1 Formulação Matemática. 2 Conceito de Representação

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1 1 Formulação Matemática No Capítulo anterior, introduzimos alguns conceitos básicos da Mecânica Quântica através de exemplos simples. Neste Capítulo, vamos organizar os conceitos introduzidos do ponto de vista da estrutura matemática para ter uma visão mais geral sobre a Mecânica Quântica. 2 Conceito de Representação Para descrever um fenômeno da Natureza quantitativamente, o primeiro procedimento necessário é representar os conceitos básicos do fenômeno por quantidades matematicamente bem definidas. Por exemplo, vamos considerar a rotação de um pião no formalismo da Mecânica Clássica. Neste caso, o estado do pião em cada instante pode ser expresso em termos de orientação espacial dos eixos fixos nele. Assim, o estado de um pião é representado por 3 números, por exemplo, os ângulos de Euler, os quais descrevem a orientaçao dos eixos em relação a um sistema fixo no espaço. Estes números servem como coodenadas para descrever o estado de um pião. Uma vez assim especificadas as coordenadas do sistema, podemos representar quantitativamente outros diversos conceitos, tais como a própria rotação. Por exemplo, a rotação de um pião é representada em termos de uma matriz 3x3, que transforma as coordenadas anteriores à rotação para as posteriores à rotação, r = A r Podemos então considerar a matriz A como a representação da rotação que permite tratar o ato de rodar em termos de quantidade definida matematicamente. Note que desta maneira, o efeito de duas rotações sucessivas é naturalmente representado pelo produto das duas matrizes correspondentes. Em geral, na Mecânica Clássica, a dinâmica de um sistema é descrita pelo conjunto de variáveis dinâmicas {p, q}, onde p é o momento (generalizado e q coordenada (generalizada 1. Um estado do sistema num instante t é especificado pelos valores destas variáveis neste instante. Assim, a dinâmica do sistema é completamente especificada se sabemos como p e q variam em função do tempo t. Em outras palavras, o estado de um sistema clássica é representado por um par de variáveis, {q, p}. Uma vez especificado o estado do sistema num instante, a dinâmica posterior é determinada pela equação de movimento, que usualmente é dada pela equação diferencial de p e q em relação ao tempo t. Por exemplo, se tratamos a dinâmica de uma partícula, q representa a coordenada espacial r e p representa o momento p. Para um conjunto de, digamos, n partículas podemos generalizar esta idéia, simplesmente associando q com o conjunto de coordenadas q = { r i, i = 1,.., n} e p com o momento, p = { p i, i = 1,.., n}. Na Mecânica Clássica, assumimos que o conjunto destas variáveis fornece a informação completa sobre o sistema. 1 Aqui, as variáveis q e p podem ser conjuntos de números, q = {q i }, p = {p i }. Ver a discussão a frente. 1

2 Dependendo do sistema em questão, as coordenadas não são necessariamente um conjunto finito de números. No caso de um sistema contínuo, é claro que temos que introduzir um conjunto contínuo de variáveis dinâmicas. Por exemplo, no caso da hidrodinâmica, podemos especificar o estado do sistema em termos de distribuição de densidade ρ( r da matéria e do campo de velocidades v( r. Neste caso, o vetor da coordenada espacial r pode ser considerado como um índice (contínuo para distinguir as variáveis. Este é um exemplo do caso em que o estado do sistema é representado em termos de uma função. O estado de um campo eletromagnético num instante t também é representado por função vetorial, E ( r. Existe um outro exemplo em que o estado do sistema é representado por uma função. Quando a informação completa sobre o sistema não é necessária, ou talvez não possa ser obtida, é conveniente usar a representação do sistema em termos de função de distribuição, f(q, p, no espaço de fase da seguinte forma: Consideramos um conjunto (infinito dos sistemas em questão, todos preparados sob a mesma condição inicial dentro da precisão permitida ou necessária. Neste caso, estamos falando de um ensemble estatístico do sistema. Vamos tratar qualquer informação física do sistema estatísticamente, ou seja, sempre falamos sobre as médias das grandezas físicas associadas ao sistema. Note que nesta abordagem, não podemos fazer previsões deterministicas para um único processo de observação, exceto casos peculiares. A previsão só faz sentido quando calculamos os valores médios das muitas medidas sobre os membros deste ensemble. A função de distribuição f(q, p especifica a densidade de probabilidade para a qual o sistema em questão se encontra no estado {q, p} (portanto f deve ser sempre não negativa. Quando tentamos observar uma quantidade do sistema, por exemplo O = O(q, p, um único processo de medição poderia fornecer um valor qualquer desta quantidade devido a incerteza inerente da condição inicial. Mas, se repetimos a medição (ou seja se medimos sobre outros membros do ensemble, o valor médio de O deve convergir ao valor dado por Q = dpdq f(q, pq(q, p (1 Dentro deste contexto, a informação máxima disponível sobre o estado do sistema está contida na função f. Ou seja, o estado do sistema é representada por f(q, p. Emfatizamos aqui o fato de que toda informação é representada no sentido estatístico, e o estado representado por f refere-se ao estado do ensemble. O conceito de estado quântico é bem similar ao exemplo acima. O estado quântico de um sistema é definido sobre um ensemble quântico, o conjunto (hipotético de sistemas que são preparados sob a mesma condição. Assim, podemos também representar o estado deste ensemble pela uma função f(q, p 2. Só que há diferenças fundamentais. Veremos posteriormente que a função f quântica não necessariamente positiva definida. Isto é necessário para incorporar 2 É possível construir um análogo da função de distribuição no espaço de fase f(q, p a partir da função de onda, ψ (q, conhecida como a função de Wigner. A função de Wigner é Nota: f(q, p estado ensemble do 2

3 os fenômenos de interferência quântica. Além disto está função deve incorporar também a relação de incerteza entre duas variáveis canonicamente conjugadas. Na Mecânica Clássica, em princípio, não considerando as dificuldades experimentais que ocorre na prática, as informações sobre um sistema poderiam ser completamente deterministicas em relação a q e p, se. Ou seja, dependendo da preparação do sistema, a função de distribuição poderia ser teoricamente a função δ de Dirac, f(q, p = δ(q q 0 δ(p p 0 (2 Neste caso, a descrição em termos de função de distribuição f é equivalente a descrição em termos de trajetória de partículas. Como vimos antes, na Mecânica Quântica 3 isto não ocorre. A informação mais precisa possível sobre p e q simultaneamente é no máximo dada por um pacote, f α (q, p exp{ α(q q α (p p 0 2 } (3 onde α é um parâmetro. Aqui, podemos ver claramente que se queremos ter a informação precisa em relação a variável q, a informação sobre a variável p fica necessariamente imprecisa e vice-versa. Assim, a Mecânica Quântica só descreve a dinâmica do sistema referente a seu ensemble quântico. As previsões da Mecânica Quântica são sempre probabilistica; elas nunca descrevem deterministicamente o resultado de um único processo de medida, exceto alguns situações particulares 4. O ponto fundamental é que esta natureza probabilistica não é por causa de falta da informação, mas é a propriedade intrinseca da dinâmica que governa o mundo microscópico. Nos fenômenos clássicos, a descrição do estado do sistema através de função distribuição f é questão de uma opção pela conveniencia, mas no processo microscópico, não é mais possível utilizar a descrição deterministica de trajetótia de partículas. Emfatizando o fato acima, vamos formular matematicamente o conceito de estado quântico. 3 Descrição de Estados Quânticos Para formular numa linguagem mais objetiva para representar o estado quântico, vamos resumir as idéias sobre o mundo microscópico vistas no Capítulo anterior: 1. Uma série de medição de uma quantidade sobre um ensemble estatística de um sistema podem flutuar em valores, fornecendo uma distribuição, mesmo que os sistemas estejam preparados de forma idêntica. dada por f W (q, p = 1 ( du e iup/ ψ q 1 2π 2 u ψ (q + 12 u Esta função tem propriedades similares a de f (q, p, mas não é positiva definida. 3 A expressão, na Mecânica seria melhor expressa por nos fenômenos para quais a Mecânica Quântica deve ser aplicada. 4 Por exemplo, a medição for feita sobre uma quantidade quando o sistema já esteja no autoestado desta quantidade. 3

