TRANSPORTES, AFECTAÇÃO E OPTIMIZAÇÃO DE REDES

Transcrição

1 Manuela Magalhães Hill Mariana Marques dos Santos Ana Líbano Monteiro VOL. 3 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL TRANSPORTES, AFECTAÇÃO E OPTIMIZAÇÃO DE REDES EDIÇÕES SÍLABO

2 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Vol. 1 Programação Linear Vol. 2 Exercícios de Programação Linear Vol. 3 Transportes, Afectação e Optimização em redes

3 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Transportes, Afectação e Optimização em redes Manuela Magalhães Hill Mariana Marques dos Santos Ana Líbano Monteiro 2ª Edição Revista e Corrigida EDIÇÕES SÍLABO

4 É expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer meio ou forma, nomeadamente FOTOCÓPIA, esta obra. As transgressões serão passíveis das penalizações previstas na legislação em vigor. FICHA TÉCNICA Título: Investigação Operacional Vol. 3 Transportes, Afectação e Optimização em Redes Autoras: Manuela Magalhães Hill, Mariana Marques dos Santos, Ana Líbano Edições Sílabo, Lda. Capa: Pedro Mota 1ª Edição Lisboa, Setembro de ª Edição Lisboa, Setembro de Impressão e acabamentos: Europress, Lda. Depósito legal: /09 ISBN: EDIÇÕES SÍLABO, LDA R. Cidade de Manchester, LISBOA Telf.: Fax: silabo@silabo.pt

5 ÍNDICE PREFÁCIO 9 Capítulo 1 O problema de transportes 1. Introdução Formulação de um problema de transportes A formulação genérica Arranjos da formulação genérica Considerações importantes A resolução de problemas de transportes Introdução Determinação de uma base inicial admissível Teste de optimalidade Melhoria da solução intermédia Caso prático de problemas de transportes O problema Formulação Problema dual Resolução do problema Interpretação da solução óptima e do quadro final de resolução do problema de transportes Casos especiais em problemas de transportes Soluções degeneradas Soluções múltiplas Análise de sensibilidade em problemas de transportes alterações nos coeficientes da função objectivo Alterações nas restrições 83

6 7. Problema de transexpedição Exercício final de transportes O problema Formulação do problema Resolução do problema 106 Capítulo 2 Exercícios sobre transportes 125 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 185 Capítulo 3 O problema de afectação 1. Introdução Formulação de um problema de afectação A formulação genérica Arranjos da formulação genérica Considerações importantes A resolução de problemas de afectação introdução O método Húngaro Casos práticos de problemas de afectação Um caso de solução múltipla Um caso de afectações proibidas Um caso de maximização Um caso de valores negativos e fraccionários Um caso de afectação generalizada Análise de sensibilidade em problemas de afectação 242 Capítulo 4 Exercícios sobre afectação 251 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 270

7 Capítulo 5 Optimização em redes 1. Introdução Alguns conceitos da teoria dos grafos Definição de grafo A noção de rede Árvore geradora (ou de suporte) de custo mínimo Algoritmo de Kruskal Algoritmo de Prim Algumas considerações finais O problema do caminho mais curto Algoritmo de Dijkstra Algoritmo de Ford Algoritmo de Floyd O problema do fluxo máximo Corte de uma rede Algoritmo de Ford-Fulkerson Casos especiais do problema do fluxo máximo O problema do fluxo de custo mínimo Algoritmo de Busacker-Gowen Formulação de outros problemas como problemas de fluxo de custo mínimo 342 Capítulo 6 Exercícios sobre optimização em redes EXERCÍCIOS PROPOSTOS 418 ANEXO DOS ALGORITMOS 421 BIBLIOGRAFIA 431

