O TRIÂNGULO ARITMÉTICO

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1 III CIEM (Congresso Internacional de Ensino de Matemática). Universidade Luterana do Brasil, Canoas, RS: a de outubro de. O TRIÂNGULO ARITMÉTICO Lorí Viali, Dr. Mercedes Matte da Silva, mestranda Educem (Mestrado em Educação Matemática e Ciências) PUCRS (Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Comunicação Científica Resumo. Tanto no ensino fundamental quanto no médio a Matemática é trabalhada, em geral, através de regras e modelos prontos, não exigindo que o aluno pense sobre o que está fazendo. O aluno faz exercícios de forma mecânica, treinando regras e modelos que julga irá precisar na prova. Ele não reflete sobre o que está fazendo, não questiona, não faz conexões entre os vários conteúdos e nem percebe que aquilo que está fazendo pode ser o conhecimento de dezenas de pessoas através de a- nos de elaboração. Este artigo apresenta algumas sugestões de utilização de objetos e conhecimentos pouco lembrados. Recorrendo a história da matemática e com auxílio de recursos computacionais é possível oferecer novas abordagens a assuntos tradicionais que são apresentados, geralmente, de forma mecânica e descontextualizada. O triângulo aritmético, conhecido como triângulo de Pascal pelos franceses ou de Tartaglia pelos italianos, tem quase mil anos, e com ele é possível ilustrar vários conteúdos da matemática atual. Entre outros assuntos tem-se: seqüências, probabilidade, combinatória, binômio de Newton, conjuntos, subconjuntos, funções e até mesmo fractais. Com seu auxílio é possível conhecer um pouco da história da matemática e verificar como alguns conceitos ou idéias se desenvolveram ao longo dos séculos. Em geral o aluno toma contato apenas com a versão mais recente, parecendo que estes conteúdos são atuais e que o professor é o responsável por eles. Palavras chaves. Triângulo aritmético, triângulo de Pascal, propriedades e aplicações do triângulo aritmético, ensino médio.. INTRODUÇÃO A história da Matemática mostra que alguns matemáticos têm seus nomes ligados a idéias, conceitos ou algoritmos. Aprendemos estes conceitos na escola e os méritos da descoberta são atribuídos a algum matemático ou cientista. Assim, por exemplo, existe o teorema de Pitágoras, a fórmula de Bhaskara, o triângulo de Pascal, etc. Contudo, nem sempre, estas idéias foram de uma única pessoa ou mesmo desta pessoa. Elas foram se estruturando e ganhando sua forma final no decorrer dos tempos. O triângulo aritmético, conhecido como de Pascal pelos franceses ou como de Tartaglia pelos italianos é um destes casos. Na realidade, ele já era conhecido na China, por volta de, e para os chineses ele é o triângulo de Yang Hui. Blaise Pascal ( ). Matemático e cientista francês. Nicolo Fontana ( 9). Matemático italiano mais conhecido como Tartaglia (o gago). Pitágoras de Samos (7 a.c. a.c.). Datas aproximadas. Matemático e filósofo grego. Bhaskara ( 8). Matemático indiano, também, conhecido como Bhaskara II ou Bhaskaracharya (Bhascara o professor) Yang Hui (8 98). Matemático chinês. As datas de nascimento e morte são aproximadas.

