1 INTRODUÇÃO. Segundo Lipschutz (1977, p. 21)

Transcrição

1 INTRODUÇÃO Na matemática ocidental antiga são poucas as aparições de sistemas de equações lineares No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior Com seu gosto especial por diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro Assim acabaram descobrindo o método de resolução por eliminação, que consiste em anular coeficientes por meio de operações elementares Exemplos desse procedimento encontram-se nos Nove capítulos sobre a arte da matemática, um texto que data provavelmente do século ac Segundo Boyer (974, p 44) "O capítulo 8 do nove capítulos é significativo por conter a solução de problemas sobre equações lineares, usando tanto números positivos quanto negativos" Essa abordagem de resolução de sistemas lineares veio se consolidar através de Gauss, que entre outras áreas de seu interesse estava a astronomia, onde desenvolveu inúmeros trabalhos e que o levaram a descobrir no primeiro dia do século dezenove um novo planeta ou asteroide, mas semanas depois o pequeno corpo celeste foi perdido de vista Então Gauss aceitou um desafio que era calcular a partir de poucas observações do planeta a orbita em que ele se movia De acordo com Boyer (974, p 7) Para a tarefa de calcular orbita a partir de um numero limitado de observações ele inventou um processo, chamado método de Gauss, que ainda é usado para acompanhar satélites O resultado foi um sucesso estrondoso o planeta sendo descoberto no fim do ano quase na posição indicada por seus cálculos Segundo Lipschutz (977, p ) A teoria das equações desempenha papel importante e motivador no campo da álgebra linear Na verdade, muitos problemas da álgebra linear são equivalentes ao estudo de um sistema de equações lineares, por exemplo, a procura do núcleo de uma transformação linear e a caracterização do subespaço gerado por um conjunto de vetores Para Burden e Faires (008, p ): Os sistemas de equações lineares estão associados a muitos problemas no campo da engenharia e da ciência, bem como com aplicações da matemática às ciências sociais e aos estudos quantitativos nos problemas de administração e economia

2 JUSTIFICATIVA Diante disso, fica evidente a importância de se estudar métodos para a resolução de sistemas de equações lineares pois, além de seu interesse teórico inerente, possui uma vasta aplicação prática em inúmeras áreas correlatas OBJETIVOS Levando-se em consideração todos os comentários e preceitos estabelecidos acima, o presente trabalho foi desenvolvido visando alcançar os seguintes objetivos Objetivo geral De forma geral, o presente trabalho tem por objetivo geral fazer uma revisão bibliográfica sobre alguns métodos diretos e iterativos para a resolução de sistemas de equações lineares, utilizando a sua formulação tradicional Objetivos específicos Analisar aspectos teóricos e práticos referentes aos métodos diretos de eliminação de Gauss e Fatoração LU em sua formulação tradicional Analisar os aspectos teóricos e práticos referentes aos métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel em sua formulação tradicional Fazer um comparativo analítico dos métodos na solução em alguns problemas de teste de pequeno porte Metodologia De acordo com Severino (00); "O saber constitui-se pela capacidade de reflaxão no interior de determinada área do conhecimento A reflexão exige o domínio de uma série de informações"partindo desse pressuposto, o presente trabalho foi desenvolvido considerando uma pesquisa temática que, segundo o mesmo autor, visa coletar elementos relevantes para o estudo em geral, sempre dentro de determinada área, complementada por uma documentação bibliográfica Tais procedimentos são complementares, na visão do autor Como o presente trabalho objetiva realizar uma revisão bibliográfica sobre métodos numéricos já consolidados na literatura acadêmica, bem como ilustrar o funcionamento e aplicações dos mesmos, utilizamos essa abordagem no desenvolvimento da pesquisa realizada Dessa forma, o presente trabalho está organizado de acordo com a seguinte formação No capítulo, temos a organização metodológica, justificativas e objetivos do estudo No capítulo, apresentaremos a fundamentação teórica matemática que dará suporte aos métodos estudados e descrevemos o funcionamento dos métodos diretos de Gauss e Fatoração LU, e dos métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel No capítulo, ilustramos o funcionamento e a aplicação numérica dos métodos estudados através de exemplos e apresentamos também situações em que a aplicação dos métodos pode não ter o resultado esperado, ou seja, quando os métodos podem falhar E no capítulo 4, apresentamos as conclusões do trabalho

3 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES EQUAÇÃO LINEAR Uma equação e considerada linear quando seus termos envolvem apenas operações de soma ou produto entre constantes e variáveis de primeiro grau, não podendo haver produto entre as variáveis envolvidas no processo De acordo com Franco (006, p ) "uma equação é linear se cada termo conter não mais do que uma variável e cada variável aparece na primeira potência" Dessa forma podemos representar uma equação linear com a seguinte expressão: a x + a x + + a n x n = b () Onde a,a,,a n são chamados de coeficientes,x,x,,x n são chamadas de incógnitas ou variáveis e o elemento b é chamado termo independente Como visto na expressão acima uma equação linear pode aparecer com mais de uma variável Esse caso ocorre com frequência no campo da matemática aplicada, mais especificamente durante a modelagem de um fenômeno, onde as equações não-lineares podem ser reduzidas de alguma forma para uma equações lineares onde, de acordo com Oliveira (969, p 05) "de um ponto de vista puramente matemático, o modelo linear apresenta um grande numero de vantagens sobre outros modelos, denominados não lineares" SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Um sistema de equações lineares é um conjunto de m equações lineares é n incógnitas Sendo necessário a igualdade entre o numero de equações do sistema e o numero de incógnitas (m = n) Segundo Leon (94, pag ) mais de 75% dos problemas matemáticos encontrados em aplicações cientificas e industriais envolvem a resolução de um sistema linear em algum estágio Usando métodos modernos da matemática, é frequentemente possível reduzir um problema sofisticado a um simples sistema de equações lineares Um sistema com m equações lineares e n incógnitas (x,x,,x n ) é apresentado de forma genérica como: Em que, a i j e b i são numeros reais e i, j a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b = a m x + a m x + + a mn x n = b m ()

