Neste cap ³tulo, apresentamos uma introdu»c~ao µa l ogica, que nos ser a su ciente como ferramenta de trabalho nos cap ³tulos posteriores.

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1 1 L ogica Elementar Neste cap ³tulo, apresentamos uma introdu»c~ao µa l ogica, que nos ser a su ciente como ferramenta de trabalho nos cap ³tulos posteriores. 1.1 Proposi»c~oes e seus conectivos Oestudodal ogica e o estudo dos princ ³pios e m etodos usados para distinguir argumentos v alidos dos n~ao v alidos. O prop osito deste cap ³tulo preliminar em l ogica e ajudar o leitor a entender os princ ³pios e m etodos usados em cada passo de uma demonstra»c~ao. O ponto de partida em l ogica e o termo \proposi»c~ao", que e usado num sentido t ecnico. Por uma proposi»c~ao queremos dizer uma declara»c~ao que e verdadeira ou falsa, mas n~ao ambos. N~ao e necess ario que saibamos se a proposi»c~ao e verdadeira ou falsa; a unica quali ca»c~ao exigida e que ela deve ser de nitivamente uma coisa ou outra. Habitualmente, podemos determinar imediatamente se uma proposi»c~ao e verdadeira ou falsa, mas em alguns casos um pouco de esfor»co e preciso, e em outros casos pode ser imposs ³vel chegar a uma conclus~ao. Os seguintes exemplos dever~ao ilustrar o que queremos dizer. Exemplo 1.1 Cada uma das seguintes frases e uma proposi»c~ao. (a) Londrina e uma cidade no estado do Paran a. (b) 2+1 e 5. (c) O d ³gito na 105 a casa decimal, na expans~ao decimal de p 3, e 7. (d) A lua e feita de queijo mineiro. (e) N~ao h a vida inteligente em Marte. (f) Est a chovendo. Claramente, (a) e verdadeira, enquanto (b) e (d) s~ao falsas. Podemos ter d uvidas quanto ao status (verdadeiro ou falso) de (c) e (e). A veracidade ou falsidade da senten»ca (f) depende das condi»c~oes meteorol ogicas no instante em que essa declara»c~ao e feita. 1

2 2 L ogica Elementar Exemplo 1.2 Nenhuma das frases seguintes e uma proposi»c~ao, porque n~ao faz sentido questionar se alguma delas e verdadeira ou falsa. (a) Venha µa nossa festa! (b) Tudo bem com voc^e? (c) Tiau, benzinho. As proposi»c~oes do Exemplo 1.1 s~ao todas proposi»c~oes simples. Umacombina»c~ao de duas ou mais proposi»c~oes e umaproposi»c~ao composta. Porexemplo, \2+1 e 5 e od ³gito na 105 a casa decimal na expans~ao decimal de p 3 e 7" e uma proposi»c~ao composta. Estamos familiarizados com o uso de letras para representar n umeros na algebra. No estudo da l ogica usamos letras, tais como p, q, r, ::: para representar proposi»c~oes. Uma letra, tal como p, pode representar uma proposi»c~ao simples ou composta. A menos que digamos em contr ario, usaremos letras mai usculas P, Q, R, ::: para representar proposi»c~oes compostas. Existem muitos modos de se ligar proposi»c~oes tais como p, q, r, ::: para formar proposi»c~oes compostas, mas apenas cinco modos s~ao usados freqäuentemente. Estes cinco conectivos comuns s~ao (a) \n~ao", simbolizado por»; (b) \e", simbolizado por ^; (c) \ou", simbolizado por _; (d) \se ::: ent~ao ::: ", simbolizado por!; e(e)\::: seesomentese::: ", simbolizado por $. Nesta se»c~ao discutiremos os conectivos» e ^, adiando os demais conectivos, _,!, e $, at e apr oxima se»c~ao. Seja p uma proposi»c~ao. A proposi»c~ao» p, lida \n~ao p" ou\anega»c~ao de p", e verdadeira quando a proposi»c~ao p e falsa, e e falsa quando p e verdadeira. Por exemplo, seja p aproposi»c~ao \Este e umcursof acil". Ent~ao sua nega»c~ao» p representa \Este n~ao e umcursof acil". A verdade de» p depende da verdade de p. E conveniente anotar essa depend^encia em uma tabela verdade: Tabela 1.1: p V F» p F V na qual as letras V e F signi cam \verdadeiro" e \falso", respectivamente. Na primeira coluna da tabela 1.1, listamos os dois poss ³veis valores l ogicos da proposi»c~ao p, sendo eles V e F. Cada linha em uma tabela verdade representa um caso que deve ser considerado, e claramente, nesta situa»c~ao bastante simples, h a apenas dois casos. Usando as linhas da Tabela 1.1 vemos que se p e verdadeira ent~ao» p e falsa, e se p e falsa, ent~ao» p e verdadeira. ConseqÄuentemente, a Tabela 1.1 nos diz o valor verdade 1 de» p em cada caso. 1 ou valor l ogico (N. do T.)

3 L ogica Elementar 3 De ni»c~ao 1.1 Oconectivo^ pode ser colocado entre duas proposi»c~oes p e q para formar uma proposi»c~ao composta p ^ q cujos valores verdade s~ao dados na seguinte tabela verdade. Tabela 1.2: p q p ^ q V V V V F F F V F F F F Os ³mbolo p ^ q e lido \p e q" ou\conjun»c~ao de p e q". Por exemplo, seja p aproposi»c~ao \O c eu e azul"esejaq aproposi»c~ao \As rosas s~ao vermelhas". Ent~ao a conjun»c~ao p ^ q representa \O c eu e azul e as rosas s~ao vermelhas". Numa proposi»c~ao composta, tal como p ^ q, asproposi»c~oes individuais p e q s~ao chamadas componentes. Uma componente pode ser uma proposi»c~ao simples ou uma proposi»c~ao composta. Numa proposi»c~ao composta com duas componentes, tal como p ^ q, existemnom aximo 4 (= 2 2) possibilidades, chamadas possibilidades l ogicas, a serem consideradas; sendo elas: (1) p e verdadeira e q e verdadeira; (2) p e verdadeira e q e falsa; (3) p e falsa e q e verdadeira; (4) p e falsa e q e falsa. Cada uma destas quatro possibilidades e coberta nas quatro linhas da Tabela 1.2. A ultima coluna d a os valores verdade de p ^ q. Uma inspe»c~ao mostra que p ^ q e verdadeira em apenas um caso. Isto e, p ^ q e verdadeira quando ambas as componentes s~ao verdadeiras, e nos outros tr^es casos p ^ q e falsa. O leitor sensato perceber a que a Tabela 1.2 re ete o modo pelo qual a conjun»c~ao \e" e usada no portugu^es cotidiano. Usando as Tabelas 1.1 e 1.2, podemos encontrar valores verdade de proposi»c~oes complicadas envolvendo os conectivos» e ^. Exemplo 1.3 Construa a tabela verdade para a proposi»c~ao composta» [(» p) ^ (» q)] Solu»c~ao. Se o m etodo usado na constru»c~ao da Tabela 1.3 n~ao e obvio, uma palavra de explica»c~ao pode ajudar. Os cabe»calhos s~ao selecionados de modo que a proposi»c~ao composta ( ultima coluna) e gradualmente constru ³da apartirdesuasv arias componentes.

