Introdução à Teoria dos Conjuntos

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1 Introdução à Teoria dos Conjuntos JOAO CARLOS VIEIRA SAMPAIO Departamento de Matemática. UFSCar. SP

2 1 L ogica Elementar Neste cap ³tulo, apresentamos uma introdu»c~ao µa l ogica, que nos ser a su ciente como ferramenta de trabalho nos cap ³tulos posteriores. 1.1 Proposi»c~oes e seus conectivos Oestudodal ogica e o estudo dos princ ³pios e m etodos usados para distinguir argumentos v alidos dos n~ao v alidos. O prop osito deste cap ³tulo preliminar em l ogica e ajudar o leitor a entender os princ ³pios e m etodos usados em cada passo de uma demonstra»c~ao. O ponto de partida em l ogica e o termo \proposi»c~ao", que e usado num sentido t ecnico. Por uma proposi»c~ao queremos dizer uma declara»c~ao que e verdadeira ou falsa, mas n~ao ambos. N~ao e necess ario que saibamos se a proposi»c~ao e verdadeira ou falsa; a unica quali ca»c~ao exigida e que ela deve ser de nitivamente uma coisa ou outra. Habitualmente, podemos determinar imediatamente se uma proposi»c~ao e verdadeira ou falsa, mas em alguns casos um pouco de esfor»co e preciso, e em outros casos pode ser imposs ³vel chegar a uma conclus~ao. Os seguintes exemplos dever~ao ilustrar o que queremos dizer. Exemplo 1.1 Cada uma das seguintes frases e uma proposi»c~ao. (a) Londrina e uma cidade no estado do Paran a. (b) 2+1 e 5. (c) O d ³gito na 105 a casa decimal, na expans~ao decimal de p 3, e 7. (d) A lua e feita de queijo mineiro. (e) N~ao h a vida inteligente em Marte. (f) Est a chovendo. Claramente, (a) e verdadeira, enquanto (b) e (d) s~ao falsas. Podemos ter d uvidas quanto ao status (verdadeiro ou falso) de (c) e (e). A veracidade ou falsidade da senten»ca (f) depende das condi»c~oes meteorol ogicas no instante em que essa declara»c~ao e feita. 1

3 2 L ogica Elementar Exemplo 1.2 Nenhuma das frases seguintes e uma proposi»c~ao, porque n~ao faz sentido questionar se alguma delas e verdadeira ou falsa. (a) Venha µa nossa festa! (b) Tudo bem com voc^e? (c) Tiau, benzinho. As proposi»c~oes do Exemplo 1.1 s~ao todas proposi»c~oes simples. Umacombina»c~ao de duas ou mais proposi»c~oes e umaproposi»c~ao composta. Porexemplo, \2+1 e 5 e od ³gito na 105 a casa decimal na expans~ao decimal de p 3 e 7" e uma proposi»c~ao composta. Estamos familiarizados com o uso de letras para representar n umeros na algebra. No estudo da l ogica usamos letras, tais como p, q, r, ::: para representar proposi»c~oes. Uma letra, tal como p, pode representar uma proposi»c~ao simples ou composta. A menos que digamos em contr ario, usaremos letras mai usculas P, Q, R, ::: para representar proposi»c~oes compostas. Existem muitos modos de se ligar proposi»c~oes tais como p, q, r, ::: para formar proposi»c~oes compostas, mas apenas cinco modos s~ao usados freqäuentemente. Estes cinco conectivos comuns s~ao (a) \n~ao", simbolizado por»; (b) \e", simbolizado por ^; (c) \ou", simbolizado por _; (d) \se ::: ent~ao ::: ", simbolizado por!; e(e)\::: seesomentese::: ", simbolizado por $. Nesta se»c~ao discutiremos os conectivos» e ^, adiando os demais conectivos, _,!, e $, at e apr oxima se»c~ao. Seja p uma proposi»c~ao. A proposi»c~ao» p, lida \n~ao p" ou\anega»c~ao de p", e verdadeira quando a proposi»c~ao p e falsa, e e falsa quando p e verdadeira. Por exemplo, seja p aproposi»c~ao \Este e umcursof acil". Ent~ao sua nega»c~ao» p representa \Este n~ao e umcursof acil". A verdade de» p depende da verdade de p. E conveniente anotar essa depend^encia em uma tabela verdade: Tabela 1.1: p V F» p F V na qual as letras V e F signi cam \verdadeiro" e \falso", respectivamente. Na primeira coluna da tabela 1.1, listamos os dois poss ³veis valores l ogicos da proposi»c~ao p, sendo eles V e F. Cada linha em uma tabela verdade representa um caso que deve ser considerado, e claramente, nesta situa»c~ao bastante simples, h a apenas dois casos. Usando as linhas da Tabela 1.1 vemos que se p e verdadeira ent~ao» p e falsa, e se p e falsa, ent~ao» p e verdadeira. ConseqÄuentemente, a Tabela 1.1 nos diz o valor verdade 1 de» p em cada caso. 1 ou valor l ogico (N. do T.)

4 L ogica Elementar 3 De ni»c~ao 1.1 Oconectivo^ pode ser colocado entre duas proposi»c~oes p e q para formar uma proposi»c~ao composta p ^ q cujos valores verdade s~ao dados na seguinte tabela verdade. Tabela 1.2: p q p ^ q V V V V F F F V F F F F Os ³mbolo p ^ q e lido \p e q" ou\conjun»c~ao de p e q". Por exemplo, seja p aproposi»c~ao \O c eu e azul"esejaq aproposi»c~ao \As rosas s~ao vermelhas". Ent~ao a conjun»c~ao p ^ q representa \O c eu e azul e as rosas s~ao vermelhas". Numa proposi»c~ao composta, tal como p ^ q, asproposi»c~oes individuais p e q s~ao chamadas componentes. Uma componente pode ser uma proposi»c~ao simples ou uma proposi»c~ao composta. Numa proposi»c~ao composta com duas componentes, tal como p ^ q, existemnom aximo 4 (= 2 2) possibilidades, chamadas possibilidades l ogicas, a serem consideradas; sendo elas: (1) p e verdadeira e q e verdadeira; (2) p e verdadeira e q e falsa; (3) p e falsa e q e verdadeira; (4) p e falsa e q e falsa. Cada uma destas quatro possibilidades e coberta nas quatro linhas da Tabela 1.2. A ultima coluna d a os valores verdade de p ^ q. Uma inspe»c~ao mostra que p ^ q e verdadeira em apenas um caso. Isto e, p ^ q e verdadeira quando ambas as componentes s~ao verdadeiras, e nos outros tr^es casos p ^ q e falsa. O leitor sensato perceber a que a Tabela 1.2 re ete o modo pelo qual a conjun»c~ao \e" e usada no portugu^es cotidiano. Usando as Tabelas 1.1 e 1.2, podemos encontrar valores verdade de proposi»c~oes complicadas envolvendo os conectivos» e ^. Exemplo 1.3 Construa a tabela verdade para a proposi»c~ao composta» [(» p) ^ (» q)] Solu»c~ao. Se o m etodo usado na constru»c~ao da Tabela 1.3 n~ao e obvio, uma palavra de explica»c~ao pode ajudar. Os cabe»calhos s~ao selecionados de modo que a proposi»c~ao composta ( ultima coluna) e gradualmente constru ³da apartirdesuasv arias componentes.

5 4 L ogica Elementar Tabela 1.3: p q» p» q (» p) ^ (» q)» [(» p) ^ (» q) V V F F F V V F F V F V F V V F F V F F V V V F Passo As duas primeiras colunas simplesmente registram todos os casos para os valores verdade de p e q. Usamosent~ao a Tabela 1.1 para obter as entradas nas terceira e quarta colunas, os valores verdade correspondentes para» p e» q. No pr oximo passo usamos as entradas das terceira e quarta colunas e a Tabela 1.2 para obter as entradas na quinta coluna. Finalmente, as entradas da quinta coluna e a Tabela 1.1 d~ao as entradas na sexta coluna os valores verdade de» [(» p) ^ (» q)]. O estudante aplicado deveria agora copiar esta ultima proposi»c~ao composta, fechar o livro, e tentar reproduzir a Tabela 1.3. Aproposi»c~ao no exemplo acima,» [(» p) ^ (» q)], usapar^enteses e colchetes para indicar a ordem segundo a qual os conectivos se aplicam. FreqÄuentemente, uma express~ao pode ser simpli cada se pudermos eliminar alguns dos par^enteses ou colchetes. Aconven»c~ao habitual e concordar que» tem prioridade sobre ^, isto e, o conectivo» deve ser aplicado primeiro. Assim, por exemplo, a express~ao (» p) ^(» q) e simpli cada na forma» p ^»q Exerc ³cios Nos problemas de 1 a 10, uma senten»ca em portugu^es e dada. Determine se a senten»ca e uma proposi»c~ao (S) ou n~ao (N). 1. Em 7 de junho de 1442 nevou em algum lugar no Rio Grande do Sul. 2. Arist oteles tinha p es chatos. 3. O socialismo est a errado. 4. O homem mais rico do mundo e o Sr. Malagutti, de S~ao Carlos. 5. Joana e Pedro s~ao pessoas boas. 6. Quanto vale este carro? 7. Saia da grama. 8.Usesemprecintodeseguran»ca. 9. O n umero e primo. 10. Beethoven escreveu algumas das m usicas de Chopin. 11. Dentre as proposi»c~oes dadas nos problemas de 1 a 10, indique aquelas que voc^e acha que devem ser verdadeiras (V) ou falsas (F), eaquelascujostatuspodeserdif ³cil determinar.

6 L ogica Elementar 5 Nosproblemas12a19encontreastabelasverdadedasproposi»c~oes dadas. Use o formato da Tabela 1.1 ou da Tabela 1.2 para os dois ou quatro casos respectivamente. 12.» (» p) 13.» [» (» p)] 14. p ^ p 15.» (p ^»p) 16. p ^»q 17.» p ^ q 18. (p ^ p) ^»p 19.» (p ^ q) 20. Numa proposi»c~ao composta, envolvendo tr^es componentes distintas p, q e r, quantos casos s~ao necess arios para cobrir todas as possibilidades l ogicas? Quantos casos s~ao necess arios se houver quatro componentes distintas? Quantos casos s~ao necess arios se houver n componentes distintas? 21. O seguinte e uma tentativa de arranjar todos os casos em uma tabela verdade, para uma proposi»c~ao envolvendo tr^es componentes p, q, er. Complete o trabalho inacabado. p q r V V V V F V V V F V V V F F F F F Nos problemas 22 a 25, encontre as tabelas verdade para as proposi»c~oes dadas. Use o padr~ao desenvolvido no problema 21 para os v arios casos. 22. (p ^ q) ^ r 23. p ^ (q ^ r) 24. (p ^»q) ^ r 25.» q ^ (r ^ p) 1.2 Tr^es conectivos mais Na l ³ngua portuguesa h a umaambigäuidade envolvida no uso do \ou". A proposi»c~ao \Obterei grau de mestre ou grau de doutor" indica que quem o a rma pode obter ambos, o grau de mestre e o de doutor. Mas em outra proposi»c~ao, \Me casarei com L ³via ou L ucia", a palavra \ou" signi ca que apenas uma das duas mo»cas ser a escolhida. Na matem atica e na l ogica, n~ao podemos permitir ambigäuidades. Portanto, devemos nos decidir sobre o signi cado da palavra \ou".

7 6 L ogica Elementar De ni»c~ao 1.2 O conectivo_ pode ser colocado entre duas proposi»c~oes quaisquer p e q para formar a proposi»c~ao composta p _ q. Os valores verdade de p _ q s~ao de nidos na Tabela 1.4. Portanto _ e de nido como sendo o \ou" inclusivo, tal como usado na primeira proposi»c~ao acima. Tabela 1.4: p q p _ q V V V V F V F V V F F F Os ³mbolo p_q e lido \p ou q" oua\disjun»c~ao de p e q". Repare que a conjun»c~ao de p e q e verdadeira apenas quando as duas componentes s~ao ambas verdadeiras (Tabela 1.2), enquanto que a disjun»c~ao e falsa quando e apenas quando as duas componentes s~ao falsas (Tabela 1.4). Comparemos as tabelas verdade de p _ q e» (» p ^»q), nas Tabelas 1.3 e 1.4. Notamos que em cada caso a ultima coluna e VVVF, de modo que estas duas proposi»c~oes tem os mesmos valores verdade em cada uma das quatro possibilidades l ogicas. Mostrar que certas proposi»c~oes tem os mesmos valores verdade em cada caso e uma parte importante da l ogica. Na verdade, a l ogica trata duas tais proposi»c~oes como sendo uma s o. De ni»c~ao 1.3 Quando duas proposi»c~oes P e Q, simples ou compostas, tem os mesmos valores verdade em cada uma de todas as possibilidades l ogicas, dizemos que P e logicamente equivalente ou simplesmente equivalente a Q, e escrevemos P Q. Resumidamente, duas proposi»c~oes s~ao logicamente equivalentes desde que tenham a mesma tabela verdade. Portanto, temos p _ q»(» p ^»q) Embora duas proposi»c~oes equivalentes sejam consideradas como a mesma, do ponto de vista da l ogica, preferimos a proposi»c~ao mais simples \p ou q" em vez da proposi»c~ao equivalente mais complicada \N~ao e verdade que nem p e nem q". De ni»c~ao 1.4 O conectivo! e chamado condicional e pode ser colocado entre duas proposi»c~oes p e q para formar a proposi»c~ao composta p! q (lida: \se p ent~ao q"). Por de ni»c~ao, a proposi»c~ao p! q e equivalente µa proposi»c~ao» (p ^»q), e os valores verdade de p! q s~ao dados na Tabela 1.5.

8 L ogica Elementar 7 Tabela 1.5: Caso p q» q p^»q p! q [»(p^»q)] 1 V V F F V 2 V F V V F 3 F V F F V 4 F F V F V A motiva»c~ao da De ni»c~ao 1.4 e a seguinte. Sejam p aproposi»c~ao \O sol est a brilhando" e q aproposi»c~ao \Eu estou jogando t^enis". Ent~ao a proposi»c~ao composta p! q e \Seosolest a brilhando ent~ao eu estou jogando t^enis". Agora, quando e que uma tal proposi»c~ao 'considerada falsa? Claramente p! q e falsa se o sol est a brilhando mas eu n~ao estou jogando t^enis, e apenas neste caso. Em outras palavras p! q e falsa se p ^»q e verdadeira, a apenas neste caso. Mas isto e precisamenteade ni»c~ao 1.4. Estudaremos agora a tabela verdade de p! q, isto e, de» (p ^»q). Conforme a De ni»c~ao 1.4, o signi cado da proposi»c~ao condicional p! q afasta-se radicalmente do nosso uso ordin ario de \Se p ent~ao q". Na nossa linguagem ordin aria, 2 uma senten»c~ao da forma \Se p ent~ao q" e considerada como querendo dizer que q e verdadeira sempre que p e verdadeira. Portanto os casos em que p e falsan~ao precisam ser considerados. Por exemplo, a proposi»c~ao \Se Collor atirou em Figueiredo, ent~ao Itamar foi o primeiro presidente" e considerada sem sentido, pois ambas as componentes s~ao falsas. ConseqÄuentemente, no uso ordin ario n~ao se questiona se uma proposi»c~ao componente e verdadeira. Ao criar a linguagem formal, o l ogico deseja designar um valor verdade a p! q para cada uma das quatro possibilidades l ogicas, muito embora dois dos casos pare»cam ser sem sentido em nossa linguagem ordin aria. Por v arias raz~oes, que aparecer~ao no tempo devido, os l ogicos decidiram-se pela de ni»c~ao adotada aqui. Portanto, em nossa linguagem formal, p! q e verdadeira em todos os casos exceto no caso 2 (veja Tabela 1.5). Como conseqäu^encia desse acerto, seremos capazes de demonstrar alguns teoremas uteis bastante simples, cujas demonstra»c~oes, sem tal acerto, seriam desajeitadas ou muito dif ³ceis. Introduzimos agora o ultimo dos cinco conectivos mais comuns, um que aparece freqäuentemente nos enunciados (proposi»c~oes) de teoremas matem aticos. De ni»c~ao 1.5 O conectivo $ e chamado o bicondicional e pode ser colocado entre duas proposi»c~oes p e q para formar a proposi»c~ao composta p $ q (lida: \p se e somente se q"). A proposi»c~ao p $ q e equivalente µa proposi»c~ao (p! q) ^ (q! p), e os valores verdade de p $ q s~ao dados na Tabela Em oposi»c~ao µa \linguagem ordin aria", l ogica e chamada uma linguagem formal.

9 8 L ogica Elementar Exemplo 1.4 Encontre a tabela verdade para p $ q. Solu»c~ao. Seguindo o m etodo descrito anteriormente, obtemos a Tabela 1.6. Tabela 1.6: Caso p q p! q q! p p $ q [ (p! q) ^ (q! p)] 1 V V V V V 2 V F F V F 3 F V V F F 4 F F V V V Passo Da tabela verdade acima, observamos que p $ q e verdadeira se ambas as componentes s~ao verdadeiras ou ambas as componentes s~ao falsas. Em qualquer outro caso (casos 2 e 3) a proposi»c~ao p $ q e falsa Exerc ³cios Nos problemas de 1 a 12,construa as tabelas verdade para as proposi»c~oes dadas. 1. p _»p 2.» (p _»p) 3.» (» p _»q) 4.» p _ q 5. (» q)! (» p) 6. q $ p 7. p ^ (q _ r) 8. (p ^ q) _ (p ^ r) 9. p _ (q ^ r) 10. (p _ q) ^ (p _ r) 11.(p _ q) _ r 12. p _ (q _ r) 13. E a proposi»c~ao (» q)! (» p) (Problema 5) logicamente equivalente µa proposi»c~ao p! q? 14. E a proposi»c~ao» p _ q (Problema 4) logicamente equivalente µa proposi»c~ao p! q? 15. Dentre as proposi»c~oes nos Problemas 1 a 12, encontre os pares de proposi»c~oes logicamente equivalentes. 16. Em cada um dos seguintes itens, traduza a proposi»c~ao composta dada em uma forma simb olica usando os s ³mbolos sugeridos. (a) N~ao ocorre que eu seja amig avel a voc^e. (A) (b) Se ela e uma gata, ent~ao ela tem quatro pernas. (G; P ) (c) O pre»co do arroz aumenta se e somente se o suprimento de arroz n~ao atende µa demanda. (P; S) (d)ou os grandes laborat orios reduzem os pre»cos ou o governo intervir a. (L; G) (e) Se a exporta»c~ao de carne aumentar ou se a produ»c~ao pecu aria decair, ent~ao o custo de vida subir a. (E;P;C)

10 L ogica Elementar Tautologia, implica»c~ao e equival^encia Examinemos a tabela verdade para a proposi»c~ao p _»p: Tabela 1.7: p» p p _»p V F V F V V Reparemos que a proposi»c~ao p _»p e verdadeira em todos os casos, isto e, em todas as possibilidades l ogicas. Tal tipo importante de proposi»c~ao merece um nome especial. De ni»c~ao 1.6 Uma proposi»c~ao e dita ser uma tautologia quando e verdadeira em cada uma de todas as possibilidades l ogicas. Sejam P e Q duas proposi»c~oes, compostas ou simples. Se a proposi»c~ao condicional P! Q e uma tautologia, a proposi»c~ao e chamada uma implica»c~ao e e denotadaporp ) Q (l^e-se: P implica Q). Assim as seguintes proposi»c~oes condicionais s~ao tautologias: (1) p! p. (2) p ^ q! q ^ p. (3) p! p ^ p. (4) p ^ q! q. 3 Na l ogica ou na matem atica, \teoremas" signi cam proposi»c~oes verdadeiras, e uma \demonstra»c~ao" (de um teorema) e uma justi ca»c~ao do teorema. Teorema 1.1 Sejam p e q duas proposi»c~oes quaisquer. Ent~ao (a) Lei da Adi»c~ao (Ad.): p ) p _ q. (b) Leis de Simpli ca»c~ao (Simp.): p ^ q ) p, p ^ q ) q. (c) Silogismo Disjuntivo (S.D.): (p _ q) ^»p ) q. Demonstra»c~ao. Deixamos as demonstra»c~oes de (a) e (b) ao leitor, como exerc ³cios. A seguinte e uma tabela verdade simpli cada para (p _ q) ^»p! q: Tomemos um instante para explicar a constru»c~ao da tabela verdade simpli cada: Os valores verdade na Tabela 1.8 s~ao atribu ³dos, coluna por coluna, na ordem indicada 3 Consideraremos _ e ^ como conectivos priorit arios em rela»c~ao a! e $, e escreveremos p! p _ q em lugar de p! (p _ q), etc.vejatamb em o ultimo par agrafo da se»c~ao 1.1

11 10 L ogica Elementar Tabela 1.8: (p _ q) ^» p! q V V V F F V V V V F F F V F F V V V V V V F F F F V V F Passo pelos n umeros que aparecem na ultima linha da tabela. Em uma tabela verdade simpli cada, escrevemos os valores verdade diretamente, primeiro sob cada componente e ent~ao sob os conectivos. Isto poupa espa»co e tempo. Agora, retornando µa demonstra»c~ao do teorema, como o passo nal (passo 4) na Tabela 1.8 consiste s o dev 's, a proposi»c~ao condicional (p _ q) ^»p! q e defato uma implica»c~ao. Se a proposi»c~ao bicondicional P $ Q for uma tautologia, ela e chamada uma equival^encia e edenotadaporp, Q (leia-se: P e equivalente a Q). Da de ni»c~ao 1.5 e da Tabela 1.6, P, Q se P e Q tem os mesmos valores verdade em cada uma de todas as possibilidades l ogicas, e reciprocamente, P e Q tem os mesmos valores verdade em cada uma de todas as possibilidades l ogicas se P, Q. Portanto, pela de ni»c~ao 1.3, P, Q e P Q tem o mesmo signi cado, e portanto podemos trocar, por evice-versa. Teorema 1.2 Sejam p e q duas proposi»c~oes quaisquer. Ent~ao (a) Lei da Dupla Nega»c~ao (D.N.):» (» p) p. (b) Leis Comutativas (Com.): p ^ q q ^ p, p _ q q _ p, (c)leisdeidempot^encia (Idemp.): p ^ p p, p _ p p, (d) Lei Contrapositiva (Contrap.): (p! q) (» q!»p). Demonstra»c~ao. Deixaremos as demonstra»c~oes das partes (a), (b) e (c) para o leitor, como exerc ³cios, e delinearemos a demonstra»c~ao de (d). Temos a seguinte tabela verdade simpli cada para a proposi»c~ao bicondicional (p! q) $ (» q!»p):

12 L ogica Elementar 11 Tabela 1.9: (p! q) $ (» q!» p) V V V V F V V V F F V V F F F V V V F V V F V F V V V V Passo Logo, a Tabela 1.9 mostra que p $ q e equivalente a» q!»p. O seguinte teorema, creditado a Augustus De Morgan (1806{1871), e uma das ferramentas mais convenientes da l ogica. Teorema 1.3 (Leis de De Morgan (De M.)) Sejam p e q duas proposi»c~oes quaisquer. Ent~ao» (p ^ q)» p _»q; e» (p _ q)» p ^»q: Demonstra»c~ao. Demonstraremos a primeira parte deste teorema e deixaremos a outra parte ao leitor, como exerc ³cio. Constru ³mos uma tabela verdade simpli cada para a bicondicional» (p ^ q) $ (» p _»q): Tabela 1.10:» (p ^ q) $ (» p _» q) F V V V V F F F V V F F V F V V V F F V V V V F V F F F V V V V Passo A tabela verdade acima mostra que» (p ^ q) e equivalente a» p _»q. Teorema 1.4 Sejam p, q e r proposi»c~oes quaisquer. Ent~ao (a) Leis Associativas (Assoc.): (p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r) (p _ q) _ r p _ (q _ r) (b) Leis Distributivas (Dist.): p ^ (q _ r) (p ^ q) _ (p ^ r) p _ (q ^ r) (p _ q) ^ (p _ r) (c) Lei Transitiva (Trans.): (p! q) ^ (q! r) ) (p! r).

13 12 L ogica Elementar Demonstra»c~ao. Deixaremos as demonstra»c~oes das Leis Associativas e da segunda Lei Distributiva para o leitor, como exerc ³cios. Demonstremos que p ^ (q _ r) (p ^ q) _ (p ^ r). Como isto envolve tr^es componentes, existem 2 3 =8possibilidades l ogicas a considerar. A seguinte tabela verdade mostra que p ^ (q _ r) e (p ^ q) _ (p ^ r) tem os mesmos valores verdade em cada uma das oito possibilidades l ogicas. Portanto, p ^ (q _ r) e (p ^ q) _ (p ^ r) s~ao equivalentes. Tabela 1.11: p q r q _ r p^ q p^ r p ^ (q _ r) (p ^ q) _ (p ^ r) V V V V V V V V V V F V V F V V V F V V F V V V V F F F F F F F F V V V F F F F F V F V F F F F F F V V F F F F F F F F F F F F Por simplicidade e por economia de espa»co, constru ³mos uma tabela verdade simpli cada, como apresentado na Tabela 1.8, para (p! q) ^ (p! r)! (p! r). Tabela 1.12: (p! q) ^ (q! r)! (p! r) V V V V V V V V V V V V V V F V F F V V F F V F F F F V V V V V V V F F F F V F V V F F F V V V V V V V F V V F V V F V F F V F V F F V F V F V V V F V V F V F V F V F V F V F Passo Como o ultimo passo (passo 4) consiste inteiramente de valores V, a Lei Transitiva est a demonstrada. Por causa das Leis Associativas, os par^enteses em (p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r) e

14 L ogica Elementar 13 (p _ q) _ r p _ (q _ r) tornam-se desnecess arios, e as express~oes p ^ q ^ r e p _ q _ r tem agora signi cados de nidos, bem como p 1 ^ p 2 ^ ^p n e p 1 _ p 2 _ _p n. Teorema 1.5 Sejam p, q, r e s proposi»c~oes quaisquer. Ent~ao (a) Dilemas Construtivos (D.C.): (p! q) ^ (r! s) ) (p _ r! q _ s); (p! q) ^ (r! s) ) (p ^ r! q ^ s): (b) Dilemas Destrutivos (D.D.): (p! q) ^ (r! s) ) (» q _»s!»p_»r); (p! q) ^ (r! s) ) (» q ^»s!»p^»r): Demonstra»c~ao. Ademonstra»c~ao do Teorema 1.5 e deixada ao leitor como exerc ³cio. Teorema 1.6 Sejam p e q duas proposi»c~oes. Ent~ao (a) Modus Ponens (M.P.): (p! q) ^ p ) q. (b) Modus Tolens (M.T.): (p! q) ^»q )»p. (c) Reductio ad Absurdum (R.A.): (p! q), (p ^»q! q ^»q). Demonstra»c~ao. Exerc ³cio Exerc ³cios 1.Demonstreaspartes(a)e(b)doTeorema Demonstreaspartes(a),(b)e(c)doTeorema Demonstre que» (p _ q)»p ^»q. 4. Demonstre a parte (a) do Teorema Demonstre que p _ (q ^ r) (p _ q) ^ (p _ r). 6. Demonstre que (p! q) ) (p ^ r! q ^ r). 7. Demonstre que (p $ q) (p ^ q) _ (» p ^»q). 8. Usando as Leis de De Morgan, escreva em linguagem ordin aria a nega»c~ao da proposi»c~ao \Esta fun»c~ao tem uma derivada ou eu sou burro." 9. Demonstre as seguintes Leis de De Morgan para tr^es componentes. (a)» (p ^ q ^ r)»p _»q _»r (b)» (p _ q _ r)»p ^»q ^»r. 10. Pode voc^e generalizar, sem demonstra»c~ao, as Leis de De Morgan para n componentes? Veja o Problema 9 para n = Demonstre as seguintes Leis de Absor»c~ao. (a) p ^ (p _ r) p (b) p _ (p ^ q) p 12. Demonstre o Teorema Demonstre o Teorema 1.6.

15 14 L ogica Elementar 1.4 Contradi»c~ao Em contraste com as tautologias, h a proposi»c~oes cujos valores verdade s~ao todos F, para cada uma das possibilidades l ogicas. Tais proposi»c~oes s~ao chamadas contradi»c~oes. Por exemplo, p ^»p e uma contradi»c~ao. E obvio que se t e uma tautologia, ent~ao» t e uma contradi»c~ao; reciprocamente, se c e uma contradi»c~ao, ent~ao» c e uma tautologia. Teorema 1.7 Sejam t, c e p, uma tautologia, uma contradi»c~ao e uma proposi»c~ao arbitr aria, respectivamente. Ent~ao (a) p ^ t, p, p _ t, t. (b) p _ c, p, p ^ c, c. (c) c ) p, ep ) t. Demonstra»c~ao. (a) A seguinte tabela verdade para p ^ t $ p mostra que p ^ t e equivalente a p. Tabela 1.13: p ^ t $ p V V V V V F F V V F Passo A outra equival^encia, p _ t, t, pode ser demonstrada analogamente. (b) Da seguinte tabela verdade, conclu ³mos que a proposi»c~ao condicional p_c $ p e uma tautologia, e portanto p _ c, p. Tabela 1.14: p _ c $ p V V F V V F F F V F Passo Ademonstra»c~ao de p ^ c, p e similar.

