Espectrometria de Lente Térmica: Teoria e Aplicações. Gláucia Grüninger Gomes Costa

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1 Espectrometria e Lente Térmica: Teoria e Aplicações Gláucia Grüninger Gomes Costa Tese apresentaa ao Instituto e Física e São Carlos, a Universiae e São Paulo, para obtenção o título e Doutor em Ciências: Física Aplicaa. Orientaor: Prof. Dr. Tomaz Catuna São Carlos 005

2 Costa, Gláucia Grüninger Gomes Espectrometria e lente térmica em sólios: teoria e aplicações. Gláucia Grüninger Gomes Costa São Carlos, 005 Tese (Doutorao) Área e Física Aplicaa o Instituto e Física e São Carlos a Universiae e São Paulo Páginas: 0 Orientaor: Prof. Dr. Tomaz Catuna. Lente Térmica;. Espectrometria; 3. Difração; 4. Difração e Fraunhofer; 5. Difração e Fresnel I. Título

3 À minha família Aos meus amigos

4 Agraecimentos Ao CNPq pelo suporte financeiro a minha pesquisa. Ao Prof. Tomaz Catuna pela orientação e amizae urante too este períoo. Aos amigos Acácio, Juraci, Sanro, Viviane, Samuel, Anréa, Dione, Tânia, Daniel, Alessanra, Ariane, Anré, Josimar, Carlos, Djalmir, Renato, Heitor, Rui, Arnalo, Anerson e Cacau pela amizae, incentivo e cooperação. Às secretárias o epartamento, aos funcionários amigos a oficina mecânica e o Laboratório e Ensino e também as bibliotecárias o Instituto pelo pronto atenimento, sempre com muita simpatia e eficiência.

5 Ínice Lista e Figuras Resumo Abstract vi vii i Capítulo - Introução Capítulo - Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 3.. Difração e a Integral e Difração e Fresnel Kirchhoff 3.. Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 4.. Abertura (Fena Simples) e Obstáculo Retangulares 8.. Abertura e Obstáculo Circulares.3. Aplicações a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 5.3. Propagação e um feixe Gaussiano 6.3. Laser e ioo Móulo Experimental Abertura (Fena Simples) e Obstáculo Retangulares.3.5 Abertura e Obstáculo Circulares Lentes 4 Capítulo 3 - Teoria a Lente Térmica Raial Espectroscopia Fototérmica Espectroscopia e Lente Térmica Distribuição e Temperatura Cálculo a istância focal a Lente Térmica O moelo e Lente Térmica Raial Parabólico Propagação e um feixe Gaussiano e seus parâmetros O moelo Aberrante e Lente Térmica Raial Lente Térmica Raial com Feixe Único 63

6 3.5. Comparação entre os moelos e Lente Térmica Parabólico e Aberrante e Feixe Único Moelo Aberrante e Lente Térmica Raial com Feixe Dois Feixes 7 Capítulo 4 - Lente Térmica Raial no Regime e θ grane AutoMoulação Transversal e Fase Formação e Anéis Móulo Experimental 84 Capítulo 5 - Conclusões e Perspectivas 9 Anexo - Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff em Coorenaas Cilínricas 93 Anexo - Campo através e uma Abertura Retangular no plano e observação 96 Anexo 3 - Cálculo por uma Lente 99 Anexo 4 - Cálculo a Expressão o Termo Fonte q (r) para a L. T. Raial 0 Anexo 5 - Cálculo a Expressão a Distribuição a Temperatura para a L.T. Raial 04 Anexo 6 - Cálculo a Expressão a Fase evia à L.T. Raial 07 Anexo 7 - Cálculo a Integral relativa ao Campo no Detector evio à L. T. Raial 0 Anexo 8 - Cálculo a Integral relativa ao Campo no Detector evio à L. T. Raial no Regime e θ grane 5. Referência Bibliográfica 7

7 i LISTAS DE FIGURAS Figura.- Campo ifratano-se no plano () e observao no plano () (Figura retiraa e [47])...4 Figura - Parão e ifração e uma fena e largura a. (a) A área sombreaa correspone à sombra geométrica a fena e as linhas tracejaas elimitam a largura o feixe ifratao na aproximação e Fraunhofer, ou seja, no campo istante. (b) A área sombreaa, como em (a), correspone à sombra geométrica a fena, as linhas tracejaas à largura o parão e Fraunhofer, no campo istante e as curvas seno os parões e ifração obtios nas posições em que se encontram as setas na parte (a) a figura, e que corresponem aos números e Fresnel N F = 0,, 0,5 e 0, (Figura retiraa a referência [35])...6 Figura -3 Enésima zona e Fresnel, com imensão a N, istante N λ/ o ponto e observação P. N F = n representa o número e zonas (anéis ou faixas) que estão seno exibias pela abertura. (Figura moificaa e [5])...7 Figura -4 Fena e largura a muito menor que o comprimento b (Figura moificaa e [3])...8 Figura -5 Simulação a Intensiae (I) pelo ângulo θ (o qual fornece a posição no plano e observação) e uma fena simples na aproximação e Fraunhofer, one se utilizou b = 0,mm e λ = 650nm. Em estaque a parte relativa às franjas formaas, e os mínimos e intensiae que ocorrem em ± ν λ/b, com ν =,, Figura -6 Simulação a Intensiae pelo ângulo θ e uma fena simples, na aproximação e Fresnel, one se utilizou a = 0,mm e λ = 650nm... Figura -7 Bora reta por one ocorre a ifração e o parão observao, one abaixo e A temos apenas a região e sombra geométrica, sem iluminação, entre A e B temos a região e ifração a bora e além C se observa o parão e franjas que ocorre pela interferência entre as onas secunárias e a frente e ona que não é ifrataa..... Figura -8 Abertura Circular e raio a (Figura moificaa e [3])...3 Figura -9 Simulação o gráfico a Intensiae versus θ, no plano e observação, e uma abertura circular e raio a = 0,5 mm, usano-se uma fonte e luz com λ = 650nm. Em estaque se observa as franjas e ifração e ois os mínimos que ocorrem em: 7,9 0-4 e, Figura -0 Simulação a Intensiae versus raio (r ), no plano e observação, e uma abertura circular e raio a = 0,5 mm, one se utilizou um laser com λ = 650nm. Observano que epeneno a posição temos o centro claro ou escuro, ou seja, um mínimo ou um máximo seno formao. Também é fornecio o número e Fresnel, N F, corresponente e a istância,, ao anteparo...5 Figura - Propagação e um feixe laser Gaussiano no moo TEM 00, pelo campo próximo e campo istante em relação à origem o sistema (Figura moificaa e [34 ])...6 Figura - Feixe e Laser Gaussiano no moo TEM 00, one se observa o raio o feixe, w(z)...7 Figura -3 Laser e semiconutor e suas característica [4]...8