4 2. Esta flutuação é intrinseca do processo quântico. Assim, o conceito de estado do sistema refere sempre ao ensemble do sistema (ensemble quântico. Ao mesmo tempo, um observável não sera caracterizada por apenas um número, mas sim pelo conjunto de todos os números possíveis a ser observados em potencial. 3. O estado de um sistema é representado pela amplitude de probabilidade de um observável do sistema. 4. Para amplitudes, vale a Princípio de Superposição. Ou seja, se ψ 1 e ψ 2 são amplitudes correspondentes, a combinação linear destas amplitudes corresponde para um estado. 5. As duas amplitudes para observáveis canonicamente conjugadas não são independentes. Elas são relacionadas em termos de transformação de Fourier (debroglie. 6. Podemos associar a uma grandeza física o operador que atua na função de onda. O valor esperado desta grandeza para o estado quântico ψ é dado como O = (ψ, Oψ. 7. Os valores encontrados no processo de medição da grandeza O são os autovalores deste operador. Como as grandezas físicas mediveis são números reais, os autovalores do operador correspondente a grandeza física têm que ser reais. Isto impor uma restrição na classe de operadores (ver a discussão adiante. Os itens acima são as bases conceituais para formular o conceito de um estado quântico. Vamos postular o conceito a seguir. Definição Chama-se de conjunto completo de observáveis o conjunto de todas as obseváveis indenpendentes cuja medição não interfere entre si. Por exemplo, se o sistema em questão é uma partícula sem spin, o conjunto completo de observáveis é {x, y, z}. Entretanto, há outra maneira de escolher este conjunto. Podemos escolher o cojunto completo de observáveis como {p x, p y, p z }. Também pode ser {E, L } 2, L z. Naturalmente o número mínimo dos elementos deste conjunto é independente da escolha, ou seja, quantidade intrinseca do sistema. Postulado 1 O conjunto de todos os estados quânticos de um sistema forma um espaço vetorial separável e completo (espaço de Hilbert, ver a seção a seguir. Denotamos os elementos deste espaço por ψ onde o símbolo ψ é o rôtulo que especifica o estado. Assim, podemos estabelecer correspondência entre o conjunto de estados quânticos e os vetores de um espaço vetorial. A correspondência é de forma tal que dois vetores linearmente dependentes representam o mesmo estado. Isto é, o vetor ψ e o outro vetor α ψ representam o mesmo estado. 4

5 Neste espaço, está definido o produto escalar de dois vetores, digamos ψ e φ, que denotamos por φ ψ. Quanod ψ ψ = 1, o vetor ψ é dito normalizado. Postulado 2 As grandezas físicas (que chamaremos de oberserváveis correspondem a operadores hermitianos 5 deste espaço. Os autovalores de um destes operadores são os valores que se encontram nos processos de medição da observável correspondente. Postulado 3 Existem um conjunto de observáveis os quais autovetores formam uma base do espaço de Hilbert dos estados quânticos. Estes observáveis são chamados observáveis completos. Postulado 4 Seja o conjunto { α i } autoestados normalizados de um observável A, com que expressamos qualquer vetor ψ (normalizado pela combinação linear em { α i }, ψ = c i α i, (4 onde c i = α i ψ. Na medição da observável A, a probabilidade de obter um autovalor α 0 é dada por c 0 2 = α i ψ 2. O postulado no.1 é a consequência direta do Princípio de Superposição. A natureza matemática do espaço de Hilbert é necessária para que a normalização da probablidade e definição de observáveis. Os postulados 2 e 3 representam a idéia de que todas as informações contidas num estado de sistema devem ser expressas em termos do processo de medidas físicas das observáveis. A condição da hermiticidade dos operadores é, além de ter ortogonalidade entre autovetores, para garantir que os valores observados de uma quantidade física é números reais. No exemplo anterior da experiência de duas fendas, os autovalores da observável X são os valores das coordenadas x que encontram-se em cada medida de posição. Os autoestados do X são os estados das partículas localizados na posição x. Os processos de medição de X determinam completamente a informação sobre o estado do sistema. O postulado 4 define a interpretação de um estado quântico em termos da amplitude de probabilidade. Utilizando estes postulados, podemos ver que o valor médio dos valores obtidos numa série de medidas de uma observável, digamos O, é dado por O = ψ O ψ. (5 onde o estado deste ensemble quântico do sistema é representado por ψ com ψ ψ = 1. 5 Ver a sessão complementar sobre algebra linear. 5

6 Prova: Pelo que foi postulado, quando um processo de medida de um observável O for realizada, encontrariamos um autovalor o i da observável O e o sistema que foi medida torna no autoestado do O deste autovalor, o i. A amplitude de probabilidade para este acontece é dada por c i = o i ψ e a probabilidade é P i = c i 2. Repetindo o processo da medida para o ensemble inicial cujo estado é descrito por ψ, o valor médio da obervável é obviamente O = i o i P i = i o i o i ψ 2 = i ψ o i o i o i ψ = ψ O ψ. onde na penúltima linha acima utilizamos a expressão de operador na base de seus autovetores, i.e., O = i o i o i o i. (6 Exercício: Mostre a Eq.(6. A forma do operador acima é chamada a representação diagonal. Enfatizamos que as medições se referem aqui devem ser feitas sobre o ensemble do sistema, mas não sobre o mesmo sistema que acabou de ser medida. No exemplo da experiência de duas fendas, são as medidas sobre às partículas do feixe e não sobre a partícula já detectada no anteparo C. Por outro lado, se fizermos as medidas sucessivas sobre a partícula que já encontrado numa posição x, esperamos naturalmente que as medições sucessivas vão apenas conferir o valor já obtido, se a dinâmica posterior não altera a localização da partícula. Em outras palavras, no processso da medição do observável O sobre o sistema cujo estado já é o autoestado deste observável com autovalor o i, o valor que a ser encontrado será semple o i, sem nenhuma flutuação. Vamos definir um operador O 2 (O O 2 (7 que representa a dispersão dos valores da medição do O. Para um estado ψ qualquer, o valor esperado deste operador é O 2 = ψ O 2 ψ 6

7 = i (o i O 2 c i 2 que é a disperção média quadrada da distribuição, P i. Se ψ é um dos autovetores do O, o i0, a disperção média quadrada fica obviamente, O 2 = 0 pois c i = 0 para as todas i, exceto c io = 1. Isto é, uma medição da observável O com certeza resultará no valor o io. Podemos provar também o inverso, ou seja, o estado para que o valor esperado de operador de disperção, Eq.(7, fica nulo necessáriamente é um dos autoestado do operador. Exercício: Prove que implica em ou equivalentemente ψ O 2 ψ = 0, O ψ = 0, O ψ = O ψ. (Dica: Use a propriedade do produto escalar e de fato de que o operador O é um operador hermitiano. Exercício: Mostre que o postulado 4 é equivalente a dizer que a probabilidade P (ψ α de encontrar um estado α no estado qualquer ψ é dada por P (ψ α = α ψ 2, onde ambos os vetores, α e ψ são normalizados. 7

