Grandezas Proporcionais

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1 Grandezas Proporcionais A Proporcionalidade é, provavelmente, a noção matemática mais difundida na cultura de todos os povos e seu uso universal data de milênios (LIMA, et al., 2006, p.92). O estudo de Proporcionalidade é de grande importância pelo fato de que no nosso cotidiano surgem inúmeras situações em que estão implícitos conceitos envolvendo proporções. Objetivo Este Objeto de Aprendizagem (OA) foi desenvolvido a partir de um contexto envolvendo velocidade e tem por objetivo o estudo da relação entre Grandezas Proporcionais e Funções Lineares. Público Alvo Metodologia Alunos do Ensino Médio. Apresentar o Objeto de Aprendizagem (OA) aos alunos e pedir que explorem as telas do contexto, respondendo as questões elaboradas (sugestão: em duplas, propondo a mediação entre os pares). Propor que leiam a teoria sobre o conceito de Grandezas Proporcionais e Função Linear. 1

2 Patricinha, querendo fazer um Patricinha, lanche, desloca-se querendo de fazer sua um fazenda lanche, em desloca-se direção a de um sua fast fazenda food, em mantendo direção seu a carro um fast em food,mantendo uma autoestrada seu carro a uma em velocidade uma auto constante estrada de a uma 90 km/h. a) Em quanto tempo ela percorrerá 270 km? Resposta 2

3 b) Quantos quilômetros Patricinha percorrerá em 2 h e 30 min? Resposta c) Ainda no contexto apresentado, determine a lei que expressa a distância percorrida (d) em função do tempo (t). Resposta 3

4 Simule para o contexto apresentado tempos de 0 a 4 horas e calcule a distância percorrida em função do tempo. t d(t) 4

5 A situação apresentada envolve os conceitos de Grandezas Proporcionais e de Função Linear. Função Linear Chama-se Função Linear, toda função de IR em IR definida por f(x) = ax, tal que a 0. O gráfico que representa a Função Linear é uma reta que passa pela origem do referencial cartesiano. Grandezas Proporcionais Analisando a situação de Patricinha na autoestrada, podemos afirmar que: Quanto maior o tempo, maior será a distância percorrida; Se (dobrarmos, triplicarmos, etc...) o valor do tempo, o valor correspondente da distância fica, respectivamente, dobrado, triplicado. Quando isso ocorre entre duas grandezas, dizemos que elas são proporcionais (ou diretamente proporcionais). Dessa forma, tempo e distância percorrida são Grandezas Proporcionais quando se tem velocidade constante. Resumindo Duas grandezas são proporcionais (diretamente proporcionais) quando seus valores correspondentes y e x são tais que y = kx, em que k, constante positiva, é chamada de Constante de Proporcionalidade. Obs.: Quanto à Proporcionalidade Inversa, ela só tem sentido quando se trata de grandezas não nulas. Portanto, fixaremos nossa atenção na Proporcionalidade Direta. 5

6 Patricinha chegando ao fast food... Situação 1: Patricinha tem o costume de visitar fast food. Com isso, passou a engordar, em média, 1kg por semana devido a sua dieta hipercalórica. Considerando apenas esta informação (não levando em conta sua massa inicial) vamos montar uma tabela partindo de um tempo 0. A partir da mesma, determine a lei que expressa a quantidade de massa que Patricinha adquire após x semanas. Esboce o gráfico da situação. 6

7 Com os dados da tabela, a lei da função e o gráfico elaborado, marque a alternativa que melhor expressa a situação descrita. (a) Com o decorrer das semanas, a massa de Patricinha diminui, o que implica em que as grandezas descritas são proporcionais. (b) Com o decorrer das semanas, a massa de Patricinha aumenta, o que implica em que as grandezas descritas são inversamente proporcionais. (c) Com o decorrer das semanas, a massa de Patricinha permanece a mesma, o que implica em que as grandezas descritas são proporcionais. (d) Com o decorrer das semanas, a massa de Patricinha aumenta, o que implica em que as grandezas descritas são proporcionais. (e) Com o decorrer das semanas, a massa de Patricinha diminui, o que implica em que as grandezas descritas são inversamente proporcionais. Ainda em relação à situação descrita: Na décima semana, a massa acumulada por Patricinha será de kg. 7

8 Situação 2: Vamos observar o que acontece quando Patricinha passa a aumentar sua dieta hipercalórica, levando-a a dobrar a sua massa adquirida em relação à situação anterior. Antes Depois Escreva a lei que determina a situação descrita acima: y = A lei que representa este contexto é determinada por uma Função: (a) Constante (b) Linear (c) Identidade (d) Quadrática 8

9 As duas situações 1 e 2 apresentam o conceito de Grandezas Proporcionais. Na lei que descreve a primeira situação, qual o valor da Constante de Proporcionalidade? Resposta: E na lei que descreve a segunda situação? Resposta: Generalizando, numa função definida por f(x) = ax, qual a Constante de Proporcionalidade? Resposta: Vamos rever os conceitos? O que se pode perceber nas situações apresentadas? 1) No contexto do carro na autoestrada, a função que define a situação é descrita por: d(t) = 90t 9

10 Podemos perceber que à medida que o tempo passa, a velocidade aumenta, o que implica em que as grandezas descritas são proporcionais. 2) E em relação ao gráfico? O gráfico é representado por uma reta que passa pela origem do referencial cartesiano e é definida por uma Função Linear: f(x) = ax Neste caso, temos: d(t) = 90t Concluindo... É por isso que dizemos que a Função Linear é o modelo matemático para os problemas de Grandezas Proporcionais. Agora, que tal testar seus conhecimentos resolvendo as atividades a seguir? 10

11 Atividade 1 a) Complete a tabela abaixo, sabendo que as grandezas x e y são proporcionais, e que a razão entre x e y é igual a 3. x y b) Tomando como base a situação do exercício anterior, escreva y em função de x: Resposta: c) Que tipo de função você encontrou? Resposta: 11

12 a) Trace o gráfico das seguintes situações: i) a razão entre as grandezas x e y é igual a 2 Atividade 2 y 0 x ii) a razão entre as grandezas x e y é igual a -4. y x 12

13 b) Demonstre graficamente exemplos de duas outras grandezas diretamente proporcionais. y y x 0 x Este estudo termina aqui. Esperamos que tenham gostado do material. 13

14 GABARITO PÁGINA 2 a) 3h PÁGINA 3 b) 225 km c) d(t)= 90t PÁGINA 4 t d(t) PÁGINA 6 14

15 PÁGINA 7 Situação 1 Alternativa D 10kg PÁGINA 8 Situação 2 y= 2x b) Linear PÁGINA a PÁGINA 11 Atividade 1 a) x y 1/3 1 5/3 b) y = x/3 c) Linear 15

16 PÁGINA 12 Atividade 2 i) ii) 16

17 Créditos Instituição Instituto Federal Fluminense-Campus Campos-Centro. NTEAD- Núcleo de Tecnologias Educacionais e Educação a Distância. Conteudistas Arilise Moraes de Almeida Lopes Carla Antunes Fontes; Carmen Lúcia Vieira Rodrigues Azevedo; Desenvolvedor Thiago Aguiar Rodrigues Designers Gráficos Harrison Sodré Arouca Priscila Cardoso de Abreu Cynthia Santos Monteiro Revisores Renata Nogueira Cardoso Vanderlane Andrade Florindo Juliana Bernardo Pepe Idioma: Português Requisitos Técnicos: Corel Draw e Editor de textos. Atualização: 04/10/13 17