8 ii Figura -4 Sistema utilizao para a meia a ivergência o feixe emitio pelo laser pointer...9 Figura -5 Meia a ivergência seguno os moos transversos paralelo e perpenicular, que foram ajustaos por uma Gaussiana...0 Figura -6 (a) Elementos ifratores utilizaos nos experimentos; (b) etalhe a placa conteno os elementos ifratores orifícios e obstáculos retangulares e circulares... Figura -7 (a) Esquema a montagem experimental para o estuo a ifração; (b) Elementos utilizaos na montagem experimental para o estuo a ifração... Figura -8 Curvas obtias através os aos experimental e simulao teoricamente a Intensiae versus y, na aproximação e Fresnel, e uma fena e abertura a = 0,mm, com o anteparo colocao à = 8,8 cm e o comprimento e ona o laser pointer seno e λ = 650 nm...3 Figura -9 Parão e Difração e uma fena simples translaaa para próxima ao laser pointer, com as fotos tiraas pela câmara Watec, e o gráfico a Intensiae pela istância. Utilizou-se um laser pointer com λ = 650nm, uma fena e 0,mm e abertura, e o anteparo estava istante e 0,8cm à 5,3cm...4 Figura -0 Intensiae versus y, na aproximação e Fresnel, e uma bora, one se utilizou = 50 cm e λ = 650 nm, que serviu e ajuste para um parão experimental que foi fotografao e uma lâmina e barbear...5 Figura - Parão e Difração e uma bora reta (lâmina e barbear) translaaa para próxima ao laser pointer, com as fotos tiraas pela câmara Watec, e o gráfico a Intensiae pela istância. Utilizamos um laser pointer e λ = 650nm e o anteparo estava istante e 0,8cm à 5,3cm...7 Figura - Parão e Difração e um obstáculo retangular, um fio, translaao para próxima ao laser pointer, com as fotos tiraas pela câmera Sony, e o gráfico a intensiae pela istância. Utilizamos um laser pointer e λ = 650nm, um obstáculo retangular e 0,mm e abertura, e o anteparo estava istante e 0,8cm à 5,3cm...8 Figura -3 Curvas a Intensiae versus y, relativas ao ao experimental e à simulação, na aproximação e Fresnel, e uma abertura circular e raio a = 0,5mm, com o anteparo colocao à istância =,53 cm e o comprimento e ona o laser pointer seno λ = 650 nm...9 Figura -4 Parão e Difração e uma abertura circular, translaaa para próxima ao laser pointer, e o gráfico a Intensiae pela istância, com as fotos tiraas pela câmera Watec. Utilizamos um laser pointer e λ = 650nm, uma abertura circular com raio e 0,5mm, e o anteparo estava istante e 0,8cm à 5,3cm...3 Figura -5 Parão e Difração e uma abertura circular, translaaa para próxima ao laser pointer, e o gráfico a Intensiae pela istância, com as fotos tiraas pela câmara Watec. Utilizamos um laser pointer e λ = 650nm, uma abertura circular com raio e 0,5mm, e o anteparo estava istante e 0,8cm à 5,3cm...33

9 iii Figura -6 Parão e Difração e uma abertura circular, translaaa para próxima ao laser pointer, e o gráfico a Intensiae pela istância, com as fotos tiraas pela câmara Watec. Utilizamos um laser pointer e λ = 650nm, uma abertura circular com raio e 0,5mm, e o anteparo estava istante e 0,8cm à 5,3cm...35 Figura -7 Parão e Difração e um obstáculo circular, ou seja, o Ponto e Poisson, translaaa para próxima ao laser pointer, e o gráfico a Intensiae pela istância, com as fotos tiraas pela câmara Watec. Utilizamos um laser pointer e λ = 650nm, um obstáculo circular com raio e 0,5mm, e o anteparo estava istante e 0,8cm à 5,3cm...37 Figura -8 Parão e Difração e um obstáculo circular, ou seja, o Ponto e Poisson, translaaa para próxima ao laser pointer, e o gráfico a Intensiae pela istância, com as fotos tiraas pela câmara Watec. Utilizamos um laser pointer e λ = 650nm, um obstáculo circular com raio e 0,5mm, e o anteparo estava istante e 0,8cm à 5,3cm...39 Figura -9 Parão e Difração e um obstáculo circular, ou seja, o Ponto e Poisson, translaaa para próxima ao laser pointer, e o gráfico a Intensiae pela istância, com as fotos tiraas pela câmara Watec. Utilizamos um laser pointer e λ = 650nm, um obstáculo circular com raio e 0,5mm, e o anteparo estava istante e 0,8cm à 5,3cm...4 Figura -30 Esquema e propagação e uma ona por uma lente convergente...4 Figura -3 Esquema e propagação e uma ona por uma lente ivergente...43 Figura -3 Esquema e propagação e uma ona por uma lente plano-convexa...43 Figura -33 Intensiae e uma lente plano-convexa em função o seu raio a (cm), consierano-se λ = 4 8R f 5 x 0 cm nm, = f = 0cm, com f sobre o eixo e ( ) 3 Figura -34 Comparação a Intensiae entre uma lente perfeita e uma lente que apresenta aberração esférica, tomano-se λ = 650nm, = f = 0 cm, com f sobre o eixo e ( ) 4 3 8R f 5 x 0 cm.em estaque está-se mostrano que aproximaamente até um raio e 0,4cm a lente com e sem aberração coinciem, assim, após esse valor e raio as aberrações começam a aparecer...46 Figura -35 Comparação o perfil e Intensiae entre uma lente perfeita e uma lente que emonstra 4 8R f 5 x 0 cm e aberração esférica, tomano-se λ = 650nm, = f = 0cm, ( ) 3 5 ( 4 ) 6R f 9 x 0 cm...47 Figura 3- Distribuição e Temperatura para a LT com relação à posição normalizaa, para iversos valores e (t/t c ), simulao pelo programa Mathematica, one se observa a forma parabólica as curvas, próximas ao eixo...5 Figura 3- Gráfico e F/F versus t/t c, simulao pelo programa Mathematica, one se observa que a istância focal a LT se aproxima rapiamente a istância focal essa lente no estao estacionário...55

