Matemática 9.º Ano. Tema 2 Funções, sequências e sucessões RESOLUÇÕES

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1 Matemática 9.º Ano 1 Tema Funções, sequências e sucessões Funções. Funções afins Praticar páginas a As correspondências que são funções são as correspondências A e B. Nestas correspondências, a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada. 1.. Correspondência A D = {1,, } D = {,, } Conjunto de chegada = {,, } Correspondência B D = {1,, } D = {} Conjunto de chegada = {, 5, 6}..1. f( ) = ( ) =.. f(x) = 6 x = 6 x = 6 x = O objeto que, por f, tem imagem 6 é o... x y = x y f(x) = x O 1 x 1.. (f + h)(0) = f(0) + h(0) = = = = 11. As opções [B] e [D] não são as corretas porque não são funções de proporcionalidade direta. A opção [A] não é a correta porque f() =. Logo a opção correta é a [C] (f() = = 1)...1. A(, ), B(, ) e C(0, 1)... A reta r é paralela à reta s, pelo que r e s têm o mesmo declive (a r = a s ). a r = a s = = A ordenada na origem da reta r é 1 (por observação do gráfico). Então, uma equação da reta r é y = x + 1. Cálculo auxiliar f(0) = 0 = 0 5. Uma reta paralela à reta x = 1 é da forma x = a, a R. Como a reta passa no ponto (, 1), então a sua equação é x = Como as retas r e s são paralelas, têm o mesmo declive. Logo, o declive da reta s é. 6.. O declive da reta s é (por 6.1) e a ordenada na origem da reta s é 17. Então, uma equação da reta s é y = x Sabe-se que é o declive da reta r. Então, y = x + b. Como o ponto (0, 5) pertence à reta r, então: 5 = 0 + b 5 = 0 + b 5 = b Logo, uma equação da reta r é y = x A reta y = x + 1 tem ordenada na origem 1. Assim, as opções [C] e [D] não são corretas. Por outro lado, a reta tem declive negativo, logo a opção correta é a [B] a) A constante de proporcionalidade é. b) A constante de proporcionalidade representa, no contexto da situação, o custo de produção de cada relógio daquele modelo. 8.. a) Custo de produção de cada relógio: Custo de venda de cada relógio: : 86 7 R.: O cliente poderá comprar 7 relógios. b) O custo dos oito relógios, para o sr. José, é 8 86 = 888. Como o sr. José pretende obter 5 de lucro bruto, terá de conseguir obter, com as vendas = 90. Assim, cada relógio deve ter um preço de venda ao público de 90 : 8 = Como a reta tem declive, logo: y = x + b. Por outro lado, sabe-se que a reta passa em (, 6). 6 = + b b = 6 8 b = Então, uma equação da reta é y = x. 9.. Sabe-se que a reta é paralela a y = x +. Como retas paralelas têm o mesmo declive, então: y = x + b.

2 A_Prova Por outro lado, sabe-se que a reta passa na origem do referencial, então: 0 = 0 + b b = 0 Logo, uma equação da reta é y = x. 9.. Como a reta passa nos pontos ( 1, ) e (, 5), temos: 5 m = = 9 =. ( 1) Então, y = x + b. Logo, como passa em ( 1, ), temos: = ( 1) + b = + b 1 = b Então, uma equação da reta é y = x Como o ponto (1, 6) pertence ao gráfico de f, temos: 6 = (s 5) 6 = 6 + s = s 7 = s 10.. Como a ordenada na origem é 5, então s 5 = 5 s = n = 100 P(100) = 0, = 0 R.: O bilhete custa n = 50 P(50) = 0, = = 5 Se a sala encher, cada bilhete custa 5, pelo que a receita arrecadada com o espetáculo é 650 (5 50 = 650 ). 1. A reta passa em (1, 1). Logo: 1 = 1 + b 1 = + b = b Então, b = f(x) = 1 1 (x + 5) = 5 = x = = x 1 = = 1 5 x Então, f(x) = 1 5 x é uma função linear, pois é da forma y = ax, com a R. g(x) = x x 1 = = x x + = = Então, g(x) = é uma função constante, pois é da forma y = a, com a R. Logo, a afirmação é verdadeira. 1.. a) Como f(x) = 1 x e g(x) = (por 1.1), 5 então: f( 1) = 1 5 ( 1) = 1 5 g( 1) = Assim, (f + g)( 1) = f( 1) + g( 1) = = = = b) Como f(x) = 1 x e g(x) = (por 1.1), então: 5 f 1 = = 1 10 g 1 = Assim, (f g) 1 = f 1 g 1 = 1 = = 1 0 = Uma reta vertical é da forma x = a, com a R. Assim, os pontos A e B não definem uma reta vertical pois não têm a mesma abcissa m = = 1 6 = ( 6) 8 Então: y = x + b Como o ponto (, ) pertence à reta temos: = b = + b b = 0 Logo, o declive da reta que contém os pontos A e B é e a ordenada na origem é Se AP é uma reta vertical, A e P têm a mesma abcissa ( 6). Logo, como a ordenada de P é 700, temos que as coordenadas de P são ( 6, 700). 1.. Como as retas t e AB são paralelas, têm o mesmo declive. Em 1. vimos que o declive da reta AB é.