16 L ogica Elementar 15 (c) As tabelas verdade de c! p e p! t mostram que as duas proposi»c~oes s~ao tautologias, logo c ) p e p ) t. Tabela 1.15: c! p F V V F V F p! t V V V F V V No restante deste livro, os ³mbolo c, com ou sem ³ndice, denotar a uma contradi»c~ao; e o s ³mbolo t, com ou sem ³ndice, denotar a uma tautologia Exerc ³cios 1. Demonstre que p _ t, t e p ^ c, c. 2. Demonstre que» t, c e» c, t. 3. Demonstre a seguinte Reductio ad Absurdum. (p ^»q! c), (p! q) 4. Demonstre que p ^ (p! q) ^ (p!»q), c. 5. Demonstre que (p! q) ) (p _ r! q _ r), para qualquer proposi»c~ao r. 1.5 Racioc ³nio dedutivo As 17 leis sumarizadas nos Teoremas de 1.1 a 1.6 s~ao ferramentas muito uteis para justi car equival^encias l ogicas e implica»c~oes, como ilustrado nos Exemplos de 1.5 a 1.7. Chamaremos estas 17 leis de regras de infer^encia. Chamamos a aten»c~ao para o fato de que estas regras foram selecionadas como refer^encias convenientes e n~ao precisam ser independentes entre si. Por exemplo, a Lei Contrapositiva pode ser estabelecida \dedutivamente" pelo uso de outras leis e de de ni»c~oes relevantes, como mostra o pr oximo exemplo. Exemplo 1.5 Demonstre a Lei Contrapositiva, (p! q) (» q!» p), usando de ni»c~oes relevantes e outras regras de infer^encia. Solu»c~ao. (p! q)»(p^»q) Def. 1.4»(» q ^ p) Com.»[» q ^»(» p)] D.N. (» q!»p) Def. 1.4

17 16 L ogica Elementar Portanto, (p! q) (» q!»p), pela Lei Transitiva. Om etodo de demonstra»c~ao usado no Exemplo 1.5 e chamadoracioc ³nio dedutivo 4 ou m etodo dedutivo, e difere do m etodo de demonstra»c~ao por tabelas verdade. Em geral, no racioc ³nio dedutivo, quaisquer axiomas, de ni»c~oes, teoremas e regras de infer^encia, previamente enunciados, podem ser usados. Exemplo 1.6 Prove o Silogismo Disjuntivo por racioc ³nio dedutivo. Solu»c~ao. (p _ q) ^»p»p^ (p _ q) Com. (» p ^ p) _ (» p ^ q) Dist. c _ (» p ^ q)» p ^ p c (» p ^ q) _ c Com.»p^q Teorema 1.7(b) )q Simp. Finalmente, pela Lei Transitiva, (p _ q)^»p ) q. Exemplo 1.7 Demonstre a seguinte Lei de Exporta»c~ao: por racioc ³nio dedutivo. Solu»c~ao. (p ^ q! r) [p! (q! r)] p! (q! r) [p!»(q^»r) De ni»c~ao 1.4»[p^ (q ^»r)] Def. 1.4, D.N.»[(p ^ q) ^»r] Assoc. (p ^ q! r) De ni»c~ao 1.4 Portanto, (p ^ q)! r [p! (q! r)]. Exemplo 1.8 Demonstre que (p! r) _ (q! s) (p ^ q! r _ s) por racioc ³cio dedutivo. Solu»c~ao. (p! r) _ (q! s)»(p^»r) _»(q^»s) De ni»c~ao 1.4 (» p _ r) _ (» q _ s) De M., D.N. (» p _»q)_(r_ s) Com., Assoc.»[(p ^ q)^»(r _ s)] De M., D.N. (p ^ q! r _ s) De ni»c~ao ou argumenta»c~ao dedutiva (N. do T.)

18 L ogica Elementar 17 O porqu^e de querermos usar racioc ³cio dedutivo, em oposi»c~ao a tabelas verdade, pode ser visto da seguinte compara»c~ao: Para veri car a equival^encia no Exemplo 1.8, pelo m etodo das tabelas verdade, ter ³amos que construir uma grande tabela verdade com 16 (= 2 4 ) casos (veja Problema 20 dos Exerc ³cios ou Problema 12 dos Exerc ³cios 1.3.1); por outro lado, na solu»c~ao do Exemplo 1.8, acima, estabelecemos tal equival^encia em apenas cinco passos Exerc ³cios Demonstre as seguintes tautologias pelo m etodo dedutivo. 1. Modus Ponens: p ^ (p! q) ) q 2. Modus Tollens:» q ^ (p! q) )»p 3. Reductio ad Absurdum: (p! q), (p ^»q! c) 4. Silogismo Disjuntivo: (p _ q) ^»p ) q 5. Teorema 1.7(c): c ) p 6. (p! q), (p! p ^ q) 7. (p! q), (p _ q! q) 8. (p! q),»p _ q 9. (p! r) ^ (q! r), (p _ q! r) 10. (p! q) ^ (p! r), (p! q ^ r) 11. (p! q) ^ (p!»q),»p 12. (p! q) _ (p! r), (p! q _ r) 13. (p! r) _ (q! r), (p ^ q! r) 1.6 Regras de quanti ca»c~ao Em qualquer discuss~ao geral, temos em mente um universo particular ou dom ³nio do discurso, isto e, uma cole»c~ao de objetos cujas propriedades est~ao sob considera»c~ao. Por exemplo, na a rma»c~ao \Todos os humanos s~ao mortais", o universo e a cole»c~ao de todos os humanos. Com este entendimento do universo, a a rma»c~ao \Todos os humanos s~ao mortais" poder ser expressada alternativamente como: Para todo x no universo, x e mortal. Afrase\Paratodox no universo" e chamada um quanti cador universal, e e simbolizada por (8x). A senten»ca \x e mortal"diz algosobrex; simbolizaremos isto por p(x). Usando estes novos s ³mbolos, podemos agora escrever a a rma»c~ao geral\todos os homens s~ao mortais" como (8x)(p(x)) Agora considere a a rma»c~ao \Alguns homens s~ao mortais". Aqui o universo (ou dom ³nio de discurso) e ainda o mesmo da a rma»c~ao pr evia. Com este universo em mente, podemos refazer a a rma»c~ao \Alguns homens s~ao mortais" sucessivamente como:

19 18 L ogica Elementar e como Existe pelo menos um indiv ³duo que e mortal. Existe pelo menos um x tal que x e mortal. Existe pelo menos um x tal que p(x). A frase \Existe ao menos um x tal que" e chamada um quanti cador existencial e e simbolizada por (9x). Usando este novo s ³mbolo podemos agora reescrever a a rma»c~ao \Alguns homens s~ao mortais" como (9x)(p(x)) De um modo geral, suponhamos que temos um dom ³nio de discurso U euma a rma»c~ao geral, p(x), chamada um predicado proposicional, cuja\vari avel" x varia em U. Ent~ao (8x)(p(x)) a rma que para todo x, emu, aproposi»c~ao p(x), a respeito de x, e verdadeira, e (9x)(p(x)) signi ca que existe pelo menos um x, emu, tal que p(x) e verdadeira. Em matem atica elementar, quanti cadores s~ao freqäuentemente suprimidos pelo bem da simplicidade. Por exemplo, \(x+1)(x 1) = x 2 1", em livros do ensino b asico, deve ser entendido como dizendo \para todo n umero real x, (x +1)(x 1) = x 2 1". Na matem atica, \qualquer que seja" e \para todo" signi cam a mesma coisa e s~ao ambos simbolizados por 8; e \para algum" signi ca o mesmo que \existe" e e simbolizado por 9. Em express~oes menos formais, freqäuentemente colocamos o quanti cador ap os a a rma»c~ao. Por exemplo, a a rma»c~ao \f(x) =0para todo x" e a mesma que \(8x)(f(x) =0)". Na l ogica e na matem atica, a nega»c~ao da proposi»c~ao \p(x) e verdadeira para todo x (em U)",» [(8x)(p(x))], e considerada o mesmo que a asser»c~ao \existe pelo menos um x (em U) para o qual p(x) e falsa",(9x)(» p(x)). Analogamente,» [(9x)(p(x))] e considerada o mesmo que \n~ao h a nenhum 5 x (em U) tal que p(x) e verdadeira"; ou, em outras palavras, \p(x) e falsa para todo x (em U)", ou (8x)(» p(x)). Sumarizamos tudo isto no seguinte axioma: Axioma 1.1 (Regra da Nega»c~ao do Quanti cador (N.Q.)) Seja p(x) um predicado proposicional, isto e, uma proposi»c~ao sobre um objeto n~ao especi cado de um dado universo. Ent~ao» [(8x)(p(x))] (9x)(» p(x)) e» [(9x)(p(x))] (8x)(» p(x)) 5 Na l ³ngua portuguesa, \n~ao h a nenhum" tem o signi cado de \existe nenhum" (N. do T.).

20 L ogica Elementar 19 Estamos usando \ " para denotar que as duas proposi»c~oes quanti cadas, nos dois lados de, s~ao consideradas a mesma em l ogica; este uso e consistente com o uso de para equival^encias l ogicas, como ser a visto no pr oximo par agrafo. Para entender melhor as proposi»c~oes quanti cadas (8x)(p(x)) e (9x)(p(x)), inspecionemos o caso em que o universo de discurso consiste de um n umero nito de indiv ³duos denotados por a 1 ;a 2 ;a 3 ;::: ;a n. Ent~ao, como (8x)(p(x)) a rma que p(x) e verdadeira para todos, a 1 ;a 2 ;a 3 ;::: ;a n, a proposi»c~ao (8x)(p(x)) e verdadeira se e somente se a conjun»c~ao de e verdadeira. ConseqÄuentemente, Analogamente, p(a 1 );p(a 2 );p(a 3 );::: ;p(a n ) (8x)(p(x)) corresponde a p(a 1 ) ^ p(a 2 ) ^ ^p(a n ) (9x)(p(x)) signi ca p(a 1 ) _ p(a 2 ) _ _p(a n ) Portanto, a Regra da Nega»c~ao do Quanti cador pode ser vista com uma generaliza»c~ao dasleisdedemorgan(teorema1.3). Exemplo 1.9 Quais das seguintes proposi»c~oes e equivalente µa nega»c~ao da proposi»c~ao \Todas as cobras s~ao venenosas"? (a) Todas as cobras s~ao n~ao venenosas. (b) Algumas cobras s~ao venenosas. (c) Algumas cobras n~ao s~ao venenosas. Solu»c~ao. O dom ³nio de discurso U e a cole»c~ao detodasascobras. Sejap(x) o predicado proposicional que a rma que x evenenosa(ondeavari avel x varia sobre U). A a rma»c~ao \Todas as cobras s~ao venenosas" e ent~ao traduzida em (8x)(p(x)). Conforme a regra de nega»c~ao do quanti cador, Axioma 1.1,» [(8x)(p(x))] e equivalente a (9x)(» p(x)), que representa \Algumas cobras n~ao s~ao venenosas" Exerc ³cios 1. Traduza a proposi»c~ao da algebra elementar \A equa»c~ao x 2 3x+2 = 0 tem solu»c~oes" em linguagem l ogica, usando um quanti cador. Qual e o dom ³nio de discurso aqui? 2. Encontre a proposi»c~ao equivalente µa nega»c~ao de cada uma das seguintes proposi»c~oes, usando N.Q. (a) Todas as cobras s~ao r epteis. (b) Alguns cavalos s~ao mansos. (c) Alguns matem aticos n~ao s~ao soci aveis. (d) Todas as estudantes s~ao ou inteligentes ou atraentes. (e) N~ao h a beb^e que n~ao seja fofo.

21 20 L ogica Elementar 3. Encontre o dom ³nio de discurso de cada uma das proposi»c~oes do Problema Deduza» [(9x)(p(x))] (8x)(» p(x)) apartirde 5. Deduza apartirde» [(8x)(q(x))] (9x)(» q(x)):» [(8x)(p(x))] (9x)(» p(x))» [(9x)(q(x))] (8x)(» q(x)): 6. Demonstre que» [(8x)(» q(x))] (9x)(q(x)) e» [(9x)(» q(x))] (8x)(q(x)): [Sugest~ao: Use N.Q.] 1.7 Demonstra»c~ao de validade Uma das mais importantes tarefas de um l ogico est a emtestarargumentos. Umar- gumento e aasser»c~ao de que uma proposi»c~ao, chamada a conclus~ao, e conseqäu^encia de outras proposi»c~oes, chamadas hip oteses ou premissas. Umargumento e considerado v alido se a conjun»c~ao das hip oteses implica a conclus~ao. Como exemplo, o seguinte e um argumento no qual as primeiras quatro proposi»c~oes s~ao hip oteses, e a ultima proposi»c~ao e aconclus~ao. Se ele estuda medicina, ent~ao prepara-se para ganhar uma boa renda. Se ele estuda artes, ent~ao prepara-se para viver bem. Se ele prepara-se para ganhar uma boa renda ou para viver bem, ent~ao suas despesasdeestudosn~ao s~ao desperdi»cadas. Suasdespesasdeestudoss~ao desperdi»cadas. Portanto, ele n~ao estuda nem medicina e nem artes. Este argumento pode ser simbolizado como: H1. M! R H2. A! B H3. (R _ B)!»D H4. D C. :. :» M ^»A Para estabelecer a validade deste argumento por meio de uma tabela verdade, precisar ³amos de uma tabela com 32 (= 2 5 ) linhas. Mas podemos demonstrar que este argumento e v alido deduzindo a conclus~ao a partir das hip oteses em poucos passos usando as regras de infer^encia. Das hip oteses H3 e H4, (R _ B)!» D e D, inferimos» (R _ B), ou equivalentemente,» R ^»B, por Modus Tollens e Lei de De Morgan. De» R ^»B, inferimos, de maneira v alida,» R (e tamb em» B), pelas Leis de Simpli ca»c~ao. De H1, M! R; com» R inferimos» M.

22 L ogica Elementar 21 Analogamente, A! B (de H2), e» B, nos faz inferir» A. Finalmentea conjun»c~ao de» M e» A nos d a aconclus~ao» M ^»A. Nesta demonstra»c~ao, as regras de infer^encia Modus Tollens (M.T.), Leis de De Morgan (D.M.), e Leis de Simpli ca»c~ao (Simp.) s~ao usadas. Um modo mais formal e conciso de expressar esta demonstra»c~ao de validade, e listar as hip oteseseasproposi»c~oes deduzidas a partir delas em uma coluna, com a justi ca»c~ao de cada passo numa coluna ao lado. Em cada passo, a \justi ca»c~ao" indica as a rma»c~oes precedentes das quais, e as regras de infer^encia pelas quais, a a rma»c~ao dada naquele passo foi obtida. Para f acil infer^encia, e conveniente enumerar as hip oteses easa rma»c~oes deduzidas a partir delas e colocar a conclus~ao µa direita da ultima premissa, separada desta por uma barra = que indica que todas as proposi»c~oes acima s~ao hip oteses. Ademonstra»c~ao de validade formal para o argumento acima pode ent~ao ser escrita como 1. M! R (Hip.) 2. A! B (Hip.) 3. (R _ B)!»D (Hip.) 4. D=:. :» M ^»A (Hip./ Concl.) 5.» (R _ B) 3, 4, M.T. 6.» R ^»B 5, De M. 7.» R 6, Simp. 8.» B 6, Simp. 9.» M 1, 7, M.T. 10.» A 2, 8, M.T. 11.» M ^»A 9, 10, Conj. Uma demonstra»c~ao formal de validade para um dado argumento e umaseqäu^encia de proposi»c~oes, cada uma das quais e ou uma premissa do argumento ou segue de proposi»c~oes precedentes por um argumento v alido conhecido, terminando com a conclus~ao do argumento. Exemplo 1.10 Construir uma demonstra»c~ao formal de validade para o seguinte argumento, usando os s ³mbolos sugeridos: Wilson ser a eleito presidente do Centro Acad^emico ouambos,h elio e L ucio ser~ao eleitos vice-presidentes do Centro Acad^emico. Se Wilson for eleito presidente ou H elio for eleito vice, ent~ao David encaminhar a um protesto. Portanto, ou Wilson ser a eleito presidente do Centro Acad^emico ou David encaminhar a um protesto. (W; H; L; D). Demonstra»c~ao. 1. W _ (H ^ L) 2. W _ H! D=:. :W_ D 3. (W _ H) ^ (W _ L) 1, Dist. 4. W _ H (Hip./ Concl.) 5. D 2, 4, M.P. 6. D _ W 5, Ad. 7. W _ D 6, Com.

23 22 L ogica Elementar Existe um outro m etodo de demonstra»c~ao chamado demonstra»c~ao indireta, ou m etodo de demonstra»c~ao por redu»c~ao ao absurdo. Uma demonstra»c~ao indireta de validade, para um dado argumento, e feita incluindo-se, como premissa adicional, a nega»c~ao de sua conclus~ao, e ent~ao derivando uma contradi»c~ao; assim que uma contradi»c~ao e obtida, a demonstra»c~ao est a completa. Exemplo 1.11 D^e uma demonstra»c~ao indireta de validade para o seguinte argumento: p _ q! r s! p ^ u q _ s=:. :r Demonstra»c~ao. 1. p _ q! r 2. s! p ^ u 3. q _ s=:. :r 4.» r P.I. (Demonstra»c~ao Indireta) 5.» (p _ q) 1, 4, M.T. 6.» p ^»q 5, De M. 7.» p 6, Simp. 8.» q 6, Simp. 9. s 3, 8, S.D. 10. p ^ u 2, 9, M.P. 11. p 10, Simp. 12. p ^»p 7, 11, Conj. Aproposi»c~ao p ^»p, nopasso12, e uma contradi»c~ao; portanto a demonstra»c~ao indireta de validade est a completa. Em contraste a uma \demonstra»c~ao indireta", a demonstra»c~ao formal de validade introduzida anteriormente pode ser chamada \demonstra»c~ao direta". Numa demonstra»c~ao matem atica, pode ser usada uma demonstra»c~ao direta ou uma demonstra»c~ao indireta. A escolha do m etodo de demonstra»c~ao, para um argumento matem atico dado, depende da prefer^encia e da conveni^encia Exerc ³cios Para cada um dos seguintes argumentos, d^e uma demonstra»c~ao direta e uma demonstra»c~ao indireta de validade, e compare seus tamanhos.

24 L ogica Elementar A _ (B ^ C) 4. A _ B B! D» B _ C=:. :A_ C C! E D ^ E! A _ C» A=:. :C 2. B _ (C! E) 5. B _ C! B ^ A B! D» B=:. :» C» D! (E! A)» D=:. :C! A 3. (A _ B)! (A! D ^ E) 6. A ^ B! C A ^ D=:. :E_ F (A! C)! D» B _ E=:. :B! D ^ E Nas demonstra»c~oes dos seguintes argumentos, use os s ³mbolos sugeridos. 7. Se a popula»c~ao cresce rapidamente e a produ»c~ao permanece constante, ent~ao os pre»cos sobem. Seospre»cos sobem, ent~ao o governo controla os pre»cos. Se sou rico, ent~ao n~ao me preocupo com o aumento dos pre»cos. N~ao e verdade que n~ao sou rico. O governo n~ao controla os pre»cos ou preocupo-me com o aumento dos pre»cos. Portanto, n~ao e verdade que a popula»c~ao cresce rapidamente e a produ»c~ao permanece constante (P : A popula»c~ao cresce rapidamente. C: Aprodu»c~ao permanece constante. S: Os pre»cos sobem. G: O governo controla os pre»cos. R: Eu sou rico. A: Eumepreocupo com o aumento dos pre»cos.) 8. Se Wilson ou Alberto ganham ent~ao L ucio e Susana choram. Susana n~ao est a chorando. Portanto, Alberto n~ao ganhou. (W : Wilson ganha. A: Alberto ganha. L: L ucio chora. S: Susana chora.) 9. Se eu me inscrevo neste curso e estudo bastante ent~ao tiro boas notas. Se tiro boas notas, co feliz. N~ao estou feliz. Portanto, n~ao me inscrevi neste curso ou n~ao estudei bastante. (I: Me inscrevo neste curso. E: Estudo bastante. B: Tiro boas notas. F : Estou feliz.) 1.8 Indu»c~ao Matem atica Um outro m etodo de demonstra»c~ao, muito util para demonstrar a validade de uma proposi»c~ao P (n), envolvendo o n umero natural n, e o seguinte princ ³pio de indu»c~ao matem atica. Indu»c~ao Matem atica. Se P (n) e uma proposi»c~ao envolvendo o n umero natural n, tal que (1) P (1) e verdadeira, e (2) P (k) ) P (k +1)para qualquer n umero natural arbitr ario k, ent~ao P (n) e verdadeira para todo n umero natural n.

25 24 L ogica Elementar Oprinc ³pio acima e umaconseqäu^encia de um dos Axiomas de Peano para os n umeros naturais. De modo a aplicarmos o princ ³pio de indu»c~ao matem atica para demonstrarmos um teorema, o teorema tem que ser subdividido em casos, uma caso para cada n umero natural. Assim, devemos veri car ambas as condi»c~oes (1) e (2). A veri ca»c~ao de (1), habitualmente f acil, nos garante que o teorema e verdadeiro pelo menos no caso n = 1. Para veri car a condi»c~ao (2), devemos provar um teorema auxiliar cuja premissa (hip otese) e \P (k) e verdadeira", e cuja conclus~ao (tese) e \P (k +1) e verdadeira". A premissa \P (k) e verdadeira" e chamada a hip otese de indu»c~ao. Exemplo 1.12 Demonstre, por indu»c~ao matem atica, que n = n(n +1) 2 Demonstra»c~ao. Aqui P (n) representa a proposi»c~ao \ n = n(n +1) " 2 Em particular, P (1) representa \1 =(1 2)=2", que obviamente e uma a rma»c~ao verdadeira. Portanto, a condi»c~ao (1) para a indu»c~ao matem atica est a satisfeita. Para demonstrar que a condi»c~ao (2) e satisfeita, assumimos que \P (k)", que e \ k = k(k +1)=2", seja verdadeira. Ent~ao, somamos k +1aambos os membros da igualdade. Temos portanto k +(k +1) = = = = k(k +1) +(k +1) 2 k(k +1) 2(k +1) (k +2)(k +1) 2 (k +1)(k +2) 2 o que mostra que P (k +1) e verdadeira. Mostramos assim que as condi»c~oes (1) e (2) da indu»c~ao matem atica s~ao satisfeitas. Portanto, pelo princ ³pio de indu»c~ao matem atica, n = n(n +1)=2 e verdadeiraparacadan umero natural n. A id eia de indu»c~ao matem atica pode ser usada para fazer de ni»c~oes matem aticas envolvendo n umeros naturais. Por exemplo, a de ni»c~ao de pot^encias de um n umero real qualquer x podem ser de nidas por: x 1 = x x n+1 = x n x; para cada n umero natural n

26 L ogica Elementar 25 As duas equa»c~oes acima indicam que x 1 = x, x 2 = x x, x 3 = x 2 x, ::: eassim por diante. Como outra aplica»c~ao, daremos a seguinte de ni»c~ao indutiva do s ³mbolo C(n; r). De ni»c~ao 1.7 Sejam n um n umero natural e r um inteiro. O s ³mbolo C(n; r) e de nido por C(0; 0) = 1, C(0;r)=0 para cada r 6= 0,e C(n +1;r)=C(n; r)+c(n; r 1) Teorema 1.8 Se n e r s~ao inteiros, tais que 0 6 r 6 n, ent~ao C(n; r) = n! r!(n r)! sendo n! o produto n (n 1) 3 2 1, dos primeiros n n umeros naturais consecutivos, se n>0 e 0! = 1 por conven»c~ao. Demonstra»c~ao. Exerc ³cio. Teorema 1.9 (O Teorema Binomial) Se x e y s~ao dois n umeros reais e n e um n umero natural, ent~ao (x + y) n = C(n; 0)x n + C(n; 1)x n 1 y + + C(n; r)x n r y r + + C(n; n)y n Demonstra»c~ao. Demonstraremos a validade deste teorema por indu»c~ao matem atica. Primeiramente, o teorema e claramente verdadeiro para n = 1. Para completar a demonstra»c~ao, assumiremos a validade do teorema para n = k; isto e, assumiremos que (x + y) k = C(k; 0)x k + C(k; 1)x k 1 y + + C(k; r)x k r y r + + C(k; k)y k Ent~ao, multiplicando ambos os membros da igualdade acima por (x + y), temos (x + y) k+1 =(x + y)[x k + C(k; 1)x k 1 y + + C(k; r)x k r y r + + y k ] = x k+1 +[C(k; 0) + C(k; 1)]x k y + +[C(k; r 1) + C(k; r)]x (k+1) r y r + + y k+1 = C(k +1; 0)x k+1 + C(k +1; 1)x k y + + C(k +1;r)x k+1 r y r + + C(k +1;k+1)y k+1 que mostra que o teorema e v alido para n = k +1se for v alido para n = k. Assim, por indu»c~ao matem atica, o teorema binomial e verdadeiro para todos os n umeros naturais n.

27 26 L ogica Elementar Exerc ³cios 1. Demonstre o teorema 1.8 por indu»c~ao matem atica. 2. Mostre que C(n; 0) = 1 = C(n; n) para todo n umero natural n. 3. Demonstre por indu»c~ao matem atica que, para todo n umero natural n, r (r +1)+ + n (n +1)= 1 n(n +1)(n +2): 3 4. Demonstre por indu»c~ao matem atica que, para todo n umero natural n, n 2 = 1 n(n +1)(2n +1): 6 5. Demonstre que para todo n umero natural n, n 3 = 1 4 n2 (n +1) 2 : 6. Demonstre que para todo n umero natural n, (2n 1) = n Demonstre que para todo n umero natural n, n (n +1) = n n +1 : 8. Demonstre as seguintes Leis de De Morgan Generalizadas, (a)» (p 1 ^ p 2 ^ ^p n ),»p 1 _»p 2 _ _»p n (b)» (p 1 _ p 2 _ _p n ),»p 1 ^»p 2 ^ ^»p n 9. Demonstre as seguintes Leis Distributivas Generalizadas. (a) p ^ (q 1 _ q 2 _ _q n ), (p ^ q 1 ) _ (p ^ q 2 ) _ _(p ^ q n ) (b) p _ (q 1 ^ q 2 ^ ^q n ), (p _ q 1 ) ^ (p _ q 2 ) ^ ^(p _ q n )

28 2 O Conceito de Conjunto Neste cap ³tulo, apresentamos os conceitos de conjuntos, subconjuntos, e opera»c~oes entre conjuntos (uni~ao, interse»c~ao, e complementa»c~ao), juntamente com as regras fundamentais dessas opera»c~oes. Estas s~ao desenvolvidas em paralelo com o Cap ³tulo 1 sobre l ogica. Fam ³lias indexadas de conjuntos s~ao discutidas. O Cap ³tulo termina com o Paradoxo de Russel e uma nota hist orica. 2.1 Conjuntos e subconjuntos \O que e um conjunto" e uma quest~ao muito dif ³cil de se responder. 1 Neste tratado elementar, n~ao entraremos em nenhuma abordagem axiom atica complicada da Teoria dos Conjuntos, e conter-nos-emos em aceitar o seguinte: um conjunto e qualquer cole»c~ao, dentro de um todo de objetos de nidos e distingäu ³veis, chamados elementos, de nossa intui»c~ao ou pensamento. Esta de ni»c~ao intuitiva de um conjunto foi dada primeiramente por Georg Cantor (1845{1918), que criou a teoria dos conjuntos em Exemplos: (a) O conjunto de todas as cadeiras na sala de aula de Teoria dos Conjuntos. (b) O conjunto de todos os estudantes desta universidade. (c) O conjunto das letras a, b, c e d. (d) O conjunto das regras de uso do laborat orio de inform atica. (e) O conjunto de todos os n umeros racionais cujo quadrado e 2. (f) O conjunto de todos os n umeros naturais. (g) O conjunto de todos os n umeros reais entre 0 e 1. Um conjunto que cont em apenas um n umero nito de elementos e chamado um conjunto nito; umconjunto in nito e um conjunto que n~ao e nito.exemplosde(a)a (e) acima s~ao todos de conjuntos nitos, e Exemplos (f) e (g) s~ao de conjuntos in nitos. Conjuntos s~ao freqäuentemente designados fechando-se entre chaves os s ³mbolos que representam seus elementos, quando for poss ³vel faz^e-lo. Assim, o conjunto no Exemplo (c) e fa; b; c; dg e o conjunto no Exemplo (f) pode ser denotado por f1; 2; 3;:::g. 1 O estudante tomar a ci^encia da di culdade quando chegarmos µas se»c~oes 2.7 e

29 28 O Conceito de Conjunto O conjunto do Exemplo (e) n~ao tem elementos; um tal conjunto e chamado o conjunto vazio, sendo denotado pelo s ³mbolo. Usaremos letras mai usculas para denotar conjuntos, e letras min usculas para denotar elementos. Se a e um elemento de um conjunto A, escrevemosa 2 A (leia-se: \a e um elemento de A" ou\a pertence a A"), enquanto que a 62 A signi ca que a n~ao e elemento de A. De ni»c~ao 2.1 Dois conjuntos A e B s~ao iguais ou id^enticos quando cont em os mesmos elementos. Isto e, A = B signi ca (8x)[(x 2 A) $ (x 2 B)]. A ordem em que aparecem os elementos num conjunto n~ao tem import^ancia. Assim, o conjunto fa; b; cg e o mesmo que fb; c; ag, etc. Al em disso, como os elementos de um conjuntos s~ao distintos, fa; a; bg, por exemplo, n~ao e uma nota»c~ao apropriada de um conjunto, e deveria ser substitu ³da por fa; bg. Sea e um elemento de um conjunto, a e fag s~ao considerados diferentes, isto e, a 6= fag. Pois fag denota o conjunto consistindo do elemento a somente, enquanto que a e apenas o elemento do conjunto fag. De ni»c~ao 2.2 Sejam A e B conjuntos. Se todo elemento de A e elemento de B, ent~ao A e chamado um subconjunto de B, ems ³mbolos: A ½ B ou B ¾ A. Se A e subconjunto de B, ent~ao B e chamado um superconjunto de A. Assim, escrevendo logicamente, A ½ B (8x)[(x 2 A)! (x 2 B)] Obviamente, todo conjunto e um subconjunto (e um superconjunto) de si mesmo. Quando A ½ B e A 6= B, escrevemosa à B, oub! A, e dizemos que A e um subconjunto pr oprio de B, ouqueb e um superconjunto pr oprio de A. Emoutras palavras, A e um subconjunto pr oprio de B quando todo elemento de A e um elemento de B, mas existe um elemento de B que n~ao e elemento de A. SeA n~ao e subconjunto de B, escrevemos A 6½ B. Teorema 2.1 O conjunto e um subconjunto de qualquer conjunto. Demonstra»c~ao. Seja A um conjunto qualquer. Provaremos que a proposi»c~ao condicional (x 2 )! (x 2 A) e verdadeira para todo x. Comooconjunto n~ao tem nenhum elemento, a a rma»c~ao \x 2 " e falsa, enquanto que \x 2 A" pode ser verdadeira ou falsa. Em qualquer dos casos, a a rma»c~ao condicional \(x 2 )! (x 2 A)" e verdadeira, conforme a tabela verdade para a condicional (casos 3 e 4 da Tabela 1.5, Cap ³tulo 1). Assim, ½ A, para qualquer conjunto A.