10 iv Figura 3-3 Sistema óptico para a análise o efeito a LT...57 Figura 3-4 Depenência a Intensiae com a posição para a LT seguno o moelo parabólico, simulao pelo programa Mathematica, com θ = Figura 3-5 Depenência a Intensiae com o tempo (normalizao) para a LT seguno o moelo parabólico, one θ = 0.0 e v =...6 Figura 3-6 Difração entre a LT e o Detector (Figura moificaa e [33])...63 Figura 3-7 Variação e fase relativa à coorenaa raial, que consiste a parte evia ao caminho óptico o feixe gaussiano (ΔΦ G ) e a parte evia ao graiente o ínice e refração inuzio pelo aquecimento a amostra ( ΔΦ LT ). (Figura moificaa e [33])...64 Figura 3-8 Distribuição e fase no plano e entraa a amostra, one a variação e fase é apenas evia à curvatura e fase o feixe gaussiano. (Figura moificaa e [8])...65 Figura 3-9 A epenência a Intensiae com a posição normalizaa, para o moelo e LT aberrante e feixe único, one θ = Figura 3-0 Depenência a Intensiae com o tempo normalizao para a LT seguno o moelo aberrante e Feixe único, one θ = 0.0 e v, Figura 3- Comparação entre as curvas e LT parabólica e aberrante e feixe único epenente com a posição, one θ = 0, Figura 3- Comparação entre as curvas e LT parabólica e aberrante e feixe único epenente com o tempo, one θ = 0.0, V Parabólico = e V Aberrante =, Figura 3-3 Simulação e ajuste o moelo e LT parabólica pelo aberrante...70 Figura 3-4 Feixes e lasers e excitação e e prova passano por uma amostra que sofre o efeito e LT, agino sobre o feixe e prova...7 Figura 3-5 A epenência a Intensiae com a posição, para a LT, seguno o moelo aberrante e ois feixes, one: θ = 0,0, m = Figura 3-6 A epenência a Intensiae com o tempo para a LT, seguno o moelo aberrante e feixe uplo, θ = 0,0, m = 4, v =, Figura 4. Simulação para o centro o feixe, a Intensiae normalizaa em função e θ, para o arranjo e feixe único (m=) e ois feixes (m=46), com v = ±, Figura 4- Simulação a Intensiae pela posição V = z/z c, comparano-se os valores obtios com e sem aproximação na expressão a Intensiae, para valores iferentes e θ, tomano-se por base os limites e valiae a aproximação (Tabela ), para arranjos experimentais e um feixe e e ois feixes. As curvas tracejaas representam a expressão com aproximação e a linha reta, sem aproximação...80 Figura 4-3 Depenência a Intensiae com o tempo para a LT e feixe único e e ois feixes, one v,73, one a curva tracejaa é obtia através a expressão com aproximação e a curva cheia com a expressão sem aproximação...8 Figura 4.4 (a) Simulação a Intensiae em função a posição para iferentes tempos, após o início o aquecimento a amostra, tomano-se v =,73, θ = 0, m =....83

11 v Figura 4.4 (b) Simulação a Intensiae em função a posição para iferentes tempos, após o início o aquecimento a amostra, tomano-se v = ±,73, θ = 0, m = Figura 4.5 Arranjo experimental utilizao para a LT utilizaa para se fazer as fotos os anéis...85 Figura 4.6 Amplitue o sinal e LT (em móulo) pela Potência, para os materiais Soa-Lime e Zblan(Co)...86 Figura 4.7 Depenência a Intensiae com o tempo para a Soa-Lime e zblan...86 Figura 4.8 Intensiae versus y o Parão e Anéis, one v =,7, θ= -4,8 e m=46. Para a parte (a) t/t c e para (b) t/t c 77. A curva em preto é o parão obtio na foto e a em vermelho o parão obtio pela simulação...87 Figura 4.9 Fotos o Parão e Anéis cujo filme foi realizao com câmara igital Sony Digital Still Camera DSC-F707, e o gráfico a Intensiae pela istância, na formação e uma lente Divergente para iferentes tempos...88 Figura 4.0 Fotos o Parão e Anéis cujo filme foi realizao com câmara igital Sony Digital Still Camera DSC-F707, e o gráfico a Intensiae pela istância, na formação e uma lente Convergente para iferentes tempos...90

