ESCOLA POLITÉCNICA DA USP DEPTO. DE ENGENHARIA MECÂNICA SISEA LAB. DE SISTEMAS ENERGÉTICOS ALTERNATIVOS

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1 ESCOA POIÉCNICA DA USP DEPO. DE ENGENHARIA MECÂNICA SISEA AB. DE SISEMAS ENERGÉICOS AERNAIVOS PME 36 Processos de ransferência de Calor Prof. Dr. José R Simões Moreira o semestre/4 versão.4 primeira versão: 5

2 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor OBSERVAÇÃO IMPORANE Este trabalho perfaz as Notas de Aula da disciplina de PME 36 - Processos de ransferência de Calor ministrada aos alunos do 3º ano do curso de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica da USP. O conteúdo aui apresentado trata de um resumo dos assuntos mais relevantes do livro teto Fundamentos de ransferência de Calor e Massa de Incropera e Witt. ambém foram utilizados outros livros-teto sobre o assunto para um ou outro tópico de interesse, como é o caso do ransferência de Calor de Holman. O objetivo deste material é servir como um roteiro de estudo, já ue tem um estilo uase topical e ilustrativo. De forma nenhuma substitui um livro teto, o ual é mais completo e deve ser consultado e estudado. José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

3 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 3 Prof. José R. Simões Moreira Currículo attes: Breve Biografia Graduado em Engenharia Mecânica pela Escola Politécnica da USP (983), Mestre em Engenharia Mecânica pela mesma instituição (989), Doutor em Engenharia Mecânica - Rensselaer Polytechnic Institute (994) e Pós-Doutorado em Engenharia Mecânica na Universidade de Illinois em Urbana-Champaign (999). Atualmente é Professor Associado da Escola Politécnica da USP, professor do programa de pós-graduação interinstitucional do Instituto de Eletrotécnica e Energia (IEE-USP), professor de pós-graduação do programa de pós-graduação em Engenharia Mecânica da EPUSP, pesuisador do CNP - nível, consultor ad hoc da CAPES, CNP, FAPESP, entre outros, Foi secretário de comitê técnico da ABCM, Avaliador in loco do Ministério da Educação. em eperiência na área de Engenharia érmica, atuando principalmente nos seguintes temas: mudança de fase líuido-vapor, uso e processamento de gás natural, refrigeração por absorção, tubos de vórtices, sensores bifásicos e sistemas alternativos de transformação da energia. em atuado como revisor técnico de vários congressos, simpósios e revistas científicas nacionais e internacionais. MInistra(ou) cursos de ermodinâmica, ransferência de Calor, Escoamento Compressível, ransitórios em Sistemas ermofluidos e Sistemas de Cogeração, Refrigeração e Uso da Energia e Máuinas e Processos de Conversão de Energia. Coordenou cursos de especialização e etensão na área de Refrigeração e Ar Condicionado, Cogeração e Refrigeração com Uso de Gás Natural, termelétricas, bem como vários cursos do PROMINP. Atualmente coordena um curso de especialização intitulado Energias Renováveis, Geração Distribuída e Eficiência Energética por meio do PECE da Poli desde em sua seta edição. em sido professor de cursos de etensão universitária para profissionais da área de termelétricas, válvulas e tubulações indústriais, ar condicionado, tecnologia metroferroviária e energia. em participado de projetos de pesuisa de agências governamentais e empresas, destacando: Fapesp, Finep, Cnp, Eletropaulo, Ipiranga, Vale, Comgas, Petrobras e Ultragaz. Foi agraciado em 6 com a medalha Amigo da Marinha`. Foi professor visitante na UFPB em - João Pessoa e na UNI - Universitat Nacional de Ingenieria em (ima - Peru). Foi cientista visitante em Setembro/7 na Ecole Polytechniue Federale de ausanne (Suiça) dentro do programa ERCOFAC - European Research Community On Flow, urbulence And Combustion`. Participou do Projeto ARCUS na área de bifásico em colaboração com a França. Foi professor visitante no INSA - Institut National des Sciences Appliuées em yon (França) em junho e julho de 9. em desenvolvido projetos de cunho tecnológico com apoio da indústria (Comgas,Eletropaulo, Ipiranga, Petrobras e Vale). Possui uma patente com aplicação na área automobilística. É autor de mais de artigos técnico-científicos, além de ser autor de um livro intitulado "Fundamentos e Aplicações da Psicrometria" (999) e autor de um capítulo do livro "hermal Power Plant Performance Analysis" (). Já orientou 3 mestres e 4 doutores, além de cerca de 4 trabalhos de conclusão de curso de graduação e diversas monografias de cursos de especialização e de etensão, bem como trabalhos de iniciação científica, totalizando um número superior a 8 trabalhos. Possui mais de publicações, incluindo periódicos tecnico-científicos nacionais e internacionais. Finalmente, coordena o laboratório e grupo de pesuisa da EPUSP de nome SISEA - ab. de Sistemas Energéticos Alternativos. José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

4 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 4 AUA - APRESENAÇÃO.. INRODUÇÃO Na EPUSP, o curso de Processos de ransferência de Calor sucede o curso de ermodinâmica clássica no 3º ano de Engenharia Mecânica. Assim, surge de imediato a seguinte pergunta entre os alunos: Qual a diferença entre ermo e ranscal? ou há diferença entre elas? Para desfazer essa dúvida, vamos considerar dois eemplos ilustrativos das áreas de aplicação de cada disciplina. Mas, antes vamos recordar um pouco das premissas da ermodinâmica. A ermodinâmica lida com estados de euilíbrio térmico, mecânico e uímico, e é baseada em três leis fundamentais: - ei Zero ( euilíbrio de temperaturas permite a medida de temperatura e o estabelecimento de uma escala de temperatura) - Primeira ei ( conservação de energia energia se conserva) - Segunda ei ( direção em ue os processos ocorrem e limites de conversão de uma forma de energia em outra ) Dois eemplos ue permitem distinguir as duas disciplinas: (a) Euilíbrio térmico frasco na geladeira Considere um frasco fora da geladeira à temperatura ambiente. Depois, o mesmo é colocado dentro da geladeira, como ilustrado. Claro ue, inicialmente, < G f frasco t f ambiente f G inicial final As seguintes análises são pertinentes, cada ual, no âmbito de cada disciplina: ermodinâmica: Q U mc - fornece o calor total necessário a ser transferido do frasco para resfriá-lo baseado na sua massa, diferença de temperaturas e calor específico médios APENAS ISO! José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