30 O Conceito de Conjunto 29 Teorema 2.2 Se A ½ B e B ½ C ent~ao A ½ C. Demonstra»c~ao. Demonstraremos que (x 2 A) ) (x 2 C): (x 2 A) ) (x 2 B); porque A ½ B ) (x 2 C); porque B ½ C Portanto, pela Lei Transitiva (Teorema 1.4(c) do Cap ³tulo 1), temos (x 2 A) ) (x 2 C) ConseqÄuentemente, demonstramos que A ½ C Exerc ³cios 1. Demonstre que o conjunto de letras da palavra \catarata" e o conjunto de letras da palavra \catraca" s~ao iguais. 2. Decida, dentre os seguintes conjuntos, quais s~ao subconjuntos de quais: (a) A = ftodos os n umeros reais satisfazendo x 2 8x +12=0g (b) B = f2; 4; 6g (c) C = f2; 4; 6; 8;:::g (d) D = f6g 3. Liste todos os subconjuntos do conjunto f 1; 0; 1g. 4. Demonstre que [(A ½ B) ^ (B ½ A)], (A = B) [Nota: FreqÄuentemente, em matem atica, o melhor meio de demonstrar que A = B e mostrar que A ½ B e B ½ A.] 5. Demonstre que (A ½ ) ) (A = ). 6. Demonstre que (a) [(A Ã B) ^ (B ½ C)] ) (A Ã C) (b) [(A ½ B) ^ (B Ã C)] ) (A Ã C) 7. D^e um exemplo de um conjunto cujos elementos s~ao tamb em conjuntos. 8. Em cada um dos seguintes itens, determine se a a rma»c~ao e verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, demonstre-a. Se for falsa, mostre-o atrav es de um exemplo (um tal exemplo, mostrando que uma proposi»c~ao e falsa, e chamado um contra-exemplo). (a) Se x 2 A e A 2 B ent~ao x 2 B. (b) Se A ½ B e B 2 C ent~ao A 2 C. (c) Se A 6½ B e B ½ C ent~ao A 6½ C. (d) Se A 6½ B e B 6½ C ent~ao A 6½ C. (e) Se x 2 A e A 6½ B ent~ao x 62 B. (f) Se A ½ B e x 62 B ent~ao x 62 A. 9. Dado um conjunto com n elementos, demonstre que existem exatemente C(n; r) subconjuntos com r elementos.

31 30 O Conceito de Conjunto 2.2 Especi ca»c~ao de conjuntos Um modo de construir um novo conjunto, a partir de um conjunto dado, e especi car aqueles elementos, do conjunto dado, que satisfazem uma propriedade particular. Por exemplo, seja A o conjunto de todos os estudantes desta universidade. A proposi»c~ao \x e paulista" e verdadeira para alguns elementos x de A e falsa para outros. Empregaremos anota»c~ao fx 2 A j x e paulistag para especi car o conjunto de todas os estudantes paulistas desta universidade. Similarmente, fx 2 A j x n~ao e paulistag especi ca o conjunto de estudantes n~ao paulistas desta universidade. Como regra, a todo conjunto A e a toda proposi»c~ao p(x) sobre x 2 A, existeum conjunto fx 2 A j p(x)g, cujos elementos s~ao precisamente aqueles elementos x 2 A para os quais a a rma»c~ao p(x) e verdadeira. Numaabordagemaxiom aticadateoriados conjuntos, esta regra e habitualmente postulada como um axioma, chamado o Axioma da Especi ca»c~ao. Os ³mbolo fx 2 A j p(x)g e lido: o conjunto de todos os x em A tais que p(x) e verdadeira. A nota»c~ao da forma fx 2 A j p(x)g, que descreve um conjunto e chamada a nota»c~ao de constru»c~ao do conjunto. Exemplo 2.1 Seja R o conjunto dos n umeros reais. Ent~ao (a) fx 2 R j x = x +1g e o conjunto vazio. (b) fx 2 R j 2x 2 5x 3=0g e o conjunto f 1=2; 3g. (c) fx 2 R j x 2 +1=0g e o conjunto vazio. Por causa de freqäuente aparecimento, atrav es do restante deste e dos demais cap ³tulos, e em outros t opicos de matem atica, os seguintes s ³mbolos especiais ser~ao reservados para os conjuntos descritos: R = fx j x e umn umero realg Q = fx j x e umn umero racionalg Z = fx j x e umn umero inteirog N = fx j x e umn umero naturalg I = fx 2 R j 0 x 1g R + = fx 2 R j x>0g Note que N ½ Z ½ Q ½ R e N ½ R + ½ R. E bem poss ³vel que elementos de um conjunto possam ser tamb em conjuntos. Por exemplo, o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A tem conjuntos como seus elementos. Este conjunto e chamado conjunto das partes 2 de A, e edenotado 2 Na teoria dos conjuntos, a exist^encia do conjunto das partes n~ao e tidacomo obvia. Como a exist^encia de um conjunto das partes n~ao e conseqäu^encia do axioma da especi ca»c~ao, um novo axioma e necess ario; este axioma e habitualmente chamado o Axioma do Conjunto das Partes epodeserassim enunciado: Para cada conjunto, existe um conjunto de conjuntos que consiste de todos os subconjuntos do conjunto dado.

32 O Conceito de Conjunto 31 por }(A). Exemplo 2.2 }(fag) =f ; fagg, }( ) =f g, e}(fa; bg) = f ; fag; fbg; fa; bgg. Teorema 2.3 Se A consiste de n elementos, ent~ao seu conjunto das partes }(A) cont em exatamente 2 n elementos. Demonstra»c~ao. Oteorema e claramente verdadeiro para A =. Para um conjunto n~ao vazio A, sejaa = fa 1 ;a 2 ;a 3 ;::: ;a n g.dadoumelementoa k de A, paracadasubconjunto de A temos duas possibilidades: ou ele cont em a k ou n~ao o cont em. Portanto, oproblemadeencontraron umero de subconjuntos de A pode ser considerado como o problema de preencher uma lista de n espa»cos em branco 222 2, aleatoriamente, com os n umeros 0 e 1, umn umero em cada espa»co. Cada preenchimento dos n espa»cos determina um subconjunto X de A da seguinte maneira: a k 2 X seesomentese1 aparece no k- esimo espa»co (para cada k 2f1; 2;::: ; ng). Como existem exatamente 2 n preenchimentos distintos, existem 2 n subconjuntos de A. E tamb em interessante a seguinte demonstra»c~ao alternativa do Teorema 2.3: Demonstra»c~ao alternativa. Primeiramente, o conjunto vazio pertence a }(A). Em seguida, cada elemento x 2 A forma um subconjunto fxg pertencente a }(A). Observe que o n umero desse conjuntos unit arios e C(n; 1). Continuando, existem exatamente C(n; 2) subconjuntos de A contendo exatemente 2 elementos de A. 3 Finalmente, existe exatamente C(n; n) =1subconjunto de A contendo n elementos de A, que e opr oprio A. Contando o conjunto vazio, o n umero total de subconjuntos de A e igualac(n; 0)+ C(n; 1) + + C(n; n). Ent~ao, usando a expans~ao binomial para (1 + 1) n,temos (1 + 1) n = C(n; 0) + C(n; 1) + + C(n; n) Assim, o n umero de elementos de }(A) e (1 + 1) n =2 n Exerc ³cios 1. Exiba entre chaves os elementos de cada um dos seguintes conjuntos. A = fx 2 N j x<5g B = fx 2 Z j x 2 25g C = fx 2 Q j 10x 2 +3x 1=0g D = fx 2 R j x 3 +1=0g E = fx 2 R + j 4x 2 4x 1=0g 2. Denote cada um dos seguintes conjuntos pela nota»c~ao de constru»c~ao do conjunto. A = f1; 2; 3g B = f 1; 2 3 ; 1 3 ; 0g 3 Veja problema 9, Exerc ³cios 2.1.1

33 32 O Conceito de Conjunto C = f1; 3; 5; 7; 9;:::g D = f1 p 3; 1+ p 3g 3. Quais s~ao os elementos do conjunto das partes do conjunto fx; fy; zgg? Quantos elementos tem esse conjunto das partes? 4. Seja B um subconjunto de A, eseja}(a: B) =fx 2 }(A) j X ¾ Bg. (a) Seja B = fa; bg e A = fa; b; c; d; eg. Liste os membros do conjunto }(A: B); quantos s~ao eles? (b) Demonstre que }(A: ) =}(A). 5. Sejam A um conjunto com n elementos e B um subconjunto com m elementos, n m. (a) Encontre o n umero de elementos do conjunto }(A: B). (b) Deduza o Teorema 2.3 a partir de (a), fazendo B =. 2.3 Uni~oes e interse»c~oes Na aritm etica, podemos somar, multiplicar, ou subtrair dois n umeros quaisquer. Na teoria dos conjuntos, h a tr^es opera»c~oes uni~ao, interse»c~ao, e complementa»c~ao respectivamente an alogas µas opera»c~oes adi»c~ao, multiplica»c~ao, e subtra»c~ao de n umeros. De ni»c~ao 2.3 A uni~ao de dois conjuntos quaisquer A e B, denotada por A [ B, e o conjunto dos elementos x tais que x pertence a pelo menos um dos dois conjuntos A e B. Ouseja,x 2 A [ B seesomentesex 2 A _ x 2 B. De ni»c~ao 2.4 A interse»c~ao de dois conjuntos quaisquer A e B, denotada por A \ B, e o conjunto dos elementos x tais que x pertence a ambos os conjuntos A e B. Em s ³mbolos, A \ B = fx j (x 2 A) ^ (x 2 B)g, oufx 2 A j x 2 Bg. Se A \ B =, dizemos que A e B s~ao conjuntos disjuntos. Por exemplo, se A = f1; 2; 3; 4g e B = f3; 4; 5g, ent~ao A [ B = f1; 2; 3; 4; 5g e A \ B = f3; 4g; seim denota o conjunto de n umeros imagin arios, ent~ao os conjuntos Im e R s~ao disjuntos. Exemplo 2.3 No que segue, os conjuntos I; N; Z;::: s~ao de nidos como na ultima se»c~ao. (a) I \ Z = f0; 1g e N \ I = f1g. (b) Z [ Q = Q e Z \ Q = Z. (c) I [ I = I e I \ I = I.

34 O Conceito de Conjunto 33 Teorema 2.4 Sejam X um conjunto e A, B e C subconjuntos de X. Ent~ao temos: (a) Os elementos neutros: (b)asleisdeidempot^encia: (c) As leis comutativas: (d) As leis associativas: (e) As leis distributivas: A [ = A A \ X = A A [ A = A A \ A = A A [ B = B [ A A \ B = B \ A A [ (B [ C) =(A [ B) [ C A \ (B \ C) =(A \ B) \ C A \ (B [ C) =(A \ B) [ (A \ C) A [ (B \ C) =(A [ B) \ (A [ C) Demonstra»c~ao. Deixaremos as demonstra»c~oes das partes (a), (b) e (c) para o leitor, como exerc ³cios. (d) De acordo com a De ni»c~ao 2.3, x 2 A [ (B [ C), x 2 A _ (x 2 B [ C) e x 2 B [ C, x 2 B _ x 2 C Assim, x 2 A [ (B [ C), x 2 A _ (x 2 B _ x 2 C) Pela Lei Associativa (para a disjun»c~ao), (x 2 A) _ (x 2 B _ x 2 C) e equivalente a (x 2 A _ x 2 B) _ (x 2 C). A ultima a rma»c~ao, pela De ni»c~ao 2.3, e equivalente a (x 2 A [ B) _ (x 2 C), eportantox 2 (A [ B) [ C. Assim, temos x 2 A [ (B [ C), x 2 (A [ B) [ C Pela de ni»c~ao 2.1, A [ (B [ C) =(A [ B) [ C. A demonstra»c~ao acima pode ser condensada em uma exposi»c~ao limpa de passos l ogicos essenciais, com a justi cativa de cada passo escrita µa direitaparaf acil refer^encia:

35 34 O Conceito de Conjunto x 2 A [ (B [ C), (x 2 A) _ (x 2 B [ C) Def. de [, (x 2 A) _ [(x 2 B) _ (x 2 C)] Def. de [, [(x 2 A) _ (x 2 B)] _ (x 2 C) Assoc. para _, (x 2 A [ B) _ (x 2 C) Def. de [, x 2 (A [ B) [ C Def. de [ Portanto, pela De ni»c~ao 2.1, acabamos de provar que A [(B [C) =(A [B)[C. O estudante deveria tentar apreciar este tipo de demonstra»c~ao, ordenada precisamente pela l ogica. Deixaremos a demonstra»c~ao de A \ (B \ C) =(A \ B) \ C ao leitor, como exerc ³cio. (e) Novamente, apenas a primeira parte do item (e) ser a demonstrada, sendo a segunda parte deixada como exerc ³cio. x 2 A \ (B [ C), (x 2 A) ^ (x 2 B [ C) Def. de \, (x 2 A) ^ [(x 2 B) _ (x 2 C)] Def. de [, [(x 2 A) ^ (x 2 B)] _ [(x 2 A) ^ (x 2 C)] Lei Dist. da l ogica (Cap. 1), (x 2 A \ B) _ (x 2 A \ C) Def. de \, x 2 (A \ B) [ (A \ C) Def. de [ Portanto, pela De ni»c~ao 2.1, A \ (B [ C) =(A \ B) [ (A \ C) Exerc ³cios 1. Demonstre que A ½ B, A [ B = B. 2. Demonstre que A ½ B, A \ B = A. 3. Demonstre as partes (a), (b), e (c) do Teorema Demonstre a segunda metade do Teorema 2.4(d). 5. Demonstre a segunda metade do Teorema 2.4(e). 6. Demonstre que (a) A ½ C e B ½ C implica A [ B ½ C. (b) A ½ B e A ½ C implica A ½ B \ C. [Sugest~ao: Use o Teorema 1.5, do Cap ³tulo 1, se desejar.] 7. Demonstre que (A \ B) [ C = A \ (B [ C), C ½ A. 8. Demonstre que se A ½ B ent~ao }(A) ½ }(B). 9. Demonstre que A [ B = A \ B, A = B. 10. Demonstre que se A ½ B, ent~ao A [ C ½ B [ C e A \ C ½ B \ C, para qualquer conjunto C. 11. Demonstre que se A ½ C e B ½ D ent~ao A [ B ½ C [ D.

36 O Conceito de Conjunto Complementos Existe, na teoria dos conjuntos, uma opera»c~ao conhecida como complementa»c~ao, que e similar µa opera»c~ao de subtra»c~ao na aritm etica. De ni»c~ao 2.5 Se A e B s~ao conjuntos, o complemento relativo de B em A e o conjunto A B, de nido por A B = fx 2 A j x 62 Bg Nesta de ni»c~ao, n~ao e assumido que B ½ A. Exemplo 2.4 Sejam A = fa; b; c; dg e B = fc; d; e; fg Encontre A B e A (A \ B). Solu»c~ao. A B = fa; b; c; dg fc; d; e; fg = fa; bg e A (A \ B) =fa; b; c; dg fc; dg = fa; bg Embora o conjunto universal no sentido absoluto, o conjunto de todos os conjuntos, n~ao exista (veja o Paradoxo de Russel na se»c~ao 2.7), n~ao h a problema em assumirmos temporariamente que todos os conjuntos mencionados, no restante deste e dos demais cap ³tulos, s~ao subconjuntos de um conjunto xado U, que pode ser considerado (temporariamente) como um conjunto universal no sentido restrito. De modo a enunciar as regras b asicas a respeito de complementa»c~oes, do modo mais simples poss ³vel, assumiremos, a menos que seja dito em contr ario, que todos os complementos s~ao formados relativamente a este conjunto U. Escreveremos ent~ao A 0 como sendo U A. Exemplo 2.5 Demonstre que A B = A \ B 0. Solu»c~ao. x 2 A \ B 0 (x 2 A) ^ (x 2 U B) Def. de \, Def. de 0 (x 2 A) ^ [(x 2 U) ^ (x 62 B)] Def. 2.5 (x 2 A \ U) ^ (x 62 B)] Assoc. de ^, Def. de \ (x 2 A) ^ (x 62 B) A \ U = A, x 2 (A B) Def. 2.5 Portanto, pela De ni»c~ao 2.1, A \ B 0 = A B.

37 36 O Conceito de Conjunto Teorema 2.5 Sejam A e B conjuntos. Ent~ao (a) (A 0 ) 0 = A. (b) 0 = U e U 0 =. (c) A \ A 0 = e A [ A 0 = U. (d) A ½ B se e somente se B 0 ½ A 0 Demonstra»c~ao. As demonstra»c~oes das partes (a), (b), e (c) usam apenas de ni»c~oes e s~ao deixadas ao leitor, como exerc ³cio. Daremos uma demonstra»c~ao da parte (d): A ½ B [(x 2 A)! (x 2 B)] Def. de ½ [(x 62 B)! (x 62 A)] 4 Contrap. [(x 2 B 0 )! (x 2 A 0 )] Def. de 0 B 0 ½ A 0 Def. de ½ Portanto, acabamos de demonstrar que (A ½ B) (B 0 ½ A 0 ). Na demonstra»c~ao acima, novamente s ³mbolos e leis da l ogica (do Cap ³tulo 1) s~ao usados, o que nos permite exibir cada passo da demonstra»c~ao de maneira simples e elegante, com justi cativas ao lado direito. O leitor e encorajado a fazer uso total do Cap ³tulo 1, nas demonstra»c~oes, sempre que poss ³vel. A propriedade mais util de complementos e oseguinteteoremadedemorgan. Compare-o com as Leis de De Morgan no Cap ³tulo 1. Teorema 2.6 (Teorema de De Morgan) Para quaisquer dois conjuntos A e B, (a) (A [ B) 0 = A 0 \ B 0 (b) (A \ B) 0 = A 0 [ B 0. Demonstra»c~a de (a): x 2 (A [ B) 0»[x 2 A [ B] Def. de 0»[(x 2 A) _ (x 2 B)] Def. de [»(x 2 A) ^»(x 2 B) De M. da l ogica (x 2 A 0 ) ^ (x 2 B 0 ) Def. de 0 x 2 (A 0 \ B 0 ) Def. de \ Portanto, pela De ni»c~ao 2.1, (A [ B) 0 = A 0 \ B 0. Ademonstra»c~ao de (b) e deixada ao leitor. 4 Lembremo-nos que a nega»c~ao de x 2 B,» (x 2 B), edenotadaporx 62 B.

38 O Conceito de Conjunto 37 Exemplo 2.6 Sejam A, B, ec tr^es conjuntos quaisquer. Decida se o conjunto A \ (B C) e o mesmo que (A \ B) (A \ C). Solu»c~ao. (A \ B) (A \ C) =(A \ B) \ (A \ C) 0 Exemplo 2.5 =(A \ B) \ (A 0 [ C 0 ) Teor.deDeM.(Teor.2.6) =(A \ B \ A 0 ) [ (A \ B \ C 0 ) Dist. =(A \ A 0 \ B) [ (A \ B \ C 0 ) Com. = [ [A \ (B \ C 0 )] Teor. 2.5(c): A \ A 0 = = A \ (B C) Teor. 2.4(a), Exemplo 2.5 Portanto, demonstramos que A \ (B C) =(A \ B) (A \ C) Exerc ³cios 1. Sejam A e B conjuntos. Demonstre que A B = A (A \ B). 2. Demonstre as partes (a), (b), e (c) do Teorema Sejam A e B conjuntos. Demonstre que B ½ A 0 se e somente se A \ B =. 4. Sejam A e B conjuntos. Demonstre que (A B) [ B = A se e somente se B ½ A. 5. Demonstre o Teorema 2.6(b). 6. Sejam A, B, e C tr^es conjuntos quaisquer. Demonstre que (a) (A C) [ (B C) =(A [ B) C, (b) (A C) \ (B C) =(A \ B) C. 7. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Demonstre que A e B A s~ao disjuntos, e que A [ B = A [ (B A). (Isto mostra como representar a uni~ao A [ B como uma uni~ao disjunta.) 8. Sejam A, B, e C tr^es conjuntos quaisquer. Demonstre que (a) (A \ B \ C) 0 = A 0 [ B 0 [ C 0 (b) (A [ B [ C) 0 = A 0 \ B 0 \ C 0. Generalize estes resultados a proposi»c~oes envolvendo n conjuntos A 1 ;A 2 ;A 3 ;::: ;A n : 9. Para conjuntos quaisquer A e B demonstre ou refute que (a) }(A) \ }(B) =}(A \ B) (b) }(A) [ }(B) =}(A [ B). 10. Demonstre que se A ½ C, B ½ C, A [ B = C, ea \ B =, ent~ao A = C B. 11. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Demonstre que (A B) [ (B A) =(A [ B) (A \ B):

39 38 O Conceito de Conjunto 2.5 Diagramas de Venn Como aux ³lio na vizualiza»c~ao de opera»c~oes de conjuntos, introduziremos diagramas, chamados diagramas de Venn, que representam conjuntos geometricamente. Representaremos o conjunto universal relativo U por um ret^angulo, e os subconjuntos de U por c ³rculos desenhados dentro do ret^angulo. Por exemplo, na Figura 1, representamos dois conjuntos A e B como dois c ³rculos sombreados; a parte duplamente hachurada e ainterse»c~ao A \ B, ea area sombreada total e a uni~ao A [ B. Figura 1. A Figura 2 mostra dois conjuntos A e B que s~ao disjuntos. A area sombreada na Figura 3 representa o complemento A 0 do conjunto A. O conjunto A B, o complemento relativo de B em A, e representado pela parte sombreada na Figura 4. Figura 2. Figura 3.

40 O Conceito de Conjunto 39 Figura 4. Figura 5. Figura 6. Um diagrama de Venn t ³pico de tr^es conjuntos A, B, ec pode ser desenhado como na Figura 5. Esses tr^es conjuntos dividem o conjunto universal U em 8 partes, tal como indicado na gura 6. Usando os diagramas acima, podemos dar argumentos heur ³sticos simples para a validade de, por exemplo, a lei distributiva A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C), como segue: Da Figura 6, A \ (B [ C) consiste das areas2,3e7. Poroutrolado, (A \ B) [ (A \ C) e representada pela uni~ao das areas2e7,e areas 3 e 7. Portanto, a igualdade A\(B[C) =(A\B)[(A\C) parece plaus ³vel. Entretanto, em matem atica, um argumento heur ³stico n~ao pode ser aceito como uma demonstra»c~ao.

41 40 O Conceito de Conjunto Exerc ³cios 1. Desenhe um diagrama de Venn para A ½ B. 2. Desenhe diagramas de Venn para A \ B 0, A 0 \ B e A 0 \ B Desenhe diagramas de Venn para A [ B 0, A 0 [ B e A 0 [ B 0. Nos problemas de 4 a 10, desenhe diagramas de Venn e d^e argumentos heur ³sticos de que cada uma das a rma»c~oes e plaus ³vel. 4. A \ (B \ C) =(A \ B) \ C. 5. A [ (B [ C) =(A [ B) [ C. 6. A [ (B \ C) =(A [ B) \ (A [ C). 7. (A [ B) 0 = A 0 \ B (A \ B) 0 = A 0 [ B A \ (B A) = e A [ (B A) =A [ B. 10. (A [ B) (A \ B) =(A B) [ (B A). 2.6 Fam ³lias indexadas de conjuntos Recordemos que um conjunto e uma cole»c~ao de elementos que s~ao todos distintos. Grosseiramente falando, uma fam ³lia e uma cole»c~ao de objetos, n~ao necessariamente distintos, chamados membros. Por exemplo, fa; a; ag e uma fam ³lia com tr^es membros, a, a e a. Mas a mesma fam ³lia fa; a; ag, considerada como um conjunto e apenaso conjunto unit ario fag comum unico elemento, a. Seja um conjunto e suponhamos que para cada elemento de, existeum conjunto associado A. A fam ³lia de todos esses conjuntos A e chamada uma fam ³lia indexada de conjuntos, indexada pelo conjunto, e e denotadapor fa j 2 g Por exemplo, a fam ³lia de conjuntos, f1; 2g; f2; 4g; f3; 6g;::: ;fn; 2ng;:::,pode ser considerada como uma fam ³lia indexada de conjuntos, indexada pelo conjunto N dos n umeros naturais, sendo A n = fn; 2ng para cada n 2 N. Esta fam ³lia de conjuntos pode ser denotada por ffn; 2ngjn 2 Ng. Uma fam ³lia arbitr aria de conjuntos pode parecer n~ao ser indexada, mas na maioria dos casos podemos facilmente encontrar um conjunto que pode ser usado para indexar a fam ³lia de conjuntos dada. Exemplo 2.7 Indexe a fam ³lia F de conjuntos ; N; Z; Q; R; R. Solu»c~ao. Como esta fam ³lia cont em exatamente seis membros (embora dois deles sejam o mesmo), escolhemos =f1; 2; 3; 4; 5; 6g e fazemos A 1 =, A 2 = N, A 3 = Z, A 4 = Q, A 5 = R e A 6 = R. A fam ³lia de conjuntos est a ent~ao indexada. Virtualmente todos os s ³mbolos e nota»c~oes usados para conjuntos aplicam-se a fam ³lias tamb em. Por exemplo, 2 F e R + 62 F indicam, respectivamente, que

42 O Conceito de Conjunto 41 e um membro da fam ³lia F e R + n~ao e membrodef. Podemos tamb em escrever F = f ; N; Z; Q; R; Rg. Estendamos agora os conceitos de uni~ao [ einterse»c~ao \, das De ni»c~oes 1.3 e 1.4, a uma fam ³lia arbitr aria de conjuntos. De ni»c~ao 2.6 Seja F uma fam ³lia arbitr aria de conjuntos. A uni~ao dos conjuntos em F, denotadapor S A2F A ou S F, e o conjunto de todos os elementos que est~ao em A para algum A 2 F. Ou seja, [ A = fx 2 U j x 2 A para algum A 2 Fg A2F Se a fam ³lia F e indexada pelo conjunto, a seguinte nota»c~ao alternativa pode ser usada: [ A = fx 2 U j x 2 A para algum 2 g 2 Se o conjunto de ³ndices e nito, =f1; 2; 3;::: ;ng para algum n umero natural n, nota»c~oesmaisintuitivas,taiscomo n[ A i ou A 1 [ A 2 [ [A n i=1 s~ao usadas freqäuentemente para S 2 A. Exemplo 2.8 Encontre a uni~ao da fam ³lia de conjuntos f1g; f2; 3g; f3; 4; 5g;::: ;fn; n +1;::: ;2n 1g: Solu»c~ao. Esta fam ³lia de conjuntos pode ser considerada como indexada por = f1; 2; 3;::: ;ng, sendo A i = fi; i +1;::: ;2i 1g, paracadai 2. O problema se reduz a encontrar S n i=1fi; i +1;::: ;2i 1g. Observe que cada inteiro entre 1 e 2n 1 pertence a algum A i na fam ³lia, e nenhum outro elemento pertence a qualquer desses A i.portanto, n[ fi; i +1;::: ;2i 1g = f1; 2; 3;::: ;2n 1g i=1 De ni»c~ao 2.7 Seja F uma fam ³lia arbitr aria de conjuntos. A interse»c~ao de conjuntos em F, denotadapor T A2F ou T F, e o conjunto de todos os elementos que est~ao em A para todo A 2 F. Ou seja, \ = fx 2 U j x 2 A para todo A 2 Fg A2F

