» EDI Parque Alegria» E.M AMAZONAS» E. M Canadá» E. M Orlando Villas Boas

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2 MARCELLO CRIVELLA PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO CÉSAR DE QUEIROZ BENJAMIN SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO JUREMA HOLPERIN SUBSECRETARIA DE ENSINO MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO MARIA DE FÁTIMA CUNHA GERÊNCIA DE ENSINO FUNDAMENTAL CLOVIS DO NASCIMENTO LEAL DALTON DO NASCIMENTO BORBA ELABORAÇÃO SÍLVIA MARIA SOARES COUTO ORGANIZAÇÃO FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA GIBRAN CASTRO DA SILVA SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA REVISÃO FÁBIO DA SILVA MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR DESIGN GRÁFICO EDIGRÁFICA IMPRESSÃO» EDI Parque Alegria» E.M AMAZONAS» E. M Canadá» E. M Orlando Villas Boas

3 PÁGINA 2 Vamos recordar algumas atividades dos bimestres anteriores!!! 2- Qual o valor de na figura abaixo? 1- A maquete do National Stadium s (Estádio Nacional de Tókio) foi feita na razão 1:200. Se a altura dessa maquete é de 18 cm, qual é a altura, em metros, do National Stadium s?

4 PÁGINA 3 3- Observe o tampo da mesa: 4- Um engenheiro precisa construir, em um clube, uma piscina retangular. No entanto, precisa atender a duas exigências: 1.ª) o comprimento da piscina terá que ser 5 metros maior que a largura; 2.ª) a área total da piscina deverá ser de 150 m². Responda: Quais devem ser as dimensões dessa piscina? Área do tampo da mesa: 120 cm² Qual a equação que representa a área dessa figura retangular, em relação a?

5 PÁGINA 4 5- O quadrado de um número, menos o seu triplo, é igual a 4. Qual é esse número? 6- Qual é o número positivo que, somado ao seu quadrado, resulta 72?

6 PÁGINA 5 7- Qual o comprimento mínimo do cabo de aço que prende uma antena de rádio de 15 m, se ele está fixado a 20 m da base da antena? 8- Leia o texto, observe a figura e responda: Na figura, estão indicadas as áreas, em uma mesma unidade de área, de três retângulos adjacentes. Responda: a) Qual a expressão que representa a área total(a) dessa figura? b) Qual o valor de se a área total(a) for de 144 cm²? OBMEP NÍVEL 2 Na figura, O é o centro do círculo e AB =5cm.Qualéo diâmetro desse círculo? O A 5 4 B C

7 PÁGINA 6 9- A figura, apresentada abaixo, mostra uma escada encostada no topo de um prédio. Sabendo-se que o pé da escada está distante 8 metros do prédio e o comprimento dela é de 17 metros, qual é a altura do prédio? 10- Conforme a figura, determine o perímetro do quadrado amarelo: 6 cm 8 cm 8 cm 6 cm CLIPART 6 cm 8 cm 6 cm 8 cm 8 m

8 PÁGINA 7 BATALHA NAVAL REGRAS DO JOGO Preparação do jogo: 1. Cada jogador distribui suas embarcações pelo tabuleiro. Isso é feito marcando-se no quadro intitulado DEFESA" os quadradinhos referentes às suas armas. 2. Não é permitido que 2 embarcações se toquem. 3. O jogador não deve revelar ao oponente as localizações de suas embarcações. Jogando... Cada jogador, na sua vez de jogar, seguirá o seguinte procedimento: 1. Disparará 3 tiros, indicando as coordenadas do alvo, através do número da linha e da letra da coluna que definem a posição. Para que o jogador tenha o controle dos tiros disparados, deverá marcar cada um deles no quadro intitulado ATAQUE". 2. Após cada um dos tiros, o oponente avisará se acertou e, nesse caso, qual a embarcação atingida. Se ela for afundada, esse fato também deverá ser informado. 3. A cada tiro acertado em um alvo, o oponente deverá marcar, em seu tabuleiro, para que possa informar quando a embarcação for afundada. 4. Uma embarcação é afundada quando todas as casas que formam essa embarcação forem atingidas. 5. Após os 3 tiros e as respostas do oponente, a vez passa para o outro jogador. O jogo termina quando um dos jogadores afundar todas as embarcações do seu oponente. Este será declarado campeão. ATAQUE Vamos brincar de Batalha Naval? Eu adoro esse jogo!!! DEFESA A B C D E F G H I J K L M N O A B C D E F G H I J K L M N O A B C D E F G H I J K L M N O A B C D E F G H I J K L M N O PORTA-AVIÕES ENCOURAÇADOS CRUZADORES SUBMARINOS HIDROAVIÕES

