Análise Sísmica de Estruturas Porticadas Tridimensionais

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1 Análise Sísmica de Estruturas Porticadas Tridimensionais Determinação da Interacção entre Esforços André Filipe Valério Belejo Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil Júri Presidente: Professor Doutor Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira Orientador: Professor Doutor José Paulo Baptista Moitinho de Almeida Orientador: Professor Doutor Luís Manuel Coelho Guerreiro Vogal: Professor Doutor João José Rio Tinto de Azevedo Outubro de 2010

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3 Agradecimentos Tanto a execução desta Dissertação de Mestrado como todo o Curso de Engenharia Civil não seria possível concluir sem a ajuda de algumas pessoas, as quais tenho que agradecer: Aos Orientadores Doutor José Paulo Moitinho e Doutor Luís Guerreiro que se mostraram sempre prontos e disponíveis para ajudar com o que fosse preciso, com muito apreço e simpatia. À minha família, principalmente os meus Pais, que sempre me apoiaram, e tudo fizeram para que a realização do curso fosse possível. À minha namorada e amigos, tanto aqueles que fiz em Lisboa como os do Entroncamento, que fizeram com que fosse fácil a realização do curso. i

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5 Resumo Na presente dissertação é exposta uma metodologia alternativa à aplicação de espectros de resposta aos resultados de uma Análise Modal com vista à determinação da combinação de esforços de dimensionamento relativos à acção sísmica, através de uma análise linear dinâmica no domínio da frequência. Trata-se de uma generalização da abordagem proposta para uma estrutura bidimensional por (Ferreira, 2009). Esta metodologia apresenta como principal contribuição, o desenvolvimento de um processo de cálculo que contabiliza a interacção entre esforços. A consideração desta interacção é potencialmente uma vantagem do método desenvolvido, quando comparado com os métodos de sobreposição modal (Combinação Quadrática Completa, CQC, e Raiz Quadrada da Soma dos Quadrados, RQSQ), visto que fornece informação sobre a relação entre os sinais dos esforços. A aplicação deste método, que fora ilustrada através da análise de um pórtico plano, foi agora efectuada na análise de alguns pórticos tridimensionais. Numa primeira fase, obteve-se a resposta espectral da estrutura através do Método dos Elementos Finitos (MEF) para a componente espacial e aplicou -se o processo de combinação de esforços a uma secção, tendo-se obtido as várias superfícies de interacção entre os três esforços: esforço normal e momentos flectores segundo as direcções principais de inércia, englobando várias direcções de actuação da acção sísmica. Compararam-se posteriormente os resultados obtidos com resultados extraídos da aplicação do Método de Newmark (MN) na simulação de sismos aleatórios e com o método de sobreposição modal CQC. Obtiveram-se resultados algo conservativos, quando comparados com os extraídos dos outros métodos. No entanto, desenvolvendo estudos mais aprofundados sobre certos aspectos do método, este poderá no futuro vir a ser um procedimento a considerar no dimensionamento de estruturas. Palavras-Chave: Análise Dinâmica; Método dos Elementos Finitos; Resposta Espectral; Interacção de Esforços; MN; CQC. iii

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7 Abstract An alternative methodology to Modal Analysis for obtaining the seismic design forces due to the seismic action is presented in the present work. This methodology is based on a linear dynamic analysis on the frequency domain, being a generalization of the approach proposal for a twodimensional structure. The main contribution of the present work is the numerical procedure that accounts for the interaction between internal forces. When compared to the methods of modal combination Complete Quadratic Combination (CQC) and Square Root of Sum of Squares (SRSS) the consideration of this interaction is potentially advantageous. This method, which was previously illustrated by the analysis of a plane frame, has now been applied to the analysis of some three-dimensional frame structures Initially, we obtained the spectral response of the structure by the finite element method (FEM) for the space component and applied the process of combining internal forces in one section, obtaining surfaces of interaction between three internal forces: axial force and bending moments according to the principal directions of inertia, encompassing various directions for the seismic action. After this, we compared the results with results from the application of the Newmark Method (NM) in the simulation of random earthquakes and the CQC modal superposition method. Conservative results were obtained when comparing with the results from the methods described, however, developing more detailed studies on certain aspects of the method, it may become a method to be considered in the design of structures. Keywords: Dynamic Analysis; Finite Element Method; Spectral Response; Interaction between Internal Forces; NM; CQC. v

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9 Notação i. Abreviaturas CQC MEF MN RQSQ R.S.A. Combinação Quadrática Completa Método dos Elementos Finitos Método de Newmark Esforço Normal - Momento Flector Esforço Normal - Momento Flector Momento Flector - Momento Flector Esforço Normal - Momento Flector - Momento Flector Raiz Quadrada da Soma dos Quadrados Regulamento Segurança e Acções ii. Simbologia Parcela real da amplitude do deslocamento do grau de liberdade Área da secção transversal de um elemento Área da Secção transversal; Operador diferencial de compatibilidade; Constante que depende das condições iniciais do problema Amplitude de uma série harmónica Parcela Imaginária da amplitude do deslocamento do grau de liberdade j Produto do Operador diferencial de compatibilidade com a matriz das funções de aproximação; Constante que depende das condições iniciais do problema Parcela real da amplitude do deslocamento do grau de liberdade Amortecimento de natureza viscosa do oscilador; Constante que depende das condições iniciais do problema [ Matriz de amortecimento da estrutura Amortecimento Crítico [ Matriz de amortecimento normalizada Matriz que define as propriedades mecânicas do Elemento Finito; Constante que depende das condições iniciais do problema Deslocamentos nodais do elemento; Parcela Imaginária da amplitude do deslocamento do grau de liberdade j Vector dos deslocamentos no referencial local vii