43 42 O Conceito de Conjunto Aqui, a a rma»c~ao \x 2 A para todo A 2 F" pode ser expressada alternativamente como \A 2 F! x 2 A. Esta ultima express~ao e melhor na demonstra»c~ao de teoremas, como veremos no Teorema 2.7 adiante. Se a fam ³lia F e indexada pelo conjunto, a seguinte nota»c~ao alternativa pode ser usada: \ A = fx 2 U j x 2 A para todo 2 g 2 Se o conjunto de ³ndices for nito, =f1; 2;::: ;ng para algum inteiro positivo n, ent~ao como no caso da uni~ao, escrevemos habitualmente n\ A i ou A 1 \ A 2 \ A n i=1 em vez de T 2 A. Sejam a e b dois n umeros reais quaisquer. Por intervalo aberto ]a; b[ entendemos o subconjunto fx 2 R j a<x<bg de R. Segue que se a b ent~ao ]a; b[=. Exemplo 2.9 Encontre a interse»c~ao da fam ³lia de intervalos abertos ]0; 1[ ; ]0; 1 2 [ ; ]0; 1 3 [ ;::: Solu»c~ao. Devemos encontrar o conjunto T n2n ]0; 1 [. Falando intuitivamente, a fam ³lia n dada e umaseqäu^encia de intervalos \decrescentes" ]0; 1=n[, em que o intervalo ]0; 1=n[ se \aproxima" do conjunto vazio quando n torna-se grande. Portanto, podemos conjeturar que a interse»c~ao T n2n ]0; 1=n[ deve ser o conjunto vazio. Demonstraremos que nossa conjetura e verdadeira. Suponha em contr ario, que existe algum n umero real a 2 T n2n ]0; 1=n[. Ent~ao ter ³amos 0 <a<1=n para todo n 2 N. Isto contradiz o fato de que para um n umero real xado a>0, sempre existe um n 2 N, su cientemente grande, tal que 1=n < a. A contradi»c~ao mostra que T n2n ]0; 1=n[=. Teorema 2.7 Seja fa j 2 g uma fam ³lia vazia de conjuntos; isto e, =. Ent~ao (a) S 2 A =. (b) T 2 A = U. Demonstra»c~ao. (a) Para mostrar S 2 A =, mostramos equivalentemente que x 62 S 2 A para todo x (em U): 0 1 x 62 S 2 2 S 2 A A Nota»c~ao»(x 2 A para algum 2 ) Def. 2.6 (x 62 A para todo 2 ) N.Q. (Cap. 1) ( 2! x 62 A )

44 O Conceito de Conjunto 43 A ultima a rma»c~ao e, pelo Teorema 1.7 do Cap ³tulo 1, verdadeira para todo x 2 U, pois 2 e uma contradi»c~ao. Isto completa a demonstra»c~ao da parte (a). (b) Demonstraremos que x 2 T 2 A,paratodox em U. Observe que x 2 T 2 A (x 2 A ; 8 2 ) Def. 2.7 ( 2! x 2 A ) A ultima asser»c~ao e, como explicamos na demonstra»c~ao da parte (a), uma a rma»c~ao verdadeira para todo x 2 U. A demonstra»c~ao est a terminada. Muitos teoremas, a respeito de opera»c~oes de um n umero nito de conjuntos, podem ser generalizados a teoremas a respeito de opera»c~oes de uma fam ³lia arbitr aria de conjuntos. Por exemplo, o seguinte teorema generaliza o Teorema de De Morgan. Compare este teorema com o Teorema 2.6. Teorema 2.8 (Teorema de De Morgan Generalizado) Seja fa j 2 g uma fam ³lia arbitr aria de conjuntos. Ent~ao ³ S (a) 2 A T 0 = 2 A0. ³ T (b) 2 A S 0 = 2 A0. Demonstra»c~ao. Demonstraremos apenas a parte (a), e deixaremos a parte (b) ao estudante. Ã! 0 Ã S x 2 A» x 2 S! A Def. de 0 2 2»(9 2 )(x 2 A ) Def. 2.6 (8 2 )(x 62 A ) N.Q. (Cap. 1) (8 2 )(x 2 A 0 0 ) Def. de x 2 T 2 A0 Def. 2.7 Portanto, pela De ni»c~ao 2.1, ³ S 2 A 0 = T 2 A0. O seguinte teorema e uma generaliza»c~ao do Teorema 2.4(e). Teorema 2.9 (Leis Distributivas Generalizadas) Seja A um conjunto e seja F = fb j 2 g uma fam ³lia arbitr aria de conjuntos. Ent~ao ³ S (a) A \ 2 B = S 2 (A \ B ): ³ T (b) A [ 2 B = T 2 (A [ B ):

45 44 O Conceito de Conjunto S Demonstra»c~ao. Um elemento x est a no conjunto A\³ 2 B se e somente se x 2 A e x 2 S 2 B, o que, de acordo com a De ni»c~ao 2.6, e equivalente a x 2 A e x 2 B para algum 2 Esta ultima asser»c~ao pode ser expressa, pela De ni»c~ao 2.4, como x 2 A \ B para algum 2 o que, pela De ni»c~ao 2.6, e precisamente x 2 S 2 (A \ B ). Assim, pela De ni»c~ao 2.1, ³ S A \ 2 B = S 2 (A \ B ). Ademonstra»c~ao da parte (b) e umexerc ³cio Exerc ³cios 1. Sejam =f1; 2; 3; 4g, ea 1 = fa; b; c; dg, A 2 = fb; c; dg, A 3 = fa; b; cg, A 4 = fa; bg. Encontre o seguinte. (a) S 4 i=1 A i. (b) T 4 i=1 A i. 2. Para dois n umeros reais quaisquer a e b, porintervalo fechado [a; b] entendemos o conjunto fx 2 R j a x bg. Sea>b, [a; b] =. Encontre os seguintes conjuntos. (a) T n2n [0; 1=n] (b) S n2n [0; 1=n] (c) T 99 n=1 [0; 1=n] ³ T 3. Demonstre o Teorema 2.8(b): 2 A S 0 = 2 A0 ³. T 4. Demonstre o Teorema 2.9(b): A [ 2 B = T 2 (A [ B ). 5. Expanda (a) (A 1 [ A 2 ) \ (B 1 [ B 2 [ B 3 ) em uma uni~ao de interse»c~oes, e (b) (A 1 \ A 2 ) [ (B 1 \ B 2 \ B 3 ) em uma interse»c~ao de uni~oes. [Sugest~ao: Use o Teorema 2.9 v arias vezes.] 6. Expanda (a) ( S m i=1 A i) \ ( S n j=1 B j) em uma uni~ao de interse»c~oes, e (b) ( T m i=1 A i) [ ( T n j=1 B j) em uma interse»c~ao de uni~oes. [Veja Problema 5.] 7. Sejam fa j 2 g e fb ± j ± 2 g duas fam ³lias de conjuntos. Expanda (a) ( S 2 A ) \ ( S ±2 B ±) em uma uni~ao de interse»c~oes, e (b) ( T 2 A ) [ ( T ±2 B ±) em uma interse»c~ao de uni~oes. [Veja Problemas 5 e 6.] 2.7 O paradoxo de Russel Neste momento muitos de n os achamos que entendemos o signi cado de conjunto pelo menos intuitivamente. A maioria de n os, fazendo um curso de teoria dos conjuntos pela

46 O Conceito de Conjunto 45 primeira vez, n~ao perceberia o que h a de errado em considerar \o conjunto de todos os conjuntos" ou o assim chamado \conjunto universal" no sentido absoluto. Na verdade, por um per ³odo de tempo (pelo menos de 1895, quando Georg Cantor pioneiramente criou uma teoria dos conjuntos, at e 1902, quando o Paradoxo de Russel apareceu), a exist^encia de um tal conjunto universal era considerada como certa. Foi o famoso l osofo ingl^es Bertrand Russel (1872{1970) 5 que chocou a comunidade matem atica em 1902, declarando que a admiss~ao de um conjunto de todos os conjuntos levaria a uma contradi»c~ao. Este e o famoso Paradoxo de Russel. Apresentaremos este paradoxo na forma de dois lemas aparentemente contradit orios, dos quais um teorema econseqäu^encia. Lema 2.1 Suponhamos que existe um conjunto U de todos os conjuntos. Seja R = fs 2 U j S 62 Sg. 6 Ent~ao R 62 R. Demonstra»c~ao. Suponhamos, ao contr ario, que R 2 R. Ent~ao, pela especi ca»c~ao do conjunto R, devemos ter R 62 R, o que contradiz a hip otesedequer 2 R. A contradi»c~ao prova que R 62 R. Lema 2.2 Suponhamos que existe um conjunto U de todos os conjuntos. Seja R o conjunto fs 2 U j S 62 Sg. Ent~ao R 2 R. Demonstra»c~ao. Suponha o contr ario, que R 62 R. Ent~ao, como R 2 U, temosr 2 R pela de ni»c~ao de R. Isto eumacontradi»c~ao. Assim, R 2 R. Teorema 2.10 N~ao existe um conjunto de todos os conjuntos. Demonstra»c~ao. Em vista dos Lemas 2.1 e 2.2, o conjunto de todos os conjuntos n~ao pode existir. Pois, se existisse, levaria µa contradi»c~ao \R 62 R e R 2 R". Paul R. Halmos coloca-o do seguinte modo: \Nada cont em tudo." 7 5 Bertrand Russel nasceu em 18 de maio de 1872, em Trelleck, Wales, Inglaterra. Antes que completasse quatro anos, seus pais faleceram. Foi sempre um garoto quieto e t ³mido, at e ingressar no Trinity College, na Universidade de Cambridge, em Ap os tr^es anos de Matem atica, concluiu que o que lhe estava sendo ensinado estava cheio de erros. Vendeu seus livros de matem atica e mudou-se para a loso a. NoseuPrincipia Mathematica (1910{1913), um trabalho monumental em tr^es volumes, em co-autoria com Alfred North Whitehead (1861{1947), tentou remodelar a teoria dos conjuntos, de modo a evitar paradoxos. Em 1918 escreveu \Quero posicionar-me µa borda do mundo e perscrutar a escurid~ao al em, e ver um pouco mais do que outros viram. ::: Quero trazer de volta ao mundo dos homens um pouquinho de sabedoria". Ele seguramente o fez, mais do que \um pouquinho". No mesmo ano, foi preso por um coment ario desfavor avel sobre o ex ercito americano. Em 1950 recebeu a Ordem do M erito do rei da Inglaterra e o Pr^emio Nobel de Literatura. Em seus ultimos anos, liderou v arias manifesta»c~oes contra os armamentos nucleares. 6 Conforme a regra da especi ca»c~ao, R e um conjunto freqäuentemente chamado \o conjunto de Russel". 7 Paul R. Halmos, Naive Set Theory (Teoria Ing^enua dos Conjuntos), D. Van Nostrand Company, Inc., New York, 1960, p.6.

47 46 O Conceito de Conjunto 2.8 Um coment ario hist orico A teoria moderna dos conjuntos e geralmente considerada ter sido criada em 1859 pelo matem atico famoso Georg Cantor 8 (1845{1918), que notou a necessidade de uma tal teoria quando estudava s eries trigonom etricas. Cantor escreveu: \Por um `conjunto' entenderemos qualquer cole»c~ao dentro de um todo de objetos distintos de nidos, de nossa intui»c~ao ou pensamento". Esta de ni»c~ao n~ao proibe ningu em de considerar o \conjunto" de todos os conjuntos, como o fez Bertrand Russel. A di culdade real na de ni»c~ao de Cantor de um conjunto e a palavra \cole»c~ao". O que e uma cole»c~ao? E claro que podemos procur a-la em um dicion ario e encontrar algo como estas de ni»c~oes: \cole»c~ao: um grupo de objetos coletados." \grupo: um agregado ou cole»c~ao." \agregado: uma cole»c~ao." Estas di cilmente nos ajudar~ao. Quando um matem atico d a umade ni»c~ao, n~ao e para que seja um mero sin^onimo, tal como o s~ao \cole»c~ao" e \conjunto", ou uma de ni»c~ao circular como encontrar ³amos em um dicion ario. Aparentemente, Cantor n~ao estava consciente de que o termo \conjunto" era realmente inde n ³vel. Para evitar qualquer di culdade, tal como o Paradoxo de Russel na teoria dos conjuntos, devemos aceitar os termos \conjunto" e \elemento" como termos inde nidos, ou primitivos, e guiar estes conceitos primitivos por um n umero de axiomas, incluindo o AxiomadaEspeci ca»c~ao e o Axioma do Conjunto das Partes, que foram apresentados na se»c~ao 2.2. Outros axiomas, tais como \A = B" se e somente se A e B cont em os mesmos elementos" (Axioma da Extens~ao), \ e um conjunto" (Axioma do Conjunto Vazio), \Se A e B s~ao conjuntos, ent~ao tamb em o e fa; Bg" (AxiomadoEmparelhamento), e \Se F e um conjunto de conjuntos ent~ao F e um conjunto" (Axioma das Uni~oes) s~ao freqäuentemente dados em tratamentos axiom aticos da teoria dos conjuntos. OParadoxodeRusseln~ao foi o unico a aparecer na teoria dos conjuntos. Logo depois do seu aparecimento, muitos paradoxos foram constru ³dos por v arios matem aticos el ogicos. Como uma conseqäu^encia de todos esses paradoxos, muitos matem aticos e l ogicos contribu ³ram a v arias formula»c~oes da \teoria axiom atica dos conjuntos", cada uma projetada de modo a evitar esses paradoxos e, ao mesmo tempo, a preservar o corpo principal da teoria dos conjuntos de Cantor. Entretanto, at e o momento da escrita destas notas 9, ningu em apareceu com um sistema axiom atico completamente satisfat orio para a teoria dos conjuntos. Apesar das di culdades supracitadas, a teoria dos conjuntos de Cantor j a penetrou emtodososramosdamatem atica moderna, e provou ser de import^ancia particular nos fundamentos da an alise moderna e da topologia. Na verdade, mesmo os mais 8 Georg Cantor nasceu em S~ao Petersburgo, R ussia, em 1845, mudou-se para a Alemanha em 1856, estudou matem atica na Universidade de Berlim (1863{1869), e ensinou na Universidade de Halle (1969{ 1905). Um dos interesses de Cantor eram as s eries trigonom etricas, que o levaram a investigar os fundamentos da an alise. Como resultado, ele criou o trabalho revolucion ario sobre a teoria dos conjuntos eumaaritm etica dos n umeros trans nitos

48 O Conceito de Conjunto 47 simples e bem constru ³dos sistemas axiom aticos da teoria dos conjuntos s~ao inteiramente adequados para a constru»c~ao de virtualmente toda a matem atica cl assica (e.g., a teoria dos n umeros reais e complexos, algebra, topologia, etc.).

49 48 Relac»~oes e Func»~oes

50 3 Rela»c~oes e Fun»c~oes O cap ³tulo inicia-se com uma discuss~ao sobre pares ordenados e o produto cartesiano de dois conjuntos. O conceito de rela»c~ao e ent~ao de nido como sendo um conjunto de pares ordenados. A conex~ao ³ntima entre parti»c~oes e rela»cµoes de equival^encia, num conjunto, e cuidadosamente examinada. Como prepara»c~ao para os leitores que pretendem seguir estudando mais matem atica moderna, propriedades importantes de fun»c~oes s~ao estudadas. Uma grande quantidade de exemplos e constru ³da. 3.1 Produto cartesiano de conjuntos Dados dois objetos quaisquer a e b, podemos formar um novo objeto (a; b), chamado par ordenado a,b. 12 O adjetivo \ordenado" enfatiza aqui que a ordem pela qual os objetos a e b aparecem entre par^enteses e essencial. Note que o par ordenado (a; b) n~ao e o mesmo que o conjunto fa; bg. H a ummodosatisfat orio, embora complicado, de de nir o par ordenado (a; b) como sendo o conjunto ffag; fa; bgg, de onde segue a propriedade \(a; b) =(c; d), a = c e b = d" (Veja Problema 11, Exerc ³cios 1.3.1). Dois pares ordenados (a; b) e (c; d) s~ao considerados iguais (=) se e somente se a = c e b = d. Por exemplo, (x; y) =(7; 8) seesomentesex =7e y =8. Em geometria anal ³tica, o plano cartesiano pode ser considerado como o conjunto de todos os pares ordenados de n umeros reais. Enunciaremos formalmente este conceito do seguinte modo: De ni»c~ao 3.1 Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. O conjunto de todos os pares ordenados (x; y), comx 2 A e y 2 B, e chamado o produto cartesiano de A e B, e e 1 Infelizmente, a nota»c~ao (a; b) para um par ordenado e a mesma para um intervalo aberto quando a e b s~ao n umeros reais. Entretanto, o leitor atento dever a ser sempre capaz de fazer a distin»c~ao a partir do contexto. 2 Desde o Cap ³tulo 2, j a zemosaop»c~ao por denotar o intervalo aberto de extremos a e b por ]a; b[. (N. do T.) 49

51 50 Relac»~oes e Func»~oes denotado por A B. Simbolicamente, A B = f(x; y) j x 2 A ^ y 2 Bg Para o par ordenado (a; b), a e chamado a primeira coordenada e b e asegunda coordenada. Exemplo 3.1 Sejam A = fa; b; cg e B = f1; 2g. Encontre os produtos cartesianos A B e B A. Solu»c~ao. Pela De ni»c~ao 3.1 acima, temos A B = f(a; 1); (a; 2); (b; 1); (b; 2); (c; 1); (c; 2)g e B A = f(1;a); (1;b); (1;c); (2;a); (2;b); (2;c)g Notamos que A B 6= B A. Podemos representar geometricamente o produto cartesiano A B como o conjunto de pontos destacados na seguinte gura. Figura 7. Exemplo 3.2 Seja A um conjunto qualquer. Encontre A e A. Solu»c~ao. Como A e o conjunto de todos os pares ordenados (a; b), tais que a 2 A e b 2, ecomooconjuntovazio n~ao cont em nenhum elemento, n~ao h a nenhum b em ; portantoa =. Analogamente, A =. Teorema 3.1 Sejam A, B e C tr^es conjuntos quaisquer. Ent~ao (a) A (B \ C) =(A B) \ (A C). (b) A (B [ C) =(A B) [ (A C).

52 Relac»~oes e Func»~oes 51 Demonstra»c~ao. (a) (a; x)2 A (B \ C), (a 2 A) ^ (x 2 B \ C) Def. 3.1, (a 2 A) ^ (x 2 B ^ x 2 C) Def. de \, (a 2 A) ^ (a 2 A) ^ (x 2 B) ^ (x 2 C) Idemp., Assoc. (Cap. 1), [(a 2 A) ^ (x 2 B)] ^ [(a 2 A) ^ (x 2 C)] Com., Assoc. (Cap. 1), [(a; x) 2 A B] ^ [(a; x) 2 A C] Def. 3.1, (a; x) 2 (A B) \ (A C) Def. de \ Portanto, pela De ni»c~ao 2.1, do Cap ³tulo 2, acabamos de demonstrar que A (B \ C) =(A B) \ (A C) Informalmente, esta igualdade pode ser enunciada: O produto cartesiano distribui sobre a interse»c~ao. Deixaremos a demonstra»c~ao da parte (b) ao leitor, como exerc ³cio. Teorema 3.2 Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Ent~ao A (B C) =(A B) (A C) Ou seja, o produto cartesiano distribui sobre a complementa»c~ao. Demonstra»c~ao. (a; x)2 A (B C), (a 2 A) ^ (x 2 B C) Def. 3.1, (a 2 A) ^ (x 2 B ^ x 62 C) Def. 2.5 (Cap. 2), (a 2 A) ^ (a 2 A) ^ (x 2 B) ^ (x 62 C) Idemp., Assoc. (Cap. 1), [(a 2 A) ^ (x 2 B)] ^ [(a 2 A) ^ (x 62 C)] Com., Assoc. (Cap. 1), [(a; x) 2 A B] ^ [(a; x) 62 A C] Def. 3.1, (a; x) 2 (A B) (A C) Def. 2.5 (Cap. 2) Assim, acabamos de demonstrar que A (B C) =(A B) (A C)

53 52 Relac»~oes e Func»~oes Exerc ³cios 1. Descreva cada um dos seguintes conjuntos, geometricamente, esbo»cando um gr a co no plano cartesiano. (a) f(x; y) 2 R R j x = yg (b) f(x; y) 2 R R j x>yg (b) f(x; y) 2 R R jjx + yj 1g 2. Sob quais condi»c~oes nos conjuntos A e B ser a verdade que A B = B A? 3. Demonstre o Teorema 3.1(b): A (B [ C) =(A B) [ (A C). 4. Demonstre que A B =, A = _ B =. 5. Demonstre que, se A, B e C s~ao conjuntos e A ½ B, ent~ao A C ½ B C. 6. Se o conjunto A tem m elementos e o conjunto B tem n elementos, quantos elementos (pares ordenados) tem A B? 7. O produto cartesiano A A tem 9 elementos, dentre os quais s~ao encontrados ( 1; 0) e (0; 1). Encontre os elementos restantes e o conjunto A. 8. Demonstre ou refute (dando um contra-exemplo) cada uma das seguintes a rma»c~oes. (a) A B ½ C D seesomentesea ½ C e B ½ D. (b) O conjunto das partes }(A B) de A B e o produto cartesiano }(A) }(B) dos conjuntos das partes }(A) e }(B). (c) (A B) [ (C D) =(A [ C) (B [ D). 9. Demonstre que, se A, B, C e D s~ao quatro conjuntos quaisquer, ent~ao (A C) \ (B D) =(A \ B) (C \ D): 10. Sejam A 1 ;A 2 ;::: ;A n conjuntos quaisquer. Pode voc^e generalizar a De ni»c~ao 3.1 ao produto cartesiano A 1 A 2 A 3 de tr^es conjuntos? Pode voc^e generalizar isto ao produto cartesiano A 1 A 2 A n de n conjuntos? 11. De na o par ordenado (x; y) como sendo o conjunto ffxg; fx; ygg. Use esta de ni»c~ao para demonstrar que (a; b) =(c; d) se e somente se a = c e b = d. 3.2 Rela»c~oes Dados dois conjuntos A e B, n~ao necessariamente distintos, quando dizemos que um elemento a de A est a relacionado a outro elemento b de B,por uma rela»c~ao R, estamos fazendo uma a rma»c~ao sobre o par ordenado (a; b) no produto cartesiano A B. Portanto, uma de ni»c~ao matem atica de uma rela»c~ao pode ser dada precisamente em termos de pares ordenados no produto cartesiano de conjuntos. De ni»c~ao 3.2 Uma rela»c~ao R de A para B (ou de A em B) e um subconjunto do produto cartesiano A B. E costume denotar (a; b) 2 R por a R b. Os ³mbolo a R b e lido \a est a R-relacionado a b". FreqÄuentemente A e B s~ao um mesmo conjunto, digamos X. Nesse caso, diremos que R e uma rela»c~ao em X em vez de \de X para X". Por exemplo, em uma comunidade

54 Relac»~oes e Func»~oes 53 X, 3 dizer que a (para Alberto) e o marido de b (para Beatriz), e considerar Alberto e Beatriz como um par (ordenado) (a; b) na rela»c~ao M (deseromaridode::: ). O s ³mbolo a M b ou (a; b) 2 M pode ser lido \a e marido de b". N~ao e necess ario colocar Beatriz depois de Alberto no par ordenado (a; b). Podemos dizer que Beatriz e a esposa de Alberto, ou que o par ordenado (b; a) est a narela»c~ao E (deseraesposade::: ). O s ³mbolo b Ea ou (b; a) 2 Epode ser lido: \b e aesposade a". Neste exemplo, a rela»c~ao E e chamada a rela»c~ao inversa de M. De ni»c~ao 3.3 Sejam A e B dois conjuntos, n~ao necessariamente distintos, e seja R uma rela»c~ao de A para B. Ent~ao a rela»c~ao inversa R 1 da rela»c~ao R e a rela»c~ao de B para A tal que b R 1 a se e somente se a R b. Ouseja, R 1 = f(b; a) j (a; b) 2 Rg Exemplo 3.3 (a) Sejam A = fa; bg, B = fx; y; zg, esejar ½ A B dada por R = f(a; x); (b; y)g. Ent~ao R 1 = f(x; a); (y; b)g ½B A. (b) Seja R = f(x; y) 2 N N j x divide yg Ent~ao R 1 = f(y; x) 2 N N j y e m ultiplo de xg Seja R uma rela»c~ao de A para B. Odom ³nio da rela»c~ao R, denotadopordom(r), e o conjunto de todos aqueles a 2 A tais que a R b para algum b 2 B; eaimagem de R, denotadaporim(r), e o conjunto de todos aqueles b 2 B, tais que a R b para algum a 2 A. Simbolicamente, Dom(R) =fa 2 A j (a; b) 2 R para algum b 2 Bg e Im(R) =fb 2 B j (a; b) 2 R para algum a 2 Ag No exemplo das rela»c~oes M (seromaridode::: )ee (ser a esposa de ::: ) na comunidade X, odom ³nio de M e o conjunto de todos os homens em X que s~ao casados, enquanto que o dom ³nio de E e o conjunto das esposas em X, e a imagem de E e o conjunto de todos os maridos em X, Isto e, Dom(E) =Im(M ) e Im(E) =Dom(M ) Pode voc^e tirar uma conclus~ao geral? (Veja Problema 3 ao nal desta se»c~ao). 3 Aqui, X e o conjunto de todos os membros da comunidade.

55 54 Relac»~oes e Func»~oes Exemplo 3.4 No Exemplo 3.3(a), Dom(R) =fa; bg e Im(R) =fx; yg. No Exemplo 3.3(b), Dom(R) =N =Im(R). De ni»c~ao 3.4 Seja R uma rela»c~ao em um conjunto X. Ent~ao dizemos que (a) R e re exiva seesomentese8x 2 X; x R x. (b) R e sim etrica se e somente se x R y ) y R x. (c) R e transitiva se e somente se x R y ^ y R z ) x R z. (d) R e umarela»c~ao de equival^encia se e somente se R e re exiva, sim etrica e transitiva. Arela»c~ao de igualdade, =, no conjunto R de n umeros reais e claramente uma rela»c~ao de equival^encia. Seja X um conjunto de bolas coloridas e sejam duas bolas a e b relacionadas por R se e somente se a e b tem a mesma cor. Ent~ao a rela»c~ao R e uma rela»c~ao de equival^encia. Rela»c~oes de equival^encia s~ao particularmente importantes na matem atica moderna. Por exemplo, grupos quocientes na algebra, espa»cos quocientes na topologia, e sistemas num ericos modulares na teoria dos n umeros, todos envolvem certos tipos de rela»c~oes de equival^encia. Dado um conjunto n~ao vazio X, existem sempre pelo menos duas rela»c~oes de equival^encia em X; uma destas e arela»c~ao diagonal X (tamb em chamada rela»c~ao identidade) de nida por X = f(x; x) j x 2 Xg que relaciona cada elemento com ele mesmo. Geometricamente, se X e representado como um intervalo linear, ent~ao X X e um quadrado e X e a diagonal \principal" do quadrado. Figura 8. H a, no outro extremo, sempre outra rela»c~ao de equival^encia R = X X em X. A rela»c~ao X e a menor de todas as rela»c~oesdeequival^encia em X, enquanto que X X e amaior. Exemplo 3.5 Seja m um inteiro positivo qualquer xado. A rela»c~ao de congru^encia m odulo m, no conjunto Z dos n umeros inteiro e de nida por x y (mod m) se e somente se x y = km para algum k 2 Z. A rela»c~ao de congru^encia e uma rela»c~ao de equival^encia em Z.

56 Relac»~oes e Func»~oes 55 Demonstra»c~ao. (a) Para cada x em Z, como x x =0 m, temosx x (mod m). Portanto,a rela»c~ao e re exiva. (b) Se x y (mod m), ent~ao x y = km para algum k 2 Z. ConseqÄuentemente, y x =( k)m e k 2 Z, ouy x (mod m). Portanto,arela»c~ao e sim etrica. (c) Se x y (mod m) e y z (mod m), ent~ao x y = k 1 m e y z = k 2 m para alguns k 1 e k 2 em Z. Portanto,x z =(x y)+(y z) =(k 1 + k 2 )m e k 1 + k 2 2 Z, o que mostra que x z (mod m). Portanto,arela»c~ao e transitiva. Portanto, acabamos de demonstrar que a rela»c~ao de congru^encia (m odulo m) e uma rela»c~ao de equival^encia em Z. Como um caso expecial para o Exemplo 3.5, seja m =2.Ent~ao, x y (mod 2) se e somente se x y e um inteiro par. ConseqÄuentemente, x y (mod 2) se e somente se x e y s~ao ambos pares ou ambos ³mpares Exerc ³cios 1. Seja R uma rela»c~ao de A para B. Demonstre que (R 1 ) 1 = R. 2. Seja A = fa; b; cg esejar = f(a; c); (c; b); (a; b)g. Encontre o dom ³nio de R ea imagem de R. 3. Seja R uma rela»c~ao de A para B. Demonstre que (a) Dom(R 1 )=Im(R) (b) Im(R 1 )=Dom(R) 4. Seja A = fa; b; cg eseja R = f(a; a); (b; b); (c; c); (a; b); (b; a); (c; a); (a; c)g Demonstre que R e re exiva e transitiva, mas n~ao e sim etrica. 5. D^e um exemplo de uma rela»c~ao que e re exiva e transitiva, mas n~ao e sim etrica. 6. D^e um exemplo de uma rela»c~ao que e sim etrica e transitiva, mas n~ao e re exiva. 7. Seja R uma rela»c~ao em um conjunto X. Demonstre que (a) R e re exivaseesomenteser ¾ X ; (b) R e sim etrica se e somente se R = R 1 ; (c) R e re exiva se e somente se R 1 e re exiva; (d) R e sim etriva se e somente se R 1 e sim etrica; (e) R e transitiva se e somente se R 1 e transitiva; (f) R e uma rela»c~ao de equival^encia se e somente se R 1 e uma rela»c~ao de equival^encia. 8. Seja X = Z (Z f0g). De na uma rela»c~ao» em X declarando que (a; b)» (c; d) seesomentesead = bc. Demonstre que a rela»c~ao» e uma rela»c~ao de equival^encia.

