FUNDAMENTOS DA LÓGICA

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1 UNDAMENTOS DA LÓGICA Professor Rodrigo Melo Rodrigo Melo

2 Rodrigo Melo PRIMEIROS CONCEITOS O primeiro conceito que iremos estudar será a proposição. Toda proposição deve: - ser uma oração, que tenha sujeito e predicado; - possuir apenas dois valores lógicos: verdadeiro () ou falso (). - ser declarativa, ou seja, não pode ser interrogativas, exclamativas e nem imperativa.

3 Rodrigo Melo Exemplo: 1) Qual dos itens abaixo é uma proposição? a) Caramba! ; eliz aniversário! ( R: não é proposição, é uma sentença exclamativa) b) como é o seu nome? ; o jogo foi de quanto? ( R: não é proposição, é uma sentença interrogativa) c) Estude mais. ; Leia aquele livro. ( R: não é proposição, é uma sentença imperativa) d) eliz ano novo! ( R: não é proposição, é uma sentença exclamativa) e) A Terra é maior que a Lua. ( R: é proposição, pois é uma oração, tem sujeito e predicado)

4 Rodrigo Melo Representação As proposições, geralmente são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s etc). São outros exemplos de proposições: Pedro é médico. = p 5 < 8 (Cinco é menor que oito.) = q Luíza foi ao cinema ontem à noite = r

5 LEIS UNDAMENTAIS DO PENSAMENTO LÓGICO PRINCÍPIO DA IDENTIDADE Se uma proposição for verdadeira ela será verdadeira; uma proposição falsa é falsa. Rodrigo Melo PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade

6 Dada uma proposição qualquer p, a negação dessa proposição é não-p. Representa-se essa negação como: ~ Se atribuirmos que essa proposição seja verdadeira a negação será falsa. Agora, se atribuirmos que p for falsa a sua negação será verdadeira. Com isso pode-se concluir que a negação de qualquer proposição atribui o valor lógico oposto. NEGAÇÃO ( ~ ) p ~p Equivalências de Negação Não é verdade que A. É falso que A. Rodrigo Melo

7 PROPOSIÇÕES Existem dois tipos de proposições: simples e composta. SIMPLES Serão proposições simples ou proposição atômica aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras orações. Exemplos: Todo homem é mortal. (Só existe uma oração) Rodrigo Melo COMPOSTA Se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma só sentença, estaremos diante de uma proposição composta ou proposição molecular.

8 Rodrigo Melo Exemplos de proposição composta: João é médico e Pedro é dentista. ( 1ª oração: João é médico e 2ª Pedro é dentista) Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo. Ou Luís é baiano, ou é paulista. Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia.

9 Rodrigo Melo CONECTIOS LÓGICOS Para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, isso dependerá de duas coisas: 1º) do valor lógico das proposições componentes; 2º) do tipo de conectivo que as une. Tipos de conectivos lógicos que estudaremos:

10 Rodrigo Melo PROPOSIÇÃO COMPOSTA Conjunção Disjunção Disjunção exclusiva Condicional Bicondicional p q p ^ q p v q

11 EXERCÍCIOS Rodrigo Melo 1) Considere os seguintes enunciados: 16 é múltiplo de 2 15 é múltiplo de 7 8 é número primo A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é: a) se 15 é múltiplo de 7 ou 16 é múltiplo de 2 então 8 é número primo. ou então então b) se 16 é múltiplo de 2 ou 8 é número primo então 15 é múltiplo de 7. c) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo. d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2. e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.

12 EXERCÍCIOS Rodrigo Melo 1) Considere os seguintes enunciados: 16 é múltiplo de 2 15 é múltiplo de 7 8 é número primo A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é: b) se 16 é múltiplo de 2 ou 8 é número primo então 15 é múltiplo de 7. ou então então c) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo. d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2. e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.

13 EXERCÍCIOS Rodrigo Melo 1) Considere os seguintes enunciados: 16 é múltiplo de 2 15 é múltiplo de 7 8 é número primo A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é: c) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo. então e então d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2. e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.

