Exemplo 7.1 A seguinte tabela relaciona o calor específico (c) daágua e a temperatura (T )em

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1 Capítulo 7 71 Introdução Freqüentemente, deparamo-nos com um conjunto discreto de valores de uma função que podem ser dados na forma de tabela ou de um conjunto de medidas Estes valores, na verdade, representam um conjunto de pontos pertencentes a uma função contínua Exemplo 71 A seguinte tabela relaciona o calor específico (c) daágua e a temperatura (T )em 0 C: T c 0, , , , , , ,99878 Suponha que se queira calcular o calor específico da água a 32 0 C ou a temperatura para a qual o calor específico é 0, A interpolação ajuda a resolver este tipo de problema, já quea informação desejada não se encontra disponível na tabela Seja, então, uma tabela da forma correspondente aos valores de uma função f em n +1 pontos x x 0 x 1 x 2 x n f(x) f(x 0 ) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x n ) Tabela 71: Valores de f em pontos distintos reais distintos x 0,x 1,,x n Seja x um ponto distinto dos pontos x i da tabela, pertencente ao intervalo que contém os pontos x i,istoé, x x i,parai =0, 1,,n; considera ainda que existem k e j, 0 k j n tais que x k <x <x j Então, podemos dizer que interpolar opontox à tabela 71 significa calcular o valor de f(x ), ou seja, incluir o ponto (x,f(x )) àtabela71 A necessidade de se efetuar esta substituição surge em várias situações, como por exemplo: quando são conhecidos os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado (como no exemplo 71); quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como diferenciação e integração são difíceis de serem realizadas Exemplo 72 Considere o problema de determinar o seno de 6, 5 graus Assuma a disponibilidade de uma tabela de senos na qual os valores são dados em intervalos de 1 grau Para determinar o valor desejado, tem-se três escolhas: 128

2 1 Usar série de Taylor para calcular o seno com uma certa exatidão pré-definida; 2 Tentar encontrar uma tabela que liste o valor do seno em intervalos menores e procurar o valor exato; 3 Usar os senos de 6 e 7 dados na tabela disponível para tentar determinar o seno de 6, 5, ou seja, realizar uma interpolação A função interpoladora pode ser de diversos tipos: polinomial, exponencial, entre outras Veremos, a seguir, como estabelecer o polinômio interpolador de um conjunto de pontos 72 polinomial Dadosospontos(x 0,f(x 0 )), (x 1,f(x 1 )),,(x n,f(x n )), portanto n+1 pontos, deseja-se interpolar f(x) por um polinômio p n (x), de grau menor ou igual a n, talque f(x k )=p n (x k ) para k =0, 1,,n Representa-se p n (x) porp n (x) =a 0 + a 1 x++ a n x n Portanto, obter p n (x) significa obter os coeficientes a 0,a 1,,a n Da condição f(x k )=p n (x k )parak =0, 1,,n, monta-se o seguinte sistema linear: a 0 + a 1 x 0 + a 2 x a nx n 0 = f(x 0 ) a 0 + a 1 x 1 + a 2 x a nx n 1 = f(x 1 ) (71) a 0 + a 1 x n + a 2 x 2 n + + a n x n n = f(x n ) com n +1equações e n +1variáveis: a 0,a 1,,a n A matriz dos coeficientes éumamatriz de Vandermonde, 1 x 0 x 2 0 x n 0 1 x 1 x 2 1 x n 1 1 x n x 2 n x n n a qual admite inversa desde que os pontos x 0,x 1,,x n sejam distintos Exemplo 73 Encontre o polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpola os pontos da tabela: (72) x f(x) Solução: Tem-se que p 2 (x) =a 0 + a 1 x + a 2 x 2 e portanto, p 2 (x 0 )=f(x 0 ) a 0 a 1 + a 2 =4 p 2 (x 1 )=f(x 1 ) a 0 =1 p 2 (x 2 )=f(x 2 ) a 0 +2a 1 +4a 2 = 1 Resolvendo o sistema linear, obtém-se a 0 =1, a 1 = 7 3, a 2 = 2 3 Assim, p 2 (x) =1 7 3 x x2 éopolinômio que interpola f(x) em x 0 = 1, x 1 =0e x 2 =2 AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 129