57 56 Relac»~oes e Func»~oes 3.3 Parti»c~oes e rela»c~oes de equival^encia De ni»c~ao 3.5 Seja X um conjunto n~ao vazio. Por uma parti»c~ao P de X queremos dizer um conjunto de subconjuntos n~ao vazios de X, tal que (a) Se A; B 2 P e A 6= B, ent~ao A \ B =. (b) S C2P C = X. Intuitivamente, uma parti»c~ao de X e uma subdivis~ao de X em \peda»cos" n~ao vazios e mutuamente disjuntos. Exemplo 3.6 Seja m um inteiro positivo qualquer. Para cada inteiro j, 0 j<m, seja Z j = fx 2 Z j x j = km para algum k 2 Zg. Ent~aooconjunto fz 0 ; Z 1 ; Z 2 ;::: ;Z m 1 g forma uma parti»c~ao de Z. Em particular, seja m =2. Ent~ao o conjunto de conjuntos fz 0 ; Z 1 g, em que Z 0 = fx 2 Z j x e parg e Z 1 = fx 2 Z j x e ³mparg forma uma parti»c~ao de Z. (Veja tamb em Problema 4, Exerc ³cios ) Existe uma conex~ao ³ntima entre parti»c~oes de um conjunto n~ao vazio e rela»c~oes de equival^encia nesse conjunto. Para compreender essa conex~ao, precisaremos da seguinte de ni»c~ao. De ni»c~ao 3.6 Seja Euma rela»c~ao de equival^encia em um conjunto n~ao vazio X. Para cada x 2 X, de nimos o conjunto x=e= fy 2 Y j y Exg que e chamado a classe de equival^encia determinada pelo elemento x. O conjunto de todas essas classes de equival^encia em X e denotado por X=E; ou seja,x=e= fx=ej x 2 Xg. 4 Os ³mbolo X=E e lido \X m odulo E", ou simplesmente \X mod E". 5 Teorema 3.3 Seja Euma rela»c~ao de equival^encia em um conjunto n~ao vazio X. Ent~ao (a) Cada x=e e um subconjunto n~ao vazio de X. (b) x=e\ y=e6= se e somente se x Ey. (c) x Ey seesomentesex=e= y=e. 4 X=E e chamadoconjunto quociente de X pela rela»c~ao de equival^encia E. (N.doT.) 5 Analogamente, x=e e lido \x m odulo E" (N.doT.)

58 Relac»~oes e Func»~oes 57 Demonstra»c~ao. (a) Como E e re exiva, para cada x 2 X, temosxex. PelaDe ni»c~ao 3.6, x 2 x=e eportantox=e e um subconjunto n~ao vazio de X. (b) Como E e uma rela»c~ao de equival^encia e X 6=, temos x=e\ y=e6=, (9z)(z 2 x=e ^ z 2 y=e), (z Ex) ^ (z Ey) Def. 3.6, (x Ez) ^ (z Ey) E e sim etrica, x Ey E e transitiva (c) De (a) e (b) acima, segue imediatamente que x=e= y=e) x Ey. Precisamos agora provar que x Ey ) x=e= y=e. Suponhamos x Ey. Ent~ao z 2 x=e) z Ex Def. 3.6 (z Ex) ^ (x Ey) (z Ey) E e transitiva ) z 2 y=e Def. 3.6 Como z e qualquer, segue que x=e½ y=e. Um argumento similar deduz y=e½ x=e; portantox=e= y=e. Teorema 3.4 Seja Euma rela»c~ao de equival^encia em um conjunto n~ao vazio X. Ent~ao X=E e uma parti»c~ao de X. Demonstra»c~ao. Pelo Teorema 3.3(a) e pela De ni»c~ao 3.6, X=E = fx=e j x 2 Xg e uma fam ³lia de subconjuntos n~ao vazios de X. Mostraremos ent~ao que x=e6= y=e) (x=e) \ (y=e) = mostrando sua contrapositiva: (x=e) \ (y=e) 6= ) x=e= y=e. A ultima a rma»c~ao e uma S conseqäu^encia direta do Teorema 3.3(b) e (c). Finalmente, temos que mostrar que x2x x=e= X. Istotamb em e trivial,poiscadax2x pertence a x=e. Isto completa a demonstra»c~ao do teorema. Acabamos de ver, no Teorema 3.4, que uma rela»c~ao de equival^encia no conjunto n~ao vazio X d a origem a uma parti»c~ao em X. Mostraremos a seguir que a rec ³proca do Teorema 3.4 e verdadeira; isto e, cada parti»c~ao de X d a origem a uma rela»c~ao de equival^encia em X. De ni»c~ao 3.7 Seja P uma parti»c~ao de um conjunto n~ao vazio X. De nimos uma rela»c~ao X=P em X, porx(x=p)y se e somente se existe um conjunto A 2 P tal que x 2 A e y 2 A.

59 58 Relac»~oes e Func»~oes Cautela! O leitor deveria ler e comparar cuidadosamente as de ni»c~oes3.6e3.7,demodo a compreender as delicadas diferen»cas entre estas nota»c~oes similares: x=e, X=E, e X=P. Teorema 3.5 Seja P uma parti»c~ao de um conjunto n~ao vazio X. Ent~ao a rela»c~ao X=P e uma rela»c~ao de equival^encia em X, e as classes de equival^encia de nidas pela rela»c~ao de equival^encia X=P s~ao precisamente os conjuntos em P. Simbolicamente, X=(X=P) =P. Demonstra»c~ao. ComotodoelementodeX est a contido em algum A 2 P, x(x=p)x; isto e, X=P e re exiva. A simetria de X=P e uma clara conseqäu^encia da De ni»c~ao 3.7. Para mostrar que a rela»c~ao X=P e transitiva, sejam x, y, ez tr^es elementos de X satisfazendo x(x=p)y e y(x=p)z Ent~ao, pela De ni»c~ao 3.7, existem A e B em P tais que, x; y 2 A e y; z 2 B. Consequentemente, y 2 A \ B 6=. Segue ent~ao, pela de ni»c~ao de parti»c~ao, que A = B. Portanto, x; z 2 A eassimx(x=p)z. Logo, X=P e uma rela»c~ao de equival^encia em X. Para demonstrar o resto do teorema, seja x um elemento qualquer de X. Existe um e somente um conjunto A em P tal que x 2 A. (Porqu^e?) ConseqÄuentemente, pela De ni»c~ao 3.7, temos x=(x=p) =A Acabamos de provar que cada classe de equival^encia, m odulo X=P, e um conjunto da fam ³lia P. Reciprocamente, seja A um conjunto qualquer na parti»c~ao P. Como A 6=, existe um elemento x em X que pertence a A. Pelo nosso argumento pr evio, x=(x=p) =A. Isto demonstra que X=(X=P) =P. A demonstra»c~ao do teorema est a completa. Toda rela»c~ao de equival^encia Eem um conjunto X d a origemaumaparti»c~ao X=E (de X) (Teorema 3.4); esta parti»c~ao, por sua vez, determina uma rela»c~ao de equival^encia X=(X=E) (Teorema 3.5). O fato crucial e que X=(X=E) = E (vejaproblema6). Isto, juntamente com X=(X=P) =P, estabelece a conex~ao ³ntima entre rela»c~oes de equival^encia e parti»c~oes. Ilustremos o Teorema 3.5 por um exemplo concreto. Sejam Z 0 e Z 1 oconjuntode inteiros pares e o conjunto de inteiros ³mpares, respectivamente. Ent~ao P = fz 0 ; Z 1 g forma uma parti»c~ao do conjunto Z dos inteiros. Pela de ni»c~ao da rela»c~ao Z=P, temos a(z=p)b se e somente se ambos a; b 2 Z 0 ou a; b 2 Z 1.Isto e, a(z=p)b se e somente se ambos a e b s~ao pares ou ambos s~ao ³mpares. Ef acil veri car que esta rela»c~ao Z=P e de fato uma rela»c~ao de equival^encia. Na verdade, a(z=p)b seesomentesea b (mod 2). Portanto, a rela»c~ao Z=P e a rela»c~ao familiar (mod 2). [Veja Exemplo 3.5.] Reciprocamente, dado o conjunto Z, juntamente com a rela»c~ao Etal que x Ey se esomentesex y (mod 2), temos a=e= fx 2 Z j x a (mod 2)g = ½ Z0 Z 1 se a e par se a e ³mpar

60 Relac»~oes e Func»~oes 59 Portanto, Z=E= fz 0 ; Z 1 g, que e claramenteumaparti»c~ao de Z Exerc ³cios 1. Seja P uma parti»c~ao do conjunto n~ao vazio X. Demonstre que a rela»c~ao de equival^encia X=P, como conjunto de pares ordenados, e igual a S A2P A A. 2. No problema 1, seja X um conjunto nito e seja P = fa 1 ;A 2 ;::: ;A k g com o conjunto A j contendo n j elementos, para j =1; 2;::: ;k. Demonstre que o n umero de pares ordenados da rela»c~ao de equival^encia X=P e exatamente n n n 2 k. 3. Seja X = fa; b; c; d; eg esejap = ffa; bg; fcg; fd; egg. (a) Mostre que P e umaparti»c~ao de X. (b) Encontre a rela»c~ao de equival^encia X=P em X, explicitamente como um conjunto de pares ordenados. (c) Denote E= X=P e encontre a=e, b=e, c=e, d=ee e=eexplicitamente. 4. Veri que o Exemplo 3.6 para m =3. 5. Seja X o conjunto Z dos inteiros e seja Euma rela»c~ao em X de nida por x Ey se e semente se x y =5k para algum inteiro k. (a) Demonstre que a rela»c~ao E e uma rela»c~ao de equival^encia em X. (b) Encontre a parti»c~ao X=E de X. (c) Veri que que a rela»c~ao de equival^encia X=(X=E) e de fato a rela»c~ao de equival^encia E. 6. Seja E uma rela»c~ao de equival^encia no conjunto n~ao vazio X. Demonstre que X=(X=E) =E. 3.4 Fun»c~oes Inquestionavelmente, o conceito de fun»c~ao e uma das id eias mais b asicas em todos os ramos da Matem atica. O leitor pode ter j a aprendido a seguinte de ni»c~ao: uma fun»c~ao e uma regra de correspond^encia que associa a cada elemento x de um certo conjunto (chamado o dom ³nio da fun»c~ao) um e apenas um elemento y de um outro conjunto (chamado o contra-dom ³nio da fun»c~ao). Esta de ni»c~ao e nebulosa. O que se quer dizer precisamente por uma \regra"? De modo a evitar ambigäuidades, matem aticos criaram uma de ni»c~ao precisa de fun»c~ao, usando a linguagem de conjuntos.

61 60 Relac»~oes e Func»~oes De ni»c~ao 3.8 Sejam X e Y conjuntos. Uma fun»c~ao de X em Y e umterno(f;x;y ), sendo f uma rela»c~ao de X para Y satisfazendo (a) Dom(f) =X. (b) Se (x; y) 2 f e (x; z) 2 f ent~ao y = z. Seja (f;x;y ) uma fun»c~ao de X em Y. No que segue, adotaremos o costume de escrever f : X! Y em lugar de (f;x;y ), ey = f(x) em vez de (x; y) 2 f. Araz~ao pela qual \y = f(x)" e um substituto intelig ³vel para (x; y) 2 f e que Todo elemento x 2 X temumelementoy 2 Y, determinado de forma unica, tal que (x; y) 2 f. Para ver que esta asser»c~ao e verdadeira, seja x 2 X. Ent~ao, pela condi»c~ao (a) da De ni»c~ao 3.8, existe um elemento y 2 Y tal que (x; y) 2 f; se exister um outro elemento z 2 Y com (x; z) 2 f, ent~ao de acordo com a condi»c~ao (b), z = y. Isto mostra que y e determinado de forma unica por x. Seja f : X! Y uma fun»c~ao. Se y = f(x), dizemos que y e aimagem de x sob f e que x e pr e-imagem (ou imagem inversa) dey sob f. O leitor pode interpretar isto geometricamente, conforme ilustrado nas Figuras 9 e 10. Figura 9. Figura 10. Chamaremos o conjunto Y,emf : X! Y,decontra-dom ³nio da fun»c~ao. Note o leitor que o contra-dom ³nio de uma fun»c~ao n~ao precisa coincidir com a imagem da fun»c~ao 6 (veja Exemplo 3.7, abaixo). Chamamos a aten»c~ao do leitor para o fato de que alguns autores usam o termo \contra-dom ³nio" como sin^onimo de \imagem", mas por uma raz~ao t ecnica, que ser a aparente na Se»c~ao 3.6, faremos distin»c~ao entre \imagem" e \contra-dom ³nio" de uma fun»c~ao. De um modo geral, a imagem de uma fun»c~ao e um subconjunto do contra-dom ³nio dessa fun»c~ao. 6 A imagem da fun»c~ao f : X! Y e aimagemim(f), darela»c~ao f. ConseqÄuentemente, Im(f) = ff(x) j x 2 Xg.

62 Relac»~oes e Func»~oes 61 Exemplo 3.7 Seja f : R! R de nida por f(x) =[x] para todo x 2 R, em que [x] denota o maior inteiro x, e.g., [ p 2]=1, [ 1 2 ]= 1.7 Aqui, o contra-dom ³nio de f e R, enquanto que a imagem de f e Z, um subconjunto pr oprio de R. E poss ³vel alterar o contra-dom ³nio de uma fun»c~ao sem alterar outros aspectos da fun»c~ao. Por exemplo, para a mesma rela»c~ao f do Exemplo 3.7 acima, f : R! Q e f : R! Z s~ao fun»c~oes, porque a De ni»c~ao 3.8 e satisfeita. De um modo geral, temos o seguinte teorema. Teorema 3.6 Seja f : X! Y uma fun»c~ao e seja W um conjunto contendo a imagem de f. Ent~ao f : X! W e uma fun»c~ao. Demonstra»c~ao. Demonstraremos primeiramente que f e uma rela»c~ao de X para W : (x; y) 2 f) x 2 X ^ y 2 Im(f) Def. de Im ) x 2 X ^ y 2 W Im(f) ½ W ) (x; y) 2 X W Def. 3.1 Isto demonstra que f ½ X W ; em outras palavras, f e uma rela»c~ao de X em W. Como f : X! Y e umafun»c~ao, Dom(f) =X e a condi»c~ao (b) da De ni»c~ao 3.8 est a satisfeita. Portanto, f : X! W e uma fun»c~ao. Teorema 3.7 Sejam f : X! Y e g : X! Y fun»c~oes. Ent~ao f = g seesomentese f(x) =g(x); 8x 2 X. Demonstra»c~ao. (1) Suponha que f = g e que x e um elemento qualquer de X. Ent~ao, y = f(x), (x; y) 2 f Nota»c~ao, (x; y) 2 g f = g, g(x) =y Nota»c~ao Portanto, f(x) =g(x). (2) Suponha que f(x) =g(x); 8x 2 X. Ent~ao (x; y) 2 f, y = f(x) Nota»c~ao, y = g(x) f(x) =g(x), (x; y) 2 g Nota»c~ao 7 Para cada x 2 R, de ne-se[x] =n quando x = n +, comn 2 Z e 2 R, com0 <1. (N. do T.)

63 62 Relac»~oes e Func»~oes Isto demonstra que f = g. Se o dom ³nio e o contra-dom ³nio de uma fun»c~ao s~ao subconjuntos do conjunto dos n umeros reais, ent~ao, como na geometria anal ³tica, o gr a co da fun»c~ao pode ser esbo»cado no plano cartesiano. 8 Por exemplo, a fun»c~ao do Exemplo 3.7 tem o seguinte gr a co. Figura 10. Exemplo 3.8 Seja A um subconjunto de um conjunto n~ao vazio X. Ent~ao a rela»c~ao f(x; y) 2 X f0; 1g jy =1 se x 2 A; e y =0 se x 62 Ag d a origem a uma fun»c~ao de X em f0; 1g, conhecidada como fun»c~ao caracter ³stica de A em X. Esta fun»c~ao e habitualmente denotada pela letra grega qui, com um ³ndice A, Â A.Ouseja, Â A : X!f0; 1g e de nida por ½ 1 se x 2 A Â A (x) = 0 se x 2 X A Embora a fun»c~ao seja, por de ni»c~ao, escrita (f;x;y ) ou f : X! Y, efreqäuentemente um inc^omodo ter que escrever explicitamente o dom ³nio e o contra-dom ³nio de uma fun»c~ao, quando eles s~ao implicitamente claros a partir do contexto. Portanto, denotaremos uma fun»c~ao por f quando o dom ³nio e o contra-dom ³nio de f forem claramente compreendidos, sem dar explicitamente o dom ³nio e o contra-dom ³nio de f. 8 Pressupondo-se que a fun»c~ao seja \bem comportada".

64 Relac»~oes e Func»~oes 63 Exemplo 3.9 Seja X um conjunto. A rela»c~ao diagonal X em X, de nida na p agina 54, e uma fun»c~ao de X em X. Quando queremos enfatizar que a rela»c~ao X euma fun»c~ao, usamos a nota»c~ao alternativa 1 X : X! X, em que 1 X (x) =x para todo x em X. A fun»c~ao 1 X e chamada fun»c~ao identidade em X. Exemplo 3.10 Sejam X e Y dois conjuntos n~aovaziosesejab um elemento xado de Y. A rela»c~ao C b = f(x; b) j x 2 Xg d a origem a uma fun»c~ao C b : X! Y,dadaporC b (x) =b para todo x em X. A fun»c~ao C b e chamada fun»c~ao constante. No c alculo, vemos freqäuentemente uma fun»c~ao de nida por duas (ou mais) regras de correspond^encia: por exemplo, h: R! R, de nida por ½ 1 2x; se x 0 h(x) = x 2 +1; se x 0 Esta fun»c~ao pode ser considerada como a uni~ao das seguintes duas fun»c~oes: (1) f :] 1; 0]! R, de nida por f(x) =1 2x, 8x 2 ] 1; 0] (2) g :[0; 1[! R, de nida por g(x) =x 2 +1, 8x 2 [0; 1[ O leitor dever a notar que aqui Dom(f) \ Dom(g) =f0g e que f(0) = g(0). Os ultimos exemplos motivam o seguinte teorema geral. Teorema 3.8 Sejam f : A! C e g : B! D duas fun»c~oestaisquef(x) =g(x); 8x 2 A \ B. Ent~ao a uni~ao de f e g de ne uma fun»c~ao h = f [ g : A [ B! C [ D em que h(x) = ½ f(x); se x 2 A g(x); se x 2 B Demonstra»c~ao. Como f e g s~ao rela»c~oes, f ½ A C e g ½ B D, e temos h = f [ g ½ (A C) [ (B D) ½ (A [ B) (C [ D) porque ambos A C e B D s~ao subconjuntos de (A [ B) (C [ D). Assim, h e uma rela»c~ao de A [ B para C [ D. Deixaremos ao leitor veri car que Dom(h) =Dom(f) [ Dom(g) = A [ B

65 64 Relac»~oes e Func»~oes Isto mostra que a rela»c~ao h satisfaz a De ni»c~ao 3.8(a). Para cada elemento x 2 A [ B, podemos considerar os seguintes tr^es casos: (1) x 2 A B, (2)x 2 B A, e(3)x 2 A \ B. Como f : A! C e g : B! D satisfazem a De ni»c~ao 3.8(b), e f(x) =g(x), 8x 2 A \ B, temos que h(x) e de nido de modo unico em cada um dos tr^es casos. Logo, a rela»c~ao h satisfaz a De ni»c~ao 3.8(b) tamb em. Portanto, h: A [ B! C [ D e de fato uma fun»c~ao Exerc ³cios 1. Testesecadaumdosseguintesdiagramasde neoun~ao uma fun»c~ao de X = fx; y; zg em Y = fu; v; wg. (a) (b) (c) 2. Seja f : R! R a fun»c~ao dada por ½ 5 se x e racional f(x) = 3 se x e irracional Encontre f(1=3), f(7), e f(1; :::). 3. Seja a fun»c~ao f : R! R dada por 8 < 4x +3 se x>5 f(x) = x : 2 2 se 6 x 5 4 5x se x< 6 Encontre f( 7), f(3) e f(6). 4. Seja f : X! Y a fun»c~ao de nida pelo diagrama

66 Relac»~oes e Func»~oes 65 Qual e a imagem desta fun»c~ao? 5. Sejaafun»c~ao f : X! R de nida por X = f 2; 1; 0; 1; 2g e f(x) =x 2 3 para todo x 2 X. Encontre a imagem da fun»c~ao f. 6. Cada uma das seguintes express~oes de ne uma fun»c~ao de R em R. Encontre a imagem de cada fun»c~ao. (a) f(x) =2x 2 +5 (b) g(x) =cosx (c) h(x) =x Seja X ½ Y e f = f(x; x) j x 2 Xg. Demonstre que f : X! Y e uma fun»c~ao. [Nota. Esta fun»c~ao e chamada uma fun»c~ao inclus~ao, e pode ser denotada por f : X ½ Y.] 8. Sejam X = fx; y; zg e Y = f1; 2; 3g. Quais das seguintes e uma fun»c~ao de X em Y? Justi que. (a) f = f(x; 1); (y; 2); (z;3)g (b) g = f(x; 2); (y; 3); (z;2)g (c) h = f(x; 2); (y;1)g (d) i = f(x; 1); (x; 2); (y; 1); (z;3)g 9. Se X = fx; y; zg e Y = f1; 2g, quantas fun»c~oes de X em Y existem? De modo geral, se o conjunto X tem m elementos e se Y tem n elementos, quantas fun»c~oes de X e Y existem? 10. Quantas fun»c~oes do problema 9 s~ao constantes? 11. Seja f : X! Y uma fun»c~ao. Demonstre que todo subconjunto g de f d a origem a uma fun»c~ao. 12. Seja f : X! X uma fun»c~ao de X em X, que tamb em e uma rela»c~ao re exiva em X. Demonstre que f tem que ser a fun»c~ao identidade 1 X : X! X. 13. Seja X o intervalo unit ario [0; 1]. Encontre uma fun»c~ao f : X! X que e uma rela»c~ao sim etrica em X. 14. Sejam f : X! Y e g : X! Y duas fun»c~oes com o mesmo dom ³nio e o mesmo contra-dom ³nio. Demonstre que se f ½ g ent~ao f = g. 3.5 Imagens e imagens inversas de conjuntos Recordemos que se f : X! Y e uma fun»c~ao e se x e y s~ao elementos de X e Y, respectivamente, tais que y = f(x), ent~ao y e a imagem de x, e x e uma pr e-imagem ou

67 66 Relac»~oes e Func»~oes uma imagem inversa de y. Este conceito pode ser estendido naturalmente de elementos a subconjuntos, como segue: De ni»c~ao 3.9 Seja f : X! Y uma fun»c~ao, e sejam A e B subconjuntos de X e Y, respectivamente. (a) A imagem de A sob f, que denotamos por f(a), e o conjunto de todas as imagens f(x) tais que x 2 A. (b) A imagem inversa de B sob f, que denotamos por f 1 (B), e o conjunto de todas as pr e-imagens dos elementos y 2 B. Sob a nota»c~ao de constru»c~ao de um conjunto, temos as seguintes express~oes: f(a) =ff(x) j x 2 Ag f 1 (B) =fx j f(x) 2 Bg Teorema 3.9 Seja f : X! Y uma fun»c~ao. Ent~ao (a) f( ) =. (b) f(fxg) =ff(x)g. (c) Se A ½ B ½ X, ent~ao f(a) ½ f(b). (d) Se C ½ D ½ Y,ent~ao f 1 (C) ½ f 1 (D). O Teorema 3.9 segue facilmente da De ni»c~ao 3.9; portanto, a demonstra»c~ao e deixada para o leitor. Teorema 3.10 Seja f : X! Y uma fun»c~ao e seja fa subconjuntos de X. Ent~ao (a) f( S 2 A )= S 2 f(a ). (b) f( T 2 A ) ½ T 2 f(a ). j 2 g uma fam ³lia de Demontra»c~ao. (a) Por uso repetido da De ni»c~ao 3.9 e da De ni»c~ao2.6docap ³tulo 2, temos à [ y 2 f 2 A!, y = f(x) para algum x 2 [ A 2, y = f(x) para algum x 2 A ; para algum 2, y 2 f(a ) para algum 2, y 2 [ f(a ) 2

68 Relac»~oes e Func»~oes 67 Portanto, f( S 2 A )= S 2 f(a ). (b) Como T 2 ½ A,paratodo 2, pelo Teorema 3.9(c), temos f( T 2 A ) ½ f(a ), para todo 2. Segue ent~ao, da De ni»c~ao 2.7, do Cap ³tulo 2, que f( T 2 A ) ½ T 2 f(a ). Pode n~ao ser poss ³vel trocar o s ³mbolo de inclus~ao ½, no Teorema 3.10(b), por um sinal de igualdade, como mostra o pr oximo exemplo. Exemplo 3.11 Sejam X = fa; bg, Y = fcg, =f1; 2g, A 1 = fag, A 2 = fbg, eseja f : X! Y a fun»c~ao constante f(a) =f(b) =c. Ent~ao f(a 1 \ A 2 )=f( ) =, enquanto que f(a 1 ) \ f(a 2 ) = fcg. Isto mostre que nem sempre f( T 2 A ) = T 2 f(a ). Teorema 3.11 Seja f : X! Y uma fun»c~ao e seja fb subconjuntos de Y.Ent~ao (a) f 1 ( S 2 B )= S 2 f 1 (B ) (b) f 1 ( T 2 B )= T 2 f 1 (B ) j 2 g uma fam ³lia de Demonstra»c~ao. (a) Aplicando-se repetidamente a De ni»c~ao 3.9 e a De ni»c~ao 2.6 do Cap ³tulo 2, temos Ã! [ x 2 f 1 B, f(x) 2 [ B 2 2, f(x) 2 B ; para algum 2, x 2 f 1 (B ); para algum 2, x 2 [ f 1 (B ) 2 Assim, acabamos de demonstrar que f 1 ( S 2 B )= S 2 f 1 (B ). (b) Trocando-se S por T e a frase \para algum" por \para todo", na demonstra»c~ao da parte (a), temos uma demonstra»c~ao da parte (b). O estudante dever a realizar as mudan»cas sugeridas, passo a passo, at e estar claramente convencido. Teorema 3.12 Seja f : X! Y uma fun»c~ao e sejam B e C subconjuntos quaisquer de Y.Ent~ao f 1 (B C) =f 1 (B) f 1 (C)

69 68 Relac»~oes e Func»~oes Demonstra»c~ao. Examinemos as seguintes equival^encias: x 2 f 1 (B C), f(x) 2 B C Def. 3.9, f(x) 2 B ^ f(x) 62 C Def. 2.5 (Cap. 2), x 2 f 1 (B) ^ x 62 f 1 (C) Def. 3.9, x 2 [f 1 (B) f 1 (C)] Def. 2.5 (Cap. 2) Isto demonstra que f 1 (B C) =f 1 (B) f 1 (C) Exerc ³cios 1. No Problema 2, Exerc ³cios 3.4.1, encontre (a) f(f 1; 0; 1g), f(f p 2;¼g), ef(f2; log 2g) (b) f 1 (f0; 1g), f 1 (f 3; 3g), f 1 (f4; 5g), ef 1 (f 3; 4; 5g). 2. No Problema 3, Exerc ³cios 3.4.1, encontre (a) f(f 7; 3; 6g), f(f 8; 2; 7g), ef(f 9; 1; 8g) (b) f 1 (f0; 1g), f 1 (f 3; 3g), ef 1 (f1; 2; 3g). 3. No Problema 4, Exerc ³cios 3.4.1, encontre f(fv;wg), f 1 (fcg), ef 1 (fa; bg). 4. Seja f : X! Y uma fun»c~ao e sejam A ½ X, B ½ Y. Demonstre que (a) A ½ f 1 (f(a)) (b) f(f 1 (B)) ½ B. 5. Seja f : X! Y uma fun»c~ao e sejam A ½ X, B ½ Y. Encontre exemplos que mostrem que as seguintes a rma»c~oes s~ao falsas. (a) Se B 6=, ent~ao f(b) 6= (b) f 1 (f(a)) = A (c) f(f 1 (B)) = B (d) f(x) =Y 6. Mostre que a a rma»c~ao do Problema 5(c) e verdadeira quando f(x) =Y. 7. Seja f : X! Y uma fun»c~ao tal que f(x) =Y,esejamB e C subconjuntos de Y. Demonstre que B = C se f 1 (B) =f 1 (C). D^e um exemplo mostrando que esta a rma»c~ao e falsa se f(x) 6= Y. 8. Sejam X e Y dois conjuntos, e sejam p X : X Y! X e p Y : X Y! Y duas fun»c~oes, dadas respectivamente por p X (x; y) =x e p Y (x; y) =y, paratodo(x; y) 2 X Y (p X e p Y s~ao chamadas proje»c~ao em X e proje»c~ao em Y, respectivamente). Demonstre que se R e uma rela»c~ao de X para Y, isto e, se R ½ X Y, ent~ao p X (R) =Dom(R) e p Y (R) =Im(R). 9. Seja f : X! Y uma fun»c~ao, e sejam A ½ X, B ½ Y. Demonstre que (a) f(a \ f 1 (B)) = f(a) \ B (b) f(f 1 (B)) = f(x) \ B. 10. Seja f : X! Y uma fun»c~ao, e seja B ½ Y. Demonstre que f 1 (Y B) =X f 1 (B)

70 Relac»~oes e Func»~oes Seja f : X! Y uma fun»c~ao, e sejam A e B subconjuntos de X. D^eumexemplo que mostra que, em geral, n~ao e verdadeiro a rmar que 12. Demonstre o Teorema 3.9. f(a B) =f(a) f(b) 3.6 Fun»c~oes injetoras, sobrejetoras e bijetoras No estudo das fun»c~oes, e conveniente dar nomes a tr^es tipos importantes de fun»c~oes. De ni»c~ao 3.10 Uma fun»c~ao f : X! Y e injetora ou um-a-um 9 quando satisfaz: se x 1 ;x 2 2 X e f(x 1 )=f(x 2 ) ent~ao x 1 = x 2. Uma fun»c~ao injetora e tamb em chamada uma inje»c~ao. Pela Lei Contrapositiva da l ogica, podemos dizer equivalentemente que a fun»c~ao f : X! Y e umainje»c~aoseesomentese:x 1 ;x 2 2 X, comx 1 6= x 2,implicaf(x 1 ) 6= f(x 2 ). Por exemplo, a fun»c~ao inclus~ao do Problema 7, Exerc ³cios 3.4.1, e uma inje»c~ao. De ni»c~ao 3.11 Uma fun»c~ao f : X! Y e ditasersobrejetora se satisfaz: se y 2 Y, ent~ao existe ao menos um x 2 X tal que f(x) =y. Uma fun»c~ao sobrejetora e chamada uma sobreje»c~ao. Em outras palavras, f : X! Y e uma sobreje»c~ao se e somente se f(x) =Y. A fun»c~ao do Exemplo 3.7, Se»c~ao 3.4, por exemplo, n~ao e sobrejetora. Exemplo 3.12 A fun»c~ao seno f : R! [ 1; 1],dadaporf(x) = sen x e uma sobreje»c~ao; masseocontra-dom ³nio [ 1; 1] for trocado por R, ent~ao f : R! R n~ao e sobrejetora. De ni»c~ao 3.12 Uma fun»c~ao f : X! Y e chamada uma bije»c~ao ou e dita ser bijetora se e simultaneamente injetora e sobrejetora. Uma bije»c~ao e tamb em chamada correspond^encia um-a-um. 10 Por exemplo, a fun»c~ao identidade no Exemplo 3.9, Se»c~ao 3.4, e umabije»c~ao. As de ni»c~oes 10, 11, e 12 s~ao ilustradas nos tr^es diagramas abaixo (Figuras 12, 13 e 14). Os conjuntos X e Y s~ao representados como conjuntos de pontos dentro de c ³rculos. Em cada ilustra»c~ao, cada ponto em X e emparelhado com algum ponto em Y,por uma echa desenhada entre ambos. O conjunto de pares assim obtido d a origem a uma fun»c~ao f : X! Y. Para fun»c~oes injetoras, o resultado do Teorema 3.10(b) pode ser melhorado. 9 Isto e denotadoporf e 1{1.(N.doT.) 10 Ou correspond^encia biun ³voca (N. do T.)

