Um Primeiro Curso sobre Códigos Corretores de Erros

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1 ERMAC 21: I ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL de Novembro de 21, São João del-rei, MG; pg Um Primeiro Curso sobre Códigos Corretores de Erros Flaviano Bahia Departamento de Matemática e Estatística - DEMAT, UFSJ, , São João del-rei, MG bahia flaviano@yahoocombr RESUMO A matemática participa de nosso cotidiano de inúmeras formas Mas como? Nosso objetivo neste minicurso é mostrar uma aplicação da matemática em nossas vidas Ou melhor, que não vivemos sem utilizar os benefícios da matemática Iremos definir Códigos Corretores de Erros, e apresentar aplicações rápidas de códigos corretores de erros em nossas vidas Trabalharemos os conceitos iniciais para que possamos apresentar um exemplo de códigos corretores de erros lineares Palavras-chave: Códigos, Álgebra 1 Códigos Corretores de Erros Muitas pessoas não percebem e nem acreditam, mas matemática é fundamental para o nosso dia-a-dia Podemos até não estar usando matemática diretamente, mas utilizamos instrumentos que precisam de matemática para seu funcionamento Um exemplo disto é que todas as vezes que assistimos televisão, ouvimos música, navegamos na internet, enfim, todas as vezes que utilizamos meios digitais, nós estamos utilizando um intrumento matemático que chamamos de códigos corretores de erros Os códigos corretores de erros tem como função acrescentar novas informações que serão transmitidas fazendo com que estas possam ser corrigidas quando ocorrem erros de transmissão de dados Nesta minicurso tentaremos explicar o que é um código corretor de erros, como funcionam e também como decodificar uma mensagem recebida com eventuais erros Mas primeiramente nos vem a pergunta, o que um código? 11 O que é um código? Um exemplo interessante de um código corretor de erro é o idioma que utilizamos Por exemplo, suponha o alfabeto formato por 23 letras mais o espaço, chamaremos este alfabeto de F Note que F tem 24 elementos e sua maior palavra (inconstitucionalissimamente) tem 27 letras Logo podemos completar com espaços os finais das palavras até que todas as palavras tenham exatamente 27 letras Assim definiremos este código como sendo um conjunto C F 27 Mas perceba que o idioma português não é bom para corrigir erros Veja se a palavra cadeira for transmitida, e por um erro de transmissão recebermos a palavra cadeina, vemos que a palavra está errada e a palavra que mais se aproxima é cadeira Mas, se a palavra rato for transmitida, e recebermos a palavra gato, não saberiamos se ocorreu ou não erro na transmissão pois as duas palavras existem no código C Um outro tipo de código que utiliza-se é o números com dígitos verificadores que são os utilizados nesta monografia, principalmente quando o alfabeto é o corpo de Galois F 2 A Teoria dos Códigos foi criada pelo matemático C E Shannon, do Laboratório Bell, num trabalho publicado em 1948 Durante a década de 5 e 6 a Teoria dos Códigos foi muito desenvolvida e a partir da década de 7 passou a interessar aos engenheiros com a corrida espacial e a popularização dos computadores Hoje em dia os códigos corretores de erros são utilizados sempre que fazemos uso dos meios digitais Para ilustrar vamos utilizar um exemplo clássico Suponha um robô que anda em um tabuleiro quadriculado de modo que ao darmos os comandos Leste, Oeste, Norte ou Sul o robô se desloca no tabuleiro conforme o comando

2 15 Podemos codificar os comando como elementos de {, 1} {, 1} da seguinte maneira: Fonte Código da Fonte Leste Oeste 1 Norte 1 Sul 11 Quando adicionamos redundâncias nas coordenadas estamos modificado o código de fonte para que se torne um código corretor de erro Veja o exemplo do robô Fonte Código da Fonte Código do Canal Leste Oeste Norte Sul Para que cada elemento de código (palavra do código) possa ser transmitido pelo canal de transmissão será necessária uma adaptação ao canal feito pelo codificador de canal Assim, a informação é transmitida (onde ocorrem possíveis erros) e, ao ser recebida, o decodificador de canal transforma a mensagem recebida em linguagem de transferência de dados, em mensagem com as redundâncias No processo de decodificação da fonte são corrigidos os possíveis erros de transmissão e a mensagem codificada é transformada novamente em sua linguagem inicial para que o usuário possa entendê-la Veja um diagrama do funcionamento dos códigos corretores de erros: Introduziremos alguns conceitos matemáticos para que possamos iniciar o nosso estudo de códigos corretores de erros 111 Métrica de Hamming Iniciaremos a construção de um código definindo o alfabeto como sendo um conjunto F com um número finito q de elementos Escreveremos F = q Um código corretor de erro será um subconjunto próprio C qualquer de F n onde n é um número natural Definição 11 Sejam u e v dois elementos de F n, definiremos a distância de Hamming entre u e v como sendo d (u, v) = {i : u i v i, 1 i n, i N} observe que a distância de Hamming satisfaz as três propriedades de métrica e será chamada de métrica de Hamming 2