8 4 Seção Complimentar: 4.1 Espaço Vetorial, Espaço de Hilbert Um conjunto V ={ x, y,...} é dito um espaço vetorial se satisfaz às seguintes propriedades: 1. Está definida a adição entre dois elementos do conjunto, i.e., x, y V, z = x + y V Esta regra de adição satisfaz às seguintes condições 6, Comutatividade, x + y = y + x Associatividade, Existe o elemento nulo 7, ou seja ( x + y + z = x + ( y + z 0 V tal que x V x + 0 = x Existe o inverso, x V tal que x V x + x = 0 Por razão óbvia, denotamos x por x. 2. Está definida a multiplicação entre um número (elemento de um corpo, C 8 e um elemento de V tal que 6 O conjunto V com esta operação de adição forma um grupo abeliano. 7 Para o elemento nulo, utilizamos a notação 0 em vez de 0 >. 8 Aqui, tomamos o corpo como o conjunto de números complexos. 8

9 α C, x V y = α x V Esta multiplicação satisfaz às seguintes propriedades: Distributividade; α( x + y = α x + α y Associatividade; (αβ x = α(β x Definição Os n vetores x i de V são ditos linearmente dependentes quando existem os números α i s não nulos que satisfazem à relação, α i x i = 0 i Definição O número máximo de vetores linearmente independentes de um espaço vetorial é chamado a dimensão do espaço. A dimensão de um espaço pode ser infinita. Um conjunto de vetores é dito uma base, se qualquer vetor do espaço é escrito em termos de uma combinação linear dos elementos deste conjunto. 4.2 Produto Escalar, Espaço Dual Num espaço vetorial, é possível definir um produto escalar. Um produto escalar é uma associação de um par ordenado de vetores ( x, y, x, y V, ao elemento do Corpo C (número complexo, satisfazendo às seguintes regras: ( x, y = ( y, x, ( x, y + z = ( x, y + ( x, z, ( x, α y = α( x, y, ( x, x 0, sendo a igualdade válida somente para x = 0. 9

10 Na notação do Dirac, o produto escalar é expresso como x y ( x, y. Quando o produto escalar entre dois vetores é nulo, dizemos que os vetores são ortogonais. Numa linguagem coloquial, muitas vezes dizermos tomar o produto escalar dos vetores x e y. O ato de tomar o produto escalar de um dado x com y qualquer do espaço V, ou seja sem ser especificado, é considerado um funcional 9 linear no espaço V. Podemos representar este funcional simbolicamente por x. É fácil de verificar que o conjunto de todos estes funcionais, { x, x V}, forma um espaço vetorial. Chamamos este espaço de o espaço dual do V e denotamos por V. O elemento de V, x, é o vetor dual do vetor x V e denotamos esta relação por x x. A definição de produto escalar permite a introdução de noções de norma de um vetor e distância entre dois vetores. A norma de um vetor x é dado por ( x x 1/2 e denotada por x. A distância d( x, y entre x e y é definida por d( x, y x y Partindo do conceito de distância, podemos introduzir as noções de topologia do espaço, tais como a completeza, fechamento, etc. Estes conceitos são importante para analisar as propriedades de várias quantidades utilizadas, em particular, a convergência dos limites, integrais, etc. Entretanto, aqui não discutiremos estes aspectos matemáticos; lembramos apenas que o espaço que utilizamos para estados quânticos é o espaço de Hilbert que é uma extensão natural do espaço Euclidiano. Um espaço de Hilbert é um espaço vetorial que satisfaz às seguintes propriedades: 1. Ele é completo, i.e., o critério de convergência de Cauchy para série de vetores é válido. Ou seja, uma série de vetores { x 1, x 2,... } converge ao vetor x se exite N(ɛ tal que x m x n ɛ para ɛ 0, desde que m, n N. 2. Ele é separável. Ou seja, para qualquer elemento de V, sempre existe uma série { x 1, x 2,... } que converge a ele. Esta última propriedade é equivalente a dizer que existem bases de elementos numeráveis. Estas duas propriedades são importantes para evitar as quantidades mal definidas matematicamente. Entretanto, nas aplicações em física, necessitamos frequentemente de estados que não são representados por elementos de um espaço de Hilbert. Nestas situações, precisamos alguns cuidados especiais para garantir os bons comportamentos de quantidades definidas (por exemplo, o estado de onda plana. 9 Funcional=Mapeamento de V em C. 10

11 4.3 Operadores Um operador é uma mapeamento de um vetor em outro vetor, x x = O x. Aqui consideramos somente os operadores lineares, satisfazendo à distributividade O( x + y = O x + O y. Um exemplo de operador é x y, definido por ( x y ψ x ( y ψ = y ψ x, ψ V O operador identidade é o operador que mapeia qualquer vetor nele mesmo. Denotamos o operador identidade por 1, sem criar confusão. Exercício: (Relação de Completeza Demonstrar que x i x i = 1 (8 se { x i } é uma base ortonormal, i.e., x i x j = δ ij. i A relação de completeza, Eq.(8 é útil para representar vetores em termos da base. Seja ψ um vetor arbitrário. Então, ( ψ = x i x i ψ i = i x i x i ψ = i c i x i (9 onde c i = x i ψ. O produto de dois operadores é naturalmente definido por (O 1 O 2 x O 1 (O 2 x, x V Desta forma, é claro que em geral o produto dos operadores não é comutativo, O 1 O 2 O 2 O 1. A quantidade φ O ψ ( φ, O ψ é dita o elemento de matriz de um operador O entre φ e ψ. Podemos introduzir a conjugação hermitiana de um operador, definida através da relação, (O φ, ψ ( φ, O ψ, φ, ψ V 11

12 O operador O é dita também o operador adjunto de O. chamado hermitiano (ou autoadjunto se Um operador O é O = O Para operadores hermitianos, existem seguintes propriedades importantes. Os autovalores de um operador hermitiano são reais. Os autovetores de um operador hermitiano de autovalores distintos são ortogonais. Exercício: Mostre que ( O = O. Exercício: Prove que os autovalores de um operador hermitiano são reais. Exercício: Prove que os autovetores de um operador hermitiano de autovalores distintos são ortogonais. 4.4 Especro Contínuo, Função δ, Distribuições Até aqui, tratamos o caso em que todos os índices que distinguem vetores são discretos. Entretanto, precisamos frequentemente os casos de autovalores contínuos. Por exemplo, o autoestado de posição x tem o índice contínuo x. Isto é, ˆX x = x x, onde ˆX é o operador correspondente a coordenada x e x representa o autovalor. Neste caso, é natural substituir a expressão correspondente a Eq.([?] pela ψ = dx x x ψ onde introduzimos ψ(x por dx x ψ(x (10 ψ(x = x ψ, (11 que é chamado a função de onda. Da primeira linha da Eq.([?], vemos que estamos introduzindo a base no lugar de { x, x R} { i, i N}. A correspondência entre duas bases é dada por x 1 dx i 12

13 pois, ψ = i = i i i ψ dx ( ( 1 1 i i ψ dx dx dx x x ψ. A relação acima implica que a relação de completeza da base { x }é expressa por dx x x = 1. Por outro lado, a ortonormalidade fica escrita por pois isto é, de tal forma que i j = δ ij x x = δ(x x (12 x x 1 dx δ x,x, x x = 0, x x, = 1 dx, x = x, dx x x = 1. A função δ de Dirac na Eq.(?? é uma distribuição, e não é uma função normal no sentido de atribui um valor númerico para dado valor de argumento. Matemáticamente uma distribuição é uma funcional linear definida no espaço de funções bem comportadas ( funçoes que pertencem a C com suporte finito como formulado pelo L.Schwarz. Naturalmente todas as funções normais são distribuições. Denotando pelo simbolo a operação de funcional linear numa função bem comportada φ(x, o caso de δ de Dirac fica Na física, é usual espressar esta operação como dxδ(xφ(x = φ(0 δ φ = φ(0 (13 13

