O MODELO CLÁSSICO DE REGRESSÃO LINEAR (MCRL), O TEOREMA DE GAUSS- MARKOV E A VIOLAÇÃO DOS PRESSUPOSTOS.

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1 ECONOMETRIA II INTRODUÇÃO ESTADO DE MATO GROSSO O MODELO CLÁSSICO DE REGRESSÃO LINEAR (MCRL), O TEOREMA DE GAUSS- MARKOV E A VIOLAÇÃO DOS PRESSUPOSTOS. Lindomar Pegorini Daniel 1 1. O Modelo Clássico de Regressão Linear (MCRL) O termo regressão foi criado por Francis Galton. Em um artigo famoso de 1886, Galton verificou que os filhos de pais mais altos e os filhos de pais mais baixos tendiam a apresentar uma altura que se assemelhava a altura média da população. Em outras palavras, a estatura dos filhos de pais com certa altura tendia a regredir para a altura média da população como um todo. A análise de regressão tornou-se a base da econometria e, atualmente, refere-se ao estudo da dependência de uma variável (dependente), em relação a outras variáveis (explicativas). A análise de regressão é uma ferramenta interessante, pois consegue aproximar a Função de Esperança Condicional (Conditional Expectation Function CEF) ou Função de Regressão Populacional (RFP) ou ainda Função de Média Condicional. A partir disso, ela é utilizada para estimar e/ou prever o valor médio da variável dependente em termos dos valores conhecidos ou fixados (em amostras repetidas) das variáveis explicativas. CEF: 1 Professor Assistente da Universidade do Estado de Mato Grosso (UNEMAT) Campus de Sinop.

2 Segundo Angrist e Pischke (2008), a CEF será causal quando descrever as diferenças na média condicional da variável de interesse para uma população de referência fixa. Isso leva a hipótese de independência condicional (Conditional Independence Assumption - CIA) que muitas vezes fornece base para interpretações causais. Essa hipótese garante que a regressão pode representar relações causais, caso essa relação seja independente de outros resultados potenciais. Em outras palavras, pode-se estabelecer um contra factual desde que se possa controlar outros fatores, assim os grupos sendo comparados são realmente comparáveis. Pela teoria ou conhecimento a priori : Y i = f(x 1, X 2,, X m ) Por vários motivos, dentre eles a ausência de variáveis que representam certos fatores e o tratamento de relações inexatas pela economia, adicionamos um termo de erro aleatório: Y i = f(x 1, X 2,, X k, ε), (k < m) onde ε é o termo de erro aleatório. (padrão): Além disso, temos de definir uma forma funcional para a relação, geralmente o modelo linear Y i = β 1 X 1i + β 2 X 2i + + β k X ki + ε i onde i = 1,2,, n. As incógnitas β s representam o efeito médio da variável X i sobre Y. Y X 2 = β 2 efeito marginal de X 2 sobre Y, ceteris paribus. Em termos matriciais pode-se representar o modelo de regressão linear como: Y = Xβ + ε

3 O principal problema a ser abordado pela econometria é a estimação dos parâmetros e, para isso, queremos encontrar um estimador adequado que apresente propriedades 2 desejáveis (não tendenciosidade, consistência e eficiência) dado o problema em questão. Estimador de Mínimos Quadrados Ordinários: A teoria ou a estrutura básica da análise de regressão é o Modelo Clássico de Regressão Linear (MCRL), que trata das hipóteses ou pressupostos subjacentes ao estimador de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO). Sob a validade desses pressupostos é possível mostrar que o estimador de MQO é BLUE (Best Linear Unbiased Estimator). Além disso, as estruturas dos dados ditam ou impõem novos desafios à estimação econométrica. A base da econometria é a análise de regressão a partir da estrutura de dados seccionais, em outras palavras, toda a teoria econométrica é construída a partir dessa estrutura de dados. Nesse sentido, a utilização de dados com estrutura temporal, longitudinal ou espacial incluem novas hipóteses à estimação do modelo. Por esse motivo, tais estruturas de dados devem ser expostas e trabalhadas de forma separada. 2 Propriedades referentes à distribuição do estimador.