3 151 (i) Positividade: d (u, v) ; (ii) Simetria: d (u, v) = d (v, u) (iii) Desigualdade Triangular: d (u, v) d (u, w) + d (w, v) Deixaremos para o leitor a verificação que de fato a distância de Hamming satisfaz os axiomas de métrica Seja F 4 3 = {, 1, 2} 4 temos d (11, 1) = 1 d (21, 21) = 2 d (, 222) = 3 d (121, 121) = Definição 12 Sejam v um elemento de F n e um número natural r > Definiremos disco de raio r e centro v como sendo o conjunto: D (v, r) = {u F n d (u, v) r} e esfera de raio r e centro v como sendo o conjunto: S (v, r) = {u F n d (u, v) = r} Estes conjuntos são finitos e denotaremos por D (v, t) e S (v, t) como sendo a quantidade de elementos de cada conjunto Lema 11 Para todo v F n e todo número natural r > temos que r ( ) n D (v, r) = (q 1) i i onde n é o comprimento das palavras e q é a quantidade de letras que há no alfabeto Veja que D (v, r) = i= r S (v, i), agora basta mostrar quantos elementos há em S (v, i) Mas veja também que i= dado um vetor v temos (q 1) maneira de diferentes de preencher uma única coordenada do vetor sem que este novo vetor seja igual ao vetor v E impondo que exatamente i coordenadas de um vetor sejam diferentes do vetor v temos (q 1) i possibilidades para estas i coordenadas e quando tomemos coordenas aleartórias no vetor v de comprimento n temos ( ( ) n n i) combinações para o novo vetor com distância i de v Daí teremos que S (v, i) = (q 1) i e assim i r ( ) n D (v, r) = (q 1) i i i= Definição 13 Seja C um código, a distância mínima de C será definida por d = {min d (u, v) : u, v C, e u v} ( ) C Observe que a príncipio para calcular d é necessário calcular distâncias, e isto requer um custo computacional muito elevado Veremos adiante técnicas de como calcular d com um custo computacional mais 2 econômico Definição 14 Dado um código C com distância mínima C definiremos [ ] d 1 t = 2 onde [k] representa a parte inteira de um elemento k 3

4 152 A seguir enunciaremos o lema que viabiliza a teoria dos códigos corretores de erros Lema 12 Seja um C código com distância mínima d Se c e c C são palavras distintas, então D (c, t) D (c, t) = Suponhamos por absurdo que v D (c, t) D (c, t), logo d (c, c ) d (c, v) + d (c, v) t + t d 1 < d absurdo, pois a ditância mínima é d e assim d (c, c ) d Teorema 11 Seja C um código C com ditância mínima d Então C pode corrigir no máximo t = [ ] d 1 2 erros e detecta até d 1 erros ocorridos na transmissão Se na transmissão de uma palavra c do código ocorrerem s erros com s t, receberemos uma palavra r com d (c, r) = s t, daí temos que r D (c, t) e temos pelo lema anterior que r / D (c, t) para c c e assim podemos concluir que d (c, r) é menor do que a distância de r a qualquer outra palavra do código e assim teremos c a partir de r Se na transmissão de uma palavra c do código ocorrerem até d 1 erros e recebemos a palavra r, como a distância mínima entre duas palavras do código C é d, temos que r / C pois d (c, r) < d Veja que quanto maior for a distância mínima das palavras do código maior o número de erros corrigidos, por isso é muito importante que saibamos o valor ou pelo menos uma cota inferior para d [ ] d 1 Definição 15 Se um código C F n com distância mínima d e seja t = O código será dito perfito se 2 D (c, t) = F n c C A partir de agora podemos traçar uma estratégia para detecção e correção de possíveis erros de uma palavra transmitida Seja um código C com distância mínima d, logo temos t = [ ] d 1 2, a quantidade de erros que o código corrige Daí quando transmitindo um palavra c teremos dois casos: (i) r D (c, t), assim foram cometidos uma quantidade de erros menor ou igual a t e como já vimos esta palavra é única, e assim podemos substituir r por c; (ii) r / D (c, t), assim foram cometidos uma quantidade de erros maior que t logo teremos mais dois casos: (1) r D (c, t) com c c, assim substituiremos r por c e a correção ficará incorreta, pois a palavra transmitida foi c; (2) r / D (ć, t) para c C, logo não podemos corrigir a palavra r Veja que nunca temos certeza da quantidade de erros que foi cometido na transmissão, logo não sabemos se cairemos no caso (i) ou (ii) e assim não teremos certeza da correção Mas há uma maneira de otimizar a possibilidade da correção estar correta, uma vez que quanto maior o valor de d, maior a chance de cair no caso (i) 112 Equivelância de Códigos Definição 16 Quando definimos a classe dos códigos de comprimento n sobre um alfabeto F, podemos definir também a noção de equivalência entre esses códigos Para definir uma equivalância entre códigos utilizaremos o conceito de isometria que veremos abaixo Definição 17 Seja um alfabeto A e n um número natural Diremos que uma função F : A n A n é uma isometria de A n se ela preserva distância de Hamming Ou seja d (F (x), F (y)) = d (x, y) ; x, y A n 4