14 permitindo a imagem intuitiva de função δ como uma função normal que tem um pico agudo em x = 0 cuja área é normalizada por 1. Entretanto, há várias limites que convergem a δ. Em geral, o valor de uma distribuição num ponto, digamos x = x 0 não teria sentido. Entretanto, é possível dizer que uma distribuição f é nula numa visinhança D do ponto x = x 0, ou seja, para todas as funções bem comportadas que somente não nula dentro desta visinhança D, f φ = 0. 5 Regra de Comutação Canônica Na Mecânica Quântica, as variáveis físicas são postuladas como sendo operadores. Sendo operador, o papel que um observável é transformar um estado físico do sistema em outro estado. Mas em que forma um observável transforma um estado de sistema? Na Macânica Clássica, o papel que o momento canonicamente conjugado a variavél q é dada como a gerador de transformação canônica de deslocamento. Na Macânica Quântica, definimos o operador de momento de tal forma que a situação é a mesma no caso da Macânica Clássica. A régra de comutação canônica é justamente introduzido para satisfazer este requisito. Vejamos este conteúdo em seguida. 5.1 Operador de momento, Onda Plana Segundo debroglie, uma partícula com momento p é associada a uma onda plana com número de onda k = p/. Em outras palavras, a função de onda de uma partícula com momento p é uma onda plana, ψ p (x e ipx/ Por outro lado, o estado de momento bem definido é o autoestado de momento com autovalor p, p. Portanto, x p e ipx/ (14 A pergunta é, o que é a forma do operador de momento nesta base? Para responder esta questão, começamos a definição de autoestado de momento, P p = p p onde P é o operador de momento. Tomando o produto escalar desta equação com o autoestado de posição, x, e substituindo a relação de completeza em x, temos dx x P x e ipx / = p e ipx/. 14

15 Mas Assim, temos p e ipx/ = i d dx eipx/ dx x P x e ipx / = i d dx eipx/. Esta expressão deve valer para qualquer p. Podemos utilizar este fato para calcular o efeito de operador P sobre uma função geral ψ (x. dx x P x ψ (x = dx x P x 1 dp ψ (p e ipx / 2π = 1 dp ψ (p dx x P x e ipx / 2π = 1 dp ψ (p d 2π i dx eipx/ = d 1 dp i dx ψ (p e ipx/ 2π = d i dx ψ (x Nas equações acima, utilizamos a transformada de Fourier de ψ (x, ψ (p, ψ (x = 1 dp ψ (p e ipx/. 2π Mostramos assim que dx x P x ψ (x = i d dx ψ (x, para uma função arbitrária ψ. Podemos concluir, então, x P x = i d dx δ(x x. (15 O operador de momento na Eq.(15 é espresso na forma de elemento de matriz na base de x. Para obter a expressão do operador em si, vamos utlizar a completeza da base de x: dx x x = 1. Temos P = = dx dx dx x i dx x x P x x d dx δ(x x x 15

16 Consequentemente, P = dx x d x (16 i dx Esta é a representação de P na base em que x é diagonal. Usando a definição de derivada, P = i lim x + ɛ x dx x (17 ɛ 0 ɛ Assim, podemos concluir que x + ɛ = (1 i ɛp x (18 Exercício: Demostra a passagem da Eq.(17 para a Eq.(18. Ou seja, o operador (1 + i ɛp desloca infinitesimalmente o autovetor x em x + ɛ. Para o deslocamento finito, podemos repetir o deslocamento infinitesimal, x + a = lim ɛ 0 (1 i ɛp a/ɛ x = e iap/ x (19 Aqui, o operador e iap/ é unitário. Note que este operador unitário transforma todos autoestados de posição x em x = x + a. Isto equivale a mudança do sistema de coordenadas espacial, transladando-o por a homogeneamente na direção x, pois ψ (x = x ψ = x + a ψ = ψ(x + a. O operador e iap/ representa o efeito no espaço de Hilbert, causado pela tal transformação de coordenadas x. O operador de momento P é chamado o gerador de transformação. Mais especificamente, o momento é o gerador de translação de coordenada. Este pode ser visto também da seguinte forma usando Eq.(16 x e iap/ ψ = e a d dx ψ(x = ψ(x + a 5.2 Normalização de onda plana O autoestado de momento é uma onda plana. Mas podemos escolher a normalização de acordo com conveniência. Vejamos seguinte exercício. Exercício: Na base { p }, esperamos que p P p = pδ (p p? Verifique que a expressão acima da Eq.(16, junto com a Eq.(14. 16

17 O Exercício acima mostra que se escolhermos a normalização de uma onda plana como x p = e ipx/, então, estamos definindo a normalização da base { p } como e não p p = 2π δ (p p p p = δ (p p. Neste caso, a relação da completeza da base { p } fica 1 dp p p = 1. 2π Exercício: Verifique a relação da completeza acima. Exercício: Na base { p } com normalização acima, obtenha a expressão do operador P. Exercício: Na base { p } com normalização acima, obtenha a expressão do operador X. Por outro lado, se escolhemos a normalização da base { p } por p p = δ (p p, e, portanto, a relação da completeza, dp p p = 1, então, a normalização da onda de onda plana deveria ser x p = 1 2π e ipx/. Exercício: Utlizamos frequentemente a normalização de uma onda plana por x p = 1 V e ipx/, onde V é o volume do sistema. Esta normalização representa a situação que existe uma partícula no volume V. Neste caso, obtenha a normalização da base { p } e expresse a relação da completeza desta base. Exercício: Na base { p } com normalização acima, obtenha a expressão do operador P. 17

18 5.3 Comutador O operador P não é diagonal na base { x } como pode ser visto da Eq.(16. Isto sugere que P não comuta com X, operador de posição. Podemos calcular o cumutador destes operadores. [P, X] = P X XP = = {( dx x d i dx x X = {( dx x d i dx x x ( X x d } dx x } ( x x d dx x = i dx x x = i Assim, obtemos a regra de comutação canônica bem conhecida entre momento e coordenada, [P, X] = (20 i Aqui, deduzimos Eq.(20 como a consequência da afirmação do debroglie que relacione a onda plana com o estado de particula com momento bem definid. Entretanto, podemos inverter o argumento. Isto é, partindo da Eq.(??, dodas os resultados sobre o operador de momento P, inclusive a onda plana como seu autoestado podem ser obtidas. De fato, postular a regra de comutação Eq.(?? é muito mais geral do que formular a Mecânica Quântica partindo de onda plana. Assim postulamos: Postulado: Os operadores P e Q que correspondem a par de variável canônicamente conjugadas satisfazem a regra de comutação canônica, ou [P, Q] = i, 1 [Q, P ] = 1. (21 i Note que a relação acima lembra a condição de um par de variávelis canonicamente conjugadas na Mecânica Clássica, se {Q, P } = 1, (22 q Q = Q(q, p, p P = P (q, P, for uma transformação canônica, ou seja, o par (Q, P seja um variável canônico. A comparação entre as Eqs.(21 e (22 sugere que o comutador na Mecânica Quântica é um análogo do bracket de Poisson da Mecânica Clássica. 18