2 III CIEM (Congresso Internacional de Ensino de Matemática). Universidade Luterana do Brasil, Canoas, RS: a de outubro de. O conhecimento que se tem dele, hoje, foi fruto da contribuição de árabes, chineses e europeus ao longo de vários séculos. Ele pode ser utilizado, nas aulas do ensino médio, para ilustrar vários conceitos matemáticos. Conforme Viali () o triângulo aritmético passou a ser conhecido como triângulo de Pascal porque ele o utilizou na resolução do problema conhecido como dos pontos ou da divisão da aposta. O matemático francês teve conhecimento deste problema por intermédio de Gombaud, um escritor e jogador que se autodenominava cavalheiro de Mèré. Merè perguntou a Pascal em cujo talento matemático ele evidentemente depositava confiança suficiente para pensar converte-lo em reluzentes moedas, em proveito próprio se seria vantajoso apostar que em certo número de lances com dois dados se obteria o par de seis; e ainda, como se deveria dividir o dinheiro, se certo jogo de azar tivesse que ser interrompido antes do tempo. (KARLSON, 9, p. ) O que o cavalheiro de Mèré queria saber de Pascal era como solucionar, de fato, dois problemas. O primeiro conhecido como o problema dos dados, consiste em determinar o número mínimo de lançamentos de um par de dados equilibrados para que se tenha um par de seis com probabilidade superior a %. O jogador estava interessado em saber por que a solução por ele imaginada estava causando prejuízos. O segundo problema era um pouco mais complicado. Ele queria saber como dividir uma aposta se dois jogadores tivessem que interromper o jogo antes do seu final. Este problema é antigo e vários matemáticos anteriores a Pascal tentaram resolvê-lo sem sucesso. Blaise Pascal encontrou uma solução para o problema de Goubaud, mas não estava muito seguro do resultado e o comunicou a Fermat 7. A correspondência entre os dois deu início a um novo ramo da matemática conhecido como teoria da probabilidade. Os professores de Matemática, na tentativa de mudar a idéia de que sua disciplina é agradável a poucos e responsável, em parte, pelo insucesso de muitos alunos, estão buscando formas diferenciadas de trabalhar os conteúdos tradicionais. A Educação Matemática popularizada nas últimas duas décadas tem levantado a discussão de qual matemática o aluno deve aprender, e como é possível desenvolver o raciocínio matemático de forma significativa e contextualizada. Um recurso como à história da matemática faz o aluno perceber que os conteúdos que ele enfrenta dificuldades não brotaram da noite para o dia e da cabeça de uma única pessoa. Mas sim que foram elaborados por muitos ao longo de um período que pode envolver séculos. O uso de recursos computacionais como a planilha, que elimina boa parte daqueles cálculos que nada auxiliam no processo de aprendizagem, fornece a possibilidade de ilustrar rapidamente funções e conceitos que de outro modo seriam impraticáveis de serem trabalhados. O triângulo aritmético é um recurso que apresenta se bem explorado, várias possibilidades de aprendizagem em virtude de suas muitas propriedades. É possível trabalhar com diferentes padrões que aparecem em suas linhas, colunas ou diagonais. Com estes padrões é possível aprofundar e discutir conteúdos como: seqüências, números primos, número de subconjuntos, probabilidade, jogos como o qua- Antoine Gombaud (7 8). Militar, escritor, matemático amador e jogador francês. 7 Pierre de Fermat ( ). Funcionário público francês e matemático amador.

3 III CIEM (Congresso Internacional de Ensino de Matemática). Universidade Luterana do Brasil, Canoas, RS: a de outubro de. drado mágico, combinatória e fractais. Nas escolas o triângulo aritmético é pouco explorado, sendo lembrado, algumas vezes, associado ao binômio de Newton 8. O professor pode explorar o triângulo como introdução de um conteúdo ou como seu complemento. Desafiar os alunos a redescobrir suas propriedades numéricas e utilizá-lo em novas situações. Fazendo a conexão do passado com o presente é possível construir o triângulo aritmético com a ajuda da planilha e utilizar seus recursos para explorar, redescobrir ou verificar propriedades. Somando os termos das diagonais += += ++= ++= = SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS Figura : A seqüência de Fibonacci no triângulo aritmético As linha e colunas do triângulo aritmético são formadas de seqüências numéricas. Estas seqüências incluem a dos números naturais, a dos números figurados (triangulares, quadrados, pentagonais,...) e a seqüência de Fibonacci 9 entre outras. Em cada uma delas é possível observar o padrão que as forma e desenvolver a expressão do termo geral. Através das leis de formação destas seqüências pode-se explorar o conceito de função, analisar o domínio, a imagem e o gráfico de cada uma delas. A Figura ilustra a seqüência de Fibonacci contida no triângulo aritmético.. NÚMEROS PRIMOS Os números primos estão presentes no triângulo aritmético e algumas propriedades em relação a eles podem ser observadas, assim como, o padrão que é formado ao pintar os seus múltiplos, ou se o primeiro elemento de uma linha for um número primo, tirando o um (), todos os números desta linha serão divisíveis por e- le. A Figura mostra quatro figuras obtidas com o auxílio da planilha Excel ilustrando o padrão fornecido pelos números primos existentes no triângulo. 8 Isaac Newton ( 77). Cientista inglês, mais conhecido por suas contribuições à Física. 9 Leonardo de Pisa 9 (7 ). Matemático italiano conhecido, também, como Fibonacci (filho de Bonnacci)