3 Uma característica importante da interpolação polinomial é que o polinômio interpolador é único: Teorema 721 Unicidade do polinômio interpolador: Se x 0,x 1,,x n são números reais, distintos, então para números arbitrários y 0,y 1,,y n,existeumpolinômio único p n,degrau máximo n, talquep n (x i )=y i, 0 i n Prova: Unicidade: suponha dois polinômios p n e q n ; então o polinômio p n q n tem a propriedade (p n q n )(x i )=0para 0 i n Como o grau de p n q n énomáximo n, essepolinômio pode ter no máximo n raízes se ele não éopolinômio nulo Como, por hipótese, os x i são distintos, p n q n tem n +1 zeros logo ele deve ser nulo, de onde p n q n Existência: (por indução) Para n =0, obviamente existe uma função constante p 0 (de grau 0) que pode ser escolhida tal que p 0 (x 0 )=y 0 Suponha, agora, que tenhamos obtido um polinômio p k 1 de grau menor ou igual a k 1, tal que p k 1 (x i )=y i, 0 i k 1 A partir desse, queremos construir um p k na forma p k (x) =p k 1 (x)+c(x x 0 )(x x 1 ) (x x k 1 ) oqualéumpolinômio de grau k Além disso, p k interpola os pontos que p k 1 interpola, pois p k (x i )=p k 1 (x i )=y i,para0 i k 1 Para determinarmos o coeficiente c, fazemos p k (x k )=y k,deonde y k = p k 1 (x)+c(x x 0 )(x x 1 ) (x x k 1 ) a qual apresenta solução única pois os termos multiplicadores de c não são nulos Cabe salientar que, por questões de estabilidade numérica, não é adequado resolver-se o sistema (71), uma vez que a inversa da matriz de Vandermonde poderá ser altamente mal-condicionada, dependendo dos valores de x i e f(x i ) O exemplo a seguir mostra alguns dos problemas envolvidos na determinação do polinômio interpolador utilizando o sistema (71) Exemplo 74 Obtenha p 3 (x) que interpola f(x) nos pontos x 0, x 1, x 2 e x 3 de acordo com a tabela abaixo: x 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 f(x) O sistema linear resultante para esta tabela é a 0 +0, 1 a 1 +0, 01 a 2 +0, 001 a 3 = 5 a 0 +0, 2 a 1 +0, 04 a 2 +0, 008 a 3 = 13 a 0 +0, 3 a 1 +0, 09 a 2 +0, 027 a 3 = 4 a 0 +0, 4 a 1 +0, 16 a 2 +0, 064 a 3 = 8 Usando aritmética de ponto flutuante com três dígitos e o método de eliminação de Gauss, o resultado é p 3 (x) = 0, (0, ) x (0, ) x 2 +(0, ) x 3 e, para x =0, 4, obtém-se p 3 (x) = 9 8 =f(0, 4) oqueobviamenteestá errado Esse exemplo mostra que nem sempre se pode utilizar o sistema (71) para determinar o polinômio interpolador e, usualmente, utilizam-se outras técnicas, como as formas de Newton ede Lagrange, dentreoutras AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 130

4 73 Forma de Newton Note que o processo de determinação de p k,naprovadoteorema721,é recursivo Além disso, p k é obtido a partir de p k 1 pela adição de um único termo; logo, ao fim do processo, p k será uma soma de termos, de tal forma que cada p 0,p 1,,p k 1 será identificável em p k O polinômio p k tem a forma p k (x) = c 0 + c 1(x x 0)+c 2(x x 0)(x x 1)++ c k (x x 0) (x x k 1 )= i 1 k = (x x j) (73) c i i=0 j=0 ( m ) onde j=0 (x x j) = 1 quando m<0 Procedendo ao uso da fórmula (73), os primeiros polinômios interpoladores na forma de Newton são os seguintes: p 0 (x) = c 0 p 1 (x) = c 0 + c 1 (x x 0 ) p 2 (x) = c 0 + c 1 (x x 0 )+c 2 (x x 0 )(x x 1 ) Por questões de eficiência e de estabilidade numérica, os polinômios acima são avaliados utilizando multiplicação aninhada, também conhecida como fórmula de Horner Suponha o polinômio interpolador na forma de Newton escrito como u = k i=0 d j = c 0 + c 1 d 0 + c 2 d 0 d c k d 0 d 1 d k 1 ; c i i 1 j=0 podemos, então, reescrevê-lo na forma aninhada u =((((c k )d k 1 + c k 1 ) d k 2 + c k 2 ) d k c 1 ) d 0 + c 0 a qual pode ser calculada partindo do parênteses mais interno: u k c k u k 1 u k d k 1 + c k 1 u k 2 u k 1 d k 2 + c k 2 u 0 u 1 d 0 + c 0 e, como u 0 contém o valor de u, basta usar o seguinte algoritmo, já substituindo d k por (x x k ), conforme aparece na Equação (73): u c k for i = k 1,k 2,,0do u (x x i )u + c i endfor de forma a se calcular u p k (x) Resta-nos, agora, calcular os coeficientes c k do polinômio p n ; c k é dado por c k = y k p k 1 (x k ) (x k x 0 )(x k x 1 ) (x k x k 1 ) (74) com a qual podemos escrever o algoritmo 731: AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 131