3 Matemática 9.º Ano Como a reta t passa na origem do referencial, a sua ordenada na origem é 0. Logo, uma equação da reta t é y = x f(x) = x 15.. f(x) = f(x) = x c(n) = n = = 70. R.: O Mário pagou Para que o seguro Saúde Mais compense mais do que o seguro Saúde Plus é necessário que: 0 + 5n > n n > n 5n 0n > n > 0 n > 8 Será necessário marcar, pelo menos, nove consultas num mês, para que o seguro Saúde Mais compense f() + g( 1) = 1 + ( 6 ( 1)) = = + 6 = = + 18 = = 17.. (f + g)(x) = f(x) + g(x) = = 1x + ( 6x) = = 6x Assim, como f + g é do tipo y = ax, como a R, podemos concluir que f + g é uma função linear e a sua forma canónica é (f + g)(x) = 6x (f g)( ) = f( ) g( ) = = 1 ( ) ( 6 ( )) = = 6 (+18) = = 6 18 = = h(x) = 7 (h f)(x) = h(x) f(x) = = 7 1x = = 8x Assim, como h f é do tipo y = ax, com a R, podemos concluir que h f é uma função linear e a sua forma canónica é (h f)(x) = 8x (f + j)(x) = f(x) + j(x) = = 1x + ( x + 1) = = 11x + 1 Logo, como f + j é do tipo y = ax + b, podemos concluir que f + j é uma função afim e a sua forma canónica é (f + j)(x) = 11x c representa a função f pois tem a maior ordenada na origem. a representa a função g pois tem ordenada na origem 0. Logo, b representa a função h Como as retas são paralelas têm o mesmo declive. Assim, h(x) = x + b. Como a reta passa em (, ): = + b = + b b = Logo, h(x) = x f(x) = x + g(x) = x h(x) = x Assim, f(0) g(1) = 0 + ( 1) = = = = 19. A função g é representada por uma reta com declive 1 e ordenada na origem. Como m > 0, a função g é crescente. Logo, a opção correta é a [A] (f + g)( 1) = f( 1) + g( 1) = = + 1 = = (f + g) 1 = f 1 + g 1 = = = = 5 (f + g)() = f() + g() = = 5 + = = 7 Logo, D f + g =, 5, 7.

4 A_Prova 0.. (f g) 1 = f 1 g 1 = = 1 1 = = 1 Logo, a opção correta é a [D]. 0.. [f( 1)] + g 1 = ( ) + 1 = = = + 1 = = 1 7 R.: O polígono regular é um quadrado. 1.. O ponto (10, 0) não pode pertencer ao gráfico da função f, pois 0 = e f(x) = x 1.. f(0) = 0 = 10 Significa que o perímetro de um quadrado de lado 0 é Como f(x) = x, temos x = 8 x = 8 = 1 R.: O objeto é x y = x B y Sabe-se que A(, ), B( 1, ) e O(0, 0). Consideremos os pontos C( 1, ), D( 1, 0) e E(, 0). Para calcular a área do triângulo [ABO] basta calcular a área do retângulo [DEAC] e subtrair-lhe a área dos triângulos [OEA], [ACB] e [DOB]. A 1 O 1 x y 1 O 1 x f g A [AOB] = A [ACDE] (A [OEA] + A [ACB] + A [BDO] ) = = = = 1 ( + + 1) = = 1 8 = = R.: A área do triângulo [ABO] é u.a...1. Na. a modalidade: Número de quilómetros percorridos Preço a pagar (em euros) 10 = = 5 1 ( ) ( ) 11 7, ( ) Na. a modalidade, o preço a pagar pelo cliente não é diretamente proporcional ao número de quilómetros percorridos porque, como mostram os cálculos anteriores, a razão entre os valores correspondentes das duas grandezas, tomados pela mesma ordem, não é constante... A opção correta é a [D] a modalide: 0 5 = 150. a modalidade: = = = 0 Como o restaurante fica a 0 km, a 1. a modalidade é financeiramente mais compensatória... Seja n o número de quilómetros percorridos. Preço a pagar na 1. a modalidade: 5 n Preço a pagar na. a modalidade: n Para que a. a modalidade compense: n < 5n 100 < n Ou seja, o número mínimo de quilómetros a partir do qual deixa de compensar financeiramente a 1. a modalidade é (f + d)(1) = f(1) + d(1) = = = = = = = =