5 153 Proposição 11 Toda isometria de A n é uma bijeção de A n Uma isometria F é injetora, pois suponha x, y A n e que F (x) = F (y) Logo d (x, y) = d (F (x), F (y)) = e assim x = y Daí F é injetora e como toda aplicação injetora de um conjunto finito nele próprio é sobrejetora, temos que F é bijetora Proposição 12 (i) A função identidade de A n é uma isometria; (ii) Se F é uma isometria de A n,então F 1 é uma isometria de A n ; (iii) Se F e G são isometrias de A n,então F G é uma isometria de A n Deixaremos a proposição acima como exercício para o leitor Definição 18 Seja C e C dois códigos sobre A n, diremos que C é equivalente a C se existir uma isometria F de A n tal que F (C) = C Logo temos que a equivalência de códigos é uma relação de equivalância, ou seja satisfaz as seguintes propriedades: (i) Reflexiva: todo código é equivalente a si próprio (ii) Simétrica: se C é equivalente a C então C é equivalente a C (iii) Transitiva: se C é equivalente a C e C é equivalente a C então C é equivalente a C 2 Códigos Lineares 21 Códigos Lineares Na prática, a classe dos códigos mais utilizadados é a classe dos códigos lineares Para iniciarmos os estudos dos códigos lineares, denoteremos por K um corpo finito com q elementos Este corpo K será o alfabeto Assim, para cada número natural n teremos um K-espaço vetorial K n de dimensão n Definição 21 Um código C K n será chamado código linear se for um subespaço vetorial de K n O código do robô é um código linear de alfabeto F 2 e o código é subespaço de F2 5 O código é imagem da transformação linear abaixo T : F2 2 F2 5 (x 1, x 2 ) (x 1, x 2, x 1, x 1 + x 2, x 2 ) Por definição, todo código linear é um espaço vetorial de dimensão finita Seja k a dimensão do código C e seja v 1, v 2,, v k uma de suas bases Logo qualquer elemento de C pode ser escrito de forma única com λ 1, λ 2,, λ k F c = λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k Observe que temos q possibilidades para cada λ i e, como temos k λ í s, a quantidade de palavras do código C é q k,ou seja C = q k Definição 22 Seja x K n, define-se o peso de x como sendo o número inteiro ω (x) = {i : x i, 1 i n, i N} Ou seja ω (x) = d (x, ) onde d é a métrica de Hamming 5

6 154 Definição 23 O peso de um código linear C será definido da seguinte maneira ω (C) = min {ω (x) : x C {}} Proposição 21 Seja C K n um código linear com distância mínima d Temos que (i) x, y K n, d (x, y) = ω (x y) (ii) d = ω (C) (i) Seja x, y K n, logo da definição de métrica de Hamming d (x, y) = {i : x i y i, 1 i n, i N}, e da definição de peso ω (x y) = {i : x i y i, 1 i n, i N} veja que d (x, y) = {i : x i y i, 1 i n, i N} = {i : x i y i, 1 i n, i N} = ω (x y) Logo d (x, y) = ω (x y) e observe que d (x, y) = d (x y, ) (ii) considere um par de elementos x, y C qualquer com x y, logo definimos z = x y C {} e assim pelo item (i) temos d (x, y) = ω (z) e como x, y percorrem todos elementos de C temos que d = min {d (x, y) : x, y C, e x y} = ω (C) Agora para calcular a distância mínima podemos apenas calcular o peso de todos elementos do código, exceto o( nulo, ) e verificar qual o menor valor Assim, para achar d, basta fazer apenas C 1 cálculos de peso ao invés de C cálculos Isto otimiza o custo computacional para achar d Veremos ainda mais adiante outras maneiras de 2 encontrar d A partir de agora a distância mínima de um código poderá ser chamada de peso do código 22 Codificando Seja K n um espaço vetorial com dimensão n e C K n um código linear com base v 1, v 2,, v k Queremos transmitir a palavra x = (x 1,, x k ) do código de fonte K k de tal modo que antes de transmití-la queremos codifica-la para o código C Assim podemos codificar x por meio de uma transformação linear da seguinte maneira: T : K k K n Observe que se x, y K k tal que T (x) = T (y) então, x = (x 1,, x k ) x 1 v 1 + x 2 v x k v k x 1 v x k v k = y 1 v y k v k (x 1 y 1 ) v (x k y k ) v k = Mas, como v 1,, v k é uma base de C, temos que v 1,, v k são LI e assim x i y i = x i = y i x = y Daí T é injetora Seja um código C K 7 sobre o corpo F 2 com base {(1,,,, 1, 1, ), (, 1,,,, 1, 1), (,, 1,, 1,, 1), (,,, 1, 1, 1, 1)} e x = (1,, 1, 1) uma palavra do espaço vetorial K 4, assim para codificar x basta saber T (x) : T (x) = T (1,, 1, 1) = 1 (1,,,, 1, 1, ) + (, 1,,,, 1, 1) + 1 (,, 1,, 1,, 1) + 1 (,,, 1, 1, 1, 1) = (1,, 1, 1, 1,, ) = c Assim a palavra c = (1,, 1, 1, 1,, ) está codificada para o código C e já podemos transmiti-la 6

