X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática, Cultura e Diversidade Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 2010

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1 RELAÇÕES ENTRE OS NÍVEIS DE COMPREENSÃO GRÁFICA E TIPOS DE APREENSÃO DE REGISTROS SEMIÓTICOS NO SIMAVE/PROEB Érica Valeria Alves Universidade Federal de Alfenas evalves@uol.com.br Resumo: O presente trabalho constitui um recorte de um projeto mais amplo que busca verificar convergências entre os processos mentais envolvidos na leitura de gráficos, segundo a teoria de Curcio e, na de representações geométricas, segundo a teoria de Duval. O presente estudo consistiu em uma análise de correlação entre os constructos mencionados a partir dos resultados de estudantes do último ano do ensino médio do estado de MG que realizaram o SIMAVE/PROEB em 27. Os resultados indicaram correlação mais forte entre a leitura dentro dos e a seqüencial (coeficiente de Pearson de,41) e entre a e a discursiva. INTRODUÇÃO Durante a elaboração de fundamentação teórica para estudo sobre as contribuições de um ambiente computacional de estatística dinâmica, Vieira (28) constatou convergências entre elementos apresentados pela teoria dos registros de representação semiótica de Duval e os níveis de compreensão gráfica de Curcio. A autora elaborou um quadro de relações hipotéticas entre as duas teorias, elencando operações mentais que, teoricamente, equivalem-se, embora se referindo a objetos de naturezas distintas; a primeira a problemas geométricos e a segunda a problemas que envolviam leitura e compreensão de gráficos em contextos estatísticos. A fim de iniciar um estudo empírico sobre a validade empírica das relações hipotéticas apontadas por Vieira (28), este estudo analisou o desempenho de estudantes do último ano do ensino médio matriculados em escolas públicas do estado de Minas Gerais que foram submetidos ao SIMAVE/PROEB (Sistema Mineiro de Avaliação da Escola Pública/ Programa de Avaliação da Rede Pública de Educação Básica) em 27. OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA DE DUVAL 1

2 Semiótica é uma teoria geral das representações que releva os sistemas de significação (signos) em todas as formas que assumem. Raymond Duval tem contribuído de forma contundente nas investigações sobre a complexidade da aprendizagem de Matemática através de sua teoria sobre registros de representação semiótica, dado que um dos objetivos do ensino da Matemática é contribuir para o desenvolvimento geral das capacidades de raciocínio, de análise e de visualização dos alunos (Vieira, 28). Rezi (27) destaca que as representações semióticas são primordiais na atividade matemática, do ponto de vista cognitivo, devido às diferentes possibilidades de tratamento matemático estarem vinculadas ao sistema de representação utilizado e também aos objetos matemáticos que têm por característica não serem diretamente perceptíveis, requerendo um sistema de representação que permita acessá-los. Assim, o objeto e sua representação não são o mesmo elemento, mas o acesso aos objetos matemáticos passa obrigatoriamente por representações semióticas (Rezi, 27). As representações diferenciam-se entre si pela predominância de algumas características e dentre elas, Rezi (27, p. 73) destaca: Representação discursiva, em que há predominância no uso da língua natural, são requeridos raciocínios dedutivos e argumentação, por meio de associações verbais e conceituais; Sistemas de escritas, sendo as numéricas (decimal, fracionária, entre outros), as algébricas e as simbólicas; Figuras geométricas, planas ou em perspectivas e em várias dimensões, requerendo operatória e perceptiva; Gráficos cartesianos, tanto a representação no gráfico cartesiano quanto o uso de quadros, tabelas, gráficos de barras, gráficos em três dimensões e diagramas circulares também. Rezi (27) destaca ainda que, dado que um mesmo objeto pode ser representado por maneiras distintas, a teoria considera duas possibilidades de transformação entre as diferentes representações, a saber: o tratamento (quando uma atividade requer somente representações em um mesmo registro) e a conversão (quando uma atividade requer 2