10 Vector dos deslocamentos generalizados Parcela real da amplitude do deslocamento do grau de liberdade Módulo de Elasticidade do oscilador Módulo de elasticidade de um elemento finito Valor esperado de Efeito da acção sísmica a actuar em Efeito da acção sísmica a actuar em Forças de massa; Parcela Imaginária da amplitude do deslocamento do grau de liberdade j Frequência de excitação da estrutura, expressa em Hz Frequência própria da estrutura (oscilador), expressa em Hz Forças Nodais Equivalentes em cada elemento Força aplicada, variável no tempo Força aplicada, periódica no tempo Configuração da acção, harmónica no tempo, aplicada à estrutura Forças dissipativas de atrito ou amortecimento Forças exteriores aplicadas Forças de inércia Forças de restituição ou ligação Forças Nodais equivalentes às forças de massa equivalentes Forças Nodais Equivalentes aplicadas na fronteira Forças aplicadas directamente nos nós do elemento Vector das Forças Nodais Equivalentes no Referencial local Vector das Forças Nodais Equivalentes generalizadas Vector de Forças Nodais equivalentes num elemento finito Transformada de Fourier de Inversa da transformada de Fourier de Condição de Incidência nodal Função de receptância Transposto do conjugado da função de receptância Matriz função de receptância Matriz função de receptância normalizada Vector do momento flector, calculado pelo MEF na secção da estrutura Vector do momento flector estrutura, calculado pelo MEF nas diversas secções da viii

11 Vector do momento flector, calculado pelo MEF na secção da estrutura Vector do momento flector, calculado pelo MEF nas diversas secções da estrutura Vector do esforço normal calculado pelo MEF na secção da estrutura Vector do esforço normal calculado pelo MEF nas diversas secções da estrutura Inércia do oscilador segundo Inércia do oscilador segundo Inércia de Torção do Oscilador Matriz identidade Inércia segundo Inércia segundo, de um elemento finito, de um elemento finito Parcela imaginária do momento flector da secção decorrente dos deslocamentos sofridos pela estrutura Parcela imaginária do momento flector da secção decorrente dos deslocamentos sofridos pela estrutura Parcela imaginária do esforço normal da secção s, decorrente dos deslocamentos sofridos pela estrutura Rigidez do oscilador Matriz de rigidez da estrutura Matriz de rigidez de um elemento finito Matriz de rigidez global da estrutura Matriz de rigidez normalizada Matriz de Rigidez do elemento finito no referencial local Matriz de Rigidez do elemento finito no referencial geral Comprimento do elemento estrutural Comprimento do elemento finito Massa do oscilador Matriz de massa da estrutura Matriz de massa normalizada Momento Flector segundo o eixo principal de Inércia Amplitude do momento flector Momento Flector segundo o eixo principal de Inércia Amplitude do momento flector Momento flector tempo numa qualquer secção da estrutura, num dado instante de ix

12 Momento flector na secção da estrutura, num dado instante de tempo Momento flector numa qualquer secção da estrutura, num dado instante de tempo Momento flector na secção da estrutura, num dado instante de tempo Valor esperado máximo do momento flector na secção, dada uma frequência de excitação Valor esperado máximo do momento flector na secção, dada uma frequência de excitação devido a um sismo Valor esperado do momento flector na secção, dada uma frequência de excitação Momento flector, para efeitos de cálculo, na secção, dada uma frequência de excitação Contribuição da frequência de excitação, para o momento flector de dimensionamento na secção, devido à acção sísmica Valor esperado máximo do momento flector na secção, dada uma frequência de excitação Valor esperado máximo do momento flector na secção, dada uma frequência de excitação devido a um sismo Valor esperado do momento flector na secção, dada uma frequência de excitação Momento flector, para efeitos de cálculo, na secção, dada uma frequência de excitação Contribuição da frequência de excitação, para o momento flector de dimensionamento na secção, devido à acção sísmica Matriz de massa consistente de um elemento finito Esforço normal; Matriz de Equilíbrio na Fronteira Amplitude do esforço normal Número de direcções analisadas da elevação no espaço tridimensional Número de direcções analisadas no plano de interacção no espaço tridimensional Valor esperado máximo do esforço normal na secção, dada uma frequência de excitação Valor esperado máximo do esforço normal na secção dada uma frequência de excitação devido a um sismo Valor esperado do esforço normal na secção, dada uma frequência de excitação devido a um sismo Esforço normal de dimensionamento na secção, devido à acção sísmica Contribuição da frequência de excitação, para o esforço normal de x

13 dimensionamento na secção, devido à acção sísmica Vector projecção segundo a direcção dos esforços no plano de interacção Vector projecção segundo a direcção, dada a combinação de todas as frequências de excitação Frequência própria da estrutura (oscilador), expressa em Frequência amortecida Factor de participação do modo Deslocamento do oscilador segundo a direcção Configuração da resposta da estrutura, harmonicamente variável no tempo Vector das amplitudes dos deslocamentos verificados nos graus de liberdade da estrutura Amplitude de oscilação da estrutura Campo de deslocamento do oscilador Vector dos deslocamentos verificados nos graus de liberdade da estrutura Deslocamento inicial do oscilador Configuração deformada do modo de vibração i Deslocamentos em coordenadas modais da estrutura do modelo numérico Vector dos deslocamentos verificados nos graus de liberdade da estrutura, segundo as suas coordenadas modais Solução particular da equação que define o movimento da estrutura Deslocamento relativo, para uma coordenada da estrutura, em função do tempo Deslocamento no solo em função do tempo Deslocamento verificado no modo de vibração Velocidade do oscilador Vector das velocidades verificadas nos graus de liberdade da estrutura Velocidade inicial do oscilador Velocidade relativa, para uma coordenada da estrutura em função do tempo Velocidade no solo em função do tempo Velocidade verificada no modo de vibração Aceleração do oscilador Vector das acelerações verificados nos graus de liberdade da estrutura Vector das acelerações iniciais verificados nos graus de liberdade da estrutura Aceleração verificada no modo de vibração Aceleração relativa, para uma coordenada da estrutura em função do tempo Aceleração no solo em função do tempo Vector de acelerações no solo xi