19 5.4 Um pouco de Mecânica Clássica O papel de momento como gerador de translação em coordenada já é conhecido na Mecânica Clássica. Vamos fazer uma pequena revisão da Mecâanica Clássica, para estabelecer a correspondência com a Mecânica Quântica. Seja {q 1, p 1 } um par de variáveis canonicamente conjugadas. Na Mecânica, podemos fazer a transformação de variáveis 10, {q 1, p 1 } {q 2, p 2 }, (23 q 2 = f(q, p, p 2 = g(q, p. (24 Dentro de várias possibilidades, uma classe de transformações que satisfaz a propriedade de preservar a forma estrutural da equação de Hamilton. Esta classe de transformações é chamada a transformação canônica. Se a Eq.(23 é a transformação canônica, os novos variaveis devem satisfazer, {f, g} q,p = 1 onde {f, g} q,p f g q p g f q p é a parentêse de Poisson. Como a parentêse de Poisson não depende de escolhe de variáveis canônicas para calcular as derivadas do lado direito da equação acima, podemos abreviar os subíndices da parentêse. Dentro de transformação canônica, podemos ainda considerar uma subclasse, a transformação canônica contínua. Para transformação canônica contínua, existe um ou mais que um parâmetros contínuos. q(α = f(p 1, q 1 ; α p(α = g(q 1, p 1 ; α Sem perder a generalidade, podemos escolher α = 0 para transformação de identidade. Por definição, os q e p com todos valores intermediários de α também as variáveis canônicas. A condição em que esté série de variáveis sejam canônicas é que exista uma função G(q, p tal que dq(α dα dp(α = {q, G}, = {p, G} (25 dα A função G é chamada a função geratiz (ou gerador, por simplesmente da transformação contínua. Por exemplo, se escolher G como a Hamiltoniana do sistema e identificando α como tempo t, Eq.(25 se torna a equação de movimento de Hamilton. Ou seja a Hamiltoniana é gerador de transformação canônica que transforma o conjunto de variáveis {q, p} num instante em conjunto de variáveis canonicamente conjugadas de outro instante. Agora, se escolhemos G = p, então dq(α dα = {p, q} = 1 10 A transformação pode depender do tempo t. Mas aqui por simplicidade, consideramos o caso que não depende do tempo. 19

20 Ou seja dp(α = {p, p} = 0 dα q(α = q(0 α p(α = p(0 mostrando a translação de coordenada por α. Isto é, o momento p é o gerador da translação em q. 5.5 Relação de Incerteza, Pacote de Incerteza Mínima Formular a Mecânica Quântica partindo o postulado de regra de comutação canônica é as vezes referido Quantização Canônica. Nele, a relação de comutação entre duas variáveis canônicamente conjugadas atribui uma destas variáveis a propriedade como sendo o gerador de translação em outra. Ponto de vista matemático, a não comutatividade de duas observáveis implica não existência de uma base em que ambos os operadores se tornam simultaneamente diagonizados. Isto é, um autoestado de um dos observáveis não é autoestado de outro. Físicamente falndo, não podemos fazer medições simultâneas destas observáveis com a precisão arbitrária. Para ver a relação de incerteza quantitativamente, vamos introduzir os operadores que representa as flutuações de valores observadaos de Q e P, Q = Q Q P = P P (26 Para qualquer estado ψ V, podemos definir os vetores, Q = (Q Q ψ P = (P P ψ (27 Com estes vetores, podemos escrever os valores esperados de quadradas dos operadores de flutuaçao Eq.(26, Q 2 = ψ (Q Q 2 ψ = Q Q = Q 2 P 2 = ψ (P P 2 ψ = P P = P 2 Por outro lado, pela desigualdade de Schwartz, temos Q 2 P 2 Q P 2 = ψ Q P ψ 2 (28 O produto Q P pode ser re-escrito como Q P = 1 2 [ Q, P ] + 1 { Q, P } 2 onde [, ] é comutador e {, } é anticomutador. Da regra de comutação canônica, o comutador é simplesmente i. O anticomutador é um operador hermitiano, portanto o seu valor esperado R = ψ { Q, P } ψ é um número real. 20

21 Exercício: Mostre que o valor esperado do anticomutador é real. R = ψ { Q, P } ψ Podemos escrever ψ Q P ψ 2 = 1 (R + i 2 2 = 1 4 (R onde o sinal de igualdade vale somente para R = 0. Substituindo a equação acima em Eq.(28, concluimos que que é a relação de incerteza. Q 2 P (29 A dedução acima da relação de incerteza é particularmente interessante, pois podemos investigar qual é o estado que otimiza as incertezas em q e p. O sinal de igualdade na Eq.(29 é válido somente para o estado ψ c que satisfaz e ψ c { Q, P } ψ c = ψ c Q P + P Q ψ c = 0, (30 P ψ c = c Q ψ c. (31 onde c é constante (ver o exercício sobre a desigualdade de Schwartz. Substituindo a segunda equação na primeira, temos (c + c ψ c Q 2 ψ c = 0 que indica que c é pura imaginária. Ao mesmo tempo, tomando o valor experado em ψ c os dois lados da relação de comutação, ψ c [ Q, P ] ψ c = (c c ψ c Q 2 ψ c = i concluimos que c é um número imaginário positivo. Assim, podemos escrever c = iξ 2 onde α é um número real. Resubstituindo este resultado na Eq.(31, o estado que otimiza a incerteza deve satisfazer ( P iξ Q ψ c = 0 ou equivalentemete, (P iξq ψ c = ( p iξ q ψ c 21

22 onde p = P e q = Q. É conveniente definir o operador (não hermitiano a por a = 1 2ξ (P iξq (32 e seu conjugado hermitiano, a = 1 2ξ (P + iξq (33 que são chamados operadores de aniquilação e criação. Assim, a condição para o estado de incerteza mínima é escrita por a ψ c = α ψ c (34 onde escrevemos p iξ q = α. A relação de comutação entre Q e P é traduzida em termos de operadores a e a como [ a, a ] = 1 Partindo desta relação de comutaçõ, podemos determinar as propriedades de operadores a e a. 1. Em primeiro lugar, definimos o operador N, N = a a Prove que para qualquer estado, o valor esperado deste operador é não negativo. Com isto, conclua que os autovalores de N é não negativo. 2. Mostre que os comutadores entre N, a e a ficam 3. Seja n um autovetor de N, [N, a] = a, [ N, a ] = a N n = n n Mostre que se não for então necessariamente a n = 0, a n = c n 1 4. Assim, argumente que para qualquer autovalor n de N, tem que existir um inteiro k tal que a k+1 n = 0 ou seja, a n k = 0 22

23 5. Prove que n k = 0 6. Conclua que todos autovalores de N são inteiros não negativos, ou seja n = 0, 1, 2,...,.. 7. Demostre que a n = n n 1, a n = n + 1 n n = 1 n! ( a n 0 onde a 0 = 0 Estas propriedades são suficientes para resolver o nosso problema Eq.(34. Expandindo o vetor ψ em termos de n (normalizado ψ c = c n n n=0 e substituindo na Eq.(34 e utlizando a propriedade acima, temos c n n n 1 = αc n n n=1 Sendo os n s linearmente independentes, temos a fórmula de recorrência para os coeficientes: α c n+1 = c n = αn+1 c 0 n + 1 (n + 1! Com isto, ψ c = c 0 n=0 n=0 α n n! n (35 onde c 0 é determinado pela condição de normalização, ψ c ψ c = 1, c 0 = e α 2 /2 a fora de um fator de fase. O estado ψ c é chamado o estado coerente. É interessante calcular a função de onda do estado coerente. Para isto, é mais conveniente utilizar Eq.(34 do que calcular o produto escalar direto da Eq.(35 com o autoestado de Q, q. Da Eq.(34, temos q a ψ c = α q ψ c 23