7 Matriz Geradora de um Código Definição 24 Chamaremos de parâmetros do código C a terna dos inteiros (n, k, d) onde n representa o comprimento das palavras do código C, k representa a dimensão do código C e d representa a distância mínima de C Definição 25 Seja B = {v 1, v 2,, v k } uma base ordenada do código C onde v i = (v i1, v i2,, v in ) Chamaremos de matriz geradora do código C associada a base B a matriz onde suas linhas são os vetores da base de C, isto é: v 11 v 12 v 1n v 21 v 22 v 2n G = v k1 v k2 v kn Assim, temos uma outra maneira de representar a codificação das palavras do codigo, como veremos abaixo: T : K k K n x = (x 1,, x k ) xg ou seja, T (x) = x 1 v 1 + x 2 v x k v k Observe que T ( K k) = C Assim podemos considerer K k o código de fonte e C o código de canal e a transformação T uma codificação Observe que podemos obter diferentes bases para o código C através de uma base já existente através de operações elementares como permutação de dois elementos da base, multiplicação de um elemento da base por um escalar não nulo e substituição de um elemento da base por ele mesmo somado com um outro elemento multiplicado por um escalar, e com estas operações obter diferentes matrizes geradoras G Até agora apenas obtemos as matrizes geradoras G através de um código C, mas veja que se tomarmos uma matriz G com linhas linearmente independentes, podemos definir um código como sendo a imagem de uma transformação linear: T : K k K n x xg Iremos costruir um código C a partir de uma matriz dada G que tem suas linhas todas linearmente independente Tome um corpo K = F 2 e seja a matriz e considerando a transformação anterior G = T : F2 3 F2 5 x xg A imagem desta transformação linear é o código desejado C Generalizando os elementos do código: seja x = (x 1, x 2, x 3 ) um elemento qualque de F 3 2 Assim xg = (x 1 + x 2 + x 3, x 2 + x 3, x 1 + x 3, x 2 + x 3, x 1 + x 3 ) F 5 2 Logo todo elemento do código deve ter a cara de xg Por exemplo seja x = (1,, 1) F 3 2 logo xg = ( , + 1, 1 + 1, + 1, 1 + (, 1,, 1, ) C Imaginemos agora que gostariamos de fazer o inverso, dada uma palavra no código C gostariamos de encontrar a sua geradora em K k Para isto basta resolver o sistema xg = c, onde x K k, G é a matriz geradora do código e c K n Veja como fariamos para o exemplo anterior: 7

8 156 x 1 + x 2 + x 3 = x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 3 = x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 3 = A solução deste sistema é x = (1,, 1) Mas a solução deste sistema pode ter um custo computacional muito elevado Definição 26 Dada uma matriz G geradora de um código C, diremos que G está na forma padrão quando temos G = (I k A) onde I k é a matriz identidade de ordem k e A é uma matriz qualquer k (n k) Teorema 21 Dado um código C, sempre existe um código C equivalente a C com matriz geradora na forma padrão Dada uma matriz geradora G de um código C, basta permutar colunas e ir escalonando a matriz G de modo a encontrar uma matriz G = (I k A) geradora do código C que é equivalente ao código C 24 Códigos Duais Antes de dar início a esta seção definiremos o produto interno de dois vetores u = (u 1,, u n ), v = (v 1,, v n ) K n como sendo u, v = u 1 v u n v n e esta operação possui as propriedas usuais de produto interno Simétrica: u, v = v, u ; Bilinear: u + λw, v = u, v + λ w, v,para qualquer λ K Definição 27 Seja C K n um código linear Definiremos C = {v K n : v, u =, u C} Veremos agora que C é um código liner que denominaremos código dual Lema 21 Se C K n é um código linear, com matriz geradora G,então: (i) C é um subespaço vetorial de K n ; (ii) x C Gx t = (i) Seja u, v C, λ K e x C, logo u + λv, x = u, x + λ v, x = + λ = e assim temos que (u + λv) C e portanto C é subespaço vetorial (ii) Temos que as linhas de G é uma base para o código C, e tomando v 1, v 2,, v k uma base de C podemos contruir G da seguinte maneira, G = v 1 v 2 e como x C se e somente se x, v = para qualquer v C Tomando x C temos que v k 8

9 157 Gx t = v 1 v 2 v k x 1 x 2 x n = v 1, x v 2, x v k, x = Para provar a volta seja Gx t =, onde x K n, logo v 1, x v 2, x v k, x qualquer de C, logo v = α 1 v α k v k Agora tome o produto vetorial v, x = α 1 v α k v k, x = α 1 v 1, x + + α k v k, x = e assim x C =, e assim, seja v um elemento Por este lema temos que C é um espaço vetorial e consequentemente um código linear Proposição 22 Seja C K n um código linear de dimensão k com matriz geradora G = (I k A), na forma padrão, então temos que: (i) dim C = n k (ii) A matriz geradora de C será da forma H = ( A t I n k ) Sabemos que x = (x 1, x n ) C se e somente se Gx t = Assim x 1 x 2 1 a (k+1)1 a (k+2)1 a n1 x 1 1 a Gx t = (k+1)2 a (k+2)2 a n2 x 2 = 1 a (k+1)k a (k+2)k a nk x n x 1 + a (k+1)1 x k a n1 x n x 2 + a (k+1)2 x k a n2 x n = x k + a (k+1)k x k a nk x n a (k+1)1 x k+1 a n1 x n a (k+1)1 a (k+2)1 a n1 = a (k+1)2 x k+1 a n2 x n = a (k+1)2 a (k+2)2 a n2 x k+1 x k+2 x k a (k+1)k x k+1 a nk x n a (k+1)k a (k+2)k a nk x n e logo os (n k) elementos x k+1,, x n podem ser escolhidos aleartoriamente Daí temos que a dimensão de C é n k Agora veja que x i = a (k+1)i x k+1 a ni x n para i = 1k Logo x C terá a seguinte cara e assim uma base para C será x = ( a (k+1)1 x k+1 a n1 x n,, a (k+1)k x k+1 a nk x n, x k+1,, x n ) {( a(k+1)1,, a (k+1)k, 1,,, ), ( a (k+2)1,, a (k+2)k,, 1,, ),, ( a n1,, a nk,,,, 1) } 9