5 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 5 ransferência de calor: responde outras uestões importantes, tais como: uanto tempo ( t) levará para ue o euilíbrio térmico do frasco com seu novo ambiente (gabinete da geladeira), ou seja, para ue f G seja alcançado? É possível reduzir (ou aumentar) esse tempo? Assim, a ermodinâmica não informa nada a respeito do intervalo de tempo t para ue o estado de euilíbrio da temperatura do frasco ( f ) com a da geladeira ( G ) seja atingido, embora nos informe uanto de calor seja necessário remover do frasco para ue esse novo euilíbrio térmico ocorra. Por outro lado a disciplina de ransferência de Calor vai permitir estimar o tempo t, bem como definir uais parâmetros podemos interferir para ue esse tempo seja aumentado ou diminuído, segundo nosso interesse. De uma forma geral, toda vez ue houver gradientes ou diferenças finitas de temperatura ocorrerá também uma transferência de calor. A transferência de calor pode ser interna a um corpo ou na superfície de contato entre uma superfície e outro corpo ou sistema (fluido). (b) Outro eemplo: operação de um ciclo de compressão a vapor c condensador compressor válvula w c evaporador ERMIDINÂMICA: wc e c : não permite dimensionar os euipamentos (tamanho e diâmetro das serpentinas do condensador e do evaporador, por eemplo), apenas lida com as formas de energia envolvidas e o desempenho do euipamento, como o COP: e COP w c RANSFERÊNCIA DE CAOR: permite dimensionar os euipamentos térmicos de transferência de calor. Por eemplo, responde às seguintes perguntas: - Qual o tamanho do evaporador / condensador? - Qual o diâmetro e o comprimento dos tubos? - Como atingir maior / menor troca de calor? - Outras uestões semelhantes. e José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

6 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 6 Problema-chave da transferência de calor: O conhecimento do fluo de calor. O conhecimento dos mecanismos de transferência de calor permite: - Aumentar o fluo de calor: projeto de condensadores, evaporadores, caldeiras, etc.; - Diminuir o fluo de calor: Evitar ou diminuir as perdas durante o transporte de frio ou calor como, por eemplo, tubulações de vapor, tubulações de água gelada de circuitos de refrigeração; - Controle de temperatura: motores de combustão interna, pás de turbinas, auecedores, etc.. MECANISMOS DE RANSFERÊNCIA DE CAOR A transferência de calor ocorre de três formas, uais sejam: condução, convecção e radiação térmica. Abaio se descreve cada um dos mecanismos. (a) Condução de calor - Gases, líuidos transferência de calor dominante ocorre da região de alta temperatura para a de baia temperatura pelo choue de partículas mais energéticas para as menos energéticas. - Sólidos energia é transferência por vibração da rede (menos efetivo) e, também, por elétrons livres (mais efetivo), no caso de materiais bons condutores elétricos. Geralmente, bons condutores elétricos são bons condutores de calor e vice-versa. E isolantes elétricos são também isolantes térmicos (em geral). A condução, de calor é regida pela lei de Fourier (8).. sólido d α A d onde: A : área perpendicular ao fluo de calor : temperatura A constante de proporcionalidade α é a condutividade ou condutibilidade térmica do material, k, ou seja: José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

7 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 7 d ka d As unidades no SI das grandezas envolvidas são: [ ] W, [ A ] m, [ ] K ou C [ ] m. o, assim, as unidades de k são: [ k ] W o m C ou W m K A condutividade térmica k é uma propriedade de transporte do material. Geralmente, os valores da condutividade de muitos materiais encontram-se na forma de tabela na seção de apêndices dos livros-teto. Necessidade do valor de (-) na epressão Dada a seguinte distribuição de temperatura: Para > < (pois o fluo de calor flui da região de maior para a de menor temperatura. Está, portanto, fluindo em sentido contrário a orientação de ) > Além disso, do esuema; >, daí tem-se ue o gradiente também será > positivo, isto é: d > mas, como k > (sempre), e A > (sempre), concluí-se ue, d então, é preciso inserir o sinal negativo (-) na epressão da condução de calor (ei de Fourier) para manter a convenção de ue > José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

8 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 8 Se as temperaturas forem invertidas, isto é, >, conforme próimo esuema, a euação da condução também eige ue o sinal de (-) seja usado (verifiue!!) De forma ue a ei da Condução de Calor é: d ka d ei de Fourier (8) (b) Convecção de Calor A convecção de calor é baseada na ei de resfriamento de Newton (7) α A( ) Onde a proporcionalidade α é dada pelo coeficiente de transferência de calor por convecção, h, por vezes também chamado de coeficiente de película. De forma ue: onde: A : Área de troca de calor; : emperatura da superfície; S : emperatura do fluido ao longe. ha( ) - O problema central da convecção é a determinação do valor de h ue depende de muitos fatores, entre eles: geometria de contato (área da superfície, sua rugosidade e sua José R. Simões Moreira atualização Agosto/4 S S

9 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 9 geometria), propriedades termodinâmicas e de transportes do fluido, temperaturas envolvidas, velocidades. Esses são alguns dos fatores ue interferem no seu valor. (c) Radiação érmica A radiação térmica é a terceira forma de transferência de calor e é regida pela lei de Stefan Boltzmann. Sendo ue Stefan a obteve de forma empírica (879) e Boltzmann, de forma teórica (884). Corpo negro irradiador perfeito de radiação térmica 4 σa (para um corpo negro) σ constante de Stefan Boltzmann (5, W/m K 4 ) Corpos reais (cinzentos) 4 εσa, onde ε é a emissividade ue é sempre Mecanismo físico: ransporte de energia térmica na forma de ondas eletromagnéticas ou fótons, dependendo do modelo físico adotado. Não necessita de meio físico para se propagar. Graças a essa forma de transferência de calor é ue eiste vida na erra devido à energia na forma de calor da irradiação solar ue atinge nosso planeta. José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