24 Ou seja, que pode ser fácilmente integrada por dψ c (q iξqψ c (q = ( p iξ qψ c (q i dq ψ c (q = Const.e 1 2 ξ(q q2 / +i pq/ (36 que é uma pacote de onda de forma Gaussiana concentrada no valor médio q, modulada com a fase e i pq/. Assim, o estado coerente é as vezes referido como a pacote Gaussiana. 6 Transformação Unitária e Gerador da Transformação Podemos generalizar a discussão em relação a deslocamento e operador de momento no espaço x. De modo geral, quando ocorre alguma mudânça no estado de um sistema, o vetor de estado varia também, Naturalmente o novo estado satisfaz ψ ψ. (37 ψ ψ = 1. (38 A causa física que provocou esta mudânça deve ter o efeito para todos os estados do sistema. Vamos considerar uma base ortonormal 11, i ψ i ψ j = δ ij, ψ i ψ i = 1, e a mudânça para cada um dos vetor da base, ψ i ψ i. O novo estado ψ i pode ser descrito como a combinação linear dos estados da base antes da mudânça, ψ i = ψ j u ji, (39 j onde u ji são os coeficientes da transformação. Se introduzirmos o operador definido por, U = ψ j u ji ψ i, (40 i,i 11 Lembre que o conjunto de todos os autoestados de um conjunto de observáveis completos formam uma base. 24

25 podemos re-escrever a Eq.(39 por ψ i = U ψ i. (41 Já que { ψ i } forma uma base, a expressão vale para a variação de qualquer estado Eq.(37, ψ ψ = U ψ. (42 Exercício: Mostra a Eq.(42 a partir da Eq.(41. Da EQ.(38, temos U U = 1, (43 isto é, o operador deve ser um operador unitário. Podemos resumir em seguinte forma: Um efeito físico que causa a mudânça nos estados é representado por um opeardor unitário. Vamos considerar uma série de mudânças no estado, onde a variação é feita continuamente. Podemos associar um parâmetro real para expressar o grau da mudânça. Por exemplo, o deslocamento do sistema na direção x por a. Podemos considerar uma sucessão contínua de deslocamento, variando o valor de a. Um outro exemplo é a rotação do sistema em torno de um eixo, onde o parâmetro é o ângulo da rotação. Nestas transformações, podemos escrever U = U(a, onde a é o parâmetro real. Podemos convencionar que a = 0 corresponde a transformação de identidade (não há mudânça, U (0 = ˆ1, onde ˆ1 representa o operador de identidade no espaço de Hilbert. Se o parâmetro é infinitesimal, então, podemos escrever sempre a 0, U (a ˆ1 + ia ˆL, onde ˆL é o operador chamado gerador da transformação. Da condição Eq.(43, temos (ˆ1 + ia ˆL (ˆ1 ˆL + ia = ˆ1, (44 donde concluimos ˆL = ˆL, (45 isto é, o gerador da transformação é um operador hermitiano. 25

26 Exercício: Mosre a Eq.(45 da condição, Eq.(44. Vamos considerar uma sucessão destes transformações n vezes. A transformação resultante é dada por U = (ˆ1 + ia n ˆLn (ˆ1 + ia n 1 ˆLn 1 (ˆ1 + ia 2 ˆL2 (ˆ1 + ia 1 ˆL1. (46 Vamos considerar a sucessão de transformações iguais. Por exemplo, a sucessão de deslocamento em x por a a a, onde a = 1 n d. Neste caso, ˆL 1 = ˆL 2 = = ˆL n = ˆL,e temos ( U = ˆ1 + i d ˆL n. n No limite de n, temos ( U = lim ˆ1 + i d ˆL n = e +id ˆL. (47 n n Exercício: Seja ˆL um operador hermitiano. Mostre que vale a fórmula, ( ˆ1 + i d ˆL n +id = e ˆL, n lim n ˆL. onde e X = n=0 1 n! Xn. Eq.(47 é a forma geral de uma transformação unitária finita, com o gerador Inversamente, se tivemos um operador hermitiano, digamos Ĝ, podemos sempre considerar um operador unitário, U (α e +iαĝ, onde α é um parâmetro real. Podemos escolher, por exemplo, Ĝ = P, então, como já vimos na Eq.(19 o operador U = e iap/ causa a translação no sistema. Podemos mostrar a Eq.(19 pela outra maneira. Para isto, vamos começar a fórmula, e ta Be ta = B + [A, B] t + t2 t3 [A, [A, B]] + [A, [A, [A, B]]] +. (48 2! 3! 26

27 Exercício: Prove a Eq.(48. Usando a Eq.(48 para A = iap/, B = Q, onde P e Q são observáveis canonicamente conjugados, temos e iap/ Qe iap/ = Q + [P, Q] ia/ + 1 ( 2 ia [P, [P, Q]] + 2! Mas então, [P, Q] = i, [P, [P, Q]] = 0, e todos os comutadores de ordem superior anulam. Temos portanto Isto é, Exercício: Mostre que e iap/ Qe iap/ = Q + a. Seja q o autoestado de Q com autovalor q, UQU 1 = Q + a. (49 U 1 QU = Q a. (50 Q q = q q. Aplicando os dois lados da Eq.(49 neste estado, temos UQU 1 q = (Q + a q Multiplicando U 1 aos dois lados, temos Esta equação mostra que o estado, = (q + a q. QU 1 q = (q + a U 1 q. U 1 q é o autoestado do operador Q com autovalor (q + a. Concluimos portanto U 1 q = C q + a, onde C é o constante da normalização. Considerando que U 1 é um operador unitário, em geral temos C = 1, ou C = e iδ onde δ é um número real. Sem perder generalidade, podemos escolher δ = 0. Assim, temos U 1 q = q + a. 27

28 7 Desenvolvimento Temporal: Equação de Schrödinger Todas as discussões acima em relação a estados quânticos e operadores referem a um dado instante do tempo. Para discutir o desenvolvimento de um sistema, podemos considerar que o vetor de estado variam em tempo, ψ ψ (t. Neste caso, precisamos a equação que descreve como ψ (t varia em tempo t. Vamos considerar a variação deste estado num intervalo de tempo t, ψ (t ψ (t + t. Esta variação deve ser obtido por uma transformação unitária, ψ (t + t = U ψ (t. Para t infinitesimal, podemos escrever U = 1 i t Ĥ, onde Ĥ é um operador hermitiano. Temos então, ( ψ (t + t = 1 i t Ĥ ψ (t. Equivalentemente, temos ou ψ (t + t ψ (t i = Ĥ ψ (t, t i ψ (t = Ĥ ψ (t, (51 t que é a equação de Schrödinger. No caso em que o Hamiltoniano é um operador constante no tempo, podemos integrar formalmente a Eq.(51 para obter ψ (t = e iĥ(t t0/ ψ (t 0, (52 onde é o estado inicial. ψ (t 0 Exercício: Demonstre que a Eq.(52 é a solução da Eq.(51. Quando Ĥ depende do tempo t, podemos escrever a solução como ψ (t = e i t t 0 Ĥ(t dt ψ (t 0? 28

29 7.1 Quantidade Conservada É interessante perguntar o que é uma quantidade conservada na Mecânica Quântica. Se O é um observável conservada para um dado sistema, esperamos que o valor esperado do O deve ser constante no tempo, independentemente da condição inicial. Isto é, se O = ψ (t O ψ (t, devemos ter Mas, d O = 0. dt d dt O = d ψ (t O ψ (t ( dt ( d d = ψ (t O ψ (t + ψ (t O ψ (t dt dt e, da Equação de Schrödinger, podemos escrever d dt O = 1 ψ (t [O, H] ψ (t. i Assim, se O é uma quantidade observável, temos 1 ψ (t [O, H] ψ (t = 0, i independentemente do estado ψ (t. Concluimos então que [O, H] = 0. Isto é, o comutador entre o operador de um observável conservado e o Hamiltoniano do sistema deve ser zero. O operador do observável conservado e o Hamiltoniano do sistema comutam. Inversamente, se um observável comuta com o Hamiltoniano do sistema, esta observável é uma constante do movimento. Matematicamente falando, O e H pode possuir uma base comun que diagonalizaros. Exercício: Suponhe que H e O comutam. Se não há degenerescência de H (i.e., para dado autovalor, só existe um único estado, prove que um autovetor de H é tambem o autovetor de O. Exercício: Seje a função de onda no tempo t = 0 preparada como um dos autoestados de O. Quuando O e H comutam, mostre que o sistema permanece no mesmo autoestado para qualquer tempo t posterior. 29