4 PRESSUPOSTOS OU HIPÓTESES SUBJACENTES AO MCRL 1) A relação entre Ye os X s é linear. Y = Xβ + ε Linear significando linearidade nos parâmetros. Relações não lineares (intrinsecamente lineares) que podem ser linearizadas podem ser estimadas pelos MQO, contudo a violação desse pressuposto, ou seja, modelos não lineares nos parâmetros (intrinsecamente não lineares) devem ser estimados por métodos não lineares. 2) Não há relação linear perfeita entre as variáveis explicativas. posto(x) = k Indica ausência de multicolinearidade perfeita entre as variáveis explicativas, esse pressuposto garante que a matriz (X X) é não singular e, portanto, assegura a existência da matriz (X X) 1. Caso posto(x) < k a matriz (X X) 1 é singular, o que impossibilita a estimação dos parâmetros. Outras hipóteses relacionadas a esse pressuposto são a de que o número de observações deve ser no mínimo maior que o número de parâmetros estimados (n > k) e a de que as variáveis explicativas possuam variabilidade suficiente. A violação desse pressuposto impossibilita a estimação dos parâmetros e torna os erros padrão infinitos. A presença de multicolinearidade forte não viola o pressuposto, nesse caso os estimadores de MQO preservam suas propriedades de BLUE, contudo os erros padrão tornam-se grandes e os testes de significância individual (t) tendem a aceitar a hipótese nula. 3) A matriz X é não estocástica, ou seja, os X s são fixos em amostras repetidas. Esse pressuposto indica que para cada valor fixo de X existe uma distribuição de probabilidade associada. Estamos interessados no valor médio condicional de Y para cada valor fixo de X. Caso X seja estocástico pressupõe-se que o mesmo não está correlacionado com o termo de erro X ε = 0.

5 4) A variável ε tem média zero. ESTADO DE MATO GROSSO E(ε i X i ) = 0 Implica que: E(Y) = E(Xβ) + E(ε) Como X é fixo e β é constante E(Xβ) = Xβ. Dado que E(ε) = 0, tem-se que: E(Y) = Xβ Em outras palavras, as variáveis incluídas no termo de erro não influenciam sistematicamente o valor médio de Y, ou seja, em média a influência do termo de erro para explicar Y é nula. Outras hipóteses relacionadas a esse pressuposto são as de que o modelo está bem especificado, ou seja, não existem erros de medida nas variáveis dependente e explicativas, não há variáveis relevantes omitidas ou relações endógenas entre regressor e regressores (X ε = 0) e (Y ε = 0). A violação desse pressuposto torna os estimadores de MQO tendenciosos e inconsistentes, porém mantém a eficiência dos estimadores. 5) Os erros ε i são variáveis aleatórias com variância constante (homocedasticidade). Var(ε i ) = σ 2 Var(ε i ) = E[ε i E(ε i )] 2 Dado E(ε) = 0: Var(ε i ) = E(ε 2 ) = σ 2 que é constante

6 O pressuposto de homocedasticidade garante que a dispersão dos diferentes níveis fixos de X em torno da média é constante, ou seja, é a mesma. Esse pressuposto assegura que a média condicional de Y possui a mesma precisão para os diferentes níveis da variável X. A violação desse pressuposto mantém as propriedades de não tendencioso e consistente dos estimadores de MQO, contudo eles não são mais eficientes e os testes estatísticos deixam de ser válidos. 6) Ausência de autocorrelação no erro. Cov(ε i ε j ) = 0 para i j O pressuposto de ausência de autocorrelação ou correlação serial no termo de erro assegura que não existe uma relação sistemática entre o termo de erro e a variável dependente, em outras palavras, o valor médio de Y não é afetado pelo termo de erro de forma sistemática, ou seja, um choque aleatório em um período que causa um aumento na média de Y não afetará o valor do mesmo nos próximos períodos. A violação desse pressuposto mantém as propriedades de não tendencioso e consistente dos estimadores de MQO, contudo eles não são mais eficientes e os testes estatísticos deixam de ser válidos. Observações: pressupostos 5 e 6 em forma matricial. Considere o produto εε ε 1 εε = ε. 2. [ε 1 ε 2... ε n] 1xn. [ ε n ] nx1 2 ε 1 ε 1 ε n εε = [ ] ε n ε 1 2 ε n nxn