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9 PREFÁCIO Com a publicação deste terceiro volume de Investigação Operacional, damos por concluída a nossa intenção de apresentação de uma visão prática de um conjunto de técnicas de optimização não abordadas nos dois volumes anteriores transportes, afectação e optimização em redes as quais, ao longo dos anos, têm obtido um crescente reconhecimento por parte dos especialistas. Embora parecendo problemas de aplicação restrita na vida real, cada um deles tem a versatilidade de ser adaptável a situações diferentes das descritas. Por essa razão, encontram-se dentro do conjunto de problemas mais conhecidos em Investigação Operacional e, como tal, alvo da nossa atenção. Esta obra mantém subjacente a mesma filosofia das obras anteriores. Deste modo foi dado especial ênfase à formulação de problemas, à interpretação económica da solução óptima e à análise subsequente à obtenção dessa solução, aspecto este normalmente não abordado em problemas de transporte e de afectação. Na perspectiva de que este livro tenha grande valor prático, foi destinado, para cada um dos temas, um capítulo só com exercícios resolvidos e propostos para ajudar o leitor na melhor apreensão dos temas. Gostaríamos de deixar uma palavra de agradecimento às colegas da equipa de Investigação Operacional do ISCTE pelo apoio e inspiração que nos deram. Contudo, quaisquer erros que o leitor possa encontrar são inteiramente da nossa responsabilidade. As autoras

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11 1 O problema de transportes

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13 O PROBLEMA DE TRANSPORTES INTRODUÇÃO O problema de transportes é um dos casos particulares de programação linear que, pela sua importância e frequência de utilização, se impõe ser estudado de forma aprofundada. Para além disso, mesmo podendo recorrer ao algoritmo do Simplex, foi desenvolvido um algoritmo específico para a resolução de problemas deste tipo, que vem facilitar sobremaneira a procura da solução óptima. A situação Sempre que nos encontramos perante um produto homogéneo, oferecido por um conjunto de centros de oferta ou origens e procurado por um outro conjunto de centros de procura ou destinos, estamos perante um problema de transportes, desde que: se pretenda transportar o produto mencionado, dos centros de oferta para os centros de procura; seja nosso objectivo encontrar a forma mais barata ou mais rápida de o fazer. Por forma a melhor visualizar o tipo de problema que queremos apresentar neste capítulo, vejamos o seguinte exemplo: Uma sociedade que detém 4 padarias pretende distribuir o pão que fabrica diariamente por 6 pastelarias também por si exploradas. As 4 padarias têm capacidade para produzir diariamente 300, 400, 400 e 500 pães respectivamente. Por outro lado, o consumo de pão nas pastelarias estima-se em 250, 360, 280, 200, 250 e 200 por dia, em cada uma, respectivamente. Os custos de transporte por unidade, de cada uma das padarias para cada uma das pastelarias, são os constantes do quadro que se segue: 13

14 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Pastelarias P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 Oferta total O Padarias O O O Procura total Este é um problema típico de transportes, em que se pretende determinar qual a melhor forma de distribuir pão, desde os quatro pontos de oferta (as padarias) até aos seis centros de procura (as pastelarias). O objectivo que assiste à procura do melhor plano de distribuição será a minimização dos custos de transporte. As limitações do problema dizem respeito, quer à máxima quantidade de pão que cada padaria consegue oferecer quer ao consumo mínimo de cada pastelaria. Antes de passarmos à formulação do problema podemos representá-lo num diagrama simples, designado por rede (Figura 1.1), colocando as padarias numa coluna (à esquerda) e as pastelarias noutra coluna (à direita) e ligá-las com setas, colocando junto de cada seta o custo unitário de transporte que lhe está associado. Os valores dentro dos quadrados da esquerda correspondem à capacidade de oferta associada a cada centro de oferta (padaria) e os valores dentro dos quadrados da direita correspondem à estimativa de procura associada a cada centro de procura (pastelarias). FIGURA 1.1. REPRESENTAÇÃO EM REDE DO PROBLEMA DAS PADARIAS O 1 O P P P 3 O 3 O P P P 6 14

15 O PROBLEMA DE TRANSPORTES FORMULAÇÃO DE UM PROBLEMA DE TRANSPORTES Considerando que: 2.1. A FORMULAÇÃO GENÉRICA c ij 0 é o custo de transporte de uma unidade de produto, desde a origem i até ao destino j s i é a quantidade de produto disponível para ser expedida de cada centro de oferta i d j é a quantidade de produto requerida ou procurada por cada centro de procura j Tem-se que x ij será a quantidade de produto a transportar de cada centro de oferta i para cada centro de procura j ao custo unitário de c ij 0. A formulação genérica a que chegamos com estas definições, será então a seguinte: Min CTT (Custo Total de Transporte) = = c 0 11 x 11 + c 0 12 x 12 + c x c 1n x 1n + c 0 21 x 21 + c 0 22 x 22 + c x c 2n x 2n (...) +c m1 x m 1 + c m 2 x m 2 + c m 3 x m c mn x mn s.a. x 11 + x 12 + x x 1n s 1 x 21 + x 22 + x x 2n s 2 (...) x m 1 + x m 2 + x m x mn s m limitações de oferta 15

