Matemática. Atividades. complementares. 9-º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 9. uso escolar. Venda proibida.

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1 9 ENSINO 9-º ano Matemática FUNMENTL tividades complementares Este material é um complemento da obra Matemática 9 Para Viver Juntos. Reprodução permitida somente para uso escolar. Venda proibida. Samuel asal

2 apítulo Razão e proporção 1. Veja a fotografia abaio e responda aos itens adiante. EHR/Shutterstock.com enomina-se proporção áurea quando a seguinte proporção é satisfeita: 5 b ä a 5 b b a essa proporção, se a 5 1, então b > 0,18. ssinale a alternativa que não contém proporção áurea. a) 18,54 11,4 b) 9,55 5 a) etermine a razão entre o número de homens e o número de mulheres nessa fotografia. b) etermine o número de mulheres que deve ser adicionado para que a quantidade de mulheres seja 0% do total de pessoas.. Hoje, a razão entre a idade de Juvenal e a idade do pai dele é 1. Qual será a razão entre as 3 idades deles, quando Juvenal tiver o dobro da idade que ele tem hoje? 3. Os segmentos e são proporcionais a PQ e RS. etermine a medida do segmento PQ, sabendo que 5 7 cm, 5 3 cm e RS 5 4,5 cm. 4. Joaquim resolveu distribuir 3 selos entre os quatro netos dele. Para isso, ele dividiu a quantidade de selos em partes proporcionais à idade de cada neto. Sabendo que ndré tem 1 anos, Rodrigo, 14 e que as gêmeas Geórgia e Vitória têm 10 anos, calcule quantos selos cada um recebeu. 5. Sabendo que a razão entre as medidas e é igual à razão entre e E, determine o valor de y y 30 E c) d) e) 7,5,5 10 3,8 9,7 5,73 Teorema de Tales 7. Observe a escada instalada em um píer. O último degrau da escada fica no mesmo nível que a água na maré baia. Indos8/reamstime.com 8. onsidere um segmento de reta, dividido por um ponto, entre e. b a b a Sabe-se que em maré alta o nível da água sobe 30 cm e com isso 40 cm da escada fica submersa. Se, durante essa maré alta, a distância entre o nível do mar e o ponto de apoio da escada no píer é 37,5 cm, qual é o comprimento da parte da escada que não está submersa? tividades complementares 4

3 apítulo 8. etermine o valor de nos triângulos abaio. a) b) ois lados de um triângulo são cortados por uma reta paralela ao lado, de maneira que sobre o lado são determinados um segmento de 15 cm e outro de 18 cm. Sabendo que 5 cm, determine as medidas dos segmentos determinados sobre. 10. etermine o perímetro do triângulo a seguir No triângulo ilustrado a seguir, é bissetriz do ângulo  e MN //. M O y 4 Qual é o perímetro dos triângulos e MN? 1. etermine o valor de, sabendo que r // s // t. 3,5 1,75 N z 15 4 r s t 13. etermine as medidas de e da figura a seguir, sabendo que // E, cm, E 5 4 cm, 5 e 5 cm. E Semelhança de figuras 14. figura abaio representa a planta de uma quitinete (quarto-sala-cozinha) com dimensões de 10 cm por 8 cm. a) Qual é a razão entre a maior e a menor dimensão da quitinete? b) Se as dimensões reais dessa quitinete são 10 m 3 8 m, qual é a escala do desenho? 15. ois heágonos regulares e são semelhantes, e a razão de semelhança de para é 3 4. a) etermine a medida de cada lado de, sabendo que o lado de mede 1. b) etermine a razão entre as áreas de e. 1. Suponha que você possua uma fotografia da qual goste muito. Para dar de recordação à sua madrinha você solicita a ampliação dessa imagem para obter uma fotografia de O que pode acontecer à imagem quando ampliada? 17. Lúcia quer montar a maquete do quarto da casa onde mora, o qual tem dimensões 3 metros por 4 metros. a) É possível montar a maquete dentro de uma caia de sapatos, com medidas 33 cm por 4 cm? b) Se essa maquete for feita na caia de sapatos de 33 cm por 4 cm de modo que a medida da parede de 3 metros do quarto seja representada no lado de 4 centímetros da caia, a quantos centímetros corresponderá a parede de 4 metros? c) Qual será a escala utilizada? tividades complementares t s Shutterstock.com 5