9 PÁGINA 8 PAR ORDENADO Observe a organização das cadeiras de um cinema: A cadeira A está localizada na terceira coluna enaquinta linha. Vamos indicar por (3, 5). 1.ª coluna 2.ª coluna 3.ª coluna 4.ª coluna 5.ª coluna 6.ª coluna 7.ª coluna 8.ª coluna 9.ª coluna A cadeira B está localizada na quinta coluna enaterceira linha. Vamos indicar por (5, 3). Como as cadeiras do cinema estão em lugares diferentes, podemos concluir que: 8.ª linha 7.ª linha 6.ª linha 5.ª linha 4.ª linha 3.ª linha 2.ª linha 1.ª linha Observe: Par ordenado: (3, 5) (5, 3) (3, 5) 2.º elemento 1.º elemento Par ordenado: (5, 3) 2.º elemento 1.º elemento

10 PÁGINA 9 PLANO CARTESIANO Consideremos duas retas numéricas perpendiculares, denominadas eixos, que se interceptam no ponto que representa o zero de cada uma delas. Essas retas determinam o plano cartesiano: eixo das ordenadas A representação de um ponto, no plano, é feita através de dois números reais: o primeiro número do par ordenado pertence ao eixo o segundo número do par ordenado pertence ao eixo eixo das abscissas (, ) Observe que o valor de sempre vem primeiro no par ordenado. Localizamos o ponto P no plano: 3 no eixo. 2 no eixo. Eixo horizontal: é o eixo ou eixo das abscissas. Eixo vertical: é o eixo ou eixo das ordenadas. Logo, a localização do ponto P é o par ordenado: (3, 2)

11 PÁGINA 10 LOCALIZAR PONTOS NO PLANO CARTESIANO Exemplos: Vamos localizar os seguintes pares ordenados: Lembre-se de que o primeiro valor do par ordenado tem que ser sempre o valor do eixo. A (1, 4) B ( 3, 4) 5 A C ( 2, 3) D (3, 3) C Quadrantes As retas e dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas quadrantes, que são numeradas conforme a figura abaixo: D B -4-5 Observe: quatro quadrante.

12 PÁGINA 11 AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! 2- Observe a planta baixa da sala de aula. Nela, há carteiras arrumadas em linhas e colunas: 1- Observe a figura. Em qual posição se encontra a casinha de telhado vermelho? 1.ª coluna 2.ª coluna 3.ª coluna 4.ª coluna 5.ª coluna 6.ª coluna ª linha 3.ª linha 2 2.ª linha 1 1.ª linha A B C D E (A) B2. (B) C4. Responda: (C) D3. (D) E2. a) Qual é a posição (coluna ; linha) da carteira A? b) Qual é a posição (coluna ; linha) da carteira B?

13 PÁGINA Identifique as coordenadas (, ) de cada figura que aparece no plano cartesiano: 4- Agora, localize os pontos no plano cartesiano: M(3, 2) N( 2, 4) O( 3, 3) P(4, 2) Q( 2, 0) R(0, 4) S(2, 0) T(0, 2) Casa: (, ) Avião: (, ) Bola: (, ) Carro: (, ) Piscina: (, ) Árvore: (, ) Bicicleta: (, ) Barco: (, )

14 PÁGINA Localize os pontos no plano cartesiano. Depois, responda: A(1, 3) B( 1, 1) C( 1, 4) D(4, 1) 6- Localize os pontos no plano cartesiano. Depois, ligue-os na sequência em que aparecem: Ligando os pontos em ordem alfabética, qual a figura convexa formada? (8,1) (1,8) (1,11) (3,13) (6,13) (8,11) (10,13) (13,13) (15,11) (15,8) (8,1) Que figura você encontrou? (A) Triângulo. (B) Retângulo. (C) Trapézio. (D) Quadrado.

15 PÁGINA 14 PRODUTO CARTESIANO Sejam dois conjuntos não vazios. Chama-se produto cartesiano de A e B ao conjunto de todos os pares ordenados em que o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo pertence ao conjunto B. Indicamos: A x B e lemos A cartesiano B. Exemplos: 1.º) Através da enumeração dos elementos Sendo A = {2, 3} e B = {4, 6, 8}, temos: A x B = {(2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} B x A = {(4, 2),(4, 3), (6, 2), (6, 3), (8, 2), (8,3)} Observe que A x B B x A 2.º) Através de diagrama Dados os conjuntos A = {1, 4} e B = {2, 3, 4} Lembre-se de que o primeiro elemento do par ordenado pertence ao primeiro conjunto. 1- Dados os conjuntos: determine: AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! A = {3, 4, 5} B = {2, 6} C = {1, 5} a) AxB = b) BxA = c) AxC = d) BxC = O conjunto solução de A cartesiano B ficaria assim: A x B = {(1, 2),(1, 3), (1, 4), (4, 2), (4, 3), (4,4)} e) BxB =