7 E(ε 2 1 ) E(ε 1 ε n ) E(εε ) = [ ] E(ε n ε 1 ) E(ε 2 n ) Var(ε 1 ) Cov(ε 1 ε n ) E(εε ) = [ ] Cov(ε n ε 1 ) Var(ε n ) Dadas as pressuposições 5 (Var(ε i ) = σ 2 ) e 6 (Cov(ε i ε j ) = 0 para i j), tem-se: σ 2 0 E(εε ) = [ ] 0 σ 2 Com σ 2 em evidência: ω 1 0 E(εε ) = σ 2 [ ] = σ 2 Ω = Σ 0 ω n Para os pressupostos 5 e 6, Ω = I: E(εε ) Var Cov(ε) = σ 2 I 7) Os erros têm distribuição normal. Esse pressuposto é necessário apenas para os testes de hipóteses, ou seja, ele não influencia as propriedades dos estimadores de MQO. A adição desse pressuposto ao MCRL gera o MCRL normal (MCRLN). MQO. Esses pressupostos são, portanto, a base da análise de regressão utilizando os estimadores de

8 2. O Teorema de Gauss-Markov ESTADO DE MATO GROSSO Dadas as premissas do MCRL, os estimadores de MQO da classe dos estimadores lineares não viesados têm variância mínima, isto é, são o melhor estimador linear não viesado BLUE. Em outras palavras, sob a validade dos 6 primeiros pressupostos é possível demonstrar que o estimador de MQO é BLUE. i) o estimador de MQO é não tendencioso: Dada a premissa 2 (ausência de multicolinearidade perfeita) β = (X X) 1 X Y Dado Y = Xβ + ε (premissa 1 linearidade), substituindo: β = (X X) 1 X (Xβ + ε) β = (X X) 1 X Xβ + (X X) 1 X ε Dado (X X) 1 X X = I: β = β + (X X) 1 X ε Aplicando o operador de valor esperado: E[β ] = E[β] + E[(X X) 1 X ε] Dado que X é fixo em amostras repetidas por pressuposição (premissa 3): E[β ] = β + (X X) 1 X E[ε] Dado E[ε] = 0 por pressuposição (premissa 4): E[β ] = β Comportamentos de estimadores: não tendencioso (θ 1) e tendencioso (θ 2):

9 ii) o estimador de MQO é consistente: β = β + (X X) 1 X ε Aplicando o operador de limite de probabilidade: ESTADO DE MATO GROSSO plim n [β ] = plim n [β] + plim n [(X X) 1 X ε] Multiplicando e dividindo o segundo termo por (n) e resolvendo: plim n [β ] = β + plim n [( X X n ) 1 ] plimn [ X ε n ] O último termo tendo a zero: plim n [β ] = β Comportamento de um estimador consistente: iii) o estimador de MQO é eficiente: Considere o estimador linear de β de MQO: β = (X X) 1 X Y Dado Y = Xβ + ε (premissa 1 linearidade), substituindo: β = (X X) 1 X (Xβ + ε) β = (X X) 1 X Xβ + (X X) 1 X ε Dado (X X) 1 X X = I: β = β + (X X) 1 X ε Logo: β β = (X X) 1 X ε Dado que:

10 Var Cov(β ) = E[(β β)(β β) ] Var Cov(β ) = E[((X X) 1 X ε)((x X) 1 X ε) ] Var Cov(β ) = E[(X X) 1 X εε X(X X) 1 ] Var Cov(β ) = E[(X X) 1 X εε X(X X) 1 ] Var Cov(β ) = (X X) 1 X E(εε )X(X X) 1 Var Cov(β ) = (X X) 1 X (σ 2 Ω)X(X X) 1 Var Cov(β ) = σ 2 (X X) 1 X ΩX(X X) 1 Sob a validade dos pressupostos 5 e 6, Ω = I, então: Var Cov(β ) = σ 2 (X X) 1 Considere agora outro estimador linear de β que não o de MQO: β = [(X X) 1 X + C]Y Dado Y = Xβ + ε β = [(X X) 1 X + C][Xβ + ε] β = (X X) 1 X Xβ + (X X) 1 X ε + CXβ + Cε Dado (X X) 1 X X = I e o fato de que CX = 0 para que esse estimador seja não tendencioso: β = β + (X X) 1 X ε + Cε β β = (X X) 1 X ε + Cε Por definição, a matriz de variâncias e covariâncias de (β ) é: Var Cov(β ) = E[(β β)(β β) ] Então: Var Cov(β ) = E[((X X) 1 X ε + Cε )((X X) 1 X ε + Cε ) ] Resolvendo: Var Cov(β ) = E[(X X) 1 X εε X(X X) 1 + Cεε X(X X) 1 + (X X) 1 X εε C + Cεε C ] Var Cov(β ) = (X X) 1 X E[εε ]X(X X) 1 + CE[εε ]X(X X) 1 + (X X) 1 X E[εε ]C + + CE[εε ]C Dado E[εε ] = σ 2 (premissas 5 e 6) e CX = 0: Var Cov(β ) = σ 2 (X X) 1 + σ 2 CC Var Cov(β ) = Var Cov(β ) + σ 2 CC A não ser que C seja nulo, a variância de β será maior que a de β.

11 Comportamentos de estimadores: (BLUE) eficiente (θ 1), não tendencioso e consistente (θ 2) e viesado (θ 3). Portanto, se o Teorema de Gauss-Markov é válido, o estimador de MQO é o melhor dentre o grupo de estimadores lineares e não tendenciosos. 3. Relaxamento das premissas ou violação dos pressupostos. Para garantir a validade do Teorema de Gauss-Markov é preciso que ao estimar a regressão por MQO as premissas do MCRL sejam respeitadas, nem sempre esse é o caso. Muitas vezes trabalhamos com modelos ou amostras que violam algum dos pressupostos do MCRL, nesse caso o estimador de MQO pode não ser mais BLUE, em outras palavras, devemos encontrar outro estimador que seja robusto ao relaxamento das premissas. As fontes mais comuns de violação dos pressupostos são a multicolinearidade, heterocedasticidade, autocorrelação e os erros na especificação do modelo. i) A relação entre Ye os X s é linear. A violação desse pressuposto, ou seja, modelos não lineares nos parâmetros (intrinsecamente não lineares) impossibilitam a utilização do MQO, esses modelos devem ser estimados por métodos não lineares.