12 vi Resumo Neste trabalho propomos o estuo a Espectrometria e Lente Térmica, sua teoria e aplicações, visto ser uma técnica e alta sensibiliae e que permite a meia as proprieaes termo-ópticas os materiais, como a ifusiviae térmica (D), a conutiviae térmica (k), esvio o caminho óptico pela temperatura (s/t) - para materiais sólios - ou a variação o ínice e refração em relação à temperatura (n/t) - para líquios e gases. Para isso inicialmente fizemos um estuo a teoria a ifração. Valeno-se a Integral e Difração e Fresnel Kirchhoff obtivemos a expressão analítica a intensiae e um feixe e laser, ifratao por iversos elementos ópticos (aberturas e obstáculos circular e retangular, por exemplo), tanto para o regime a ifração e Fresnel, quanto a ifração e Fraunhofer. Aina no estuo a ifração propusemos um arranjo experimental muito simples, utilizano-se um laser pointer sem a lente colimaora, permitino que se obtenha, com grane faciliae, os parões e ifração no campo próximo, o que é ifícil nas montagens traicionais. Na seqüência fizemos uma revisão os moelos e Lente Térmica traicionalmente utilizaos, moelos parabólico e aberrante. E, na comparação que realizamos entre eles, verificamos que pelos resultaos obtios através e simulações, com o moelo parabólico se apresenta em grane esacoro (>50%) com os obtios com o moelo aberrante. Desta forma, concluímos que os aos a literatura obtios na écaa e 70 e que aina são utilizaos, merecem ser revistos. Por fim, notamos na literatura um crescente interesse em lasers e alta potência, principalmente pelos bombeaos por lasers e ioo. Desta forma fizemos um estuo valeno-se o moelo aberrante e Lente Térmica sob o regime e θ grane, no qual procuramos verificar o limite e valiae os moelos e L.T. utilizaos, observano o surgimento e fenômeno a aberração esférica, juntamente com as estruturas e anéis.

13 vii Abstract In this work we have propose the stuy of Thermal Lens Spectrometry, its theory an applications, because it is a highly sensitive technique that allows the measure of the thermo-optical properties of the materials, as the thermal iffusivity (D), the thermal conuctivity (k), the change of optical path length with temperature (s/t), for soli materials or the change of refractive inex with temperature (n/t), for liquis an gases. Initially we stuie the iffraction theory. We utilize the Fresnel Kirchhoff Diffraction Integral to obtain the analytic expression of the beam laser intensity, whose was iffracte for several optical elements, so much for the regime of the Fresnel iffraction as the regime of the Fraunhofer iffraction. Continuing in the stuy of the iffraction we propose a very simple experimental apparatus where we use a laser pointer without the collimator lens, allowing that it was obtaine with great facility the Fresnel iffraction patterns, which are ifficult to observe in the common experimental apparatus. In the sequence, we mae a revision of the moels of Thermal Lens traitionally use, parabolic an aberrant moels. An, in the comparison that we accomplishe among them, we verifie that for the results obtaine through simulations, with the parabolic moel it comes in great isagreement (>50%) with obtaine them with the aberrant moel. This way, we conclue that literature s ata obtaine in the 70 ths an they are still use, they must be reviewe. Finally, we notice in the literature a growing interest in high power lasers. This way we mae a stuy where we use the aberrant moel of Thermal Lens uner the regime of great θ, in which we look for to verify the limit of valiity of the use moels, observing the appearance of the spherical aberration together with the rings structure.

14 Capítulo Introução Capítulo Introução A Espectrometria e Lente Térmica tem emonstrao ser uma técnica e grane relevância, visto a sua alta sensibiliae nas meias as principais proprieaes termoópticas os materiais como: ifusiviae térmica (D), conutiviae térmica (k), esvio o caminho óptico com a temperatura (s/t), para materiais sólios, ou a variação o ínice e refração em relação à temperatura (n/t), para materiais líquios ou gasosos. Proprieaes essas e grane importância na caracterização e materiais, visto a possibiliae as aplicações tecnológicas esses materiais. No intuito e melhorar a sensibiliae esta técnica e meia, alguns moelos teóricos e experimentais têm sio esenvolvios, com arranjos utilizano feixe único ou ois feixes. Mas esses moelos são elaboraos consierano a aproximação que o elemento e fase inserio pela Lente Térmica (LT), que é proporcional à potência a lente e que por sua vez é proporcional à potência e excitação o laser, eve ser muito pequeno. Porém, com o crescente estuo e lasers e alta potência, surge a necessiae a verificação o limite e valiae os moelos existentes, observano o surgimento e anéis, evio à auto-focalização e auto-efocalização térmica, na ausência e convecção. Para que possamos chegar ao estuo essa última análise, o trabalho foi iviio em três partes. Inicialmente, no Capítulo, fizemos um estuo o fenômeno a ifração sofria por um feixe luminoso ao atravessar um elemento óptico. Nessa análise uma poerosa ferramenta matemática, a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff (IDFK), é utilizaa para o estuo a moificação geraa no perfil e intensiae esse mesmo feixe no campo e observação, poeno ele estar no campo próximo ifração e Fresnel, ou no campo istante ifração e Fraunhofer. Para a observação experimental os parões e ifração os elementos ópticos utilizaos, propomos um arranjo experimental e baixo custo, utilizano simplesmente um laser pointer e o elemento ifrator, sem a sua lente colimaora. Esse arranjo experimental nos permite a visualização os parões e ifração tanto no campo próximo como no campo istante, o que não é tão fácil e efetuar-se com os arranjos experimentais clássicos, one se utilizam lasers e HeNe.

15 Capítulo Introução Na seqüência e nosso estuo, no Capítulo 3, é apresentaa uma revisão o estuo a Lente Térmica, seguno o moelo parabólico, obtio através a matriz e transferência e raios, e o moelo aberrante, que é um pouco mais complexo e foi obtio pela aplicação a IDFK, seno que este último moelo será emonstrao tanto para o arranjo experimental e feixe único, como para o e ois feixes. Por meio esse estuo é proposta uma comparação entre esses moelos, através e uma análise os resultaos obtios levano à verificação a iferença existente entre eles. Mas esses moelos são esenvolvios tomano-se que o elemento e fase inserio pela LT é muito pequeno como observao anteriormente, assim, no Capítulo 4, levano-se em consieração o crescente interesse em lasers e alta potência, aboramos o estuo a Lente Térmica, tanto para feixe único como para ois feixes, sob o regime e Potência e Lente (θ) grane. Neste regime, começa-se a observar o surgimento a aberração esférica e por conseqüência o aparecimento e anéis, que são prejuiciais ao esenvolvimento e tais lasers. Neste estuo são feitas algumas comparações entre os regimes e θ pequeno (θ << 0,), e e θ grane (θ >> 0,), poeno-se assim verificar o limite para o qual os moelos e LT utilizaos atualmente são válios. No Capítulo 5, encerrano o trabalho, é apresentaa uma conclusão final e os possíveis trabalhos a serem esenvolvios.