16 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL x 11 + x 21 + x x m1 d 1 x 12 + x 22 + x x m2 d 2 limitações de procura (...) x 1n + x 2n + x 3n x mn d n x 11, x 12, x 13,..., x 1n 0 x 21, x 22, x 23,..., x 2n 0 (...) x m1, x m2, x m3,..., x mn 0 restrições de não negatividade ou, simplificadamente: m n 0 Min CTT cij xij i 1 j 1 n s.a. xij si j 1 m i 1 xij dj i = 1,..., m j = 1,..., n x ij 0 i = 1,..., m j = 1,..., n Repare-se que os coeficientes técnicos das restrições (a ij 0 ) são todos iguais a um ARRANJOS DA FORMULAÇÃO GENÉRICA A formulação que acabámos de expor é, no entanto, imperfeita pois o problema só terá solução se a quantidade total de procura não exceder a n n quantidade total de oferta, ou seja, se si dj. i j 1 1 Na vida real, facilmente compreendemos que a solução passará por efectuar os transportes possíveis, deixando um ou mais centros de oferta com quantidades por escoar. 16

17 O PROBLEMA DE TRANSPORTES Não obstante tal constatação, é possível introduzir pequenas alterações que venham garantir a admissibilidade de qualquer problema com as características descritas inicialmente. Pensemos então nas quantidades totais transportadas. Se o total de produtos a oferecer for superior ao total de produtos procurados, então a quantidade total a transportar será apenas o limite de produtos procurados, ficando alguns produtos em stock, na origem. Se, por outro lado, o total de produtos a oferecer for inferior ao total de produtos procurados, então a quantidade total a transportar será apenas o limite de produtos oferecidos, ficando alguma procura por satisfazer. Ora, o algoritmo que vamos apresentar para a resolução de um problema de transportes pressupõe que o total dos produtos a oferecer (disponibilidades) iguale o total de produtos procurados (necessidades). Sendo assim, podemos exigir, de forma implícita, na construção do modelo de formulação, que a oferta total iguale a procura total. Para isso, há que criar um destino fictício sempre que a oferta total seja superior à procura total ou uma origem fictícia sempre que a procura total seja superior à oferta total. Os custos de transporte das unidades que saem da origem fictícia ou que entram no destino fictício serão nulos. As quantidades transportadas nestes «caminhos fictícios» corresponderão precisamente à oferta que fica por utilizar ou à procura que fica por satisfazer, respectivamente. Em conclusão, garantindo que a oferta total iguale a procura total através da criação dos «postos fictícios», podemos reformular o problema de transportes com todas as restrições sob a forma de igualdade, uma vez que se assume que toda a quantidade oferecida terá um destino e que toda a quantidade procurada será satisfeita. Diz-se então que o problema está equilibrado. Vejamos como fica a formulação genérica do problema de transportes, após a realização das transformações inerentes às questões apresentadas, considerando incluído em m ou n o posto fictício introduzido: Min CTT (Custo Total de Transporte) = = c 0 11 x 11 + c 0 12 x 12 + c x c 1n x 1n + c 0 21 x 21 + c 0 22 x 22 + c x c 2n x 2n (...) + c m1 x m 1 + c m 2 x m 2 + c m 3 x m c mn x mn 17

18 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL s.a. x 11 + x 12 + x x 1n s 1 x 21 + x 22 + x x 2n s 2 (...) x m 1 + x m 2 + x m x mn s m x 11 + x 21 + x x m1 d 1 x 12 + x 22 + x x m2 d 2 (...) x 1n + x 2n + x 3n x mn d n x 11, x 12, x 13,..., x 1n 0 x 21, x 22, x 23,..., x 2n 0 (...) x m1, x m2, x m3,..., x mn 0 Em que s 1 + s s m = d 1 + d d n ou, simplificadamente: m n 0 Min CTT cij xij i 1 j 1 n s.a. xij si j 1 m i 1 xij dj i = 1,..., m j = 1,..., n x ij 0 i = 1,..., m j = 1,..., n Em que m n si d j i 1 j 1 i = 1,..., m Resta-nos reafirmar que, desde que a oferta total seja igual à procura total, o problema de transportes tem sempre uma solução óptima finita. 18