5 Algoritmo 731 Polinômio interpolador de Newton proc polinômio interpolador de Newton(input: n, [x 0,x 1,,x n 1 ], [y 0,y 1,,y n 1 ]; output: [c 0,c 1,,c n ]) c 0 y 0 for k =1, 2,,n do d x k x k 1 u c k 1 for i = k 2,k 3,,0 do u (x k x i )u + c i d d(x k x i ) endfor c k y k u d endfor endproc Vejamos como utilizar as equações e algoritmos visto nessa seção: Exemplo 75 Dados os pontos tabulados abaixo, obtenha o polinômio interpolador na forma de Newton: i x y Solução: c 0 y 0 =1 c 1 y 1 u = 23 1 =2 d 12 c 2 y 2 u = =3 d 11 c 3 y 3 u = =4 d 210 de onde o polinômio interpolador pode ser escrito como p 3 (x) =1+2(x 5) + 3(x 5)(x +7)+4(x 5)(x +7)(x +6) Éfácil verificar, por inspeção, que o polinômio p 3 (x) satisfaz p 3 (5) = 1; para os demais pontos tabulados, basta avaliar p 3 (x) em cada um deles O polinômio interpolador, bem como os pontos interpolados, é mostrado na figura Forma de Lagrange Podemos obter o polinômio único que interpola um dado conjunto de pontos utilizando a forma de Lagrange, a qual expressa p(x) como p(x) =y 0 l 0 (x)+y 1 l 1 (x)++ y n l n (x) = onde l i (x) são polinômios dependentes apenas de x 0,x 1,,x n (e não de y i ) O polinômio l 0 édaforma l 0 (x) =c(x x 1 )(x x 2 ) (x x n )=c n y k l k (x) (75) k=0 n (x x j ) j=1 AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 132

6 Figura 71: A curva do polinômio interpolador de Newton, p 3 (x) =1+2(x 5) + 3(x 5)(x + 7) + 4(x 5)(x +7)(x + 6), e os pontos interpolados onde o coeficiente c é obtido substituindo x por x 0 na equação acima, de onde, assumindo que y 0 =1, n n 1=c (x 0 x j ) c = (x 0 x j ) 1 logo, j=1 l 0 (x) = n j=1 j=1 j=1 ( ) (x xj ) ; (x 0 x j ) os demais l i (x) são obtidos de forma similar, podendo ser expressos por n ( ) (x xj ) l i (x) = (76) (x i x j ) Os polinômios l i (x) são também conhecidos como funções cardinais O exemplo que segue mostra como obter o polinômio interpolador na forma de Lagrange Exemplo 76 Afórmula de Lagrange para a interpolação de dois pontos distintos (x 0,f(x 0 )) e (x 1,f(x 1 )) é: p 1 (x) =y 0 l 0 (x)+y 1 l 1 (x) onde l 0 (x) = (x x 1) (x 0 x 1 ), l 1(x) = (x x 0) (x 1 x 0 ) Assim, (x x 1 ) p 1 (x) =y 0 (x 0 x 1 ) + y (x x 0 ) 1 (x 1 x 0 ) ou seja, p 1 (x) = (x 1 x)y 0 +(x x 0 )y 1 x 1 x 0 que é exatamente a equação da reta que passa por (x 0,f(x 0 )) e (x 1,f(x 1 )) AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 133

7 Exemplo 77 Dados os pontos tabulados, obtenha o polinômio interpolador na forma de Lagrange: i x y Solução: l 0 (x) = l 1 (x) = l 2 (x) = l 3 (x) = (x +7)(x +6)(x) (5 + 7)(5 + 6)(5) (x 5)(x +6)(x) ( 7 5)( 7+6)( 7) (x 5)(x +7)(x) ( 6 5)( 6+7)( 6) (x 5)(x +7)(x +6) (0 5)(0+ 7)(0+ 6) de onde o polinômio interpolador pode ser escrito como ( ) p 3 (x) = 1 (x+7)(x+6)(x) ( ) 54 (x 5)(x+7)(x) ( ) (x 5)(x+6)(x) ( 84 (x 5)(x+7)(x+6) 210 Note como esse polinômio tem uma forma bastante diferente da do polinômio interpolador de Newton; no entanto, ele igualmente satisfaz à condição de interpolação, o que pode ser verificado avaliando-se p 3 (x) em cada ponto Particularmente, p 3 (5) = =1 75 Forma de Newton com diferenças divididas Seja f uma função calculável em pontos (ou nós) x 0,x 1,,x n,distintosmasnão necessariamente ordenados Como sabemos, existe um único polinômio p, degraun no máximo, que interpola f nos n +1nós: p(x i )=f(x i ), 0 i n Evidentemente, p pode ser construído a partir das bases 1, x, x 2,, x n,masissonão é recomendado devido a problemas de instabilidade numérica Portanto, utilizam-se bases mais amenas, como aquelas do polinômio interpolador na forma de Newton: q 0 (x) = q 1 (x) = (x x 0 ) q 2 (x) = (x x 0 )(x x 1 ) q n (x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ) ) o que leva à já conhecida forma de Newton, p(x) = n c j q j (x) j=0 Utilizando a condição de interpolação (p(x i )=f(x i )), obtemos um sistema de equações para a determinação dos coeficientes c j : n c j q j (x i )=f(x i ), j=0 0 i n AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 134