12 ii) Não há relação linear perfeita entre as variáveis explicativas. A violação desse pressuposto impossibilita a estimação dos parâmetros e torna os erros padrão infinitos. A presença de multicolinearidade forte não viola o pressuposto, nesse caso os estimadores de MQO preservam suas propriedades de BLUE, contudo os erros padrão tornam-se grandes e os testes de significância individual (t) tendem a aceitar a hipótese nula. Para ver isso, observe que quando se pretende explicar determinada variável por meio de uma regressão múltipla é possível mostrar que a variância do j-ésimo regressor pode ser expressa como: Var(β j) = σ2 x j 2 ( 1 1 R j 2) onde R j 2 denota o coeficiente de determinação da regressão auxiliar do regressor j em função dos demais regressores. Nesse caso, R j 2 representa o grau de colinearidade da variável explicativa j para com as demais. O segundo termo do lado direito da equação é conhecido como fator de inflação da variância ou FIV, ele determina quanto a variância do parâmetro estimado aumenta em função do grau de relação linear entre as variáveis explicativas. Quando existe correlação linear perfeita entre as covariáveis, ou seja, R j 2 = 1, o FIV torna-se infinito e o pressuposto de ausência de relação linear perfeita entre as variáveis explicativas é violado, o que impossibilita a estimação dos parâmetros por MQO. Com R j 2 < 1 os estimadores de MQO mantém a propriedade BLUE, contudo se a multicolinearidade for alta isso pode incorrer em problemas para a análise de regressão, pois, não se consegue retirar o efeito líquido da variação de uma variável explicativa (Xi) sobre a média da variável dependente (Y). Apesar de que, mesmo na presença de multicolinearidade, os estimadores de MQO ser os de variância mínima, isto não significa que essa variância seja pequena, ou seja, o problema causa problemas de imprecisão nas estimativas. Podem ser identificadas algumas causas para o problema de multicolinearidade forte como o método de coleta dos dados, restrições ao modelo ou amostra (como no caso da regressão para explicar o consumo de energia elétrica (Y) que inclui a renda (X2) e o tamanho da casa (X3) como regressores, essas variáveis estarão relacionadas na medida em que famílias com maior nível de renda possuem casas maiores), especificação do modelo (inclusão de termos polinomiais), pequeno número

13 de observações (limita a variabilidade das variáveis explicativas x j 2 ) e alguma tendência comum nas variáveis explicativas. As consequências de alta multicolinearidade são intervalos de confiança mais amplos para os estimadores, razões (t) = β j Var(β j) insignificantes enquanto a regressão apresenta R 2 alto e (F) significativo e sensibilidade dos estimadores a alterações nos dados. A detecção do problema pode ser feito com a ajuda da matriz de correlações de ordem zero entre as variáveis explicativas, com a identificação de R 2 alto e (F) significativo enquanto as razões (t) são não significativas, através das regressões auxiliares e do cálculo do FIV. Após identificar o problema podem ser tomadas algumas medidas corretivas dentre as quais estão não fazer nada (uma vez que de fato a colinearidade não perfeita não viola o pressuposto do MCRL), utilizar alguma informação a priori quando conhecemos o padrão de relação linear entre as variáveis (por exemplo, X1 = X2i + 0,3X3i), combinar dados de série temporal e corte transversal ou aumentar o número de observações, fazer alguma transformação nas variáveis, ou excluir a variável (contudo isso pode incorrer em viés de especificação do modelo que causa viés e inconsistência nos estimadores, em outras palavras, a solução pode acabar incorrendo em problemas maiores). iii) A matriz X é não estocástica, ou seja, os X s são fixos em amostras repetidas. Esse pressuposto indica que para cada valor fixo de X existe uma distribuição de probabilidade associada. Estamos interessados no valor médio condicional de Y para cada valor fixo de X. Caso X seja estocástico pressupõe-se que o mesmo não está correlacionado com o termo de erro X ε = 0, caso esse pressuposto não se mantenha os estimadores de MQO serão viesados e inconsistentes e torna-se necessário a utilização de outro estimador. iv) A variável ε tem média zero. Um dos pressupostos do MCRL é o de que a média do termo de erro é igual a zero, E(ε i X i ) = 0. Em outras palavras, supõe-se que o modelo está bem especificado e que as variáveis omitidas ou

