A RELAÇÃO ENTRE PROGRESSÃO GEOMÉTRICA E FUNÇÃO EXPONENCIAL

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1 A RELAÇÃO ENTRE PROGRESSÃO GEOMÉTRICA E FUNÇÃO EXPONENCIAL Objetivos: Oferecer um estudo interativo interdisciplinar, abordando alguns conceitos dos conteúdos matemáticos de Progressão Geométrica e Função Exponencial, bem como a vinculação entre estes conteúdos. Metodologia: Possibilita ao professor, explorar atividades com o objetivo de recriar um ambiente de questionamentos, organização de ideias, de forma a favorecer uma aula dinâmica e promover a construção do conhecimento. Em cada situação, o professor deverá discutir com os alunos as relações entre Progressão Geométrica e Função Exponencial. Também deverá explorar conteúdos de sequência, lei de função promovendo a mediação com os alunos e o debate entre os mesmos. Propor aos alunos que discutam entre eles a relação entre representação gráfica e tabela na Atividade 3. Público Alvo: Alunos dos Ensino Médio

2 Vamos começar o estudo de Função Exponencial e Progressão Geométrica? Todo mundo tem dois pais, quatro avós, oito bisavós, dezesseis trisavós, etc. a cada geração que retrocedemos, temos o dobro de antepassados. Assim, cada um de nos que está vivo hoje teve desde o ano 400, uns 18,5 quintilhões de ancestrais. Refletindo sobre o que foi enunciado, responda as questões abaixo: a) Complete a tabela abaixo de acordo com a sua árvore genealógica. Geração Quantidade de pessoas 1ª 2ª 3ª 4ª Obs.: Considere a sua geração como geração 0. b) Ordene os valores encontrados no quadro acima na forma de sequência. (,,,, )

3 c) Qual o número de ascendentes na terceira geração da sua família? E da quinta? d) O número de ascendentes de uma família corresponde a 128, qual seria a geração dessa família? e) Para cada geração x que se escolha, há um número f(x) de ascendentes. Sabendo disso, encontre uma lei que expressa f(x) em função de x, ou seja, encontre uma função que indique essa situação. f) Existe alguma relação entre a sequência que você criou e a função que você encontrou? Justifique sua resposta. Analisaremos, agora, outra situação contextualizada. Uma das práticas mais prazerosas da relação humana o beijo pode ser, paradoxalmente, um dos maiores meios de transmissão de bactérias. O número de bactérias (N) por números de beijos (x) é determinado pela expressão N(x)=5.2 x

4 a) Se você der 3 beijos, quantas bactérias serão transmitidas? b) Para que o número de bactérias seja 20480, quantos beijos você terá que dar? Continuando nosso estudo... Um biólogo acompanhou o crescimento da folha circular de uma planta aquática. Durante suas observações percebeu que a cada mês o diâmetro da folha triplicava. No inicio de suas observações o biólogo mediu a folha e obteve 1cm de diâmetro.

5 O gráfico abaixo representa a situação descrita. Sabendo que x é o tempo em meses e y o diâmetro em cm, responda as questões a seguir. y x a) Complete a tabela de acordo com o gráfico acima. x y b) Coloque os valores dos diâmetros (y) encontrados na tabela acima em forma de sequência. (,,,, )

6 c) O gráfico da letra (a) representa tipo de função? ( ) Função Quadrática ( ) Função Afim ( ) Função Exponencial ( ) Função Modular d) A seqüência da letra b representa uma PG? Por quê? ( ) Sim ( ) Não. e) Qual a lei da função representada no gráfico? f) Qual o termo geral da sequência da letra (b)? (Termo geral é quando o tempo for n). g) Observando as letras (a) e (b), o que podemos concluir? Aprofundando nosso estudo. Antes que o querosene possa ser usado como combustível de jatos, regulamentações do governo americano exigem que os poluentes sejam removidos, passando o querosene através de argila. Vamos supor que a argila esteja no interior de um tubo e que cada centímetro de tubo remove 20% dos poluentes que entram nele. Logo, cada centímetro de tubo não retira 80% dos poluentes.

7 P 0 é a quantidade inicial de poluentes e se p =F(n) é a quantidade de poluentes que ainda permanece após n centímetros de tubulação. Responda as questões de acordo com o anuncio anterior. a) Complete a tabela. F(0) F(1) F(2) F(3) F(4) F(n) b) Observando a sequência da tabela acima, o que você conclui?

8 Veremos a última situação. A taxa média de juros para empréstimos pessoais teve alta de 0,05 ponto percentual nos primeiros cinco meses do ano. Segundo o PROCON, responsável pelo levantamento, a taxa é a maior desde Vejamos o exemplo do Fernando, que fez um empréstimo de mil reais em janeiro, pagando uma taxa de 5% ao mês.

9 a) Escreva na forma de sequência os valores a serem pagos por Fernando se a dívida for paga 1 mês depois, 2 meses depois, 3 meses depois, etc.. (,,,, ) b) Qual é a lei da função da dívida de Fernando em função da quantidade de meses que ele levou para saldar a dívida? c) Se o empréstimo foi realizado para ser pago em 12º mês, quanto Fernando pagará? c) A expressão na letra (b) representa uma Função Exponencial? Por quê? ( )Sim ( ) Não d) A sequência formada na letra (a) representa uma PG? Por quê? ( )Sim ( ) Não

10 CRÉDITOS Instituição IF Fluminense Câmpus Campos-Centro NTEAD Núcleo de Tecnologias Educacionais e Educação a Distância Conteudistas Arilise Moraes de Almeida Lopes Carla Antunes Fontes Renata Nogueira Cardoso Desenvolvedor Elvis Couto Barcelos Emiliano Marcolino Velasco Designers Gráficos Laisa Cristina Mariano