8 Note que, se escrevermos o sistema acima na forma Ax = b, amatriza, deordemn+1, tem como elementos a ij = q j (x i ), 0 i n, 0 j n No entanto, como j 1 q j (x i )= (x i x k )=0, se i j 1 k=0 então A é uma matriz triangular inferior Por exemplo, com três nós x 0,x 1,x 2,temos p 2 (x) = c 0 q 0 + c 1 q 1 + c 2 q 2 = c 0 + c 1 (x x 0 )+c 2 (x x 0 )(x x 1 ) e, para determinarmos os c i, fazemos p 2 (x 0 )=f(x 0 ), p 2 (x 1 )=f(x 1 )ep 2 (x 2 )=f(x 2 ), de onde obtemos o sistema (x 1 x 0 ) 0 c 0 c 1 = f(x 0) f(x 1 ) (77) 1 (x 2 x 0 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) c 2 f(x 2 ) Analisando a estrutura do sistema (77), vemos que épossível obter os coeficientes c i em ordem crescente, ie c 0, c 1, ;além disso, o coeficiente c i depende apenas dos valores de f(x 0 ), f(x i ),, f(x i ), e essa dependência é denotada por c n = f[x 0,x 1,,x n ] (78) onde c n é o coeficiente de q n quando n k=0 c kq k interpola f em x 0,x 1,,x n Como q n =(x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 )=x n + O(n 1) podemos igualmente dizer que f[x 0,x 1,,x n ]é o coeficiente de x n À expressão f[x 0,x 1,,x n ] chamamos de diferenças divididas, pois ela tem a forma de uma divisão de duas subtrações, conforme veremos a seguir Algumas das fórmulas de diferenças divididas são as seguintes: 1 f[x 0 ]é o coeficiente de x 0 no polinômio de grau 0que interpola f em x 0 ; logo, f[x 0 ]=f(x 0 ) 2 f[x 0,x 1 ]é o coeficiente de x 1 no polinômio de grau 1, no máximo, interpolando f em x 0 e x 1 Como esse polinômio é p x = f(x 0 )+ f(x 1) f(x 0 ) (x x 0 ) x 1 x 0 vemos que f[x 0,x 1 ]= f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 3 Para diferenças divididas de maior ordem, podemos nos valer de um teorema que nos diz que elas satisfazem a relação f[x 0,x 1,,x n ]= f[x 1,x 2,,x n ] f[x 0,x 1,,x n 1 ] (79) x n x 0 de onde podemos obter, por exemplo: f[x 0,x 1 ] = f[x 1] f[x 0 ] x 1 x 0 f[x 0,x 1,x 2 ] = f[x 1,x 2 ] f[x 0,x 1 ] x 2 x 0 f[x 0,x 1,x 2,x 3 ] = f[x 1,x 2,x 3 ] f[x 0,x 1,x 2 ] x 3 x 0 AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 135

9 O polinômio interpolador na forma de Newton pode, agora, ser escrito como p(x) = n c k q k (x) = k=0 n k=0 k 1 f[x 0,x 1,,x k ] (x x j ) (710) oqualéequivalenteàequação (73), mas os coeficientes c k são mais facilmente obtidos em termos de diferenças divididas, usando o esquema mostrado na Tabela 72 Note que os coeficientes do polinômio, conforme a Equação (710), aparecem na primeira linha da tabela x y Coeficientes x 0 f[x 0 ] f[x 0,x 1 ] f[x 0,x 1,x 2 ] f[x 0,x 1,x 2,x 3 ] x 1 f[x 1 ] f[x 1,x 2 ] f[x 1,x 2,x 3 ] x 2 f[x 2 ] f[x 2,x 3 ] x 3 f[x 3 ] Tabela 72: Esquema de construção dos coeficientes do polinômio interpolador por diferenças divididas: as flechas indicam as dependências O exemplo que segue ilustra a construção do polinômio interpoladorusando diferenças divididas Exemplo 78 Dados os pontos tabulados abaixo, obtenha o polinômio interpolador na forma de Newton: i x y Solução: x y Coeficientes 5 1 f[x 0,x 1 ]=2 f[x 0,x 1,x 2 ]=3 f[x 0,x 1,x 2,x 3 ]= f[x 1,x 2 ]= 31 f[x 1,x 2,x 3 ]= f[x 2,x 3 ]= onde os coeficientes foram obtidos como segue: j=0 f[x 0,x 1 ] = f[x 1] f[x 0 ] = 23 1 x 1 x =2 f[x 1,x 2 ] = f[x 2] f[x 1 ] 54 ( 23) = x 2 x 1 6 ( 7) f[x 2,x 3 ] = f[x 3] f[x 2 ] x 3 x 2 = 954 ( 54) 0 ( 6) = 31 = 150 f[x 0,x 1,x 2 ] = f[x 1,x 2 ] f[x 0,x 1 ] x 2 x 0 = =3 f[x 1,x 2,x 3 ] = f[x 2,x 3 ] f[x 1,x 2 ] x 3 x 1 = 150 ( 31) 0 ( 7) = 17 f[x 0,x 1,x 2,x 3 ] = f[x 1,x 2,x 3 ] f[x 0,x 1,x 2 ] = 17 3 =4 x 3 x Opolinômio interpolador pode ser escrito, então, como p 3 (x) = f[x 0 ]+f[x 0,x 1 ](x x 0 )+ f[x 0,x 1,x 2 ](x x 0 )(x x 1 )+ f[x 0,x 1,x 2,x 3 ](x x 0 )(x x 1 )(x x 2 )= = 1+2(x 5) + 3(x 5)(x +7)+4(x 5)(x +7)(x +6) AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 136