10 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor AUA CONDUÇÃO DE CAOR CONDUÇÃO DE CAOR Condutibilidade ou Condutividade érmica, k Da ei de Fourier da condução de calor, tem-se ue o fluo de calor,, é diretamente proporcional ao gradiente de temperaturas, de acordo com a seguinte epressão: k, onde A é a área perpendicular à direção do fluo de calor e k é a condutividade térmica do material. A As unidades no SI da condutividade térmica, k, do material, são: W k k k o C A m m W m o C ou W m. K Sendo: k: propriedade (de transporte) do material ue pode ser facilmente determinada de forma eperimental. Valores tabelados de diversos materiais se encontram na seção de apêndice do livro teto. Eemplo de eperimento laboratorial para obtenção de k José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

11 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor No eperimento indicado, uma corrente elétrica é fornecida à resistência elétrica enrolada em torno da haste do bastão. O calor gerado por efeito joule vai ser conduzido dentro da haste para fora do bastão (lado direito). Mediante a instalação de sensores de temperatura (termopares, p. e.), pode-se levantar o perfil da distribuição de temperaturas como auele indicado no gráfico acima. Estritamente falando, esse perfil temperatura é linear, como vai se ver adiante. Por outro lado, o fluo de calor fornecido é a própria potência elétrica R I U I. Sendo a seção transversal A conhecida, então, da lei de Fourier, determina-se a condutividade térmica do material da haste, k. Neste caso, k. A Um aspecto importante da condução de calor é ue o mecanismo da condução de calor é diferente dependendo do estado físico e da natureza do material. Abaio, indicam-se os mecanismos físicos de transporte de acordo com o estado físico. Gases O choue molecular permite a troca de energia cinética das moléculas mais energéticas para as menos energéticas. A energia cinética está relacionada com a temperatura absoluta do gás. Quanto maior a temperatura, maior o movimento molecular, maior o número de choues e, portanto, mais rapidamente a energia térmica flui. Pode-se mostrar ue. Para alguns gases, a pressão moderada, k é só função de. Assim, os dados tabelados para uma dada temperatura e pressão podem ser usados para outra pressão, desde ue seja à mesma temperatura. Isso não é valido próimo do ponto critico. íuidos Qualitativamente o mecanismo físico de transporte de calor por condução nos líuidos é o mesmo ue o dos gases. Entretanto, a situação é consideravelmente mais complea devido à menor mobilidade das moléculas. k José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

12 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor Sólidos Duas maneiras básicas regem a transferência de calor por condução em sólidos: vibração da rede cristalina e transporte por elétrons livres. O segundo modo é o mais efetivo e é o preponderante em materiais metálicos. Isto eplica porue, em geral, bons condutores de eletricidade também são bons condutores de calor. A transferência de calor em isolantes se dá, por meio da vibração da rede cristalina, ue é menos eficiente. O gráfico abaio ilustra ualitativamente as ordens de grandeza da condutibilidade térmica dos materiais. Nota-se ue, em geral, a condutibilidade aumento de gases, para líuidos e sólidos e ue os metais puros são os de maior condutividade térmica. EQUAÇÃO GERA DA CONDUÇÃO DE CAOR EM COORDENADAS CARESIANAS Balanço de energia em um volume de controle elementar José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

13 kj / kg oc Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 3 BAANÇO DE ENERGIA (ª EI) Fluo de aa de aa temporal Fluo de calor calor de variação calor ue ue entra no + gerada da energia + deia o ue V.C. no V.C. Interna no V.C. V.C. (I) (II) (III) (IV) Sejam os termos: (I) Fluo de calor ue entra no V.C. Direção k dy dz Direção y y k y d dz y - k da k Direção y zy k z z (II) aa de calor gerado E G onde: k z ''' G d dy z d dy dz ''' g aa de calor gerado na unidade de volume. (III) aa temporal de variação da energia interna W 3 m E ar U t u m t d dy dz c t onde: c calor específico; m massa elementar do V.C. e a densidade. (IV) Fluo de calor ue deia o V.C. epansão em serie de aylor: Direção d d d ( d ) Direção y y dy y y y dy José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

14 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor José R. Simões Moreira atualização Agosto/4 4 Direção z dz z z z dz z Então, juntando os termos (I) + (II) (III) + (IV), vem: dz z dy y d t cddydz ddydz z z y y G z y ''' + ordem superior simplificando os termos z y e,, vem:, ''' dz z dy y d t cddydz ddydz z y G e, substituindo a ei de Fourier para os termos de fluo de calor, ddydz k z ddydz k y ddydz k t cddydz ddydz z y G z y ''' Eliminando o volume de controle elementar ddydz, temos finalmente: Essa é a euação geral da condução de calor. Não eiste uma solução geral analítica para a mesma porue se trata de um problema ue depende das condições inicial e de contorno. Por isso, ela é geralmente resolvida para diversos casos ue dependem da geometria do problema, do tipo (regime permanente) e das condições iniciais e de contorno. Evidentemente, procura-se uma solução do tipo: ),,, ( t z y. A seguir são apresentados alguns casos básicos. Casos: A) Condutividade térmica uniforme (material isotrópico) e constante (independe de ) k k k k z y t k z y g ''' t z y " ' c k z k y k G z y

15 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor José R. Simões Moreira atualização Agosto/4 5 onde, c k é conhecida como difusibilidade ou difusividade térmica, cuja unidade no SI é: s m s s J m W K kg J m kg K m W c k ² ² 3 Essa euação ainda pode ser escrita em notação mais sintética da seguinte forma: onde: z y é o operador matemático chamado de aplaciano no sistema cartesiano de coordenadas. Esta última forma de escrever a euação da condução de calor é preferível, pois, embora ela tenha sido deduzida para o sistema cartesiano de coordenadas, ela é independe do sistema de coordenadas adotado. Caso haja interesse em usar outros sistemas de coordenadas, basta substituir o aplaciano do sistema de interesse, como eemplificado abaio, - Cilíndrico: z r r r r r - Esférico: sen sen sen r r r r r r B) Sem geração de calor e k uniforme e constante, ''' G (E. de Fourier) C) Regime permanente (ou estacionário) e k uniforme e constante, t (E. de Poisson) D) Regime permanente e k constante e uniforme (E. de aplace) t k G ''' t ''' k G