16 PÁGINA 15 Acompanhe as situações apresentadas a seguir: NOÇÕES DE FUNÇÃO 1.ª situação: Uma empresa de TV a cabo cobra de seus assinantes uma mensalidade de R$ 100,00 e mais R$ 12,00 pelo filme extra comprado. Desse modo, o valor a ser pago ao final de cada mês depende do número de filmes comprados pelo assinante. Organizando essas informações em uma tabela: Número de filmes extras Preço (em real) Total () Você pode me ajudar a completar a tabela? Indicando por o número de filmes extras comprados e por o preço total a ser pago, podemos montar uma sentença com essas duas grandezas: = lei de formação

17 PÁGINA 16 Observe que, a cada valor atribuído à letra, obtemos um único valor para a letra. Por exemplo: para = 0, temos = = = 100 Isso significa que, se o assinante não comprar nenhum filme extra, pagará R$ 100,00. para = 1, temos = = = Se o assinante comprar 1 filme extra, pagará R$ 112,00. para = 2, temos = = = Se o assinante comprar 2 filmes extras, pagará R$ 124,00. Com isso, podemos dizer que o preço () a pagar é obtido em função do número de filmes extras () comprados. Dizemos que a grandeza é função da grandeza, se, e somente se, há, entre elas, uma correspondência em que, para cada valor de, existe um único valor de. Também podemos indicar que é uma função de por = f(). Então, a função = pode ser representada por f() =

18 PÁGINA 17 2.ª situação: Em um parque de diversões, a entrada custa R$ 50,00 e cada brinquedo R$ 8,00. brinquedos e o valor gasto. Leia o quadro e a relação entre a quantidade de Quantidade de brinquedos Preço pago Total (reais) Agora, é só completar a tabela!!! Para esse exemplo, a lei da função é: f() = Com essas informações, podemos responder a algumas questões: a) Se uma criança entrou em 7 brinquedos, quanto gastou ao todo? f(7) = f(7) = f(7) = 106 Essa criança gastou R$ 106,00. b) Se uma pessoa gastou, com a entrada e os brinquedos, R$ 130,00, em quantos brinquedos ela andou? f() = = = = 80 = 80 / 8 = 10 Essa pessoa andou em 10 brinquedos.

19 PÁGINA 18 Representação de função através de diagramas Exemplos: São funções de A em B, as relações representadas nos diagramas: A B A B Não são funções de A em B, as relações representadas abaixo: A B A 1 B 1 A 1 B 1 O elemento de A está ligado a dois elementos de B: A B Observe que: 3 5 Em A, não sobra elemento; em B pode sobrar. Em A, de cada elemento parte uma única flecha; Em B, um elemento pode receber mais de uma flecha. Está sobrando um elemento de A.

20 PÁGINA 19 Domínio e imagem de uma função Seja f uma função de A em B: A B f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} O conjunto A é o domínio (D) da função. D = {1, 2, 3} A imagem (Im) da função é formado por todos os elementos de B que ficam associados a elementos de A. Im = {2, 3, 4} Notação de função Considere a função f definida de IR em IR, tal que = 2 1. Observe que para = 2, temos = =. para = 3, temos = =. para = 4, temos = =. Dizemos que é a imagem de 2 pela função f. Vamos completar? A B f(2) = O conjunto imagem é um subconjunto de B. 5 é a imagem de 3 pela função f. 7 é a imagem de 4 pela função f. f(3) = f(4) =

21 PÁGINA 20 EXEMPLOS 1- Dada a função definida por f() = 3 + 2, calcule: a) f(0) b) f( 3) Solução: 3- Dada a função definida por f() = 2 1, calcule: a) f() = 3 b) f() = 7 Solução: Igualando a função a 3 Igualando a função a 7 Substituindo por 0 Substituindo por = = 7 f(0) = f(0) = f( 3) = 3 ( 3) + 2 f( 3) = f(0) = f( 3) = 2- Dada a função definida por f() = ² 1, calcule: a) f(0) b) f( 2) 4- Dada a função definida por f() = ² 5 + 6, calcule: a) f() = 0 Solução: Igualando a função a 0 Solução: Substituindo por 0 Substituindo por 2 f(0) = 0² 1 f( 2) = ( 2)² 1 f(0) = f( 2) = f(0) = f( 2) = ² = 0 a = 1 b = ( 5) c = 6 = ( 5)² 416 = = = ( 5) ± = 5±1 2 = = = =

22 PÁGINA 21 AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! 1- Dada a função definida por f() = Dada a função definida por f() = ² calcule: a) f(0) b) f(1) calcule: a) f(0) b) f(2) Não esqueça de quando for substituir o por um número negativo, colocar este número entre parênteses!!! c) f( 2) d) f(3) c) f( 2) d) f(5) OBMEP NÍVEL 2 Determine todas as soluções da equação = 2:

23 PÁGINA Sendo f() = 3 1, determinar o valor de de modo que a) f() = 14 b) f() = Sendo f() = ² 6 + 8, determinar o valor de de modo que a) f() = 0 c) f() = 0 d) f() = 10 b) f() = 8

24 PÁGINA Se A x B = {(2,3),(2,4),(2,5),(4,3),(4,4),(4,5)}, então, AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! 1- As coordenadas da casa e da árvore são, respectivamente: (A) (2, 3) e (1, 2) (B) (3, 2) e (1, 2) (C) (2, 3) e ( 2, 1) (D) (3, 2) e ( 2, 1) (A) A = {2, 4} e B = {3, 4, 5} (B) A = {3, 4, 5} e B = {2, 4} (C) A = {2, 3} e B = {3, 4, 5} (D) A = {2, 4} e B = {3, 5} 4- Qual dos diagramas representa uma função de F em G? (A) (B) 2- Sabendo que A = {2} e B= {1, 3}, podemos dizer que (A) A x B = {(1, 2), (3, 2)} (B) B x A = {(1, 2), (3, 2)} (C) A x B = {(2, 1), (3, 2)} (D) B x A = {(2, 1), (2, 3)} (C) (D)

25 PÁGINA Seja a função definida por f() = ². Então, o valor de f(0) é: (A) 3. (B) No plano cartesiano, o quadrante que possui os pares ordenados negativos é o (A) 1.º quadrante. (B) 2.º quadrante. (C) 0. (D). (C) 3.º quadrante. (D) 4.º quadrante. 6- Sendo f() = 7 4. Então, f(2) é igual a 10- Em que quadrante se encontra o par ordenado ( 3, 5)? (A) 69. (B) 11. (C) 10. (D) 5. (A) 1.º quadrante. (C) 3.º quadrante. (B) 2.º quadrante. (D) 4.º quadrante. 7- Sendo f() = 2³ + 1, então, posso dizer que f(0) é igual a 11- Seja f uma função de A em B. (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) Um garçom recebe um salário fixo mensal de R$ 850,00. Para cada hora extra, ele recebe R$ 100,00. disse o gerente do restaurante. A B Qual é a lei de formação f que melhor representa o valor recebido pelo garçom que trabalhou, nesse restaurante, horas extras durante o mês? (A) f = (B) f = (C) f = (D) f = Os elementos do domínio são: (A) {8, 10} (B) {2, 4, 6} (C) {1, 5, 9} (D) {2, 4, 6, 8, 10}

26 PÁGINA 25 FUNÇÃO DE 1.º GRAU Leia este exemplo: O perímetro do hexágono, apresentado ao lado, depende dos valores que forem atribuídos a. Indicando o perímetro por, temos: = A função definida pela lei = é um exemplo de função polinomial de 1.º grau. Uma função polinomial de 1.º grau é toda função do tipo = a + b com a e b sendo números reais e a 0. E, também, é definida para todo que pertence ao conjunto dos números reais. Leia os exemplos: a) = 5 6 sendo a = 5 e b = 6 b) = + 4 sendo a = 1 e b = 4 c) = 3 sendo a = 3 e b = 0 d) = + 1 sendo a = e b = 1 Uma função de primeiro grau definida por (f: IR IR) é denominada de função afim quando as constantes a e b pertencem ao conjunto dos reais, de forma que, f()= a + b, onde a seja diferente de zero para todo IR.

27 PÁGINA 26 AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! 1- Identifique as leis que representam função de 1.º grau: a) = 2 7 b) = 4 2 c) = ² 3 d) = 4 e) = 5 2- Determine os coeficientes a e b de cada função de 1.º grau: a) = 4 a = e b = 3- Dados a e b, escreva a lei de cada função de 1.º grau: a) a = 3 e b = 5 = b) a = 1 e b = 3 = c) a = 1 e b = 0 = d) a = 2 e b = 1 = e) a = e b = 4 = 4- Considere o retângulo e determine 35 b) = 5 2 a = e b = c) = 3 a = e b = d) = + a = e b = e) = + 3 a = e b = a) o perímetro em função de : b) o perímetro para = 15:

28 PÁGINA 27 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO DE 1.º GRAU 1.º) Vamos construir o gráfico da função: = + 1 O gráfico de uma função de 1.º grau é sempre uma reta. Vamos atribuir valores quaisquer para e obter os valores correspondentes de, através da substituição. Leia, atentamente, a tabela: = + 1 (, ) Primeiro, representaremos os pontos no plano cartesiano e, após, unindo-os, obteremos a representação gráfica da função = +1,que éumareta. Para = 2 = = 3 (2, 3) Para = 1 = = (, ) Para = 0 = = (, ) Para = 1 = ( 1) + 1 = (, ) Para = 2 = ( 2) + 1 = (, ) Agora, vamos completar os pares ordenados que estão faltando na tabela? = + 1