4 apítulo d) e que tamanho deverá ser feita a cama da maquete, se a cama em que Lúcia dorme tem dimensões 1,90 m 3 90 cm 3 40 cm? 18. Na figura abaio, os lados dos três triângulos são paralelos. 1. Verifique se os triângulos ilustrados em cada item são semelhantes e, em caso afirmativo, identifique o caso que justifica a semelhança. a) 30º 0º b) a) É possível afirmar que os três triângulos são semelhantes? Por quê? b) Sabendo que o perímetro do triângulo maior é 1 cm e o do menor é cm, é possível calcular as medidas dos lados do triângulo menor? Eplique. 19. onsidere que os conjuntos ícara-pires mostrados na fotografia sejam semelhantes. a) Se a altura e o diâmetro da boca da ícara grande medem 10 cm e 9 cm e a altura da ícara pequena mede cm, determine o diâmetro da boca da ícara menor. b) Se a área do pires maior é 170 cm, determine a área do pires menor. 0. Para determinar a altura de uma torre de iluminação, uma pessoa fincou um bastão de 0,5 m de altura a 5 m do pé da torre. Em seguida, observou o comprimento da sombra do bastão que a luz no topo da torre projetava no chão. Veja a figura. irakite/shutterstock.com Um triângulo tem lados de medida 5 10, 5 1 e etermine as medidas dos lados de um triângulo semelhante ao triângulo, sabendo que O triângulo maior da figura é formado por triângulos idênticos. a) Se o perímetro do triângulo maior é 18 cm, determine a medida do lado de cada triângulo menor. b) etermine a razão entre as áreas do triângulo maior e menor. 4. sombra do garoto da figura abaio mede 108 cm. luchschen/shutterstock.com Elena Yakusheva/Shutterstock.com etermine a altura da torre, considerando que o comprimento da sombra é 1 m. Um bastão de 80 cm de comprimento colocado ao lado do garoto da figura na mesma hora tem uma sombra que mede 9 cm. etermine a altura do garoto. tividades complementares

5 apítulo 5. Qual dos sólidos abaio, quando seccionados por um plano paralelo à base, possibilita o estudo da homotetia? a) Terekhov Igor/Shutterstock.com e) koya979/shutterstock.com b) c) d) Shutterstock.com sculpies/shutterstock.com HomeStudio/Shutterstock.com. Em dois triângulos equiláteros e semelhantes de tamanhos distintos, determine o perímetro do triângulo menor, sabendo que a razão entre as medidas dos lados do triângulo maior e do triângulo menor é e que o perímetro do 3 triângulo maior é 18 cm. 7. escada abaio tem 7 degraus, distantes 30 cm um do outro. O primeiro degrau (menor) tem 30 cm de largura, o segundo 33 cm. Qual é a largura do último degrau? wacpan/shutterstock.com tividades complementares 7

6 9 ENSINO Matemática FUNMENTL 9-º ano Resolução comentada Este material é um complemento da obra Matemática 9 Para Viver Juntos. Reprodução permitida somente para uso escolar. Venda proibida. Samuel asal