3 representações em registros diferentes, porém conservando a referência aos mesmos objetos). Moretti (22) faz uma citação de Duval destacando a relevância da pluralidade de representações: As representações diferentes de um mesmo objeto, não têm evidentemente o mesmo conteúdo. Cada conteúdo é comandado por um sistema pelo qual a representação foi produzida. Daí a conseqüência de que cada representação não apresenta as mesmas propriedades ou as mesmas características do objeto. Nenhum sistema de representação pode produzir uma representação cujo conteúdo seja completo e adequado ao objeto representado (Duval, 1999, citado por Moretti, 22, p. 347). Tratando da teoria de Duval para as representações semióticas, Al Almouloud (24) refere-se a três formas de processos cognitivos envolvendo a Geometria, segundo funções epistemológicas específicas: a visualização (processo que examina o espaçorepresentação da ilustração de uma afirmação, para a exploração heurística de uma situação complexa, por uma breve olhada ou por uma verificação subjetiva); a construção (processo de construção de configurações, que pode ser trabalhado como um modelo, em que as ações representadas e os resultados observados são ligados aos objetos matemáticos representados) e o raciocínio (usado para a prova e a explicação). Al Almouloud (24, p. 3) destaca que esses processos cognitivos interagem entre si propiciando diferentes tipos de apreensões das representações, a saber: a seqüencial (requerida nas tarefas de construção ou nas tarefas de descrição com objetivo de reproduzir uma figura); a perceptiva (interpretação das formas da figura em uma situação geométrica); a discursiva (a interpretação dos elementos da figura geométrica, principalmente a articulação dos enunciados); e a operatória (centrada sobre as modificações possíveis de uma figura inicial e sua reorganização perceptiva a partir dessas modificações). Moretti (22) destaca ainda alguns aspectos da teoria, em relação a cada tipo de na resolução de problemas em Geometria. Sobre a perceptiva afirma que diante de figuras duas atitudes simultâneas uma imediata e automática e outra 3

4 controlada, permitem ao indivíduo a interpretação discursiva dos elementos figurais. Em relação à discursiva, destaca que esta é requerida em atividades de demonstração, ressaltando que a atividade de demonstração em geometria consiste em uma rede semântica de propriedades e de objetos. Da operatória, destaca que esta faz referência às possíveis modificações que uma figura pode permitir e as reorganizações perceptivas que estas mudanças operam. E finalmente, sobre a seqüencial de figuras, afirma que esta é requerida em exercícios de construções geométricas ou na reprodução de figura (Moretti, 22, p. 355). OS NÍVEIS DE COMPREENSÃO GRÁFICA DE CURCIO Jacques Bertin foi o primeiro autor que se ocupou da sistematização da teoria dos gráficos. O cartógrafo elaborou uma organização taxonômica para os componentes gráficos e as propriedades do sistema perceptual humano, lançando mão de termos próprios para a descrição de gráficos, dado que seus elementos constituem símbolos para registrar o tipo e a função da variável em um gráfico. Ele partiu do pressuposto da inexistência de gráficos únicos e acabados, destacando que gráficos devem ser desenhados e redesenhados, construídos e reconstruídos, através da manipulação dos, buscando mostrar todas as relações através das informações que ele disponibiliza. Dentre as contribuições dadas pelo autor ao tema, destaca-se a conclusão de que a imagem é formada a partir de três variáveis homogêneas e ordenadas: as duas dimensões do plano e uma variável na terceira dimensão (Cazorla, 22). O autor propôs ainda que a imagem não admite mais que três variáveis significativas e, em casos em que existam variáveis em quantidade superior a três, o indivíduo escolhe as três variáveis de preferência. Assim, quanto maior o número de imagens a serem percebidas, menor é a memorização visual e desse modo o autor propôs a substituição da noção quantidade de informações pela noção de níveis de informações, que são verbalmente expressas pelos níveis de questões e graficamente pelos níveis de leitura (Cazorla, 22). 4