4 Usando notação matricial, o sistema linear pode ser representado da seguinte forma; onde, é a matriz dos coeficientes, é o vetor das variaveis, e é o vetor constante A = Ax = b () a a a n a a a n a m a m a mn x = b = x x x n b b b n (4) (5) (6) Chamaremos de x o vetor solução e de x uma solução aproximada do sistema linear Ax=b CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS LINEARES Uma n-upla u = (k,k,,k n ) de números reais é uma solução se satisfaz cada uma das equações do sistema Em outras palavras, a resolução de um sistema linear consiste em calcular os valores de x i, caso eles existam, de forma que satisfaçam as m equações simultaneamente Segundo Franco (006, p 09) "A classificação de um sistema linear e feita em função do numero de soluções que ela admite, da seguinte maneira: Sistema possível ou consistente: É todo sistema que possui pelo menos uma solução Um sistema linear possível é: (a) determinado se admite uma única solução, e

5 (b) indeterminado se permite mais de uma solução Sistema impossível ou inconsistente: É todo sistema que não admite solução" De acordo com Gavala (p 4) podemos classificar os sistemas de equações quanto ao seu tamanho devido ao erro de arredondamento da seguinte forma: Pequenos: quando n 00, onde n representa o numero de equações do sistema Grandes: quando n > 00, onde n também representa o numero de equações do sistema Para Ferreira (009, p 47) "os métodos diretos são aplicados na resolução de sistemas de equações densos de porte pequeno e médio Por sistemas de pequeno porte entende-se uma ordem de até 0, para médio porte, sistemas de ordem até 50 A partir dai tem-se, em geral, sistemas de grandes portes" Os sistemas de equações lineares podem também ser classificados quanto ao método numérico para sua resolução Esses métodas são divididos em dois grupos: Diretos: Métodos em que há menos erros de arredondamento, e cuja solução do sistema (caso exista) é obtida através de um numero finito de passos pré-determinados Iterativos: Geram uma sequencia de vetores x (k) a partir de uma solução inicial x (0) em que, sob certas condições, tal sequencia nos levará à solução do sistema x, caso ela exista É importante salientar que, para que o sistema de equações lineares tenha solução possível, a matriz A deve ser não singular, ou seja, det(a) 0 Dessa forma, os métodos que veremos a seguir são aplicáveis apenas a sistemas que possuam solução única 4 MÉTODOS DIRETOS Existe dois tipos de métodos diretos: Eliminação de Gauss e da Fatoração LU Estes método são geralmente usados para resolver sistemas de equações lineares considerados pequenos O objetivo deste método é transformar a matriz A em duas matrizes triangulares que possuam soluções equivalentes Essas matrizes (ou sistemas) possuem a seguinte classificação: Superior: Uma matriz A (n n) é dita triangular superior se os elementos abaixo da diagonal principal forem todos nulos Logo, um sistema triangular superior pode ser representado da seguinte forma: A = a x + a x + + a n x n = b a x + + a n x n = b a n,n x n + a n,n x n = b n a nn x n = b n (7)

6 Inferior: Uma matriz B (n n) é dita triangular inferior se os elementos acima da diagonal principal forem todos nulos Com isso um sistema triangular inferior pode ser representado da seguinte forma: 4 Retrosubstituição B = a x = b a x + a x = b a n x + a n x + + a nn x n = b n A solução de um sistema triangular superior é obtida através de substituições sucessivas de variáveis Dessa forma, da ultima equação de A, temos que: Substituindo x n na penúltima equação, temos: E assim sucessivamente até obter: (8) x n = b n a nn (9) x n = b n a n,n x n a n,n (0) x = (b a x ) a x a n x n a () Ou seja, a fórmula geral para o cálculo de x i usando retrosubstituição é dada por: x i = 4 Método da Eliminação de Gauss b i n a i j x j j=i+ () a ii A resolução de um sistema de equação linear do tipo Ax = b através do método de Gauss, é realizado em duas etapas distintas, onde a primeira é chamada de Fase de Eliminação, e a segunda é chamada de Fase de Substituição Na Fase de Eliminação são realizadas transformações elementares sobre as linhas da matriz aumentada representada por [A b], de forma a transforma-la em um sistema triangular superior A partir daí entramos na Fase de Substituição, onde o sistema é resolvido por meio de substituições retroativas, conforme descrito anteriormente Este método consiste em transformar convenientemente o sistema linear original de forma a obter um sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes linear superior Para tal ocorrência devemos proceder de acordo com a fase em que estamos trabalhando (então uma matriz n n terá (n ) fases no procedimento da primeira etapa ou fase de eliminação)

7 A k-ésima fase consiste em tomar como elemento pivô o elemento da diagonal principal referente à coluna em que se está operando, ou seja, o pivô é sempre aquele elemento que está acima dos termos que pretendemos eliminar Assim o pivô pode ser representado da seguinte forma: pivô = a kk, k =,,,n () De posse desse elemento, as linhas abaixo dele deverão ter seus respectivos multiplicadores representado por m ik, onde são calculados de acordo com a seguinte fórmula: m ik = a ik a kk, i > k (4) Após a determinação desses elementos, cada linha abaixo da linha do elemento pivô deverá ser atualizada a partir de transformações elementares de acordo com a seguinte fórmula: L i L i m ik L pivô (5) Em que L i é a linha a ser atualizada e L pivô é a linha a qual o pivô considerado pertence Este processo segue até obtermos um sistema triangular superior chegando ao fim da primeira fase A parti dai entramos na segunda fase, onde obtemos a solução do sistema fazendo o processo de retrosubstituição 4 Fatoração LU Segundo Ferreira (009, p 6) "existem inúmeras situações, em que é desejável resolver vários sistemas de equações lineares do tipo Ax = b, onde estes possuem em comum a mesma matriz dos coeficientes, e cujos termos independentes são diferentes"tal sistema pode ser representado da seguinte maneira: Ax = b i, i =,,,n (6) nessas situações, é mais propicio resolver esses sistemas lineares por meio de uma técnica de fatoração da matriz A Tal técnica, visa decompor a matriz A em um produto de dois ou mais fatores Em seguida, resolve-se uma sequencia de sistemas de equações lineares que conduzirá a solução do sistema original Uma vantagem da utilização da técnica de fatoração é resolver qualquer sistema de equações lineares que tenha os termos de A como matriz dos coeficientes Quando os termos independentes de b forem alterados, a resolução do novo sistema será também alterada de maneira quase que imediata