10 158 e disto teremos a matriz geradora de C é a (k+1)1 a (k+1)2 a (k+1)k 1 a H = (k+2)1 a (k+2)2 a (k+2)k 1 a n1 a n2 a nk 1 = ( A t ) I n k Lema 22 Seja C um código linear de dimensão k em K n e matriz geradora G Uma matriz H de ordem (n k) n, com coeficientes em K e com linhas linearmentes independentes é uma matriz geradora de C se e somente se Deixamos esta verificação para o leitor G H t = Corolário 21 Dado um código linear C temos que ( C ) = C Seja G e H respectivamente matrizes geradoras de C e C Logo G H t = o que implica que ( G H t ) t = t = H G t = e assim temos que G é a matriz geradora de ( C ), daí temos que ( C ) = C A seguir veremos um resultado que minimiza o custo computacional para saber se uma palavra está ou não em um código C Proposição 23 Seja C um código linear e suponhamos que H seja uma matriz geradora de C Temos então que v C Hv t = Como já visto em lemas anteriores temos que se G é a matriz geradora de C então x C Gx t = e de ( C ) = C temos que v C Hv t = Antes para verificar se uma palavra v estava ou não em um código C era preciso resolver o sistema xg = v onde x K k e G é a matriz geradora do código C Isto requeria um custo computacional muito elevado, e agora é possível obter esta conclusão apenas com uma multiplicação de uma matriz por um vetor Por isso, a matriz H geradora do código dual C é chamada de matriz teste de paridade de C Seja um código C sobre F 2 com a matriz geradora G = e como a matriz geradora G já está na forma padrão é fácil calcular uma matriz teste de paridade H 1 1 H =

11 159 Agora é fácil verificar se uma palavra está no código C Seja v = (1,,, 1, 1, 1) e v = (, 1,, 1,, 1) veja que 1 Hv t = e H (v ) = 1 daí pela proposição anterior temos que v C e v / C A matriz teste de paridade de um código C também carrega informações sobre o peso d do código Teorema 22 Seja H a matriz teste de paridade de um código C Temos que o peso de C é maior do que ou igual a s se, e somente se, quaisquer s 1 colunas de H são linearmente independente Suponhamos, inicialmente, que cada conjunto de s 1 colunas de H é linearmente independente Seja c = (c 1, c 2,, c n ) uma palavra não nula de C, w(c) o peso de c e sejam h 1, h 2,, h n as colunas de H Como Hc t = temos que = H c t = c i h i Visto que w (c) é o número de componentes não nulas de c, segue que se t w (c) s 1 teriamos uma combinação não nula de t colunas de H com 1 t s 1, o que contraditório, pois cada conjunto de s 1 colunas de H é linearmente independente, o que ocorre também para qualquer conjunto com menos elementos que s 1 colunas de H Logo, w (c) s e portanto w (C) s Reciprocamente, suponhamos que w (C) s Suponhamos também, por absurdo, que H tenha s 1 colunas linearmente dependentes e sem perda de generalidade podemos supor h 1, h 2,, h s 1 Logo, existiriam c 1, c 1,, c s 1 F, nem todos nulos e tais: c 1 h c s 1 h s 1 = Assim c = (c 1,, c s 1,,, ) C e tem peso menor que s 1 Abusrdo Teorema 23 Seja H a matriz teste de paridade de um código C Temos que o peso de C é igual a s se, e somente se, quaisquer s 1 colunas de H são linearmente independentes e existem s colunas de H linearmente dependentes De fato, suponhamos que w (C) = s, daí pela proposição anterior temos que todo conjunto de s 1 colunas de H é linearmente independente Por outro lado, existem s colunas de H linearmente dependentes, pois, caso contrário, qualque conjunto de s colunas de H seria linearmente independente Nesse caso, pela proposição anterior o w (C) s + 1 Absurdo pois w (C) = s Reciprocamente, suponhamos que todo conjunto de s 1 colunas de H é linearmente independente e existem s colunas linearmente dependentes Logo, da proposição anterior, temos que w (C) s Mas w (C) não pode ser maior do que s e assim da proposição anterior teriamos que todo conjunto com s colunas de H seria linearmente independente Absurdo pois H tem s colunas linearmente dependentes Corolário 22 (Cota de Singleton) Os parâmetros (n, k, d) de um código C satisfazem a desigualdade d n k + 1 Se H é uma matriz teste de paridade de um código C, ela é a matriz geradora de um código dual que tem dimensão n k Logo ela somente poderá ter no máximo n k colunas linearmente independente Daí pela proposição anterior temos que w (C) s = (n k) + 1 E como sabemos w (C) = d temos daí: d n k