14 Auto matriz função autocorrelação de excitação Auto matriz função de autocorrelação de excitação dada uma resposta da estrutura Auto matriz função autocorrelação de resposta da estrutura Parcela real do momento flector da secção da estrutura, dada uma frequência de excitação Parcela real do momento flector da secção s da estrutura, dada uma frequência de excitação Parcela real do esforço normal da secção s da estrutura, dada uma frequência de excitação Parcela real do momento flector da secção, decorrente dos deslocamentos sofridos pela estrutura Parcela real do momento flector da secção, decorrente dos deslocamentos sofridos pela estrutura Parcela real do esforço normal da secção, decorrente dos deslocamentos sofridos pela estrutura Área da Secção do Elemento Valor do espectro de resposta de acelerações, para a frequência p e coeficiente de amortecimento Auto matriz função densidade espectral de potência da excitação Auto matriz função de densidade espectral de potências da excitação dada uma resposta da estrutura Vector função de densidade espectral do momento flector das diversas secções da estrutura Vector função da máxima densidade espectral do momento flector na secção da estrutura Vector função de densidade espectral do momento flector das diversas secções da estrutura Vector função da máxima densidade espectral do momento flector na secção da estrutura Vector função de densidade espectral do esforço normal das diversas secções da estrutura Vector função da máxima densidade espectral do esforço normal na secção da estrutura Auto matriz função de densidade espectral de resposta da estrutura Duração da acção sísmica Instante inicial Forças de Fronteira xii

15 Período de oscilação Período de oscilação amortecido Matriz de Transformação Deslocamento longitudinal de um elemento Campo de deslocamento longitudinal de um elemento Campo de deslocamentos longitudinal no espaço e no tempo de um elemento Configuração deformada da estrutura Vector do modo de vibração Matriz modal da estrutura Posição no instante Velocidade no instante Aceleração no instante Terceira Derivada de no instante Constante interveniente na definição da matriz de amortecimento segundo Caugnhey Aceleração equivalente que surge na base da estrutura, dada uma frequência de excitação, devido a um sismo, que origina Aceleração equivalente que surge na base da estrutura, dada uma frequência de excitação, devido a um sismo, que origina Aceleração equivalente que surge na base da estrutura, dada uma frequência de excitação, devido a um sismo, que origina Constante interveniente na definição da matriz de amortecimento segundo Caugnhey Factor de Amplificação Dinâmica Constante interveniente no Método de Newmark Quociente entre as frequências e Constante de Euler Constante interveniente no Método de Newmark Intervalo de tempo Intervalo de direcções analisadas que medem a elevação no espaço tridimensional Intervalo de direcções analisadas no plano no espaço tridimensional Intervalo de frequências Vector dos deslocamentos de um elemento finito obtido através do MEF Coeficiente de amortecimento Coeficiente de amortecimento do modo i Valor esperado do máximo de uma função de densidades de probabilidades xiii

16 Valor esperado do máximo da função de densidade espectral do momento flector Valor esperado do máximo da função de densidade espectral do momento flector Valor esperado do máximo da função de densidade espectral do esforço normal Coeficiente de correlação entre as frequências próprias e Densidade de uma barra por unidade de comprimento Densidade de um elemento finito por unidade de comprimento Estado de tensão no elemento Instante de tempo Direcção que mede a elevação no espaço tridimensional Vector do modo de vibração normalizado em relação à matriz de massa Matriz modal normalizada em relação à matriz de massa Matriz das funções de Aproximação Função de forma do elemento finito associado ao deslocamento generalizado Fase de uma série harmónica Direcção plano no espaço tridimensional Frequência de passagens ascendentes pelo nível 0 Frequência de excitação Frequência máxima de excitação Frequência discreta Frequência discreta Frequência correspondente a cada série harmónica Vector de valores unitários segundo a direcção e zero nas restantes direcções Matriz de acelerações unitárias no solo segundo as diferentes direcções xiv

17 Índice Geral Resumo... iii Abstract... v Notação... vii Índice Geral... xv Índice de Figuras... xix Índice de Tabelas... xxiii Capítulo 1 - Introdução Contextualização Objectivo Organização... 2 Capítulo 2 - Generalidades Dinâmica de Estruturas Equilíbrio Estático e Equilíbrio Dinâmico Solicitações em Regime Dinâmico Osciladores Lineares de Um grau de Liberdade Oscilação em Regime Livre Oscilação em Regime Forçado Acções Harmónicas Acções Periódicas Excitações Estocásticas Oscilador Linear de vários graus de Liberdade Análise Modal Frequências Próprias e Modos de Vibração Condições de Ortogonalidade Normalização dos modos de vibração Definição de Coordenadas Modais Resposta de Osciladores de Vários Graus de Liberdade Oscilação em Regime Livre Oscilação em Regime Forçado Resposta a uma Excitação Harmónica Resposta a uma Excitação Periódica xv