8 Dentre as técnicas de fatoração que são utilizadas para a resolução de sistemas de equações lineares, destaca-se a de decomposição LU Através desta técnica a matriz A dos coeficientes é decomposta de maneira única em um produto de duas matrizes, onde a primeira é chamada de L e a segunda de U como representado a seguir O teorema que dá suporte a esté método e dado a seguir: A = LU (7) Teorema Considere A = a i j i, j =,,n Se os menores principais de A, i 0, i =,,,n, então A se decompõe, de maneira única, no produto de uma matriz triangular inferior L = l i j, com l ii =, por uma matriz triangular superior U = (u i j ) Além disso, det(a) = det(u) = n u ii i= Sendo L uma matriz triangular inferior, em que sua diagonal principal é composta por elementos unitários e o restante dos termos são representados pelos respectivos multiplicadores calculados durante a fase de eliminação do método de Gauss, e U é uma matriz triangular superior idêntica a matriz da ultima etapa da fase de eliminação do processo de eliminação de Gauss, pode-se especificar as matrizes L e U como: L = m 0 0 m m 0 m n m n m n (8) U = n 0 a () a () n 0 0 a () a () n a (n ) nn (9) Dessa forma, dado o sistema linear Ax = b e a fatoração da matriz A = LU, temos que: Ax = b (LU)x = b (0) Seja y = Ux, a solução do sistema linear pode ser obtida através da resolução dos sistemas lineares triangulares Ly = b () Ux = y ()

9 44 Estratégias de pivoteamento Conforme descrito, na resolução de sistemas de equações lineares através dos método da Eliminação de Gauss e Fatoração LU, é necessário determinar os multiplicadores m ik, i > e k das respectivas linhas em que estamos operando Como o multiplicador de cada linha é calculado por a ik a kk, (i > k) é preciso que a condição a kk 0 seja satisfeita Se ocorrer que a kk = 0, antes de dar inicio ao método deve-se utilizar estratégias de pivoteamento que consistem na troca de linhas ou colunas da matriz A Logo, de acordo com a definição dos multiplicadores m ik teriamos que: m ik = a ik a kk = a ik 0 = () Segundo Ruggiero (996, p 7) "Trabalhar com um pivô próximo de zero pode conduzir a resultados totalmente imprecisos"dessa forma os multiplicadores terão um modulo bem maior do que os outros elementos do sistema, com isso, é provável que ocorra uma propagação de erros de arredondamento durante a resolução do sistema Para Franco (006, p 46) "A propagação de erros ocorre principalmente quando multiplicamos um numero muito grande por outro que já contem erro de arredondamento" Por exemplo, se tivéssemos um número qualquer η, onde este contenha um erro de arredondamento ξ Podemos representar este número da seguinte forma: η = η + ξ Se efetuarmos um produto deste numero por um outro elemento κ, teremos a seguinte representação: κη = κη + κξ, com isso o erro de arredondamento passa a ser κξ Dessa forma se o elemento κ for um numero de ordem de natureza grande, o erro cometido será bem maior que o original Com base nesses problemas Sperandio(00, p 86) relata que as estratégias de pivoteamento visam assegurar a estabilidade numérica do método da eliminação de Gauss, e podemos acrescentar também o método da fatoração LU, onde deve-se a cada passo procurar levar para a k-ésima linha e k-ésima coluna para ser o pivô da operação o elemento de maior valor absoluto Este procedimento se faz por meio de duas estratégias: Estratégia de pivoteamento parcial e completo Estratégia de Pivoteamento Parcial: Tal estratégia consiste nos seguintes passos: No inicio da etapa k da fase de eliminação, escolher para o pivô o elemento de maior modulo entre os coeficientes a k ik, i = k,k +,,n Trocar as linhas k e i se for necessário Estratégia de Pivoteamento Completo Nesta estratégia, no inicio da etapa k é escolhido para pivô, o elemento de maior modulo entre todos os elementos que ainda atuam no processo de eliminação max a (k ) i j = a (k ) rs = pivô = a (k ) rs (4)

10 Essa estratégia não é muito empregada, pois exige um maior esforço computacional do que o pivoteamento parcial, em decorrencia das muitas comparações realizadas 45 Condicionamento de matrizes Na resolução de sistemas de equações lineares se faz necessário verificar alguns aspectos, tais como: Verificar se o sistema tem solução; Encontrar um modo eficiente de resolver as equações do sistema, Verificar se a solução das equações é muito sensível a pequenas mudanças nos coeficientes Este último ponto ocorre devido a um fenômeno chamado mal condicionamento que está diretamente ligado ao fato da matriz A ter seu determinante próximo de zero, ou seja, devido ao fato da matriz ser próxima de uma matriz singular Um sistema é considerado bem condicionado, quando a solução obtida for razoavelmente precisa, ou seja, quando o vetor resíduo, que é a diferença entre a solução exata do sistema e a solução aproximada, for próximo do vetor nulo Mas essa afirmação não é verdadeira em alguns casos, onde percebemos asse aspecto quando realizamos pequenas mudanças nos elementos do sistema, e através dessas pequenas mudanças é gerado um vetor resíduo Portanto, a menos que os coeficientes das matrizes do sistema sejam dados com uma certa precisão, é perigoso fazer algum comentário sobrer a solução de um sistema Lembrando que não é toda solução aproximada de equação mal condicionada que gera resíduo, e sim algumas soluções aproximadas de equações mal condicionadas que fornecem resíduos pequenos O efeito dessas perturbações é analisado usando as definições de norma de uma matriz, onde, a partir deste conceito seremos capazes de definir as noções de limites de uma sequencia de matrizes, onde este conceito é muito útil no estudo de convergência dos métodos iterativos de solução de sistemas de equações lineares e também dos problemas de erros de arredondamento que ocorrem nos processos de cálculo onde intervêm matrizes Então, para a definição de norma de uma matriz consideramos um conjunto de matrizes n n, com as operações de soma de matrizes e produto por um escalar que formam um espaço vetorial E de dimensão n Logo, chamamos de norma de uma matriz A, representado por A, uma função qualquer definida no espaço vetorial das matrizes n n com valores em R, que atendam as seguintes condições: A 0 e A = 0 A = 0 (Matriz Nula), λa = λ A para todo escalar λ, A + B A + B (Desigualdade Triangular) Com isso podemos então falar em norma de uma matriz A E