14 que não puderam ser incluídas no modelo e estão, portanto, presentes no termo de erro possuem um efeito médio nulo sobre Y. Se variáveis importantes forem omitidas pode-se violar esse pressuposto, pois a variável omitida pode estar correlacionada com X, (X ε 0), ou com Y, (Y ε 0), causando o viés ou erro de especificação do modelo. Podem-se listar alguns tipos de erros de especificação como a omissão de uma ou mais variáveis relevantes, a inclusão de uma ou mais variáveis desnecessárias, a adoção da forma funcional errada, erros de medida, especificação incorreta do termo de erro estocástico e a pressuposição de que o erro distribui-se normalmente quando o processo gerador não é dessa forma. Os erros de especificação do modelo trazem várias consequências. A omissão de variável relevante, ou seja, estimar Y = α 1 + α 2 X 2 + μ i quando o verdadeiro modelo é Y = β 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + ε i causará viés e inconsistência das estimativas de MQO se a variável X 3 estiver correlacionada com outra variável explicativa, ou seja, E(ε i X i ) 0 pois (X ε 0) uma vez que μ i = ε i + β 3 X 3. Mesmo que a variável X 3 não esteja correlacionada com as demais o intercepto será viesado. Outra consequência é a incorreta estimação da variância do erro e o consequente equívoco no cálculo dos intervalos de confiança, erros padrão e testes de hipóteses. A inclusão de variáveis desnecessárias, ou seja, estimar Y = β 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + ε i quando o verdadeiro modelo é Y = α 1 + α 2 X 2 + μ i incorrerá na perda de eficiência dos estimadores devido a correlação (FIV) existente entre as covariáveis. Já os erros de medida quando na variável dependente causam perda de eficiência nos estimadores e quando nas variáveis explicativas causam viés e inconsistência por motivos análogos à omissão de variável relevante. A especificação incorreta do termo de erro causa viés nos estimadores de MQO enquanto a invalidade da pressuposição de distribuição normal torna os testes de hipóteses usuais inutilizáveis. A identificação dos problemas de omissão de variável relevante, inclusão de variável irrelevante e forma funcional equivocada podem ser feita por meio dos testes (t), do teste (F) restrito, do exame dos resíduos, da estatística d de Durbin-Watson, do teste Reset de Ramsey e do teste Multiplicador de Lagrange (ML). Os erros de medidas são difíceis de ser detectados uma vez que geralmente trabalhamos com dados secundários, já os erros de especificação do termo de erro devem ser tratados a partir de métodos de estimação não lineares. A normalidade do termo de erro pode ser verificada a partir do teste de normalidade de Jarque-Bera. Por fim, cabe ressaltar que a estimação de relações endógenas por MQO gera estimadores viesados e inconsistentes devido a violação da pressuposição E(ε i X i ) = 0, pois tanto (X ε 0)

15 como (Y ε 0). Ao se detectar relações endógenas pelo teste de Hausman (que verifica se X ε 0) é preciso recorrer a outros estimadores para superar o problema como o de Mínimos Quadrados Indiretos (MQI), para equações exatamente identificadas, ou Mínimos Quadros em Dois Estágios (MQ2E) e Variáveis Instrumentais (VI) para equações superidentificadas. v) Os erros ε i são variáveis aleatórias com variância constante (homocedasticidade). Podemos representar a violação do pressuposto da seguinte forma: Dada a premissa 2 (ausência de multicolinearidade perfeita) β = (X X) 1 X Y Dado Y = Xβ + ε (premissa 1 linearidade), substituindo: β = (X X) 1 X (Xβ + ε) β = (X X) 1 X Xβ + (X X) 1 X ε Dado (X X) 1 X X = I: β = β + (X X) 1 X ε Logo: β β = (X X) 1 X ε Dado que: Var Cov(β ) = E[(β β)(β β) ] Var Cov(β ) = E[((X X) 1 X ε)((x X) 1 X ε) ] Var Cov(β ) = E[(X X) 1 X εε X(X X) 1 ] Var Cov(β ) = E[(X X) 1 X εε X(X X) 1 ] Var Cov(β ) = (X X) 1 X E(εε )X(X X) 1 Var Cov(β ) = (X X) 1 X (σ 2 Ω)X(X X) 1 Var Cov(β ) = σ 2 (X X) 1 X ΩX(X X) 1 Sob a validade dos pressupostos 5 e 6, Ω = I, então: Var Cov(β ) = σ 2 (X X) 1 Caso os pressupostos 5 e/ou 6 não sejam válidos então Ω I, então: Var Cov(β ) = σ 2 (X X) 1 X ΩX(X X) 1