29 PÁGINA 28 2.º) Neste exemplo, construiremos o gráfico da função: = 2 3 Vamos atribuir valores quaisquer para e obter os valores correspondentes de, através da substituição. Veja: = 2 3 (, ) = 3 = = 3 (3, 3) Agora, representaremos os pontos no plano cartesiano e, unindo-os, obteremos a representação gráfica da função =2 3, que é uma. = 2 = = 1 (, ) = 1 = = 1 (, ) = 0 = = 3 (, ) = 1 = 2 ( 1) 3 = 5 (, ) Observe! Nessa tabela, você só precisa completar os pares ordenados. = 2 3

30 PÁGINA 29 3.º) Vamos construir o gráfico da função: = 2 Vamos atribuir valores quaisquer para e, assim, obter os valores correspondentes de, através da substituição. Leia, atentamente, a tabela: = 2 (, ) = 2 = 2 2 = 4 (2, 4) = 1 = 2 1 = (, ) Agora, vamos completar juntos: 1.º passo: representar os pontos no. 2.º passo: unir os pontos. 3.º passo: desenhar a representação gráfica da função = 2, queéuma. = 0 = 2 0 = (, ) = 1 = 2 ( 1) = (, ) = 2 = 2 ( 2) = (, ) = 2 Lembre-se! Primeiro precisamos completar, na tabela, os pares ordenados.

31 PÁGINA 30 Como a representação de uma função de 1.º grau é sempre uma reta, não precisamos determinar cinco pares ordenados. Somente dois bastariam. Mas para evitar equívocos, aconselhamos determinar três pares ordenados. 4.º) Neste exemplo, vamos construir o gráfico da função: = Atribuiremos valores quaisquer para e, assim, obter valores correspondentes de, através da substituição. Observe e complete: Ao representarmos os pontos no plano cartesiano e, uní-los, obteremos a = (, ) representação gráfica da função =, que, como já estudamos, é uma. = 2 = = 1 (, ) = 0 = = 0 (, ) = 2 = () = 1 (, ) Nessa tabela, utilizamos somente três pares ordenados para completar. =

32 PÁGINA 31 Leia os gráficos: FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE Então, basta olhar o sinal do coeficiente de e saberemos se a função é crescente ou decrescente? Assim ficou fácil!!! 1.º 3.º Observe que: Nos gráficos = +1(1.º gráfico) e =2 3(2.º gráfico), o valor de a é um número positivo (a >0). = 2 Então, chamamos de: função crescente (a > 0) quanto mais se aumenta o valor de, ovalorde também aumenta. = + 1 Nos gráficos = 2 (3.º gráfico) e = (4.º gráfico) o 2.º = 4.º valor de a é um número negativo (a <0). Assim, chamamos de: função decrescente (a < 0) quanto mais se aumenta o valor de, ovalorde diminui. Exemplos: a) = + 7 a > 0, logo, a função é crescente; = 2 3 b) = a < 0, logo, a função é decrescente; c) = 5 3 a > 0, logo, a função é crescente.

33 PÁGINA 32 AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! a) = Construa o gráfico das funções definidas a seguir e identifique se a função é crescente ou decrescente: Função: = + 3 (, ) = = = (, ) b) = 2 1 Função: = 2 1 (, ) = = = (, ) = = = (, ) = = = (, ) = = = (, ) = = = (, )

34 PÁGINA 33 c) = + 1 Função: d) = 1 Função: = + 1 (, ) = = = (, ) = = = (, ) = = = (, ) = 1 (, ) = = = (, ) = = = (, ) = = = (, )

35 PÁGINA 34 e) = Função: f) = + 3 Função: = (, ) = = = (, ) = = = (, ) = = = (, ) = + 3 (, ) = = = (, ) = = = (, ) = = = (, )

36 PÁGINA 35 g) = 2 Função: h) = 2 Função: = 2 (, ) = = = (, ) = = = (, ) = = = (, ) = 2 (, ) = = = (, ) = = = (, ) = = = (, )

37 PÁGINA 36 Coeficiente angular e coeficiente linear Na função polinomial do 1.º grau = a + b o coeficiente angular (a) representa a inclinação da reta em relação ao eixo das abscissas () eo coeficiente linear (b) representa o valor numérico por onde a reta passa no eixo das ordenadas (). Na função = 2 3, temos: Coeficiente angular: 2 Coeficiente linear: 3 Coeficiente linear = 2 3 AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! 1- Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear de cada função: a) = 3 Coeficiente angular: Coeficiente linear: b) = Coeficiente angular: Coeficiente linear: c) = Coeficiente angular: Coeficiente linear: d) = 2 Coeficiente angular: Coeficiente linear:

38 PÁGINA 37 Zeros de uma função de 1.º grau Chama-se zero de uma função de 1.º grau o valor de para o qual =0. Assim, para calcular o zero da função, basta igualar a zero e resolver a equação de 1.º grau. Exemplos: Determinando o zero da função: a) = = 0 2 = 8 O zero da função é exatamente o ponto que a reta toca no eixo das abscissas (eixo ). AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! 1- Calcule o zero de cada função: a) = 3 b) = + 7 = = 4 A reta = corta o eixo no ponto ( 4, 0). c) = 5 b) = = 0 3 = 7 d) = = A reta = 3 7 corta o eixo no ponto,0.