11 Existem três normas de matrizes: norma linha, norma coluna e a norma euclidiana Para a definição dos tipos de norma consideramos que A e uma matriz n n, de modo que: n A = max a i j (Norma Linha); i n j= n j n i= A = max A E = n i, j= a i j (Norma Coluna); a i j (Norma Euclidiana) Para Campos (955, p 4) Uma norma matricial A é considerada consistente com uma norma vetorial x se, para qualquer matriz A(m n) e vetor x(n ), tem-se que Ax A x Uma norma matricial consistente A é dita subordinada a uma norma vetorial y se para qualquer matriz A(m n) existe um vetor y(n ), y 0, tal que Ay = A y Se a norma for subordinada, então Ab A b As normas matriciais da linha e da coluna são consistentes e subordinadas às respectivas normas vetoriais Note que, associamos a matriz com um escalar não negativo que de alguma forma irá medir suas grandezas Nesse ponto, considere a condição de um sistema linear não singular dado por Ax = b Sabendo que A é não singular, então a solução do sistema pode ser vista da seguinte forma: x = A b Como os dados estão expostos a pequenas perturbações e x é a solução do sistema Ax = b, considere uma pequena perturbação no vetor b da forma b + δb, onde δ é uma pequena variação no vetor b e seja a matriz A conhecida e exata Com isso, a solução x também será perturbada, da seguinte forma x + δx, então temos: A(x + δx) = b + δb (5) (x + δx) = A (b + δb) (6) A partir daí temos que relacionar δx com δb, ou seja, saber o quanto uma perturbação em δx afeta numa perturbação em δb Com isso, adotamos o seguinte procedimento: Sendo a matriz A não singular, então: Ax + Aδx = b + δb = Aδx = δb, (7) δx = A δb (8) Agora, aplicando normas consistentes em ambos os membros, teremos: De maneira semelhante com Ax = b, obtemos: δx A δb (9) b A x (0)

12 Realizando uma multiplicação membro a membro entre as duas ultimas equações, teremos: Agrupando os termos, temos: δx b A A δb x () δ x x A A δb b () Dessa forma uma perturbação em x está relacionada com uma perturbação em b pela constante multiplicativa Assim definimos o numero de condição de A, como sendo: Dessa forma, temos: A A () cond(a) = A A (4) δ x x cond(a) δb b (5) De acordo com Franco (006, p 4) Algumas observações são necessarias para o numero de condição A, como: cond(a) De fato: cond(a) = A A AA = I = (6) δ b pode ser compreendido como um erro relativo em b, e o erro ocorrido em δb b b dependerá do valor do numero de condição, que no qual é maior ou igual a Se cond(a) é muito grande, então pequenas perturbações relativas em b, causará grandes perturbações relativas em x, e assim o problema de resolver Ax = b é dado como mal condicionado 4 O cond(a) será considerada como grande, quando seu valor for por volta de 0 4 ou maior 5 MÉTODOS ITERATIVOS Segundo Ferreira (009, p 9) "uma das ideias fundamentais em calculo numérico é da iteração ou aproximação sucessiva da solução do sistema" Nesse ponto, considerando um sistema linear da forma Ax = b, onde A = a i j, i, j =,,,n e det(a) 0, um método para calcular a solução deste sistema é dito iterativo quando fornece uma sequencia de soluções aproximadas, em que cada solução é obtida da anterior pela aplicação de um mesmo procedimento

13 A ideia central dos métodos iterativos é generalizar o método numérico do ponto fixo aplicado na busca de raízes de funções, ou seja, repetir um determinado procedimento varias vezes obtendo a cada repetição (iteração), um resultado mais aproximado do que o obtido na iteração anterior Dessa forma, iremos tratar apenas das classes dos métodos iterativos estacionários, onde um método iterativo para ser considerado estacionário deve ter uma função de iteração que seja a mesma durante todo o processo, logo visto que, nessa classe, os resultados obtidos em cada iteração é uma função somente do resultado da iteração anterior Com isso, o sistema é convertido de alguma forma em um sistema x = Cx + g, onde C e uma matriz nn n e g é um vetor n Dessa forma, φ(x) = Cx + g é uma função de iteração dada na forma matricial Conforme dito, cada iteração é proveniente do resultado da iteração anterior, então, para que o processo iterativo tenha inicio é necessário uma estimativa inicial x 0 do sistema A obtenção desses valores pode ser feita de diversas formas conforme o problema a ser resolvido Contudo, caso o sistema obedeça alguns critérios, que veremos adiante, o processo convergirá, independente dos valores adotados para a solução inicial Dessa forma, iremos tratar apenas de sistemas que atendam seus respectivos critérios de convergência, onde geralmente estimamos os valores de x (0) pelo quociente entre os elementos do vetor b e os respectivos elementos da diagonal principal do sistema, ou seja, x (0) = b i a ii Partindo do vetor de aproximação inicial x (0), o esquema iterativo é construído obtendo os seguintes vetores consecutivamente, até chegarmos a aproximação x (k+) x () = Cx (0) + g (7) x () = Cx () + g (8) x (k+) = Cx (k) + g (9) Assim, para obtermos a solução x do sistema linear Ax = b, é necessário determinar uma sequencia de vetores x (),x (),,x (k) que seja convergente para a solução x, isto é: 5 Critérios de parada para os métodos iterativos lim k x(k) = x (40) Os processos iterativos não possuem sempre a garantia de convergência para a solução O que pode acarretar na repetição do processo de forma infinita Outro aspecto que devemos observar é se a solução encontrada já é próxima o suficiente da precisão adotada Nesse ponto, é necessário adotar critérios de parada para podermos finalizar o processo iterativo quando este convergir para solução x do sistema, ou para saber quando o processo esta divergino

14 Podemos adotar dois tipos de critérios de parada: Por distância relativa e por numero de iterações O primeiro envolve uma precisão desejada ε considerada, e o processo é repetido até que o vetor x (k+) esteja suficientemente próximo do vetor x (k) Para obtermos esse parâmetro, calculamos inicialmente o módulo da distância absoluta máxima entre os componentes de duas soluções consecutivas, d (k+) dado por: d (k+) = max i n x(k+) i x (k) i (4) Em seguida efetuamos uma divisão entre d (k) e o máximo valor em módulo de x (k+) que é o máximo valor da solução atual O resultado dessa divisão, é a distância relativa representada por d r (k+), seu valor deve ser menor que a precisão ε De forma geral, esse critério de parada e dado da seguinte forma: d (k+) d r (k+) = max i n x(k+) i < ε (4) O segundo critério de parada adotado é o de número máximo de iterações Nesse critério, ao atingir um determinado numero de iterações o sistema para, com isso, se o sistema divergir, não continuará a executar o processo infinitamente 5 Métodos iterativos de Gauss-Jacobi Seja o sistema genérico abaixo: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a m x + a m x + + a mn x n = b m (4) Supondo que a ii 0, i =,,,n Isolamos o vetor x mediante a separação pela diagonal, com a finalidade de estabelecer um esquema iterativo da seguinte forma: x = (b a x a x a n x n ) a x = a (b a x a x a n x n ) (44) x n = a n (b n a n x a n x a n,n x n ) Logo, temos x = Cx + g sendo:

15 0 a a a a a n a C = a a 0 a a a n a (45) a n a nn a n a nn a n a nn 0 g = b a b a b n (46) a nn O método de Gauss-Jacobi consiste em, dado x (0), obter x (),,x (k) através da relação recursiva x (k+) =Cx (k) + g x (k+) = (b a x (k) a a x (k) a nx n (k) ) x (k+) = a (b a x (k) a x (k) a nx (k) n ) x (k+) n = a nn (b n a n x (k) a nx (k) a n,n x (k) n ) (47) 5 Métodos iterativos de Gauss-Seidel Nesse método, o processo iterativo consiste em, dado x (0), calcular uma sequência convergente x (),x (),,x (k) definida por:

16 x (k+) = a (b a x (k) a x (k) a nx (k) n ) x (k+) = a (b a x (k+) a x (k) a nx (k) n ) x (k+) = a (b a x (k+) a x (k+) a n x (k) n ) x (k+) n = a nn (b n a n x (k+) a n x (k+) a n,n x (k) n ) (48) Portanto, no processo iterativo de Gauss-Seidel, no momento de se calcular x k+ j, usamos todos os valores x k+,,x k+ j que já foram calculados e os valores x(k) j+,,x(k) n restantes 54 Condições de convergência para métodos iterativos Matriz Diagonalmente Dominante Dizemos que uma matriz A (n n) e diagonalmente dominante quando os elementos da diagonal principal forem maior que o somatório dos outros elementos da linha, ou seja, quando a seguinte condição for satisfeita; a kk > n a k j, k, j =,,,n (49) k=, j Considerando um sistema linear do tipo Ax = b, se A é uma matriz diagonalmente dominante, então a sequência de iteracões para o método de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel converge para a solucão do sistema Critério das Linhas Seja o sistema linear Ax = b, então uma condição suficiente para a convergência desse sistema através dos métodos iterativos é que; α k = n a k j i=i k, k, j =,,,n (50) a kk Se α = max k n α k <, então os métodos iterativos geram uma sequência x (k) convergente para a solução do sistema dado, independente da escolha da aproximação inicial x (0) Quanto mais aproximada de zero estiver α k,mais rápido será a convergência para a solução do sistema Critério das Colunas

17 O critério das colunas é outra condição suficiente para que os métodos iterativos gerem uma sequencia x (k) convergente para a solução do sistema, independente da solução inicial x (0) Esse critério é satisfeito quando: a kk > n a k j, k, j =,,,n (5) j= j k quanto mais aproximada de zero estiver a relação n a k j j= j k, mais rápida será a con- a kk vergência para a solução do sistema Critério de Sassenfeld O critério de Sassenfeld nos garante que o método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente e β = a + a + + a n a β j = a j β + a j β + + a j j β j + a j j+ β j+ + + a jn a j j Seja β = max j n β j, se β <, o método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente, qualquer que seja x (0)

18 RESULTADOS E DISCURÇÕES EXEMPLOS Eliminação de Gauss Considere o sistema linear a ser resolvido: x + x + 4x = x + x + x = 4x + x x = Nesse caso, a matriz aumentada [A 0 b 0 ] pode ser representada por: b (0) [A 0 b 0 ] = b (0) b (0) = 4 4 Para melhor interpretação do procedimento da Eliminação de Gauss chamaremos de L a primeira linha, L a segunda é L a terceira linha A partir daí, segue-se os seguintes passos: Passo Escolhemos o elemento como pivô, de forma a eliminar aqueles que estão abaixo dele, ou seja, o primeiro passo é eliminar os elementos a e a das linhas L e L, respectivamente Diante disso, deve-se: (i) Determinar o elemento pivô é obter os multiplicadores das respectivas linhas:, pivô : = m = a(0) = e m = a(0) = 4 (ii) Realizar as transformações equivalentes sobre as linhas: L () = L m L L () = L m L Dessa forma teremos uma matriz do tipo [A () b () ] que é equivalente a matriz [A b], representada a seguir: 4 [A () b () b (0) ] = 0 a () a () b () = a () a () b (), 0 5

19 Passo Agora temos que escolher um novo pivô para o sistema, tal pivô será o elemento a (), pois nossa finalidade agora é eliminar o elemento a () da linha L para assim transformar o sistema em um sistema triangular superior equivalente ao original Diante disso, temos que: (i) Escolher o multiplicador da linha L () que será dado por: m = a() a () = (ii) Realizar as transformações equivalentes sobre a linha L da seguinte forma: = L () = L () m L () Com isso temos uma matriz do tipo [A () b () ] equivalente a matriz [A b], representada a seguir: [A () b () ] = b (0) 0 a () a () b () 0 0 a () b () = 4 0 5, A partir daí, o sistema triangular superior [A () b () ] ficará da seguinte forma: Ax = b x + x + x n = b (0) a () x + a () x = b () a () x = b () x + x + 4x = x + x = 5 8x = 0 Passo Para encontrar a solução deste sistema, realizamos o procedimento de substituições retroativas: (i) Isolamos o x da linha L de modo a obter seu valor como segue x = b a = x = 0 8 = x = 0

20 (ii) Substituímos o valor de x na linha L para encontrar o valor de x x = b a x a = x = 5 0 = x = 5 x (iii) Substituímos os resultados de x é x na linha L, para encontramos o resultado de x = b a x a x = x = = x = a Obtendo como solução desse sistema o vetor x = Fatoração LU Resolvendo o mesmo sistema apresentado, e utilizando o método da Fatoração LU, onde sabemos que a matriz A é decomposta em um produto de dois fatores, e que o processo de eliminação das variáveis é igual ao utilizado na Eliminação de Gauss Podemos iniciar partindo da última etapa da fase de eliminação do método de Gauss Com isso os fatores L e U são representados da seguinte forma: L = 0 0 m 0 m m e U = a () a () 0 0 a () Agregando os valores utilizados no exemplo anterior, temos a seguinte representação da decomposição da matriz A nos fatores L e U respectivamente A = LU = = A partir daí, para chegamos a solução do sistema temos que realizar os seguintes passos: Passo