16 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 6 AUA 3 CONDUÇÃO UNIDIMENSIONA EM REGIME PERMANENE SEM GERAÇÃO PACA OU PAREDE PANA O caso mais simples ue se pode imaginar de transferência de calor por condução é o caso da parede ou placa plana, em regime permanente, sem geração interna de calor e propriedades de transporte (condutividade térmica) constantes. Este é o caso ilustrado na figura abaio onde uma parede de espessura, cuja face esuerda é mantida a uma temperatura enuanto ue a face à direita é mantida à temperatura. Poderia se imaginar ue se trata, por eemplo, de uma parede ue separa dois ambientes de temperaturas distintas. Como se verá, a distribuição de temperaturas () dentro da parede é linear. Para resolver esse caso, vamos partir da euação geral da condução de calor, deduzida na aula anterior, isto é: ''' G k t Introduzindo as simplificações do problema, vem: i. Não há geração interna de calor: ii. Regime permanente: t iii. Unidimensional: D d Assim, com essas condições, vem ue, e a solução procurada é do tipo (). Para resolver essa euação considere a seguinte mudança de variáveis: d ogo, substituindo na euação, vem ue d José R. Simões Moreira atualização Agosto/4 G d d

17 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 7 Integrando por separação de variáveis vem: d C, ou seja: C d d Mas, como foi definido C d d Integrando a euação mais uma vez, vem: ( ) C C Que é a euação de uma reta, como já antecipado. Para se obter as constantes, deve-se aplicar as condições de contorno ue, nesse eemplo, são dadas pelas temperaturas superficiais das duas faces. Em termos matemáticos isso uer dizer ue (A) em (B) e em De (A): C e de (B): C C Assim, ( ) ( ) Para efeito de ilustração, suponha ue, como mostrado na figura abaio. Cálculo do fluo de calor transmitido através da parede. Para isso, deve-se usar a ei de Fourier, dada por: d k d e, substituindo a distribuição de temperaturas, vem: d k k d, ou, em termos de fluo de calor por unidade de área, temos: W m '' k Esuecendo o sinal de (-), vem '' k José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

18 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 8 Conhecida a euação ue rege do fluo de calor através da parede, podemos: Aumentar o fluo de calor :. Com o uso de material bom condutor de calor, isto é com k. Ou, pela diminuição da espessura da parede, isto é Ou diminuir o fluo de calor :. Com o uso de material isolante térmico k. Ou, pelo aumento da espessura da parede, isto é CONDUÇÃO UNIDIMENSIONA EM REGIME PERMANENE SEM GERAÇÃO INERNA DE CAOR UBO CIÍNDRICO. Este é o caso euivalente, em coordenadas cilíndricas, ao da condução de calor unidimensional, em regime permanente, sem geração de calor e condutividade térmica constante estudado acima para uma parede ou placa plana. A diferença é ue sua aplicação é para tubos cilíndricos. A euação geral é da forma ''' G k t Neste caso, a geometria do problema indica ue se deve resolver o problema em coordenadas cilíndricas. Para isso, basta usar o aplaciano correspondente, isto é: r r r r r z k ''' G t Introduzindo as simplificações: i. Não há geração interna de calor: ii. Regime permanente: t iii. Unidimensional: D, ue é válido para um tubo muito longo, ou seja, não depende de z, logo z iv. Há uma simetria radial, não depende de, isto é: As simplificações (iii) e (iv) implicam ue se trata de um problema unidimensional na direção radial, r. A aplicação dessas condições resulta em: G José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

19 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 9 d dr d r dr, onde a solução procurada é do tipo (r) As condições de contorno para a ilustração indicada acima são: A superfície interna é mantida a uma temperatura constante, isto é: r ri i A superfície eterna é também mantida a uma outra temperatura constante, isto é: r r Solução: e e a Integração separe as variáreis e integra uma vez, para resultar em: d d d r dr dr C r C dr dr Integrando pela a vez, após separação de variáveis, vem: d dr C C r r C ln( r) C Portanto, a distribuição de temperaturas no caso do tubo cilíndrico é logarítmica e não linear como no caso da parede plana. Determinação de C e C por meio da aplicação da condições de contorno: (A) (B) r r ri i i C ln( ri ) C re e e C ln( re ) C Fazendo-se (A) (B), temos ue ri i e C ln, ou r e i C e ri ln r e Finalmente, na e. da distribuição de temperaturas: r i ri ln r Distribuição de temperatura, supondo i e. e e ln r r e e José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

20 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor i ei logarítmica e r i r e raio d O fluo de calor é obtido através da ei de Fourier, isto é, k dr Atenção a esse ponto, a área A é a área perpendicular ao fluo de calor e não a área transversal da seção transversal. Portanto, trata-se da área da casuinha cilíndrica ilustrada abaio. A r (casca cilíndrica), é o comprimento do tubo Substituindo a distribuição logarítmica de temperatura na euação de Fourier, ( r) C ln( r C, vem: ) d k r [ C ln( r) C ] dr ou, efetuando a derivação, temos: krc r ou, ainda: kc Substituindo, C : k e i r i ln re (W) O fluo de calor total é constante através das superfícies cilíndricas! Entretanto, o fluo de calor por unidade de área '' A k ( e i ) r r i ln re '' depende da posição radial k ( e i ) r r i ln re ' ' W m José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