5 Matemática 9.º Ano 5 (f + d)() = f() + d() = = = = 0 + = = 0 + = = (f + d)() = f() + d() = = = = 1 + = = 1 + = = (f + d)() = f() + d() = = = = + 5 = = + 5 = = 9 Logo, D f + d =,,, 9. 1 = b b = 1 b = 1 = c 0 c = 1 0 c = 8 0 c = = 8 d d = 1 8 d = 8 8 d = 6.. Como x e y são diretamente proporcionais, o quociente entre os valores correspondentes das duas grandezas, tomados pela mesma ordem, é constante. 1 = a 1 a = 1 1 a = 1 a = 1 = b = 1 b 1 b = 8 1 = 0 c = 0 c 1 Funções algébricas páginas a 7 1. Duas grandezas são diretamente proporcionais se a razão entre os valores correspondentes das duas, tomados pela mesma ordem, for constante e não nula. Logo, a opção correta é a [A].. Duas grandezas são inversamente proporcionais se o produto dos valores correspondentes das duas for constante e não nulo. Logo a opção correta é a [C]...1. Como x e y são inversamente proporcionais o produto dos valores correspondentes é constante. 1 = 1 a a = 1 1 a = 8 c = 0 1 = d 8 d = 8 1 d =. Como = 6, então 6 é a constante de proporcionalidade. Logo, y = 6 e, portanto, a opção correta é a [B]. x As grandezas são diretamente proporcionais e a constante de proporcionalidade é k = 0 0 = = 100 R.: O automóvel percorrerá 100 km km km x

6 A_Prova km 1 x = =,5 00 km R.: São necessários,5 de combustível elementos (100 0 = 80) do grupo de escuteiros vão acampar. Trata-se de uma situação de proporcionalidade inversa. Então: = 80 x x = x = 10 Com a mesma quantidade de comida os restantes elementos podem ficar acampados mais dois dias (10 8 = ). 7. Como o caudal e o tempo são grandezas inversamente proporcionais, o produto dos valores das duas grandezas é constante. Assim: = a 0 = 0 b Logo: = a 0 a = a = 7, = 0 b b = b = 5 8. Número de elementos Número de dias 8 x Volume (cm ) 600 Pressão (mmhg) Como as grandezas são inversamente proporcionais, a constante de proporcionalidade é = Assim, V P = V = P 8.. Se V = 700 cm, então 700 = P = P 700 P = R.: A um volume de 700 cm corresponde uma pressão de mmhg. 8.. Se P = 68 mmhg, então V = V = R.: A uma pressão de 68 mmhg corresponde um volume de 100 cm. 9. A opção correta é a [B]. f(1) = 1 = e. Logo, o ponto de coordenadas (1, ) não pertence ao gráfico da função A função que tem expressão analítica da forma y = ax é a função f pois é a única cuja representação gráfica é uma parábola de vértice na origem O ponto de coordenadas (1, ) pertence ao gráfico da função. Assim, 1 a =. A opção correta é a [B] = = 100 1,6 = 8 = 16 As grandezas a e b são inversamente proporcionais se o produto dos valores correspondentes das duas for constante e não nulo. A opção correta é a [A]. 1. A função representada é uma função quadrática, logo é da forma y = ax. Como o ponto A(, 8) pertence ao seu gráfico, temos: 8 = a a = 8 a = Logo, a função é definida pela expressão y = x Como o ponto B(1, k) pertence ao gráfico da função, temos: k = 1 k = 1 k = R.: A ordenada do ponto B é. 1.. Como o ponto C(w, ) pertence ao gráfico da função, temos: = w w = w = w = ± Por observação da figura, sabe-se que C tem abcissa negativa. Logo, w =. R.: A abcissa do ponto C é.