18 2.2 Acção Sísmica Resposta a um conjunto de Acelerações da Base Análise Sísmica por Espectros de Resposta Métodos de Sobreposição Modal Combinação de Esforços Capítulo 3 - Métodos Numéricos Método dos Elementos Finitos Método dos Elementos Finitos aplicado a um pórtico tridimensional Definição dos Referenciais Graus de Liberdade Matriz de Rigidez Elementar Vector de Forças Nodais Equivalentes Transformação de Coordenadas Equação Resolvente Método dos Elementos Finitos para uma Análise Temporal Método de Newmark Geração do Sismo e a sua aplicação no MN Geração do Sismo Aplicação no MN Capítulo 4 - Modelo Numérico Implementação para o caso tridimensional Combinação dos três esforços Análise da Interacção Cálculo das superfícies de Interacção Combinação das Curvas de Interacção Definição da Acção Dinâmica Resposta da Estrutura Calculo dos esforços devido à acção dinâmica Capítulo 5 - Casos de estudo Pórtico Regular Definição de Modelo Análise Modal Programa em Matlab Programa em SAP Resposta para uma Direcção fixa Interacção de Esforços Resultante da Modelação da Acção Sísmica a actuar na Estrutura xvi

19 Caracterização da acção Dinâmica Relação entre o Valor Máximo Esperado e o Valor Esperado da Resposta da Estrutura, dado um Sismo Determinação das Curvas de Interacção Combinação das Diferentes Curvas de Interacção Resultados Resultados obtidos da Simulação através do MN Estudo Estatístico do Número de Amostras viável Resultados da Simulação Resultados obtidos do método CQC (SAP2000) Curvas de Dimensionamento para sismo com direcção desconhecida Adição de um piso Resposta para uma Direcção fixa Resultados obtidos da Simulação através do MN Resultados obtidos do método CQC (SAP2000) Curvas de Dimensionamento para sismo com direcção desconhecida Pórtico Irregular Resposta para uma Direcção fixa Projecção em e Simulação através do MN Resultados obtidos do método CQC (SAP2000) Curvas de Dimensionamento para sismo com direcção desconhecida Capítulo 6 - Síntese e Análise dos Resultados obtidos pelos vários métodos Superfícies de Interacção dos Esforços Comparação entre os vários métodos Capítulo 7 - Conclusões Considerações Finais Considerações sobre o método desenvolvido Limitações do Método do Numérico Desenvolvimentos Futuros Referências Bibliográficas Anexos... i i. Definição da Estrutura... i ii. Geração da Estrutura... vi xvii

20 iii. Frequências Próprias, Modos de Vibração e Obtenção dos Esforços pelo MEF... vii iv. Determinação das Superfícies de Interacção... xvi v. Simulação através do Método de Newmark... xxi xviii

21 Índice de Figuras Figura 2.1 Modelo Estrutural... 3 Figura 2.2 Oscilador de um grau de Liberdade... 5 Figura 2.3 a) Movimento oscilatório de amortecimento sobre-crítico. b) Movimento oscilatório de amortecimento sub-crítico. c) Movimento oscilatório de amortecimento crítico (Ferreira, 2009)8 Figura 2.4 Normalização do valor esperado máximo em função do número de valores ascendentes no nível 0 (Clough & Penzien, 1995) Figura 2.5 Eixos locais de uma barra Figura Esforços actuantes numa barra Figura 3.1 Referencial Local e Geral do Elemento de Barra (Azevedo Á., 2003) Figura 3.2 Graus de Liberdade no nó de um Elemento de Barra (Azevedo Á., 2003) Figura 3.3 Forças Generalizadas que correspondem aos graus de liberdade (Azevedo Á., 2003) Figura 3.4 Graus de Liberdade e Respectivas Forças num elemento de Barra (Azevedo Á., 2003) Figura 3.5 Espectro de Potências dada a ocorrência de um sismo do tipo I num solo do tipo II 42 Figura 3.6 Acelerograma obtido duma acção sísmica do tipo I num solo de fundação do tipo II de acordo com o R.S.A Figura Curva representativa, no plano complexo, de, dada uma frequência de excitação Figura 4.2 Sistema de coordenadas em que mede a orientação no plano e a elevação Figura 4.3 Definição de um conjunto de esforços numa dada superfície de interacção Figura 4.4 Contribuição de uma frequência de excitação, para o Esforço Normal de dimensionamento de uma secção, na ocorrência de um sismo Figura 5.1 Pórtico Tridimensional de um piso Figura 5.2 Eixos Locais de uma Barra Figura Frequências Próprias e respectivos modos de Vibração obtidos através do Programa em Matlab Figura 5.4 Frequências Próprias e respectivos modos de Vibração obtidos através do SAP Figura 5.5 Direcções de actuação da acção sísmica estudadas Figura 5.6 Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 0 [Newtons e Newtons.metro] Figura 5.7 Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 30 [Newtons e Newtons.metro] xix