4 4 L ogica Elementar Tabela 1.3: p q» p» q (» p) ^ (» q)» [(» p) ^ (» q) V V F F F V V F F V F V F V V F F V F F V V V F Passo As duas primeiras colunas simplesmente registram todos os casos para os valores verdade de p e q. Usamosent~ao a Tabela 1.1 para obter as entradas nas terceira e quarta colunas, os valores verdade correspondentes para» p e» q. No pr oximo passo usamos as entradas das terceira e quarta colunas e a Tabela 1.2 para obter as entradas na quinta coluna. Finalmente, as entradas da quinta coluna e a Tabela 1.1 d~ao as entradas na sexta coluna os valores verdade de» [(» p) ^ (» q)]. O estudante aplicado deveria agora copiar esta ultima proposi»c~ao composta, fechar o livro, e tentar reproduzir a Tabela 1.3. Aproposi»c~ao no exemplo acima,» [(» p) ^ (» q)], usapar^enteses e colchetes para indicar a ordem segundo a qual os conectivos se aplicam. FreqÄuentemente, uma express~ao pode ser simpli cada se pudermos eliminar alguns dos par^enteses ou colchetes. Aconven»c~ao habitual e concordar que» tem prioridade sobre ^, isto e, o conectivo» deve ser aplicado primeiro. Assim, por exemplo, a express~ao (» p) ^(» q) e simpli cada na forma» p ^»q Exerc ³cios Nos problemas de 1 a 10, uma senten»ca em portugu^es e dada. Determine se a senten»ca e uma proposi»c~ao (S) ou n~ao (N). 1. Em 7 de junho de 1442 nevou em algum lugar no Rio Grande do Sul. 2. Arist oteles tinha p es chatos. 3. O socialismo est a errado. 4. O homem mais rico do mundo e o Sr. Malagutti, de S~ao Carlos. 5. Joana e Pedro s~ao pessoas boas. 6. Quanto vale este carro? 7. Saia da grama. 8.Usesemprecintodeseguran»ca. 9. O n umero e primo. 10. Beethoven escreveu algumas das m usicas de Chopin. 11. Dentre as proposi»c~oes dadas nos problemas de 1 a 10, indique aquelas que voc^e acha que devem ser verdadeiras (V) ou falsas (F), eaquelascujostatuspodeserdif ³cil determinar.

5 L ogica Elementar 5 Nosproblemas12a19encontreastabelasverdadedasproposi»c~oes dadas. Use o formato da Tabela 1.1 ou da Tabela 1.2 para os dois ou quatro casos respectivamente. 12.» (» p) 13.» [» (» p)] 14. p ^ p 15.» (p ^»p) 16. p ^»q 17.» p ^ q 18. (p ^ p) ^»p 19.» (p ^ q) 20. Numa proposi»c~ao composta, envolvendo tr^es componentes distintas p, q e r, quantos casos s~ao necess arios para cobrir todas as possibilidades l ogicas? Quantos casos s~ao necess arios se houver quatro componentes distintas? Quantos casos s~ao necess arios se houver n componentes distintas? 21. O seguinte e uma tentativa de arranjar todos os casos em uma tabela verdade, para uma proposi»c~ao envolvendo tr^es componentes p, q, er. Complete o trabalho inacabado. p q r V V V V F V V V F V V V F F F F F Nos problemas 22 a 25, encontre as tabelas verdade para as proposi»c~oes dadas. Use o padr~ao desenvolvido no problema 21 para os v arios casos. 22. (p ^ q) ^ r 23. p ^ (q ^ r) 24. (p ^»q) ^ r 25.» q ^ (r ^ p) 1.2 Tr^es conectivos mais Na l ³ngua portuguesa h a umaambigäuidade envolvida no uso do \ou". A proposi»c~ao \Obterei grau de mestre ou grau de doutor" indica que quem o a rma pode obter ambos, o grau de mestre e o de doutor. Mas em outra proposi»c~ao, \Me casarei com L ³via ou L ucia", a palavra \ou" signi ca que apenas uma das duas mo»cas ser a escolhida. Na matem atica e na l ogica, n~ao podemos permitir ambigäuidades. Portanto, devemos nos decidir sobre o signi cado da palavra \ou".

6 6 L ogica Elementar De ni»c~ao 1.2 O conectivo_ pode ser colocado entre duas proposi»c~oes quaisquer p e q para formar a proposi»c~ao composta p _ q. Os valores verdade de p _ q s~ao de nidos na Tabela 1.4. Portanto _ e de nido como sendo o \ou" inclusivo, tal como usado na primeira proposi»c~ao acima. Tabela 1.4: p q p _ q V V V V F V F V V F F F Os ³mbolo p_q e lido \p ou q" oua\disjun»c~ao de p e q". Repare que a conjun»c~ao de p e q e verdadeira apenas quando as duas componentes s~ao ambas verdadeiras (Tabela 1.2), enquanto que a disjun»c~ao e falsa quando e apenas quando as duas componentes s~ao falsas (Tabela 1.4). Comparemos as tabelas verdade de p _ q e» (» p ^»q), nas Tabelas 1.3 e 1.4. Notamos que em cada caso a ultima coluna e VVVF, de modo que estas duas proposi»c~oes tem os mesmos valores verdade em cada uma das quatro possibilidades l ogicas. Mostrar que certas proposi»c~oes tem os mesmos valores verdade em cada caso e uma parte importante da l ogica. Na verdade, a l ogica trata duas tais proposi»c~oes como sendo uma s o. De ni»c~ao 1.3 Quando duas proposi»c~oes P e Q, simples ou compostas, tem os mesmos valores verdade em cada uma de todas as possibilidades l ogicas, dizemos que P e logicamente equivalente ou simplesmente equivalente a Q, e escrevemos P Q. Resumidamente, duas proposi»c~oes s~ao logicamente equivalentes desde que tenham a mesma tabela verdade. Portanto, temos p _ q»(» p ^»q) Embora duas proposi»c~oes equivalentes sejam consideradas como a mesma, do ponto de vista da l ogica, preferimos a proposi»c~ao mais simples \p ou q" em vez da proposi»c~ao equivalente mais complicada \N~ao e verdade que nem p e nem q". De ni»c~ao 1.4 O conectivo! e chamado condicional e pode ser colocado entre duas proposi»c~oes p e q para formar a proposi»c~ao composta p! q (lida: \se p ent~ao q"). Por de ni»c~ao, a proposi»c~ao p! q e equivalente µa proposi»c~ao» (p ^»q), e os valores verdade de p! q s~ao dados na Tabela 1.5.