4 III CIEM (Congresso Internacional de Ensino de Matemática). Universidade Luterana do Brasil, Canoas, RS: a de outubro de. Múltiplos de dois Múltiplos de três Múltiplos de cinco Múltiplos de sete Figura : Triângulo aritmético construído na Excel e apresentando o padrão de alguns primos. NÚMERO DE SUBCONJUNTOS Ao somar os números de cada linha, considerando a primeira como linha, o resultado apresenta o número total de subconjuntos de um conjunto, isto é, se A é um conjunto com n elementos, então n é o cardinal das partes de A. este n é, no triângulo, o número da linha. Somando os elementos da quinta linha, por exemplo, temos: = =. Assim um conjunto com cinco elementos a- presenta um total de subconjuntos. Cada linha do triângulo fornece o número de subconjuntos com determinado número de elementos. Assim na quinta linha cada termo da linha representa a quantidade de subconjuntos com nenhum elemento, com um elemento, com dois elementos, com três elementos, com quatro elementos e com cinco elementos. O triângulo aritmético tem a simetria como característica, então é possível observar no exemplo acima que o número de subconjuntos com zero elemento é igual ao número de subconjuntos com elementos, o número de subconjuntos com e-

5 III CIEM (Congresso Internacional de Ensino de Matemática). Universidade Luterana do Brasil, Canoas, RS: a de outubro de. lemento é igual ao com elementos e o número de subconjuntos com elementos é igual ao com elementos.. PROBABILIDADE Tartaglia e Pascal utilizavam o triângulo aritmético para o cálculo de probabilidades. É possível perceber que os coeficientes das expansões binomiais têm um significado combinatório, logo probabilístico. Por exemplo, ao jogarmos um par de moedas, onde c = cara e k = coroa, temse o espaço amostral {cc, ck, kc, kk}. A partir dele pode-se ver que existe um caso favorável em quatro possíveis de termos duas caras, dois casos favoráveis em quatro possíveis de termos uma cara e uma coroa, e um caso favorável em quatro possíveis de termos duas coroas. Esses valores aparecem na terceira linha do triângulo aritmético. A correspondência se mantém para outras quantidades de moedas. Se lançarmos uma moeda quatro vezes e observarmos o número de seqüências possíveis, teremos =. A quina linha do triângulo fornece o número de seqüências que apresentam: zero cara, uma cara, duas caras, três caras ou quatro caras. Assim o triângulo é um excelente recurso para ilustrar alguns espaços amostrais quando o assunto probabilidade for tratado.. QUADRADO MÁGICO O culto do quadrado mágico imperava no mundo antigo. Conta à lenda que ele foi visto pelo imperador Yu, por volta de a.c., decorando a carapaça de uma tartaruga divina vista nas margens do rio Amarelo Figura : Quadrado mágico Um quadrado mágico de ordem n é um arranjo quadrado de n² inteiros distintos dispostos de maneira tal que os números de uma linha qualquer, de uma coluna qualquer ou da diagonal principal têm todos a mesma soma, chamada de constante mágica do quadrado. O quadrado mágico se diz normal se os n² números que o formam são os n² primeiros números inteiros positivos. É possível mostrar que a constante de um quadrado mágico de ordem n normal é; n(n + )/. No triângulo é possível determinar a constante mágica de cada quadrado através de operações na quinta diagonal da esquerda para a direita. Esta diagonal apresenta os valores: 7,... Denominando a constante mágica de um quadrado de lado n de c n e cada termo da diagonal de a n, então a constante mágica pode ser determinada por: c n = a n a n-. A Tabela apresenta a variação da constante mágica e a operação feita na quinta diagonal para obtê-la.