16 DIFRAÇÃO E A INTEGRAL DE DIFRAÇÃO DE FRESNEL-KIRCHHOFF Fena Fio Orifício Circular Obstáculo Circular Bora reta Serra Letra M (Fotos Ilustrativas sobre o Capítulo) Número 0,5

17 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 3 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel- Kirchhoff Neste capítulo será apresentao o estuo a ifração sofria por um feixe luminoso ao atravessar um elemento óptico. Verificaremos a moificação geraa no perfil e intensiae esse feixe no campo e observação, que tanto poe estar no campo próximo ifração e Fresnel como no campo istante ifração e Fraunhofer. Este estuo terá como principal ferramenta matemática a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff (IDFK), a qual servirá e base para a construção o moelo que visa o estuo a Lente Térmica Raial, conteúo o próximo capítulo.. Difração e a Integral e Difração e Fresnel Kirchhoff A Óptica Geométrica preiz que ao se colocar um obstáculo ou uma abertura iante e uma fonte pontual, observa-se em um anteparo a formação e uma sombra, ou seja, um contorno bem efinio esse objeto. Mas, em uma análise mais etalhaa essa sombra, verifica-se a existência e franjas claras e escuras que não encontram explicações nessa Teoria Corpuscular. Grimali [][][3], em 665, foi o primeiro a escrever o fenômeno o esvio a luz e sua propagação retilínea, o qual enominou ifração, mas não conseguiu explicálo. Born e Wolf [] esclareceram, então, que... Os problemas e ifração estão entre os mais ifíceis encontraos na Óptica. As soluções que, e certo moo, poem ser vistas como rigorosas são muito raras na teoria. Em 678, Christiaan Huygens propôs o, atualmente, conhecio Princípio e Huygens [][3][4] o qual estabelece que, caa ponto e uma frente e ona primária serve e fonte e onículas esféricas secunárias, tal que a frente e ona primária em um tempo posterior se torna a envoltória as onículas, eterminano a forma e a ireção a ona, quano esta se istancia e sua fonte. Apenas em 88 foi que Fresnel, através e uma explicação intuitiva, propôs que o princípio e Huygens [][][3][4][6][7] poeria ser entenio como um fenômeno e interferência, resultano assim no enominao princípio e Huygens-Fresnel. E em 88, Kirchhoff inseriu uma base matemática sólia neste princípio, observano que o

18 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 4 mesmo poeria ser visto como uma conseqüência a equação e ona. Mas, eve-se estar atento que mesmo a teoria e Kirchhoff é uma aproximação vália para pequenos comprimentos e ona.. Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff Para o estuo os parões e ifração os iversos elementos ifratores utilizaremos um campo monocromático se propagano num meio ielétrico. Figura.- Campo ifratano-se no plano () e observao no plano () (Figura retiraa e [47]) Vamos consierar que este campo elétrico se ifrate numa abertura finita Σ, escrito pelas coorenaas (x, y ), pertencente a um plano infinito S, e que a uma istância (z) se encontra o plano e observação e coorenaas (x, y ) (Figura -). Seguno o princípio e Huygens-Fresnel, a amplitue complexa E(x, y ) num ponto P é aa pela contribuição o campo E S e toos os pontos P componentes e Σ, que poe ser escrita matematicamente pela IDFK: r r i exp( i k. 0 ) r E(x, y ) = λ cos(nˆ. 0 ) ES (x, y ) x y S 0 (-) one: λ = comprimento e ona, 0 = istância entre P e P e nˆ = vetor normal à superfície Σ. Para a eficácia essa integral, uas aproximações para pequenos ângulos evem ser consieraas. A primeira elas é que a fonte e luz eve estar localizaa r centralmente em relação à abertura, e forma que cos( nˆ.0 ), com precisão e 5% para ângulos menores que 8 0 [47]. A seguna é que a istância eve ser muito maior

19 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 5 que a maior imensão linear a abertura Σ, ou seja, >>r, one x y r =, e assim, no enominaor a integral: 0. Entretanto, na exponencial essa aproximação não é mais vália, visto que k é muito grane, a orem e 0 5 cm - para a luz visível. Dessa forma, a IDFK poe ser escrita como: i r r E(x, y ) = exp( i k. 0 )ES (x, y ) x y (-) λ S No estuo a ifração que ocorre em iversos elementos ópticos, como aberturas e obstáculos quer sejam circulares quer sejam retangulares, a primeira observação a ser feita é em relação ao campo em que se eseja trabalhar, ou seja, se o estuo acontece no campo próximo - ifração e Fresnel - ou no campo istante - ifração e Fraunhofer. Se o estuo for realizao no campo próximo, a aproximação a ser utilizaa é a e Fresnel. Nesta aproximação, ao se calcular a istância 0, toas as istâncias raiais, tanto o plano a abertura como o plano e observação, evem ser consieraas (Anexo ), e assim, a IDFK aa pela Equação (-) torna-se (Equação A-5): [ ] i x y x x yy E(x,y ) = exp i ξ exp ik E S (x,y ) xy λ S (-3) one: x ξ = y k Mas, se o estuo ocorrer no campo istante, a aproximação a ser utilizaa é a e Fraunhofer. Nesta aproximação, como >> r, os termos quaráticos que aparecem, evio ao plano a abertura, quano a aproximação e Fresnel, se tornam esprezíveis e a IDFK para este caso é aa por (Equação A-7): i x x yy E(x, y ) = exp [ i ξ] expik ES (x, y ) xy (-4) λ S A evolução o parão e ifração em função a istância, passano o campo próximo ao istante, one poemos observar a existência e franjas (máximos e mínimos), poe ser visto na Figura -.