14 EXERCÍCIOS Rodrigo Melo 1) Considere os seguintes enunciados: 16 é múltiplo de 2 15 é múltiplo de 7 8 é número primo A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é: d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2. e então então e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.

15 EXERCÍCIOS Rodrigo Melo 1) Considere os seguintes enunciados: 16 é múltiplo de 2 15 é múltiplo de 7 8 é número primo A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é: e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo. então ou então

16 Rodrigo Melo 02. Uma sentença lógica equivalente a Se Pedro é economista, então Luisa é solteira. é: p q ~p ~q p então q Temos que encontrar essa sequência de valores lógicos p v q Resultado a) Pedro é economista ou Luisa é solteira. p v q

17 b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira. p ~q v p ~q v p q ~p ~q v Resultado São equivalentes???? Não!!!!!! Rodrigo Melo

18 c) Se Luisa é solteira, Pedro é economista. q p então q p p q ~p ~q Resultado São equivalentes???? Não!!!!!! Rodrigo Melo

19 Não!!!!!! Rodrigo Melo d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira. ~p então ~q p q ~p ~q ~p ~q Resultado São equivalentes????

20 Rodrigo Melo e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista. ~q então ~p p q ~p ~q ~q ~p Resultado São equivalentes???? SIM!!!!!!

21 Aula 2

22 Rodrigo Melo PROPOSIÇÃO COMPOSTA Conjunção Disjunção Disjunção exclusiva Condicional Bicondicional p q p ^ q p v q

23 Equivalências São proposições cujas tabelas-verdade possuem os mesmos valores lógicos, ou seja, são iguais. Rodrigo Melo p q ~q ~p p q ~q ~p p q ~p ~q CONTRAPOSITIA

24 Dizer que Carlos não é pedreiro ou Abel é paulista é, do pont de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Carlos é pedreiro, então Abel é paulista b) se Abel é paulista, então Carlos é pedreiro c) se Carlos não é pedreiro, então Abel é paulista d) se Carlos é pedreiro, então Abel não é paulista e) se Carlos não é pedreiro, então Abel não é paulista

25 arlos não é pedreiro ou Abel é paulista p ou q Temos que encontrar essa sequência de valores lógicos a) se Carlos é pedreiro, então Abel é paulista ~p então q são equivalentes!

26 Expressões lógicas

27 Nesse caso, entre essas 4 proposições, apenas duas são. Rodrigo Melo 1) (CESPE) Considere as seguintes proposições: A) = 7 ou 7 4 = 3 ou = B) = 7 ou > 8 ou C) 3 2 = 1 ou 3 2 = 9 D) 3 2 = 1 ou 3 2 = 1 ou ou = = =

28 Rodrigo Melo 2) (CESPE) Considere as seguintes proposições: A) 6 1 = 7 ou > 2 ou = B) > 8 e 6 3 = 4 e = C) 9 3 > 25 ou 6 7 < 45 ou = D) é um número primo e todo número primo é ímpa e CORRETA Nesse caso, entre essas 4 proposições, apenas duas são. =

29 Rodrigo Melo Exercícios (CESPE) Na comunicação, o elemento fundamental é a sentença, ou proposição simples, constituída esquematicamente por um sujeito e um predicado, sempre nas formas afirmativa ou negativa, excluindose as interrogativas e exclamativas. Toda proposição pode ser julgada como falsa (), ou verdadeira (), excluindo-se qualquer outra forma. Novas proposições são formadas a partir de proposições simples, com os conectivos e, simbolizado por ; ou, simbolizado por ; se... então..., simbolizado por.

30 Rodrigo Melo Usa-se também o modificador não, simbolizado por. As proposições são representadas por letras do alfabeto: A, B, C etc. A seguir são apresentadas as valorações para algumas proposições compostas a partir das valorações das proposições A e B que compõem essas proposições compostas. As valorações de uma proposição composta compõem a tabela-verdade da respectiva proposição.