7 Matemática 9.º Ano Se o gráfico é simétrico ao gráfico de f em relação ao eixo das abcissas, então a =. Logo, a opção correta é a [D] Como o retângulo tem 10 unidades de perímetro e OC = 1, temos: O 1 C Logo, a área do retângulo é 1 = u.a. 1.. Da alínea anterior, resulta que A(1, ). Sabe-se que numa função de proporcionalidade inversa o produto da abcissa pela ordenada de qualquer ponto do seu gráfico é constante e igual à constante de proporcionalidade inversa. Assim, como 1 =, temos que g(x) = x. 1.. g() = = R.: A ordenada do ponto do gráfico de g que tem abcissa é. 1.. g 1 = = 8 1 Logo, m = 8. B 1. Para reduzir em 0 dias o tempo de construção previsto, a escola deveria ser construída em 60 dias (80 0 = 60). Número de operários 60 a Número de dias Como as grandezas são inversamente proporcionais, o produto dos valores correspondentes das duas é constante. Assim, = a 60 a = a = 80 Para construir a escola em 60 dias são necessários 80 trabalhadores, ou seja, mais 0 operários do que o inicialmente previsto. A k > 0, pois a parábola tem a concavidade voltada para cima O ponto A(, ) pertence ao gráfico de f, definida por y = k x. Logo: = k ( ) = k k = Da alínea anterior, f(x) = 1 x. Assim: f() f(0) = = = = = A função g é da forma y = m x. Sabe-se que o ponto A(, ) pertence ao gráfico da função g. Assim: m = m = Temos, então, que g(x) = x. Como o ponto B(, y) pertence ao gráfico de g, temos: y = y = 1 Então, fica provado que a ordenada do ponto B é C é a imagem de A por meio de reflexão do eixo Oy. Assim, C(, ). Logo: y A - AC OD A [AOC] = A [AOC] = = R.: A área do triângulo [AOC] é u.a. B O g é uma função de proporcionalidade direta. Logo, é da forma y = k x. C x

8 A_Prova 8 Como o ponto B(6, ) pertence ao gráfico de g, temos: = k 6 k = 6 k = 1 Logo, g(x) = 1 x Assim, g() = 1 = 16.. f é uma função de proporcionalidade inversa. Logo, é da forma y = x k. O ponto A pertence ao gráfico de g. Logo, A(, g()). Como g() = 1 = 1, então A(, 1). Como A também pertence ao gráfico de f, temos: 1 = k k = 1 = Então, f(x) = x. A opção correta é a [C] f(6) = 6 = 1. Logo, C 6, D g = N 17.. Como as grandezas número de setores e amplitude de cada setor são inversamente proporcionais, temos que: 10 6 o = 1 a a = 60 o 10 6 o = b b = 10 6 o b = 180 o 10 6 o = c 10 o c = 10 6 o 10o c = 60o 10 o c = 10 6 o = 5 d d = 10 6 o 5 Logo, s 1 c 5 10 g(s) a b 10 o d 6 o b = 7 o s g(s) 60 o 180 o 10 o 7 o 6 o Então: y f B g 17.. A constante é 60 o e representa a amplitude do setor circular que corresponde ao círculo Como k = 10 6 = 60, g(s) = 6 0. s Logo, a opção correta é a [D]. A [ABC] = O CB AD = 8 = = 1 6 A D C A [ABC] = = R.: A área do triângulo [ABC] é 1 6 u.a. x 18. O ponto A(, y) pertence ao gráfico de f. Assim: y = y = Logo, A(, ). 1 y O f A B 1 5 Como o triângulo [AOB] é retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras. Assim: x

9 Matemática 9.º Ano 9 OA = + OA = 8 OA = ±8 Como OA > 0, temos que OA = 8. OA é a medida do raio da circunferência de centro A, pelo que a área da circunferência é: A = πr = π (8) = 8π. Logo, a opção correta é a [A]. 19. f(x) = ax x = = x (a ) Como a parábola que representa graficamente a função tem a concavidade voltada para cima, a > 0. Logo, a opção correta é a [A] O ponto P tem a mesma abcissa do ponto A e a mesma ordenada do ponto C. Logo, P(, y). Como P pertence ao gráfico de f, temos: y = 1 y = 6. Logo, a ordenada do ponto P é 6. Consequentemente, a ordenada de C também é 6. Logo, C(0, 6). 0.. Consideremos que o ponto Q tem coordenadas (a, b). Sabe-se que numa função de proporcionalidade inversa, o produto da abcissa pela ordenada de qualquer ponto do gráfico é constante e igual à constante de proporcionalidade inversa. Assim, como P(, 6) pertence ao gráfico de f, a constante de proporcionalidade inversa é 6 = 1. Como o triângulo [OBQ] é retângulo em B, temos: OB BQ A [OBQ] = = a b Como Q(a, b) pertence ao gráfico de f, temos que a b = 1. Logo, A [OBQ] = 1 = 6. R.: A área do triângulo [OBQ] é 6 u.a a > 0, pois a parábola que representa graficamente a função f tem a concavidade voltada para cima. 1.. Como AB =, a abcissa do ponto B é. Logo, B(, y). Como B pertence ao gráfico de g, y = g(), ou seja, y = y = y = 8 Logo, B(, 8). 1.. Como a área do retângulo é 96, temos que EB AB = 96 EB = EB = 9 6 EB =., ou seja, Como a ordenada do ponto B é 8, podemos concluir que a ordenada do ponto E é 8 = 16. Como os pontos E e B têm a mesma abcissa, pois [EB] é paralelo ao eixo Oy, temos que a abcissa de E é. Logo, E(, 16). O ponto E(, 16) pertence ao gráfico da função f, assim: 16 = a a = 1 6 a =. Podemos então concluir que a =...1. A área de cada um dos triângulos é metade do produto da abcissa pela ordenada de cada um dos pontos F, C e D, respetivamente. Como os pontos F, C e D pertencem todos ao gráfico da função f, o produto da abcissa pela ordenada de cada um deles é constante e igual à constante de proporcionalidade inversa da função. Logo, todos os triângulos têm a mesma área e, portanto, a afirmação é verdadeira... A área do triângulo [ABC] é igual a metade do produto da abcissa pela ordenada de qualquer ponto do gráfico de f. x y = 15 Logo, x y = 0 y = 0 x Sequências e sucessões páginas 50 a AB 1.1. a 1 = 1 1 = 1 = 5 a = 1 = 6 1 = 1 1 a 10 = 10 1 = 0 1 = 5 9 a 0 = 0 1 = 60 1 = 11 9 Logo, a opção correta é a [B].