7 apítulo Razão e proporção 1. a) Na fotografia, há 10 mulheres e 8 homens. Portanto, a razão entre o número de homens H e o número de mulheres M será: H 5 8 M 10 Logo, a razão é b) a fotografia, sabemos que há 10 mulheres e 18 pessoas. No total T e tomando como o número de mulheres a acrescentar na fotografia, temos: M 1 5 0,0 T , ,0? (18 1 ) ,8 1 0, 0,40 5 0,8 5 Logo, é necessário acrescentar mulheres para que elas representem 0% do total de pessoas na fotografia.. Seja J a idade de Juvenal e P a idade de seu pai. J 5 1 P 3 ä P 5 3J Quando a idade de Juvenal for o dobro do que é atualmente (J 5 J 1 J), escrevemos a seguinte razão: J 1 J P 1 J Substituindo P por 3J, obtemos: J 5 J 3J 1 J 5 1 4J Quando Juvenal estiver com o dobro da idade que tem hoje, a razão entre sua idade e a de seu pai será Pelo enunciado temos: 5 PQ RS 7 PQ 5 3 4,5 7? 4,5 5 3? PQ PQ 5 31, ,5 Logo, o segmento PQ mede 10,5 cm. 4. omo Joaquim quer dividir os selos proporcionalmente à idade dos seus quatro netos, vamos primeiro determinar a razão da idade de cada neto com a soma da idade de todos eles, ou seja, ; logo, a razão da idade de cada um será: ndré: Rodrigo: Geórgia e Vitória: gora, multiplicando cada razão pelo total de selos, conseguimos obter a quantidade de selos que cada neto receberá: ndré receberá? 3 selos 5 selos 3 Rodrigo receberá 7? 3 selos 5 7 selos 3 Geórgia e Vitória receberão 5? 3 selos 5 5 selos cada um. 3 5 E Substituindo pelos valores do desenho: y y 5 4? Logo, o valor de y é 1.. alternativa c é a única que não contém proporção áurea, pois:,5 7,5 Þ 7,5 10 Þ 0,18 Teorema de Tales 7. om as informações do teto podemos esboçar a situação. 8. a) 37,5 cm 30 cm 40 cm Pelo teorema de Tales ou por semelhança de triângulos, obtemos: 37, ,5? Portanto, durante a maré alta o comprimento da parte emersa da escada é 50 cm. 30º 30º Resolução comentada 4

8 apítulo omo o segmento é a bissetriz do triângulo, temos: Portanto, o valor de é 10. b) omo o segmento é a bissetriz do triângulo, temos: ± 5 Portanto, neste caso, o valor de é Pelo enunciado, temos a seguinte figura: 18 cm 15 cm Sabemos que 5 cm, então pelo teorema de Tales, temos: ? Logo, as medidas dos segmentos determinados sobre são 10 cm e 1 cm. 10. Para determinar o perímetro do triângulo é necessário determinar a medida do segmento. omo o segmento é a bissetriz do triângulo, temos: 5 5 ( 1 1) ( 1 1)? ( 3 ) Portanto, o perímetro do triângulo é 3 cm 1 4 cm 1 5 cm 5 1 cm. 11. Primeiro vamos determinar os valores de, y e z. Para isso, basta utilizar o teorema de Tales em todos os casos. Para : N 5 M Para y: M 5 MO 1 5 y y 1 4y 5 7 y Para z: N 5 NO z 8z 5 18 z Então, 5 18 cm, y 5 3 cm e z 5 1 cm. Logo, o perímetro do triângulo é , ou seja, 84 cm, e o perímetro do triângulo MN é , ou seja, 1 cm. 1. plicando o teorema de Tales, temos: ,5 1, Portanto, o valor de é Primeiro, vamos determinar o valor de aplicando o teorema de Tales ± d XXXXXXXXXXXXXXXX 5 4? 1? (4) 5 5 ± dxxx ou 5 3. Resolução comentada 5