22 Figura Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 45 [Newtons e Newtons.metro] Figura Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 60 [Newtons e Newtons.metro] Figura Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar segundo y [Newtons e Newtons.metro] Figura 5.11 Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção [Newtons e Newtons.metro] Figura 5.12 Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção [Newtons e Newtons.metro] Figura 5.13 Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção [Newtons.metro] Figura Superfície de interacção de esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção [Newtons e Newtons.metro] Figura 5.15 Pórtico Tridimensional Regular com dois pisos Figura 5.16 Primeiros modos de Vibração do Pórtico de 2 pisos obtidos através do programa em Matlab Figura Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 0 no Pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro] Figura Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 30 no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro] Figura Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 45 no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro] Figura Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 60 no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro] Figura Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 60 no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro] Figura Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro] Figura Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro] Figura Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção no pórtico de 2 pisos [Newtons.metro] Figura Superfície de interacção de esforços em qualquer direcção no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro] Figura 5.26 Pórtico simétrico com os pilares a apresentar diferentes direcções principais de Inércia e algumas massas concentradas Figura 5.27 Frequências próprias e respectivos modos de vibração do pórtico irregular Figura Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 0 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro] xx

23 Figura Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 30 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro] Figura Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 45 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro] Figura Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 60 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro] Figura Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 60 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro] Figura Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 120 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro] Figura Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 135 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro] Figura Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 150 no Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro] Figura Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção no pórtico irregular [Newtons e Newtons.metro] Figura Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção no pórtico irregular [Newtons e Newtons.metro] Figura Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção no pórtico irregular [Newtons.metro] Figura Superfície de interacção de esforços em qualquer direcção no pórtico irregular [Newtons e Newtons.metro] xxi

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25 Índice de Tabelas Tabela 5.1 Primeiras Frequências Próprias da Estrutura obtidas através do Programa em Matlab Tabela Primeiras Frequências Próprias da Estrutura obtidas através do SAP Tabela 5.3 Valores obtidos de, e para as direcções de actuação do sismo em estudo Tabela 5.4 Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a Tabela Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a Tabela Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a Tabela Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a Tabela Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica segundo y Tabela 5.9 Valores do Esforço Normal obtidos através da Simulação, variando o número de amostras Tabela Valores do Momento Flector M 1 obtidos através da Simulação, variando o número de amostras Tabela Valores do Momento Flector M 2 obtidos através da Simulação, variando o número de amostras Tabela 5.12 Valores máximos dos esforços obtidos da Simulação através do MN Tabela 5.13 Valores obtidos da combinação modal CQC aplicada no SAP Tabela Primeiras Frequências Próprias do Pórtico de 2 Pisos obtidas através do Matlab.. 81 Tabela Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 0 no pórtico de 2 pisos Tabela Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 30 no pórtico de 2 pisos Tabela Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 45 no pórtico de 2 pisos Tabela Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 60 no pórtico de 2 pisos Tabela Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 90 no pórtico de 2 pisos Tabela Valores máximos dos esforços obtidos da Simulação através do MN para o pórtico de 2 pisos Tabela Valores obtidos da combinação modal CQC aplicada no SAP Tabela Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 0 no Pórtico Irregular Tabela Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 30 no Pórtico Irregular Tabela Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 45 no Pórtico Irregular xxiii

26 Tabela Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 60 no Pórtico Irregular Tabela Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 90 no Pórtico Irregular Tabela Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 120 no Pórtico Irregular Tabela Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 135 no Pórtico Irregular Tabela Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 150 no Pórtico Irregular Tabela Valores máximos dos esforços obtidos da Simulação através do MN para o Pórtico irregular Tabela Valores obtidos da combinação modal CQC aplicada no SAP Tabela 6.1 Síntese dos Resultados obtidos pelos vários métodos Tabela 6.2 Diferenças medidas em relação à análise direccional de esforços Tabela 6.3 Diferença média de cada método em relação à análise direccional de Esforços xxiv

27 Capítulo 1 - Introdução 1.1 Contextualização A Dinâmica de estruturas é uma das matérias no âmbito da Engenharia Civil, que devido à implementação de novos métodos de cálculo com recurso à computação, têm tido uma enorme evolução nos últimos anos. Em particular, a engenharia sísmica tem sido uma das áreas mais desenvolvidas, sendo corrente proceder-se a análises dinâmicas para avaliar o desempenho sísmico de estruturas com um nível de detalhe que não era possível há poucos anos. Têm sido propostos diferentes métodos numéricos para modelar o comportamento dinâmico das estruturas, sendo que dependente da formulação, a análise realiza-se tanto no domínio do tempo como no domínio da frequência. A dificuldade que se coloca após obter uma solução numérica, é definir a forma como se devem combinar os diferentes resultados obtidos para determinar os esforços de dimensionamento da estrutura, tratando-se da principal preocupação de um engenheiro projectista. Para esse efeito diversas técnicas têm sido propostas, sendo correntemente os métodos de sobreposição modal com recurso a espectro de resposta, como são os casos da Combinação Quadrática Completa (CQC) e da Raiz Quadrada da Soma dos Quadrados (RQSQ), a forma mais utilizada entre os engenheiros para análises sísmicas. Contudo esses métodos não dão informação sobre a interacção entre esforços actuantes, o que condiciona o dimensionamento estrutural. 1.2 Objectivo O objectivo deste estudo consiste em realizar a análise sísmica de uma estrutura porticada tridimensional, no domínio da frequência, tendo por base o Método dos Elementos Finitos (MEF), generalizando a abordagem proposta em (Ferreira, 2009) para uma estrutura bidimensional. Pretende-se definir uma combinação dos resultados obtidos a partir de um espectro de densidade de potências, que disponibilize a interacção entre o esforço normal e os momentos flectores segundo as direcções principais de inércia de uma secção e que contabilize as possíveis 1