19 O PROBLEMA DE TRANSPORTES Para o exemplo que introduzimos inicialmente, podemos construir, então, a seguinte formulação que deverá ser posteriormente equilibrada: Min CTT (Custo Total de Transporte) = = 3 x x x x x x 16 +2x x x x x x 26 +5x x x x x x 36 +3x x x x x x 46 s.a. x 11 + x 12 + x x x 21 + x 22 + x x x 31 + x 32 + x x x 41 + x 42 + x x x 11 + x 21 + x 31 + x x 12 + x 22 + x 32 + x x 13 + x 23 + x 33 + x x 14 + x 24 + x 34 + x x 15 + x 25 + x 35 + x x 16 + x 26 + x 36 + x x 11, x 12, x 13,...,x 16 0 x 21, x 22, x 23,...,x 26 0 x 31, x 32, x 33,...,x 36 0 x 41, x 42, x 43,...,x 46 0 limitações de oferta limitações de procura restrições de não negatividade Como a oferta total das padarias corresponde a 1600 pães enquanto as seis pastelarias procuram apenas 1540 pães, devemos criar uma pastelaria fictícia, que consuma os 60 pães excedentários e cujos custos de transporte desde as quatro padarias sejam zero. Garantida a igualdade entre a oferta total e a procura total, temos todas as restrições sob a forma de igualdade. Vejamos, a formulação específica a que devemos chegar: 19

20 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Min CTT (Custo Total de Transporte) = = 3 x x x x x x x 17 +2x x x x x x x 27 +5x x x x x x x 37 +3x x x x x x x 47 s.a. x 11 + x 12 + x x x 21 + x 22 + x x limitações de oferta x 31 + x 32 + x x x 41 + x 42 + x x x 11 + x 21 + x 31 + x x 12 + x 22 + x 32 + x x 13 + x 23 + x 33 + x x 14 + x 24 + x 34 + x limitações de procura x 15 + x 25 + x 35 + x x 16 + x 26 + x 36 + x x 17 + x 27 + x 37 + x x 11, x 12, x 13,..., x 17 0 x 21, x 22, x 23,..., x 27 0 x 31, x 32, x 33,..., x 37 0 x 41, x 42, x 43,..., x 47 0 restrições de não negatividade Considerando esta formulação, já no seu formato arranjado ou equilibrado, a quantidade de pães que será afecta à sétima pastelaria a fictícia corresponderá, na solução final, a pão em excesso que na realidade nunca chegará a ser distribuído. 20

21 O PROBLEMA DE TRANSPORTES 2.3. CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES O problema inteiro de transportes Se num problema de transportes, todas as origens e destinos apresentarem quantidades inteiras de oferta e procura, respectivamente, então as quantidades a transportar de uns para outros serão inteiras, na solução óptima do problema. Esta informação torna-se deveras importante quando nos deparamos com situações em que se pretende transportar produtos indivisíveis. Assim, contrariamente ao que acontecia com o algoritmo do Simplex, o modelo de transportes apresentado contempla casos de programação inteira que, desta forma, não exigem algoritmos especiais de resolução. Os caminhos impossíveis ou interditos Se num dado problema de transportes há caminhos, desde uma certa origem i até um certo destino j, que não podem ser considerados, então devemos criar um custo unitário, c ij 0 = M, associado a esse caminho «ij», tão elevado quanto possível (por exemplo, M = ). Desta forma, estamos a «orientar» o algoritmo de resolução do problema para que, qualquer solução que inclua esse caminho, fique fortemente penalizada. Com efeito, qualquer unidade transportada da origem i para o destino j, viria aumentar os custos totais de transporte em M u.m., o que nos garante a exclusão desse caminho no conjunto de itinerários que uma solução óptima viesse a propôr. Se num problema de transportes, a função objectivo se traduzir em Min CTT = c 0 11 x 11 + Mx 12 + c x c 1n x 1n + c 0 21 x 21 + c 0 22 x 22 + c x c 2n x 2n podemos concluir que o caminho 1-2 não poderá ser utilizado para o transporte em causa. Os caminhos fictícios Ao contrário dos caminhos impossíveis, os caminhos fictícios de um problema de transportes apresentam um custo c ij 0 correspondente a 0 uma penalização nula nos custos totais de transporte por cada unidade transportada por esse caminho. Na realidade, as quantidades afectas a esse caminho 21