31 Rodrigo Melo Com base nessas informações, julgue os itens seguintes 1 Considere as seguintes sentenças: I) O Acre é um estado da Região Nordeste. II) ocê viu o cometa Halley? III) Há vida no planeta Marte. I) Se x < 2, então x + 3 > 1. Não Sim Sim Sim Nesse caso, entre essas 4 sentenças, apenas duas são proposições.

32 Rodrigo Melo 2) ( ) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: (I) O BB foi criado em Sim (II) aça seu trabalho corretamente. Não (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade. Sim

33 Negação Rodrigo Melo

34 Rodrigo Melo Negação de uma proposição CONJUNTIA: ~(p e q) composta Para negarmos uma proposição no formato de conjunção (p e q), faremos o seguinte: 1º) Negaremos a primeira (~p); 2º) Negaremos a segunda (~q); 3º) Trocaremos e por ou.

35 Negação de uma proposição composta Rodrigo Melo DISJUNTIA: ~(p ou q) Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q), faremos o seguinte: 1º) Negaremos a primeira (~p); 2º) Negaremos a segunda (~q); 3º) Trocaremos ou por e.

36 Rodrigo Melo CONDICIONAL: ~(p q) 1º) Mantém-se a primeira parte ou afirma; e 2º) Nega-se a segunda. BICONDICIONAL: ~(p q)

37 Rodrigo Melo 1) A negação da afirmativa Me caso ou compro sorvete. é a) me caso e não compro sorvete. b) não me caso ou não compro sorvete. c) não me caso e não compro sorvete. d) não me caso ou compro sorvete. e) se me casar, não compro sorvete.

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39 Rodrigo Melo 2) Negando a sentença Se a Nanci está feliz então está alegre e bonita. a) Se a Nanci não está feliz então não está alegre e nem bonita. b) Se a Nanci está alegre e bonita então está feliz. c) Se a Nanci não está feliz então está alegre e bonita. d) Se a Nanci não está alegre e nem bonita então está feliz. e) A Nanci está feliz e não alegre ou não bonita.

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41 Rodrigo Melo 3) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.

42 Sentenças abertas Rodrigo Melo

43 Sentenças abertas com uma variável Rodrigo Melo TAUTOLOGIA Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem. Exemplo:.

44 Rodrigo Melo CONTRADIÇÃO Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem. Exemplo: CONTIGÊNCIA Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma contradição.

45 Rodrigo Melo 1) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

46 Rodrigo Melo a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo

47 Rodrigo Melo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo

48 Rodrigo Melo e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

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50 Rodrigo Melo Condição suficiente e condição necessária Na condicional a primeira proposição é condição suficiente para a segunda e a segunda é condição necessária para a primeira. C.S p q C.N Exemplo: Se Andréa e paulista então Andréa é brasileira.

51 Rodrigo Melo Na bi condicional a primeira proposição é condição suficiente e necessária para a segunda e vice versa. C.S e CN p q C.S e CN Exemplo: Rodrigo é sobrinho de Elisia se somente se Elisia for irmã de Ecleide, mãe de Rodrigo.

52 Rodrigo Melo Exemplo: Se chover então faz frio. Assim sendo: a) Chover é condição necessária para fazer frio. b) azer frio é condição suficiente para chover. c) Chover é condição necessária e suficiente para fazer frio. d) Chover é condição suficiente para fazer frio. e) azer frio é condição necessária e suficiente para chover.

53 Rodrigo Melo Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo: a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. e) Marcos estudar é condição necessária para João passear.

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55 Aula 3 Rodrigo Melo

56 Rodrigo Melo 1. Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, o mordomo e o jardineiro. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: se o cozinheiro é inocente, então o mordomo é culpado; ou o jardineiro é culpado ou o mordomo é culpado, mas não os dois; o jardineiro não é inocente. Logo: a) o mordomo e o jardineiro são os culpados b) o cozinheiro e o jardineiro são os culpados c) somente o mordomo é culpado d) somente o cozinheiro é inocente e) somente o jardineiro é culpado

57 Rodrigo Melo 2. Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então: a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. b) Lógica é fácil e Geografia é difícil. c) Lógica é fácil e Geografia é fácil. d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.