20 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 6 Figura - Parão e ifração e uma fena e largura a. (a) A área sombreaa correspone à sombra geométrica a fena e as linhas tracejaas elimitam a largura o feixe ifratao na aproximação e Fraunhofer, ou seja, no campo istante. (b) A área sombreaa, como em (a), correspone à sombra geométrica a fena, as linhas tracejaas à largura o parão e Fraunhofer, no campo istante e as curvas seno os parões e ifração obtios nas posições em que se encontram as setas na parte (a) a figura, e que corresponem aos números e Fresnel N F = 0,, 0,5 e 0, (Figura retiraa a referência [35]) Essas franjas foram explicaas intuitivamente por Fresnel, através o fenômeno e ifração. Para isso ele propôs as enominaas zonas e Fresnel (Figura -3), que naa mais são o que a ivisão e uma frente e ona em zonas (anéis), que possuem áreas iguais, cujos raios variam e λ/, assim, a contribuição e uma zona sempre estará fora e fase com a sua preceente. Tomano-se uma abertura circular e raio a, sobre a qual incie uma frente e onas planas, o número e zonas exibias através ela é trauzio pelo enominao Número e Fresnel (N F ). Supono-se que nessa abertura são exibias n zonas (Figura -3), ou seja, o Número e Fresnel N F = n, a enésima zona, istante o ponto e observação possuirá um raio a n ao por: λ an = PQ n (-5) Como, pela Figura -3, a n eve obeecer à conição: a n = ( n λ/) - (-6) e, seno λ <<, temos:

21 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 7 a n = n λ N F = n = a n / λ (-7) Desta forma, o Número e Fresnel para essa abertura fica eterminao pela Equação (-7) e one notamos que ele poe variar tanto com o raio (a) quanto com o comprimento e ona (λ) como com a istância () ao anteparo. Portanto, poemos estabelecer que para o campo próximo ifração e Fresnel N F é grane e para o campo istante ifração e Fraunhofer N F é pequeno. Qn 0a n Q O n λ / o P Figura -3 Enésima zona e Fresnel, com raio a n, istante n λ/ o ponto e observação P. N F = n representa o número e zonas (anéis ou faixas) que estão seno exibias pela abertura. (Figura moificaa e [5]) Na Figura - observamos um elemento ifrator com abertura a seno iluminaa por uma luz laser e comprimento e ona λ, e estano istante e um anteparo que poe se eslocar. Supono que: a = 0,mm e λ = 650nm, temos que N = 0 correspone a uma istância o anteparo-elemento ifrator = 0,5cm; N = 5 correspone a = 0,3cm; N = correspone a,5cm; N = 0,5 correspone a = 3,cm; e, N = 0, correspone a = 5cm. Observamos (Figura -(b)) que para N = 0,5 as boras a sombra geométrica coinciem com a largura o parão e Fraunhofer. Essa largura poe ser calculaa através o ângulo e ifração sen θ = (λ / a), ou seja, para θ << a largura o parão é aa por x = (λ / a). No estuo os parões e ifração, Fresnel [38] observou que, se A é a amplitue total no ponto e observação P, ela eve ser obtia pela soma a contribuição e toas as A n amplitues as n zonas. Como zonas consecutivas estão fora e fase, as contribuições as amplitues se apresentarão com sinais opostos. Desta forma, a amplitue resultante será oscilante, com máximos e mínimos, forneceno um parão formao por franjas claras e escuras.

22 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 8 Supono que uma abertura circular tenha raio a = 0,05cm, por one se faz inciir uma luz laser e comprimento e ona λ = 650nm, esteja a uma istância o anteparo = 4,80cm, o número e Fresnel corresponente será N F =, significano que uas zonas estão expostas na abertura, e a intensiae apresentaa será zero, visto que como as zonas estão fora e fase suas amplitues se cancelarão, e no anteparo se verá um centro escuro, um ponto e mínimo. O mesmo ocorrerá quano =,30cm que correspone a N F = 4. E entre essas uas istâncias o centro se apresentará claro visto que N F = 3, e na soma as amplitues é iferente e zero, e no anteparo se verá um centro claro, um ponto e máximo. Desta forma, ao se eslocar o elemento ifrator, sempre que N F resultar par o centro se apresentará escuro e sempre que for ímpar se apresentará claro. Este é o tipo e parão que obteremos nas Aberturas e Obstáculos Retangulares ou Circulares, que veremos nos próximos tópicos... Abertura (Fena Simples) e Obstáculo Retangulares Figura -4 Fena e largura a muito menor que o comprimento b (Figura moificaa e [3]). Uma fena (Figura -4) naa mais é o que uma abertura retangular no plano S, que possui um comprimento b muito maior que sua largura a, seno assim, apenas os elementos em y são e interesse, e a forma a IDFK, para o seu estuo, aa pela Equação (-) se reuzirá a: i E ( y) = λ y r r exp( ik. 0 0 ) E ( y ) y S

23 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 9 Se E S (y ) for constante sobre toa a fena e se estivermos observano o perfil e ifração no campo istante, ou seja, seguno a ifração e Fraunhofer, o campo, no plano e observação, terá a sua forma aa pela Equação (-4) que eve ser resolvia em apenas uma imensão, cuja solução é (Equação (A-)): ( k θb) ( k b) sen E( y ) = b C (-8) θ E ( y ) one: C = i S exp[ i ξ] e θ = y / λ Como a intensiae é aa pelo móulo ao quarao o campo e utilizano-se a efinição matemática a função sinc γ = sen γ / γ, o parão e ifração terá sua Intensiae aa por: ( k b) I = I 0sinc θ (-9) A Figura -5 mostra a simulação, feita com o programa Mathematica, a intensiae versus θ geraa por uma fena, usano a Equação (-9), poeno-se também observar em estaque a parte relacionaa às franjas e ifração, one os mínimos se apresentam em múltiplos inteiros e λ / b. Intensiae (u.a.) λ/b λ/b θ (ra) Figura -5 Simulação a Intensiae (I) pelo ângulo θ (o qual fornece a posição no plano e observação) e uma fena simples na aproximação e Fraunhofer, one se utilizou b = 0,mm e λ = 650nm. Em estaque a parte relativa às franjas formaas, e os mínimos e intensiae que ocorrem em ± ν λ/b, com ν =,, 3,...