10 A_Prova a 1 a 5 = = = = = 15 = = 1.º termo o termo: = + 1 = 5. o termo: + 1 = + 1 = = 17 Soma dos dois primeiros termos: =... Termo de ordem 1: = = = = = O último termos é o termo de ordem 0. Assim, = = = = = O quinto termo da sequência é Logo, é o primeiro termo da sequência que é maior do que 0... A opção correta é a [B] o termo. o termo. o termo O quarto termo é o termo : 10 O primeiro termo da sequência é Cada termo, com exceção do primeiro, obtém-se do anterior adicionando unidades. Logo, a opção correta é a [D]. 5.º termo 6.. O 1. o termo da sequência é composto por cinco fósforos. Cada um dos termos seguintes utiliza mais três fósforos do que o termo anterior. Assim, n + é uma expressão que permite gerar a sequência do número de fósforos de cada termo. Logo, para construir o termo de ordem 0 são necessários 0 + = 10 + = 1 fósforos. 6.. n + = 10 n = 10 n = 101 n = 10 1 Como 10 1 N, podemos concluir que não existe qualquer termo composto por 10 fósforos b 1 = = 5 + = 9 b = 5 + = 10 + = 1 = n + = 1 7 5n + = 5 1 ( ) 5n = 50 n = n = 50 R.: A sequência tem 50 termos o termo. o termo. o termo. o termo 5. o termo o termo 7. o termo 8. o termo 9. o termo 10. o termo

11 Matemática 9.º Ano 11 Para construir o 10. o termo da sequência são necessários 7 pontos. 8.. A expressão que representa a lei geradora da sequência de números de pontos é n. Assim: n = n = + n = 5 n = 5 Como 5 N, podemos concluir que nenhum termo desta sequência é constituído por pontos º termo 5.º termo 9.. O termo geral da sequência do número de palitos é 5n +. Para construir o 10. o termo são necessários = 5 palitos n n + = 15 5n = 150 n = n = 0 R.: Trata-se do termo de ordem , , ,5 Daqui a dois anos a vila terá 781 habitantes u 1 = (1 ) + 1 = ( 1) + 1 = + 1 = 1 u = ( ) + 1 = = 1 u = ( ) + 1 = = + 1 = 11.. u 100 = (100 ) + 1 = = = = (n ) + 1 = 150 n + 1 = 150 n + 1 = 150 n = 15 n = 15 Como 15 N podemos concluir que 150 não é ter mo da sucessão (n ) + 1 = 19 n + 1 = 19 n = n = 15 n = 15 n = 76 Logo, 19 é o termo de ordem 76 da sucessão o termo 6. o termo R.: O sexto termo é é termo é termo é termo A opção correta é a [C], pois o 1. o termo é 6 e todos os termos seguintes são menores do que o primeiro Tem um hexágono preto. 1.. A expressão que permite calcular o número total de hexágonos é 6n O termo geral da sequência do número de hexágonos verdes é 6n. Logo, o décimo sétimo termo tem 10 hexágonos verdes Quadrados amarelos: 1. o termo. o termo. o termo 18. o termo ( ) 11 O termo geral da sequência do número de quadrados amarelos é n + 1. Logo, o termo de ordem 10 tem = 11 quadrados amarelos. R.: O termo de ordem 10 tem 11 quadrados.