58 Rodrigo Melo 3. Se A é alegre então B é boa, se B é boa então C é calma. Sabe-se que C não é calma, nestas condições pode-se concluir que: a) A não é boa. b) B não é alegre. c) A não é calma. d) C não é alegre. e) A não é alegre.

59 Rodrigo Melo 4. Considere as seguintes proposições: p: Eduardo é estudante. q: Carina é bailarina. A proposição composta ~(~p q) em linguagem corrente é a) Não é verdade que Carina não é bailarina e Eduardo não é estudante. b) Carina não é bailarina ou Eduardo é estudante. c) Carina não é estudante ou Eduardo é bailarino. d) Não é verdade que Carina é bailarina ou Eduardo é estudante. e) Carina não é bailarina e Eduardo não é estudante.

60 Rodrigo Melo 5. Considere a sentença Se os juros baixarem, haverá crescimento econômico. A CONTRAPOSITIA dessa sentença é a) Se os juros não baixarem, não haverá crescimento econômico. b) Se não houver crescimento econômico, os juros não baixam. c) Se os juros não baixarem, haverá crescimento econômico. d) Se houver crescimento econômico, os juros baixam. e) Se os juros não baixarem, haverá recessão.

61 Rodrigo Melo 6. A NEGAÇÃO da sentença: Hortelino saiu sem avisar e foi ao cinema é a) Hortelino saiu sem avisar e não foi ao cinema. b) Hortelino não saiu sem avisar e não foi ao cinema. c) Hortelino não saiu sem avisar ou não foi ao cinema. d) Hortelino não saiu sem avisar e foi ao cinema. e) Hortelino saiu sem avisar ou não foi ao cinema.

62 7. Sejam as declarações: Se ele me ama então ele casa comigo. Se ele casa comigo então não vou trabalhar. Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que: a) Ele é pobre mas me ama. b) Ele é rico mas é pão duro. c) Ele não me ama e eu gosto de trabalhar. d) Ele não casa comigo e não vou trabalhar. e) Ele não me ama e não casa comigo. Rodrigo Melo

63 8. Sejam as declarações: Se o governo é bom então não há desemprego. Se não há desemprego então não há inflação. Ora, se há inflação podemos concluir que: a) A inflação não afeta o desemprego. b) Pode haver inflação independente do governo. c) O governo é bom e há desemprego. d) O governo é bom e não há desemprego. e) O governo não é bom e há desemprego. Rodrigo Melo

64 Rodrigo Melo 9. Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: Tânia é quem está sentada no meio. A que está sentada no meio diz: Eu sou Janete. inalmente, a que está sentada à direita diz: Angélica é quem está sentada no meio. A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente: a) Janete, Tânia e Angélica b) Janete, Angélica e Tânia c) Angélica, Janete e Tânia d) Angélica, Tânia e Janete e) Tânia, Angélica e Janete

65 10. Se Bia briga com Lara, então Lara vai ao teatro. Se Lara vai ao teatro, então Sandra fica em casa. Se Sandra fica em casa, então Bruno briga com Sandra. Ora, Bruno não briga com Sandra. Logo... a) Sandra não fica em casa e Bia não briga com Lara. b) Sandra fica em casa e Lara vai ao teatro. c) Sandra não fica em casa e Lara vai ao teatro. d) Lara vai ao teatro e Bia briga com Lara. e) Lara não vai ao teatro e Bia briga com Lara.

66 11. Rafael quer ir ao teatro assistir a peça Noviça Rebelde, mas não tem certeza se a mesma está sendo exibida. Seus amigos, Luana, Luis e Ivan têm opiniões discordantes sobre se a peça está ou não em cartaz. Se Julia estiver certa, então Ivan está enganado. Se Ivan estiver enganado, então Luis está enganado. Se Luis estiver enganado, então a peça não está sendo exibida. Ora, ou a peça Noviça Rebelde está sendo exibida, ou Rafael não ira ao teatro. erificou-se que Julia está certa. Logo, a) A peça Noviça Rebelde está sendo exibida. b) Luis e Ivan não estão enganados. c) Ivan está enganado, mas Luis não. d) Luis está enganado, mas Ivan não. e) Rafael não irá ao teatro.