28 direcções que possam assumir no espaço de interacção, sendo essa a principal contribuição do estudo efectuado e uma das limitações dos métodos de sobreposição modal. 1.3 Organização No sentido de realizar um estudo faseado e bem fundamento na procura dos objectivos propostos, a exposição do trabalho desenvolvido encontra-se divido em seis Capítulos: Capítulo 2- Generalidades; definição de acção dinâmica das diferentes solicitações que ocorrem em estruturas; estudo de solicitações em regime livre e forçado; estudo de osciladores lineares tanto de um como de vários graus de liberdade; análise modal; simulações sísmicas; combinações correntes com recurso a espectro de resposta como CQC e RQSQ. Capítulo 3- Métodos Numéricos; introdução ao MEF, os seus princípios básicos e a metodologia realizada para a construção das equações que definem o comportamento dinâmico de uma estrutura; introdução ao MN, os seus princípios básicos e posterior introdução da acção sísmica no seu conteúdo para obtenção de esforços devido à mesma. Capítulo 4- Modelo Numérico Implementação para o Caso Tridimensional; fundamentação dos princípios básicos inerentes ao processo de cálculo, definição da acção dinâmica, princípios essenciais à combinação de esforços pretendida; metodologia aplicada ao cálculo da superfície de interacção. Capítulo 5- Casos de Estudo; Definição dos vários modelos de estudo e Obtenção de Resultados inerentes à análise direccional de esforços e determinação das curvas de interacção e ainda obtenção de resultados pela simulação recorrendo ao MN assim como os obtidos do método de sobreposição modal CQC recorrendo ao SAP2000. Capítulo 6- Síntese e Análise dos Resultados obtidos pelos vários métodos; Análise das várias superfícies de interacção obtidas e comparação dos resultados obtidos através dos diferentes métodos. Capítulo 7- Conclusões; conclusões retiradas do estudo; desenvolvimentos futuros que possam dar contributo ao estudo realizado. 2

29 Capítulo 2 - Generalidades 2.1 Dinâmica de Estruturas A análise dinâmica de uma estrutura organiza-se pelas seguintes fases: Quantificação das solicitações dinâmicas aplicadas na estrutura Definição do modelo estrutural Definição de um modelo de cálculo que represente o comportamento da estrutura, nomeadamente no que se refere à deformabilidade e absorção de energia Estudo dinâmico do comportamento do modelo de cálculo. A análise dinâmica trata da determinação de deslocamentos, velocidades e acelerações nos vários elementos da estrutura, pois tendo definida a deformada dinâmica da estrutura, o cálculo prossegue recorrendo à teoria de estruturas Equilíbrio Estático e Equilíbrio Dinâmico Através do seguinte exemplo, que concretiza o que foi referido, faz-se evidência às diferenças entre equilíbrio estático e equilíbrio dinâmico. Figura 2.1 Modelo Estrutural A Figura 2.1 representa o modelo estrutural da estrutura de suporte de uma máquina que lhe transmite forças horizontais orientadas segundo x em que a massa das vigas e pilares é desprezável face à massa m, que engloba a massa da máquina em conjunto com a massa da laje. 3

30 Tendo quantificado a acção dinâmica e definido o modelo estrutural, procede-se à definição do modelo matemático. Aqui é necessário considerar a condição de equilíbrio de uma estrutura sob a acção de solicitações em regime estático e dinâmico, que preconiza que a resultante das solicitações actuantes deve ser nula em cada um dos elementos da estrutura. No caso de todas as solicitações serem Forças, em cada elemento da estrutura, deverá verificarse equilíbrio entre todas as forças actuantes, que de acordo com (Ravara, 1969) poderão ser dos seguintes tipos: Forças de Inércia - Forças dissipativas de atrito ou amortecimento - Forças de restituição ou ligação - Forças exteriores aplicadas Ou seja, deverá verificar-se, para cada elemento a condição (2.1) No entanto em regime estático as solicitações actuam muito lentamente até ao seu valor final de modo que se despreza a velocidade e a aceleração, reduzindo (2.1) a (2.2) que exprime a condição de equilíbrio estático. No caso em que as solicitações na estrutura variem ao longo do tempo e que os seus elementos adquirem velocidades e acelerações de valor considerável, o comportamento da estrutura rege-se por equações do tipo de (2.1) que exprimem as condições de equilíbrio dinâmico. O principal objectivo da análise dinâmica das estruturas é estabelecer e resolver equações do tipo de (2.1) que constituem o modelo matemático da estrutura Solicitações em Regime Dinâmico O carácter estático ou dinâmico de uma solicitação é relativo à estrutura sobre a qual esta actua. Assim uma dada solicitação apresenta carácter dinâmico relativamente a uma estrutura quando as 4

31 Forças de Inércia que se desenvolvem apresentam valores significativos em relação às restantes forças que intervêm no equilíbrio da estrutura. As solicitações dinâmicas são classificadas em determinísticas ou aleatórias, conforme é conhecido o seu valor num dado instante ou apenas a respectiva distribuição estatística. Por sua vez as solicitações determinísticas dividem-se em periódicas ou aperiódicas, conforme os seus valores se repetem ou não ao fim de um intervalo de tempo fixo,, designado por Período. A condição de periodicidade é expressa por: para inteiro (2.3) Osciladores Lineares de Um grau de Liberdade De acordo com (Azevedo & Proença, 1991) um oscilador com um grau de liberdade é um sistema que pode ser reduzido a uma massa concentrada num único ponto e essa massa pode apresentar apenas uma componente do deslocamento. Considere-se a estrutura representada na Figura 2.2, constituída por uma consola vertical encastrada na base com uma massa concentrada no topo. Figura 2.2 Oscilador de um grau de Liberdade Admitindo que o amortecimento é proporcional à velocidade, ou seja que se trata de um amortecimento do tipo viscoso, os termos da equação (2.1) adoptam a forma: (2.4) Deduzindo assim a equação diferencial do movimento: (2.5) 5