12 16 25 Decodificando O processo que detecta e corrige os erros de um determinado código é chamado de decodificação definiremos um vetor e K n onde e = r c Para isto, e r é o vetor recebido e c é o vetor transmitido Dado um código sobre o corpo Z 2 e tenhamos trasmitido a palavra (111) e recebido a palavra (1111), então o vetor erro será: e = (1111) (111) = (1) O peso do vetor erro w (e) é a quantidade de erros que houve durante a transmissão Seja H a matriz teste de paridade do código C, e e um vetor erro, logo perceba que c C e logo Hc t = He t = H (r c) t = Hr t Hc t = Hr t Definição 28 Dado um código C com matriz teste de paridade H e um vetor v K n, chamaremos de síndrome de v o vetor Hv t Daí, temos que o vetor erro e e o vetor recebido r tem a mesma síndrome De fato, se h i é a i-ésima coluna da matriz teste de paridade H, e e = (α 1,, α n ) então, h 11 h 1n α 1 h α n h 1n n α i h i = α α n = = Het = Hr t i=1 h (n k)1 h (n k)n α 1 h (n k)1 + + α n h (n k)n O Teorema abaixo é o teorema central de nosso curso, pois é ele quem possibilita a correção de uma palavra transmitida que contêm erro Teorema 24 Seja C um código linear em K n com capacidade de correção t Se r K n e c C são tais que d (c, r) t, então existe um único vetor e com w (e) t cuja síndrome é igual à síndrome de r e tal que c = r e Se tomarmos e = r c temos que He t = Hr t Hc t = Hr t e w (e) = w (r c) = d (r, c) t Logo e satisfaz a existência do vetor Agora provaremos a unicidade de e Suponhamos e = (α 1,, α n ) e e = (α 1,, α n), dois vetores tais que e e, w (e) t e w (e ) t (ou seja, há no máximo t entradas não nulas em cada um dos vetores) e que tenham síndromes iguais Logo, He t = He t n n α i h i = α ih i i=1 i=1 α 1 h α n h n α 1h 1 α nh n = (α 1 α 1) h 1 + (α n α n) h n = Daí existem no máximo 2t índices i tais que (α i α i ) Logo existe um conjunto com 2t ou menos colunas de H que não são linearmente independentes Mas, já vimos que t = [ ] d 1 2, ou seja 2t d 1, e vimos também que quaisquer d 1 colunas de H são linearmente independente Daí temos um absurdo, pois existe um conjunto com 2t ou menos colunas de H que não são linearmente independentes Isto implica que e = e 12

13 161 Daí basta decobrir este vetor e a partir de Hr t, pois assim determinaremos c, uma vez que c = r e A princípio vamos trabalhar restringindo o vetor erro a e onde w (e) 1, ou seja, o vetor erro tem todas suas entradas nulas ou exitem apenas uma de suas entradas não nula Se w (e) =, daí e = (,,, ) e assim como e = r c temos que c = r Ou seja a palavra recebida não tem erro Se w (e) = 1, daí e = (,,, α,,, ), apenas a i-ésima entrada é não nula Como temos Hr t = He t = h 1 + h αh i + + h n = αh i e como o problema esta em saber em qual entrada de e está o α, temos que por Hr t = αh i basta analizarmos as colunas de H, e localizar em qual coluna está o h i Logo sabendo o valor de i sabemos quem é e Assim teremos que o vetor transmitido c será c = r e, onde r e e já conhecemos Seja um código C com matriz geradora G = ( ) e matriz teste de paridade H = e tenhamos enviado a palavra (111) e recebido a palavra r = (1111) Assim Hr t = = 1 = 1 h ou seja e = (1) e logo c = r e = (1111) (1) = (111) Como queriamos Com isto podemos montar um algoritmo para decodificar palavras recebidas que contenha no máximo um erro Algorítmo 21 Seja H a matriz teste de paridade do código C e seja r um vetor recebido e suponha que w (C) 3 (i) Calcule Hr t (ii) Se Hr t =, aceite r sendo a palavra transmitida e fim (iii) Se Hr t = s t, compare s t com as colunas de H (iv) Se existirem i e α tais que s t = αh i, para α K, então e é o vetor que na i-ésima entrada contenha α e zeros nas outras posíções Corrija r pondo c = r e e fim (v) Se não existir i e α tal que s t = αh i, então foram cometidos mais de um erro e assim não podemos corrigir a transmissão Analisando agora o caso onde o código corrige mais de um erro ou seja t > 1 Seja C K n um código corretor de erros com matriz teste de paridade H E seja d a distância mínima de C e t = [ ] d 1 2 Lembre que e = r c e que e e r tem a mesma síndrome, ou seja He t = Hr t e se w (e) = w (r c) = d (r, c) t, então e é univocamente determinado por r Definição 29 Seja v K n, definimos v + C = {v + c : c C} Chamanos o conjunto v + C de classe lateral de v segundo C Lema 23 Os vetores u,v K n tem a mesma síndrome se, e somente se, u v + C Hu t = Hv t H (u v) t = u v C u v = c com c C u = v + c com c C u v + C Os conjuntos v + C tem as seguintes propriedades: Propriedades: 13

14 162 i) v + C = v + C v v C; ii) (v + C) (v + C) v + C = v + C; iii) v K n (v + C) = K n ; iv) (v + C) = C = q k Deixaremos estas demonstrações para o leitor Note que v + C = C v C e das proposições (ii) e (iv) que o número de classes laterais segundo C é Veja alguns exemplos de classes laterais: Seja o código G = ( ) q n q k = qn k logo C = {, 111, 11, 111}, e as classes laterais segundo C são: + C = {, 111, 11, 111} 1 + C = {1, 11, 111, 11} 1 + C = {1, 1111, 1, 11} 1 + C = {1, 11, 111, 11} Veja que todos os elementos de mesma classe tem mesma síndrome e elementos de classes diferentes tem síndromes diferentes Definição 21 Um vetor v de peso ω (v) mínimo numa classe lateral é chamado de elemento líder dessa classe Proposição 24 Seja C um código linear em K n com distancia mínima d Se u K n é tal que [ ] d 1 ω (u) = t 2 então u é o único elemento líder de sua classe lateral segundo C Suponhamos dois vetores u, v K n com ω (u) t e ω (v) t tais que u e v sejam da mesma classe segundo C Logo u v C, e daí temos ω (u v) ω (u) + ω (v) t + t d 1 Neste caso o vetor u v C tem peso menor que d, ou seja d (u, v) < d, o que implica que u v = u = v Observação 21 Com isto, tomando um elemento v K n tal que ω (v) t, temos que v é o único elemento líder de uma e somente uma classe lateral segundo C Teorema 25 Dado um código C com parâmetros (n, k, d) e definindo t = [ ] d 1 2 como sendo o número máximo de erros que o código corrige Tomando o disco D (O, t) onde O = (,,, ) Se D (O, t) = q n k então o código é perfeito Lembrando que D (a, t) = {u K n : d (u, a) t} Pela observação anterior temos que o disco D (O, t) é formado apenas por elementos que são líderes de classes e cada elemento é líder de uma e somente uma classe E como D (O, t) = q n k temos que cada classe lateral segundo C tem seu líder contido no D (O, t) Agora seja um elemento v qualquer de K n, mostrando que este elemento está contido em um D (c, t), onde c C então C é perfeito Mas temos que pela propriedade (iii) que v (v + C) Logo tomando u como sendo o líder da classe (v + C) temos que (u + C) = (v + C) e assim v (u + C) Daí, v u = c C v c = u w (v c) = w (u) t d (v, c) t, daí pela definição de disco v D (c, t) 14