21 Encontramos os valores do vetor y do sistema triangular inferior Ly = b representado a seguir: y = y = b Ly = b = m y + y = b = y + y = m y + m y + y = b 4 y + y + y = (i) Pela primeira equação encontramos o valor de y y = b = y = (ii) Substituímos o valor de y na segunda equação de modo a obter o resultado de y y = b m y = y = = y = 5 (iii) Agora substituímos y é y na terceira equação para obtermos o valor de y y = b m y m y = y = 4 5 = y = 0 Encontrando para y o seguinte resultado: y = 5/ 0 Passo Encontrado o vetor y, substituímos seus valores no sistema triangular superior Ux = y representado a seguir, para podemos determina a solução x do sistema Ax = b = a x + a x + a x = y a x + a x = y a x = y = (i) Pela equação da terceira linha determinemos o valor de x x + x + 4x = x + x = 5/ 8x = 0 x = y a = x = 0 8 = x = 0 (ii) Em seguida, substituímos o valor de x na segunda equação para obtermos o valor de x 5 x = y a x a = x = 0 = x = 5 (iii) Por fim, substituímos x e x na primeira equação de modo a obtermos o valor de x x = y a x a x = x = = x = a

22 Tendo como solução para o sistema o vetor x = 5 0 Logo, percebemos que para um dado sistema linear do tipo Ax = b onde a matriz A seja não singular, ao utilizarmos os métodos diretos para determinar a solução deste sistema o resultado encontrado será sempre o mesmo, independente se utilizarmos o método da Eliminação de Gauss ou Fatoração LU Gauss-Jacobi Aplicar o método de Gauss-Jacobi, com uma aproximação inicial x (0) = b i a ii e uma precisão desejável ε = 005 para resolver o seguinte sistema linear: 0x + x + x = 7 x + 5x + x = 8 x + x 0x = 6 O primeiro passo na resolução de sistemas lineares através dos métodos iterativos é verificar se o sistema tem garantia de convergência para a solução x do sistema Por este motivo, usaremos para o método de Gauss-Jacobi o critério das linhas, como segue adiante: α = a + a a α = a + a a α = a + a a = α = + 0 = α = 0 = α = + 5 = α = 0 = α = + 0 = α = 05 Como maxα k = 05 <, logo temos garantia de convergência do sistema através do método de Gauss-Jacobi A partir daí, determinamos a função de iteração mediante a separação de x k da diagonal principal: x (k+) = a (b a x (k) a x (k) ) x (k+) = a (b a x (k) a x (k) ) = x (k+) = (7 x(k) 0 x(k) ) x (k+) = ( 8 x(k) 5 x(k) ) x (k+) = a (b a x (k) a x (k) ) x (k+) = (6 x(k) 0 x(k) )

23 Como dado no inicio da questão, a aproximação inicial é: x (0) = b a b a b a = x (0) = Com isso, damos inicio as iterações do método de Gauss-Jacobi, onde a partir de x (0) encontramos x () da etapa k = 0 da seguinte forma: x () = (7 ( 6) 06) = x () = ( ) = 86 5 x () = (6 07 ( 6)) = Logo: x () = Verificando o critério de parada, calculamos a distância relativa d () entre os vetores x (0) e x (), temos: x () x (0) = = 06 E, portanto temos que: x () x (0) = 86 ( 6) = 06 x () x (0) = = 04 d () d r () = max i n x() i = = 088 > ε Como não obedeceu ou atingiu o critério de parada, temos que prosseguir com o método

24 Agora, na etapa k =, substituindo os valores do vetor x () na função de iteração de modo a encontrar um novo vetor x () x () = (7 ( 86) 094) = x () = ( ) = x () = (6 096 ( 86)) = logo, x () = Verificando o critério de parada, calculamos a distância relativa d () entre os vetores x () é x (), então temos: Portanto temos: x () = = 008 x () x () x () = 980 ( 86) = 0 x () = = 006 x () d () d r () = max i n x() i = = > ε Como, não obedeceu ao critério de parada Partimos para a etapa k =, onde substituiremos os valores do vetor x () na função de iteração para encontrar x () : x () = (7 ( 98) 0966) = x () = ( ) = x () = ( ( 98)) = Logo:

25 x () = Novamente verificamos o critério de parada calculando a distância relativa d () entre os vetores x () é x (), então temos que: x () x () = = 004 x () x () = 9888 ( 980) = x () Com isso temos que: x () = = 004 d () d r () = max i n x() i = = 006 < ε Atingido o critério de parada, a solução x do sistema linear com erro menor que 005, obtida pelo método de Gauss-Jacobi é: x = x () = Gauss-Seidel Aplicar o método de Gauss-Seidel com a aproximação inicial x (0) = e uma precisão ε = 005, para obter a solução do sistema linear dado a seguir: 5x + x + x = 5 x + 4x + x = 6 x + x + 6x = Determinamos, primeiramente, se o sistema tem uma garantia de convergência para a solução do sistema Então, para o método de Gauss-Seidel utilizamos o critério de Sassenfeld, como mostrado a seguir: β = a + a a β = a (β ) + a a β = a (β ) + a (β ) a = = + 5 = 04 = (04) + 4 = 055 (04) + (055) 6 = 0475

26 Como max j n β j = 055 <, o critério de Sassenfeld é satisfeito, com isso podemos garantir que o processo de Gauss-Saidel irá convergi para solução do sistema De forma análoga ao método de Gauss-Jacobi, determinamos a função de iteração mediante a separação de x k da diagonal principal: x (k+) = a (b a x (k) a x (k) ) x (k+) = a (b a x (k+) a x (k) ) = x (k+) = (5 x(k) 5 x(k) ) x (k+) = (6 x(k+) 4 x (k) ) x (k+) = a (b a x (k+) a x (k+) ) x (k+) = (0 x(k+) 6 x (k+) ) A partir da aproximação inicial x (0) determinamos o vetor x () na etapa k = 0 x () = (5 0 0) = 5 x () = (6 0) = x () = (0 075) = Logo: x () = Verificando o critério de parada, calculamos a distância relativa d () entre os vetores x (0) e x () : x () x (0) = 0 = x () x (0) = = 075 x () x (0) = = 0875 Logo temos que: d () r = max d () i n x() i = = > ε Como o processo não convergiu na primeira iteração, temos que prosseguir com o método na etapa k =

27 Substituindo os valores do vetor x () na função de iteração de modo a obter x () : x () = (5 075 ( 0875) = 05 5 x () = (6 05 ( 0875) = x () = ( ) = Logo: x () = Novamente verificamos o critério de parada, agora calculando a distância relativa d () entre os vetores x () é x () x () = 05 = 005 x () x () = ) = 0 x () x () E para d r (), tem-se que: x () = ( 0875) = 05 d () d r () = max i n x() i = 0 05 = 095 > ε como o processo não convergiu para a solução do sistema na segunda iteração, partimos para a terceira iteração Nesta etapa k = e utilizamos os valores do vetor x () para obtermos x () x () = (5 095 ( 09875) = x () = ( ( 09875) = Logo, x () = ( ) = x () =