32 Onde representa o coeficiente de proporcionalidade entre a força de amortecimento e a velocidade, ou seja, a força correspondente à velocidade unitária, designada por Amortecimento, e a relação entre a força de restituição e o deslocamento, designada por Rigidez Oscilação em Regime Livre Ao analisar a resposta dum oscilador de um grau de liberdade, na ausência de solicitação exterior, tem-se a equação diferencial do movimento definida da seguinte forma: (2.6) A qual, dividindo ambos os membros por, apresenta-se: (2.7) Em que se trata da frequência própria angular não amortecida. Esta traduz a frequência da resposta na ausência de amortecimento, definida pela expressão: (2.8) E é designado pelo coeficiente de amortecimento. Representa a percentagem de amortecimento em relação ao amortecimento crítico de tal modo que (2.9) A solução da equação (2.7) depende do valor, dependendo, como consequência, de três casos de análise segundo (Azevedo & Proença, 1991): Amortecimento sobre-crítico, Amortecimento sob-crítico, Amortecimento crítico, No caso de Amortecimento sobre-crítico ( dada da forma: ), a equação que define a resposta da estrutura é (2.10) 6

33 Em que as variáveis A e B traduzem as condições iniciais do movimento e frequência própria da estrutura,, pela expressão: relaciona-se com a (2.11) Nestas condições a resposta da estrutura é aperiódica e sem movimento vibratório (Figura 2.3a). Para o caso de Amortecimento sob-crítico ( ) obtém-se a resposta através da expressão: (2.12) Ou simplificadamente: (2.13) Em que, tratando-se da frequência amortecida, é obtida pela expressão: (2.14) As variáveis A e B ou e traduzem as condições iniciais, que no caso mais corrente destas corresponderem ao deslocamento e à velocidade inicial no instante, verifica-se: (2.15) (2.16) Ou, pela abordagem (2.13): (2.17) (2.18) 7

34 O movimento é definido como uma sinusóide de amplitude decrescente (Figura 2.3b). Embora não se trate em rigor dum movimento periódico, os máximos/mínimos relativos da resposta verificamse em instantes afastados de múltiplos de. consiste no período amortecido obtido da seguinte forma: (2.19) Finalmente para o caso de amortecimento crítico ( ) a resposta da estrutura corresponde à transição entre as respostas anteriores, sendo definida pela expressão (2.20) Em que A e B, tal como para os casos anteriores, definem as condições iniciais do movimento. Trata-se de um movimento aperiódico com o menor amortecimento possível, ou seja, é aquele em que a massa regressa à posição de repouso mais rapidamente, não ocorrendo movimento oscilatório (Figura 2.3c). Figura 2.3 a) Movimento oscilatório de amortecimento sobre-crítico. b) Movimento oscilatório de amortecimento sub-crítico. c) Movimento oscilatório de amortecimento crítico (Ferreira, 2009) Oscilação em Regime Forçado Caracteriza-se neste subcapítulo a resposta da estrutura a excitações determinísticas (acções harmónicas e acções periódicas) e aleatórias (acções estocásticas). Tendo em conta apenas as acções deterministicas, note-se agora que equação do movimento continua a ser a (2.5), contudo o termo independente não nulo representa a excitação aplicada ao nível do grau de liberdade. 8

35 Acções Harmónicas Considera-se que a estrutura é actuada por uma acção harmónica aplicada da forma (2.21) Adoptando a equação do movimento a seguinte forma: (2.22) E dividindo a totalidade dos termos por, obtém-se a expressão (2.23) A solução desta equação diferencial é composta pela sobreposição da solução geral da equação homogénea (2.6) e da solução particular da equação não homogénea (2.23) que para o presente caso, se apresenta (2.24) Ou em alternativa (2.25) Ao substituir a equação (2.25) na (2.23) e identificando os termos em e, obtém-se os valores de C e D. (2.26) (2.27) Sendo (2.28) 9

36 Considerando a solução particular no formato da (2.25) tem-se (2.29) Onde se designa por factor de amplificação dinâmica, dado por (2.30) Finalmente o parâmetro representa o desfasamento entre a acção e a resposta, dado por (2.31) Acções Periódicas Tendo obtida a solução para a resposta a acções harmónicas, pode-se facilmente deduzir a resposta de um oscilador a acções periódicas. Qualquer acção periódica com período e com um mínimo de regularidade, pode ser desenvolvida em Série de Fourier, ou seja, pode ser substituída pela soma de componentes harmónicas de períodos submúltiplos do período de referência como dita a seguinte expressão: (2.32) Onde os termos e são designados por coeficientes de Fourier e se calculam da seguinte forma: (com (2.33) (com (2.34) Da expressão (2.32) verifica-se que o termo representa a parcela estática e é responsável pelo valor médio não nulo da excitação. 10

37 A resposta do sistema pode ser obtida a partir da sobreposição das respostas a cada uma das componentes harmónicas de excitação. Tendo isto, a resposta em regime permanente é dada por (2.35) Em que E e correspondem a e respectivamente para Excitações Estocásticas Considere-se a estrutura sujeita a uma excitação aleatória que é caracterizada por um processo estocástico Gaussiano Ergódico. Neste caso, de acordo com (Azevedo & Proença, 1999) a excitação pode ser caracterizada pelas seguintes entidades: - auto matriz função de autocorrelação da excitação - auto matriz função densidade espectral de potência da excitação Que se definem e relacionam através das seguintes propriedades (2.36) (2.37) (2.38) Verifique-se que para representa o valor quadrático médio da solicitação. Por outro lado quando assume um valor não nulo, fornece uma medida da ligação entre os valores da solicitação em instantes múltiplos de. Por sua vez, trata-se da Transformada de Fourier da função de autocorrelação,em que os seus valores quantificam a contribuição das componentes elementares de frequência para o valor quadrático médio da solicitação. Note-se ainda que define o valor esperado da correlação entre as várias realizações e do processo estocástico, desfasados de um intervalo. 11