21 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor AUA 4 PAREDES PANAS COMPOSAS Condução unidimensional, regime permanente, sem geração de calor paredes compostas. Para resolver de forma rápida e simples este problema, note ue o fluo de calor é o mesmo ue atravessa todas as paredes. Assim, para cada parede pode-se escrever as seguintes euações: - parede : - parede : - parede 3: ( ka ( 3 ka ( ) ) ) 3 4 k3a k A k A 3 k A 3 Assim, somando os termos de todas as paredes: ou, simplesmente, R i 4 k A i onde o refere-se à diferença total de temperaturas da duas faces eternas e R é a i resistência térmica da parede composta, dada por R k A ANAOGIA EÉRICA Nota-se ue eiste uma analogia elétrica perfeita entre fenômenos elétricos e térmicos de condução de calor, fazendo a seguinte correspondência: i U R ÔHMICO R ÉRMICO i José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

22 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor Por meio de analogia elétrica, configurações mais compleas (em série e paralelo) de paredes podem ser resolvidas. Circuito elétrico euivalente Fluo de calor ue é: total R R R com R R // R// R5 R R 3 4 CONDUÇÃO EM PACA PANA COM GERAÇÃO INERNA DE CAOR Geração interna de calor pode resultar da conversão de uma forma de energia em calor. Eemplos de formas de energia convertidas em calor:. Geração de calor devido à conversão de energia elétrica em calor P RI (W) Onde: P : potência elétrica transformada em calor por efeito joule(w) R : resistência ôhmica ( ) I : corrente elétrica (A) Ainda, U : diferença de potencial elétrico (V) U P UI ou P R José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

23 b Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 3 Em termos volumétricos, calor é gerado. 3 ( / m ) ''' G W, G ''' P V (W/m3), onde V : volume onde o '''. Geração de calor devido a uma reação uímica eotérmica ( G ) como, por eemplo, o calor liberado durante a cura de resinas e concreto. Já, no caso de uma ''' reação endotérmica,. G 3. Outras formas tais de geração de calor devido à absorção de radiação, nêutrons, etc... Parede (placa) plana com geração de calor uniforme (resistência elétrica plana). b i Euação geral ''' G sendo ue k t t ''' G () k (regime permanente.) Condições de contorno: () () José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

24 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 4 Solução d Seja a seguinte mudança de variável (apenas por conveniência):, d ''' Então d G d k Integrando essa euação por partes, vem: ''', mas como d d G, então C d d k d G d C k ''' Integrando novamente: ''' G ( ) C C k Obs.: rata-se de uma distribuição parabólica de temperaturas. ''' Como no caso da resistência elétrica (geração de calor) é positivo e, claro, k também é positiva, a constante ue multiplica o termo é negativa ''' parábola com a concavidade voltada para baio. Por outro lado, se G for negativo, o ue pode ocorrer com processos de curas de algumas resinas (processos endotérmicos), então a concavidade será voltada para cima. Determinação das constantes C e C : Condições de contorno ''' () G C C - temperatura da face esuerda conhecida k () ''' G C C - temperatura da face direita conhecida k Somando ()+(), vem: G ''' G C k C G. k ''' Substituindo em () ou (), tem-se C Então, a distribuição final de temperaturas é: ( ) ''' G ( ) ( k ) José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

25 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 5 CASOS: (A) Suponha ue as duas faces estejam à mesma temperatura: S. Daí, resulta ue: ( ) ''' G ( ) k S É uma distribuição simétrica de temperaturas. A máima temperatura, nesse caso, ocorre no plano central, onde (note a simetria do problema). Se for o caso pouco ''' comum de uma reação endotérmica, ou <, a concavidade seria voltada para abaio G e, no plano central, haveria a mínima temperatura. d ambém poderia se chegar a essa epressão usando d ''' G MÁX C S k O fluo de calor (lei de Fourier) d ka ou d '' d k, substituindo a distribuição de temperaturas, vem: A d ''' '' d G ( ), k S d k ou, simplesmente: '' G ''' No plano central ( ) o fluo de calor é nulo devido à simetria do problema e das condições de contorno. '' Dessa forma, o plano central age como o caso de uma parede adiabática, (B) Nesse caso, suponha ue a temperatura de uma das faces seja maior: José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

26 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 6 Plano em ue ocorre a máima temperatura, má ( má ) Sabemos ue o fluo de calor é nulo em má : d k ou d má ''' d G ( ) ( ), ue resulta em: d k ''' G k má ( ) Cuja solução é: má ( ) k ''' G Substituindo-se o valor de má na epressão da distribuição da temperatura, encontra-se o valor da máima temperatura má. ente fazer isso! PENSE: Suponha ue você é um engenheiro perito e é chamado para dar um parecer sobre um incêndio com suspeita de ter origem no sobreauecimento do sistema elétrico. Como você poderia, a partir de uma análise na fiação elétrica, inferir se houve ou não sobreauecimento à luz da matéria eposta acima? José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

27 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 7 AUA 5 - CONDUÇÃO DE CAOR EM CIINDROS MACIÇOS EM REGIME PERMANENE COM GERAÇÃO INERNA DE CAOR Nesta aula, vai se estudar o caso da geração interna de calor em cilindros maciços. Como eemplo de aplicação tem-se o calor gerado por efeito joule devido à passagem de corrente elétrica em fios elétricos, como indicado na figura ao lado. Partindo da euação geral da condução de calor: ''' G (Regime permanente) k t Onde é conveniente usar o aplaciano em coordenadas cilíndricas, isto é: z r r r r r Hipóteses adicionais - simetria radial: (não há influência da posição angular numa seção transversal) - o tubo é muito longo: z (não há efeitos de borda na direção aial) ogo, trata-se de uma distribuição de temperaturas unidimensional na direção radial, ou seja, (r) Assim, introduzindo essas simplificações na euação geral da condução, vem: r d dr r d dr ''' G k Ou, integrando por partes: ''' ''' d d G G r dr rdr C, ou, ainda: r C dr Integrando novamente por separação de variáveis: k dr k d ''' C G r dr C k r ''' G r ( r) C ln r C 4k José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