5 Em revisão sobre os níveis de leituras de gráficos, Cazorla (22) apresenta os a proposta de Bertin em 1967 na obra Semiologie graphique: les diagrames, les reseaux, les cartes. No nível elementar ou extração de a informação se refere à relação entre um elemento de X e um elemento de Y; trata-se de um nível ajuda a prevenir a construção de maus gráficos. O nível médio ou extração de tendências é caracterizado pela referência à relação que existe entre subconjuntos de. O nível superior ou de entendimento profundo da estrutura dos caracteriza-se pela comparação entre tendências e agrupamentos, estabelecendo relações e inferindo comportamentos futuros. Em 1987 Curcio publicou o artigo Comprehension of mathematical relationship expressed in graphs no Journal for Research in Mathematics Education. Neste trabalho o autor apresentou uma revisão dos níveis de leitura propostos por Bertin, a partir de pesquisas desenvolvidas com as interpretações de gráficos tradicionais escolares por estudantes de quarto e sétimo anos (Monteiro e Ainley, 23). Os níveis sugeridos são apresentados a seguir: a. Leitura dos : esse nível de compreensão requer a leitura literal do gráfico; não se realiza interpretação da informação contida nele; b. Leitura dentro dos : que inclui a interpretação e integração dos no gráfico, requer a habilidade para comparar quantidades e o uso de outros conceitos, além das habilidades matemáticas; c. Leitura além dos : requer que o leitor realize predições e inferências a partir dos, sobre informações que não se refletem diretamente no gráfico, e d. Leitura através dos : supõe valorar a fiabilidade e a integridade dos. (Cazorla, 22, pp. 58-9) RELAÇÕES HIPOTÉTICAS ENTRE AS TEORIAS DE DUVAL E CURCIO Em estudo sobre análise exploratória de com estudantes do segundo ano do ensino médio, usando o software Fathom, Vieira (28) fundamentou-se teoricamente nos registros de representação semiótica de Duval e nos níveis de compreensão gráfica de Curcio. A autora afirma que os trabalhos de Duval e de Curcio ressaltam a importância de diferentes tipos de representação de um mesmo objeto para uma aprendizagem mais significativa. Em seu estudo foi apresentado um quadro buscando estabelecer elementos 5

6 semelhantes em ambas as teorias, reconhecendo que a natureza do objeto analisado para a proposição dos níveis eram distintas (Curcio elaborou a estrutura a partir da leitura e análise de gráficos e Duval propôs os tipos de de figuras geométricas). As relações hipotéticas são apresentadas no quadro a seguir: Quadro 1: Relações hipotéticas entre as teorias de Duval e Curcio Tipos de apreensões possíveis de uma figura Apreensão perceptiva Apreensão discursiva Apreensão operatória Apreensão sequencial Fonte: Vieira, 28, p.38. Níveis de compreensão gráfica Nível 1: Leitura dos Nível 1: Leitura dos + Nível 2: Leitura entre os Nível 1: Leitura dos + Nível 2: Leitura entre os + Nível 3: Leitura além dos Para melhor compreender a proposição da autora, suas justificativas sobre as equivalências dos elementos entre as duas teorias estão organizadas no quadro a seguir: Quadro 2: Elementos teóricos que justificam as relações hipotéticas entre as teorias de Duval e Curcio Duval Apreensão perceptiva Requer identificação do objeto matemático, que se faz pelos tratamentos cognitivos efetuados automaticamente. Apreensão discursiva São explicitadas propriedades matemáticas da figura, é a interpretação dos elementos da figura. Apreensão operatória É a que corresponde à modificação de uma figura em outras possíveis. Apreensão seqüencial Refere-se à ordem da construção de uma figura, e é solicitado nas tarefas de descrição, com objetivo de reproduzir Curcio Nível 1: Leitura dos O sujeito apenas levanta e informações explícitas no gráfico. Ele visualiza a figura e levanta os apresentados explicitamente nela. Nível 1: Leitura dos + Nível 2: Leitura entre os Ao explicitar as propriedades do gráfico, o sujeito também interpreta e identifica relações nele. Nível 1: Leitura dos + Nível 2: Leitura entre os + Nível 3: Leitura além dos Ao modificar um gráfico o sujeito vai além dos e das informações explícitas no mesmo. Nível 1: Leitura dos + Nível 2: Leitura entre os + Nível 3: Leitura além dos A sequência de passos exigida 6