67 12. Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo, a) Nestor e Júlia disseram a verdade b) Nestor e Lauro mentiram c) Raul e Lauro mentiram d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade e) Raul e Júlia mentiram.

68 (CESPE) Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira () ou falsa (), mas não, como ambas. Assim, frases como Como está o tempo hoje? e Esta frase é falsa não são proposições porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem nem. As proposições são representadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto A, B, C etc. Uma proposição da forma A ou B é se A e B forem, caso contrário é ; e uma proposição da forma Se A então B é se A for e B for, caso contrário é. Um raciocínio lógico considerado correto é formado por uma seqüência de proposições tais que a última proposição é verdadeira sempre que as proposições anteriores na seqüência forem verdadeiras. Considerando as informações contidas no texto acima,

69 13) ( ) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso. Maria é alta. Portanto José será aprovado no concurso. 14) ( ) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego. Ela conseguiu um emprego. Portanto, Célia tem um bom currículo.

70 Aula 4 Rodrigo Melo

71 Rodrigo Melo Proposições categóricas São quatro proposições categóricas possíveis. As proposições categóricas serão classificadas em: - Universais - Particulares

72 Rodrigo Melo As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se à totalidade do conjunto. Exemplo: Todos os homens são inteligentes. Na proposição acima observamos que é universal onde englobam todos os homens sem exceção, e que pode ser representado como: Todo S é P

73 Rodrigo Melo As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. Exemplo: Alguns homens são inteligentes. Já nesta outra proposição acima, não são incluídos todos os homens, só uma parte deles, que pode ser representado como: Alguns S é P.

74 Esses tipos de proposições também podem ser classificados em: - afirmativas (exemplo anterior) - negativas No caso da negativa podemos ter: Nenhum homem é inteligente Na proposição acima ela é universal negativa e simbolizamos por: Nenhum S é P.

75 - Outro exemplo: Alguns homens não são inteligentes. Ela é particular e negativa que poder ser representada por: Algum S não é P.

76 Rodrigo Melo Com isso podemos resumir essas Afirmativa Negativa Universal (A) Todo S é P (E) Nenhum S é P. Particular (I) Algum S é P (O) Alguns S não é P.

77 Rodrigo Melo Diagrama (A) Todo S é P. (I) Algum S é P. (E) Nenhum S é P. (O)Algum S não é P.

78 Argumento Lógica da Argumentação Rodrigo Melo É um conjunto de proposições com uma estrutura lógica que podem ter como conseqüência outra proposição. Ou seja, conjunto de proposições p1, p2, p3,..., pn que tem como conseqüência outra proposição r. As proposições p1, p2, p3,..., pn serão chamados de premissas do argumento, e a proposição r de conclusão do argumento.

79 Rodrigo Melo Exemplo: p1: Se eu passar no concurso então irei trabalhar. p2: Passei no concurso. r: Irei trabalhar

80 Rodrigo Melo alidade ou Invalidade alidade de um argumento Para um argumento ser válido a verdade das premissas deve garantir a verdade da conclusão do argumento. Significa dizer que jamais deverá ter uma conclusão falsa, independente da validade de suas premissas. Exemplo: Todos os peixes tem asas. () Todos os pássaros são peixes. () Todos os pássaros tem asas. ()

81 Rodrigo Melo Invalidade de um argumento Para um argumento inválido, quando há possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa, ou seja, a verdade de suas premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. Exemplos: Todos os cachorros são animais. () Todos os gatos animais. () Todos os cachorros são gatos. ()

82 Todos os alunos do curso passaram. Daniel não é aluno do curso. Portanto, Daniel não passou. Rodrigo Melo

83 Rodrigo Melo ARGUMENTOS DEDUTIOS E INDUTIOS Os argumentos também podem ser classificados em: - dedutivos - indutivo O argumento dedutivo será quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da veracidade da conclusão. Já o argumento indutivo quando possui informações que ultrapassam as fornecidas nas premissas.