10 o qual é idêntico ao polinômio interpolador de Newton mostrado no exemplo na seção 73; porém, com o esquema de diferenças divididas, ele é facilmente obtido Os coeficientes do polinômio interpolador, calculados por diferenças divididas, podem ser obtidos, também, através do seguinte algoritmo: Algoritmo 751 Diferenças-divididas proc diferenças divididas(input: n, [x 0,x 1,,x n 1 ], [y 0,y 1,,y n 1 ]; output: [c 0,c 1,,c n ]) for j =0, 1,,n do c j,0 = y j endfor for j =1, 2,,n do for i =0, 1,,j 1 do c i,j ci+1,j 1 ci,j 1 x i+j x i endfor endfor endproc onde os c i,j são os coeficientes desejados; particularmente, c 0,0 = f[x 0 ], c 0,1 = f[x 0,x 1 ], c 1,1 = f[x 1,x 2 ], e assim por diante 76 Forma de Newton com diferenças simples Sejam os valores y = f(x) dados através da tabela (x i,y i ), para i =0, 1,,n, onde os valores de x são eqüidistantes, isto é, x i+1 x i = h Assim define-se o polinômio p n (x) = y 0 + x x 0 h y 0 + (x x 0)(x x 1 ) 2! h 2 2 y (x x 0)(x x 1 ) (x x n 1 ) n! h n n y 0 (711) onde k y i éumadiferença simples de ordem k, calculada conforme y i = y i+1 y i Ordem 1 2 y i = y i+1 y i = y i+2 2 y i+1 + y i Ordem 2 k y i = k 1 y i+1 k 1 y i Ordem k e, a fim de facilitar a determinação dos valores k y i, pode-se construir uma tabela como a que segue: i x i y i y i 2 y i 3 y i 4 y i 0 x 0 y 0 y 0 2 y 0 3 y 0 4 y 0 1 x 1 y 1 y 1 2 y 1 3 y 1 2 x 2 y 2 y 2 2 y 2 3 x 3 y 3 y 3 4 x 4 y 4 AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 137

11 aqualébastante similar àquela utilizada para a determinação do polinômio interpolador de Newton através de diferença-divididas Épossível estabelecer-se a seguinte relação entre diferenças divididas e simples: f[x i+k,,x i ]= k y i k! h k (712) para h constante Efetuando-se a mudança de variável z = x x 0, (713) h o polinômio interpolador de Newton com diferenças simples (711) pode ser escrito como z (z 1) p n (z) = y 0 + z y 0 + 2! h 2 2 y 0 + z (z 1) (z n +1) + n! h n n y 0 (714) Exemplo 79 Dada a tabela x i y i correspondente aos valores de uma função f, interpoleopontox =2, 5 Solução: Como os pontos são eqüidistantes, pode-se construir a tabela i x i y i y i 2 y i 3 y i Com isto, a fórmula para o polinômio interpolador de Newton com diferenças simples (711) é ou, p 3 (x) = y 0 + x x 0 h y 0 + (x x 0)(x x 1 ) 2! h 2 2 y 0 + (x x 0)(x x 1 )(x x 2 ) 3! h 3 3 y 0 p 3 (x) = 1+ x 1 1 de onde p 3 (2, 5) = 15, inversa (x 1)(x 2) 2! 1 8+ (x 1)(x 2)(x 3) 3! 1 O problema da interpolação inversa consiste em, dado ȳ (f(x 0 ),f(x n )), obter x tal que f( x) =ȳ Este problema pode ser resolvido de duas formas: 1 Obter p n (x) queinterpolaf(x) emx 0,x 1,,x n e em seguida encontrar x tal que p n ( x) =ȳ; 2 Se f(x) forinversível num intervalo contendo ȳ, fazer a interpolação de x = f 1 (ȳ) =g(ȳ) Uma condição para que uma função contínua num intervalo [a, b] seja inversível é que ela seja monótona crescente ou decrescente neste intervalo Basta então considerar x como função de y e aplicar um método de interpolação conhecido: x = f 1 (y) =g(y) p n (y) Exemplo 710 Dada a tabela 6 AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 138