7 L ogica Elementar 7 Tabela 1.5: Caso p q» q p^»q p! q [»(p^»q)] 1 V V F F V 2 V F V V F 3 F V F F V 4 F F V F V A motiva»c~ao da De ni»c~ao 1.4 e a seguinte. Sejam p aproposi»c~ao \O sol est a brilhando" e q aproposi»c~ao \Eu estou jogando t^enis". Ent~ao a proposi»c~ao composta p! q e \Seosolest a brilhando ent~ao eu estou jogando t^enis". Agora, quando e que uma tal proposi»c~ao 'considerada falsa? Claramente p! q e falsa se o sol est a brilhando mas eu n~ao estou jogando t^enis, e apenas neste caso. Em outras palavras p! q e falsa se p ^»q e verdadeira, a apenas neste caso. Mas isto e precisamenteade ni»c~ao 1.4. Estudaremos agora a tabela verdade de p! q, isto e, de» (p ^»q). Conforme a De ni»c~ao 1.4, o signi cado da proposi»c~ao condicional p! q afasta-se radicalmente do nosso uso ordin ario de \Se p ent~ao q". Na nossa linguagem ordin aria, 2 uma senten»c~ao da forma \Se p ent~ao q" e considerada como querendo dizer que q e verdadeira sempre que p e verdadeira. Portanto os casos em que p e falsan~ao precisam ser considerados. Por exemplo, a proposi»c~ao \Se Collor atirou em Figueiredo, ent~ao Itamar foi o primeiro presidente" e considerada sem sentido, pois ambas as componentes s~ao falsas. ConseqÄuentemente, no uso ordin ario n~ao se questiona se uma proposi»c~ao componente e verdadeira. Ao criar a linguagem formal, o l ogico deseja designar um valor verdade a p! q para cada uma das quatro possibilidades l ogicas, muito embora dois dos casos pare»cam ser sem sentido em nossa linguagem ordin aria. Por v arias raz~oes, que aparecer~ao no tempo devido, os l ogicos decidiram-se pela de ni»c~ao adotada aqui. Portanto, em nossa linguagem formal, p! q e verdadeira em todos os casos exceto no caso 2 (veja Tabela 1.5). Como conseqäu^encia desse acerto, seremos capazes de demonstrar alguns teoremas uteis bastante simples, cujas demonstra»c~oes, sem tal acerto, seriam desajeitadas ou muito dif ³ceis. Introduzimos agora o ultimo dos cinco conectivos mais comuns, um que aparece freqäuentemente nos enunciados (proposi»c~oes) de teoremas matem aticos. De ni»c~ao 1.5 O conectivo $ e chamado o bicondicional e pode ser colocado entre duas proposi»c~oes p e q para formar a proposi»c~ao composta p $ q (lida: \p se e somente se q"). A proposi»c~ao p $ q e equivalente µa proposi»c~ao (p! q) ^ (q! p), e os valores verdade de p $ q s~ao dados na Tabela Em oposi»c~ao µa \linguagem ordin aria", l ogica e chamada uma linguagem formal.

8 8 L ogica Elementar Exemplo 1.4 Encontre a tabela verdade para p $ q. Solu»c~ao. Seguindo o m etodo descrito anteriormente, obtemos a Tabela 1.6. Tabela 1.6: Caso p q p! q q! p p $ q [ (p! q) ^ (q! p)] 1 V V V V V 2 V F F V F 3 F V V F F 4 F F V V V Passo Da tabela verdade acima, observamos que p $ q e verdadeira se ambas as componentes s~ao verdadeiras ou ambas as componentes s~ao falsas. Em qualquer outro caso (casos 2 e 3) a proposi»c~ao p $ q e falsa Exerc ³cios Nos problemas de 1 a 12,construa as tabelas verdade para as proposi»c~oes dadas. 1. p _»p 2.» (p _»p) 3.» (» p _»q) 4.» p _ q 5. (» q)! (» p) 6. q $ p 7. p ^ (q _ r) 8. (p ^ q) _ (p ^ r) 9. p _ (q ^ r) 10. (p _ q) ^ (p _ r) 11.(p _ q) _ r 12. p _ (q _ r) 13. E a proposi»c~ao (» q)! (» p) (Problema 5) logicamente equivalente µa proposi»c~ao p! q? 14. E a proposi»c~ao» p _ q (Problema 4) logicamente equivalente µa proposi»c~ao p! q? 15. Dentre as proposi»c~oes nos Problemas 1 a 12, encontre os pares de proposi»c~oes logicamente equivalentes. 16. Em cada um dos seguintes itens, traduza a proposi»c~ao composta dada em uma forma simb olica usando os s ³mbolos sugeridos. (a) N~ao ocorre que eu seja amig avel a voc^e. (A) (b) Se ela e uma gata, ent~ao ela tem quatro pernas. (G; P ) (c) O pre»co do arroz aumenta se e somente se o suprimento de arroz n~ao atende µa demanda. (P; S) (d)ou os grandes laborat orios reduzem os pre»cos ou o governo intervir a. (L; G) (e) Se a exporta»c~ao de carne aumentar ou se a produ»c~ao pecu aria decair, ent~ao o custo de vida subir a. (E;P;C)

9 L ogica Elementar Tautologia, implica»c~ao e equival^encia Examinemos a tabela verdade para a proposi»c~ao p _»p: Tabela 1.7: p» p p _»p V F V F V V Reparemos que a proposi»c~ao p _»p e verdadeira em todos os casos, isto e, em todas as possibilidades l ogicas. Tal tipo importante de proposi»c~ao merece um nome especial. De ni»c~ao 1.6 Uma proposi»c~ao e dita ser uma tautologia quando e verdadeira em cada uma de todas as possibilidades l ogicas. Sejam P e Q duas proposi»c~oes, compostas ou simples. Se a proposi»c~ao condicional P! Q e uma tautologia, a proposi»c~ao e chamada uma implica»c~ao e e denotadaporp ) Q (l^e-se: P implica Q). Assim as seguintes proposi»c~oes condicionais s~ao tautologias: (1) p! p. (2) p ^ q! q ^ p. (3) p! p ^ p. (4) p ^ q! q. 3 Na l ogica ou na matem atica, \teoremas" signi cam proposi»c~oes verdadeiras, e uma \demonstra»c~ao" (de um teorema) e uma justi ca»c~ao do teorema. Teorema 1.1 Sejam p e q duas proposi»c~oes quaisquer. Ent~ao (a) Lei da Adi»c~ao (Ad.): p ) p _ q. (b) Leis de Simpli ca»c~ao (Simp.): p ^ q ) p, p ^ q ) q. (c) Silogismo Disjuntivo (S.D.): (p _ q) ^»p ) q. Demonstra»c~ao. Deixamos as demonstra»c~oes de (a) e (b) ao leitor, como exerc ³cios. A seguinte e uma tabela verdade simpli cada para (p _ q) ^»p! q: Tomemos um instante para explicar a constru»c~ao da tabela verdade simpli cada: Os valores verdade na Tabela 1.8 s~ao atribu ³dos, coluna por coluna, na ordem indicada 3 Consideraremos _ e ^ como conectivos priorit arios em rela»c~ao a! e $, e escreveremos p! p _ q em lugar de p! (p _ q), etc.vejatamb em o ultimo par agrafo da se»c~ao 1.1

