Funções Potência. Cubo - Definições

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1 Funções Potência Aula 06 Cubo - Definições 1

2 Cubo-Arestas Área de Superfície do Cubo Se estivéssemos pintando um cubo, a área da superfície nos diria quanto de área teríamos que cobrir com tinta. Cada cubo tem seis faces idênticas, logo: área da superfície = 6 (área de uma das faces) Se o comprimento da aresta de uma face do cubo for igual a x, então a área da superfície dessa face é x 2. Logo, a área da superfície total S(x) do cubo é: S(x) = 6x 2 S(x) é chamada de uma função potência de grau 2 2

3 Área de Superfície do Cubo Dizemos que a área da superfície é diretamente proporcional ao quadrado (ou à segunda potência) do comprimento da sua aresta. Volume do Cubo Se o comprimento da aresta de uma face do cubo for x, então o volume V(x) do cubo é dado por V(x) = x 3 V(x) é um exemplo de uma função potência de grau 3. 3

4 Volume do Cubo dizemos que o volume é diretamente proporcional ao cubo (ou à terceira potência) do comprimento da sua aresta. Razão entre a área da superfície e o volume O quociente (área da superfície)/volume gera uma nova função R(x), em que: R(x) é chamada de função potência de grau 1. Dizemos que R(x) é inversamente proporcional ao comprimento da aresta do cubo. Quando aumentamos o valor de x, o comprimento da aresta do cubo, o valor de R(x) diminui. 4

5 Razão entre a área da superfície e o volume Quando aumentamos o valor de x, o comprimento da aresta do cubo, o valor de R(x) diminui. Tamanho e Forma O que aprendemos sobre o cubo se aplica a qualquer objeto tridimensional, não importando a forma. Em geral, Para qualquer forma, quando um objeto vai se tornando maior enquanto mantém a mesma forma, o quociente entre a sua área da superfície e o seu volume diminui. 5

6 Tamanho e Forma Funções biológicas, como a respiração e a digestão, dependem da área da superfície, mas devem servir a todo volume do corpo. Por isso os órgãos de animais grandes têm anatomia diferente de animais pequenos, são retorcidos para que a superfície seja maior e dê conta de todo o volume corporal. Por exemplo, os pulmões humanos, que precisam ter uma grande superfície para alta troca de gazes. Tamanho e Forma A temperatura do corpo também depende do quociente entre a área superficial e o volume. Animais geram o calor necessário para o seu tamanho por meio de atividade metabólica e perdem calor através da superfície da sua pele. Pequenos animais têm mais área superficial em proporção ao seu volume do que grandes animais. Como a troca de calor se dá através da pele, pequenos animais perdem calor proporcionalmente mais rápido do que grandes animais. 6

7 Proporcionalidade Direta: Funções Potência com Potências Positivas Três funções do comprimento da aresta x de um cubo Todas as três são chamadas de funções potência, pois elas são da forma: variável dependente = constante (variável independente) potência ou saída = constante entrada potência Datas Importantes 23/11 ENGI 30/11 Prova 01 09/12 SEMIC 16/12 Última aula antes do intervalo 7

8 Proporcionalidade Direta: Funções Potência com Potências Positivas Proporcionalidade Direta: Funções Potência com Potências Positivas 8

9 Proporcionalidade Direta: Funções Potência com Potências Positivas Proporcionalidade Direta: Funções Potência com Potências Positivas EXEMPLO: Fórmulas para proporcionalidade direta Escreva fórmulas que representem as seguintes relações: a. A circunferência, C, de um círculo é diretamente proporcional ao seu raio, r. b. A área, A, de um círculo é diretamente proporcional ao seu raio, r, elevado ao quadrado. c. O volume, V, de um líquido escoando no interior de um tubo é diretamente proporcional à quarta potência do raio, r, do tubo. SOLUÇÃO a. C = kr, em que k = 2π. b. A = kr 2, em que k = π. c. V = kr 4, para alguma constante k. 9

10 Propriedades da Proporcionalidade Direta Considere uma função potência geral f(x) = kx p, em que p > 0. Se dobrarmos a entrada de x para 2x, temos: Dobrando a entrada, faz com que a saída seja multiplicada por 2 p Propriedades da Proporcionalidade Direta Dobrando a entrada, faz com que a saída seja multiplicada por 2 p. Se multiplicarmos a entrada por m, modificando a entrada de x para mx, então Logo, ao multiplicarmos a entrada por m a saída é multiplicada por m p. Por exemplo, se triplicarmos a entrada de S(x) = 6x 2, a saída é multiplicada por 3 2 ou 9. Observe que o valor de k (a constante de proporcionalidade) é irrelevante nesses cálculos. 10

11 Propriedades da Proporcionalidade Direta Em geral, Se y é diretamente proporcional a x p (em que p > 0), então y = kx p para alguma constante k diferente de zero. A multiplicação da entrada por m faz com que a saída seja multiplicada por m p. Por exemplo, triplicar a entrada faz com que a saída seja multiplicada por 3 p. Propriedades da Proporcionalidade Direta 11

12 Proporcionalidade Direta com Mais de Uma Variável Quando uma grandeza depende diretamente de mais de uma grandeza, não temos mais uma função potência simples. Por exemplo, o volume, V, de uma lata cilíndrica depende tanto do raio da base, r, quanto da altura, h. A equação que descreve essa relação é: V = área da base altura V = πr 2 h Dizemos que V é diretamente proporcional (ou varia conjuntamente) tanto a r 2 quanto a h. 12