15 Decodificando mensagens que contenha erros maiores que um Vamos agora nos concentrar em uma técnica para correção de mensagens que tenham sofrido um número de erros menor ou igual a t Para isso iremos determinar todos os elementos u de K n, tais que ω (u) t Note que todos esse elementos u são líderes de classes Agora calcule todas as síndromes de u e monte um tabela relacionando u com suas síndromes Seja c a palavra enviada e r a palavra recebida A seguir veja o algoritmo de decodificação para t 1 Algorítmo 22 (i) Defina a síndrome s t = Hr t ; (ii) Se s está na tabela, e u é o elemento líder da sua classe determinado por s; faça c = r u; (iii) Se s não está na tabela, então a mensagem recebida tem mais do que t erros e assim não poderá ser corrigida Justificativa: Lembrando que e = r c e como Hr t = He t temos que a classe lateral onde se encontra e está determinada pela síndrome de r Se w (e) t então e é o único elemento líder da classe (e + C) Pelo lema acima e de Hr t = He t temos que r (e + C) e logo (r e) C Agora, temos que esta correção está correta uma vez que d (r, c) = w (r c) = w (e) t Então, e é o único cuja Hr t = He t Portanto e = r c e consequentemente tal que c = r e Seja o código linear (12, 4, 5) sobre o corpo F 2 com matriz geradora G = ( ) e matriz teste de paridade H = Neste caso t = [ d 1 2 ] [ = 5 1 ] 2 = 2 Observe a tabela montada abaixo com todos os vetores com peso 2 e suas 15

16 164 respectivas síndromes Líder Síndrome Líder Síndrome Suponhamos a palavra recebida r = Logo Hr t = (11111) t Observe que não se encontra na tabela, o que significa que na palavra (11) foram cometidos mais do que 2 erros de transmissão Agora consideremos a palavra recebida r = (111111) Logo Hr t = (111111) t e o líder da classe correspondente é (11) Logo c = (111111) (11) = ( ) C A seguir veja uma aplicação de um código corretor de erros 252 Exemplo de código que contenha no máximo um erro Seja um codígo sobre o corpo F 2 que seja gerado pela matriz G = Consequetemente temos a matriz teste de paridade H =

17 165 Temos que o peso deste código é 3 pois percebe que quaisquer 2 colunas da matriz teste de paridades são linearmente independente e existe 3 colunas linearmente depedente Assim este código corrige no máximo 1 erro Dado o alfabeto da língua portuguesa definiremos uma fonte para este da seguinte maneira: Letra Fonte - Letra Fonte - m 11 a 1 - n 11 b 1 - o 11 c 1 - p 11 d 1 - q 111 e 1 - r 111 f 11 - s 111 g 11 - t 111 h 11 - u 111 i 11 - v 111 j 11 - x 111 l 11 - z 1111 Agora para que possamos transmitir as fontes de modo que o código citado acima as corriga iremos codificar todas as fontes das letras 17

18 166 Letra Fonte Codificando G a 1 a G 111 b 1 b G 111 c 1 c G 111 d 1 d G 111 e 1 e G 1111 f 11 f G 1111 g 11 g G h 11 h G 1111 i 11 i G 111 j 11 j G 1111 l 11 l G 1111 m 11 m G n 11 n G 1111 o 11 o G p 11 p G q 111 q G r 111 r G s 111 s G 1111 t 111 t G 111 u 111 u G v 111 v G x 111 x G 1111 z 1111 z G Pronto! Agora já temos as palavras de modo que possamos enviar a mensagem Utilizando o código do exemplo anterior e considerando que nas palavras abaixo ocorreram no máximo um erro decodifique a mensagem abaixo: Para decodificar a mensagem utilizaremos o seguinte algoritmo: 18