6 7 n Constante mágica Operação na ª diagonal = = 7 = = 7 = Tabela : Constante mágica de um quadrado de lado n Tahan (98, p. 9) relata que as constantes,,,, 7,,... são chamadas de números planetários, devido ao médico Cornélio Agripa. Ele construía os quadrados mágicos de 9,,,, e 8 elementos, e cada quadrado mágico, de acordo com suas conclusões cabalísticas, simbolizava um planeta. 7. NÚMEROS BINOMIAIS Existem, como diria Stifel, se referindo ao triângulo aritmético, muitas coisas maravilhosas referentes a estes números. Uma delas seria como desenvolver a expressão (x + a) n sem efetuar as multiplicações. A multiplicação sucessiva de (x + a) por si mesmo sugere uma regra simples Figura : Números combinatórios no triângulo aritmético (x + a) = (x + a) = x + a (x + a) = (x + a).(x + a) = x² + ax +a² (x + a) = (x + a).(x + a).(x + a) = x³ + ax² + a x + a³ e assim por diante. Henrique Cornelio Agripa von Nettesheim (8-). Filósofo alemão. Era também médico, teólogo e ocultista entre outros. Michael Stifel (87 7). Pastor e matemático alemão. III CIEM (Congresso Internacional de Ensino de Matemática). Universidade Luterana do Brasil, Canoas, RS: a de outubro de.

7 III CIEM (Congresso Internacional de Ensino de Matemática). Universidade Luterana do Brasil, Canoas, RS: a de outubro de. Os coeficientes de cada termo são as séries de cada linha do Triângulo. Existe, portanto, uma regra que permite desenvolver (x + a) n, sem a necessidade de realizar as multiplicações. Os coeficientes de cada linha do triângulo aritmético pode ser representado a- través de uma combinação, ou seja, os números do triângulo aritmético são os números combinatórios. C p n n! n = =. p p!.(n p)! 8. FRACTAIS Ao pensar nas formas da natureza, como o contorno de uma folha, de um litoral, de uma montanha, de um fragmento de rocha, a geometria euclidiana se mostra deficiente. Nas palavras de Mandelbrot : nuvens não são esferas, montanhas não são cones, linhas costeiras não são círculos, cascas de árvores não são suaves nem o raio se propaga em linha reta. Para descrever as formas da natureza, Mandelbrot foi além das dimensões inteiras,,,,... utilizando dimensões fracionárias. Faltava um nome para as formas que Mandelbrot pesquisava. Um dia, ao folhear um dicionário de latim que seu filho terminara de trazer da escola, a palavra foi encontrada: o adjetivo fractus, do verbo frangere, quebrar, fraturar. Daí surgiu a palavra que viria, a partir dali, revolucionar a maneira como são estudadas várias propriedades de diversos campos científicos: fractal. Figura : Triângulo de Sierpinski Um dos fractais mais simples que se conhece é o triângulo de Sierpinski. Este fractal foi Introduzido em 99, para demonstrar, entre outras coisas, que era possível construir uma curva que se cruzava consigo mesma em todos os seus pontos. Para construir esta figura deve-se desenhar um triângulo eqüilátero e marcar os pontos médios dos seus lados. Ligar estes pontos e pintar o triângulo obtido, repetir isto indefinidamente sempre utilizando os triângulos não pintados. Barbosa () observa que: Esses fractais apresentam-se bastante motivadores, devido ao belo visual, integrando a matemática com a arte. Não poderíamos deixar de lembrar que trazem consigo possibilidades de explorações de conteúdos matemático usual ao nível do ensino médio. (p., ) Benoit B. Mandelbrot (9 - ). É físico e professor de matemática na Universidade de Yale. Waclaw Sierpinski (88 99). Matemático e físico polonês. 8

8 III CIEM (Congresso Internacional de Ensino de Matemática). Universidade Luterana do Brasil, Canoas, RS: a de outubro de. Figura - Fractais obtidos a partir do triângulo aritmético construído no Excel 9. O TRIÂNGULO E A PLANILHA Na planilha eletrônica, no caso a Excel, é possível construir o triângulo aritmético com um grande número de linhas e colunas, além de realizar operações para observar as suas propriedades. Basta utilizar a relação de Stifel, isto é, a soma de duas células adjacentes produz a célula imediatamente abaixo. Figura 7 - Triângulo aritmético construído no formato de um triângulo retângulo 9