30 8 Desenvolvimento Temporal: Visão de Heisenberg Até agora, a dinâmica de um sistema é representada como a variação temporal do estado. Esta visão é bastante diferente da Mecânica Clássica, pois, na Mecânica Clássica, as grandezas físicas, tais como q e p que variam no tempo. Mas mesmo na Mecânica Quântica, podemos também formular que a dinâmica de um sistema pode ser expressa como variação temporal das grandezas físicas. Para isto, devemos introduzir o operador dependente no tempo. Seja O o operador de um obervável na visão de Schrödinger. Definimos o operador dependente do tempo como O H (t = e + i th Oe i th, e chamamos que o operador na visão de Heisenberg. Podemos calcular a derivada temporal deste operador como d dt O H (t = 1 [O, H], (53 i o que é conhecido como a Equação de Heisenberg. Esta equação de Heisenberg lembra a derivada temporal de uma função O C (q, p na Mecânica Clássica, d dt O c = {O c, H c }, onde {O c, H c } é o bracket de Poisson. Em particular, para um par de varáveis canonicamente conjugados Q e P, temos além da régra de comutação canônica, d dt Q = 1 [Q, H], i (54 d dt P = 1 [P, H], i (55 1 [Q, P ] = 1. i Nesta forma, a similaridade com a Mecânica Clássica se torna mais explicita. As equações correspondentes na Mecânica Clássica são, e dq = {q, H}, dt dp = {p, H}, dt {q, p} = 1. 30

31 Como exemplo, vamos considerar um oscilador harmonico unidimensional, H = 1 2m P 2 + mω2 2 Q2. Neste caso, a equação de movimento para os operadores ficam d dt Q = 1 i [Q, H] = 1 P, (56 m d dt P = 1 i [P, H] = mω2 P. (57 Exercício: Obtenha a equação de movimento somente para Q e resolva esta equação. Compare o resultado com o da seção anterior. Exercício: Discute a relação de comutador e a quantidade conservada do ponto de vista de Heisenberg. 9 Exemplo: Sistema de 2 níveis Até agora, sempre pensamos o sistema de uma partícula ponteforme (ou seja não existe nenhuma grau de liberdades internos. Neste caso, a variável básica é a coordendada desta partícula e estados quânticos correspondem sempre uma função de onda. O espaço de Hilbert para os estados quânticos nestes casos é de dimensão infinita. Isto é, existem infinitos estados linearmente independentes. Entretanto, exitem na natureza situações em que é necessário considerar apenas alguns estados possíveis para discutir a dinâmica do problema. Por exemplo, é conhecido que o elétron possui o grau de liberdade chamado de spin. A detalhe do spin será discutido posteriormente, mas este grau de liberdade se manifesta como sendo dois estados de energia distintos num campo magnético. Outros exemplos são a aplicação a dinâmica de transição eletromagnética entre dois estados atômicos, o sistema de meson K neutro, e a oscilação de neutrinos. Vamos supor que um sistema possui apenas 2 néveis de energia. Seja H o Hamiltoniano do sistema. Então, existem apenas 2 autovetores do H, H e 1 = E 1 e 1, (58 H e 2 = E 2 e 2. (59 Podemos sempre considerar que os dois estados são normalizados. e 1 e 1 = 1, e 2 e 2 = 1. Além disto, do propriedade de um operador hermitiano (ver o Exercício anterior, os dois vetores devem ser ortogonais, e 2 e 1 = 1. 31

32 Assim, os dois vetores, { e 1, e 2 } forma uma base ortonormal. Qualquer estado possível deste sistema deve ser expressos como combinação linear destes dois estados; ψ = c 1 e 1 + c 2 e 1. (60 Os coeficientes c i são dados por c i = e i ψ. Podemos representar os vetores { e 1, e 2 } pela associação, ( 1 e 1 0 ( 0 e 2. 1 Os vetores duais ficam e 1 ( 1 0, e 2 ( 0 1. O estado geral ψ Eq.(60 fica nesta representação, ( ( ( 1 0 c1 ψ c 1 + c 0 2 = 1 c 2 e o vetor dual fica ψ ( c 1 c 2 de tal forma que o produto escalar entre dois estados ψ e φ é descrita como φ ψ ( ( d 1 d c 1 2 = d c 2 1c 1 + d 2c 2, (61 onde φ ( d1 d 2. Nesta representação, qualquer operador O será representado pela matriz, ( e1 O e O 1 e 1 O e 2. (62 e 2 O e 1 e 2 O e 2 Exercício: Demonstre a razão da representação do operador para matriz, Eq.(62. Na base dos seus autovetores, o Hamiltoniano fica a matriz diagonal, ( E1 0 H. 0 E 2. 32

33 Exercício: Da Eqs.(58 e (59, demonstre que e i H e j = E i δ ij. Nesta base, a Equação de Schrödinger nesta representação fica i d ( ( ( c1 E1 0 c1 =. (63 dt c 2 0 E 2 c 2 Podemos resolver este sistema facilmente, tendo ( ( c1 e ie 1t/ 0 = c 2 0 e ie2t/ t 9.1 Observável não comutável com H ( c1 c 2 t=0. (64 Seja O um observável deste sistema. Sejam o 1 e o 2 os dois autoestados de O normalizados com autovalores o 1 e o 2, respectivamente. Temos O o 1 = o 1 o 1, O o 2 = o 2 o 2. Supormos que os dois estados são normalizados. Temos então, o i o j = δ ij. Quando a base formada destes autovetores é igual a base formada dos autoestados de H, digamos e 1 = e iδ1 o 1, (65 e 2 = e iδ2 o 2, (66 então podemos mostrar que os operadores O e H comutam. Exercício: Prove que se vale as Eqs.(65 e (66, então H e O comutam, [O, H] = 0. Por outro lado, se e 1 e o 1 for linearmente independentes, então podemos escrever onde Devemos ter onde e 1 = u 11 o 1 + u 21 o 2, (67 e 2 = u 12 o 1 + u 22 o 2, (68 u ij 0, i, j = 1, 2. (69 U U = 1, (70 ( u11 u U = 12 u 21 u 22. (71 33

34 Exercício: Mostre porque da Eq.(70. Neste caso, o operador O e o Hamiltoninano H não comutam, [O, H] 0. (72 Exercício: Mostre a Eq.(72 como concequência da Eq.( Amplitude de Transição: Visão de Schrödinger Suponha que no tempo t = 0, uma medição for realizada sobre o obervável O, e obteve o autovalor o 1. Com esta medição do observável, o estado do sistema se torna no autoestado o 1, ψ (t = 0 = o 1. Quando O comuta com H, podemos mostrar que o estado do sistema permanece no autoestado do O, ψ (t = C (t o 1. Neste caso, a medição do obervável O sempre resulta em o 1, ou seja a probabilidade de observar o autovalor o 1 é uma. Exercício: Determine a função C (t acima. Quando O não comuta com H, já vimos que O não é um constante de movimento. Isto quer dizer que, após certo tempo t, o sistema pode ter probabilidade de estar no outro autoestado de O. Temos ψ (t = C 1 (t o 1 + C 2 (t o 2. (73 Quando efetuamos a medição do observável O, teremos em geral, a probabilidade não nula de encontrar os ambos valores o 1 e o 2. A probabilidade é dada por P 1 = o 1 ψ 2 = C 1 (t 2, e a probabilidade de encontrar o valor o 2 é dada por Naturalmente P 2 = o 2 ψ 2 = C 2 (t 2. P 1 + P 2 = 1, e P 2 é a probabilidade de transição do sistema do estado o 1 para o estado o 2. Vamos calcular P 1 e P 2. Da Equação de Schrödinger, temos i t ψ (t = H ψ (t. Na base de autoestado de H, como vimos (Eq.(63, podemos expressar a equação acima como ( ( ( e1 ψ (t E1 0 e1 ψ (t i t =. e 2 ψ (t 0 E 2 e 2 ψ (t 34