71 70 Relac»~oes e Func»~oes Teorema 3.13 Seja f : X! Y uma inje»c~ao e seja fa subconjuntos de X. Ent~ao Ã! \ f A = \ f(a ) 2 2 j 2 g uma fam ³lia de Demonstra»c~ao. Pela De ni»c~ao 3.9, e pela De ni»c~ao 2.7 do Cap ³tulo 2, temos y 2 \ 2 f(a ), y 2 f(a ); 8 2, (9x 2 A tal que y = f(x )) 8 2 Como f : X! Y e injetora, todos esses x 's s~ao o mesmo; denotaremos este elemento por x 0.Ent~ao temos y 2 \ 2 f(a ),9x 0 2 A tal que y = f(x 0 ); 8 2,9x 0 2 \ A tal que y = f(x 0 ) 2 Ã! \, y 2 f A 2 Portanto, f( T 2 A )= T 2 f(a ). Figura 12. f : X! Y e injetora.

72 Relac»~oes e Func»~oes 71 Figura 13. f : X! Y e sobrejetora. Figura 14. f : X! Y e bijetora. Recordemos que se R e uma rela»c~ao de X para Y,ent~ao a inversa R 1 = f(y; x) j (x; y) 2 Rg e uma rela»c~ao de Y para X. Como uma fun»c~ao f : X! Y e um tipo particular de rela»c~ao de X para Y, f 1 e ao menos uma rela»c~ao de Y para X. E natural querer saber quando f 1 torna-se uma fun»c~ao. Esta quest~ao e considerada no seguinte teorema. Teorema 3.14 Seja f : X! Y uma bije»c~ao. Ent~ao f 1 : Y! X e umabije»c~ao. Demonstra»c~ao. Demonstraremos primeiramente que a rela»c~ao f 1,deY para X, forma uma fun»c~ao. Como f : X! Y e sobrejetora, pelo Problema 3(a), Exerc ³cios 3.2.1, temos Dom(f 1 )=Im(f) =Y. Assim, a condi»c~ao (a) da De ni»c~ao 3.8 est a satisfeita. Para mostrar que f 1 satisfaz a outra condi»c~ao, sejam (y; x 1 ) 2 f 1 e (y; x 2 ) 2 f 1. Ent~ao temos (x 1 ;y) 2 f e (x 2 ;y) 2 f. ConseqÄuentemente, f(x 1 )=y = f(x 2 ). Agora, como f : X! Y e injetora,a ultima igualdade implica x 1 = x 2. Portanto, acabamos de estabelecer que f 1 : Y! X e uma fun»c~ao. Para mostrar que a fun»c~ao f 1 : Y! X e injetora,sejamy 1 ;y 2 2 Y, com f 1 (y 1 )=f 1 (y 2 )=x (digamos). Ent~ao temos f(x) =y 1 e f(x) =y 2,eportanto y 1 = y 2. Isto mostra que f 1 einjetora. Finalmente, resta ser mostrado que f 1 : Y! X e sobrejetora. Pelo Problema 3(b) dos Exerc ³cios 3.2.1, temos Im(f 1 )=Dom(f) =X, o que demonstra que f 1 e sobrejetora. Assim, a demonstra»c~ao est a completa. Se f : X! Y e umabije»c~ao, a fun»c~ao f 1 : Y! X e chamada a fun»c~ao inversa de f (veja tamb em Problema 14, Exerc ³cios 3.6.1). Em virtude do Teorema 3.14, se f : X! Y e umabije»c~ao (= correspond^encia um-a-um), diremos que f e uma correspond^encia um-a-um entre os conjuntos X e Y.

73 72 Relac»~oes e Func»~oes Exerc ³cios 1. Quais das fun»c~oes nos Problemas 2, 3 e 4, dos Exerc ³cios s~ao injetoras? Sobrejetoras? 2. Quais das fun»c~oes nos Problemas 5 e 6, dos Exerc ³cios s~ao injetoras? Bijetoras? 3. Seja f : R! R a fun»c~ao de nida por f(x) =3x 2, paratodox 2 R. (a) Demonstre que a fun»c~ao f e uma bije»c~ao. (b) Encontre a inversa f 1 de f. 4. Seja g :] ¼=2;¼=2[! R a fun»c~ao dada por g(x) =tgx, paratodox tal que ¼=2 <x<¼=2. Esta fun»c~ao e bijetora? Em caso a rmativo, descreva sua fun»c~ao inversa. 5. Demonstre que a fun»c~ao caracter ³stica  A : X!f0; 1g, do Exemplo 3.8, Se»c~ao 3.4, e sobrejetoraseesomentese 6= A à X. Quando e que  A : X!f0; 1g torna-se uma inje»c~ao? 6. Demonstre que a fun»c~ao constante C b : X! Y e sobrejetoraseesomentese Y = fbg. Quando e que C b : X! Y torna-se uma inje»c~ao? 7. Demonstre que a proje»c~ao em X, p X : X Y! X, e a proje»c~ao em Y, p Y : X Y! Y, do Problema 8, Exerc ³cios 3.5.1, s~ao sobrejetoras. Quando e que a proje»c~ao em X e uma inje»c~ao? 8. Demonstre que existe uma correspond^encia um-a-um entre o conjunto N dos n umeros naturais e o conjunto de todos os n umeros naturais pares. 9. Demonstre que existe uma correspond^encia um-a-um entre o conjunto Z dos n umeros inteiros e o conjuntos de todos os inteiros ³mpares. 10. Sejam X uma conjunto nito com m elementos e Y um conjunto nito com n elementos. Demonstre que (a) Se m>n,ent~ao n~ao pode haver nenhuma inje»c~ao f : X! Y. (b) Se m n, ent~ao existem exatamente n!=(n m)! inje»c~oes de X em Y. [Veja tamb em o Problema 9, Exerc ³cios ] 11. Seja X um conjunto nito com m elementos. Quantas bije»c~oes de X em X existem? [Nota: Uma bije»c~ao de um conjunto nito em si mesmo e chamada uma permuta»c~ao.] 12. Seja f : X! Y uma fun»c~ao, e sejam A ½ X, B ½ Y. Demonstre que (a) Se f e injetora, ent~ao f 1 (f(a)) = A. (b) Se f e sobrejetora, ent~ao f(f 1 (B)) = B. 13. Seja f : X! Y uma inje»c~ao, e sejam A e B subconjuntos de X. Demonstre que f(a B) =f(a) f(b). [Compare isto com o Problema 11, Exerc ³cios ] 14. Demonstre a seguinte rec ³proca do Teorema 3.14: Seja f : X! Y uma fun»c~ao tal que f 1 e uma fun»c~ao de Y para X. Ent~ao f : X! Y e bijetora. 3.7 Composi»c~ao de fun»c~oes A um leitor atento, uma fun»c~ao f : X! Y pode ser considerada como uma m aquina que toma um objeto arbitr ario x do conjunto X, opera sobre ele de um certo modo, e transforma-o em um novo objeto f(x), um produto da m aquina. Esta id eia e ilustrada na Figura 15.

74 Relac»~oes e Func»~oes 73 Figura 15. Sejam f : X! Y e g : Y! Z duas fun»c~oes, sendo o dom ³nio da segunda igual ao contra-dom ³nio da primeira. Imagine estas duas fun»c~oes como duas m aquinas, tais quais uma lavadora e uma secadora. N~ao temos que ser inventores para imaginar a possibilidade de combinar estas duas m aquinas em uma nova m aquina; o resultado seria uma combina»c~ao lavadora-secadora, que pega uma uma roupa suja x, lava-ademodoa torn a-la uma roupa limpa por em umida f(x), eent~ao seca-a. O resultado e uma roupa limpa e seca g(f(x)). A id eia e ilustrada na Figura 16. Figura 16. A\combina»c~ao" das m aquinas f : X! Y e g : Y! Z resulta em uma nova m aquina, denotada por h: X! Z, que toma um objeto arbitr ario x em X, e transformaonoobjetoh(x) =g(f(x)) em Z. Anota»c~ao tradicional para h e g ± f, e(g ± f)(x) = g(f(x)); o nome tradicional para o termo \combina»c~ao" e \composi»c~ao". Estamos agora prontos para a seguinte de ni»c~ao. De ni»c~ao 3.13 Sejam f : X! Y e g : Y! Z duas fun»c~oes. A composi»c~ao 11 destas duas fun»c~oes e a fun»c~ao g ± f : X! Z, sendo (g ± f)(x) =g(f(x)), paratodox em X. Em outra nota»c~ao g ± f = f(x; z) 2 X Z j9y 2 Y tal que (x; y) 2 f ^ (y; z) 2 gg Exemplo 3.13 Sejam f : R! R e g : R! R duas fun»c~oes, dadas respectivamente por f(x) =x +1,eg(x) =x 2,paratodox em R. Encontre as composi»c~oes (g ± f)(x) e (f ± g)(x). 11 ou fun»c~ao composta de g e f. (N.doT.)

75 74 Relac»~oes e Func»~oes Solu»c~ao. Usando a De ni»c~ao 3.13, temos (g ± f)(x) =g(f(x)) = g(x +1) =(x +1) 2 = x 2 +2x +1 (f ± g)(x) =f(g(x)) = f(x 2 ) = x 2 +1 O resultado do Exemplo 3.13 nos mostra que, em geral, g ± f 6= f ± g; 12 portanto, a composi»c~ao funcional n~ao e comutativa. Teorema 3.15 A composi»c~ao funcional e associativa. Ou seja, tendo-se f : X! Y,e g : Y! Z, eh: Z! W,ent~ao (h ± g) ± f = h ± (g ± f) Demonstra»c~ao. Notemos primeiramente que ambas, h ± (g ± f) e (h ± g) ± f, s~ao fun»c~oes de X em W. Portanto, para mostrar que h ± (g ± f) =(h ± g) ± f, pelo Teorema 3.7 da Se»c~ao 3.4, precisamos apenas mostrar que [h ± (g ± f)](x) =[(h ± g) ± f](x), paratodo x em X. Usamos a De ni»c~ao 3.13 para obter o seguinte: [h ± (g ± f)](x) =h((g ± f)(x)) = h(g(f(x))) e [(h ± g) ± f](x) =(h ± g)(f(x)) = h(g(f(x))) para todo x em X. Isto mostra que [h ± (g ± f)](x) =[(h ± g) ± f](x), paratodox em X. A demonstra»c~ao est a agora completa. Teorema 3.16 Seja f : X! Y uma fun»c~ao. Ent~ao (a)seexisteumafun»c~ao g : Y! X tal que g ± f =1 X (sendo 1 X : X! X a fun»c~ao identidade, de nida no Exemplo 3.9, Se»c~ao 3.4), ent~ao f : X! Y e injetora. (b)seexisteumafun»c~ao h: X! Y tal que f ± h =1 Y,ent~ao f : X! Y e sobrejetora. Demonstra»c~ao. (a) Suponha que existe uma fun»c~ao g : Y! X tal que g ± f =1 X. Ent~ao para quaisquer x 1 e x 2 em X, comf(x 1 )=f(x 2 ),temos x 1 =(g ± f)(x 1 )=g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )) = (g ± f)(x 2 )=x 2 12 Muitas vezes, de ne-se f ± g mas n~ao se de ne g ± f (N. do T.)

76 Relac»~oes e Func»~oes 75 Isto demonstra que f : X! Y e injetora. (b) Suponha que existe uma fun»c~ao h: Y! X tal que f ± h =1 Y.Ent~ao, para cada y 2 Y, existe um elemento tal que x = h(y) 2 X f(x) =f(h(y)) = (f ± h)(y) =1 Y (y) =y Pela De ni»c~ao 3.11, f : X! Y e sobrejetora Exerc ³cios 1. Sejam f : R! R e g : R! R duas fun»c~oes de nidas por f(x) = 2x 3 +1 e g(x) =cosx, respectivamente, para todo x 2 R. (a) Encontre a composi»c~ao g ± f. (b) Encontre a composi»c~ao f ± g. 2. Sejam f : R +! R e g : R! R + duas fun»c~oes de nidas por f(x) =log 10 x,para todo x 2 R +,eg(x) =10 x para todo x 2 R. (a) Encontre a composi»c~ao g ± f : R +! R + (b) Encontre a composi»c~ao f ± g : R! R. 3. Sejam f, g e h as fun»c~oes dadas no Problema 6, Exerc ³cios (a) Encontre a composi»c~ao g ± f. (b) Encontre a composi»c~ao h ± g. (c) Encontre a composi»c~ao h ± (g ± f). (d) Encontre a composi»c~ao (h ± g) ± f. (e) Compare suas respostas para h ± (g ± f) e (h ± g) ± f; s~ao a mesma? 4. Seja f : X! Y uma fun»c~ao. Demonstre que f ± 1 X = f =1 Y ± f. 5. Seja f : X! Y uma bije»c~ao e seja f 1 : Y! X a fun»c~ao inversa de f. Demonstre que f 1 ± f =1 X e que f ± f 1 =1 Y. 6. Seja f : X! Y uma fun»c~ao. Se existem fun»c~oes g : Y! X e h: Y! X, tais que g ± f =1 X e f ± h =1 Y, demonstre que f : X! Y e bijetora e que g = h = f Sejam f : X! Y e g : Y! Z fun»c~oes. Demonstre que (a) Se f : X! Y e g : Y! Z s~ao injetoras, ent~ao tamb em o e g ± f : X! Z. (b) Se f : X! Y e g : Y! Z s~ao sobrejetoras, ent~ao tamb em o e g ± f : X! Z. 8. Seja R uma rela»c~ao de X para Y esejasuma rela»c~ao de Y para Z. Podemos, como na composi»c~ao de fun»c~oes, de nir a composi»c~ao destas rela»c~oes por S± R = f(x; z) 2 X Z j (9y 2 Y )[(x; y) 2 R ^ (y; z) 2 S]g que e uma rela»c~ao de X para Z. Demonstre que (a) (S± R) 1 = R 1 ± S 1. (b) Se T e uma rela»c~ao de Z para W,ent~ao T ± (S± R) =(T ± S) ± R. 9. Sejam f : X! Y e g : Y! Z duas bije»c~oes. Demonstre que g ± f : X! Z e uma bije»c~ao, e que a fun»c~ao inversa (g ± f) 1 : Z! X, e o mesmo que a composi»c~ao

77 76 Relac»~oes e Func»~oes f 1 ± g 1 : Z! X das fun»c~oes inversas g 1 : Z! Y e f 1 : Y! X. (g ± f) 1 = f 1 ± g 1. Ou seja,

78 4 Conjuntos Enumer aveis e Conjuntos N~ao Enumer aveis Ade ni»c~ao de Dedekind, de conjunto in nito, e usada ma discuss~ao de propriedades de conjuntos in nitos e de conjuntos nitos. E demonstrado, dentre outras coisas, que conjuntos enumer aveis s~ao os menores, em tamanho, dentre os conjuntos in nitos. Propriedades e exemplos, de conjuntos enumer aveis e de conjuntos n~ao enumer aveis, s~ao dadas. 4.1 Conjuntos nitos e in nitos Na Se»c~ao 2.1, Cap ³tulo 1, mencionamos informalmente que um conjunto nito e um conjunto que cont em apenas uma quantidade nita de elementos; embora este conceito possa ser transformado em uma de ni»c~ao matem atica mais precisa, daremos prefer^encia aumade ni»c~ao alternativa (De ni»c~ao 4.1), formulada por Dedekind. Foi enfatizado, na Se»c~ao 2.1, do Cap ³tulo 2, que o conjunto N, dosn umeros naturais, eumconjunto in nito. SejaN p = f2; 4; 6;:::g oconjuntodetodososn umeros naturais pares. Como foi mostrado ao leitor, no Problema 8, Exerc ³cios 3.6.1, existe uma correspond^encia um-a-um entre o conjunto N e seu subconjunto pr oprio N p. Em outras palavras, Uma parte e t~ao numerosa quanto o todo. 1 Esta propriedade estranha (de um conjunto in nito) incomodou muitos matem aticos, inclusive Georg Cantor. Foi Richard Dedekind (1831{1916) 2 que tornou esta 1 Uma diferen»ca not avel em rela»c~ao ao axioma de Euclides: \O todo e maior que qualquer de suas partes." (325 a.c.). 2 Richard Dedekind, um dos maiores matem aticos, nasceu em 6 de outubro de 1831, em Brunswick, Alemanha. De in ³cio, os interesses de Dedekind estavam na F ³sica e na Qu ³mica; ele considerava a Matem atica meramente como uma serva das ci^encias. Mas isto n~ao durou muito; aos dezessete anos, 77

79 78 Conjuntos Enumer aveis e Conjuntos N~ao Enumer aveis propriedade a caracter ³stica de nidora de um conjunto in nito. A seguinte de ni»c~ao foi dada por Dedekind em De ni»c~ao 4.1 Um conjunto X e in nito quando possui um subconjunto pr oprio Y,tal que existe uma correspond^encia um-a-um entre X e Y. Um conjunto e nito se n~ao for in nito. Em outras palavras, um conjunto X e in nito se e somente se existe uma inje»c~ao f : X! X tal que f(x) e um subconjunto pr oprio de X. Logo, o conjunto N de numeros naturais e um conjunto in nito. Exemplo 4.1 O conjunto e os conjuntos unit arios 3 s~ao nitos. Solu»c~ao. (a) Como o conjunto vazio n~ao possui nenhum subconjunto pr oprio, o conjunto vazio e nito. (b) Seja fag um conjunto unit ario qualquer. Como o unico subconjunto pr oprio de fag e o conjunto vazio, e n~ao h a nenhuma correspond^encia biun ³voca entre fag e, fag e necessariamente nito. Teorema 4.1 (a) Todo superconjunto, de um conjunto in nito, e in nito. (b) Todo subconjunto, de um conjunto nito, e nito. Demonstra»c~ao. (a) Seja X um conjunto in nito e e seja Y um superconjunto de X, i.e.,x ½ Y. Ent~ao, pela De ni»c~ao 4.1, existe uma inje»c~ao f : X! X tal que f(x) 6= X. De na uma fun»c~ao g : Y! Y por ½ f(y) g(y) = y se y 2 X se y 2 Y X Deixamos ao leitor veri car que a fun»c~ao g : Y! Y e injetora e que g(y ) 6= Y. Segue ent~ao, pela De ni»c~ao 4.1, que Y e in nito. (b) Seja Y um conjunto nito e seja X um subconjunto de Y, i.e., X ½ Y.Para demonstrar que X e nito, supomos o contr ario, que X e in nito. Ent~ao, por (a), o conjunto Y deve ser in nito. Isto e uma contradi»c~ao. Portanto, o conjunto X e nito. ele havia se mudado, da F ³sica e da Qu ³mica, para a Matem atica, cuja l ogicaachavamaissatisfat oria. Aosdezenoveanos,matriculou-senaUniversidadedeGÄottingen para estudar Matem atica, e recebeu seu grau de doutor tr^es anos depois, sob a orienta»c~ao de Gauss. Sua contribui»c~ao fundamental µamatem atica inclui o famoso \corte de Dedekind", um conceito importante no estudo de n umeros irracionais, que o leitor poder a ter a oportunidade de estudar em um curso de an alise real. 3 Um conjunto unit ario e um conjunto que consiste de um unico elemento.

80 Conjuntos Enumer aveis e Conjuntos N~ao Enumer aveis 79 Teorema 4.2 Seja g : X! Y uma correspond^encia um-a-um. Se o conjunto X e in nito, ent~ao Y e in nito. Demonstra»c~ao. Como X e in nito, pela De ni»c~ao 4.1, existe uma inje»c~ao f : X! X tal que f(x) 6= X. Como g : X! Y e uma correspond^encia um-a-um, tamb em o e g 1 : Y! X (Teorema 3.14, Cap ³tulo 3). Temos agora o seguinte diagrama de inje»c~oes: Y??y g 1 X! f Y x?? g X ConseqÄuentemente, a composi»c~ao h = g ± f ± g 1 : Y! Y de inje»c~oes e uma inje»c~ao [Problema 7, Exerc ³cios 3.7.1]. Finalmente, temos h(y )=(g ± f ± g 1 )(Y )=(g ± f)(g 1 (Y )) =(g ± f)(x) =g(f(x)) e g(f(x)) 6= Y,porquef(X) 6= X. Logo, h(y ) e um subconjunto pr oprio de Y,eportantoY e in nito. Corol ario 4.1 Seja g : X! Y uma correspond^encia um-a-um. Se o conjunto X e nito, ent~ao Y e nito. Demonstra»c~ao. Exerc ³cio. Teorema 4.3 Seja X um conjunto in nito e seja x 0 2 X. Ent~ao X fx 0 g e in nito. Demonstra»c~ao. Pela De ni»c~ao 4.1, existe uma inje»c~ao f : X! X tal que f(x) Ã X. H a dois casos a serem considerados: (1) x 0 2 f(x), ou(2)x 0 2 X f(x). Emcada caso, devemos construir uma inje»c~ao gx fx 0 g:! X fx 0 g,talqueg(x fx 0 g) 6= X fx 0 g. Caso 1. x 0 2 f(x). Existe um elemento x 1 em X tal que f(x 1 )=x 0.Umafun»c~ao pode agora ser de nida por g : X fx 0 g!x fx 0 g ½ f(x) g(x) = x 2 se x 6= x1 se x = x 1 2 X fx 0 g

81 80 Conjuntos Enumer aveis e Conjuntos N~ao Enumer aveis em que x 2 e um elemento do conjunto n~ao vazio X f(x), arbitrariamente xado. Segue que gx fx 0 g:! X fx 0 g e injetora e que g(x fx 0 g)=f(x fx 0 ;x 1 g)[fx 2 g6= X fx 0 g.portanto,x fx 0 g e in nito neste caso. Caso 2. x 0 2 X f(x). De na uma fun»c~ao g : X fx 0 g!x fx 0 g por g(x) =f(x) para todo x 2 X fx 0 g. Como f : X! X e injetora, tamb em o e g : X fx 0 g!x fx 0 g. Finalmente, g(x fx 0 g)=f(x) ff(x 0 )g6= X fx 0 g Portanto, em qualquer caso, X fx 0 g e in nito. No que segue, denotaremos por N k, k 2 N, o conjunto de todos os n umeros naturais de 1 at e k; isto e, N k = f1; 2;::: ;kg. Como uma aplica»c~ao do Teorema 4.3, mostramos no seguinte exemplo que cada N k e nito. Exemplo 4.2 Para cada k 2 N, o conjunto N k e nito. Demonstra»c~ao. Demonstraremos isto pelo princ ³pio de indu»c~ao matem atica. Pelo Exemplo 4.1, a a rma»c~ao e verdadeira para k =1. Agora, suponha que o conjunto N k e nito para algum n umero natural k. Considere o conjunto N k+1 = N k [fk +1g. SeN k+1 for in nito, ent~ao, pelo Teorema 4.3, N k+1 fk +1g = N k ser a um conjunto in nito, o que contradiz a hip otese de indu»c~ao. Logo, se N k e nito,ent~ao N k+1 e nito. Portanto, pelo princ ³pio de indu»c~ao matem atica, o conjunto N k e nito para cada k 2 N. Na verdade, existe uma conex~ao ³ntima entre um conjunto nito n~ao vazio e um conjunto N k. Teorema 4.4 Um conjunto X e nito se e somente se X = ou X est a em correspond^encia um-a-um com algum N k. Demonstra»c~ao. Se X e vazioouest a em correspond^encia um-a-um com algum N k, ent~ao, pelo Corol ario do Teorema 4.2, e Exemplos 4.1 e 4.2, o conjunto X e nito. Para mostrar a rec ³proca, mostramos, equivalentemente, sua contrapositiva: Se X 6= e X n~ao est a emcorrespond^encia um-a-um com nenhum N k,ent~ao X e in nito. Podemos tomar um elemento x 1 de X, eternovamentex fx 1 g n~ao vazio; pois, caso contr ario, ter ³amos X = fx 1 g em correspond^encia com N 1, uma contradi»c~ao com a hip otese sobre X. Continuando desta maneira, suponhamos que escolhemos elementos x 1, x 2, :::, x k de X. Ent~ao X fx 1 ;x 2 ;::: ;x k g e n~ao vazio; caso contr ario, teremos X = fx 1 ;x 2 ; ::: ; x k g em correspond^encia um-a-um com N k,umacontradi»c~ao com nossa hip otese sobre X. Logo, podemos sempre escolher um elemento x k+1 de X fx 1 ;x 2 ;::: ;x k g. Ent~ao, por indu»c~ao matem atica, para todo n umero natural n, existe um subconjunto

82 Conjuntos Enumer aveis e Conjuntos N~ao Enumer aveis 81 pr oprio fx 1 ;x 2 ;::: ;x n g de X. Denotemos o conjunto dos x n 's escolhidos por Y. 4 Ent~ao a fun»c~ao f : Y! Y fx 1 g, de nida por f(x k ) = x k+1 para todo k 2 N, estabelece uma correspond^encia um-a-um entre Y e seu subconjunto pr oprio Y fx 1 g. Portanto, pela De ni»c~ao 4.1, Y e in nito e portanto, pelo Teorema 4.1, X e in nito. Mencionaremos aqui que o Teorema 4.4 sugere uma de ni»c~ao alternativa de conjuntos nitos e in nitos. Podemos de nir um conjunto como sendo nito se e somente se ele e vazio ou est a em correspond^encia um-a-um com algum N k, e sendo in nito se e somente se n~ao e nito. Desta de ni»c~ao alternativa, nossa De ni»c~ao 4.1 pode ser demonstrada como um teorema. Entretanto, isto requeriria mais ou menos o mesmo montante de trabalho requerido pela nossa presente abordagem Exerc ³cios 1. Complete a demonstra»c~ao do Teorema Seja g : X! Y uma correspond^encia um-a-um. Demonstre que se X e nito, ent~ao Y e nito. 3. Demonstre que os conjuntos Z, Q e R s~ao in nitos. 4. Demonstre que se A e um conjunto in nito, ent~ao A A tamb em o e. 5. Demonstre que se A e B s~ao conjuntos in nitos, ent~ao A [ B e um conjunto in nito. 6. Demonstre que a reuni~ao de um n umero nito de conjuntos nitos e um conjunto nito. 7. Sejam A e B dois conjuntos tais que A [ B e in nito. Demonstre que ao menos um dos dois conjuntos A e B e in nito. 8. Demonstre a seguinte generaliza»c~ao do Teorema 4.3: Se Y e um subconjunto nito de um conjunto in nito X, ent~ao X Y e in nito. 4.2 Equipot^encia de conjuntos Dois conjuntos nitos X tem o mesmo n umero de elementos se e somente se existe uma correspond^encia um-a-um f : X! Y. Embora a frase \mesmo n umero de elementos" n~ao se aplique aqui se X e Y s~ao in nitos, parece natural pensar que dois conjunto in nitos, que estejam em correspond^encia um-a-um, tem o mesmo tamanho. Formalizaremos esta intui»c~ao como segue: De ni»c~ao 4.2 Dois conjuntos X e Y dizem-se equipotentes, fato denotado por X» Y, quando existe uma correspond^encia um-a-um f : X! Y. 4 Aqui os autores usaram implicitamente o \axioma da escolha", um axioma importante a ser discutido no Cap ³tulo 6. Uma forma do axioma da escolha pode ser enunciada como: \Seja P um conjunto n~ao vazio, de subconjuntos n~ao vazios de um conjunto dado X. Ent~ao existe um conjunto R ½ X tal que para todo C 2 P, C \ R e um conjunto unit ario". Este axioma ser a usado em todas as partes deste livro, sem ser explicitamente mencionado.