28 Agora, determinamos d () dos vetores x () e x () x () E, portanto, d () r é: x () = = 0075 x () x () = = 004 x () x () = 0999 ( 09875) = 008 d () d r () = max i n x() i = = < ε Assim, dado que o critério de parada foi atingido, segue que a solução do sistema linear com ε < 005 para o método de Gauss-Seidel é: x = x () = CONTRA-EXEMPLOS Eliminação de Gauss com pivô próximo de zero Considere o sistema linear a seguir { 0000x + x = 5 x + x = 6 Primeiramente iremos resolver o sistema sem utilizar os artifícios da estratégia de pivoteamento e vamos supor que temos que trabalhar com aritmética de três dígitos Então, podemos representar o sistema da seguinte forma: { 0 0 x x = x x = 06 0 Então, a matriz aumentada do sistema é dada a seguir: [ [A (0) b (0) ] = ] Determinamos o pivô e o multiplicador m pivô : a = 0 0, m = 0 0 =

29 Agora efetuamos as transformações elementares na segunda linha a () = a(0) m = 0 0 (0 0 5 ) (0 0 ) = 0 a () = a(0) m = 0 0 (0 0 5 ) (0 0 ) = b () = b (0) m b (0) = 06 0 (0 0 5 ) (05 0 ) = Logo, temos que: [ [A () b () ] = ] Efetuando as substituições do sistema A () x = b (), determinamos que: x = = x = = x = 05 0 = x = x +(0 0 ) (05 0 ) = 05 0 = x = = x = 0 Portanto, x = (0,5) T Contudo, percebemos que x não satisfaz a segunda equação do sistema, pois = 5 6 Agora, utilizando estratégia de pivoteamento parcial para o mesmo exemplo, ainda com aritmética de três dígitos, temos a seguinte matriz aumentada: [ [A (0) b (0) ] = 06 0 ] Agora, o elemento pivô e o multiplicador m serão: pivô : a = 0 0, m = 0 0 = Efetuando as transformações de forma análoga ao que foi feito anteriormente, obtemos a nova matriz aumentada equivalente a [A (0) b (0) ] [ [A () b () ] = 06 0 ] Realizando as substituições cabíveis, temos: 0 0 x = 05 0 = x = = x = 05 0 = x = x +(0 0 ) (05 0 ) = 06 0 = x = = x = 05

30 Logo, temos como vetor solução x = (05,5) T que satisfaz simultaneamente as duas equações do sistema como segue = = 6 Lembramos que ao resolvermos esse mesmo sistema através do método da fatoração LU, iremos nos deparar com os mesmos problemas quanto aos erros de arredondamento Consequentemente, tem-se a necessidade de utilizar as técnicas de pivoteamento de forma semelhante a usada no método da eliminação de Gauss, pois tanto as técnicas de pivoteamento quanto os erros de arredondamento, tem o mesmo significado em ambos os métodos Condicionamento de matrizes Entende-se por matriz mal condicionada a matriz cujo determinante é muito pequeno quando comparado com a ordem de grandeza de seus elementos ou analisando o produto entre a norma da matriz com a sua inversa São matrizes que, quando envolvidas na solução de sistemas lineares, tornam os resultados poucos confiáveis, pois pequenos arredondamentos nos componentes da matriz, ou em resultados intermediários, alteram profundamente o calculo final das raízes do sistema Tendo num sistema linear uma matriz mal condicionada, os cálculos deverão ser feitos com a maior precisão possível, procurando minimizar a propagação desses erros, que são críticos nesse caso Diante disso,a analise da matriz a seguir por um método iterativo (com critério de parada e = 0 ou um limite de dez iterações), considerando o truncamento com três, cinco e dez casas decimais e compare as soluções encontradas, em relação a cada método, analisando se todas as soluções encontradas satisfazem o sistema , , 5 0 x x x = 4 7 0,0 Verificamos primeiramente o condicionamento da matriz a partir do determinante, então temos que: det(a) = ,05 = det(a) = 0,05 Comparando os valores de cada elemento da matriz A com o resultado do determinante, percebese que a ordem de grandeza dos elementos da matriz é bem maior que o resultado do determinante, demostrando que a matriz é mal condicionada Outra forma de analisar o condicionamento de uma matriz é através do produto entre as normas de A e A Com o auxilio do SCILAB determinamos a matriz inversa de A, representada por A como dado aseguir: A =

31 Usando norma da linha em ambas as matrizes, temos: n A = max a i j = A = ,5 + 0 = A = 909,5 i n j= A n = max a i j = A = = A = 6 i n j= e, portanto, para o numero de condição de A tem-se: cond(a) = A A = cond(a) = 909,5 6 = cond(a) Logo, temos que a ordem de grandeza de cond(a) = 0 5 > 0 4 comprovando que a matriz A é mal condicionada Critérios de Convêrgencia Utilize um método direto e um iterativo (com critério de parada ε = 0 ou um limite de 0 iterações), para calcular a solução do sistema abaixo, considerando truncamento com três casas decimas após a virgula Antes verifique se os sistemas atendem aos critérios de existência de solução no caso do método direto, ou de convergência, no caso do método iterativo Solução: 7x + x + x = 5 x x = 0 7x x = 5 Primeiramente verificamos se o sistema admite solução para os métodos diretos, para isso chamaremos de A a matriz dos coeficientes do sistema, sendo que a solução só e garantida, se a matriz dos coeficientes A for uma matriz não singular, ou seja, se o determinante de A for diferente de zero A = Calculando o determinante da matriz A, temos que: det(a) = = det(a) = 98 0 Logo, temos garantia de convergência para o sistema através dos métodos diretos Utilizando o método da eliminação de Gauss de forma análoga ao exemplo 4, obtemos como solução do sistema o seguinte vetor: x =