84 ARGUMENTOS DEDUTIOS E INDUTIOS Exemplos: Argumento dedutivo Todo ser humano tem pai. Todos os homens são humanos Todos os homens têm pai. Rodrigo Melo Argumento indutivo O Botafogo é um ótimo time de futebol. O asco é um ótimo time de futebol. O luminense é um ótimo time de futebol. Todos os times brasileiros são ótimos times de futebo

85 ARGUMENTO DEDUTIO ÁLIDOS Rodrigo Melo Lembrando que argumentos válidos ou inválidos aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos valores das premissas. Afirmação do antecedente ou Modus ponens Se eu passar no concurso então irei trabalhar. Passei no concurso. Irei trabalhar

86 Rodrigo Melo ARGUMENTO DEDUTIO ÁLIDOS Negação do conseqüente ou Modus tollens Uma equivalência específica vista anteriormente de uma condicional é chamada de contra positiva. p q = ~q ~p Exemplo: Se ela me ama, então casa comigo. Não casa comigo. Então ela não me ama.

87 Dilema Este argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas alternativas indesejáveis. Exemplo: Maria inscreveu-se no concurso do TRT, porém não gostaria de sa do Rio de Janeiro, e seus colegas de trabalho estão torcendo po ela. Eis o dilema de Maria: - Se Maria passar no concurso vai ter que ir embora do Rio de Janeiro. - Se Maria não passar no concurso ficará com vergonha diante dos colegas de trabalho. Portanto: Ou Maria vai embora do Rio de Janeiro ou Maria ficará com vergonha diante dos colegas de trabalho

88 ARGUMENTO DEDUTIO INÁLIDO É a combinação da verdade com falsidade das premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. Lembrando que as premissas não sustentam a conclusão. Exemplo: Todos os mamíferos são mortais.() Todos os cachorros são mortais.() Todos os cachorros são mamíferos.() Este argumento tem a seguinte forma: Todos os A são B. Todos o C são B. Todos os C são A.

89 ARGUMENTO DEDUTIO INÁLIDO Podemos observar que é um argumento inválido, pois suas premissas não sustentam a conclusão. Então todos os argumentos inválidos chamaremos de falácias. Para compreender melhor basta substituir: A por humanos, B por mortais e C por cachorros. Logo teremos: Todos os humanos são mortais.() Todos o cachorros são mortais.() Todos os cachorros são humanos.()

90 SILOGISMO É o argumento formado por duas premissas e uma conclusão. No silogismo teremos três termos: - Termo menor: sujeito da conclusão - Termo médio: é o termo que aparece uma vez em cada premissa e não aparece na conclusão. - Termo maior: predicado da conclusão Adotaremos a premissa maior a que contém o termo maior e a premissa menor a que contém o termo menor

91 SILOGISMO Exemplo: Todas as mulheres são bonitas. Todas as princesas são mulheres. Todas as princesas são bonitas - Termo menor: as princesas - Termo médio: mulheres - Termo maior: bonitas - Premissa menor: todas as princesas são mulheres - Premissa maior: todas as mulheres são bonitas

92 Regras para a validade de um Silogismo 1) Todo silogismo deve conter apenas três termos; 2) O termo médio deve ser universal pelo menos uma vez; 3) O termo médio não pode constar na conclusão; 4) Nenhum silogismo que tenha suas premissas negativas é válido; 5) De duas premissas particulares não poderá ter uma conclusão; 6) Se há uma premissa particular a conclusão será particular; 7) Se há uma premissa particular negativa a conclusão será particular.negativa

93 EXERCÍCIOS 1.erifique a validade das seguintes argumentações. Se ela for válida indique por v, se for não válida indique por nv. a) Toda pessoa persistente acaba vencendo. Ora, você certamente vencerá. Logo, você é persistente. nv b) Todo alemão é inteligente. Ora, ritz é alemão. Logo, ele é inteligente.v