39 PÁGINA 38 Problemas envolvendo função de 1.º grau 1- Lídia comprou um terreno retangular cujo comprimento mede 80 m. Representando por o perímetro e por a largura do terreno, responda: 2- Uma fábrica de camisas tem uma despesa diária fixa de 320 reais e mais 8 reais por camisa produzida. a) Como podemos representar a função de custo (C) em relação à quantidade de camisas produzidas? 80 m a) Como podemos representar a função entre o perímetro e a largura do terreno? b) Qual será o perímetro do terreno se a largura for 35 m? b) Se ela produzir 15 camisas, qual será o seu custo? c) Em relação ao custo, se cada uma das 15 camisas for vendida a 25 reais, ela terá lucro ou prejuízo? Quanto? d) Se ela produzir 60 camisas, qual será o seu custo? c) Qual será a largura do terreno se o perímetro for de 300 m? e) Em relação ao custo, se cada uma das 60 camisas for vendida a 25 reais, ela terá lucro ou prejuízo? De quanto?

40 PÁGINA 39 AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! 3- O gráfico que representa uma função de 1.º grau é: A) B) 1- Das funções apresentadas abaixo, qual delas é uma função de 1.º grau? (A) = 21 (B) = ³ 7 (C) = C) D) (D) = ² De acordo com a tabela, a relação que existe entre e é: (A) = 1 (B) = + 1 (C) = 1 (D) = O ponto (2, 4) pertence a qual das funções? (A) = + 2 (B) = 1 (C) = (D) = 2 2

41 PÁGINA Seja a função de 1.º grau f() =2 3.Ovalorde tal que f() =0é (A) =. (B) = 1. (C) =. (D) = Qual a função cujo gráfico passa pelo ponto (0, 0) do plano cartesiano? (A) = 5 (B) = + 2 (C) = (D) = Este gráfico representa a função definida por: (A) = 1 (B) = + 1 (C) = 1 (D) = A tarifa (t) a ser paga por uma corrida de táxi é calculada a partir dos seguintes itens: uma parte fixa, a bandeirada, que custa R$ 5,00; uma parte variável, composta pelo número de quilômetros rodados (k). Cada quilômetro rodado custa R$ 1,50. Desprezando o valor do taxímetro, quando o táxi estiver parado, qual a função que melhor expressa essa subtração? (A) t = 6,5 (B) t = 5k + 1,5 (C) t = 5 1,5k (D) t = 5 + 1,5k

42 PÁGINA 41 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS A trigonometria é considerada uma das áreas mais importantes da Matemática porque possui diversas aplicações nos estudos relacionados à Física, Geografia, Engenharia, Navegação Marítima e Aérea, Astronomia, Topografia, Cartografia, Agrimensura, entre outras. Veremos, agora, as três medidas básicas usadas na trigonometria: seno, cosseno e tangente. No triângulo retângulo, define-se: SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO seno de um ângulo agudo = FIQUE LIGADO!!! Como já vimos nas relações métricas, no triângulo retângulo, os lados recebem nomes especiais que são utilizados na formação das razões trigonométricas. Observe: cosseno de um ângulo agudo = tangente de um ângulo agudo = FIQUE LIGADO!!! Para o triângulo retângulo ABC: A hipotenusa sempre é o maior lado de um triângulo retângulo. Temos sem = cos = tg =

43 PÁGINA 42 Para facilitar, também podemos simplificar as fórmulas. Leia o quadro. sen = 2- Neste triângulo retângulo, calcule: cos = tg = AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! 1- Observe a figura e determine: a) sen = a) sen = d) sen = b) cos = b) cos = e) cos = c) tg = c) tg = f) tg =

44 PÁGINA 43 TABELA DE RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS Os estudos iniciais sobre a trigonometria são associados ao grego Hiparco que relacionou os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. Possivelmente, Hiparco construiu a primeira tabela de valores trigonométricos. Por essa razão, muitos o consideram o Pai da Trigonometria. Os estudos trigonométricos relativos ao triângulo retângulo são embasados em três relações fundamentais: seno, cosseno e tangente. Os valores trigonométricos podem ser obtidos através do uso de uma calculadora científica, que dispõe das teclas sen (seno), cos (cosseno) e tan ou tg (tangente). Para facilitar os cálculos, também poderemos dispor de uma tabela trigonométrica, como esta ao lado. AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! Com o auxílio da tabela, determine: a) sen 25º b) cos 78º c) tg 50º d) o ângulo que tem o seno igual a 0,97437.