12 A_Prova O termo geral da sequência do número de quadrados brancos é n 1. Logo, o termo de ordem 0 tem 0 = 9 quadrados brancos. 1.. O termo geral da sequência do número total de quadrados é n. Logo, o termo de ordem 6 tem 6 = 18 quadrados. 1.. Se o termo é composto por 17 quadrados amarelos, então é o termo de ordem 16. O termo de ordem 16 tem 16 1 = 1 quadrados brancos n = 15 n = 15 n = n Linha 7: Linha 8: Soma dos elementos da linha 1: 1 = o Soma dos elementos da linha : = 1 Soma dos elementos da linha : = Soma dos elementos da linha : 8 = Soma dos elementos da linha 5: 16 = Soma dos elementos da linha 6: = O termo geral da sequência do número de bolas é n + 1. Assim, para construir o 9. o termo são necessárias = 8 bolas O número de bolas brancas é igual à ordem da figura. Logo, como há 17 bolas brancas, a ordem da figura é 17. O termo geral da sequência do número de bolas é n + 1, sendo n a ordem do termo. Logo, o 17. o termo tem = 5 bolas, ou seja, são necessárias 5 bolas para construir o termo O termo geral da sequência do número de bolas é n + 1, sendo n a ordem do termo. Determinemos n tal que n + 1 = 151. n + 1 = 151 n = n = 150 n = 50 Como o número de bolas brancas é igual à ordem da figura, o termo tem 50 bolas brancas e = 101 bolas pretas o termo: 1 cm. o termo: 7 cm. o termo: 6 cm. o termo: 18 cm 5. o termo: 9 cm 6. o termo: 9 cm : : : Assim, a área do. o quadradao é 18 cm e o seu lado mede 18 cm. Logo, o termo de ordem da sucessão (P n ) é Para construir o. o termo são necessários quadrados. Para construir o 5. o termo são necessários 56 quadrados o termo: = 1. o termo: 5 = 0. o termo: 5 6 = 0. o termo: 6 7 = 5. o termo: 7 8 = o termo: 8 9 = 7 7. o termo: 9 10 = o termo: = 110 R.: O oitavo termo da sequência é constituído por 110 quadrados A opção correta é a [C] ,, 6, 10, 15, 1, 8, 6, R.: 15, 1, 8 e Sabe-se que, por exemplo, F =. Logo, ( + 1) = k k k = 19.. Da alínea anterior, resulta que F 17 = 17 ( ) = 15

13 Matemática 9.º Ano 1 (n + 1) (n ) 19.. F n + 1 = = = (n + 1) (n + ) = = n + n + n + = = n + n F n + F n + 1 = n (n + 1) + n + n + = n + n + n + n + = = = n + n + = = n + n + 1 = = (n + 1) Da alínea anterior resulta que F n + F n + 1 = (n + 1) Então, (n + 1) = 81 n + 1 = ±81 n + 1 = ± 59 n = 58 n = 60 Como n > 0, n = 58. Logo, os termos consecutivos são os termos de ordem 58 e É possível sentar 1 clientes. 0.. É possível sentar k + pessoas. 0.. Para sentar n pessoas são necessárias n mesas T 0 = 1 0 (0 + 1) ( 0 + 1) = T 15 = 1 15 (15 + 1) ( ) = 10 6 T 1 = 1 1 (1 + 1) ( 1 + 1) = (T 15 T 1 ) = 6 (10 650) = = T = 1 ( + 1) ( + 1) = V 1 = T T 1 = = = = = V = T T = = (1 + ) = = = 9 V = T T = = ( ) (1 + + ) = = = = 16 V = T 5 T = = ( ) ( ) = = 5 = = 5 Logo, os quatro primeiros termos desta nova sequência são:, 9, 16, V V = T T (T T ) = = (1 + + ) (1 + + ) = = V V 1 = T T (T T 1 ) = = T T T + T 1 = = = = V 1 T 1 = T T 1 T 1 = = = = 1 Figura 1 T Figura V V Figura V V 1 Figura V 1 T 1 Praticar + páginas 56 a f(x) = (x 5) + x = = x x 10 + = 1 ( ) = 6 x x 10 + = = 7 x 10 f(x) é uma função afim, pois é do tipo y = ax + b. 1.. f(x) = (x x) 10(x + x ) + 8x = = x x 10x 10x + 8x = = 1x f(x) é uma função linear, pois é do tipo y = kx.