22 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL não chegam a ser transportadas, ficando em excesso nos centros de oferta reais, ou em falta nos centros de procura reais, conforme o caso. Daí que a solução óptima inclua, com certeza, as unidades afectas a esse caminho (sendo até as primeiras a serem consideradas), não vindo contudo a penalizar essa solução. Se num problema de transportes, a função objectivo se traduzir em 0 0 Min CTT = c 11 x11 + c 12 x x 13 + c 0 21 x 21 + c 0 22 x x 23 então existe um centro de procura (j = 3) fictício que absorverá a quantidade de produto oferecida em excesso. Se num problema de transportes, a função objectivo se traduzir em 0 0 Min CTT = c 11 x11 + c 12 x12 + c 0 21 x 21 + c 0 22 x x x 32 então existe um centro de oferta (i = 3) fictício que expedirá a quantidade procurada em excesso. O número de variáveis básicas de um problema de transportes Se num problema normal de programação linear, o número de variáveis básicas corresponde ao número de restrições, num problema de transportes existe menos uma variável positiva, em cada solução. Ou seja, o número de variáveis básicas em cada solução corresponde ao número de restrições de oferta mais o número de restrições de procura menos uma. Repare-se que, sendo o total de oferta igual ao total de procura e, portanto, as restrições sob a forma de igualdade, uma dessas restrições é redundante. Isto porque conhecendo, por exemplo, as quantidades de todos os centros de oferta e as de todos os centros de procura excepto um, este centro acaba por ter um valor conhecido. Em termos matemáticos, esta verdade traduz-se pela existência de uma restrição que é uma combinação linear de todas as outras (soma das restrições de tipo contrário a ela e subtracção das restrições do mesmo tipo que ela). 22

23 O PROBLEMA DE TRANSPORTES Em conclusão, podemos afirmar que em qualquer problema de programação linear, incluindo os problemas de transportes, o número de variáveis básicas corresponde exactamente ao número de restrições não redundantes do problema. Concretamente, no problema de transportes, temos: Número de variáveis básicas = m + n 1 As variáveis duais de um problema de transportes Tal como em qualquer problema de programação linear, num problema de transportes existe uma variável dual associada a cada restrição primal do problema. Assim, existem m variáveis duais u i associadas às restrições de oferta e n variáveis duais v j associadas às restrições de procura. Uma vez que se impõe que a oferta total iguale a procura total, já concluímos que uma das restrições primais é com certeza redundante. Consequentemente, a variável dual a ela associada será sempre igual a zero. Relembrando a interpretação das variáveis duais, a afirmação anterior faz todo o sentido. É que, quando uma restrição nada acrescenta, ou em nada contribui para limitar a situação apresentada, poder-se-á dizer que «o valor ou preço sombra» a ela associado será nulo. Em termos práticos, queremos dizer que «esse centro de oferta» ou «esse centro de procura» poderia oferecer mais uma unidade do que o seu limite máximo ou procurar menos uma unidade do que o seu limite mínimo, que em nada alteraria os custos totais da solução óptima. Ou seja, poderíamos «relaxar» alternativamente o limite desse centro de oferta ou desse centro de procura, que o custo de transporte associado não seria alterado na solução óptima. Na verdade, o impacto na função objectivo do aumento de uma unidade desse «centro de oferta» (restrição do tipo ) ou da diminuição de uma unidade desse «centro de procura» (restrição do tipo ) é nulo. Isto é verdade, porque estamos a falar de uma restrição (que pode ser qualquer uma delas) que traduz uma combinação linear das restantes restrições. Em conclusão, em qualquer problema de transportes, existe pelo menos uma variável dual nula associada a uma restrição redundante. 23