10 10 L ogica Elementar Tabela 1.8: (p _ q) ^» p! q V V V F F V V V V F F F V F F V V V V V V F F F F V V F Passo pelos n umeros que aparecem na ultima linha da tabela. Em uma tabela verdade simpli cada, escrevemos os valores verdade diretamente, primeiro sob cada componente e ent~ao sob os conectivos. Isto poupa espa»co e tempo. Agora, retornando µa demonstra»c~ao do teorema, como o passo nal (passo 4) na Tabela 1.8 consiste s o dev 's, a proposi»c~ao condicional (p _ q) ^»p! q e defato uma implica»c~ao. Se a proposi»c~ao bicondicional P $ Q for uma tautologia, ela e chamada uma equival^encia e edenotadaporp, Q (leia-se: P e equivalente a Q). Da de ni»c~ao 1.5 e da Tabela 1.6, P, Q se P e Q tem os mesmos valores verdade em cada uma de todas as possibilidades l ogicas, e reciprocamente, P e Q tem os mesmos valores verdade em cada uma de todas as possibilidades l ogicas se P, Q. Portanto, pela de ni»c~ao 1.3, P, Q e P Q tem o mesmo signi cado, e portanto podemos trocar, por evice-versa. Teorema 1.2 Sejam p e q duas proposi»c~oes quaisquer. Ent~ao (a) Lei da Dupla Nega»c~ao (D.N.):» (» p) p. (b) Leis Comutativas (Com.): p ^ q q ^ p, p _ q q _ p, (c)leisdeidempot^encia (Idemp.): p ^ p p, p _ p p, (d) Lei Contrapositiva (Contrap.): (p! q) (» q!»p). Demonstra»c~ao. Deixaremos as demonstra»c~oes das partes (a), (b) e (c) para o leitor, como exerc ³cios, e delinearemos a demonstra»c~ao de (d). Temos a seguinte tabela verdade simpli cada para a proposi»c~ao bicondicional (p! q) $ (» q!»p):

11 L ogica Elementar 11 Tabela 1.9: (p! q) $ (» q!» p) V V V V F V V V F F V V F F F V V V F V V F V F V V V V Passo Logo, a Tabela 1.9 mostra que p $ q e equivalente a» q!»p. O seguinte teorema, creditado a Augustus De Morgan (1806{1871), e uma das ferramentas mais convenientes da l ogica. Teorema 1.3 (Leis de De Morgan (De M.)) Sejam p e q duas proposi»c~oes quaisquer. Ent~ao» (p ^ q)» p _»q; e» (p _ q)» p ^»q: Demonstra»c~ao. Demonstraremos a primeira parte deste teorema e deixaremos a outra parte ao leitor, como exerc ³cio. Constru ³mos uma tabela verdade simpli cada para a bicondicional» (p ^ q) $ (» p _»q): Tabela 1.10:» (p ^ q) $ (» p _» q) F V V V V F F F V V F F V F V V V F F V V V V F V F F F V V V V Passo A tabela verdade acima mostra que» (p ^ q) e equivalente a» p _»q. Teorema 1.4 Sejam p, q e r proposi»c~oes quaisquer. Ent~ao (a) Leis Associativas (Assoc.): (p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r) (p _ q) _ r p _ (q _ r) (b) Leis Distributivas (Dist.): p ^ (q _ r) (p ^ q) _ (p ^ r) p _ (q ^ r) (p _ q) ^ (p _ r) (c) Lei Transitiva (Trans.): (p! q) ^ (q! r) ) (p! r).

12 12 L ogica Elementar Demonstra»c~ao. Deixaremos as demonstra»c~oes das Leis Associativas e da segunda Lei Distributiva para o leitor, como exerc ³cios. Demonstremos que p ^ (q _ r) (p ^ q) _ (p ^ r). Como isto envolve tr^es componentes, existem 2 3 =8possibilidades l ogicas a considerar. A seguinte tabela verdade mostra que p ^ (q _ r) e (p ^ q) _ (p ^ r) tem os mesmos valores verdade em cada uma das oito possibilidades l ogicas. Portanto, p ^ (q _ r) e (p ^ q) _ (p ^ r) s~ao equivalentes. Tabela 1.11: p q r q _ r p^ q p^ r p ^ (q _ r) (p ^ q) _ (p ^ r) V V V V V V V V V V F V V F V V V F V V F V V V V F F F F F F F F V V V F F F F F V F V F F F F F F V V F F F F F F F F F F F F Por simplicidade e por economia de espa»co, constru ³mos uma tabela verdade simpli cada, como apresentado na Tabela 1.8, para (p! q) ^ (p! r)! (p! r). Tabela 1.12: (p! q) ^ (q! r)! (p! r) V V V V V V V V V V V V V V F V F F V V F F V F F F F V V V V V V V F F F F V F V V F F F V V V V V V V F V V F V V F V F F V F V F F V F V F V V V F V V F V F V F V F V F V F Passo Como o ultimo passo (passo 4) consiste inteiramente de valores V, a Lei Transitiva est a demonstrada. Por causa das Leis Associativas, os par^enteses em (p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r) e

13 L ogica Elementar 13 (p _ q) _ r p _ (q _ r) tornam-se desnecess arios, e as express~oes p ^ q ^ r e p _ q _ r tem agora signi cados de nidos, bem como p 1 ^ p 2 ^ ^p n e p 1 _ p 2 _ _p n. Teorema 1.5 Sejam p, q, r e s proposi»c~oes quaisquer. Ent~ao (a) Dilemas Construtivos (D.C.): (p! q) ^ (r! s) ) (p _ r! q _ s); (p! q) ^ (r! s) ) (p ^ r! q ^ s): (b) Dilemas Destrutivos (D.D.): (p! q) ^ (r! s) ) (» q _»s!»p_»r); (p! q) ^ (r! s) ) (» q ^»s!»p^»r): Demonstra»c~ao. Ademonstra»c~ao do Teorema 1.5 e deixada ao leitor como exerc ³cio. Teorema 1.6 Sejam p e q duas proposi»c~oes. Ent~ao (a) Modus Ponens (M.P.): (p! q) ^ p ) q. (b) Modus Tolens (M.T.): (p! q) ^»q )»p. (c) Reductio ad Absurdum (R.A.): (p! q), (p ^»q! q ^»q). Demonstra»c~ao. Exerc ³cio Exerc ³cios 1.Demonstreaspartes(a)e(b)doTeorema Demonstreaspartes(a),(b)e(c)doTeorema Demonstre que» (p _ q)»p ^»q. 4. Demonstre a parte (a) do Teorema Demonstre que p _ (q ^ r) (p _ q) ^ (p _ r). 6. Demonstre que (p! q) ) (p ^ r! q ^ r). 7. Demonstre que (p $ q) (p ^ q) _ (» p ^»q). 8. Usando as Leis de De Morgan, escreva em linguagem ordin aria a nega»c~ao da proposi»c~ao \Esta fun»c~ao tem uma derivada ou eu sou burro." 9. Demonstre as seguintes Leis de De Morgan para tr^es componentes. (a)» (p ^ q ^ r)»p _»q _»r (b)» (p _ q _ r)»p ^»q ^»r. 10. Pode voc^e generalizar, sem demonstra»c~ao, as Leis de De Morgan para n componentes? Veja o Problema 9 para n = Demonstre as seguintes Leis de Absor»c~ao. (a) p ^ (p _ r) p (b) p _ (p ^ q) p 12. Demonstre o Teorema Demonstre o Teorema 1.6.