35 A solução é (Eq.(64, ( e1 ψ (t e 2 ψ (t ou equivalentemente ( e1 e 2 = ψ (t = ( e ie 1t/ 0 0 e ie2t/ ( e ie 1t/ 0 0 e ie2t/ ( e1 ψ (0 e 2 ψ (0 ( e1 e 2, ψ (0 (74 Mas queremos expressar este resultado em termos da base { o 1, o 2 }. Eqs.(67 e (68, podemos escrever ( ( e1 u = 11 o 1 + u 21 o 2 e 2 u 21 o 1 + u 22 o 2 ( ( u = 11 u 21 o1 u 12 u 22 o 2 ( = U o1. o 2 Das Portanto, a Eq.(74 fica ou U ( o1 o 2 ( o1 o 2 ( e ie 1t/ 0 ψ (t = 0 e ie2t/ ( e ie 1t/ 0 ψ (t = U 0 e ie2t/ U ( o1 o 2 U ( o1 o 2 ψ (0 Temos explicitamente os coeficientes C 1 (t e C 2 (t na Eq.(73 como ( ( C1 (t C1 (0 = M, C 2 (t C 2 (0 onde definimos M = U ( e ie 1t/ 0 0 e ie2t/ Em particular, para a condição inicial, ( C1 (0 = C 2 (0 ( 1 0, U. ψ (0. (75 35

36 então C 1 (t = M 11 = ( u 11 u 12 ( e ie1t/ 0 0 e ie2t/ ( u 11 u 12 = e ie1t/ u e ie2t/ u 12 2, (76 C 2 (t = M 21 = ( u 21 u 22 ( e ie1t/ 0 0 e ie2t/ ( u 11 u 12 = e ie1t/ u 21 u 11 + e ie2t/ u 22 u 12. (77 Assim, se sabemos os elementos de matriz de U e os autovalores de H, podemos calcular a probabilidade de transição. Note que os elementos de matriz de U, u ij, são nada mais que as amplitides de probabilidade de encontrar o estado o j no estado e i, u ij = o j e i, (veja Eqs.(67,68. Ou seja, vamos escrever como u ij = A ei o j O conjugado complexo deste elemento de matriz tem significado como a amplitude de encontrar o estado e i no estado o j pois u ij = o j e i = e i o j, ou seja, expressamos como u ij = A oj e i. Por outro dado, o fator e ie1t/ pode ser escrito como e ieit/ = e i (t e i (0. Isto é, este fator é a amplitude de encontrar o estado e i depois do tempo t = t, a partir do estado e i no temp t = 0. Vamos expressar como, e ieit/ = A (i 0 t, ou seja, a amplitude do estado i no tempo t. Assim, podemos re-escrever as Eqs.(76 e (77 como C 1 (t = A e1 o 1 A (1 0 t A o 1 e 1 + A e2 o 1 A (2 0 t A o 1 e 2, C 2 (t = A e1 o 2 A (1 0 t A o 1 e 1 + A e2 o 2 A (2 0 t A o 1 e 2. 36

37 A primeira parcela em C 1 (t, A e1 o 1 A (1 0 t A o 1 e 1 pode ser interpretada como produto sequencial, do direito para esquerdo, de amplitudes de tres etapas: a primeira o sistema inicialmente estava no estado o 1 passa para o estado e 1, a segunda, este estado do sistema passa de tempo t = 0 para t = t, e finalmente na terceira, o sistema passa do estado e 1 para o 1. A segunda parcela em C 1 (t, A e2 o 1 A (2 0 t A o 1 e 2, também pode ser interpretada analogamente como produto sequencial, do direito para esquerdo, de amplitudes de tres etapas: a primeira o sistema inicialmente estava no estado o 1 passa para o estado e 2, a segunda, este estado do sistema passa de tempo t = 0 para t = t, e finalmente na terceira, o sistema passa do estado e 2 para o 1. A amplitude total é a soma destas duas possibilidades. 9.3 Visão de Heisenberg Vamos analizar o problema acima do ponto de vista de Heisenberg. Na visão de Heisenberg, o observável O H varia no tempo. De acordo com a Equação de Heisenberg, temos i do H = [O H, H]. (78 dt Já que O H depende do tempo t, seus autovetores também dependem do tempo, embora os autovalores não mudam. Exercício: Mostre que os autovalores do operador de Heisenberg são iguais do operador correspondente de Schrödinger. Vamos denotar por o i (t o autovetor do operador O H (t de autovalor o i. O H (t o i (t = o i o i (t. A amplitude de transição do sistema que estava no estado o i (0 para o estado o j (t é dada por A i j (t = o j (t o i (0. Assim, na visão de Heisenberg, primeira, devemos determinar a dinâmica do operador O e depois resolvemos a equação de autovalor deste operador no instante t = t. Para resolver a Eq.(78, vamos utilizar a base { e 1, e 2 } que é invariante no tempo. Calculando os elementos de matrizes nesta base da Eq.(78, temos i do ij (t dt = (E j E i O ij (t, i, j = 1, 2, (79 37

38 onde definimos O ij (t = e i O H e j. A Eq.(79 pode ser resolvida para todos os i e j como O ij (t = e i(ej Eit/ O ij (0. Explicitamente temos ( O11 (t O 12 (t O 21 (t O 22 (t ( = O 11 (0 e i(e2 E1t/ O 12 (0 e +i(e2 E1t/ O 21 (0 O 22 (0. Note que a expressão acima pode ser re-escrita como ( ( ( O11 (t O 12 (t e ie 1t/ 0 O11 (0 O = 12 (0 O 21 (t O 22 (t 0 e ie2t/ O 21 (0 O 22 (0 ( e ie 1t/ 0 0 e ie2t/ Desta forma, podemos relacionar os autovetores de O H (0 e os de O H (t. Por exemplo, seja ( c1 c 2 o autovetor de O H (0 de autovalor o 1 na base { e 1, e 2 }, isto é, ( ( ( O11 (0 O 12 (0 c1 c1 = o O 21 (0 O 22 (0 c 1, 2 c 2 e ( d1. o autovetor de O H (0 de autovalor o 2, ( O11 (0 O 12 (0 ( d1 O 21 (0 O 22 (0 d 2 d 2 = o 2 ( d1 d 2. Exercício: Estabeleça a relação entre {c 1, c 2, d 1, d 2 } e {u ij } das Eqs.(67 e (68. Pela inspecção, podemos ver facilmente que o vetor ( ( ( c1 (t e ie 1t/ 0 c1 = c 2 (t 0 e ie2t/ c 2 é o autovetor de ( O11 (t O 12 (t O 21 (t O 22 (t com autovalor o 1. Exercício: Prove que ( O11 (t O 12 (t O 21 (t O 22 (t ( c1 (t c 2 (t = o 1 ( c1 (t c 2 (t. 38

39 A amplitude de transição, por exemplo, A 1 1 (t fica A 1 1 (t = ( c 1 (t c 2 (t ( c 1 c 2 = e ie1t/ c e ie2t/ c 2 2, que é exatamente igual a Eq.(76. Obtenha a amplitude A 1 2 (t e compare com a Eq.(77. 39

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