emor sto tmém s fudmtl o cso d modlos fxos sus rspctvos BLUE s, o rcocío sur procurrá lustrr rlvâc dsts prcípos o cotxto d ordm d modlos mstos. Pr cotorr s dfculdds d um trtmto mtmátco trvés d sprçs codcos, cosdr-s ps s osrvçõs rlcods um ddo ótpo, cuo vlor otípco th sdo prdto por um ds xprssõs d (1, ou 3). Pr smplfcção, cosdr-s d um dlmto áro, com = ou =1. Assm, pod-s frmr qu, so s codçõs d prdção, o vlor sprdo d cd udd xprmtl é: E(Y! ) = m +. Todv, pr ss r Sct Arcol, v.58,.1, p ,./mr. 1

5 Modlo lr msto m ttmtos étcos 113 couto prtculr d ddos (rltvos o ótpo ), é um costt, dscohcd, ms ão um vrávl ltór. Loo, E( )=. Adms, dscohcdo-s o úmro d rptçõs s rrs d locção dos trtmtos às prcls, ão s pod, d, ssumr: E( r )=; ms, sm: E( r )= r. Nst cso, rtroduzdos o ídc (d locos) xprssão (1) d, tm-s: E( ) = E[ λ (Y E( ) = λ ( + r Y )] = λ E(m+ + + ) = λ + λ r r. r= 1 r r m ) So muto xo usêc d csulzção, E( ) crr um trmo λ r. Isto prudc quldd do prdtor qu trá um vés o stdo do fto mtl médo cdt s prcls qu rcrm o ótpo. Todv, so csulzção rd pod-s ssumr, trqülmt, qu r =, sts codçõs, rsult m prdçõs ão tdcoss d. Isto porqu, rtds s codçõs qu torm E( r )=, tm-s: E( ) = λ ;, so rd, λ 1 (hrdldd máxm), o qu mplc m E( ). Ms, sdo λ 1, à mdd qu hrdldd dmu ( λ ), o vlor soluto d rduz-s, proporcolmt, o stdo do vlor sprdo populcol, E( )=. Isto rvl o umto d mportâc do rlcomto tr os ótpos, prdção do vlor étco d cd um. Em síts: E( ) qudo hy 1; são, E( ) E( ) à mdd qu h. Y D fto, ssumr E( ) = somt é dsávl s o xprmto dr codçõs pr tl, sto é, s for cpz d forcr formçõs dvdus m úmro sufctmt rd ( h Y 1). São, à mdd qu formção dvdul dmu ( h Y ), é prfrívl prdzr prformc d cd ótpo trudo-s um pso crsct às formçõs d sus prts, ou s, fc cd vz ms suro dmtr E( ) =E( ). Assumr E( ) = (suposção do modlo fxo), sts csos, mplc um rsco crsct d produzr stmtvs pors d (prâmtro). Efm, ordm d modlos mstos usufru d flxldd d podrr formção dvdul, m dtrmto dqul dos ótpos prtdos, coform cofldd ssocd à prmr. Já mtodolo d modlos fxos (OLS) ão dspõ dst prudêc. O EFEITO SHRINKAGE NAS MÉDIAS BLUP Iclmt, covém troduzr o cocto d méds BLUP. Como o vtor γ cotém ps os dsvos otípcos ssocdos os trtmtos, pr prdzr, por xmplo, rspost fotípc d um ótpo um loco é cssáro costrur um fução lr d prâmtros fxos ltóros: y= Xβ + Zγ Y ( m ) = + +. Tl xprssão rprst: (vlor médo do mt ) + (fto do ótpo ). Cotudo, s o psqusdor stvr trssdo ão ps formção dos ftos otípcos (sufcts pr o ordmto slção d ótpos), m m prdçõs d prcls dvdus ( Y ), ms rspost méd d cd ótpo, xprssão tror ão rspodrá o su qustomto. A ov fução dv lvr m cot o fto médo d locos, ssumdo comum pr todos os ótpos so comprção. Isto corrspod às chmds méds d trtmtos ustds pr os ftos fxos do modlo. A xprssão é qu domd BLUP (µ P + ) ou méds otípcs BLUP, sdo dd por: Y ( m ) = + +. Est, sm, dtrm o ust ds méds d cd trtmto pr um msmo rfrcl, costt ( m + ) Computcolmt, ss últmo trmo é otdo costrudo-s um fução lr dos ftos fxos, L β, comum pr todos os trtmtos. A mtrz L [x(1+)] pod tr sus lhs tods us : [1 k 1 / k /... k /], o qu r um méd podrd dos ftos d locos plos sus rspctvos tmhos,, à qul é dcod costt m. Acrsctdo-s o prdtor tm-s, tão, méd d trss. Srl t l. (199) trtm do prolm d stmr ou prdzr um fução lr do tpo: w=l β+γ. Os utors comtm qu, pr L β stmávl, w= L + CV 1 β ( y Xβ ) tm proprdds d mlhor prdtor lr ão vsdo (rro médo qudrátco mímo, lrdd m rlção y ão tdcosdd), sdo, por sso, chmdo d BLUP(w): w= L β + γ. No prst cso, tm-s: BLUP(w)= BLUP ( µ + )! + ( m ) P = µ P = + +, o qu corrspod à méd BLUP do ótpo. Lttll t l. (1996) lustrm o trtmto dss tpo d prolm trvés do sstm SAS. Os utors rfrms ts comçõs lrs como fuçõs prdzívs, pr dfrcá-ls ds fuçõs stmávs qu comm ps ftos fxos. Dfdo o sfcdo ds méds BLUP, rcosdr-s or xprssão d. O trmo λ ( hrdldd d méds) rprst um pso plcdo o ms smpls stmdor d, o dsvo ( Y µ ). Pr vlr su fluêc sor st dsvo, cosdr-s rlção φ = /, qul rflt hrdldd m ívl φ d prcls ( h = = 1 ). Assm, tm-s: λ = + Y φ = + φ + +φ φ φ = =. ( 1+ φ ) 1 + φ Num stução d vrldd étc muto supror à mtl ( h Y d vlor lvdo) tm-s: φ λ 1. Isto sfc qu dfrç (Y µ ) rflt, trlmt, o vlor otípco do trtmto m rlção à méd µ P d populção, stmd por:!µ P =m +. Nst stução, rspost méd sprd do ótpo, o BLUP (µ p + ), td pr:! µ P + ( Y µ ). Em locos compltos lcdos, µ =µ =µ P ; loo, so Sct Arcol, v.58,.1, p ,./mr. 1

6 114 Durt & Vcovsky λ 1, o BLUP (µ p + ) rduz-s Y. Nst cso, s rsposts otípcs otds plo prdtor BLUP (µ p + ) dsprsm o máxmo tr s, ulmt às rspctvs méds mrs smpls ão ustds ( Y = k=1 Y / ). Por outro ldo, qudo ss rlção d vrâcs for muto x (φ ), o rfrdo pso tmém dmu ( λ ) dfrç ( Y µ ) pouco ou d formrá sor o vlor otípco dvdul do trtmto. S porqu os trtmtos ão dfrm sustclmt tr s ( ), s por rro xprmtl muto lvdo ( ). Nst cso, rspost méd sprd d um ótpo, o BLUP (µ p + ), td pr!µ P, pos, ; ou s, todos os trtmtos trão rsposts prdts dêtcs (!µ P ). Dss modo, vrçõs fotípcs osrvds tr ótpos ão são ms do qu flutuçõs rrátcs m toro d méd populcol µ P ; pos sus proprdds étcs dvdus ão são sfctvmt mportts ou, plo mos, ão pudrm sr dscrmds plo xprmto. Nsts crcustâcs ão hvrá dsprsão lum tr s rsposts otípcs méds prdts. Com fto, ão sr ctávl qulqur vrção tr sts um stução d usêc d vrldd étc. Loo, ordm d modlos mstos mostr-s cort com rldd, por sso, é td como coctulmt ms complt (Rsd t l., 1996; Buo Flho, 1997). N mor ds stuçõs prátcs, trtto, λ srá um úmro tr zro um, mplcdo um provtmto prcl d formção cotd o dsvo ( Y µ ). Aprovtmto st proporcol à hrdldd h Y, o qu dtrm um dsprsão trmdár ds méds BLUP. Portto, coclu-s qu um rdução vrâc étc rltv (φ ) mplc um strtmto d dsprsão ds rsposts otípcs méds prdts (Fur 1); poddo sto chr o lmt tórco ds méds s ulrm (qudo φ =). Trt-s do chmdo fto shrk, rltdo ltrtur d modlos lrs mstos, qu d ms é do qu o colhmto d dstrução ds méds ustds d trtmtos m toro d méd rl, qudo s pss d um áls ssumdo-os como d ftos fxos pr outr m qu ts ftos são tdos como ltóros. Quto mor hrdldd, mor srá o shrk. Est fto é tdo como um proprdd