14 14 L ogica Elementar 1.4 Contradi»c~ao Em contraste com as tautologias, h a proposi»c~oes cujos valores verdade s~ao todos F, para cada uma das possibilidades l ogicas. Tais proposi»c~oes s~ao chamadas contradi»c~oes. Por exemplo, p ^»p e uma contradi»c~ao. E obvio que se t e uma tautologia, ent~ao» t e uma contradi»c~ao; reciprocamente, se c e uma contradi»c~ao, ent~ao» c e uma tautologia. Teorema 1.7 Sejam t, c e p, uma tautologia, uma contradi»c~ao e uma proposi»c~ao arbitr aria, respectivamente. Ent~ao (a) p ^ t, p, p _ t, t. (b) p _ c, p, p ^ c, c. (c) c ) p, ep ) t. Demonstra»c~ao. (a) A seguinte tabela verdade para p ^ t $ p mostra que p ^ t e equivalente a p. Tabela 1.13: p ^ t $ p V V V V V F F V V F Passo A outra equival^encia, p _ t, t, pode ser demonstrada analogamente. (b) Da seguinte tabela verdade, conclu ³mos que a proposi»c~ao condicional p_c $ p e uma tautologia, e portanto p _ c, p. Tabela 1.14: p _ c $ p V V F V V F F F V F Passo Ademonstra»c~ao de p ^ c, p e similar.

15 L ogica Elementar 15 (c) As tabelas verdade de c! p e p! t mostram que as duas proposi»c~oes s~ao tautologias, logo c ) p e p ) t. Tabela 1.15: c! p F V V F V F p! t V V V F V V No restante deste livro, os ³mbolo c, com ou sem ³ndice, denotar a uma contradi»c~ao; e o s ³mbolo t, com ou sem ³ndice, denotar a uma tautologia Exerc ³cios 1. Demonstre que p _ t, t e p ^ c, c. 2. Demonstre que» t, c e» c, t. 3. Demonstre a seguinte Reductio ad Absurdum. (p ^»q! c), (p! q) 4. Demonstre que p ^ (p! q) ^ (p!»q), c. 5. Demonstre que (p! q) ) (p _ r! q _ r), para qualquer proposi»c~ao r. 1.5 Racioc ³nio dedutivo As 17 leis sumarizadas nos Teoremas de 1.1 a 1.6 s~ao ferramentas muito uteis para justi car equival^encias l ogicas e implica»c~oes, como ilustrado nos Exemplos de 1.5 a 1.7. Chamaremos estas 17 leis de regras de infer^encia. Chamamos a aten»c~ao para o fato de que estas regras foram selecionadas como refer^encias convenientes e n~ao precisam ser independentes entre si. Por exemplo, a Lei Contrapositiva pode ser estabelecida \dedutivamente" pelo uso de outras leis e de de ni»c~oes relevantes, como mostra o pr oximo exemplo. Exemplo 1.5 Demonstre a Lei Contrapositiva, (p! q) (» q!» p), usando de ni»c~oes relevantes e outras regras de infer^encia. Solu»c~ao. (p! q)»(p^»q) Def. 1.4»(» q ^ p) Com.»[» q ^»(» p)] D.N. (» q!»p) Def. 1.4

16 16 L ogica Elementar Portanto, (p! q) (» q!»p), pela Lei Transitiva. Om etodo de demonstra»c~ao usado no Exemplo 1.5 e chamadoracioc ³nio dedutivo 4 ou m etodo dedutivo, e difere do m etodo de demonstra»c~ao por tabelas verdade. Em geral, no racioc ³nio dedutivo, quaisquer axiomas, de ni»c~oes, teoremas e regras de infer^encia, previamente enunciados, podem ser usados. Exemplo 1.6 Prove o Silogismo Disjuntivo por racioc ³nio dedutivo. Solu»c~ao. (p _ q) ^»p»p^ (p _ q) Com. (» p ^ p) _ (» p ^ q) Dist. c _ (» p ^ q)» p ^ p c (» p ^ q) _ c Com.»p^q Teorema 1.7(b) )q Simp. Finalmente, pela Lei Transitiva, (p _ q)^»p ) q. Exemplo 1.7 Demonstre a seguinte Lei de Exporta»c~ao: por racioc ³nio dedutivo. Solu»c~ao. (p ^ q! r) [p! (q! r)] p! (q! r) [p!»(q^»r) De ni»c~ao 1.4»[p^ (q ^»r)] Def. 1.4, D.N.»[(p ^ q) ^»r] Assoc. (p ^ q! r) De ni»c~ao 1.4 Portanto, (p ^ q)! r [p! (q! r)]. Exemplo 1.8 Demonstre que (p! r) _ (q! s) (p ^ q! r _ s) por racioc ³cio dedutivo. Solu»c~ao. (p! r) _ (q! s)»(p^»r) _»(q^»s) De ni»c~ao 1.4 (» p _ r) _ (» q _ s) De M., D.N. (» p _»q)_(r_ s) Com., Assoc.»[(p ^ q)^»(r _ s)] De M., D.N. (p ^ q! r _ s) De ni»c~ao ou argumenta»c~ao dedutiva (N. do T.)

17 L ogica Elementar 17 O porqu^e de querermos usar racioc ³cio dedutivo, em oposi»c~ao a tabelas verdade, pode ser visto da seguinte compara»c~ao: Para veri car a equival^encia no Exemplo 1.8, pelo m etodo das tabelas verdade, ter ³amos que construir uma grande tabela verdade com 16 (= 2 4 ) casos (veja Problema 20 dos Exerc ³cios ou Problema 12 dos Exerc ³cios 1.3.1); por outro lado, na solu»c~ao do Exemplo 1.8, acima, estabelecemos tal equival^encia em apenas cinco passos Exerc ³cios Demonstre as seguintes tautologias pelo m etodo dedutivo. 1. Modus Ponens: p ^ (p! q) ) q 2. Modus Tollens:» q ^ (p! q) )»p 3. Reductio ad Absurdum: (p! q), (p ^»q! c) 4. Silogismo Disjuntivo: (p _ q) ^»p ) q 5. Teorema 1.7(c): c ) p 6. (p! q), (p! p ^ q) 7. (p! q), (p _ q! q) 8. (p! q),»p _ q 9. (p! r) ^ (q! r), (p _ q! r) 10. (p! q) ^ (p! r), (p! q ^ r) 11. (p! q) ^ (p!»q),»p 12. (p! q) _ (p! r), (p! q _ r) 13. (p! r) _ (q! r), (p ^ q! r) 1.6 Regras de quanti ca»c~ao Em qualquer discuss~ao geral, temos em mente um universo particular ou dom ³nio do discurso, isto e, uma cole»c~ao de objetos cujas propriedades est~ao sob considera»c~ao. Por exemplo, na a rma»c~ao \Todos os humanos s~ao mortais", o universo e a cole»c~ao de todos os humanos. Com este entendimento do universo, a a rma»c~ao \Todos os humanos s~ao mortais" poder ser expressada alternativamente como: Para todo x no universo, x e mortal. Afrase\Paratodox no universo" e chamada um quanti cador universal, e e simbolizada por (8x). A senten»ca \x e mortal"diz algosobrex; simbolizaremos isto por p(x). Usando estes novos s ³mbolos, podemos agora escrever a a rma»c~ao geral\todos os homens s~ao mortais" como (8x)(p(x)) Agora considere a a rma»c~ao \Alguns homens s~ao mortais". Aqui o universo (ou dom ³nio de discurso) e ainda o mesmo da a rma»c~ao pr evia. Com este universo em mente, podemos refazer a a rma»c~ao \Alguns homens s~ao mortais" sucessivamente como:

18 18 L ogica Elementar e como Existe pelo menos um indiv ³duo que e mortal. Existe pelo menos um x tal que x e mortal. Existe pelo menos um x tal que p(x). A frase \Existe ao menos um x tal que" e chamada um quanti cador existencial e e simbolizada por (9x). Usando este novo s ³mbolo podemos agora reescrever a a rma»c~ao \Alguns homens s~ao mortais" como (9x)(p(x)) De um modo geral, suponhamos que temos um dom ³nio de discurso U euma a rma»c~ao geral, p(x), chamada um predicado proposicional, cuja\vari avel" x varia em U. Ent~ao (8x)(p(x)) a rma que para todo x, emu, aproposi»c~ao p(x), a respeito de x, e verdadeira, e (9x)(p(x)) signi ca que existe pelo menos um x, emu, tal que p(x) e verdadeira. Em matem atica elementar, quanti cadores s~ao freqäuentemente suprimidos pelo bem da simplicidade. Por exemplo, \(x+1)(x 1) = x 2 1", em livros do ensino b asico, deve ser entendido como dizendo \para todo n umero real x, (x +1)(x 1) = x 2 1". Na matem atica, \qualquer que seja" e \para todo" signi cam a mesma coisa e s~ao ambos simbolizados por 8; e \para algum" signi ca o mesmo que \existe" e e simbolizado por 9. Em express~oes menos formais, freqäuentemente colocamos o quanti cador ap os a a rma»c~ao. Por exemplo, a a rma»c~ao \f(x) =0para todo x" e a mesma que \(8x)(f(x) =0)". Na l ogica e na matem atica, a nega»c~ao da proposi»c~ao \p(x) e verdadeira para todo x (em U)",» [(8x)(p(x))], e considerada o mesmo que a asser»c~ao \existe pelo menos um x (em U) para o qual p(x) e falsa",(9x)(» p(x)). Analogamente,» [(9x)(p(x))] e considerada o mesmo que \n~ao h a nenhum 5 x (em U) tal que p(x) e verdadeira"; ou, em outras palavras, \p(x) e falsa para todo x (em U)", ou (8x)(» p(x)). Sumarizamos tudo isto no seguinte axioma: Axioma 1.1 (Regra da Nega»c~ao do Quanti cador (N.Q.)) Seja p(x) um predicado proposicional, isto e, uma proposi»c~ao sobre um objeto n~ao especi cado de um dado universo. Ent~ao» [(8x)(p(x))] (9x)(» p(x)) e» [(9x)(p(x))] (8x)(» p(x)) 5 Na l ³ngua portuguesa, \n~ao h a nenhum" tem o signi cado de \existe nenhum" (N. do T.).

19 L ogica Elementar 19 Estamos usando \ " para denotar que as duas proposi»c~oes quanti cadas, nos dois lados de, s~ao consideradas a mesma em l ogica; este uso e consistente com o uso de para equival^encias l ogicas, como ser a visto no pr oximo par agrafo. Para entender melhor as proposi»c~oes quanti cadas (8x)(p(x)) e (9x)(p(x)), inspecionemos o caso em que o universo de discurso consiste de um n umero nito de indiv ³duos denotados por a 1 ;a 2 ;a 3 ;::: ;a n. Ent~ao, como (8x)(p(x)) a rma que p(x) e verdadeira para todos, a 1 ;a 2 ;a 3 ;::: ;a n, a proposi»c~ao (8x)(p(x)) e verdadeira se e somente se a conjun»c~ao de e verdadeira. ConseqÄuentemente, Analogamente, p(a 1 );p(a 2 );p(a 3 );::: ;p(a n ) (8x)(p(x)) corresponde a p(a 1 ) ^ p(a 2 ) ^ ^p(a n ) (9x)(p(x)) signi ca p(a 1 ) _ p(a 2 ) _ _p(a n ) Portanto, a Regra da Nega»c~ao do Quanti cador pode ser vista com uma generaliza»c~ao dasleisdedemorgan(teorema1.3). Exemplo 1.9 Quais das seguintes proposi»c~oes e equivalente µa nega»c~ao da proposi»c~ao \Todas as cobras s~ao venenosas"? (a) Todas as cobras s~ao n~ao venenosas. (b) Algumas cobras s~ao venenosas. (c) Algumas cobras n~ao s~ao venenosas. Solu»c~ao. O dom ³nio de discurso U e a cole»c~ao detodasascobras. Sejap(x) o predicado proposicional que a rma que x evenenosa(ondeavari avel x varia sobre U). A a rma»c~ao \Todas as cobras s~ao venenosas" e ent~ao traduzida em (8x)(p(x)). Conforme a regra de nega»c~ao do quanti cador, Axioma 1.1,» [(8x)(p(x))] e equivalente a (9x)(» p(x)), que representa \Algumas cobras n~ao s~ao venenosas" Exerc ³cios 1. Traduza a proposi»c~ao da algebra elementar \A equa»c~ao x 2 3x+2 = 0 tem solu»c~oes" em linguagem l ogica, usando um quanti cador. Qual e o dom ³nio de discurso aqui? 2. Encontre a proposi»c~ao equivalente µa nega»c~ao de cada uma das seguintes proposi»c~oes, usando N.Q. (a) Todas as cobras s~ao r epteis. (b) Alguns cavalos s~ao mansos. (c) Alguns matem aticos n~ao s~ao soci aveis. (d) Todas as estudantes s~ao ou inteligentes ou atraentes. (e) N~ao h a beb^e que n~ao seja fofo.