94 c) Todo macaco é animal. Ora, homem é animal. Logo, homem é macaco.nv d) ocê é um patinho. Ora, a mãe do patinho é uma pata. Logo, a sua mãe é uma pata.v

95 2.(CESPE) Considerando que uma argumentação é correta quando, partindo-se de proposições presumidamente verdadeiras, se chega a conclusões também verdadeiras, julgue o próximo item. Suponha-se que as seguintes proposições sejam verdadeiras. I Todo brasileiro é artista. II Joaquim é um artista. Nessa situação, se a conclusão for Joaquim é brasileiro, então a argumentação é correta.( E )

96 3.Se é verdade que Alguns A são R e que Nenhum G é R, então é necessariamente verdadeiro que: *a) algum A não é G b) algum A é G. c) nenhum A é G d) algum G é A e) nenhum G é A

97 4.Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabese, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que a) todo C é B b) todo C é A *c) algum A é C d) nada que não seja C é A e) algum A não é C

98 5.Todos os médicos são obesos. Nenhum obeso sabe nadar. Segue-se que: a) Algum médico não é obeso b) Algum médico sabe nadar c) Nenhum médico sabe nadar d) Nenhum médico é obeso e) Algum obeso sabe nadar

99 6.(CESPE) Das premissas: A: Nenhum herói é covarde. B: Alguns soldados são covardes. Pode-se corretamente concluir que: a) alguns heróis são soldados. b) alguns soldados são heróis. c) nenhum herói é soldado. *d) alguns soldados não são heróis. e) nenhum soldado é herói.

100 7.Em uma pequena comunidade, sabe-se que: "nenhum filósofo é rico" e que "alguns professores são ricos". Assim, pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade a) alguns filósofos são professores b) alguns professores são filósofos c) nenhum filósofo é professor *d) alguns professores não são filósofos e) nenhum professor filósofo

101 8.(CESPE) A forma de uma argumentação lógica consiste de uma seqüência finita de premissas seguida por uma conclusão. Há formas de argumentação lógica consideradas válidas e há formas consideradas inválidas. No quadro abaixo, são apresentadas duas formas de argumentação lógica, uma de cada tipo citada, em que ~ é o símbolo de negação.

102 A respeito dessa classificação, julgue os itens seguintes. a) A seguinte argumentação é inválida. Premissa 1:Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade. Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade. Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.e

103 b) A seguinte argumentação é válida. Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos. Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos. Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.e

104 9.Se é verdade que Alguns B são R e que Nenhum Z é R, então é necessariamente verdadeiro que: a) algum B não é Z b) algum B é Z c) nenhum B é Z d) algum Z é B e) nenhum Z é B

105 10. Se for verdade que Nenhum hexágono é icoságono e que Nenhum eneágono é icoságono, então é necessariamente verdadeiro que: a) algum hexágono não é eneágono b) algum hexágono é eneágono c) nenhum hexágono é eneágono d) algum eneágono é hexágono e) não se pode tirar conclusão

106 Aula 5 Rodrigo Melo

107 atorial e o Principio undamental da Contagem Professor Rodrigo Melo

108 atorial Sendo n um número natural maior que um (1), podemos definir como fatorial de n (n!) o número: Lembrando que n N (n pertence aos números naturais) e n 1 ( n maior que 1 ). O símbolo n! (lê-se: fatorial de n ou n fatorial.) Exemplos: 7! = 6! = 3! = = = = 6 Observação: Por definição, para 0!=1 e 1! = 1

109 PRINCÍPIO UNDAMENTAL DA CONTAGEM Por este meio pode-se determinar quantas vezes, de modo diferente, um acontecimento pode ocorrer. Ou seja, é um princípio combinatório que indica de quantas formas se pode escolher um elemento de cada um de n conjuntos finitos. Se o primeiro conjunto tem k1 elementos, o segundo tem k2 elementos, e assim sucessivamente, então o número total T de escolhas é dado por: T = k1. k2. k3.... kn