dsávl dos prdtors (EBLUP, BLUP, BLP, BP), h vst flucr otdmt s méds Y xtrms (Ltour & Lttll, 1996). Por rzõs dss tpo, ts prdtors são tmém domdos stmdors shrk (Stroup & Multz, 1991). Sudo Duchtu & Jss (1997), m síts, o BLUP rprst um cotrção d dfrç ( Y µ) D form qu, s o compot d vrâc otípc for m mor do qu o mtl ( >> ), o prdtor srá muto próxmo d (Y µ). Isto sfc qu formção d outros ótpos rlcodos ão é muto útl pr s fzr prdçõs crc do ótpo. Sct Arcol, v.58,.1, p ,./mr. 1 Fur 1 - Efto shrk sor méds ustds trlocos (MAJ_FIXO) m rlção às méds ustds so rcuprção d formção trotípc (MAJ_BLUP). Os úmros (11 11) dtfcm os ótpos, um so smuldo d locos compltos csulzdos, so: µ=1; N(,S =,); N(, =,5); r N(, =,). Ms, s <<, o prdtor colhrá o stdo do vlor sprdo populcol (zro). Além dsso, quto mor o úmro d rptçõs ( ), ms o vlor ( Y µ) srá cosdrdo prdção dvdul. Not-s, portto, qu ordm BLUP é cosstt com tução dos mlhorsts d s susptr d um ovo ótpo cus rsposts, m poucs rptçõs, têm méd xcpcolmt lt ou x m rlção os dms (Hll Jr. & Rosrr, 1985). Isto pos, solução BLUP (à smlhç d outros prdtors) lv m cot formção d qu os ftos têm mor vrção do qu s rsposts dtro d cd ótpo (Roso, 1991). ORDENAMENTO COMPARATIVO DAS MÉDIAS BLUP Ddo qu o modlo m studo µ P é comum todos os trtmtos (mostrdos d um msm populção), o ordmto d sus méds prdts fc dtrmdo ps plo d : rk[blup(µ P + )]=rk[( )]. Por sso, pr fs d slção d ótpos, m rl, dsps-s otção ds rsposts méds prdts d cd trtmto. Em lus studos, todv, o rsultdo ds méds pod sr d trss. D xprssão d pod-s scrvr: BLUP (µ P + )= µ! + λ ( Y P µ ). Assm, ddo qu um stução d locos compltos lcdos µ é comum pr todo, clusv, ul!µ P, tm-s: rk ( Y µ ) =rk ( Y ). Adms, so lcmto, o pso λ tmém é comum pr todo (λ), mplcdo m: rk ( ) =rk( Y ). E, s vrâc étc for stt lvd (φ λ 1), tm-s o rsultdo á otdo: BLUP(µ P + )= Y. Por outro ldo, s λ fst-s d um (locmt o stdo d zro) st últm uldd ão ms s vrfc, mor dos ordmtos d prmç, com pculrdd d shrk ds méds BLUP(µ P + ) m rlção às méds Y. Isto pos, à mdd qu λ td pr zro, mpltud d vrção

7 Modlo lr msto m ttmtos étcos 115 d λ Y (trmo dtrmt do ordmto) rduz-s ssvlmt. Além dsso, costt!µ P pss sr multplcd por (1-λ), d vlor tmém fror à udd. Loo: rk[blup(µ P + )]=rk( ) =rk( Y ). Isto sfc qu, o cso d locos compltos lcdos, um slção sd m méds mrs ( Y ) lvrá à rtção dscrt dos msmos ótpos qu um slção sd m BLUP(µ P + ), ou m (Fur 1). Rst, portto, qustão d mor trss prátco rlcod o procsso d slção d trtmtos: Exstm ou ão dfrçs tr os ordmtos d méds produzds pl ordm d modlo msto por um áls covcol trlocos (modlo fxo)? A rspost é sm. Em locos compltos, lcdos ou ão, µ ão é ms comum pr todo os usts pr os ftos d locos podm fzr com qu os ordmtos dos ótpos por Y ão sm os msmos. Rsslt-s qu codção d dslcmto por s só (m qulqur dlmto) á é sufct pr ão ms rtr cocordâc prft dsss dos tpos d slção; sortudo, s os trtmtos dfrrm muto m úmros d rptçõs. A fluêc do ívl d dslcmto sor s méds prdts sus postos pod sr vld drtmt xprssão d (3): Mor mpltud d dslcmto