12 x 0, 2 0, 3 0, 4 y = e x 1, , , 4918 obter x tal que e x =1, 3165 usando um processo de interpolação quadrática Solução:Pode-se usar a fórmula de Newton para obter p 2 (y) que interpola g(y) =f 1 (y) Para isto, constrói-se a tabela de diferenças divididas: Opolinômio p 2 (y) é determinado por i y i g[y i ] g[y i+1,y i ] g[y i+2,y i+1,y i ] 0 1, , 2 0, , , , 3 0, , , 4 p 2 (y) = g[y 0 ]+(y y 0 ) g[y 1,y 0 ]+(y y 0 )(y y 1 ) g[y 2,y 1,y 0 ] = 0, 2+(y 1, 2214) 0, (y 1, 2214)(y 1, 3499) ( 0, 2718) de forma que p 2 (1, 3165) = 0, Assim, e 0,27487 =1, por splines Suponha que se deseja interpolar um conjunto de pontos por uma função polinomial; então, uma função spline consiste de um conjunto de polinômios de grau pequeno que atuam sobre alguns dos pontos daquele conjunto Formalmente, suponha que n+1 pontos t 0,t 1,,t n, chamados de nós, tenham sido especificados, satisfazendo t 0 <t 1 < < t n,além de um número inteiro k 0Umafunção spline de grau k, comnós t 0,t 1,,t n,é uma função S tal que 1 Em cada subintervalo [t i 1,t i ), S é um polinômio de grau menor ou igual a k; 2 S temassuasprimeirask 1 derivadas contínuas em [t 0,t n ] Diz-se, portanto, que S é um polinômio contínuo de grau k, por partes, apresentando derivadas de ordem igual ou inferior a k 1 contínuas Vejamos alguns exemplos: Spline de grau 0: são polinômios constantes, os quais podem ser dados por S 0 (x) =c 0 t 0 x<t 1 S 1 (x) =c 1 t 1 x<t 2 S(x) = S n 1 (x) =c n 1 t n 1 x<t n Spline de grau 1: são retas que unem os nós, as quais podem ser dadas por S 0 (x) =a 0 x + b 0 t 0 x<t 1 S 1 (x) =a 1 x + b 1 t 1 x<t 2 S(x) = S n 1 (x) =a n 1 x + b n 1 t n 1 x<t n As splines são normalmente usadas na forma cúbica Assuma que uma tabela de dados seja dada, ie, x t 0 t 1 t n 1 t n y y 0 y 1 y n 1 y n AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 139

13 Em cada intervalo [t i,t i+1 ], S é dada por um polinômio cúbico diferente Seja S i o polinômio cúbico que representa S no intervalo [t i,t i+1 ]; então, como S = S 0 (x) t 0 x t 1 e S = S 1 (x) t 1 x t 2, temos necessariamente, em x = t 1,queS 0 (t 1 )=y 1 = S 1 (t 1 ) Generalizando, exigimos que S i 1 (t i )=y i = S i (t i ), 1 i n 1 Além disso, exigimos que S e S sejam contínuas, a fim de podermos impor as condições necessárias para que S seja contínua ao longo do intervalo [t 0,t n ] Vejamos se a continuidade de S, S e S é suficiente para se definir a spline cúbica Um polinômio cúbico tem a forma a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 e, como desejamos obter um polinômio cúbico em cada um dos n intervalos, vemos que será necessário determinar 4n coeficientes Em cada intervalo [t i,t i+1 ], temos duas condições de interpolação S(t i ) = y i (715) S(t i+1 ) = y i+1 (716) ou seja, poderemos determinar 2n coeficientes A continuidade de S apenas nos dá a condição S i 1 (t i )=S i (t i ), equivalente às duas condições de interpolação em cada intervalo Impondo continuidade de S edes, podemos escrever S i 1 (t i) = S i (t i) (717) S i 1(t i ) = S i (t i ) (718) obtendo 2(n 1) outras condições Ao todo, temos, portanto, 4n 2 condições; as duas que faltam podem ser obtidas de várias formas mas, usualmente, escreve-se S 0 (t 0) = 0(719) S n 1(t n ) = 0 (720) e, com isso, temos todas as 4n condições necessárias para se determinar os coeficientes da spline cúbica Vejamos como definir S i em [t i,t i+1 ] Escrevendo z i = S i (t i), temos que, por definição, z i existe para 0 i n 1 e satisfaz lim x t i S i (x) =z i = lim x t + i S i (x), 1 i n 1 pois S écontínua em cada nó interno (diferentes de t 0 e t n ) Como S i é um polinômio cúbico em [t i,t i+1 ], S i é uma função linear satisfazendo S i (t i)=z i e S i (t i+1) =z i+1 e, portanto, éuma reta que passa por z i e z i+1 : S i (x) = z i (t i+1 x)+ z i+1 (x t i ) (721) h i h i onde h i = t i+1 t i Integrando a equação acima duas vezes, obtemos S i (x) = z i (t i+1 x) 3 + z i+1 (x t i ) 3 + C(x t i )+D(t i+1 x) (722) 6h i 6h i onde C e D são constantes de integração Agora, usando S i (t i )=y i e S i (t i+1 )=y i+1,podemos determinar C e D: S i (t i ) = y i z i (t i+1 t i ) 3 + z i+1 (t i t i ) 3 + C(t i t i )+D(t i+1 t i ) 6h i 6h i = y i z i 6 (t i+1 t i ) 2 + Dh i = y i AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 140