83 82 Conjuntos Enumer aveis e Conjuntos N~ao Enumer aveis Obviamente, todo conjunto e equipotente a si mesmo. Como a inversa de uma correspond^encia um-a-um e uma correspond^encia um-a-um (Teorema 3.14), X» Y seesomentesey» X. Convencionaremos que o s ³mbolo f : X» Y signi car a \f : X! Y e uma correspond^encia um-a-um e portanto X» Y ". Usando esta nota»c~ao conveniente, a primeira metade do Problema 9, Exerc ³cios pode ser re-enunciado como: Se f : X» Y e g : Y» Z, ent~ao g ± f : X» Z. Acabamos de demonstrar ent~ao o seguinte teorema. Teorema 4.5 Seja Ium conjunto de conjuntos e seja R uma rela»c~ao em Idada por: X R Y se e somente se X e Y s~ao membros de Ie X» Y.Ent~ao R e uma rela»c~ao de equival^encia em I. No seguinte exemplo, os s ³mbolos ]0; 1[ e ] 1; 1[ denotam intervalos de n umeros reais. Exemplo 4.3 (a) ]0; 1[» ] 1; 1[. (b) ] 1; 1[» R, er» ]0; 1[. Solu»c~ao. (a) A fun»c~ao f :]0; 1[! ] 1; 1[, dadaporf(x) =2x 1, e uma correspond^encia um-a-um. Portanto, ]0; 1[» ] 1; 1[. (b) A fun»c~ao trigonom etrica g : ] 1; 1[! R, dadaporg(x) =tg(¼x=2), euma correspond^encia um-a-um; portanto ] 1; 1[» R. O leitor deveria veri car esta asser»c~ao esbo»cando um gr a co de g(x) =tg(¼x=2). Uma demonstra»c~ao rigorosa pode ser obtida veri cando-se as seguintes duas observa»c~oes: (1) g :] 1; 1[! R e cont ³nua, e ilimitada, tanto superiormente como inferiormente. (2) g 0 (x) =(¼=2) sec 2 (¼x=2) > 0, 8x, ) g e estritamente crescente. Como a \rela»c~ao" de equipot^encia e transitiva, 5 ]0; 1[» ] 1; 1[ e ] 1; 1[» R implicam ]0; 1[» R. Teorema 4.6 Sejam X, Y, Z e W conjuntos com X \ Z = = Y \ W,esejam f : X» Y e g : Z» W.Ent~ao f [ g :(X [ Z)» (Y [ W ). Demonstra»c~ao. Como f : X! Y e g : Z! W s~ao fun»c~oes com X \ Z =, pelo Teorema 3.8, do Cap ³tulo 3, f [ g : X [ Z! Y [ W e uma fun»c~ao. Deixaremos ao leitor a demonstra»c~ao de que esta ultima fun»c~ao e uma correspond^encia um-a-um. 5 Falando estritamente, \»" n~ao e umarela»c~ao de equival^encia, porque seu dom ³nio n~ao e um conjunto (veja Teorema 2.10 do Cap ³tulo 2). Mas podemos cham a-la uma rela»c~ao se considerarmo-la de nida em qualquer conjunto de conjuntos I(Teorema 4.5).

84 Conjuntos Enumer aveis e Conjuntos N~ao Enumer aveis 83 Teorema 4.7 Sejam X, Y, Z e W conjuntos tais que X» Y e Z» W. X Z» Y W. Ent~ao Demonstra»c~ao. Sejam f : X» Y e g : Z» W. De namos a fun»c~ao f g : X Z! Y W,por(f g)(x; z) =(f(x);g(z)) para todo (x; z) 2 X Z. Pedimos ao leitor demonstrar que esta ultima fun»c~ao e uma correspond^encia um-a-um. Examinando os v arios conjuntos nitos N k = f1; 2; 3;::: ;kg, conforme k cresce, e notando que os conjuntos in nitos Z, Q, e R (veja Problema 3, Exerc ³cios 4.1.1) s~ao superconjuntos de N, parece que o \menor" conjunto in nito e o conjunto N de todos os n umeros naturais, ou qualquer conjunto que seja equipotente a N. Aprenderemos em breve, na Se»c~ao 4.4, que nem todos os conjuntos in nitos s~ao equipotentes a N. De ni»c~ao 4.3 Um conjunto X e dito ser enumer avel quando X» N. Um conjunto cont avel e um conjunto nito ou enumer avel. Seja X um conjunto enumer avel. f : X» N. Sedenotamos Ent~ao existe uma correspond^encia biun ³voca f(1) = x 1 ;f(2) = x 2 ;f(3) = x 3 ;::: ;f(k) =x k ;::: ent~ao X pode ser denotado alternativamente por fx 1 ;x 2 ;x 3 ;::: ;x k ;:::g; as retic^encias ( ::: ) s~ao usadas para indicar que os elementos s~ao etiquetados em uma ordem de nida, conforme indicado pelos ³ndices. Uma explica»c~ao para o termo \cont avel" est a agora em pauta. Para um conjunto nito, e teoricamente poss ³vel contar seus elementos e o termo e adequado. Muito embora a contagem de fato de todos os elementos de um conjunto enumer avel X = fx 1 ;x 2 ;x 3 ;::: ;g seja imposs ³vel, o conjunto X est a em correspond^encia biun ³voca com os n umeros de contagem, os n umeros naturais. Teorema 4.8 Todo subconjunto in nito, de um conjunto enumer avel, e enumer avel. Demonstra»c~ao. SejaY um subconjunto in nito de um conjunto enumer avel X = fx 1 ; x 2 ;x 3 ;:::g. Seja n 1 omenor ³ndice para o qual x n1 2 Y,esejan 2 omenor ³ndice para o qual x n2 2 Y x n1. Tendo de nido x nk 1,sejan k omenor ³ndice tal que x nk 2 Y fx n1 ;x n2 ;::: ;x nk 1 g. Um tal n k sempre existe pois Y e in nito, o que garante que Y fx n1 ;x n2 ;::: ;x nk 1 g6= para cada k 2 N. Deste modo, constru ³mos uma correspond^encia um-a-um f : Y» N, sendo f(k) =x nk para cada k 2 N. Portanto, Y e enumer avel. Uma demonstra»c~ao mais curta, por em menos intuitiva, do Teorema 4.8, e indicada no Problema 10 ao nal desta se»c~ao. O seguinte corol ario e uma conseqäu^encia imediata da De ni»c~ao 4.3 e do Teorema 4.8.

85 84 Conjuntos Enumer aveis e Conjuntos N~ao Enumer aveis Corol ario 4.2 Todo subconjunto de um conjunto cont avel e cont avel. Mais exemplos e propriedades de conjuntos enumer aveis s~ao dados na pr oxima se»c~ao Exerc ³cios 1. Complete a demonstra»c~ao do Teorema Complete a demonstra»c~ao do Teorema Demonstre que se X e Y s~ao dois conjuntos, ent~ao X Y» Y X. 4. Demonstre que se (X Y )» (Y X) ent~ao X» Y. 5. Demonstre a seguinte generaliza»c~ao do Teorema 4.6: Seja fx j 2 g e fy j 2 g duas fam ³lias de conjuntos disjuntos, tal que X» Y para cada 2. Ent~ao S 2 X» S 2 Y. 6. Demonstre que se X e um conjunto enumer avel e Y e um subconjunto nito de X, ent~ao X Y e enumer avel. [Compare com o Problema 8, Exerc ³cios ] 7. Demonstre que se X e um conjunto enumer avel e Y e um conjunto nito, ent~ao X [ Y e enumer avel. 8. Demonstre que o conjunto N p,detodososn umeros naturais pares, e o conjunto N i, de todos os n umeros naturais ³mpares, s~ao enumer aveis. 9. Seja A um conjunto n~ao vazio, e seja 2 A o conjunto das fun»c~oes de A no conjunto f0; 1g. Demonstre que }(A)» 2 A. 10. Sejam X um conjunto enumer avel e Y um subconjunto in nito de X. Sejag : X» N, esejah: Y! N a fun»c~ao de nida por h(y) = n umero de elementos em f1; 2; 3;::: ; g(y)g\g(y ) Demonstre que h e uma correspond^encia um-a-um e que portanto Y e enumer avel. 4.3 Exemplos e propriedades de conjuntos enumer aveis O conjunto N p de todos os n umeros naturais pares e o conjunto N i de todos os n umeros naturais ³mpares s~ao enumer aveis (Problema 8, Exerc ³cios 4.2.1). Como a reuni~ao N p [ N i (= N) destes dois conjuntos enumer aveis e enumer avel, o pr oximo teorema deveria ser previs ³vel. Teorema 4.9 A uni~ao de dois conjuntos enumer aveis e enumer avel. Demonstra»c~ao. Sejam A e B dois conjuntos enumer aveis. Mostraremos que A [ B e enumer avel nos dois casos seguintes:

86 Conjuntos Enumer aveis e Conjuntos N~ao Enumer aveis 85 Caso 1. A \ B =. Como A» N e N» N p,temosa» N p. De modo semelhante, temos B» N i. ConseqÄuentemente, pelo Teorema 4.6, temos (A [ B)» (N p [ N i )=N, o que demonstra que A [ B e enumer avel. Caso 2. A \ B 6=. Seja C = B A. Ent~ao A [ C = A [ B e A \ C = ; o conjunto C ½ B e ou nito ou enumer avel [Corol ario 4.2 do Teorema 4.8]. Se C e nito, pelo Problema 7dosExerc ³cios 4.2.1, A [ C e enumer avel, e se C e enumer avel, ent~ao A [ C e enumer avel, pelo caso 1 acima. Portanto, o conjunto A [ B e enumer avel. Ent~ao S n k=1 A k e enu- Corol ario 4.3 Sejam A 1 ;A 2 ;::: ;A n conjuntos enumer aveis. mer avel. Demonstra»c~ao. A demonstra»c~ao e deixada ao leitor, como um exerc ³cio. Pedimos ao leitor veri car o pr oximo exemplo. Exemplo 4.4 O conjunto Z de todos os inteiros e enumer avel. Teorema 4.10 O conjunto N N e enumer avel. Demonstra»c~ao. Considere a fun»c~ao f : N N! N dada por f(j; k) =2 j 3 k para todo (j; k) 2 N N. Esta fun»c~ao e injetora, de modo que N N» f(n N) ½ N: Como N N e in nito, f(n N) tamb em o e. Pelo Teorema 4.8, f(n N) e enumer avel eportanton N e enumer avel. Corol ario 4.4 Para cada k 2 N, sejaa k um conjunto enumer avel satisfazendo A j \ A k = para todo j 6= k. Ent~ao S k2n A k e enumer avel. 6 Demonstra»c~ao. Paracadak 2 N, sejaf k : N! N fkg uma fun»c~ao dada por f k (j) = (j; k) para todo j 2 N. Claramente, cada f k : N! N fkg e uma correspond^encia um-a-um. Ou seja, N» N fkg. Como A k» N e N» N fkg para cada k 2 N, temos A k» N fkg para cada k 2 N. Segue ent~ao, do Problema 5 dos Exerc ³cios 4.2.1, que S k2n A k» S k2n N fkg. Mas o conjunto S k2n N fkg e igual ao conjunto enumer avel N N. Portanto, S k2n A k e enumer avel. 6 Este resultado e verdadeiro sem a hip otese \A k \ A j = para todo j 6= k." Veja Problema 7.

87 86 Conjuntos Enumer aveis e Conjuntos N~ao Enumer aveis Exemplo 4.5 O conjunto Q de todos os n umeros racionais e enumer avel. Demonstra»c~ao. Representaremos cada n umero racional de maneira unica como p=q, sendo p 2 Z, q 2 N eom aximo divisor comum de p e q igual a 1. SejaQ + o conjunto de tais elementos com p=q > 0, esejaq = f p=q j p=q 2 Q + g. Ent~ao Q = Q + [f0g[q. E evidente que Q +» Q. Portanto, para mostrar que Q e enumer avel, e su ciente mostrar que Q + e enumer avel. Para este prop osito, consideramos a fun»c~ao f : Q +! N N, dadaporf(p=q) = (p; q). Como esta fun»c~ao e injetora, temos Q +» f(q + ) ½ N N. Como Q +, como um superconjunto de N, e in nito, f(q + ) e um subconjunto in nito do conjunto enumer avel N N. Portanto,f(Q + ) e enumer avel econseqäuentemente Q + e enumer avel. A demonstra»c~ao est a agora completa. O pr oximo teorema indica que os conjunto enumer aveis s~ao, em um certo sentido, os menores em \tamanho" dentre os conjuntos in nitos. Teorema 4.11 Todo conjunto in nito cont em um subconjunto enumer avel. Demonstra»c~ao. Seja X um conjunto in nito qualquer. Ent~ao X 6=, de modo que podemos escolher um elemento, digamos x 1, no conjunto X. A seguir, seja x 2 um elemento em X fx 1 g. De modo semelhante, escolha um elemento x 3 do conjunto n~ao vazio X fx 1 ;x 2 g. Tendo assim de nido x k 1, escolhemos um elemento x k no conjunto X fx 1 ;x 2 ;::: ;x k 1 g.talx k existe para cada k 2 N, porque X e in nito, o que garante que X fx 1 ;x 2 ;::: ;x k 1 g6= para todo k 2 N. O conjunto fx k j k 2 Ng e um subconjunto enumer avel de X, e a demonstra»c~ao est a completa Exerc ³cios 1. Demonstre a asser»c~ao do Exemplo 4.3: O conjunto Z de todos os inteiros e enumer avel. 2. Demonstre o Corol ario 4.3 do Teorema Demonstre que a uni~ao de um n umero nito de conjuntos cont aveis e cont avel. 4. Demonstre que se A e B s~ao conjuntos enumer aveis, ent~ao tamb em o e A B. Em particular, Z N, Z Z, eq Q s~ao enumer aveis. 5. Encontre uma fun»c~ao injetora f : Q! Z N ed^e uma demonstra»c~ao alternativa para o Exemplo Demonstre que o conjunto dos c ³rculos no plano cartesiano, tendo raios racionais e centros em pontos com ambas as coordenadas racionais, e enumer avel. 7. Demonstre que se para cada k 2 N, B k e um conjunto enumer avel, ent~ao S k2n B k e enumer avel. 4.4 Conjuntos n~ao enumer aveis Todos os conjuntos in nitos que vimos at e o momento s~ao enumer aveis. Isto pode levar o leitor a indagar se todos os conjuntos in nitos s~ao enumer aveis. Ecomumente

88 Conjuntos Enumer aveis e Conjuntos N~ao Enumer aveis 87 pensado que Georg Cantor tentou demonstrar que todo conjunto in nito e enumer avel, quando iniciou seu desenvolvimento da teoria dos conjuntos. Entretanto, ^ele surprendeuse demonstrando que existem conjuntos n~ao enumer aveis. Teorema 4.12 O intervalo aberto ]0; 1[ de n umeros reais e um conjunto n~ao enumer avel. Demonstra»c~ao. Expressemos primeiramente cada n umero x, x < 0 < 1, como uma expans~ao decimal na forma 0;x 1 x 2 x 3 :::, com x n 2 f0; 1; 2;::: ;9g para cada n. Por exemplo, 1=3 =0; 333 :::, p 2=2 =0; :::. De modo a ter uma unica express~ao, para aqueles n umeros com uma expans~ao decimal nita, tais como 1=4 =0; 25, concordaremos em subtrair 1 do ultimo d ³gito e acrescentar 9's, de modo que 1=4 =0; :::,en~ao 0; :::. Sob este acordo, dois n umeros no intervalo ]0; 1[ s~ao iguais se e somente se os d ³gitos correspondentes, de suas expans~oes decimais, s~ao id^enticos. Assim, se dois tais n umeros, x =0;x 1 x 2 x 3 ::: e y =0;y 1 y 2 y 3 ::: tem uma casa decimal, digamos a k- esima casa decimal, tal que x k 6= y k,ent~ao x 6= y. Este e um ponto crucial sobre o qual nossa demonstra»c~ao se apoia. Agora, suponha que o conjunto ]0; 1[ e enumer avel. Ent~ao existe uma correspond^encia um-a-um f : N»]0; 1[. Ent~ao podemos listar todos os elementos de ]0; 1[ como segue: ( ) f(1) = 0;a 11 a 12 a 13 ::: Â f(2) = 0;a 21 a 22 a 23 ::: Â f(3) = 0;a 31 a 32 a 33 :::. Â f(k) =0;a k1 a k2 a k3 :::. em que cada a jk 2f0; 1; 2;::: ;9g. Construiremos um n umero z 2 ]0; 1[, que n~ao pode ser encontrado na lista acima de f(k)'s. Esta contradi»c~ao implicar a que nossa suposi»c~ao pr evia de que ]0; 1[ e enumer avel estava errada, e que portanto ]0; 1[ e n~ao enumer avel. Seja z =0;z 1 z 2 z 3 ::: de nido por z k =5,sea kk 6=5,ez k =1se a kk =5,paracadak 2 N. On umero z =0;z 1 z 2 z 3 ::: claramente satisfaz 0 <z<1; masz 6= f(1) pois z 1 6= a 11, z 6= f(2) pois z 2 6= a 22, :::, edemodogeralz 6= f(k) pois z k 6= a kk,paratodok 2 N. Portanto,z 62 f(n) =]0; 1[. Temos ent~ao a contradi»c~ao prometida, e a demonstra»c~ao est a completa. Corol ario 4.5 O conjunto R dos n umeros reais n~ao e enumer avel. Demonstra»c~ao. Fizemos a demonstra»c~ao, no Exemplo 4.3(b), de que R» ]0; 1[. Agora, ]0; 1[ e n~ao enumer avel; portanto seu conjunto equipotente R tamb em e n~ao enumer avel (veja Problema 1).

89 88 Conjuntos Enumer aveis e Conjuntos N~ao Enumer aveis Exemplo 4.6 O conjunto de todos os n umeros irracionais e n~ao enumer avel. Demonstra»c~ao. Demonstramos, no Exemplo 4.5, que o conjunto Q dos n umeros racionais e enumer avel. O conjunto dos n umeros irracionais e, por de ni»c~ao, o conjunto R Q. Ef acil ver que R Q e um conjunto in nito. Para mostrar que R Q e n~ao enumer avel, supomos o contr ario, que R Q e enumer avel. Segue ent~ao que a uni~ao (R Q) [ Q = R e enumer avel (Teorema 4.9). Isto contradiz o corol ario do Teorema 12. Portanto o conjunto R Q dos n umeros irracionais e n~ao enumer avel. Notas. (1) O m etodo de demonstra»c~ao usado no Teorema 4.12 e chamado m etodo diagonal de Cantor, porque foi criado por Cantor e a constru»c~ao do n umero chave z =0;z 1 z 2 z 3 :::, na demonstra»c~ao, e baseada nos d ³gitos a 11 ;a 22 ;a 33 ;::: na diagonal principal da tabela ( ) ded ³gitos. Esta demonstra»c~ao, embora possa n~ao ser apreciada pelo iniciante, revela a engenhosidade de Cantor. (2) A exist^encia de conjuntos n~ao enumer aveis mostra que existem classes de conjunto in nitos. Na verdade, como o leitor ver a nopr oximo cap ³tulo, existe uma abund^ancia de\classesdeequipot^encia" de conjunto in nitos Exerc ³cios 1. Sejam A e B dois conjuntos equipotentes. Demonstre que se A e n~ao enumer avel, ent~ao B e n~ao enumer avel. 2. Demonstre que todo superconjunto de um conjunto n~ao enumer avel e n~ao enumer avel. 3. Usando o resultado do Problema 2, acima, d^e uma demonstra»c~ao alternativa do corol ario do Teorema Demonstre que o conjunto dos n umeros irracionais entre 0 e 1 e n~ao enumer avel.

90 5 N umeros Cardinais e Aritm etica Cardinal O conceito de n umero cardinal e introduzido. Semelhan»cas e diferen»cas entre propriedades de n umeros cardinais nitos e trans nitos s~ao exibidas no curso da explora»c~ao da aritm etica cardinal adi»c~ao, multiplica»c~ao e exponencia»c~ao. O cap ³tulo termina com uma nota hist orica sobre a hip otese do cont ³nuo (generalizada). 5.1 O conceito de n umeros cardinais De modo bem natural, o conceito de n umero entrou em nossas vidas bem cedo. Fomos capazes de notar, por exemplo, a similaridade entre tr^es ma»c~as e tr^es laranjas, e a distin»c~ao entre dois dedos e quatro dedos. Embora tiv essemos um conceito de n umero, a maioria de n os n~ao tinha uma de ni»c~ao precisa de n umero. Soubemos, por exemplo, que 2+3 = 5, 3 < 4, 6 7 =42, etc. Isto nos leva a acreditar que n~ao precisamos saber o que um n umero realmente e; o que devemos saber s~ao a igualdade e a ordem entre n umeros, e como calcular com eles exatamente do modo como jogadores de xadrez n~ao se preocupam com o que um cavalo e, mas sim como ele desempenha. Portanto, n~ao de niremos aqui o que um n umero cardinal e, 1 mas apenas introduzi-lo-emos como um conceito primitivo relativo ao \tamanho" de conjuntos. As regras importantes guiando este novo conceito s~ao C-1. Cada conjunto A est a associado a um n umero cardinal, denotado por card A, e para cada n umero cardinal a, existe um conjunto A com card A = a. C-2. card A =0se e somente se A =. C-3. Se A e um conjunto nito n~ao vazio, i.e., A»f1; 2;::: ;kg para algum k 2 N, ent~ao card A = k. 1 Talvez o leitor deva ser informado que e poss ³vel de nir os n umeros cardinais como os \ordinais iniciais" (Veja p agina 138 de S-Y.T. Lin & Y-F. Lin, Set Theory: An Intuitive Approach. Houghton Mi²in Co., Boston, 1974). 89

91 90 N umeros Cardinais e Aritm etica Cardinal C-4. Para quaisquer dois conjuntos A e B, card A = card B, A» B. As regras C-1 e C-3 de nem os n umeros cardinais de conjuntos nitos on umero cardinal de um conjunto nito e o n umero de elementos naquele conjunto. Em tratamentos axiom aticos da teoria dos conjuntos, C-1 e C-4 s~ao habitualmente postulados como um axioma, chamado axioma da cardinalidade. O iniciante pode achar C-1 e C-4 dif ³ceis de serem aceitos, pois estas regras n~ao dizem muito acerca de card A quando A e um conjunto in nito. Esta di culdade ser a superada gradualmente enquanto avan»carmos talcomoquandooleitorn~ao sabia o que era c alculo, at e que chegasse µa metadede seu curso. Neste momento, podemos dizer, grosso modo, que o n umero cardinal de um conjunto e a propriedade que o conjunto tem em comum com os conjuntos que s~ao equipotentes a ele Exerc ³cios 1. Mostre que o os n umeros naturais s~ao n umeros cardinais. 2. D^e exemplos de tr^es n umeros cardinais que n~ao s~ao n umeros naturais. 5.2 Ordena»c~ao dos n umeros cardinais O Teorema de SchrÄoder-Bernstein Chamaremos o n umero cardinal de um conjunto nito de n umero cardinal nito, eo n umero cardinal de um conjunto in nito de um n umero cardinal trans nito. Asregras C-2eC-3dase»c~ao anterior mostram que os n umeros cardinais nitos s~ao precisamente os inteiros n~ao negativos. Assim, os n umeros cardinais nitos tem uma ordem natural herdada: 0 < 1 < 2 < <k<k+1<. Para dois n umeros cardinais trans nitos quaisquer, a regra C-4 nos diz quando eles s~ao iguais e quando n~ao s~ao. Mas n~ao estaremos satisfeitos com apenas isto; quando eles foram diferentes, gostar ³amos de saber qual deles e \menor" que o outro. De ni»c~ao 5.1 Sejam A e B conjuntos. Ent~ao dizemos que card A e menor que card B, e denotamos isto por card A<card B, quando A e equipotente a um subconjunto de B, mas o conjunto B n~ao e equipotente a nenhum subconjunto de A. Embora esta de ni»c~ao seja projetada para ordenar n umeros cardinais, ela se aplica a n umeros cardinais nitos tamb em, e quando aplicada a n umeros cardinais nitos o resultado e o mesmo que a ordem natural tradicional mencionada acima. Exemplo 5.1 card N < card R. Demonstra»c~ao. Como o conjunto N e um subconjunto de R, N e equipotente a um subconjunto de R, N» N ½ R, maspelase»c~ao 4.4, Cap ³tulo 4, sabemos que o conjunto

92 N umeros Cardinais e Aritm etica Cardinal 91 in nito R e n~ao enumer avel. Portanto, R n~ao e equipotente a nenhum subconjunto de N. PelaDe ni»c~ao 5.1, temos card N < card R. At e agora,n~ao nos e claro como dois n umeros cardinais se comparam quando o conjunto A e equipotente a um subconjunto de B e o conjunto B e equipotente a um subconjunto de A. Georg Cantor conjeturou que, neste caso, card A deveria ser igual a card B. Mais tarde, nos anos 1890's, esta conjetura foi demonstrada, independentemente, por ambos F. Bernstein no semin ario de Cantor, e por E. SchrÄoder, baseado em um c alculo l ogico. Este resultado celebrado e agora conhecido geralmente por Teorema de SchrÄoder-Bernstein. Teorema 5.1 (Teorema de SchrÄoder-Bernstein) Se A e B s~ao conjuntos, tais que A e equipotente a um subconjunto de B e B e equipotente a um subconjunto de A, ent~ao A e B s~ao equipotentes. Demonstraremos primeiramente o seguinte caso especial do Teorema 5.1, do qual o Teorema 5.1 segue facilmente. Lema 5.1 Se B e subconjunto de A eexisteumainje»c~ao f : A! B, ent~ao A e B s~ao equipotentes. Demonstra»c~ao. Se B e A, ent~ao a fun»c~ao identidade em A e umatalh. Suponhamos que B e um subconjunto pr oprio de A, e seja C o conjunto S n 0 f n (A B), sendo f 0 afun»c~ao identidade em A e, para cada inteiro positivo k eparacadax 2 A, f k (x) = f(f k 1 (x)). Paracadaz em A, de nah(z) como segue: ½ f(z) h(z) = z se z 2 C se z 2 A C Observe que A B e um subconjunto de C, f(c) ½ C, e que se m e n s~ao dois inteiros n~ao negativos distintos, digamos m<n,ent~ao f m (A B) e f n (A B) s~ao disjuntos. Pois, caso contr ario, existem x e x 0 em A B tais que f m (x) =f n (x 0 ), o que acarreta f n m (x) =x 2 B \ (A B), uma contradi»c~ao. Finalmente, pela de ni»c~ao de h epela ultima observa»c~ao, temos h(a) =(A C) [ f(c) " = A [ # Ã! [ f n (A B) [ f f n (A B) n 0 n 0 " = A [ # Ã! [ f n (A B) [ f n (A B) n 0 = A (A B) = B n 1

93 92 N umeros Cardinais e Aritm etica Cardinal Destas observa»c~oes e do fato de que f e injetora, segue que h: A! B e umabije»c~ao. Isto completa a demonstra»c~ao do lema. A principal id eia por detr as da demonstra»c~ao acima pode ser visualizada no seguinte diagrama ilustrativo, em que o ret^angulo inteiro representa o conjunto A: Figura 17. Demonstra»c~ao do Teorema 5.1. SejamA 0 e B 0 subconjuntos de A e B, respectivamente, tais que A» B 0 e B» A 0,esejamf 0 : A» B 0 e g 0 : B» A 0 duas bije»c~oes. Seja f : A! A 0 dada por f(x) =g 0 (f 0 (x)), que e uma inje»c~ao. Portanto, pelo lema acima, existe uma bije»c~ao h: A» A 0.ConseqÄuentemente, a composi»c~ao g 0 1 ± h: A» B, das duas bije»c~oes h: A» A 0 e g 0 1 : A 0» B, eumabije»c~ao. 2 E conveniente escrever card A card B como signi cando card A<card B ou card A = card B. O seguinte corol ario e uma conseqäu^encia imediata do Teorema de SchrÄoder-Bernstein. Corol ario 5.1 Se A e B s~ao conjuntos tais que card A card B e card B card A ent~ao card A = card B. At e o momento, conhecemos muito pouco sobre n umeros cardinais trans nitos, porque vimosapenasdoistaisn umeros cardinais, card N e card R. Naturalmente, gostar ³amos de saber se h a outrosn umeros cardinais trans nitos. A resposta a esta quest~ao e dada na pr oxima se»c~ao existe na verdade um suprimento ilimitado de n umeros cardinais trans nitos distintos. Uma outra quest~ao importante e esta:semens~ao dois n umeros cardinais nitos distintos, ent~ao ou m<nou n<m; e istotamb em verdadeiro para n umeros cardinais trans nitos? A resposta e a rmativa, mas a demonstra»c~ao depende de um resultado do pr oximo cap ³tulo, e e portanto adiada at e o Teorema 6.1 do Cap ³tulo 6. 2 Esta demonstra»c~ao e o lema precedente foram adotados de R.H. Cox, \A Proof of the Schroeder- Bernstein Theorem", American Mathematical Monthly, 75, No. 5 (1968), 508.