24 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 0 Se o estuo for feito seguno a aproximação para o campo próximo, ou seja, seguno a ifração e Fresnel, a IDFK a ser utilizaa é aa pela Equação (-3), que eve ser resolvia em uma imensão. Seno E S (y ) constante sobre toa a fena, o perfil e ifração o campo, no plano e observação, será ao por (Equação (A-5)): i k i k E ( y ) = C Erfi ( b y ) Erfi ( b y ) (-0) C = C exp y e Erfi [z] é a função erro complexa (Equação k i π i k one: ( ) (A-3)) A Intensiae, para este tipo e ifração, é aa por (Anexo ): i k ik ( b y ) Erfi ( b ) I = I 0 Erfi y (-) Na Figura -6 temos a simulação a intensiae versus y geraa por uma fena, seguno a Equação (-). Através a análise os parões mostraos nessa Figura poemos observar alguns aspectos interessantes. Primeiro notamos a existência e uma simetria em toos os parões. Uma seguna observação é que quano o anteparo está próximo ao elemento ifrator, a largura o parão correspone exatamente à largura a abertura, e internamente aparecem oscilações, seno que o centro poe ser um máximo ou um mínimo. Essa intensiae máxima ou mínima, que nas fotos corresponem a claro ou escuro, são explicaas através a teoria e zonas e Fresnel. Quano o número e zonas e Fresnel exibias pela abertura é ímpar, a soma as amplitues resultará num valor finito, e o parão se apresentará com um máximo no centro, e quano o número e zonas for par a soma será zero, visto que as zonas se apresentam fora e fase, o parão terá um mínimo em seu centro, como visto anteriormente. Uma outra observação é que para uma grane istância, comparaa ao tamanho a abertura, o parão se apresenta com um pico central laeao e picos e menores intensiaes, que é igual ao obtio na aproximação e Fraunhofer (Figura.5), esta forma poemos afirmar que a ifração e Fraunhofer é apenas um caso especial a ifração e Fresnel, quano esta é trabalhaa a granes istâncias.

25 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff IêI y = 0,6 cm N F = 9,6 IêI IêI y = 0,3 cm N F =4,96 IêI y = cm N F =,54 IêI = 3, cm N F =0,49 IêI y y y = 7,5 cm = 5 cm N F =0, N F =0,0 Figura -6 Simulação a Intensiae pelo ângulo θ e uma fena simples, na aproximação e Fresnel, one se utilizou a = 0,mm e λ = 650nm. Um caso interessante na aproximação e Fresnel é o e uma fena com boras móveis em que a abertura poe tener ao infinito, e quano isso ocorre temos a enominaa bora reta (Figura -7).

26 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff C B Região e sombra geométrica A Figura -7 Bora reta por one ocorre a ifração e o parão observao, one abaixo e A temos apenas a região e sombra geométrica, sem iluminação, entre A e B temos a região e ifração a bora e além C se observa o parão e franjas que ocorre pela interferência entre as onas secunárias e a frente e ona que não é ifrataa. Pela Figura -7 observamos que o parão e ifração prouzio pela bora inclui a luz que penetra na região e sombra geométrica e um parão e franjas externas a essa região, pois e acoro com o princípio e Huygens, a bora ao ser alcançaa pela luz inciente torna-se uma fonte e onas secunárias que interferirão com essa luz inciente e prouzirão o parão e ifração no anteparo. A iferença entre o máximo e mínimo a intensiae vai iminuino com a istância até chegar a uma intensiae uniforme. A Intensiae este parão poe ser obtia aplicano-se a IDFK, através a Equação (-3), one o campo no plano e observação everá ter um e seus limites e integração levao ao infinito... Abertura e Obstáculo Circulares Vamos supor uma frente e onas, se propagano na ireção z, inciino no plano ifratante S, que contém uma abertura circular Σ e raio a, como mostra a Figura -8. Para o estuo a intensiae obtia no plano e observação, pela simetria existente no problema, a IDFK que será utilizaa eve estar em coorenaas cilínricas (Anexo ).

27 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 3 oy x P r oa 0 θ r y P r x z Figura -8 Abertura Circular e raio a (Figura moificaa e [3]) Se o campo na abertura, E S (r ) for constante, e o estuo se er no campo istante ifração e Fraunhofer a equação a ser estuaa é (Equação (A-4)): a E(r ) r i k E(r ) k r r = exp J o 0 [ i ξ] r one: J 0 (z) é a função e Bessel e orem zero (Equação (A-)). Desta forma, o campo no plano e observação é ao por: (-) kar J ik [ ] E(r ) = E(r ) exp iξ (-3) kar one: J (z) é a função e Bessel e orem. E a Intensiae encontraa será: kar J I = I 0 kar (-4) O parão e ifração para uma abertura circular, simulao pelo programa Mathematica, é ao na Figura -9, one observamos que é simétrico em relação ao eixo ótico, essa forma o máximo central, que representa a imagem a abertura circular,

28 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 4 será um círculo e luz chamao Disco e Airy, cujo primeiro mínimo ocorre em θ =,λ / a I(u.a.) ,6λ/a,λ / a θ (ra) Figura -9 Simulação o gráfico a Intensiae versus θ, no plano e observação, e uma abertura circular e raio a = 0,5 mm, usano-se uma fonte e luz com λ = 650nm. Em estaque se observa as franjas e ifração e ois os mínimos que ocorrem em: 7,9 0-4 e, Ao estuarmos a abertura circular seguno a aproximação e Fresnel - campo próximo -, com o campo nessa abertura, E S (r ), constante, utilizamos a Equação (-3) em coorenaas cilínricas, ou seja (Equação (A-3)): i k r ( k r r E(r ) = exp i ξ) exp- i k Jo ( ) ES (r )r r 0 (-5) que não possui uma solução analítica. A simulação o parão e ifração para a abertura circular é mostraa na Figura -0, one a análise a ser feita para os parões mostraos é a mesma que foi efetuaa para a abertura retangular.