7 uma figura. para a construção de gráficos requer que o sujeito reflita além dos e das informações disponíveis. PROPOSIÇÃO DO PROBLEMA DE PESQUISA O presente trabalho constitui uma fase inicial de um projeto mais amplo que objetiva a validação de constructo entre as teorias mencionadas. Para delimitar o problema de pesquisa deste estudo considerou-se que, teoricamente, existem equivalências entre as operações mentais apresentadas pelos tipos de apreensões de uma figura propostos por Duval e os níveis de compreensão gráfica de Curcio. Assim, propõe-se a responder a seguinte questão: Existem relações entre os tipos de de uma figura e os níveis de compreensão gráfica na solução da prova de matemática do PROEB por estudantes do ensino médio? MÉTODO Inicialmente, foram selecionadas dentre todos os itens de Matemática da prova do SIMAVE/PROEB de 27 aqueles que requeriam a leitura de gráfico ou a de uma representação geométrica. A seguir, os itens foram analisados em relação ao tipo de (seqüencial, perceptiva, discursiva ou operatória) ou em relação ao nível de leitura de gráfico (, leitura dentro dos, leitura além dos, leitura através dos ). Os utilizados para a análise foram disponibilizados pela Secretaria de Estado de Educação de Minas Gerais, com o compromisso de manter sigilo das imagens dos itens analisados. Foram obtidas as freqüências de acertos e erros para cada item da prova e para o conjunto de itens que requeriam cada nível de leitura de gráfico ou tipo de de representação. As relações entre os foram analisadas através de correlações. RESULTADOS 7

8 São apresentadas inicialmente as distribuições dos percentuais de acertos e erros nos itens que requeriam a de representação e a leitura de gráficos e os respectivos tipos e níveis, em ordem crescente de acertos, nas tabelas 1 e 2. Pode-se observar que os itens que requeriam apenas a que eram a maioria apresentaram maior percentual de acertos. Além disso, nenhum dos itens necessitava da leitura através dos, mesmo para estudantes concluintes do ensino médio. Tabela 1: distribuição de percentuais de acertos e erros e tipo de de representação Tabela 2: distribuição de percentuais de acertos e erros e nível de leitura de gráfico item tipo de item percentuais Nível de percentuais leitura acerto erro acerto erro M121 18,97 81,3 perceptiva M63 48,13 51,87 M67 24,25 75,75 discursiva M16 59,86 4,14 M16 3, 7, sequencial M76 64,8 35,2 M29 34,26 65,74 perceptiva M5 72,15 27,85 M17 34,7 65,3 perceptiva M78 73,89 26,11 M41 35,86 64,14 discursiva M126 74,49 25,51 M4 36,96 63,4 sequencial M52 83,61 16,39 M53 4,99 59,1 discursiva M49 83,77 16,23 M28 41,6 58,94 perceptiva M129 84,7 15,3 M115 47,3 52,97 sequencial M117 87,7 12,93 M83 48,55 51,45 discursiva M6 87,57 12,43 M112 49,44 5,56 sequencial M64 87,68 12,32 M31 53,46 46,54 sequencial M62 91,61 8,39 M1 59,22 4,78 sequencial M19 6,94 39,6 sequencial M4 62,37 37,63 sequencial M3 64,4 35,96 perceptiva leitura além dos leitura dentro dos 8