14 A_Prova f(x) = + x + (x 1) = = + x + x = 1 ( ) = x + 9 x = = 1 1x f(x) é uma função linear, pois é do tipo y = kx. 1.. f(x) = (x 5) x x = = x 10 x x + = = x 1 0 x + 1 = ( ) = 1 f(x) é uma função constante...1. Como tem um desconto de 70%, o André vai pagar 0% do valor do bilhete, ou seja, 0, 0 = 6... A opção correta é a [B]... Seja c o preço do bilhete. Para que compense tornar-se sócio e comprar o bilhete com desconto, 0 + 0,c terá de ser inferior ao preço do bilhete, c. Assim, 0 + 0,c < c 0,c c < 0 0,7c < 0 0,7c > 0 7 c > c > 00 c = Como , o bilhete terá de custar no mínimo, A correspondência é uma função, pois a cada valor da variável tempo de aquecimento corresponde um e um só valor da variável temperatura... D = {0,,, 6, 8, 10, 1, 1, 16, 18, 0} Variável dependente: Temperatura. Variável independente: Tempo.. Se f é uma função afim, é da forma f(x) = ax + b, sendo a e b números reais. a = = = 1 0 Logo, f(x) = 1 x + b Como (0, ) pertence ao gráfico de f: = b b = Então, f(x) = x O gráfico [B] não é o correto porque a distância da cadeira número 1 ao solo não se mantém constante com o decorrer do tempo. O gráfico [D], também não é o correto porque a cadeira número 1 não se encontra, seja em que momento for, a uma distância nula do solo. O gráfico [C], também não representa a relação entre t e d porque, no instante inicial, a cadeira número 1 não se encontra à distância máximo do solo. Logo, a opção correta é a [A] [ g(0) g(1)] = = 0 1 = ( 1) + 1 = = 1 = = 5 = = O inverso de 1 é 7. 7 x 1 = 7 x = 8 x = x = x = = Como 1 não pertence ao domínio de g, 7 não pertence ao contradomínio de g. 7. A opção correta é a [C].

15 Matemática 9.º Ano = 0 R.: O saco tinha 0 gomas : 5 = = R.: Cada criança receberia menos duas gomas. 9. O. o termo é 96 pois, sendo o. o termo, temos: + = 8 8 = 96 O 1. o termo é 5 pois, sendo 18 o. o termo, temos: 18 : = 9 9 = 5 Assim: o termo. o termo. o termo. o termo f(n) t(n) 10.. a) f() = 00 m Às 9 h 0 min o Rui estava a 00 metros de casa. b) f(t) = 00 t {, 0} 11. Como as grandezas x e y são inversamente proporcionais, o produto dos valores correspondentes das duas é constante. a 10 = 0 5 a = a = Como g(6) = 8, então (6, 8) Gg. Como g( ) = 1, então (, 1) Gg. Assim, sendo g(x) = ax + b, temos: a = = 0 = 10 Como (6, 8) Gg, então 8 = 6 + b b = Logo, g(x) = x. Então: g(0) 5 g(1) = 0 5 ( 1 ) = = 0 5 ( ) = = = = A opção correta é a [C] = : 10 = 50 R.: Foram à visita 50 pessoas. 1. Por observação do gráfico, A(x, 1) e D(16, y). Como os retângulos têm 1 cm de área, x 1 = 1 x = 1 16 y = 1 y = 1 16 = Logo, (1, 1) e D 16, Função f: a > 0. Função g: a > 0. Função h: a < Como A(1, ) pertence ao gráfico de h, temos: = a 1 = a Logo, h(x) = x O termo geral da sequência do número de pontos é n + 1. Assim, para construir o oitavo termo da sequência, são necessários = + 1 = 5 pontos O termo geral da sequência do número de triângulos é n. Assim, o 10. o termo é composto por 0 triângulos ( 10 = 0 = 8) n = 7 n = 9 n = 9 Como 9 N, então não existe qualquer termo desta sequência composto por 7 triângulos.

16 A_Prova Como o ponto D pertence ao gráfico de f, temos que: = a 1 a 1 a = Logo, f(x) = x O ponto A tem ordenada nula. Como A pertence ao gráfico de g, temos que 0 = x + x =. Logo, as coordenadas do ponto A são (, 0) e CA =. Como f(x) = x e o ponto B(, y) pertence ao gráfico de f, temos que: y = () = = 8. Logo, B(, 8). Assim, A [ABC] = b h, ou seja, A [ABC] = 8 = 1 u.a. 18. a = 1 a b = 1 b Logo, o produto das variáveis a e b é constante (1) e a opção correta é a [B] P(n) = 98 + n 19.. P(6) = = = 110 Significa que 6 anos após 01, ou seja, em 00, o bilhete de época do F.C. Porto custará Bilhete época em Alvalade: 68 + n. Bilhete época no estádio do Dragão: 98 + n n = 98 + n n n = n = 0 n = 15 Em 09 ( ), o preço do bilhete de época no Dragão e em Alvalade será o mesmo n = 10 n = n = n = 11 O bilhete de época no estádio do Dragão custará 10 daqui a 11 anos. A função que dá o preço, B, do bilhete de época no estádio da Luz, em função do número de anos, n, decorridos desde 01 pode ser definida por B(n) = 88 + n. Daqui a 11 anos: B(11) = = 88 + = 11 Assim, o bilhete de época do S.L. Benfica custará 11, quando o do F.C. Porto custará A constante de proporcionalidade inversa é 18 (9 = 18). 0.. Como A e B são grandezas inversamente proporcionais, o produto dos valores correspondentes das duas é constante. 9 = m m = 9 m = 6 9 = 1 p p = 18 9 = t 10 t = 1,8 0.. A B = 18 A = 1 8 B Como b é a ordenada na origem, b =. 1.. A equação da reta t é y = dx + b. Como d = b então, pela alínea anterior, d = b = e uma equação da reta t é y = x A reta r tem equação y = ax + b e, como tem declive negativo (a < e < 0), ou é a reta vermelha ou a reta azul. A reta vermelha contém os pontos de coordenadas (0, ) e (, 0). Logo, m = 0 = = 1. 0 A reta azul contém os pontos de coordenadas (0, ) e (1, 0). Logo, m = 0 =. 1 0 Como a < e < 0 temos que a = e e = 1. Logo, r é a reta azul. Então, uma equação da reta r é y = x A(t) = 50 t.. A(8) = 50 8 = 00 Significa que, oito minutos depois de introduzir a água, o tanque do veículo tinha 00 litros de água t = 6000 t = t = 10 O tanque demora 10 minutos a ficar cheio. Se começaram a enchê-lo às 8 h 0 min da manhã, o tanque ficou cheio às 10 h 0 min... A opção [D] não é a correta, pois este gráfico corresponde à situação de um depósito cuja altura de enchimento é diretamente proporcional ao tempo decorrido.