110 Princípio da Multiplicação Se uma decisão d1 pode ser tomada de x maneiras e uma decisão d2 puder ser tomada de y maneiras então as decisões d1 e d2 podem ser tomadas de (x.y) maneiras. Exemplos: 1) Uma homem possui quatro camisas e três calças. De quantos modos diferentes ele poderá se vestir? Solução Escolha de uma calça: 3 possibilidades Escolha de uma camisa: 4 possibilidades Total: 3 x 4 = 12 combinações A escolha de uma calça poderá ser feita de três maneiras diferentes, onde cada calça poderá ser combinada com as quatro camisas.

111 Exemplo 2: Para fazer uma viagem Rio - São Paulo - Rio, posso usar como meio de transporte o trem, o ônibus ou o avião. De quantos modos posso escolher os transportes se não desejo usar na volta o meio de transporte usado na ida? Solução Há três modos de escolher o transporte de ida. Depois disso, há duas alternativas para a volta. A resposta é 3 x 2= 6 modos.

112 Princípio da Adição Se A e B são eventos disjuntos com n1 e n2 possibilidades, respectivamente, então o número de possibilidades para o evento A ou B é n1 + n2. Exemplo: 1) Quantos números de quatro dígitos começam com 4 ou 5? Solução Podemos considerar dois casos disjuntos: - números que começam por 4 =1x10x10x10 possibilidades - números que começam por 5 = 1x10x10x10 possibilidades e Então temos um total de 2x10x10x10 possibilidades, pois (1x10x10x10) + (1x10x10x10)= 2x10x10x10.

113 PERMUTAÇÃO São agrupamentos com n elementos, de forma que os n elementos sejam distintos entre si pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares. Permutação Simples Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. P n = n!

114 PERMUTAÇÃO Exemplo: Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5? Solução P5=5! = = 120 Logo, podemos formar 120 números

115 Permutação com Repetição Se entre os n elementos de um conjunto existem a elemento repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por: Exemplo: Quantos são os anagramas da palavra: a) ELEGER b) CANDIDATA

116 Permutação Circular Chamamos de Permutação Circular a disposição dos elementos de um conjunto ao redor de um circulo. Para determinarmos o número de disposições possíveis basta utilizar expressão abaixo: Pc = (n-1)! Exemplo: 1) De quantas formas podemos colocar quatro pessoas em uma mesa circular? Solução Pc = (4-1)! = 3! = = 6 arrumações possíveis

117 Arranjo Simples - não há repetição de elementos; - a ordem dos elementos é considerada um novo agrupamento; - Lê-se: arranjo de n elementos tomados p a p. A n, p n! ( n p)! OBS: Todos os problemas de Arranjo Simples também poderão se resolvidos pelo Princípio Multiplicativo. Exemplo: Seja o conjunto A ={1,2,3}. Quantos números com 2 algarismos distintos podemos formar com os elementos de A?

118 Combinação Simples - não há repetição de elementos; - a ordem dos elementos não é considerada um novo agrupamento; - Lê-se: combinação de n elementos tomados p a p. C n, p n! ( n p)! p! Exemplo: Quantas duplas distintas podemos formar com 3 pessoas A, B, C?

119 Arranjo com Repetição - há repetição de elementos; - a ordem dos elementos é considerada um novo agrupamento; Exemplo: Seja o conjunto A ={1,2,3}. Quantos números com 2 algarismos distintos podemos formar com os elementos de A admitindo repetições?

120 Combinação com Repetição - há repetição de elementos; - a ordem dos elementos não é considerada um novo agrupamento;

121 Combinação com Repetição Exemplo: 1) Um menino está em um parque de diversões e resolve comprar dois bilhetes. No parque há 4 tipos de brinquedos: C -- chapéu mexicano -- trem fantasma M montanha russa R roda gigante O menino pode comprar dois bilhetes do mesmo tipo, se ele quiser ir duas vezes no mesmo brinquedo. Nessas condições, qual é o número total de possibilidades de compra dos bilhetes?

122 IM