28 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 8 * condições de contorno para obtenção das constantes C e C: () ( r r ) S a temperatura da superfície S é conhecida d () simetria radial na linha central dr r Isso implica dizer ue o fluo de calor é nulo na linha central e, como decorrência, também pode-se afirmar ue a máima temperatura má ocorre nessa linha. Da segunda condição de contorno, vem ue: ''' lim G r C r k r Do ue resulta em C, para ue a epressão permaneça sempre nula. Da primeira condição de contorno. ''' G r S C ou, 4k C S ''' G r 4k Finalmente, a euação da condução de calor fica: r r S É uma distribuição parabólica de temperatura (º. grau)! ''' G 4k Sendo, ''' G r má 4 k S José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

29 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 9 EXEMPO DE APICAÇÃO Considere um tubo cilíndrico longo revestido de isolamento térmico perfeito do lado eterno. Sua superfície interna é mantida a uma temperatura constante igual a i. ''' Considere, ainda, ue ocorre geração de calor uniforme. G a) calcule a distribuição de temperaturas; b) determine o fluo de calor total removido (internamente); c) determine a temperatura da superfície eterna. Solução: Hipóteses: as mesmas ue as anteriores. E. d d G r r dr dr k ''' Condições de contorno: () ( r r i ) i (temperatura interna constante) d () dr re (fluo de calor nulo na superfície) A solução geral, como já visto, é: ''' G r ( r) C ln r C 4k Onde C e C saem das condições de contorno do problema específico: ''' r C G e k ; ''' G re ri C i ln( ri ) 4k re José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

30 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 3 Assim, ''' G re ri r ( r) 4k re r ln i r i O fluo de calor é: d ka dr d k( r) ( r) dr Após substituir a distribuição de temperaturas e efetuar da derivada, vem: A temperatura máima é: ''' G re r (W/m) i má e má e ''' G re 4k r r i e re re ln i r i OURO EXEMPO DE APICAÇÃO Num fio de aço inoidável de 3,mm de diâmetro e 3cm de comprimento é aplicada uma tensão de V. O fio está mantido em um meio ue está a 95 o C e o coeficiente de o transferência de calor vale kw / m C. Calcule a temperatura no centro do fio. A resistividade do fio e de 7 cm e sua condutibilidade térmica vale,5w / m o C José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

31 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 3 Solução: Calor gerado por unidade de volume, isto é, a potência elétrica dissipada no volume. U P Ri ; R R A 8 7 m D (3,, 3m, A ,3 R,6 6 8,45 P 3, 83kW,6 3 P 3,83 V A 9 W,587 3 m G G P ha( P P ) c 67 o C 3 3 3,83 6 8,45,3 P 3 3, (3, ),3 o P C G ro c P 4k 9,587 (,6 c 4,5 3 ) P ha ) 8,45 6 m José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

32 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 3 RESISÊNCIA ÉRMICA Várias Situações - paredes planas R R ka - circuito elétrico - paredes compostas - Circuito elétrico Ainda, onde R R R R // 3 4 R EQ R R// R5 R EQ José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

33 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 33 - ubo cilíndrico i e ; R r ln e r i R k - ubo cilíndrico composto - Circuito elétrico R e R i R e ri ln r i k i Para dois tubos: r ln r R k R r 3 ln r k José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

34 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 34 Por indução, como deve ser a resistência térmica devido à convecção de calor? ei de convecção (Newton) ( ) ha p e onde, ha p ha é a resistência térmica de convecção - Circuito elétrico Para o caso em ue houver convecção em ambas as paredes: - Convecção em tubo cilíndrico José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

35 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 35 abela resumo de Resistências érmicas Parede plana Circuito Elétrico Fluo de ransferência de calor Resistências érmicas R R ka Parede plana com convecção R R R R R3 R h A ka h A Paredes compostas R EQ R EQ R // R R// R5 R R R 3 4 ubo cilíndrico i e R r ln e r i R k ubo cilíndrico composto i e R EQ R e ri ln r i k i José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

36 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 36 Convecção em tubo cilíndrico i R EQ e R e r ln e ri k ha COEFICIENE GOBA DE RANSFERÊNCIA DE CAOR U O coeficiente global de transferência de calor é definido por: UA total Claramente, U está associado com a resistência térmica, - parede plana R h A ka h A R UA ogo, UA ou R U h k h U RA - tubo cilíndrico José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

37 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 37 Há um problema associado com a área de referência. É preciso dizer se U se refere à área interna do tubo, U i, ou à área eterna, U e. No entanto, os dois valores são intercambiáveis mediante a seguinte epressão: U A e e total U A i i total ogo, Ue Ae Ui Ai U referido à área eterna U e A ln e re r i k U referido à área interna h e Ui r Ai ln e r i k Ai Aehe RAIO CRÍICO DE ISOAMENO ÉRMICO As tubulações ue transportam fluidos auecidos (ou frios) devem ser isolados do meio ambiente a fim de restringir a perda de calor do fluido (ou frio), cuja geração implica em custos. Aparentemente, alguém poderia supor ue a colocação pura e simples de camadas de isolamentos térmicos seria suficiente. Entretanto, um estudo mais pormenorizado mostrará a necessidade de se estabelecer um critério para realizar esta operação. i re ln r i k r h e ou, ( ) ln i re r k i r h e Note ue no denominador dessa epressão ue o raio eterno tem duas contribuições: um no termo de condução e a outra no termo de José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

38 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 38 convecção. De forma ue, se o raio eterno do isolamento aumentar por um lado ele diminui uma das resistências térmicas (a de convecção), enuanto ue por outro lado a resistência térmica de condução aumenta. Isto está ilustrado no gráfico acima e dá origem a um ponto de maimização. Do Cálculo, sabe-se ue o máimo da transferência de calor ocorre em: d dr e ( ln k i ) r k. r. h r e r e i e re h Assim, kr e hr e k r crit h r crit é o chamado raio crítico de isolamento. Se o raio crítico de isolamento for originalmente menor ue h k a transferência de calor será aumentada pelo acréscimo de camadas de isolamento até a espessura dada pelo raio crítico conforme tendência do gráfico. Neste caso, ter-se-ia o efeito oposto ao desejado de diminuir o fluo de calor. Por outro lado, se originalmente a espessura de isolamento for maior ue a do raio crítico, adições sucessivas de camadas isolantes vão de fato diminuir a perda de calor. Para eemplificar, considere um valor do coeficiente de transferência de calor por convecção de h condutividade de materiais isolantes. W 7 (convecção natural), teste de alguns valores da o m C material W o r k m C crit (mm) eflon,35 5, Papel,8 5,7 Couro,59,7 Borracha macia,3 8,6 Silicato de cálcio,55 7,9 ã de vidro,38 5,4 Poliestireno epandido,7 3,9 Folhas de papel e alumínio de vidro laminado,7,4 José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