mplc um mor proldd d s dus clssfcçõs dfrrm. Idpdtmt do dsho xprmtl, do ru d dslcmto dos úmros d rptçõs, qudo φ λ =1, tm-s: =1. ( Y µ ) =τ ; od τ é solução do sstm d quçõs orms rduzds d áls trlocos, so Σ τ =. Em rzão dsso, s méds prdts d áls d modlo msto, BLUP(µ P + ), srão us às méds ustds pl áls trlocos ( Y ( ust./ fxo ) ). Ms, à mdd qu s fst dss codção lmt (φ λ =1), uldd tr τ, m como tr s méds corrspodts, ão ms s vrfc. E, mor rlção φ dv tr ordm dos mlhrs (φ ) pr um uldd qus solut ds méds BLUP(µ P + ) Y ( ust./ fxo ), sus rspctvos ordmtos podm prmcr dêtcos msmo so rlçõs m mors. N prátc, vlors d φ cs ds cts, m rl, rtm cocdêc solut ds clssfcçõs. E, um cocordâc rzoávl á é cosud com vlors d φ cs ds dzs, o qu rsult tmém m slçõs muto smlrs (ão ortormt dêtcs) plos dos procdmtos. A rlção φ ão trfr somt o vlor d λ, ms tmém o d ( Y µ ), pos µ dvém d Xβ β = (X V -1 X) - X V -1 y. Loo, ordm d modlos mstos, solução pr ftos fxos tmém lv m cot strutur d vrâcs covrâcs ds osrvçõs. Adms, st fluêc v lém d stmção potul, trfrdo tmém os tsts d hpótss rlcodos os ftos fxos, o qu ustfc Sct Arcol, v.58,.1, p ,./mr. 1 smpr um cuddos spcfcção d strutur d rros (Lttll t l., 1996; Duchtu & Jss, 1997). Dt dsso, o costumro uso d álss fudmtds suposção d trtmtos fxos (x: áls trlocos) pr fs d slção d ótpos, qudo, rldd, ls form ltóros, dsprt spcl procupção s rlção φ for x. E, sm dúvd, ss é o cso d o prt dos sos d vlção d ótpos m prorms d slção d spécs á stt mlhords, ou s, com x vrldd étc. É vrdd qu, s fss prlmrs do procsso, vrâc étc pod sr cosdrvlmt lt. Em cotrprtd, sts tps, os rros xprmts, m rl, são lvdos (rd úmro d trtmtos pquo úmro d rptçõs), mplcdo m xos vlors d φ. Nsts csos, o úmro d rptçõs ( ) o ru d dslcmto voltm tr fluêc dcsv ordção dos ótpos pl ordm qu prstd (modlo msto com trtmtos ltóros). Isso porqu, so dslcmto, λ podr dfrtmt o vlor do dsvo ( Y µ ) d cd ótpo, o qu pod rsultr m ordçõs dstts dos trtmtos pls méds BLUP(µ P + ) Y ( ust./ fxo ) (ou por τ, rspctvmt). DUAS OUTRAS VARIAÇÕES NO MODELO Com s o dsvolvmto tórco prstdo procurr-s-á stdr lums costtçõs trors, sm dmostrçõs, dus outrs vrçõs o modlo studdo. N prmr, os ftos d locos srão dmtdos como ltóros o ldo dos d trtmtos (modlo ltóro). N outr, os trtmtos (d ftos ltóros), são supostmt orudos d dfrts populçõs, cd um com proprdds spcífcs m trmos d méd vrâc (x: ótpos m strutur d fmíls). Modlo com locos ltóros A suposção d ltordd pr os ftos d locos d trtmtos, um dlmto m locos, corrspod à doção d um modlo d áls com rcuprção ds formçõs trlocos trtrtmtos. Nst cso, psr d modfcção strutur d mtrz V, o trmo µ d xprssão do BLUP( ) tor-s comum todos os trtmtos ( µ = µ! p = m),! h vst um úco fto fxo o modlo, costt m. Loo, um possívl modfcção ordm d, m rlção à d Y, dpdr somt dos ftos dfrcdos d áloos d λ (compots d CV -1 ), pos: rk( Y )=rk( Y m! ). So pqu vrção tr locos, codção pr o uso fct d formção trlocos (Mlhros, 198; Kmpto t l., 1994), ts ftos proxmm-s d λ, cu fluêc o ordmto ds méds á fo trormt dscutd.