19 167 Logo o primeiro passo para decodificar a mensagem é montar a tabela dos lideres de classes e suas respectivas síndromes Líder Síndrome - H () t H (1) t H (1) t H (1) t H (1) t H (1) t H (1) t H (1) t H (1) t H (1) t Agora já se pode utilizar o algorítmo para decodificar as mensagens: r = 1111 Hr t = 11 ocorreu erro durante a transmissão e o erro é e = 1 assim c = r e = 111 que representa a letra 1 = c; r 1 = 1111 Hr t 1 = não ocorreu erro durante a transmissão e assim c 1 = 1111 que representa a letra 11 = l; r 2 = Hr t 2 = 1 ocorreu erro durante a transmissão e o erro é e 2 = 1 assim c 2 = r 2 e 2 = que representa a letra 111 = u; r 3 = 11 Hr t 3 = 1 ocorreu erro durante a transmissão e o erro é e 3 = 1 assim c 3 = r 3 e 3 = 111 que representa a letra 1 = b; r 4 = Hr t 4 = 1 ocorreu erro durante a transmissão e o erro é e 4 = 1 assim c 4 = r 4 e 4 = 1111 que representa a letra 1 = e; r 5 = 1 Hr t 5 = 11 ocorreu erro durante a transmissão e o erro é e 5 = 1 assim c 5 = r 5 e 5 = que representa a letra = ; r 6 = 111 Hr t 6 = não ocorreu erro durante a transmissão e assim c 6 = 111 que representa a letra 1 = a; r 7 = 111 Hr t 7 = não ocorreu erro durante a transmissão e assim c 7 = 111 que representa a letra 111 = t; r 8 = Hr t 8 = 111 ocorreu erro durante a transmissão e o erro é e 8 = 1 assim c 8 = r 8 e 8 = 1111 que representa a letra 11 = l; r 9 = 1111 Hr t 9 = não ocorreu erro durante a transmissão e assim c 9 = 1111 que representa a letra 1 = e; r 1 = 1111 Hr t 1 = 1 ocorreu erro durante a transmissão e o erro é e 1 = 1 assim c 1 = r 1 e 1 = 111 que representa a letra 111 = t; r 11 = 1111 Hr t 11 = 11 ocorreu erro durante a transmissão e o erro é e 11 = 1 assim c 11 = r 11 e 11 = 111 que representa a letra 11 = i; r 12 = 111 Hr t 12 = não ocorreu erro durante a transmissão e assim c 12 = 111 que representa a letra 1 = c; r 13 = Hr t 13 = não ocorreu erro durante a transmissão e assim c 13 = que representa a letra 11 = o; r 14 = 1 Hr t 14 = 111 ocorreu erro durante a transmissão e o erro é e 14 = 1 assim c 14 = r 14 e 14 = que representa a letra = ; r 15 = 1111 Hr t 15 = 1 ocorreu erro durante a transmissão e o erro é e 15 = 1 assim c 15 = r 15 e 15 = que representa a letra 11 = m; 19

20 168 r 16 = 11 Hr t 16 = 111 ocorreu erro durante a transmissão e o erro é e 16 = 1 assim c 16 = r 16 e 16 = 111 que representa a letra 11 = i; r 17 = 111 Hr t 17 = 11 ocorreu erro durante a transmissão e o erro é e 17 = 1 assim c 17 = r 17 e 17 = 1111 que representa a letra 11 = n; r 18 = Hr t 18 = 1 ocorreu erro durante a transmissão e o erro é e 18 = 1 assim c 18 = r 18 e 18 = 1111 que representa a letra 1 = e; r 19 = 111 Hr t 19 = não ocorreu erro durante a transmissão e assim c 19 = 111 que representa a letra 11 = i; r 2 = 1111 Hr t 2 = 11 ocorreu erro durante a transmissão e o erro é e 2 = 1 assim c 2 = r 2 e 2 = que representa a letra 111 = r; r 21 = 1111 Hr t 21 = 1 ocorreu erro durante a transmissão e o erro é e 21 = 1 assim c 21 = r 21 e 21 = que representa a letra 11 = o Assim a mensagem recebida foi (clube atletico mineiro) 253 Exemplo de decodificação com mensagem que contenha mais de um erro Utilizando o código do exemplo 28 e da seguinte tabela com os comandos e suas respectivas fontes: Comando Fonte Codificando Norte () G Sul 1 (1) G Leste 1 (1) G Oeste 11 (11) G e considerando que na mensagem ocorra no máximo 2 erros diga qual o caminho que o robô que se move conforme comandos acima deve percorrer se este receba os seguintes comandos: Considere a tabela com os líderes de classes e suas respectivas síndromes do exemplo 28 e execute o algoritmo para correção de mais de um erro r = 11 Hr t = ocorreu erro durante a transmissão e o erro é e = 11 assim c = r e = que representa o comando = Norte; r 1 = Hr t 1 = 1 ocorreu erro durante a transmissão e o erro é e 1 = 1 assim c 1 = r 1 e 1 = que representa o comando 1 = Leste; r 2 = Hr t 2 = não ocorreu erro durante a transmissão e assim c 2 = que representa o comando = Norte; r 3 = Hr t 3 = 11 ocorreu erro durante a transmissão e o erro é e 3 = 11 assim c 3 = r 3 e 3 = que representa o comando 11 = Oeste; r 4 = Hr t 4 = 11 ocorreu erro durante a transmissão e o erro é e 4 = 11 assim c 4 = r 4 e 4 = que representa o comando 1 = Sul; r 5 = Hr t 5 = não ocorreu erro durante a transmissão e assim c 5 = que representa o comando 11 = Oeste; Assim a mensagem recebida e consequetemente o trajeto do robô foi: Norte, Leste, Noste, Oeste, Sul, Oeste 2

21 169 Referências [1] RE BLAHUT, Theory and Pactice of Error Control Codes, Addison-Wesley Publishing Company, Massachusetts, 1984 [2] A HEFEZ e MLT Villela, Códigos Corretores de Erros, IMPA, Rio de Janeiro 22 [3] FJ MACWILLIAMSe NJA Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, North-Holland,