45 PÁGINA 44 ÂNGULOS NOTÁVEIS As razões trigonométricas dos ângulos 30º, 45º e 60º aparecem, com muita frequência, nas situações-problema. Por isso, vamos organizá-las em uma tabela na forma fracionária. Leia: sen cos tg Leia, atentamente, a resolução dessas atividades: 1- Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos ângulos mede 60º: cos 60º = 1 2 = 6 2 = 6 = = 3 sen 60º = 3 2 = 6 2 = 6 3 Resposta: Os catetos possuem, como medidas, 3 cm e 3 cm. 2- Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 30º. Depois de percorrer 8 km, a que altura se encontra o avião? = = 3 3 Recordando... sen = cos = sen 30º = 1 2 = 8 2 = 8 tg = = = 4 Resposta: O avião se encontra a 4 km de altura.

46 PÁGINA 45 AGORA, ÉCOMVOCÊ!!! 1- Quando o ângulo de elevação do sol é de 65º, a sombra de um prédio mede 18 m. Qual é a altura aproximada do prédio? 2- Um paraquedista salta de um avião quando este se encontra a1500mdealtura.devidoàvelocidadedoaviãoeàaçãodo vento, o paraquedista cai no ponto P, conforme a figura abaixo. Determine a distância percorrida pelo paraquedista, se ele descesse em linha reta. DIC@ Para resolver esta situação-problema, consulte os dados na tabela da página 43.

47 PÁGINA Calcule o valor de em cada um dos triângulos apresentados a seguir: a) c) 60º º d) b) 45º DIC@ 30º e) Utilize a tabela da página º 10

48 PÁGINA A tabela mostra a idade dos alunos que se matricularam em uma academia de ginástica durante o mês de janeiro desse ano. Idade (em anos) Número de alunos a) Construa um gráfico de colunas com os dados da tabela ao lado Número de alunos Idade b) Quantos alunos se matricularam, em janeiro, nessa academia? c) Na academia, qual a idade dos alunos que se matricularam em maior número, no mês de janeiro?

49 PÁGINA A Professora Regina dá aula na turma Ela elaborou um teste que valia 5 pontos. O gráfico de coluna, apresentado abaixo, mostra as notas dos alunos: 3- O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realizou uma análise sobre a taxa de desemprego no Brasil, dos anos de 2002 a Esta análise gerou o seguinte gráfico: NÚMERO DE ALUNOS NOTA a) De acordo com o gráfico, quantos alunos tiraram nota 3?. E nota um?. TAXA DE DESEMPREGO (%) ,5 10,9 9,6 8,4 6,8 7,6 7, ANO b) Complete a tabela com os dados do gráfico: Notas Nº de alunos c) Se todos os alunos da turma fizeram o teste, quantos alunos há nessa turma? 1 De acordo com o gráfico, podemos afirmar que a) o ano de teve a maior taxa de desemprego desse período. b) o maior número de habitantes empregados, nesse período, foi em. c) a maior queda na taxa de desemprego, em relação ao ano anterior, foi no ano de.

50 PÁGINA 49 Recapitulando Seu José cobra, por um frete, uma taxa fixa de R$ 250,00 mais R$ 10,00 por quilômetro rodado. A função f que melhor representa esta relação é 3- O gráfico que representa uma função de 1.º grau é (A) (B) (A) f() = (B) f() = (C) f() = (D) f() = Os vértices da figura, que se encontram nesse plano cartesiano, estão localizados nos pontos (C) (D) (A) ( 4, 2),( 3,1),(1,1),(0, 2) (B) ( 4, 2),(3, 1),(1,1),(0, 2) 4- Seja f uma função de A em B: (C) ( 4, 2),( 3,1),(1,1),(2, 2) (D) ( 4,2),( 3, 1),(1,1),(2, 2) Os elementos do domínio são (A) {32, 64} (B) {2, 4, 8} (C) {4, 8, 16} (D) {4, 8, 10, 16, 32}