24 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Vejamos o seguinte problema de transportes: 0 0 Min CTT = c 11 x11 + c 12 x c 21 x21 + c 22 x22 s.a. x 11 + x 12 s 1 ( u 1 ) x 21 + x 22 s 2 ( u 2 ) x 11 + x 21 d 1 ( v 1 ) x 12 + x 22 d 2 ( v 2 ) Neste caso, desde que: s1 s2 d1 d2 temos a certeza que uma das variáveis duais u 1,u 2,v 1 ou v 2 é igual a zero. A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE TRANSPORTES 3.1. INTRODUÇÃO A resolução de problemas de transportes pode ser feita usando o algoritmo do Simplex. Se os valores da oferta e de procura são inteiros, o método do Simplex dá sempre uma solução inteira em cada iteração. Há no entanto um método mais Simplex de resolução do problema, relacionado com o algoritmo do Simplex e com a dualidade apresentados no Volume 1. Este método é conhecido por algoritmo dos transportes e processa-se em três fases sucessivas, em que as duas últimas se repetem até que se atinja a solução óptima: 24

25 MANUELA MAGALHÃES HILL licenciou-se em Matemática Aplicada pela Faculdade de Ciências de Lisboa, frequentou o curso de pós-graduação em Matemática Aplicada à Investigação Operacional da Fundação Calouste Gulbenkian e, em 1987, doutorou-se em Economia (Universidade de Keele, R. U.). Actualmente é Professora Catedrática no Departamento de Métodos Quantitativos do ISCTE onde coordena o mestrado em Prospecção e Análise de Dados e lecciona nas licenciaturas e mestrados em Gestão de Empresas e Economia. Tem coordenado e participado em vários projectos de investigação na especialização de métodos estatísticos e econométricos aplicados às Ciências Sociais. De 1972 a 1988 acumulou as funções docentes com as de técnica no Gabinete de Estudos e Planeamento do Ministério da Educação. MARIANA MARQUES DOS SANTOS BELMAR DA COSTA é licenciada em Gestão de Empresas pela Universidade Católica Portuguesa e detém um MBA pelo INSEAD (Fontainebleau), tendo também frequentado o mesmo programa em Kellogg Northwestern University, em Chicago. De 1989 a 2006, afecta ao Departamento de Métodos Quantitativos, foi docente universitária no ISCTE. A par das actividades académicas, desenvolveu uma carreira empresarial ligada a diversas áreas e funções. Começando por colaborar com uma instituição financeira internacional na área de gestão de carteiras de títulos, ingressou depois numa equipa de capital de risco, onde foi analista de projectos, noutra instituição financeira nacional. Foi também consultora em Madrid, numa empresa multinacional, estando associada a diversos projectos entre os quais o lançamento da sucursal portuguesa. Assumiu de seguida uma sucessão de pelouros internacionais, dentro de um grupo de empresas na área da construção e engenharia civil, nomeadamente em Moçambique e na Alemanha, gerindo projectos em diversas áreas como a alimentar ou a produção e distribuição de materiais de construção. Finalmente, iniciou um projecto empresarial próprio na área do comércio internacional de medicamentos, ao qual se dedica actualmente. ANA LÍBANO MONTEIRO é licenciada em Matemática Aplicada pela Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, com especialização no ramo da Estatística e Investigação Operacional, fez um estágio profissionalizante na Quimigal sob o tema da Gestão de Stocks, e possui um mestrado em Investigação Operacional, com tese na área do Lotsizing and Scheduling. Foi até 2007 docente universitária no ISCTE, leccionando as disciplinas de Matemática, Estatística e Investigação Operacional nas licenciaturas de Gestão de Empresas e Gestão e Engenharia Industrial. Actualmente dirige uma Instituição Particular de Solidariedade Social. Com aplicabilidade muito variada na vida real, os temas abordados neste livro dão ao leitor uma oportunidade para diversificar os seus conhecimentos de Investigação Operacional. À semelhança dos volumes anteriores, procura-se abordar os vários temas de uma forma simples e pratica, permitindo assim uma apreensão mais fácil dos mesmos. Para complementar a explicação teórica, além dos exemplos ilustrativos, são também apresentados e resolvidos vários exercícios que permitirão um estudo mais completo e eficaz. 223 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Vol. 1 Programação Linear Vol. 2 Exercícios de Programação Linear Vol. 3 Transportes, Afectação e Optimização em redes ISBN