94 N umeros Cardinais e Aritm etica Cardinal Exerc ³cios 1. Seja n um n umero cardinal nito qualquer. Demonstre que n < card N. 2. Seja a um n umero cardinal trans nito qualquer. Demonstre que card N a. Assim, card N e o menor n umero cardinal trans nito. 3. Sejam A e B dois conjuntos. Demonstre que card A card B se e somente se existe uma injec~ao f : A! B. 4. Sejam A, B e C conjuntos. Demonstre que (a) Se card A card B e card B card C ent~ao card A card C. (b) Se card A<card B e card B<card C ent~ao card A<card C. 5. Demonstre que se A e B s~ao conjuntos tais que A ½ B ent~ao card A card B. 6. Demonstre que se A, B e C s~ao conjuntos tais que A ½ B ½ C e A» C, ent~ao A» B. 5.3 N umero cardinal de um conjunto das partes Teorema de Cantor Seja X um conjunto. Recordemos que o conjunto das partes }(X),deX, e o conjunto de todos os subconjuntos de X (Se»c~ao 2.2, Cap ³tulo 2). O pr oprio Georg Cantor demonstrou que card X<card }(X). A signi c^ancia deste teorema e que ele prov^e ummodode contruir uma longa seqäu^encia de novos n umeros cardinais trans nitos. Por exemplo, temos card R < card }(R) < card }(}(R)) < : Teorema 5.2 (Teorema de Cantor) Se X e um conjunto, card X<card }(X). Demonstra»c~ao. Se X =, ent~ao card =0< 1=card}( ). Portanto, resta provar ocasoemquex 6=. Neste caso, a fun»c~ao g : X! }(X), dadaporg(x) =fxg 2 }(X), paratodox 2 X, e injetora. Logo, o conjunto X e equipotente ao subconjunto ffxg jx 2 Xg de }(X) ou, equivalentemente, card X card }(X). A partir disto, para mostrar que card X < card }(X), e su ciente mostrar que X n~ao e equipotente a }(X). Assuma, em contr ario, que exista uma bije»c~ao f : X» }(X); nosso prop osito e mostrar que esta suposi»c~ao leva a uma contradi»c~ao. Considere o conjunto S = fx 2 X j x 62 f(x)g, que consiste daqueles elementos de X que n~ao est~ao em suas imagens sob f. Como S 2 }(X) e f : X» }(X), existe um elemento e 2 X tal que f(e) =S. Ou e 2 S ou e 62 S. Caso 1. e 2 S. Segue, pela de ni»c~ao de S, que e 62 f(e); isto eimposs ³vel, pois f(e) =S e e 62 S. Caso 2. e 62 S.

95 94 N umeros Cardinais e Aritm etica Cardinal Como f(e) =S, temose 62 f(e). ConseqÄuentemente, pela de ni»c~ao de S, e 2 S eportantoe 2 f(e). Isto novamente e imposs ³vel. Uma contradi»c~ao foi obtida e a demonstra»c~ao do Teorema de Cantor est a completa. Em vista do Teorema de Cantor, uma quest~ao bem natural a surgir foi, Existe um n umero cardinal x tal que card N <x<card }(N)? Esta quest~ao, chamada o problema do cont ³nuo, capturou a aten»c~ao de Cantor e outros matem aticos por muito tempo. Veremos mais sobre este problema na Se»c~ao Exerc ³cios 1. Demonstre que n~ao existe um n umero cardinal maior de todos. 2. Sejam A e B conjuntos. Demonstre que se A» B ent~ao card }(A) =card}(b). 3. Seja A um conjunto enumer avel. Demonstre que o conjunto das partes de A, }(A), e n~ao enumer avel. 5.4 Adi»c~ao de n umeros cardinais J a existeumaaritm etica paran umeros cardinais nitos. Por exemplo, se k e l s~ao dois n umeros cardinais nitos, a soma k + l e o produto kl tem seus signi cados tradicionais. Tentaremos agora generalizar estes conceitos de modo a cobrir os n umeros cardinais trans nitos tamb em; ou seja, desenvolver uma aritm etica que se aplica a todos os n umeros cardinais, nitos ou trans nitos, que preserve os signi cados e propriedades tradicionais da aritm etica dos n umeros cardinais nitos. De ni»c~ao 5.2 Sejam a e b n umeros cardinais. A soma cardinal de a e b, denotadapor a + b, eon umero cardinal card(a [ B), em que A e B s~ao conjuntos disjuntos tais que card A = a e card B = b. Para mostrar que a De ni»c~ao 5.2 est a bem-de nida, o leitor deveria primeiro observar que para quaisquer dois n umeros cardinais a e b (n~ao necessariamente distintos), pela regra C-1 da se»c~ao 5.1, existem conjuntos X e Y tais que a = card X e b =cardy, sendo os conjuntos X e Y n~ao necessariamente disjuntos. Mas isto n~ao nos causa nenhum problema, pois podemos selecionar A = X f0g e B = Y f1g; ent~ao A» X, B» Y e A \ B =. Logo a + b =card(a [ B) eisto e de nido de maneira unica; pois se existem outros conjuntos disjuntos A 0 e B 0 tais que A 0» A e B 0» B ent~ao, pelo Teorema 4.6 do Cap ³tulo 4, temos (A 0 [ B 0 )» (A [ B) ou, equivalentemente, card(a 0 [ B 0 )=card(a[ B). Desta forma, acabamos de demonstrar o seguinte teorema:

96 N umeros Cardinais e Aritm etica Cardinal 95 Teorema 5.3 Sejam a e b n umeros cardinais. Ent~ao (a) Existem conjuntos disjuntos A e B tais que card A = a e card B = b. (b) Se A, B, A 0 e B 0 s~ao conjuntos tais que card A 0 = card A, card B 0 = card B, A \ B =, ea 0 \ B 0 =, ent~ao card(a 0 [ B 0 )=card(a [ B). O seguinte exemplo mostra que a De ni»c~ao 5.2 concorda com a soma ordin aria de dois n umeros naturais, quando aplicada a dois n umeros cardinais nitos. Exemplo 5.2 Encontre a soma cardinal 4+3dos dois n umeros cardinais nitos 4 e 3. Solu»c~ao. Como N 7 = N 4 [f5; 6; 7g, card N 4 =4, cardf5; 6; 7g =3, e os conjuntos N 4 e f5; 6; 7g s~ao disjuntos, temos 4+3=card(N 4 [f5; 6; 7g) =cardn 7 =7 o que coincide com a soma ordin aria de dois inteiros. Como a uni~ao de conjuntos e comutativa e associativa, temos as seguintes propriedades correspondentes acerca da soma cardinal. Teorema 5.4 Sejam x, y, e z n umeros cardinais quaisquer. Ent~ao (a) x + y = y + x (Comutatividade). (b) (x + y)+z = x +(y + z). (Associatividade). Seguindo Georg Cantor, os s 0 (leia-se aleph 3 e a primeira letra do alfabeto hebraico) e c tem sido usados para denotar, respectivamente, o n umero cardinal de um conjunto enumer avel e o n umero cardinal do continuum 4, continuum signi cando o conjunto dos n umeros reais. Em outras 0 = card N e c =cardr. Exemplo 5.3 Encontre a soma 0 0. Solu»c~ao. Sejam N p e N i, respectivamente, os conjuntos de n umeros naturais pares en umeros naturais ³mpares. Ent~ao, N p e N i s~ao subconjuntos de N enumer aveis e disjuntos, e a uni~ao deles e N. ConseqÄuentemente, pela De ni»c~ao 0 0 = card N p +cardn i =card(n p [ N i ) = card N 0 3 Pronuncia-se como \ alef". (N. do T.) 4 Tamb em chamado cardinal do cont ³nuo. (N. do T.)

97 96 N umeros Cardinais e Aritm etica Cardinal O resultado do Exemplo 5.3 e uma propriedade distintiva dos n umeros cardinais trans nitos; para n umeros cardinais nitos, n + m = n e verdadeiro apenas se m =0. O leitor poderia demonstrar, como exerc ³cio, que c + c = c. Exemplo 5.4 Encontre a soma 0 + c. Solu»c~ao. J a aprendemos, do Exemplo 4.3, Se»c~ao 4.2, do Cap ³tulo 4, que o intervalo aberto ]0; 1[ e o conjunto R, dosn umeros reais, s~ao equipotentes. Portanto, card ]0; 1[ = card R = c. SejaS = N [ ]0; 1[. Ent~ao, como N e ]0; 1[ s~ao disjuntos, card S 0 + c. Por outro lado, como R» ]0; 1[ ½ S e S» S ½ R, pelo Teorema de SchrÄoder-Bernstein (Teorema 5.1), temos S» R. Portanto,@ 0 + c = c Exerc ³cios 1. Demonstre que x +0=x para todo n umero cardinal x. 2. Sejam x e y dois n umeros cardinais. Demonstre que x + y = y + x. 3. Sejam x, y, ez n umeros cardinais. Demonstre que (x + y)+z = x +(y + z). 4. Seja n um n umero cardinal nito qualquer. Demonstre que (a) n 0 0 (b) n + c = c. 5. Demonstre que c + c = c. 6. Sejam x, y e z n umeros cardinais. (a) Demonstre que se x y ent~ao x + z y + z. (b) Mostre, atrav es de um exemplo, que a parte (a) acima n~ao e verdadeira se \ " for substitu ³do por \<". 5.5 Multiplica»c~ao de n umeros cardinais De niremos agora a multiplica»c~ao de n umeros cardinais de modo que, para n umeros cardinais nitos, o resultado coincida com a multiplica»c~ao ordin aria de inteiros n~ao negativos. De ni»c~ao 5.3 Para quaisquer dois n umeros cardinais a e b, o produto cardinal ab e de nido como sendo o n umero cardinal do produto cartesiano A B, sendo card A = a e card B = b. Para ver que a De ni»c~ao 5.3 e independente da escolha dos representantes A e B, sejam X e Y conjuntos tais que A» X e B» Y. Ent~ao,peloTeorema4.7do Cap ³tulo 4, A B» X Y eportantocard(a B) =card(x Y ). Etamb em claro que esta de ni»c~ao d a a resposta certa quando a e b s~ao n umeros cardinais nitos. Como a multiplica»c~ao de inteiros n~ao negativos nos e familiar, nosso interesse principal aqui e o produto de n umeros cardinais trans nitos, e o produto de um n umero cardinal nito

98 N umeros Cardinais e Aritm etica Cardinal 97 por um n umero cardinal trans nito. Primeiramente, listemos uma conseqäu^encia f acil da De ni»c~ao 5.3 Teorema 5.5 Sejam x, y e z n umeros cardinais quaisquer. Ent~ao (a) xy = yx (Comutatividade). (b) (xy)z = x(yz) (Associatividade). (c) x(y + z) = xy + xz (Distributividade). Demonstra»c~ao. Exerc ³cio. Exemplo 5.5 Seja x um n umero cardinal arbitr ario. Calcule (a) 1x. (b) 0x. 0. Solu»c~ao. Seja A um conjunto tal que card A = x. (a)comooprodutocartesianof1g A e equipotente a A, temos1x = x. (b) Como A =, temos0x =0. (c) Como N N» N (Teorema 4.10, Cap ³tulo 4), Exemplo 5.6 Demonstre que cc = c, sendo c = card R. Solu»c~ao. Como o conjunto R dos n umeros reais e o intervalo aberto unit ario ]0; 1[, de n umeros reais, tem o mesmo n umero cardinal c, para mostrar que cc = c, e su ciente mostrar que existe uma inje»c~ao do produto cartesiano ]0; 1[ ]0; 1[ no intervalo ]0; 1[. Para este prop osito, usaremos o fato de que cada x 2 ]0; 1[ e representado por sua expans~ao decimal in nita, deformaque,porexemplo,on umero 1 ser a 0; 4999 ::: mas 2 n~ao 0; 5. Deste modo, teremos uma unica express~ao para cada n umero em ]0; 1[. Agora, deixaremos ao leitor veri car que a fun»c~ao f :]0; 1[ ]0; 1[! ]0; 1[, de nida por f(0;x 1 x 2 x 3 ; 0;y 1 y 2 y 3 )=0;x 1 y 1 x 2 y 2 e injetora. Isto completa a demonstra»c~ao de que cc c. A demonstra»c~ao de que cc c e deixada ao leitor.

99 98 N umeros Cardinais e Aritm etica Cardinal Exerc ³cios 1. Demonstre o Teorema Sejam x, y, ez n umeros cardinais tais que x y. Demonstre que xz yz. 3. Demonstre ou refute a seguinte proposi»c~ao: Se x, y, e z s~ao n umeros cardinais tais que x<ye z 6= 0,ent~ao xz < yz. 4. Seja n um n umero cardinal nito, n 6= 0. Demonstre que n@ Sejam x e y n umeros cardinais. Demonstre que (a) Se xy =0ent~ao x =0ou y =0. (b) Se xy =1ent~ao x =1e y =1. 6. Mostre que a fun»c~ao f :]0; 1[ ]0; 1[! ]0; 1[, de nida por f(0;x 1 x 2 x 3 ; 0;y 1 y 2 y 3 )=0;x 1 y 1 x 2 y 2 da demonstra»c~ao no Exemplo 5.6, e bijetora. 5.6 Exponencia»c~ao de n umeros cardinais Sejam a e b dois n umeros cardinais, nitos ou trans nitos. De modo a dar um signi cado satisfat orio a b a (leia-se: a- esima pot^encia de b), examinaremos primeiramente o caso nito: 2 3 =2 2 2e, de modo geral, n m = n n n (m fatores). Poder ³amos generalizar este conceito ao caso trans nito, introduzindo \produtos cartesianos generalizados", mas existe uma abordagem que funciona sem refer^encia a produtos cartesianos generalizados. Sejam A um conjunto com m elementos e B um conjunto com n elementos. Quantas fun»c~oes existem de A em B (veja Problema 9, Exerc ³cios 3.4.1)? Como cada elemento de A tem n escolhas para sua imagem, e esta sele»c~ao da imagem pode ser feita independentemente m vezes(umavezparacadaelementodea), a resposta e n n n = n m. Este conceito e generalizado como segue: De ni»c~ao 5.4 Sejam a e b n umeros cardinais com a 6= 0. Sejam a e b conjuntos tais que card A = a e card B = b. Denote o conjunto de todas as fun»c~oes de A em B por B A. De nimos b a =cardb A. Antes de aceitar a de ni»c~ao 5.4, precisamos veri car que esta de ni»c~ao e independente da escolha dos representantes A e B. O seguinte teorema e o que precisamos. Teorema 5.6 Sejam A, B, X e Y conjuntos tais que A» X, B» Y. Ent~ao B A» Y X. Demonstra»c~ao. Sejam g : A» X e h: B» Y duas bije»c~oes. Ent~ao de nimos a fun»c~ao à : B A! Y X

100 N umeros Cardinais e Aritm etica Cardinal 99 por Ã(f): X! Y, sendo Ã(f)(x) =h ± f ± g 1 (x), paratodaf 2 B A. A? y g f! B? X! Ã(f) Deixamos ao leitor demonstrar que a fun»c~ao à : B A! Y X ebijetora.? yh Y Exemplo 5.7 Seja A um conjunto. Compare os n umeros cardinais card }(A) e 2 card A. Solu»c~ao. Seja B = f0; 1g. Associamos a cada subconjunto D de A a fun»c~ao caracter ³stica  D : A! B, de nida no Exemplo 3.8, Cap ³tulo 3. A fun»c~ao de }(A) em B A, que leva D em  D, e bijetora (demonstre isto!). Assim, os conjuntos }(A) e B A tem o mesmo n umero cardinal; ou seja card }(A) =2 card A. Teorema 5.7 Sejam a, x e y n umeros cardinais. Ent~ao a x a y = a x+y. Demonstra»c~ao. Sejam A, X e Y conjuntos tais que card A = a, card X = x, card Y = y, ex \ Y =. Ent~ao, pela De ni»c~ao 5.2, card(x [ Y )=x + y. E su ciente mostrar que os conjuntos A X A Y e A X[Y s~ao equipotentes. Com este prop osito, associamos a cada par (f;g) de fun»c~oes, f 2 A X, g 2 A Y, a fun»c~ao f [g 2 A X[Y [Veja Teorema 3.8, Cap ³tulo 3]. Deixamos ao leitor veri car que esta associa»c~ao estabelece uma equipot^encia entreosconjuntosa X A Y e A X[Y.Portanto,a x a y = a x+y. Teorema 5.8 Sejam x, y e z n umeros cardinais. Ent~ao (z y ) x = z yx. Demonstra»c~ao. Sejam X, Y, ez conjuntos com n umeros cardinais x, y e z respectivamente. Conforme a De ni»c~ao 5.4, o teorema est a provado se estabelercemos que Z Y Z» (Z Y ) X. Antes de mostrar esta equipot^encia, necessitamos primeiro de uma conven»c~ao notacional: Para uma fun»c~ao dada f : Y X! Z e um elemento dado a 2 X, existe uma fun»c~ao f a : Y! Z de nida por f a (b) =f(b; a) para todo b 2 Y. Deixamos ao leitor demonstrar que a fun»c~ao à : Z Y X! (Z Y ) X, que associa a cada f 2 Z Y X a fun»c~ao e f 2 (Z Y ) X,dadapore f (a) =f a para todo a 2 X, eumabije»c~ao. Recordemo-nos que a A-proje»c~ao p A : A B! A e uma fun»c~ao que associa a cada par ordenado (a; b) 2 A B o elemento a; ab-proje»cµao p B : A B! B e analogamente de nida [veja Problema 8, Exerc ³cios 3.5.1]. Teorema 5.9 Sejam a, b e x n umeros cardinais. Ent~ao (ab) x = a x b x.

101 100 N umeros Cardinais e Aritm etica Cardinal Demonstra»c~ao. Sejam A, B e X conjuntos com n umeros cardinais a, b e x, respectivamente. A fun»c~ao à :(A B) X! A X B X, que emparelha cada fun»c~ao f : X! A B com a fun»c~ao (p A ± f;p B ± f) em A X B X, e bijetora (Demonstre-o!). Portanto, pela De ni»c~ao 5.4, (ab) x = a x b x. Recordemo-nos que os s 0 e c denotam os n umeros cardinais dos conjuntos N e R, respectivamente, e que Q» N (veja Exemplo 4.5, Cap ³tulo 4), e ]0; 1[» R (veja Exemplo 4.3, Cap ³tulo 4). 0 eon umero cardinal de Q e c e on umero cardinal do intervalo ]0; 1[. Teorema = c. Demonstra»c~ao. Demonstraremos isto em duas etapas, mostrando primeiro que c 0 eent~ao que c. Considere a fun»c~ao f : R! }(Q), de nida por f(a) =fx 2 Q j x<ag; para cada a 2 R Esta fun»c~ao e injetora: Se a<bs~ao dois n umeros reais distintos, ent~ao existe um n umero racional r tal que a<r<b. 5 Ent~ao r 2 f(b) mas r 62 f(a), eportantof e injetora. Isto demonstra, usando-se os resultados do Problema 3, Exerc ³cios 5.2.1, e o Exemplo 5.7, que c card }(Q) 0 Para provar a desigualdade reversa, seja à : f0; 1g N! R a fun»c~ao de nida por Ã(f) =0;f(1)f(2)f(3) em que f 2f0; 1g N. Note que Ã(f) e umn umero decimal (consistindo de 0's e 1's). Se f;g 2f0; 1g N e f 6= g, ent~ao Ã(f) 6= Ã(g) porque as decimais que de nem Ã(f) e Ã(g) s~ao diferentes. Portanto, à : f0; 1g!R e injetora, e portanto c. Corol ario 0 <c. Demonstra»c~ao. 5.7, temos Pelo Teorema de Cantor (Teorema 5.2) e pelo resultado do 0 < card }(N) =2 card N 0 = c 5 Porque os n umeros racionais s~ao um subconjunto denso dos n umeros reais.

102 N umeros Cardinais e Aritm etica Cardinal Exerc ³cios 1. Demonstre que a fun»c~ao à : B A! Y X,dademonstra»c~ao do Teorema 5.6, e bijetora. 2. Seja a um n umero cardinal arbitr ario. Demonstre que a 0 =1, a 1 = a, e0 a =0se a 6= Demonstre que 2 a >apara todo n umero cardinal a. 4. Sejam a, b, x, ey n umeros cardinais tais que a b e x y. Demonstre que a x b y. 5. Demonstre que 0 = 0 0 para todo n 2 nito. 6. Demonstre que 0 = c = c n para qualquer n 1 nito. 7. Seja C o conjunto de todos os n umeros complexos. Demonstre que card C = c. 8. Demonstre 0 c = c. 9. Demonstre que a fun»c~ao de }(A) em f0; 1g A, que associa cada D em }(A) a  D, e bijetora. 10. Sejam A, X, ey conjuntos tais que X e Y s~ao disjuntos. Demonstre que a fun»c~ao de A X A Y em A X[Y, que associa cada (f;g) em A X A Y a f [ g em A X[Y, e bijetora. 11. Demonstre que a fun»c~ao à : Z Y X! (Z Y ) X, na demonstra»c~ao do Teorema 5.8, e bijetora. 12. Demonstre que a fun»c~ao à :(A B) X! A X B X,nademonstra»c~ao do Teorema 5.9, e bijetora. 5.7 Outros exemplos de aritm etica cardinal Exemplo 5.8 Demonstre que cc = c, usando o Teorema 5.10 [cf. Exemplo 5.6]. Demonstra»c~ao. Dos Teoremas 5.7 e 5.10, e do Exemplo 0 0 0, segue que cc = c Exemplo 5.9 Compare o n umero cardinal do conjunto ff j f : R! Rg, de todas as fun»c~oes de R em R, comon umero cardinal de R. Solu»c~ao. Temos cardff j f : R! Rg = c c De ni»c~ao ) c Teorema c Teorema 5.8 =2 c Problema 8, Exerc ³cios >c Exemplo 5.7, Teorema 5.2 Portanto, cardff j f : R! Rg > card R. Exemplo 5.10 Sejam C(R; R) e C(Q; R) os conjuntos de fun»c~oes reais cont ³nuas, com dom ³nio R e Q, respectivamente. Seja K(R; R) o conjunto de todas as fun»c~oes reais constantes com dom ³nio R. Demonstre que card C(R; R) =cardc(q; R) =cardk(r; R) =c

103 102 N umeros Cardinais e Aritm etica Cardinal Demonstra»c~ao. 6 A cada fun»c~ao f : R! R, corresponde uma fun»c~ao fjq: Q! R, de nida por (fjq)(x) =f(x), paratodox 2 Q. A fun»c~ao fjq e chamada a restri»c~ao de f a Q. Portanto, existe uma fun»c~ao natural à : C(R; R)! C(Q; R) que leva cada f 2 C(R; R) em sua restri»c~ao fjq. E claro que a restri»c~ao de uma fun»c~ao cont ³nua e cont ³nua. Portanto à e uma fun»c~ao bem-de nida. Da propriedade de densidade dos n umeros racionais dentro dos n umeros reais, segue que para cada n umero real x existe uma seqäu^encia fx n j n 2 Ng, den umeros racionais, tal que lim x n = x n!1 ConseqÄuentemente, se duas fun»c~oes cont ³nuas f;g: R! R tem a propriedade de que f(x 0 )=g(x 0 ) para todo x 0 2 Q, ent~ao f(x) =g(x) para todo x 2 R. Em outras palavras, a fun»c~ao à : C(R; R)! C(Q; R) e injetora. Portanto temos card C(R; R) card C(Q; R) card R Q = @ 0 0 = c pelos Teoremas 5.8 e Agora, considere o conjunto K(R; R) de todas as fun»c~oes reais constantes, com dom ³nio R. Como para cada n umero real a, existe uma fun»c~ao constante f a : R! R, de nida por f a (R) =fag, temos card K(R; R) =c Como cada fun»c~ao constante f a : R! R e cont ³nua, temos K(R; R) ½ C(R; R). Portanto, c = card K(R; R) card C(R; R) o que, combinado com a desigualdade obtida no ultimo par agrafo, nos d a c = card K(R; R) card C(R; R) card C(Q; R) c Isto completa a demonstra»c~ao de que card C(R; R), card C(Q; R) e card K(R; R) s~ao todos iguais a c. O resultado do Exemplo 5.10 indica que as fun»c~oes constantess~ao t~ao \numerosas" quanto as fun»c~oes cont ³nuas. Esta e outra ilustra»c~ao das propriedades curiosas dos conjuntos in nitos. 6 Ademonstra»c~ao pode ser omitida, a crit erio do professor.

104 N umeros Cardinais e Aritm etica Cardinal 103 Exemplo 5.11 Encontre o n umero cardinal do conjunto D(R; R) de todas as fun»c~oes reais diferenci aveis de uma vari avel real. Solu»c~ao. Como cada fun»c~ao constante e diferenci avel e cada fun»c~ao diferenci avel e cont ³nua, temos K(R; R) ½ D(R; R) ½ C(R; R) Pelo exemplo 5.10, temos Portanto, card D(R; R) = c. c = card K(R; R) card D(R; R) card C(R; R) =c Exerc ³cios 1. Mostre que o espa»co n-dimensional R n = R R R (n fatores) cont em \exatamente tantos" pontos quanto o intervalo aberto unit ario ]0; 1[. 2. O espa»co de Hilbert cl assico consiste de todas as seqäu^encias in nitas (x 1 ;x 2 ;x 3 ;:::) de n umeros reais, chamadas pontos,paraasquaisas erie x 2 1+x 2 2+x 2 3+ converge. Mostre que o espa»co de Hilbert cl assico cont em \exatamente tantos" pontos quanto a reta real R. 3. Seja 0 o conjunto de todas as seqäu^encias in nitas (x 1 ;x 2 ;x 3 ;:::) de n umeros reais, chamadas pontos no espa»co 0. Um ponto reticulado em 0 eumponto (x 1 ;x 2 ;x 3 ;:::) tal que todos os x k 's s~ao inteiros. Mostre que o espa»co 0 cont em \exatamente tantos" pontos quanto o conjunto de pontos reticulados em Mostre que existem \exatamente tantas" fun»c~oes deumavari avel real que assumem apenas os valores 0 e 1 quantas fun»c~oes reais de n vari aveis, sendo n um n umero natural qualquer. 5. Seja f on umero cardinal do conjunto ff j f : R! Rg de todas as fun»c~oes reais de uma vari avel real. Mostre que f n 0 =f c =f para todo n 2 N. 5.8 A hip otese do cont ³nuo e sua generaliza»c~ao Como todo conjunto in nito cont em um conjunto enumer avel (Teorema 4.11, Cap ³tulo 4), o n umero 0 eomenorn umero cardinal trans nito. Uma quest~ao importante, conhecida como o problema do cont ³nuo, foi levantada por Cantor, em torno de 1880: Existe um n umero cardinal que est a estritamente 0 e 0 (= c)? Em linguagem de conjuntos, existem subconjuntos n~ao enumer aveis de R com n umero cardinal menor que oder? Cantor e muitos matem aticos de ponta tentaram em v~ao resolver este problema. Como nenhum tal conjunto foi encontrado em parte alguma na matem atica cl assica, e parecia n~ao haver nenhum modo de encontrar algum, foi conjeturado por Cantor e outros que a resposta ao problema do cont ³nuo deveria ser n~ao. Esta conjetura e conhecida como hip otese do cont ³nuo.

105 104 N umeros Cardinais e Aritm etica Cardinal Hip otese do Cont ³nuo. N~ao h a nenhum n umero cardinal x 0 <x< c(= 0 ). Uma quest~ao intimamente relacionada ao problema do cont ³nuo, citado habitualmente como problema do cont ³nuo generalizado, e o seguinte: Existe algum n umero cardinal que est a estritamente entre um n umero cardinal trans nito a e 2 a? Esta quest~ao tamb em n~ao foi respondida. A conjetura de que n~ao existe um tal n umero cardinal e chamada hip otese do cont ³nuo generalizada. Hip otese do Cont ³nuo Generalizada. Para qualquer n umero cardinal trans nito a, n~ao h a nenhum n umero cardinal x tal que a<x<2 a. Logo em 1900, no Congresso Internacional de Matem aticos, em Paris, o grande matem atico alem~ao David Hilbert 7 (1862{1943) apresentou uma lista de 23 problemas matem aticos n~ao resolvidos, sendo o primeiro deles o problema do cont ³nuo. Nenhum progresso foi feito em solucionar este problema at e 1938, quando Kurt GÄodel 8 (1906{ 1978), o not avel l ogico do s eculo, demonstrou que se a hip otese do cont ³nuo e adicionada aos axiomas usuais das teoria dos conjuntos, ent~ao qualquer contradi»c~ao que poderia ser implicada por este sistema de axiomas pode ser formulada como uma contradi»c~ao implicada pelos axiomas iniciais (sem a hip otese do cont ³nuo generalizada) sozinhos. 9 Em outras palavras, a hip otese do cont ³nuo generalizada e relativamente consistente com os axiomas da teoria dos conjuntos. Finalmente, em 1963, uma conquista signi cativa foi feita pelo jovem matem atico Paul J. Cohen (1934{ ) da Stanford University, que declarou que a hip otese do cont ³nuo generalizada e indemonstr avel com base nos axiomas usuais da teoria dos conjuntos. Portanto, o status da hip otese do cont ³nuo, na teoria dos conjuntos, e an alogo ao do 7 David Hilbert (1862{1943), um matem atico not aveldetodosostempos,foiprofessordematem atica na Universidade de GÄottingen, Alemanha (1895{1943). In uenciou totalmente o mundo da matem atica moderna, desde a algebra do 19 o s eculo at e al ogica moderna e a f ³sica matem atica. O famoso espa»co de Hilbert e uma de suas muitas contribui»c~oes. Hilbert acreditava que todas as id eias matem aticas encaixavam-se num todo harmoniosamente. 8 Kurt GÄodel (1906{1978) do Institudo de Estudos Avan»cados de Princeton, em Nova Jersey, nasceu na Tchecoslov aquia. Conseguiu fama primeiramente aos 25. Estudiosos famosos, incluindo Bertrand Russel (1872{1970) e Alfred North Whitehead (1861{1947), haviam sugerido a exist^encia de guias absolutos µa veracidade ou falsidade de certas proposi»c~oes matem aticas. GÄodel chocou o mundo demonstrando que o que Russel e Whitehead buscavam n~ao existia. Suas outras grandes contribui»c~oes incluem a demonstra»c~ao da completude da l ogica de quanti cadores e a demonstra»c~ao da consist^encia de ambos a hip otese do cont ³nuo generalizada e o axioma da escolha. 9 Veja K. GÄodel, The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypotesis with the Axioms of Set Theory, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1940, 66 pp. Rev. ed., 1951, 74 pp.

106 N umeros Cardinais e Aritm etica Cardinal 105 axioma das paralelas de Euclides (o Quinto Postulado) na geometria. Podemos postul alos ou neg a-los, em qualquer caso obtendo um teoria matem atica consistente.