9 M14 68,2 31,98 sequencial M2 68,43 31,57 seqüencial A seguir, foram computados os números de acertos na prova, em cada nível de leitura e tipo de, por sujeito. Na figura 1 são apresentados os histogramas com distribuições de freqüências de acertos dos itens que requeriam seqüencial (em dez itens no total), perceptiva (em cinco itens no total) e discursiva (em quatro itens no total) , 1, 2, 3, 4, 5, 6, Std. Dev = 1,29 Mean = 1,2 N = 13618, 2, 1, 2, 3, 4, Std. Dev =,82 Mean =,4 N = 13618,,,5 1, 1,5 2, Std. Dev =,55 Mean =,35 N = 13618, sequencial perceptiva discursiva Figura 1: Histogramas do número de itens requerendo seqüencial, perceptiva e discursiva acertados por sujeito Analogamente, na figura 2 são apresentados os histogramas com distribuições de freqüências de acertos dos itens que requeriam a (em onze itens no total), a leitura dentro dos e a leitura além dos (os dois últimos tipos com apenas um item cada no total) , 1, 2, 3, 4, 5, 6, Std. Dev = 1,75 Mean = 2,1 N = 13618, 2,,5 1, Std. Dev =,34 Mean =,14 N = 13618, 2,,5 1, Std. Dev =,31 Mean =,11 N = 13618, leitura dentro dos leitura além dos Figura 1: Histogramas do número de itens requerendo, dentro dos e além dos acertados por sujeito Finalmente, foram obtidos os coeficientes de correlação entre os diferentes tipos de de representações geométricas e níveis de leitura de gráficos, expressos na 9

10 tabela 3. Todos os coeficientes obtidos foram altamente significativos, com p-valores inferiores a,1. Tabela 3: Matriz de correlações entre os níveis de leitura de gráfico e os tipos de de representações geométricas correlações sequencial perceptiva discursiva leitura dentro dos leitura além dos sequencial 1,17 -,6 -,2,41 -,6 perceptiva,17 1 -,5 -,1 -,4 -,1 discursiva -,6 -,5 1,31 -,5,22 -,2 -,1,31 1,6,41 leitura dentro dos,41 -,4 -,5,6 1 -,2 leitura além dos -,6 -,1,22,41 -,2 1 DISCUSSÃO DOS RESULTADOS E CONSIDERAÇÕES FINAIS Dentre os resultados obtidos, ressalta-se a predominância de itens que requerem apenas a a seqüencial de representações geométricas na prova para avaliar estudantes concluintes do ensino médio. Além disso, observou-se também melhor desempenho dos estudantes nos itens que requeriam tais capacidades, que requerem operações cognitivas mais simples que nos demais níveis. Em relação às possíveis relações entre as teorias, a análise de correlação indicou a existência de relações mais fortes entre a leitura dentro dos e a seqüencial (coeficiente de Pearson de,41), entre a e a discursiva (coeficiente de Pearson de,31) e entre a leitura além dos e a discursiva ((coeficiente de Pearson de,22). Nos demais casos, os coeficientes obtidos foram inferiores a,2. 1

11 A análise dos resultados sugeriu a existência de relações, no entanto, não ratificou integralmente o modelo proposto por Vieira (28). Torna-se então necessária a construção de instrumentos que permitam verificar cada um dos constructos em questão para melhor verificar as possíveis convergências entre as teorias mencionadas. REFERÊNCIAS ALMOULOUD, S. A. A Geometria na escola básica: que espaços e formas tem hoje? In: VII EPEM: Encontro Paulista de Educação Matemática, acesso em 15/11/29. CAZORLA, I. M. A relação entre a habilidade viso-pictórica e o domínio de conceitos estatísticos na leitura de gráficos. Tese de doutorado em Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 22. MORETTI, M. T. O papel dos registros de representação na aprendizagem de Matemática. Contrapontos, n. 6, p , 22. Monteiro, C. & Ainley, J. (23). Developing Critical Sense in Graphing. Proceedings of III Conference of the European Society for Research in Mathematics Education, acesso em 15/11/29. Basic Theory of Item Response Theory IRT. Avaliação Psicológica, 2(2), pp , 23. REZI, V. Solução de problemas e tipos de mente matemática: relações com as atitudes e crenças de auto-eficácia. Tese de doutorado em Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 27. VIEIRA, M. Análise exploratória de : uma abordagem com alunos do Ensino Médio. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, PUC-SP, São Paulo,