20 20 L ogica Elementar 3. Encontre o dom ³nio de discurso de cada uma das proposi»c~oes do Problema Deduza» [(9x)(p(x))] (8x)(» p(x)) apartirde 5. Deduza apartirde» [(8x)(q(x))] (9x)(» q(x)):» [(8x)(p(x))] (9x)(» p(x))» [(9x)(q(x))] (8x)(» q(x)): 6. Demonstre que» [(8x)(» q(x))] (9x)(q(x)) e» [(9x)(» q(x))] (8x)(q(x)): [Sugest~ao: Use N.Q.] 1.7 Demonstra»c~ao de validade Uma das mais importantes tarefas de um l ogico est a emtestarargumentos. Umar- gumento e aasser»c~ao de que uma proposi»c~ao, chamada a conclus~ao, e conseqäu^encia de outras proposi»c~oes, chamadas hip oteses ou premissas. Umargumento e considerado v alido se a conjun»c~ao das hip oteses implica a conclus~ao. Como exemplo, o seguinte e um argumento no qual as primeiras quatro proposi»c~oes s~ao hip oteses, e a ultima proposi»c~ao e aconclus~ao. Se ele estuda medicina, ent~ao prepara-se para ganhar uma boa renda. Se ele estuda artes, ent~ao prepara-se para viver bem. Se ele prepara-se para ganhar uma boa renda ou para viver bem, ent~ao suas despesasdeestudosn~ao s~ao desperdi»cadas. Suasdespesasdeestudoss~ao desperdi»cadas. Portanto, ele n~ao estuda nem medicina e nem artes. Este argumento pode ser simbolizado como: H1. M! R H2. A! B H3. (R _ B)!»D H4. D C. :. :» M ^»A Para estabelecer a validade deste argumento por meio de uma tabela verdade, precisar ³amos de uma tabela com 32 (= 2 5 ) linhas. Mas podemos demonstrar que este argumento e v alido deduzindo a conclus~ao a partir das hip oteses em poucos passos usando as regras de infer^encia. Das hip oteses H3 e H4, (R _ B)!» D e D, inferimos» (R _ B), ou equivalentemente,» R ^»B, por Modus Tollens e Lei de De Morgan. De» R ^»B, inferimos, de maneira v alida,» R (e tamb em» B), pelas Leis de Simpli ca»c~ao. De H1, M! R; com» R inferimos» M.

21 L ogica Elementar 21 Analogamente, A! B (de H2), e» B, nos faz inferir» A. Finalmentea conjun»c~ao de» M e» A nos d a aconclus~ao» M ^»A. Nesta demonstra»c~ao, as regras de infer^encia Modus Tollens (M.T.), Leis de De Morgan (D.M.), e Leis de Simpli ca»c~ao (Simp.) s~ao usadas. Um modo mais formal e conciso de expressar esta demonstra»c~ao de validade, e listar as hip oteseseasproposi»c~oes deduzidas a partir delas em uma coluna, com a justi ca»c~ao de cada passo numa coluna ao lado. Em cada passo, a \justi ca»c~ao" indica as a rma»c~oes precedentes das quais, e as regras de infer^encia pelas quais, a a rma»c~ao dada naquele passo foi obtida. Para f acil infer^encia, e conveniente enumerar as hip oteses easa rma»c~oes deduzidas a partir delas e colocar a conclus~ao µa direita da ultima premissa, separada desta por uma barra = que indica que todas as proposi»c~oes acima s~ao hip oteses. Ademonstra»c~ao de validade formal para o argumento acima pode ent~ao ser escrita como 1. M! R (Hip.) 2. A! B (Hip.) 3. (R _ B)!»D (Hip.) 4. D=:. :» M ^»A (Hip./ Concl.) 5.» (R _ B) 3, 4, M.T. 6.» R ^»B 5, De M. 7.» R 6, Simp. 8.» B 6, Simp. 9.» M 1, 7, M.T. 10.» A 2, 8, M.T. 11.» M ^»A 9, 10, Conj. Uma demonstra»c~ao formal de validade para um dado argumento e umaseqäu^encia de proposi»c~oes, cada uma das quais e ou uma premissa do argumento ou segue de proposi»c~oes precedentes por um argumento v alido conhecido, terminando com a conclus~ao do argumento. Exemplo 1.10 Construir uma demonstra»c~ao formal de validade para o seguinte argumento, usando os s ³mbolos sugeridos: Wilson ser a eleito presidente do Centro Acad^emico ouambos,h elio e L ucio ser~ao eleitos vice-presidentes do Centro Acad^emico. Se Wilson for eleito presidente ou H elio for eleito vice, ent~ao David encaminhar a um protesto. Portanto, ou Wilson ser a eleito presidente do Centro Acad^emico ou David encaminhar a um protesto. (W; H; L; D). Demonstra»c~ao. 1. W _ (H ^ L) 2. W _ H! D=:. :W_ D 3. (W _ H) ^ (W _ L) 1, Dist. 4. W _ H (Hip./ Concl.) 5. D 2, 4, M.P. 6. D _ W 5, Ad. 7. W _ D 6, Com.

22 22 L ogica Elementar Existe um outro m etodo de demonstra»c~ao chamado demonstra»c~ao indireta, ou m etodo de demonstra»c~ao por redu»c~ao ao absurdo. Uma demonstra»c~ao indireta de validade, para um dado argumento, e feita incluindo-se, como premissa adicional, a nega»c~ao de sua conclus~ao, e ent~ao derivando uma contradi»c~ao; assim que uma contradi»c~ao e obtida, a demonstra»c~ao est a completa. Exemplo 1.11 D^e uma demonstra»c~ao indireta de validade para o seguinte argumento: p _ q! r s! p ^ u q _ s=:. :r Demonstra»c~ao. 1. p _ q! r 2. s! p ^ u 3. q _ s=:. :r 4.» r P.I. (Demonstra»c~ao Indireta) 5.» (p _ q) 1, 4, M.T. 6.» p ^»q 5, De M. 7.» p 6, Simp. 8.» q 6, Simp. 9. s 3, 8, S.D. 10. p ^ u 2, 9, M.P. 11. p 10, Simp. 12. p ^»p 7, 11, Conj. Aproposi»c~ao p ^»p, nopasso12, e uma contradi»c~ao; portanto a demonstra»c~ao indireta de validade est a completa. Em contraste a uma \demonstra»c~ao indireta", a demonstra»c~ao formal de validade introduzida anteriormente pode ser chamada \demonstra»c~ao direta". Numa demonstra»c~ao matem atica, pode ser usada uma demonstra»c~ao direta ou uma demonstra»c~ao indireta. A escolha do m etodo de demonstra»c~ao, para um argumento matem atico dado, depende da prefer^encia e da conveni^encia Exerc ³cios Para cada um dos seguintes argumentos, d^e uma demonstra»c~ao direta e uma demonstra»c~ao indireta de validade, e compare seus tamanhos.