39 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 39 Como se vê, o raio crítico é relevante para peuenos diâmetros, tais como, fios elétricos. Eercícios sugeridos do Incropera: 3.4; 3.5; 3.; 3.3; 3.34; José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

40 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 4 AUA 6 - AEAS OU SUPERFÍCIES ESENDIDAS Considere uma superfície auecida (resfriada) ue se deseja trocar calor com um fluido. Da lei de resfriamento de Newton, vem ue o fluo de calor trocado é dado por, ha s,onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, A é a área de troca de calor e s e são as temperaturas da superfície do fluido (ao longe). Por uma simples análise, sabe-se ue a transferência de calor pode ser melhorada, por eemplo, aumentando-se a velocidade do fluido em relação à superfície. Com isso, aumenta-se o valor do coeficiente de transferência de calor h e, por conseguinte, o fluo de calor trocado, como dado pela epressão anterior. Porém, há um preço a pagar e este preço é o fato ue vai se eigir a utilização de euipamentos de maior porte de movimentação do fluido, ou seja, maiores ventiladores (ar) ou bombas (líuidos). Uma forma muito empregada de se aumentar a taa de transferência de calor consiste em aumentar a superfície de troca de calor com o emprego de aletas, como a ilustrada abaio. Assim, o emprego das aletas permite uma melhora da transferência de calor pelo aumento da área eposta. Eemplos de aplicação de aletas: () camisa do cilindro de motores de combustão interna resfriados a ar (velho fusca); () motores elétricos; (3) condensadores; (4) dissipadores de componentes eletrônicos. José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

41 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 4 IPOS DE AEAS A figura abaio indica uma série de eemplos de aletas. Evidentemente, eistem centenas ou milhares de formas construtivas ue estão, muitas das vezes, associadas ao processo construtivo das mesmas (etrusão, soldagem, etc). Figura Diferentes tipos de superfícies aletadas, de acordo com Kreith e Bohn. (a) aleta longitudinal de perfil retangular; (b) tubo cilíndrico com aletas de perfil retangular; (c) aleta longitudinal de perfil trapezoidal; (d) aleta longitudinal de perfil parabólico; (e) tubo cilíndrico euipado com aleta radial; (f) tubo cilíndrico euipado com aleta radial com perfil cônico truncado; (g) pino cilíndrico; (h) pino cônico truncado; (i) pino parabólico. EQUAÇÃO GERA DA AEA Volume de controle elementar, C Hipóteses: - regime permanente; - temperatura uniforme na seção transversal; - propriedades constantes. José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

42 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 4 Balanço de energia I fluo de calor ue entra no V. C. p / condução II fluo de calor ue ue deia o V. C. p / condução III fluo de calor ue ue sai do V. C. p / convecção (I) d ka d (II) d d d o( d ) epansão em serie de aylor d (III) ha ) c c ( hpd( ) P : perímetro molhado, isto é, a superfície eterna da aleta ue se encontra em contato com o fluido. Substituindo-se as euações acima no balanço global de energia, vem: d d hpd d d ( ) d hp( ) d Ou, substituindo a lei de Fourier da condução: d d A k d d hp( ) Sendo d d () A A() d d d A d hp k Euação Geral da Aleta AEA DE SEÇÃO RANSVERSA CONSANE: REANGUAR Do ponto de vista matemático, a euação de aleta mais simples de ser resolvida é a de seção transversal constante como, por eemplo, uma aleta de seção retangular ou circular. Assim, da euação geral para esse caso, com A cte, vem: José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

43 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 43 d m, d A solução é do tipo: m, ( ) e m ce c hp m ka conforme solução indicada abaio no lembrete de cálculo, já ue o polinômio característico possui duas raízes reais e distintas (m e m). EMBREE DE CÁCUO Solução geral de euação diferencial homogênea de d y b d dy d cy a ordem e coeficientes constates Assume n y e Substituindo, vem n n n e bme ce n e m Obtém-se o polinômio característico n bn c Caso : n e n reais e distintos n n y ce ce Caso : n e n reais iguais n n y ce ce Caso 3: conjugados compleos n p i ; n p i y e p [ c cos( ) c sen( )] Onde, b p ; 4c b José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

44 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 44 Determinação das constantes c e c vêm das condições de contorno: a Condição de Contorno para () b () b b b c e c e c c b A outra relação entre as condições de contorno, depende do tipo de aleta, conforme os casos (a), (b) e (c), abaio estudados: (a) aleta muito longa Nesse caso, admite-se ue a aleta é muito longa ue, do ponto de vista matemático, tem-se ou Assim, m m c e c e c c b lim De forma ue, a distribuição de temperaturas nesse caso é: ( ) e m b ( ) e b hp ka Ou, substituindo a definição de, vem: ( ) b e hp ka José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

45 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 45 O fluo de calor total transferido pela aleta O fluo de calor total transferido pela aleta pode ser calculado por dois métodos: () aleta cond. base aleta (o fluo de calor total transferido é igual ao fluo de calor por condução na base da aleta) () aleta hp( ) d (o fluo de calor total transferido é a integral do fluo de calor convectivo ao longo de toda a superfície da aleta) Usando o método (), vem: aleta ka b d d d ka b d Mas, A b A cte aleta aleta aleta ka ka b d d m m be kab ( m) e hp ka hpka ou hpka ) b aleta ( b Pelo outro método (): aleta hp d ; P cte m aleta hp be d aleta hp b lim e m d hp e lim m b m hp b lim m m hp b e hpka b m ou, aleta hpka ( b ) o mesmo resultado anterior! (b) caso em ue a etremidade da aleta é adiabática (finito) Nesse caso, admite-se ue a transferência de calor na etremidade da aleta é muito peueno. Portanto, José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