8 116 Durt & Vcovsky Nos dlmtos m locos compltos (BIB PBIB), lt fcêc d áls com rcuprção d formção trlocos rqur um rlção / <1/k (od: é vrâc d locos k é o tmho dos locos); ou d, um vlor d r<, od: +kφ φ = / (Mlhros, 198). Alomt, rsultdos otdos por Durt () surm qu fcêc do uso d formção trtrtmtos x rlçõs φ frors o vrso do úmro d rptçõs, o qu mplc, ortormt, m φ <1. Loo, st formção é spclmt mportt qudo dscrmção dos trtmtos tor-s dfcultd pl x vrldd étc (pquos vlors d φ ). Ess fto pot, ms um vz, pr os sos prlmrs dos prorms d mlhormto d spécs com um lo hstór d slção rtfcl, á stt mlhords com pqu vrâc otípc. A rcuprção d formção trlocos por s só, mor poss dtrmr trocs s posçõs rltvs ds méds dos trtmtos (m rlção às ords d méds mrs ou d áls trlocos), ão é rsposávl por shrk o couto ds méds. Assm, um possívl mor coctrção ds méds d trtmtos otds prtr do modlo ltóro (méds BLUP), dcorr do uso d formção trtrtmtos. Modlo com trtmtos d dfrts populçõs Outro qustomto turl qu sur o dscutr ordção ds méds d trtmtos pls ords d modlo fxo d modlos mstos é: Como fc o ordmto comprtvo pr um couto d trtmtos qu são orudos d dvrss populçõs? Nos sos d mlhormto étco, os trtmtos podm rprstr dfrts lhs ou proês (ótpos) s populçõs sus dfrts procdêcs, cruzmtos ou fmíls. A áls d modlo msto qu cosdrd, ssum os ftos d locos d populçõs como fxos os ftos d ótpos dtro d populçõs como ltóros. Corrspod, portto, um modlo d dlmto m locos com trtmtos hrrquzdos m populçõs. Ddo qu somt ordm d modlo msto utlz formção rltv às vrldds otípcs ds populçõs, é possívl surr clssfcçõs stt dstts plos dos foqus. Coform á costtdo, é d s sprr qu s méds d proês rlcods populçõs d x vrldd otípc prstm vlors próxmos (shrk). Isto rprst um mcsmo d rupmto ds stmtvs d méds do qul áls trlocos (so trtmtos fxos) ão pod usufrur; h vst ão lvr m cot formção trotípc (Fur ). Est fulmto ds méds prdts qudo s compr os dos foqus, sortudo pr s populçõs d x vrldd otípc (x: populção P, Fur ), pod dtrmr troc d poscomto rltvo tr proês d populçõs dstts, msmo prsç d ortooldd lcmto. E, s stuçõs usus d locos compltos, sutos dslcmtos pldos ou ão, sprm-s, clusv, mudçs d clssfcçõs dtro d msm populção, o qu pod, cosqütmt, tr um fort mpcto slção. Flmt, d s podr prutr: O uso dss ordm d modlos mstos ão dfcultr dtcção dos chmdos srts trsrssvos, um vz qu há um tdêc dos 's covrrm pr o vlor sprdo populcol? A rspost é ão. Prmrmt, porqu, s s xêcs d modlm fx form stsfts, d modlos mstos produz rsultdos quvlts; ms, s ão o form, st últm rduz chc d potr ótpos comus como trsrssvos. Adms, ss tpo d