Do Coração para o Ovo

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1 Programa PIBID/CAPES Departamento de Matemática Universidade de Brasília Objetivos: construir epiciclóides a partir de circunferências dadas; investigar padrões; identificar simetrias; relacionar a cardióide à curva em forma de ovo conhecida como Ovo de Granville. Conteúdos abordadados: construção com régua e compasso, padrões numéricos, simetrias de uma figura plana, método para traçar uma curva em forma de ovo. Metodologia: - Análise de construção de figuras a partir da circunferência. - Utilizar sequências numéricas e tabelas para identificar padrões. - Construção de figuras simétricas. - Construção de uma curva com formato de ovo. Materiais: Duas rodas dentadas de tamanhos iguais (raio = 3cm ) e uma de tamanho diferente (raio = 2 cm); barbantes de cores diferentes, tábua com pregos numerados de 0 a 35 (em forma circular); kit; régua, compasso e papel vegetal. Autor Thafarel Rodrigues da Costa Orientador Guy Grebot

2 1 Do Coração ao Ovo A cardióide é uma curva matemática que foi descoberta pelo astrônomo dinamarquês Ole Christensen Roemer, em 1674, durante uma investigação para encontrar o melhor projeto para os dentes de uma engrenagem. De acordo com Gomes Teixeira, a cardióide foi estudada sob o nome de ciclóide circular por Vaumesle em O curioso é que essa curva recebeu esse nome apenas em 1741 pelo matemático italiano Castillon; cardióide vêm do grego Kardia e significa coração. 1.1 Atividade: conhecendo a cardióide Material: duas rodas dentadas de tamanhos iguais (raio = 3cm ) e uma de tamanho diferente (raio = 2 cm). Considere a figura abaixo para responder os seguintes itens. Figura 1: 1. A circunferência contínua gira sem deslizar sobre a circunferência tracejada. Qual é a figura descrita pelo ponto P da circunferência que gira, se as duas têm o mesmo raio? 2. Qual é a figura descrita pelo ponto P da circunferência contínua se o raio da circunferência tracejada for maior? 3. Quantas voltas a circunferência contínua completará, em torno de seu centro, se girar uma vez sem deslizar sobre a circunferência tracejada? Justifique sua resposta. 4. Qual é a figura descrita pelo ponto P da circunferência contínua se o raio da circunferência tracejada for menor? 5. Em relação ao item anterior, a circunferência contínua completará alguma volta, em torno de seu centro, se girar uma vez sem deslizar sobre a circunferência tracejada? Justifique sua resposta. Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 2

3 1.2 Desafio 1 O que aconteceria com a figura se a medida do raio da circunferência tracejada for um valor fixo e a medida do raio da circunferência contínua for infinito? 1.3 Desafio 2 O que aconteceria com a figura se a medida do raio da circunferência tracejada for infinito e a medida do raio da circunferência contínua um valor fixo? 1.4 Atividade:construindo uma cardióide com barbante. Material: barbantes de cores diferentes, tábua com pregos numerados de 0 a 35 (em forma circular). Observação: Os itens 1 a 3 devem ser feitos individualmente. 1. Complete a tabela da figura 2 mostrando quais pregos devem ser ligados de acordo com o padrão indicado. Figura 2: Tabela do item 1 da atividade O que você observou no item anterior? Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 3

4 3. Complete a tabela da figura 3 abaixo para mostrar com quais pregos devem ser ligados os pregos de número 18 a 35. Como você chegou a essa conclusão? Figura 3: Tabela do item 3 da atividade 1.4 NOTA: O item seguinte deve ser realizado em duplas para facilitar o manuseio do material. 4. Unindo os pregos de acordo com a tabela do item anterior, com uma cor de barbante, qual figura você obterá? Atividade:construindo figuras simétricas. Material: kit 1. Qual o ângulo formado entre as semirretas de origem no centro da tábua e que passam por dois pregos consecutivos, respectivamente? 2. Na construção anterior, quais condições os pontos iniciais devem obedecer para que seja possível obter n figuras simétricas com n= 2, 3, 4 e 6? Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 4

5 3. Qual o ângulo formado entre as semirretas de origem no centro da tábua e que passam, respectivamente, por dois pregos consecutivos, para as construções do item anterior? Justifique sua resposta em cada caso. 4. É possível determinar 5 pontos iniciais para obter apenas 5 figuras simétricas? Justifique sua resposta. 5. Quantos pregos a tábua deveria ter para que a construção anterior fosse possível? 6. Para n = 7, é possível realizar essa construção e indicar quantos pregos a tábua deveria ter? Justifique sua resposta. 7. Existem outras possibilidades para n > 7? Quais? 1.5 Atividade Material: régua, compasso e papel vegetal. A construção seguinte deverá ser realizada por todos os alunos. 1. Os alunos devem se organizar em grupos para realizar a construção da atividade anterior com 2, 3 e 4 figuras simétricas. Cada aluno deverá montar uma tabela com os pontos por ele ligados e fazer um esboço da figura construída pelo grupo. 2. Agora, como você responderia as perguntas da atividade 1.4.1? 1.6 Atividade: construção da cardióide via régua e compasso. Material: kit 1. Utilizando somente régua e compasso, descreva detalhadamente um método para dividir uma circunferência em 12 partes iguais. 2. Coloque o papel vegetal sobre a figura construída no item anterior. Escolha um dos pontos e trace as circunferências que passam por este ponto e tenham centros nos outros pontos encontrados. 3. Qual é a figura que circunscreve todas as circunferências traçadas? 4. O que acontece se repetirmos o item 2 com a circunferência dividida em 24 partes? 1.7 Desafio 3 Por meio do método apresentado na atividade 1.6, construa uma das figuras encontradas na atividade 1.5. Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 5

6 1.8 Atividade: Do coração para o ovo: a cardióide e o Ovo de Granville. Como traçar um ovo? Para responder a essa pergunta antes é necessário diferenciar um oval e uma curva em formato de ovo. Um oval é a região do plano delimitada por uma curva semelhante à elipse e que possui dois eixos de simetria. Já uma curva em forma de ovo se caracteriza por ser formada apenas pela borda de um ovo de galinha e, além disso, possui apenas um eixo de simetria. O Ovo de Granville é um exemplo de curva em forma de ovo que foi descoberta em 1908 pelo matemático americano Anthony William Granville. Figura 4: 1. Considere uma cardióide, como na figura 4. Faça esta curva deslizar pelo ponto P de maneira que ela sempre tangencie o segmento. Qual é a curva descrita pelo ponto X? 2. Enquanto o ponto P percorre a circunferência, o segmento OP intercepta a reta t em R. A reta t é tangente à circunferência e perpendicular à reta que passa pelo ponto O e pelo centro da circunferência. O triângulo P QR é retângulo em Q. Use o material fornecido para montar este esquema, olustrado na figura 5. Figura 5: 3. Qual é a curva determinada pelo ponto Q? Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 6

7 4. A curva traçada no item anterior é um oval ou uma curva em forma de ovo? Justifique sua resposta. Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 7