38 No caso de assumir um valor constante, designa-se esse processo por ruído branco. Na verdade, esse processo é meramente teórico, já que o seu valor quadrático médio é infinito. Assim sendo, para que tal seja fisicamente possível, é necessário definir um intervalo de frequências. Na sequência do raciocínio, segundo os mesmos autores, definem-se as matrizes de informação cruzada (excitação - resposta ou o recíproco) (2.39) (2.40) (2.41) Por fim a resposta da estrutura constitui também ela um processo estocástico ergódico estacionário caracterizado pelas seguintes auto matrizes função de autocorrelação da resposta. (2.42) (2.43) Por último, é ainda possível demonstrar que estas identidades se relacionam reciprocamente através matriz função de transferência. (2.44) (2.45) (2.46) Tratando-se o transposto do conjugado da função de transferência. Note-se que o integral de tais funções de densidade espectral de resposta dada por (2.44) define o valor quadrático médio da resposta da estrutura. No entanto numa análise dinâmica é importante conhecerem-se os valores máximos, já que a maior parte das vezes, são os valores máximos que condicionam a segurança estrutural. Para tal, segundo (Azevedo J, 1996) efectua-se uma análise da probabilidade de distribuição de máximos recorrendo a uma função de densidade espectral de Banda Estreita. Posteriormente como em qualquer processo é importante determinar com que frequências ocorrem os valores máximos. Tendo isto e analisando a sequência de passos explanada em (Ferreira, 2009) obtém-se o valor esperado do máximo que, se pode obter recorrendo à expressão: 12

39 (2.47) Em que: (2.48) Onde de acordo com (Clough & Penzien, 1995) corresponde, na prática, ao número de valores ascendentes no nível 0. O valor de obtém-se assim em função desse número, como se pode observar na Figura 2.4. Figura 2.4 Normalização do valor esperado máximo em função do número de valores ascendentes no nível 0 (Clough & Penzien, 1995) Oscilador Linear de vários graus de Liberdade Em grande parte dos casos, o modelo matemático que melhor se adequa para representar o comportamento dinâmico de uma estrutura corresponde a um oscilador de vários graus de liberdade. No caso de edifícios é corrente localizar as massas ao nível dos pisos, no entanto a localização e quantificação das massas não deixa de ser um problema delicado. A formulação das equações de equilíbrio conduz a sistemas de equações diferenciais de 2ª ordem. E a integração desses mesmos sistemas pode-se efectuar decompondo-os em equações independentes por mudança de coordenadas Análise Modal Considerando uma estrutura com N graus de liberdade tem-se o sistema de equações que define o equilíbrio dinâmico na forma 13

40 (2.49) Ou, em linguagem matricial (2.50) Em que, e se verificam as matrizes de Massa, Amortecimento e Rigidez da Estrutura respectivamente de ordem N. Seguindo (Guerreiro, 1999), procede-se a uma pequena explicação do que trata a análise modal de uma estrutura Frequências Próprias e Modos de Vibração A determinação das frequências próprias de um determinado sistema é efectuada com base na análise do movimento em regime livre e sem amortecimento. De tal modo observa-se assim a equação de equilíbrio dinâmico mais simplificada (2.51) Admitindo um movimento da estrutura do tipo harmónico quando vibra com uma dada frequência, apresenta-se: (2.52) Onde representa a condição deformada da estrutura. Derivando duas vezes a expressão em ordem ao tempo, obtém-se a expressão das acelerações ao longo do tempo: (2.53) Posteriormente ao substituir as equações (2.52) e (2.53) na equação (2.51) e trabalhando esta última, obtém-se: (2.54) 14

41 Para que o sistema de equações (2.54) tenha uma solução não trivial, é necessário igualar o determinante da matriz a zero. Logo a determinação de frequências e modos de vibração resulta num problema de determinação de valores e vectores próprios, em que os valores próprios representam as frequências e os vectores próprios os modos de vibração. Assim, a cada frequência corresponde um modo de vibração. Recorde-se que a determinação das frequências próprias da estrutura e os seus respectivos modos de vibração foram calculados considerando Amortecimento nulo, no entanto em todas as estruturas ocorre amortecimento. Segundo (Ravara, 1969) Caughey demonstrou que os modos de vibração só subsistem se diagonalizada pela mesma transformação que diagonaliza e. for Uma solução possível consiste na aplicação do Amortecimento de Rayleigh que assume que a matriz de amortecimento se trata de uma combinação linear das matrizes de massa e de rigidez, em que os parâmetros e se apresentam como constantes. (2.55) Condições de Ortogonalidade Os vectores que definem os modos de vibração apresentam propriedades que são designadas por condições de ortogonalidade traduzidas pelas equações: (2.56) (2.57) Que representam a ortogonalidade dos modos de vibração de uma estrutura em relação, à matriz de massa e de rigidez respectivamente. Com o intuito de demonstrar a ortogonalidade em relação à matriz de massa considere-se a equação (2.54) para os modos de vibração e : (2.58) (2.59) Multiplicando a equação (2.58) por obtém-se: 15