16 Dessa forma, caso não sejam válidas as premissas do MCRL a matriz de variância e covariância dos parâmetros estimados será viesada. Não é possível afirmar se a mesma será maior ou menor que a matriz quando os pressupostos são válidos, portanto, as inferências com base nos testes t e F não serão mais válidas. A causa ou a natureza do problema pode ser a variabilidade entre os diferentes valores fixados de X (exemplo renda e consumo), a presença de outliers, erros de especificação do modelo (omissão de variável relevante), assimetria na distribuição da variável explicativa e observações discrepantes (empresas pequenas, médias e grandes na mesma amostra). Quando a pressuposição de variância constante é violada os estimadores de MQO continuam a ser não tendenciosos e consistentes, contudo deixam de ser eficientes. Para o modelo Y = β 1 + β 2 X 2 + ε i a variância estimada de β 2 será V(β 2) = σ 2 x i 2 enquanto a verdadeira variância seria V(β 2) = x i 2 σ i2 ( x i 2) 2. Além da invalidade das inferências com base nos testes t e F, os estimadores não serão mais eficientes. Para detectar a violação do pressuposto de variância constante é possível recorrer a alguns procedimentos informais como o gráfico do resíduo ao quadrado (ε 2 ) em função das variáveis explicativas ou dependente ou procedimentos formais como os testes de Park (a equação de teste baseia-se na regressão do logaritmo do resíduo ao quadrado em função de alguma variável explicativa), Glejser (a equação de teste baseia-se na regressão do resíduo absoluto em função de alguma variável explicativa), Goldfeld-Quandt (baseia-se na comparação da variância entre grupos diferentes da variável explicativa), Breusch-Pagan-Godfrey e o teste geral de heterocedasticidade de White (a equação de teste baseia-se na regressão do resíduo ao quadrado em função das variáveis explicativas, do quadrado e do produto cruzado dessas variáveis). A hipótese nula é de homocedasticidade, caso seja identificado algum padrão de relação entre a variância e as variáveis explicativas gera-se evidência da existência do problema. A identificação do problema leva a conclusão de que os estimadores de MQO podem não ser mais os melhores uma vez que não é possível garantir a validade do Teorema de Gauss-Markov. Nesse caso, pode-se encontrar estimadores que sejam BLUE mesmo com a presença de heterocedasticidade. Para corrigir o problema é preciso levar em consideração se o padrão de heterocedasticidade é conhecido ou não. Se o padrão de heterocedasticidade é conhecido estima-se o seguinte modelo:

17 1/ ω. 1 PY = PXβ + Pε onde P =.. [ 1/ ω n ] Ao estimar o modelo transformado por MQO damos origem aos estimadores de Mínimos Quadrados Generalizados (MQG) ou Mínimos Quadrados Ponderados (MQP) que, nesse caso, são BLUE. Quando não se conhece o padrão de heterocedasticidade, quase a totalidade dos casos, podese supor um padrão de heterocedasticidade com base nos testes e estimar por MQG ou utilizar a correção de White que consiste na estimação da verdadeira variância por: V(β 2) = x i 2 μ i2 ( x i 2) 2 Outra possibilidade quando não se conhece o padrão de heterocedasticidade é estimar a variância utilizando, por exemplo, a especificação de Harvey s (1976) (σ 2 i = σ 2 exp (Xβ)) transformar as variáveis e aplicar o MQO dando origem aos Mínimos Quadrados Generalizados Factíveis (MQGF). vi) Ausência de autocorrelação no erro. Como no caso da heterocedasticidade, caso não seja válida a premissas do MCRL de ausência de autocorrelação no termo de erro a matriz de variância e covariância dos parâmetros estimados será viesada. Não é possível afirmar se a mesma será maior ou menor que a matriz quando os pressupostos são válidos, portanto, as inferências com base nos testes t e F não serão mais válidas. A causa ou a natureza do problema pode ser a inércia presente nas séries de tempo como PIB e inflação, erros de especificação do modelo (omissão de variável relevante ou forma funcional inadequada), o fenômeno da teia de aranha, defasagens, manipulação e transformação nos dados e ausência de estacionariedade. Quando a pressuposição de ausência de autocorrelação é violada os estimadores de MQO continuam a ser não tendenciosos e consistentes, contudo deixam de ser eficientes. Para o modelo

18 Y t = β 1 + β 2 X 2t + ε t a variância estimada de β 2 será V(β 2) = seria V(β 2) = σ 2 (1 + 2ρ x tx t 1 x 2 t x ρ n 1 x tx t n ). t x 2 t σ 2 x t 2 enquanto a verdadeira variância Além da invalidade das inferências com base nos testes t e F, os estimadores não serão mais eficientes. Para detectar a violação do pressuposto de ausência de autocorrelação é possível recorrer a alguns procedimentos informais como o gráfico do resíduo em função do tempo ou do resíduo em função do resíduo defasado ou procedimentos formais como os testes de Durbin-Watson ou de Breusch-Godfrey (a equação de teste baseia-se na estimação de uma regressão dos resíduos em função das variáveis explicativas e das defasagens do resíduo). A identificação do problema leva a conclusão de que os estimadores de MQO podem não ser mais os melhores (quando a autocorrelação não é originada por erro de especificação do modelo) uma vez que não é possível garantir a validade do Teorema de Gauss-Markov. Nesse caso, pode-se encontrar estimadores que sejam BLUE mesmo com a presença de autocorrelação. Para corrigir o problema é preciso levar em consideração se o coeficiente de autocorrelação (ρ) é conhecido ou não. Se (ρ) é conhecido estima-se o seguinte modelo de diferenças generalizadas (para o caso de um processo AR(1): Y t ρy t 1 = β 1 (1 ρ) + β 2 (X t ρx t 1 ) + (ε t ρε t 1 ) Ao estimar o modelo transformado por MQO damos origem aos estimadores de Mínimos Quadrados Generalizados (MQG) que são BLUE. Quando não se conhece (ρ), quase a totalidade dos casos, podemos estimá-lo por meio de algum procedimento como o de Durbin-Watson, Durbin Watson de 2 etapas, Cochrane-Orkutt de 2 etapas ou iterativo e estimar por MQGF a equação de diferenças generalizada ou ainda, pode-se utilizar a correção de Newey-West que consiste na estimação da verdadeira variância. Outra possibilidade é a estimação da equação com as variáveis em primeira diferença. vii) Os erros têm distribuição normal. Já tratada na seção iv, a violação desse pressuposto impossibilita a usual inferência estatística baseada na distribuição normal. Contudo, caso a amostra possua tamanho razoável é possível invocar

19 a teoria assintótica ou de grandes amostras que postula que a distribuição do erro tende para normal conforme cresce o tamanho da amostra. REFERÊNCIAS ANGRIST, J. D.; PISCHKE, J. S. Mostly harmless econometrics: An empiricist's companion GALTON, F. Regression towards mediocrity in hereditary staturep. Anthropological Miscellanea, p , GREENE, W. Econometric Analysis, 7a. Ed., Prentice Hall, GUJARATI, Damodar N.; PORTER, Dawn C. Econometria Básica. 5a Ed., Porto Alegre: Bookman, 2011.