23 L ogica Elementar A _ (B ^ C) 4. A _ B B! D» B _ C=:. :A_ C C! E D ^ E! A _ C» A=:. :C 2. B _ (C! E) 5. B _ C! B ^ A B! D» B=:. :» C» D! (E! A)» D=:. :C! A 3. (A _ B)! (A! D ^ E) 6. A ^ B! C A ^ D=:. :E_ F (A! C)! D» B _ E=:. :B! D ^ E Nas demonstra»c~oes dos seguintes argumentos, use os s ³mbolos sugeridos. 7. Se a popula»c~ao cresce rapidamente e a produ»c~ao permanece constante, ent~ao os pre»cos sobem. Seospre»cos sobem, ent~ao o governo controla os pre»cos. Se sou rico, ent~ao n~ao me preocupo com o aumento dos pre»cos. N~ao e verdade que n~ao sou rico. O governo n~ao controla os pre»cos ou preocupo-me com o aumento dos pre»cos. Portanto, n~ao e verdade que a popula»c~ao cresce rapidamente e a produ»c~ao permanece constante (P : A popula»c~ao cresce rapidamente. C: Aprodu»c~ao permanece constante. S: Os pre»cos sobem. G: O governo controla os pre»cos. R: Eu sou rico. A: Eumepreocupo com o aumento dos pre»cos.) 8. Se Wilson ou Alberto ganham ent~ao L ucio e Susana choram. Susana n~ao est a chorando. Portanto, Alberto n~ao ganhou. (W : Wilson ganha. A: Alberto ganha. L: L ucio chora. S: Susana chora.) 9. Se eu me inscrevo neste curso e estudo bastante ent~ao tiro boas notas. Se tiro boas notas, co feliz. N~ao estou feliz. Portanto, n~ao me inscrevi neste curso ou n~ao estudei bastante. (I: Me inscrevo neste curso. E: Estudo bastante. B: Tiro boas notas. F : Estou feliz.) 1.8 Indu»c~ao Matem atica Um outro m etodo de demonstra»c~ao, muito util para demonstrar a validade de uma proposi»c~ao P (n), envolvendo o n umero natural n, e o seguinte princ ³pio de indu»c~ao matem atica. Indu»c~ao Matem atica. Se P (n) e uma proposi»c~ao envolvendo o n umero natural n, tal que (1) P (1) e verdadeira, e (2) P (k) ) P (k +1)para qualquer n umero natural arbitr ario k, ent~ao P (n) e verdadeira para todo n umero natural n.

24 24 L ogica Elementar Oprinc ³pio acima e umaconseqäu^encia de um dos Axiomas de Peano para os n umeros naturais. De modo a aplicarmos o princ ³pio de indu»c~ao matem atica para demonstrarmos um teorema, o teorema tem que ser subdividido em casos, uma caso para cada n umero natural. Assim, devemos veri car ambas as condi»c~oes (1) e (2). A veri ca»c~ao de (1), habitualmente f acil, nos garante que o teorema e verdadeiro pelo menos no caso n = 1. Para veri car a condi»c~ao (2), devemos provar um teorema auxiliar cuja premissa (hip otese) e \P (k) e verdadeira", e cuja conclus~ao (tese) e \P (k +1) e verdadeira". A premissa \P (k) e verdadeira" e chamada a hip otese de indu»c~ao. Exemplo 1.12 Demonstre, por indu»c~ao matem atica, que n = n(n +1) 2 Demonstra»c~ao. Aqui P (n) representa a proposi»c~ao \ n = n(n +1) " 2 Em particular, P (1) representa \1 =(1 2)=2", que obviamente e uma a rma»c~ao verdadeira. Portanto, a condi»c~ao (1) para a indu»c~ao matem atica est a satisfeita. Para demonstrar que a condi»c~ao (2) e satisfeita, assumimos que \P (k)", que e \ k = k(k +1)=2", seja verdadeira. Ent~ao, somamos k +1aambos os membros da igualdade. Temos portanto k +(k +1) = = = = k(k +1) +(k +1) 2 k(k +1) 2(k +1) (k +2)(k +1) 2 (k +1)(k +2) 2 o que mostra que P (k +1) e verdadeira. Mostramos assim que as condi»c~oes (1) e (2) da indu»c~ao matem atica s~ao satisfeitas. Portanto, pelo princ ³pio de indu»c~ao matem atica, n = n(n +1)=2 e verdadeiraparacadan umero natural n. A id eia de indu»c~ao matem atica pode ser usada para fazer de ni»c~oes matem aticas envolvendo n umeros naturais. Por exemplo, a de ni»c~ao de pot^encias de um n umero real qualquer x podem ser de nidas por: x 1 = x x n+1 = x n x; para cada n umero natural n

25 L ogica Elementar 25 As duas equa»c~oes acima indicam que x 1 = x, x 2 = x x, x 3 = x 2 x, ::: eassim por diante. Como outra aplica»c~ao, daremos a seguinte de ni»c~ao indutiva do s ³mbolo C(n; r). De ni»c~ao 1.7 Sejam n um n umero natural e r um inteiro. O s ³mbolo C(n; r) e de nido por C(0; 0) = 1, C(0;r)=0 para cada r 6= 0,e C(n +1;r)=C(n; r)+c(n; r 1) Teorema 1.8 Se n e r s~ao inteiros, tais que 0 6 r 6 n, ent~ao C(n; r) = n! r!(n r)! sendo n! o produto n (n 1) 3 2 1, dos primeiros n n umeros naturais consecutivos, se n>0 e 0! = 1 por conven»c~ao. Demonstra»c~ao. Exerc ³cio. Teorema 1.9 (O Teorema Binomial) Se x e y s~ao dois n umeros reais e n e um n umero natural, ent~ao (x + y) n = C(n; 0)x n + C(n; 1)x n 1 y + + C(n; r)x n r y r + + C(n; n)y n Demonstra»c~ao. Demonstraremos a validade deste teorema por indu»c~ao matem atica. Primeiramente, o teorema e claramente verdadeiro para n = 1. Para completar a demonstra»c~ao, assumiremos a validade do teorema para n = k; isto e, assumiremos que (x + y) k = C(k; 0)x k + C(k; 1)x k 1 y + + C(k; r)x k r y r + + C(k; k)y k Ent~ao, multiplicando ambos os membros da igualdade acima por (x + y), temos (x + y) k+1 =(x + y)[x k + C(k; 1)x k 1 y + + C(k; r)x k r y r + + y k ] = x k+1 +[C(k; 0) + C(k; 1)]x k y + +[C(k; r 1) + C(k; r)]x (k+1) r y r + + y k+1 = C(k +1; 0)x k+1 + C(k +1; 1)x k y + + C(k +1;r)x k+1 r y r + + C(k +1;k+1)y k+1 que mostra que o teorema e v alido para n = k +1se for v alido para n = k. Assim, por indu»c~ao matem atica, o teorema binomial e verdadeiro para todos os n umeros naturais n.

26 26 L ogica Elementar Exerc ³cios 1. Demonstre o teorema 1.8 por indu»c~ao matem atica. 2. Mostre que C(n; 0) = 1 = C(n; n) para todo n umero natural n. 3. Demonstre por indu»c~ao matem atica que, para todo n umero natural n, r (r +1)+ + n (n +1)= 1 n(n +1)(n +2): 3 4. Demonstre por indu»c~ao matem atica que, para todo n umero natural n, n 2 = 1 n(n +1)(2n +1): 6 5. Demonstre que para todo n umero natural n, n 3 = 1 4 n2 (n +1) 2 : 6. Demonstre que para todo n umero natural n, (2n 1) = n Demonstre que para todo n umero natural n, n (n +1) = n n +1 : 8. Demonstre as seguintes Leis de De Morgan Generalizadas, (a)» (p 1 ^ p 2 ^ ^p n ),»p 1 _»p 2 _ _»p n (b)» (p 1 _ p 2 _ _p n ),»p 1 ^»p 2 ^ ^»p n 9. Demonstre as seguintes Leis Distributivas Generalizadas. (a) p ^ (q 1 _ q 2 _ _q n ), (p ^ q 1 ) _ (p ^ q 2 ) _ _(p ^ q n ) (b) p _ (q 1 ^ q 2 ^ ^q n ), (p _ q 1 ) ^ (p _ q 2 ) ^ ^(p _ q n )