14 com h i = t i+1 t i, de onde Para determinar C, escrevemos D = y i z ih i h i 6 (723) de onde S i (t i+1 ) = y i+1 z i (t i+1 t i+1 ) 3 + z i+1 (t i+1 t i ) 3 + C(t i+1 t i )+D(t i+1 t i+1 ) 6h i 6h i = y i+1 z i+1 6 h2 i + Ch i = y i+1 C = y i+1 h i z i+1h i 6 Logo, podemos escrever S i opolinômio cúbico em cada intervalo [t i,t i+1 ] como ( ) yi+1 (x t i )+ S i (x) = z i (t i+1 x) 3 + z i+1 (x t i ) 3 + 6h i 6h i ( yi z ) ih i (t i+1 x) h i 6 h i z i+1h i 6 (724) Agora, resta determinar os z i,1 i n 1, usando a continuidade em S Para tanto, temos S i 1 (t i)=s i (t i), nos nós interiores Diferenciando a expressão (725) e substituindo x = t i,temos e S i 1(t i )= z ih i z i 1h i 1 6 y i 1 h i 1 + y i h i S i (t i)= z ih i 3 z i+1h i y i + y i+1 6 h i h i de onde, igualando ambas as expressões acima, vem h i 1 z i 1 +2(h i + h i 1 )z i + h i z i+1 = 6 h i (y i+1 y i ) 6 h i 1 (y i y i 1 ) aqual,comz 0 = z n =0,para1 i n 1, nos leva a um sistema de equações de n 1equações a n 1variáveis, u 1 h 1 h 1 u 2 h 2 z = v (725) h n 3 u n 2 h n 2 h n 2 u n 1 onde: h i = t i+1 t i u i = 2(h i + h i 1 ) b i = 6 h i (y i+1 y i ) v i = b i b i 1 O sistema (725) pode ser resolvido por eliminação de Gauss, sem pivotamento, já que ele é diagonal dominante Um algoritmo para resolver o referido sistema pode ser escrito como AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 141

15 Algoritmo 781 Coeficientes da spline proc coeficientes spline(input: n, [t 0,t 1,,t n ], [y 0,y 1,,y n ]; output: [z 0,z 1,,z n ]) for i =0, 1,,n 1 do h i = t i+1 t i b i = 6 h i (y i+1 y i ) endfor u 1 =2(h 0 + h 1 ) v 1 = b 1 b 0 for i =2, 3,,n 1 do u i = 2(hi+hi 1) h2 i 1 u i 1 v i = bi bi 1 hi 1vi 1 u i 1 endfor z n =0 for i = n 1,n 2,,1 do z i = vi hizi+1 u i endfor z 0 =0 endproc Uma vez obtidos os z i, pode-se avaliar S i (x) usando a expressão abaixo, na forma aninhada: S i (x) =y i +(x t i )(C i +(x t i )(B i (x t i )A i )) (726) onde 1 A i = (z i+1 z i ) 6h i B i = z i 2 C i = h i 6 z i+1 h i 3 z i + y i+1 y i h i Cabe relembrar que, para cada intervalo [t i,t i+1 ], deve ser utilizada a Equação (726) com os valores adequados: z i e z i+1 ; y i e y i+1 ;eh i = t i+1 t i 79 Estudo do erro na interpolação Seja f uma função contínua com (n + 1) derivadas contínuasemumintervaloi, x 0 <x 1 << x n,(n + 1) pontos distintos pertencentes ao intervalo I e p n (x) o polinômio interpolador de f relativamente aos pontos x 0,x 1,,x n Ao se aproximar esta função f(x) por um polinômio interpolador p n (x), de grau menor ou igual a n, comete-se um erro de truncamento na interpolação de x Este é definido por E n (x) =f(x) p n (x) =(x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) (x x n ) f (n+1) (ξ) (n +1)! (727) para ξ (x 0,x n ) Para utilizar esta fórmula, é preciso conhecer f (n+1) eopontoξ Mas, em geral, a forma analítica da função f não é conhecida, não sendo possível portanto determinar nem f (n+1) e, conseqüentemente, nem E n (x) Ainda assim, mesmo quando se conhece a forma analítica de f, AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 142