32 Agora, verificamos se o sistema admite solução para os métodos iterativos Onde, a solução só é garantida se o sistema atender algum dos critérios de convergência Então verificamos se o sistema atende ao critério das linhas, como mostrado a seguir: α = a + a a α = a + a a α = a + a a = α = + 7 = α = 0 + = α = = α = 04 = α = 50 = α = Como maxα k = >, logo pelo critério das linhas não temos garantia de convergência para sistema Aplicando o método de Gauss-Jacobi com solução inicial x (0) = b i a ii obtemos, os seguintes resultados para o sistema: Tabela - Método de Gauss-Jacobi com x (0) = b i a ii Iteração x x x d d r Critério 0 0,7 0,00, ,95,50 0,00,499 Continua,4 0,00-0,55,499,75 Continua 0,64-0,8 -,66, 0,6686 Continua 4 0,4 -,49 0,8,84 0,789 Continua 5 0,0 0,7,0,76,5090 Continua 6 0,95,65,60,8 0,86 Continua 7,4,40-0,54,4 0,896 Continua 8, -0,8 -,6,,969 Continua 9 0,5 -,45 -,4,65 0,6687 Continua 0-0,9 -,,08,49,77 Continua Fonte - autoria própri Logo, o sistema não convergiu após as 0 iterações para o método de Gauss-Jacobi com solução inicial x (0) = b i a ii Onde, percebemos que está ocorrendo uma divergência entre os valores de x, x e x e consequentemente nos resultados de d r Com os mesmos dados do sistema anterior, aplicamos o método de Gauss-Seidel também com solução inicial x (0) = b i a ii E obtemos os seguintes resultados: Tabela - Método de Gauss-Seidel com x (0) = b i a ii

33 Iteração x x x d d r Critério 0 0,7 0,00, ,95,50-0,55,5 Continua,5-0,8 -,48,5,466 Continua 0,7 -,,04,5,5 Continua 4 0,,56,,78,40 Continua 5,,70 -,4,54,4985 Continua 6,00 -, -0,65,85,804 Continua 7 0,0-0,98,6,7,40 Continua 8 0,67,4 0,,405,40 Continua 9,4 0,7 -,65,65,77 Continua 0 0,5 -,48 0,4,64,0666 Continua Fonte - autoria própri De forma semelhante ao ocorrido no método de Gauss-Jacobi, o sistema não convergiu para o método de Gauss-Seidel com o limite de 0 iterações Agora, utilizando como solução inicial x (0) = (0,0,0) T para o método d Gauss-Jacobi, obtemos os seguintes resultados: Tabela - Método de Gauss-Jacobi com x (0) = (0,0,0) T Iteração x x x d d r Critério 0 0,00 0,00 0, ,7 0,00,66,66 Continua 0,95,49 0,00,49 Continua,4 0,00-0,55,49,747 Continua 4 0,64-0,8 -,65, 0,6666 Continua 5 0,4 -,48 0,8,8 0,79 Continua 6 0,0 0,7,0,745,4954 Continua 7 0,95,65,59,8 0,86 Continua 8,4,9-0,54, 0,890 Continua 9, -0,8 -,6,95,97 Continua 0 0,5 -,4 -,40,6 0,6666 Continua Fonte - autoria própri logo, o sistema não convergiu após 0 iterações para o método de Gauss-Jacobi com solução inicial x (0) = (0,0,0) T Agora, utilizando x (0) = (0,0,0) T para o método de Gauss-Seidel, o sistema converge na o iteração, como representado na tabela a seguir: Tabela 4 - Método de Gauss-Seidel com x (0) = (0,0,0) T Iteração x x x d d r Critério 0 0,00 0,00 0, ,7 0,00 0,00 0,74 Continua 0,7 0,00 0,00 0,00 0,00 Convergiu Fonte - autoria própri

34 Este exemplo é muito importante, pois ilustra que mesmo não obedecendo aos critérios de convergência os métodos iterativos pode convergir para a solução do sistema em algumas circunstâncias, o que ressalta que os critérios de convergência são suficientes, porém não necessários, ou seja, um sistema pode convergir para a solução do sistema, mesmo que não atenda aos critérios iniciais de garantia de convergência

35 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS Os métodos diretos e iterativos usados na resolução de sistemas de equações lineares diferem em vários aspectos quanto numero de iterações, convergência, erro de arredondamento, entre outros Em contra partida, possuem em comum o mesmo objetivo, que no qual é encontrar um vetor solução que satisfaça todas as equações do sistema simultaneamente, embora com métodos diferentes Dentre outros aspectos podemos dizer que os métodos diretos possuem uma pequena vantagem em relação aos métodos iterativos por poder ser utilizado na resolução de qualquer tipo de sistema de equações lineares, desde que possua a matriz dos coeficientes não singular, ou seja, que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero Enquanto nos métodos iterativos a convergência só é garantida sob a forma de determinadas condições, ou seja, é necessário que a matriz dos coeficientes atenda algum dos critérios de convergência para termos a certeza que o método irá gerar uma sequencia de vetores convergente para a solução do sistema Através dos métodos diretos é impossível chegarmos a solução do sistema quando trabalhado com pivô nulo, e quando trabalhado com pivô próximo de zero este método apresenta problemas com erros de arredondamento que afetam a solução final do sistema Uma maneira de conter estes fatores e a utilização das técnicas de pivoteamento Já para os métodos iterativos os erros de arredondamento não afetam de forma significativa a solução final e não levam a divergência do processo quanto a solução, assim como também a convergência para outro vetor que não seja a solução do sistema Os métodos diretos geralmente são usados para resolver sistemas de equações densos de porte pequeno, enquanto métodos iterativos são usados principalmente na resolução de sistemas de porte grande De modo geral é raro o uso dos métodos iterativos para resolver sistemas de porte pequeno, pois o tempo requerido para obter um mínimo de precisão ultrapassa o requerido pelos métodos diretos Podemos citar uma vantagem dos métodos iterativos em relação aos métodos diretos, quanto a preservação da esparsidade da matriz dos coeficientes, onde este é um fator muito importante quando se trata de resolver um sistema de equações lineares, pois a grande quantidade de elementos nulos influência diretamente na escolha do método para resolver o sistema Já nos métodos diretos basicamente são realizadas transformações elementares sobre as linhas da matriz eliminando com a esparsidade da mesma, em contra partida ocorre um aumento no espaço necessário para o armazenamento da matriz e também no esforço computacional realizado para a resolução numérica do sistema Com tudo, ao resolver um sistema de equações lineares se faz necessário primeiramente conhecer a natureza do problema para que em seguida possamos escolher qual o método que deve ser utilizado para resolver o problema e obter dessa forma um resultado mais preciso e satisfatório Dessa forma, apresentamos uma tabela com um comparativo entre os métodos diretos e iterativos na abordagem de cinco aspectos diferentes