46 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 46 admite-se ue é adiabático: d d d d m m (etremidade adiabática), ou c e ce d d De onde, se obtém, c e e e m b m m Mas como c c b, então: c b e m m e e m ogo, substituindo na euação, vem: m m e m e e e m m m m b e e e e Ou c c b e m m ( ) m( ) e m m e e / / ( ) cosh m( ) cosh m b ou lembrete de funções hiperbólicas: FUNÇÃO DEFINIÇÃO DERIVADA senh e e cosh cosh e e senh tgh senh cosh sec h O fluo de calor total transferido pela aleta O mesmo resultado do caso anterior d d b cosh( ) m aleta ka ka d d cosh m ka senh( m) b ( m) cosh( m) ka b mtgh(m) José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

47 t Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 47 b hpka tgh(m) (c) aleta finita com perda de calor por convecção na etremidade Caso realista. Condição de contorno na etremidade: em k d d h( ) condução na etremidade convecção Distribuição de temperaturas ( ) cosh b m( ) h senhm( ) mk cosh m h senh( m) mk Fluo de calor senh( m) hpka b cosh( m) h conh( m) mk h senh( m) mk Comprimento Corrigido de Aleta Em muitas situações, costuma-se usar a solução do caso (b) etremidade adiabática mesmo para os casos reais. Para isso, usa-se o artifício de rebater a metade da espessura t para cada lado da aleta e definir o chamado comprimento corrigido de aleta, C. Com isso, usa-se o caso (b) de solução mais simples. b t/ c+t/ c t / O erro introduzido por essa aproimação será menor ue 8% desde ue ht,5 k José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

48 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 48 AUA 7 EFICIÊNCIA E EFEIVIDADE DE AEAS Eficiência de Aleta A teoria desenvolvida na aula anterior é bastante útil para uma análise em detalhes para o projeto de novas configurações e geometrias de aletas. Para alguns casos simples, eistem soluções analíticas, como foi o do caso estudado da aleta de seção transversal constante. Situações geométricas ou ue envolvem condições de contorno mais compleas podem ser resolvidas mediante solução numérica da euação diferencial geral ue governa o processo de transferência de calor na aleta. Na prática, a seleção de aletas para um caso específico, no entanto, geralmente usa o método da eficiência da aleta. Sendo ue a eficiência de aleta, A, é definida por A fluo calor fluo de calor transmitid o p / aleta caso real ue seria transmitid o caso a aleta estivesse à temp. base caso ideal Pode ser utilizado o comprimento corrigido, dado por: c + t/ Para o caso estudado na aula anterior da aleta retangular de etremidade adiabática, a aplicação da definição de eficiência de aleta resulta em: A hpka btgh( mc ) tgh( mc ), com hp m c b c m hp ka Por outro lado, o perímetro molhado é dado por P ( b t) b (para t << b, aleta fina), sendo A bt, de onde se obtém: m c c - José R. Simões Moreira atualização Agosto/4 h kt

49 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 49 Cálculo do Fluo de Calor Através da Aleta Da definição de eficiência de aleta, o fluo de calor real transferido pela aleta, A, pode ser obtido por meio de A A ma, onde o máimo fluo de calor transferido, ma, é auele ue ocorreria se a aleta estivesse toda à temperatura da base, isto é: ma ha a b, onde Aa é a área total eposta da aleta e b b Assim, o fluo de calor real transferido pela aleta é: A ha a a b Note ue a eficiência da aleta, a, selecionada sai de uma tabela, gráfico ou euação. Na página seguinte há uma série de gráficos para alguns tipos de aletas. Deve-se usar aleta uando: () h é baio (geralmente em convecção natural em gases, como o ar atmosférico) () Deve-se usar um material de condutividade térmica elevado, tais como cobre e alumínio, por razões ue veremos adiante. O alumínio é superior devido ao seu baio custo e baia densidade. Eemplo de Aplicação Em um tubo de diâmetro eterno de,5 cm são instaladas aletas circulares de alumínio por um processo de soldagem na superfície. A espessura das aletas é de, cm e o diâmetro eterno das mesmas é de 5,5 cm, como ilustrado. Se a temperatura do tubo for de o C e o coeficiente de transferência de calor for de 65 W/m K, calcule o fluo de calor transferido pela aleta. Solução rata-se de aleta circular de alumínio. O valor da condutividade térmica é de aproimadamente 4 W/mK (obtido por consulta a uma tabela de propriedades termofísicas dos sólidos). Vamos calcular os parâmetros do gráfico correspondente dado na página 5 à frente. - José R. Simões Moreira atualização Agosto/4

50 Notas de aula de PME 36 Processos de ransferência de Calor 5 t,m (5,5,5),,5 m A P t,55,,55 c c t,55 m 5 m 3 c,5 5,5 h ka, ,55, 55 Para o uso do gráfico, precisamos ainda da razão entre o raio eterno corrido e o raio interno da aleta. r c r t /,75,/,4 Com esses dois parâmetros no gráfico, obtemos r r,5 A 9%. Assim, o fluo de calor trocado pela aleta é: ha,9 65, ,5W, Já ue a área eposta da aleta, A a a b vale, A r r,394. a c m Eemplo de Aplicação (cont...) Admitindo ue o passo das instalações da aleta é de cm, ual deve ser o fluo de calor total transferido pelo tubo, se o mesmo tiver m de comprimento. P Solução O tubo terá aletas. O fluo de calor trocado por aleta já é conhecido do cálculo anterior. O fluo de calor da porção de tubos sem aletas será: sa ha sa ( s ), onde Asa é a área do tubo em ue não há aletas. A sa, 76,8 cm,768 r ( N t),5 m a Assim, sa 65,768( 5) 344,6 W O fluo de calor trocado pelas aletas será ca 7,5 75W Finalmente, o fluo total de calor trocado pelo tubo será 75 sa ca 344, ,5 W e % % 83,6% 95 Como se vê, a instalação das aletas aumenta consideravelmente a transferência de calor. - José R. Simões Moreira atualização Agosto/4