17 Matemática 9.º Ano 17 A opção [C] também não é a correta, pois se a altura regressasse ao zero o depósito não ficaria cheio. Na opção [A] o gráfico exibe uma taxa de variação de altura mais baixa no início e no fim do enchimento do que no tempo intermédio, o que é contrariado pela posição escolhida para um depósito com a forma descrita. Assim, esta opção também não é a correta. Logo, a opção correta é a [B].. A opção correta é a [D]. a = 6 a = A Carolina não paga. O Filipe tem 50% de desconto e, por isso, paga 1,5. O André e os pais pagam cada. Assim, os ingressos para toda a família custam + 1,5 = 9 + 1,5 = 10, : = 700 R.: O Mário vai comprar 700 ingressos... a) f(x) = x b) f() = = 1 Significa que o preço a pagar por quatro ingressos de adulto é 1. c) O ponto não pode pertencer ao gráfico de f porque o preço a pagar por dois ingressos de adulto é 6 e não 8... (6 ) 0,5 = 9 R.: Terão de pagar Os gráficos 1 e 5 são hipérboles. Logo, são representações de funções de proporcionalidade inversa. No gráfico 1, os pontos de abcissa positiva têm ordenada negativa. Logo, gráfico 1: i(x) = x e gráfico 5: h(x) = x. Os gráficos e 6 são parábolas com a concavidade voltada para baixo, ou seja, as funções são da forma y = ax, com a < 0. Sabemos que quanto maior é o valor absoluto de a, menor é a abertura da parábola. Logo, gráfico : j(x) = x e gráfico 6: k(x) = 1 x. Os gráficos e são parábolas com a concavidade voltada para cima, ou seja, as funções são da forma y = ax, com a > 0. Sabemos que quanto maior é o valor absoluto de a, menor é a abertura da parábola. Logo, gráfico : g(x) = x e gráfico : f(x) = 1 x d(t) = 500 t 6.. d(1) = = = = = 5 Significa que 1 segundos depois do início da corrida o André estava a 5 metros do portão da escola. 6.. p(t) = t 6.. p(10) = 0 Significa que 10 segundos depois do início da corrida o André tinha percorrido 0 metros d(t) = t = = t t = 15 R.: Serão necessários 15 segundos para o André chegar ao portão da escola A ordenada do ponto comum aos dois gráficos representa o instante em que o André atinge metade do percurso, isto é, já percorreu tanto quanto o que ainda lhe falta percorrer As retas t e s têm a mesma ordenada na origem. 7.. Sabemos que o ponto A tem abcissa 1 e que pertence à reta r, de equação y = x +. Assim, a ordenada do ponto A é y = 1 + =. Logo A tem coordenadas (1, ). A reta t contém os pontos A(1, ) e D(, 0). Assim, o declive da reta t é a = 0 = = 1. 1 Logo, y = 1x + b. Como D(, 0), temos: 0 = 1 + b b =

18 A_Prova 18 Logo, y = x + é uma equação da reta t. A reta s tem o mesmo declive da reta r, pois são retas paralelas, e a mesma ordenada na origem de t. Logo: s: y = x Todas as figuras da sequência têm dois losangos brancos. Logo, a opção correta é a [C]. 8.. A sequência do número de losangos pretos é: Logo, a opção correta é a [C].