9 apítulo omo é a medida de um segmento, ele é positivo; logo 5 3 cm. Portanto, 5 8 cm e 5 3 cm. Semelhança de figuras 14. a) maior dimensão menor dimensão ,5 Logo, a razão é 1,5. dimensão desenho b) 10 5 cm dimensão real 10 m 5 10 cm 1000 cm Portanto, a escala é 1 : a) omo os dois heágonos são regulares, e a razão de para é 3 4, temos: 5 3. E como o lado mede 1, então o 4 lado é: lado lado 5 9 Logo, a medida do lado do heágono é 9. b) Área 5 ( 3? ) Área 1 1 ( 3? 1 ) razão entre as áreas de e é Os retângulos de dimensões e não são semelhantes, pois: 3 4 Þ Então, se a fotografia for ampliada para , poderão ocorrer as seguintes situações: a imagem ficará distorcida; parte da lateral ficará cortada, caso a imagem seja ampliada proporcionalmente, mantendo sua altura; haverá uma parte da fotografia (em cima ou embaio) que não será aproveitada, caso a imagem seja ampliada proporcionalmente, mantendo sua largura. 17. a) Não é possível montar a maquete usando toda a dimensão da caia de sapatos, pois 4 3 Þ 33 4 e 33 3 Þ 4, ou seja, não há uma razão de semelhança entre as medidas. 4 b) Se utilizarmos o lado da caia de 4 cm para representar o lado do quarto que tem 3 m, teremos a razão do quarto para a maquete de Logo, a medida, em cm, 3 para representar a outra parede do quarto deverá ser 8? Ou seja, 3 cm corresponderá a 4 m. c) escala é dada por: dimensão da maquete 5 4 cm dimensão real 3 m 5 4 cm cm 5 1 1,5 Logo, a escala é 1 : 1,5. d) Utilizando a escala e denominando a dimensão correspondente a 1,90 m de, a 90 cm de y e a 40 cm de z, temos: Para 1,90 m cm: ,5 5 15, Para 90 cm: y ,5 5 7, Para 40 cm: z ,5 5 3, Então, as dimensões da cama serão 15, cm 3 15, cm 3 3, cm. 18. a) Sim, pois como os três lados são paralelos, os seus ângulos são congruentes, e isso satisfaz o caso de semelhança de triângulos. b) Não é possível, seria necessário mais informações, como a medida do lado do triângulo maior, por eemplo. 19. a) omo estamos considerando os conjuntos ícara-pires semelhantes, temos: 10 cm 5 9 cm cm 5 5? ,4 Logo, o diâmetro da ícara menor é 5,4 cm. b) Sabemos que a razão de semelhança dos conjuntos é válida, ou seja: d maior 5 k 5 9 d menor 5, Logo, a área será dada por: maior 5 k 5 menor ( 5 3 ) Então: menor 9 menor 5 170? , Portanto, a área do pires menor é 1, cm. 0. Vamos denominar H a altura da torre e, por semelhança de triângulos, temos: H 0, H 5 13 Logo, a altura da torre é 13 metros. Resolução comentada

10 apítulo 1. a) Sim, pois a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180. Logo, o ângulo que falta no triângulo azul mede 30. O mesmo ocorre no triângulo verde: o ângulo que falta mede 0. Portanto, os dois triângulos têm ângulos congruentes, e o caso que justifica a semelhança é o. b) Os lados correspondentes dos dois triângulos são proporcionais. Logo, os triângulos são semelhantes, e o caso que justifica a semelhança é o LLL.. omo os triângulos e são semelhantes, há uma razão de semelhança, que é dada por: Para determinar as medidas dos lados e, igualamos a razão de semelhança com a razão entre os outros lados dos triângulos: Lado : ? 15 5,5 Lado : ? Portanto, os lados do triângulo medem 15 cm,,5 cm e 18 cm. 3. a) Se cada lado dos triângulos menores tem medidas, então, o perímetro do triângulo maior é Seja H g a altura do garoto, S g o comprimento da sombra do garoto e H b e S a altura e a b sombra do bastão, temos: H g S 5 H b g S ä H g b H g 5 90 Portanto, a altura do garoto é 90 cm. 5. Somente a alternativa b. Seccionando uma pirâmide por um plano paralelo à base, obtém- -se uma figura semelhante à base cujos lados são paralelos aos lados correspondentes da base. Portanto, essas figuras são homotéticas e o vértice da pirâmide corresponde ao centro de homotetia.. Para calcular o perímetro do menor triângulo, vamos utilizar a razão de semelhança entre os lados. Seja o perímetro desse triângulo, então: ? Portanto, o perímetro do triângulo menor é cm 30 cm 30 cm 3 cm 30 cm 180 cm omo o maior e o menor triângulos da figura acima são semelhantes: Então, o lado do triângulo menor mede cm. b) Se a medida do lado do triângulo maior é 3 e a medida do lado do triângulo menor é, a razão de semelhança k será: k Logo, a razão entre as áreas do triângulo maior com o menor é: k Logo, a razão entre as áreas do triângulo maior e menor é cm 180 cm 3 cm Então, 5 18 cm. omo o último degrau mede 1 30 cm, o seu comprimento será 48 cm. Resolução comentada 7