9 III CIEM (Congresso Internacional de Ensino de Matemática). Universidade Luterana do Brasil, Canoas, RS: a de outubro de. Stifel foi um dos personagens mais singulares da história da matemática. Era um monge que acabou se tornando um reformador fanático, depois de convertido por Lutero. Em, escreve o texto Arithmetica Integra onde aparece o triângulo. Leva o seu nome uma das mais conhecidas relações dos números binomiais. A soma de dois elementos consecutivos de uma mesma linha fornece o elemento situado logo abaixo na próxima linha, ou seja: C + C = p p+ + C n n p n+. Figura 8 Triângulo aritmético obtido na planilha no formato de um quadrado Uma segunda opção é construir o triângulo através da utilização de todas as colunas e um número conveniente de linhas. Neste caso ele é construído com um formato de um quadrado. Figura 8 ilustra a situação. Este formato foi o utilizado para gerar os fractais que aparecem na Figura e na Figura.. LOTERIAS Um jogo popular recentemente retirado do mercado por problemas alheios à matemática foi o Toto Bola. Neste jogo o apostador compra um bilhete emitido por computador com números marcados sorteados dentre os números de a. O triângulo pode ser utilizado para mostrar o cálculo do número de cartões possíveis e para mostrar, por exemplo, que acertar os números (primeiro prêmio) é tão difícil quanto acertar números. Isto ocorre, pois os valores acertos e acertos são complementares, isto é, + = e escolher dentre equivale a descartar, ou vice-versa. Intuitivamente isto não é óbvio. Tanto é assim que vários outros jogos similares surgiram pegando carona no sucesso do Toto Bola. Existem ou existiram, pois alguns não tiveram êxito e logo desapareceram, jogos em que o apostador deve acertar números, 9 números (convenientemente denominado Mais Fácil) e ou números. Um desafio que pode ser passado aos alunos é determinar qual a Martinho Lutero (8 ). Monge alemão, fundador da igreja protestante.

10 III CIEM (Congresso Internacional de Ensino de Matemática). Universidade Luterana do Brasil, Canoas, RS: a de outubro de. combinação que fornece o maior número possível de cartões e então generalizar este resultado, tentando determinar uma regra para encontrar o valor máximo para um dado valor.. CONCLUSÃO Figura 9: Matriz quadrada de ordem cinco, utilizada por alguns jogos populares Alguns objetos matemáticos aliados à história do seu desenvolvimento podem servir para ilustrar vários conteúdos nas aulas de matemática no ensino médio. Eles contribuem para modificar a idéia de uma disciplina desagradável. A atração para a disciplina depende muito da forma como os conteúdos são trabalhados, o quanto e- les são significativos e em que contexto eles se desenvolvem. Através do triângulo aritmético é possível ilustrar vários conceitos matemáticos. A conexão destes conceitos com o seu desenvolvimento histórico e auxílio de novas tecnologias mostrará ao educando a quantidade de trabalho e de estudo existente no desenvolvimento e aperfeiçoamento dos mesmos. Servirá para que eles percebam que nada nasce pronto e acabado e que as idéias, conceitos e algoritmos matemáticos são frutos do esforço, às vezes, de várias gerações de pessoas dedicadas. São dadas algumas sugestões para se explorar certos conteúdos, fugindo assim daquele ensino padronizado que, geralmente, acompanha os livros didáticos. Partindo, então de um assunto, o triângulo aritmético, o professor pode diversificar a sua forma de trabalhar e desenvolver o pensamento matemático longe de regras e receitas aplicadas de forma mecânica e repetitiva.. REFERÊNCIAS: BARBOSA, Ruy M. Descobrindo a geometria fractal. Belo Horizonte: Autêntica,. EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Campinas: Editora da Unicamp,. KARLSON, Paul. A magia dos números. Porto Alegre: Editora Globo, 9. TAHAN, Malba. As maravilhas da matemática. Rio de Janeiro: Bloch editores, 98. VIALI, Lorí. Algumas considerações sobre a origem da teoria da probabilidade (texto não publicado),. Disponível em