16 não se sabe o valor de ξ e, portanto, não se pode calcular E n (x) exatamente Entretanto, pode-se delimitar o erro pela desigualdade: E n (x) (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) (x x n ) max x I f (n+1) (x) (728) (n +1)! Exemplo 711 Seja o problema de se obter ln(3, 7) por interpolação linear, onde ln(x) está tabelada abaixo: x ln(x) 0 0, , , 3863 Solução:Como x =3, 7 (3; 4) escolhe-se x 0 =3e x 1 =4 Pela forma de Newton, o polinômio interpolador é p 1 (x) = y 0 + x x 0 h y 0 = 1, (x 3) = 1, (x 3) (0, 2877) (1, , 0986) 4 3 Conseqüentemente, p 1 (3, 7) = 1, 3000 Neste caso, dado que, com quatro casas decimais, f(3, 7) = ln(3, 7) = 1, 3083, tem-se condições de calcular o erro exato: E 1 (3, 7) = f(3, 7) p n (3, 7) = 1, , 3 =0, 0083 Por outro lado, tem-se também a seguinte majoração para o erro: 791 Estimativa para o erro f (x) E 1 (3, 7) (3, 7 3) (3, 7 4) max x [3;4] 2! (3, 7 3) (3, 7 4) 1 2 0, 105 Se a função f(x) é dada em forma de tabela, o valor absoluto do erro E n (x) só pode ser estimado, já que não épossível calcular f (n+1) Entretanto, construindo a tabela de diferenças divididas até ordem (n + 1), tem-se que E n (x) (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) f[x n+1,x n,,x 0 ] (729) ou, para pontos igualmente espaçados, E n (x) (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) n+1 y 0 (n +1)!h n+1, (730) já que para h constante f[x n+1,x n,,x 0 ]= n+1 y 0 (n +1)!h n+1 (731) Exemplo 712 Seja f(x) dada na forma x 0, 4 0, 52 0, 6 0, 72 f(x) 0, 27 0, 29 0, 32 0, 37 AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 143

17 obter f(0, 47) utilizando um polinômio de grau 2 e dar uma estimativa para o erro Solução: A tabela de diferenças é dada por i x i f[x i ] f[x i+1,x i ] f[x i+2,x i+1,x i ] f[x i+3,x i+2,x i+1,x i ] 0 0, 4 0, 27 0, , , , 52 0, 29 0, 375 0, , 6 0, 32 0, , 72 0, 37 Assim, usando a fórmula de Newton, p 2 (x) = f[x 0 ]+(x x 0 ) f[x 1,x 0 ]+(x x 0 )(x x 1 ) f[x 2,x 1,x 0 ] = 0, 27 + (x 0, 4) 0, (x 0, 4)(x 0, 52) 1, 0415 de onde f(0, 47) = p 2 (0, 47) = 0, 2780 A estimativa para o erro de truncamento é ou seja, E 2 (x) (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) f[x 3,x 2,x 1,x 0 ] (x 0, 4) (x 0, 52) (x 0, 6) 2, 6031 E 2 (0, 47) 1, Exercícios Exercício 71 Determine f(1, 32) apartirdatabela x 1, 3 1, 4 1, 5 f(x) 3, 669 4, 055 4, 482 Exercício 72 Considere o exemplo 74 O que ocorreu naquela situação? Explique por que o valor calculado não coincide com o valor tabelado Exercício 73 A integral elíptica completa é definida por π 2 dx K(k) = 0 (1 k 2 sen 2 k) 1 2 Consultando uma tabela de valores destas integrais, tem-se que K(1) = 1, 5708 K(3) = 1, 5719 K(5) = 1, 5738 Calcule K(3, 5) usando um polinômio interpolador do segundo grau Exercício 74 Interpole o ponto x =0 5 àtabela 0 x f(x) utilizando o polinômio interpolador na forma de Newton Exercício 75 Calcule uma aproximação para f(2, 3) pela forma interpoladora de Lagrange AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 144

18 x 2, 0 2, 4 2, 6 2, 8 f(x) 0, , , , Exercício 76 A tabela abaixo fornece a demanda diária máxima de energia elétrica em uma cidade Encontre a data do pico máximo e o valor deste pico x (data) 5 outubro 15 outubro 25 outubro 4 novembro y (demanda) Exercício 77 A função definida pela tabela x 1, 9 2, 0 2, 1 2, 2 2, 3 f(x) 1, 941 1, 000 0, 061 1, 248 2, 567 tem uma raiz no intervalo (2; 2, 1) Calcule esta raiz, aproximando a função por um polinômio de terceiro grau Exercício 78 Dada a tabela abaixo, calcular f(0, 32) e estimar o erro de truncamento do valor calculado x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 f(x) 0, , , , 5831 Exercício 79 Dada a seguinte tabela para a função f(x) =e x, x 1 1, 1 1, 2 e x 2, 718 3, 004 3, 320 calcule f(1, 05) e delimite o erro para o valor interpolado, utilizando aritmética de ponto flutuante com quatro algarismos significativos AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 145