51 PÁGINA Uma função definida por f() =3 6,tem,comozeroda função, o número (A) 2. (B) 3. (C) 6. (D) Dada a função definida por f() =5 30, podemos afirmar que o valor da imagem para =0é (A) 30. (B) 0. (C) 5. (D) Observando o plano cartesiano, podemos afirmar que o ponto M tem, como coordenadas, (A) ( 3, 2) (B) ( 2, 2) (C) (2, 2) (D) (2, 3) 7- Qual das funções apresentadas abaixo é de 1.º grau e decrescente? (A) = 2 3 (B) = 3² No começo desse ano, o foguete fabricado no Brasil, VS- 30/Orion, lançou, com sucesso, o experimento atmosférico europeu ICI-4. O lançamento foi realizado da base de Andoa, na Noruega. Lendo a figura apresentada abaixo, podemos afirmar que a altura alcançada, quando ele percorrer 2 mil metros (para 3 = 1,7) será de, aproximadamente, (A) m. (B) m. (C) m. (D) m. (C) = 5 (D) = 3 + 4

52 PÁGINA Podemos afirmar que o único ponto que pertence à função representada no gráfico ao lado é 12- O único diagrama que representa uma função de A para B é (A) (2, 3). (B) (0, 2). (C) (0, 2). (D) ( 2, 2) (A) (B) 11- Um submarino desce num ângulo constante de 45º. Conforme a figura abaixo, a que profundidade ele se encontra? (A) 2 km. (B) 3 km. (C) 5 km. (D) 7 km. (C) (D)

53 PÁGINA 52 Questões baseadas na Prova Brasil. 3- Se fizermos um molde de um copo, em cartolina, na forma de um cilindro de base circular, qual deve ser a sua planificação? 1- Paguei R$ 75,00 por um par de chuteiras e uma bola. Se eu tivesse pago R$ 8,00 a menos, pelo par de chuteiras e R$ 7,00 a mais pela bola, seus preços teriam sido iguais. (A) (B) O sistema de 1.º grau, que melhor expressa essa situaçãoproblema, é (A) =75 8=7 (B) =75 8=7 (C) (D) (C) = = 75 (D) =75 8= 7 2- Na gasolina comum, são adicionados 2 litros de etanol para cada 10 litros de gasolina. Então, quantos litros de etanol são necessários para serem adicionados em 40 litros de gasolina para se manter a proporção? 4- O menor ângulo, formado pelos ponteiros de um relógio, às 3 horas, mede, (A) 15º. (B) 90º. (C) 120º. (A) 8 litros. (B) 9 litros. (D) 270º. (C) 10 litros. (D) 11 litros. Glossário: etanol álcool usado como combustível de automóveis.

54 PÁGINA Ao alugar um veículo, geralmente há duas situações que precisam ser avaliadas: uma depende do número de dias (D) que você aluga o carro e a outra, do número de quilômetros (Q) que você rodará com ele. A locadora Aluga Rápido oferece as seguintes condições: R$ 35,00 por dia e mais R$ 0,20 por quilômetro (Km) rodado. A fórmula a seguir fornece o custo (C) do aluguel. C = 35 D + 0,20 Q 6- As figuras mostradas abaixo estão organizadas dentro de um padrão que se repete. Observe: (n = 1) (n = 2) (n = 3) Mantendo essa disposição, a expressão algébrica que representa o número de quadradinhos Q em função da ordem n (n = 1, 2, 3,...) é: (A) Q = n. (B) Q = n 2. (C) Q = n (D) Q = n Roberto alugou por 10 dias (D) e rodou km (Q). O custo do aluguel foi de: (A) R$ 1.350,00. (B) R$ 750,00. (C)R$ 550, (Prova Brasil - adaptada) O desenho de uma escola foi feito na escala: 1:100. A representação do desenho ficou com 10 cm de altura. Qual é a altura real, em metros, dessa escola? (A) 1 m. (B) 5 m. (C) 10 m. (D) 100 m. (D)R$ 350,00.

55 PÁGINA Um fazendeiro possui uma área destinada à criação de bois. Essa área assemelha-se a um retângulo com dimensões de m por m. 9- Comprei uma bicicleta à prestação. De entrada, dei R$ 75,00, que correspondem a 25% do preço da bicicleta. Portanto, o preço total da bicicleta é (A) R$ 300, m m (B) R$ 250,00. (C) R$ 200,00. (D) R$ 100,00. Sabendo-se que a cada m², cabem 10 bois, o número máximo de bois que esse fazendeiro pode ter, nessa área, é de (A) bois. 10- Imagine um jogo em que um participante deve adivinhar a localização de algumas peças, desenhadas em um tabuleiro, que está nas mãos do outro jogador. Observe um desses tabuleiros em que há uma peça desenhada: (B) bois. (C) bois. (D) bois. OBMEP NÍVEL 3 Dados dois números reais e considere = ² + ². Quanto vale 1 0? (A) 2. (B) 1. (C) 0. (D) 1. (E) 2. A sequência de comandos que acerta as quatro partes da peça desenhada é: (A) D4, E3, F4, E4. (B) D4, E4, F4, E5. (C) D4, E3, F3, E4. (D) D4, E3, F4, E5.

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