Dois polígonos são semelhantes, se e somente se, seus lados são proporcionais e seus ângulos internos respectivamente iguais.

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Cássio Alvarenga Igrejas
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1 Semelhança, escala e áreas Já estudamos o Teorema de Tales e a semelhança de triângulos. Agora vamos ver um conceito mais geral o de semelhança e ver como se comportam as áreas de figuras semelhantes. Os ângulos e a semelhança Sabemos que dois triângulos são semelhança, se os três ângulos correspondentes de dois triângulos são iguais (ou se seus lados são proporcionais.). Mas será que a se todos os ângulos correspondentes de dois polígonos forem iguais, os polígonos serão semelhantes? Não! Basta verificar que um quadrado e um retângulo não são semelhantes. No entanto, ambas as figuras possuem quatro ângulos retos. Esta definição de triângulos semelhantes, podem ser estendidas literalmente para polígonos. Dois polígonos são semelhantes, se e somente se, seus lados são proporcionais e seus ângulos internos respectivamente iguais. Portanto uma propriedade importante da semelhança é que ela conserva os ângulos. EXEMPLO 1 Os dois quadriláteros desenhados abaixo são semelhantes. Quais são as medidas dos lados a, b e c? Solução: Os ângulos iguais estão marcados com o mesmo símbolo. Assim, podemos reconhecer que os lados correspondentes são proporcionais: Logo 1,6 1,6 4 = 1,8 a = 3,6 b = c 4 = = 5 Assim, todas as outras frações são também iguais a : 5 1,8 a = 5 a = 1,8 5 = 4,5 3,6 b = 5 b = 3,6 5 = 9 c = 5 c = 5 Figuras semelhantes Quando ampliamos ou reduzimos uma figura em uma proporção constante, sem modificar a sua forma, a nova figura e a figura original são chamadas de figuras semelhantes. Observe que os quadriláteros (1), () e (3) são semelhantes. O quadrilátero () é uma redução e o quadrilátero (3) é uma ampliação do quadrilátero (1). Os lados

2 correspondentes foram ampliados ou reduzidos sempre na mesma proporção. De (1) para (), reduzimos cada lado à metade do tamanho original. De (1) para (3), ampliamos cada lado para o dobro do tamanho original. A razão constante entre lados correspondentes de figuras semelhantes é conhecida em Matemática como razão de semelhança e é comum utilizarmos a letra k para simbolizá-la. Observamos que dois círculos quaisquer são figuras semelhantes. Mas tal observação só pode ser feita se tivermos uma definição de semelhança que não se baseie em ângulos e lados pois estas coisas não existem num círculo. Duas figuras F e F são semelhantes, com razão de semelhança k R +, quando existe uma correspondência biunívoca σ: F F, entre os pontos de F e os pontos de F, tal que se X, Y são pontos quaisquer de F e X = σ(x), Y = σ(y) são seus correspondentes em F X Y = k XY. Os pontos X e X são chamados de pontos homólogos se X = σ(x). Esta definição de semelhantes de figuras podem ser usadas em varia situações do nosso cotidiano. Por exemplo, a foto ampliada de uma pessoa é semelhante à figura que está no filme antes da reprodução; e as imagens na tela de um cinema são semelhantes às da película que está sendo projetada. No exemplo 1 a razão de semelhança k = /5. EXEMPLO Dois segmentos de reta arbitrários AB e CD. Se CD = k AB, podemos definir uma semelhança σ: AB CD, de razão k, fazendo corresponder a cada ponto X do segmento AB o ponto X de CD tal que CX = k AX. Evidentemente, toda figura é semelhante a si própria, com razão de semelhança k = 1. Também, se F é semelhante a F então F é semelhante a F pois, dada uma semelhança σ: F F de razão k, a função inversa σ 1 : F F é uma semelhança de razão 1/k. A semelhança é transitiva, pois se F é semelhante a e F é semelhante a F" então F é semelhante a F". Com efeito, se σ: F F e σ : F F são semelhanças, de razões k e k respectivamente, então a função composta σ σ : F F é uma semelhança de razão k k. Uma semelhança de razão 1 chama-se uma isometria. Quando existe uma isometria entre as figuras F e F, diz-se que estas são congruentes. O que é escala? Na planta de uma casa, na maquete de um prédio ou num mapa, é comum encontrarmos uma informação muito importante: a escala. Tal como na planta do exemplo ao lado. Esta escala 1: 00 = 1 significa que cada 00 1 cm da planta equivale, na realidade, a 00 cm ou m na casa de verdade. Você pode verificar com sua régua que, na planta, a largura da sala é 1,7 cm e que o comprimento é de,3 cm. Para encontrarmos as