ordm ão s pod orr slção trpopulcol, cocd pl própr strutur hrárquc do modlo. Os ótpos srts trsrssvos crctrzm-s por vlors d dscrpts m rlção os dms ótpos rlcodos (d msm populção), poddo sr fclmt dtfcdos. O mlhorst dv, portto, str tto st fto, prtcdo slção tr dtro ds populçõs. Cso cotráro, ão strá xplordo dqudmt os rcursos d modlm sttístc mos rstrtv. CONSIDERAÇÕES FINAIS É um quívoco dmtr qu áls d um modlo com um ftor ltóro, o vés d fxo, ps os compots d vrâc (sprçs d qudrdos médos) os tst F podm s ltrr. As costtçõs rforçm tmém procupção crc dos prolms d spcfcção dos modlos d áls sttístc ár do mlhormto étco vtl. Fur - Ordmto d méds ustds trlocos (MAJ_FIXO) m rlção às méds ustds so rcuprção d formção trotípc (MAJ_BLUP), pr trtmtos orudos d três populçõs (P1, P P3). Ddos smuldos pr um so m locos compltos csulzdos, so: µ=1; N(,S =,); r N(, =,); N(1, =,15) s P1; N(, =,5) s P; N(3, =,) s P3. Sct Arcol, v.58,.1, p ,./mr. 1

9 Modlo lr msto m ttmtos étcos 117 AGRADECIMENTOS À Coordção d Aprfçomto d Pssol d Nívl Supror (CAPES), pl cocssão d ols d studos o prmro utor. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANDRÉ, C.M.G. Avlção d mlhor prdção lr ão tdcos (BLUP) ssocd o uso d mrcdors molculrs áls dlélc. Lvrs, p. Dssrtção (Mstrdo) Uvrsdd Fdrl d Lvrs. BUENO FILHO, J.S. d S. Modlos mstos prdção d vlors étcos dtvos m tsts d proês florsts. Prcc, p. Ts (Doutordo) Uvrsdd d São Pulo, Escol Supror d Arcultur Luz d Quroz. CHRISTENSEN, R.; PEARSON, L.M.; JOHNSON, W. Csdlto dostcs for mxd modls. Tchomtrcs, v.34, p.38-45, 199. DUARTE, J.B. Sor o mpro áls sttístc do dlmto m locos umtdos o mlhormto étco vtl. Prcc,. 93p. Ts (Doutordo) - Uvrsdd d São Pulo, Escol Supror d Arcultur Luz d Quroz. DUCHATEAU, L.; JANSSEN, P. A xmpl-sd tour lr mxd modls. I: VERBEKE, G.; MOLENBERGHS, G. Lr mxd modls prctc: SAS-ortd pproch. Nw York: Sprr, cp., p (Lctur ots Sttstcs, 16). FEDERER, W.T. Aumtd (or hoouku) dss. Hw Pltr s Rcords, v.55, p.191-8, FEDERER, W.T. Rcovry of trlock, trrdt, d trvrtl formto complt lock d lttc rctl dsd xprmts. Bomtrcs, v.54, p , FEDERER, W.T.; WOLFINGER, R.D. SAS PROC GLM d PROC MIXED for rcovr tr-ffct formto. Ithc: Corll Uvrsty, p. (Tchcl Rport Bomtrcs Ut, BU-133-M). FEDERER, W.T.; WOLFINGER, R.D. SAS cod for rcovr trffct formto xprmts wth complt lock d lttc rctl dss. Aroomy Jourl, v.9, p , FISHER, R. Th corrlto tw rltvs o th supposto of Mdl hrtc. Trsctos of Royl Socty of Edurh, v.5, p , HARTLEY, H.O.; RAO, C.R. Mxmum-lklhood stmto for th mxd lyss of vrc modl. Bomtrk, v.54, p.93-18, HENDERSON, C.R. Estmto