3 medidas reais da sala, basta multiplicarmos as medidas por 00. MEDIDAS DA SALA NA PLANTA MEDIDAS REAIS DA SALA largura 1,7 cm 1,7 cm 00 = 340 cm = 3,40 m comprimento,3 cm,3 cm 00 = 460 cm = 4,60 m Portanto escala é a razão de semelhança entre um desenho e o objeto por ele representado. Todas as vezes que você estiver examinando um desenho reduzido de uma situação real procure saber em que escala esse desenho foi feito. E tenha em mente seu significado: medida feita no desenho escala = medida real Mapas Os mapas são desenhos muito reduzidos de grandes regiões. Para que você possa determinar distâncias em um mapa, precisa apenas de uma régua e da escala desse mapa. A escala é apresentada em um segmento de reta e significa que cada centímetro do mapa é equivalente ao valor da escala. Procure alguns mapas e meça algumas distâncias com a régua e calcule, aproximadamente, a distância real em quilômetros. Homotetia A homotetia de centro O no plano Π e razão k R + é a função σ: Π Π definida do seguinte modo: σ(o) = O e, para todo ponto X O, σ(x) = X é o ponto da semireta OX tal que OX = k OX. Uma homotetia de centro O transforma toda reta que passa por O em si mesma. Toda homotetia é uma correspondência biunívoca, cuja inversa é a homotetia de mesmo centro e razão 1/k. Duas figuras F e F chamam-se hornotéticas quando existe uma homotetia a tal que σ(f) = F. Numa homotetia, os pontos O, X e X são sempre colineares, nesta ordem se k > 1 ou na ordem O, X, X se 0 < r < 1. Já para que duas figuras sejam semelhantes podem ocupar posição quaisquer, como numa foto e sua ampliação, que podem ser colocadas em vários lugares mas continuam semelhantes. O ponto O pode estar em qualquer posição como por exemplos abaixo: O está dentro da figura O está em um dos vértices da figura

4 EXEMPLO 3 Vamos utilizar a homotetia para ampliar na seguinte figura 1. Escolhemos um ponto qualquer O.. Ligamos este ponto O a vários pontos da nossa figura. 3. Medimos a distância de cada ligação e obtemos novos pontos multiplicando esta medida por uma constante. 4. Ligamos os novos pontos e está feita a ampliação. Semelhança e áreas Para que você perceba a relação entre as áreas de figuras semelhantes, vamos examinar o que ocorre com os quadrados. Veja os três quadrados onde o primeiro com lado a, o segundo com lado a e o terceiro com lado 3a: O segundo quadrado é o dobro do primeiro, mas sua área é quatro vezes maior. O terceiro quadrado é o triplo do primeiro, mas sua área é nove vezes maior. Assim, se o lado de um quadrado é cinco vezes maior que o de outro, conseqüentemente sua área é vinte e cinco vezes maior; da mesma forma, se você aumentar o lado de um quadrado dez vezes, a área fica cem vezes maior. Esse fato, fácil de perceber com quadrados, é geral; isto é, ele vale para qualquer figura. O teorema a seguir enuncia o fato que estamos observando. Se a razão de semelhança entre duas figuras é k, então a razão entre suas áreas é k. EXEMPLO 3 Os dois triângulos semelhantes. Se a área do menor é 8 cm², qual é a área do maior? Solução: A razão de semelhança é a razão entre dois lados correspondentes, ou seja, k = a 3a = 1 3

5 O nosso teorema diz que: área do menor área do maior = k Representando por S a área do triângulo maior, temos: 8 S = (1 3 ) = 1 9 S = 8 9 = 7 Portanto, a área do triângulo maior é 7 cm². Exercício 1) ABCD é um jardim de 80 m². Ele foi ampliado, e agora tem a forma AEFG semelhante à anterior. Se AB = 1 m e BE = 3 m, calcule a área do novo jardim. Sugestão: Determine a razão de semelhança das duas figuras e aplique o teorema da razão das áreas. ) A planta de um terreno está na escala 1 4,5 cm, quanto ela vale na realidade? 800. Se a frente desse terreno mede Essa parte não precisa entregar 3) Na figura abaixo, iniciamos a ampliação de um desenho de forma que ele fique duas vezes maior. Você consegue terminá-lo? 4) Desenhe uma ampliação da figura abaixo, utilizando o restante da parte quadriculada do quadro de modo que as dimensões da figura original sejam duplicadas.

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