of vrc d covrc compots. Bomtrcs, v.9, p.6-5, HENDERSON, C.R. Bst lr usd stmto d prdcto udr slcto modl. Bomtrcs, v.31, p , HENDERSON C.R. Applctos of lr modls ml rd. Gulph: Uvrsty of Gulph - Cd, p. HILL JUNIOR, R.R; ROSENBERGER, J.L. Mthods for com dt from rmoplsm vluto trls. Crop Scc, v.5, p , KEMPTON, R. A.; SERAPHIN, J. C.; SWORD, A. M. Sttstcl lyss of two-dmsol vrto vrty yld trls. Jourl of Arculturl Scc, v.1, p , LATOUR, D.; LITTELL, R. Advcd rl lr modls wth mphss o mxd modls: cours ots. Cry: Sttstcl Alyss Systm Isttut, p. LITTELL, R.C.; MILLIKEN, G.A.; STROUP, W.W.; WOLFINGER, R.D. SAS systm for mxd modls. Cry: Sttstcl Alyss Systm Isttut, p. LOPES, P.S; MARTINS, E.N.; SILVA, M.d A.; REGAZZI, A.J. Estmção d compots d vrâc. Vços: UFV, p. McLEAN, R.A.; SANDERS, W.L.; STROUP, W.W. A ufd pproch to mxd lr modls. Th Amrc Sttstc, v.45, p.54 65, MALHEIROS, E.B. Eftos d rcuprção d formção trlocos frêc sttístc m sos m locos compltos qulrdos. Prcc, p. Ts (Doutordo) - Uvrsdd d São Pulo, Escol Supror d Arcultur Luz d Quroz. PATTERSON, H.D.; THOMPSON, R. Rcovry of tr-lock formto wh lock szs r uqul. Bomtrk, v.58, p , PIEPHO, H.P. Bst lr usd prdcto (BLUP) for rol yld trls: comprso to ddtv m ffcts d multplctv trcto (AMMI) lyss. Thortcl Appld of Gtcs, v.89, p , RESENDE, M.D.V. d; PRATES, D.F.; JESUS, A. d. YAMADA, C.K. Mlhor prdção lr ão vcd (BLUP) d vlors étcos o mlhormto d Pus. Boltm d Psqus Florstl,.3/33, p.3-, ROBINSON, G.K. Tht BLUP s ood th: th stmto of rdom ffcts. Sttstcl Scc, v.6, p.15-51, SAS INSTITUE. SAS/STAT softwr: chs d hcmts throuh rls 6.1. Cry: Sttstcl Alyss Systm Isttut, p. SEARLE, S.R. Lr modls for ulcd dt. Nw York: Joh Wly & Sos, p. SEARLE, S.R.; CASELLA, G.; McCULLOCH, C.E. Vrc compots. Nw York: Joh Wly & Sos, p. STROUP, W.W.; MULITZE, D.K. Nrst hor dustd st lr usd prdcto. Th Amrc Sttstc, v.45, p.194, VALÉRIO FILHO, W.V. Comprção d métodos pr stmção d compots d vrâc trvés d smulção d ddos. Prcc, p. Ts (Doutordo) Uvrsdd d São Pulo, Escol Supror d Arcultur Luz d Quroz. VERBEKE, G.; MOLENBERGHS, G. Lr mxd modls prctc: SAS-ortd pproch. Nw York: Sprr, p. (Lctur ots Sttstcs, 16). VERNEQUE, R.S. Procdmtos umércos stmção d compots d vrâc m áls multvrd plo método d máxm vrossmlhç rstrt modlos mstos plcdos o mlhormto ml. Prcc, p. Ts (Doutordo) Uvrsdd d São Pulo, Escol Supror d Arcultur Luz d Quroz. WOLFINGER, R.D.; FEDERER, W.T.; CORDERO-BRANA, O. Rcovr formto umtd dss, us SAS PROC GLM d PROC MIXED. Aroomy Jourl, v.89, p , Rcdo m.1.99 Sct Arcol, v.58,.1, p ,./mr. 1