29 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 5 IêI = 5 cm N F = 7,69 IêI r IêI r = 0 cm N F = 3,85 IêI = 5cm N F =,56 r = 0cm N F =,9 r IêI 0 IêI r = 5 cm = 35 cm N F =,54 N F =,09 Figura -0 Simulação a Intensiae versus raio (r ), no plano e observação, e uma abertura circular e raio a = 0,5 mm, one se utilizou um laser com λ = 650nm. Observano que epeneno a posição temos o centro claro ou escuro, ou seja, um mínimo ou um máximo seno formao. Também é fornecio o número e Fresnel, N F, corresponente e a istância,, ao anteparo. r.3 Aplicações a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff A IDFK é um poeroso métoo para o estuo a ifração que ocorre em iversos elementos ópticos, quer sejam aberturas ou obstáculos e formas circulares ou

30 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 6 retangulares, como visto anteriormente. Da mesma forma, poemos izer que, experimentalmente, o laser pointer é um poeroso e facilitaor componente na obtenção os parões e ifração. Nesta secção pretenemos emonstrar experimentalmente o fenômeno a ifração enfatizano as iferenças entre os regimes e Fresnel e Fraunhofer. Para isto utilizaremos lasers e semiconutor que são e muito baixo custo. Mostraremos que estes lasers, quano utilizaos sem a lente colimaora, são muito apropriaos para emonstrar os principais aspectos o fenômeno e ifração..3. Propagação e um feixe Gaussiano A Figura - mostra a propagação e um feixe gaussiano no espaço livre. Região e campo istante Região e campo próximo z c Região e campo istante Perfil e Intensiae o feixe gaussinao z=z c w 0 Cintura o feixe z=0 z=z c.θ.z Figura - Propagação e um feixe laser Gaussiano no moo TEM 00, pelo campo próximo e campo istante em relação à origem o sistema (Figura moificaa e [34]). O feixe laser gaussiano no moo funamental, se propagano na ireção z, tem a amplitue e seu campo [30][3][3], próxima ao eixo óptico, aa por: E(r, z) w 0 π z iπ = E 0 exp - i φ r (-6) w(z) λ w (z) λr(z) one: λ é o comprimento e ona (cm); φ é variação e fase aicional que epene e z e acoro com: tan φ = λz πw 0 ; o termo quarático (r ) a fase é eterminao pelo raio πi e curvatura o feixe R, ; w(z) é o raio o feixe no qual a amplitue o campo λr cai para /e (Figura -), e w 0 é o valor mínimo esse raio. w(z) é ao por:

31 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 7 = = c z z w πw λz w (z) w (-7) Figura - Feixe e Laser Gaussiano no moo TEM 00, one se observa o raio o feixe, w(z) e, R(z) é o raio e curvatura a frente e ona, e fase constante, que é ao por = = c 0 z z z λz πw z R(z) (-8) one z c é a istância confocal, efinia por: λ πw z 0 c = (-9) Pela Figura (-), a origem a frente e ona está localizaa na cintura o feixe, one o raio este é w 0, assim, através a Equação (-8), o raio e curvatura R(z) se torna infinito, logo, neste ponto a frente e ona é plana, e, a sua curvatura se torna mais intensa à istância ± z c o centro. Em uma região central, enominaa campo próximo, com um comprimento z c, a secção transversal o feixe se mantém aproximaamente constante, mas quano z >> z c, ou seja, no campo istante, o raio o feixe, w, aumenta com a propagação e forma linear, tornano a ivergência, θ, aproximaamente constante, assim: 0 w z w tan π λ = θ (-0).3. Laser e ioo O laser utilizao em nossos experimentos, foi um laser pointer, que é um laser e semiconutor, e fácil manuseio e aquisição além e ter um baixo custo. Visto que E E 0 W.r E/e 0

32 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 8 [37] seu ínice e refração é alto (n ~ 3.5), a própria refletiviae e sua interface semiconutor/ar (R ~ 0,30) é suficiente para que haja a ação laser, a qual necessita que a emissão laser se propague numa pequena região em ambos os moos transversos paralelo e perpenicular (Figura.3 ). Como as imensões transversais a região ativa são comparáveis ao comprimento e ona e emissão, esse tipo e laser possui uma forte ivergência, θ. Figura -3 Laser e semiconutor e suas característica [4] O laser pointer foi utilizao sem a sua lente colimaora, atuano assim como uma fonte pontual emitino onas esféricas. No intuito e caracterizá-lo, inicialmente meimos o seu comprimento e ona através o Monochromator Mo Jarrel Ash, e encontramos: λ=650nm. Depois, para obtermos a sua ivergência e, consequentemente, o seu raio tanto no moo transverso paralelo como perpenicular, montamos o sistema mostrao na Figura -4.

33 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 9 Figura -4 Sistema utilizao para a meia a ivergência o feixe emitio pelo laser pointer. Esse sistema é constituío e uma base metálica, sobre a qual existe um isco giratório que possui uma escala grauaa em graus. Sobre esse isco foi fixao um fotoetector e silício ligao a um multímetro. O laser pointer foi mantio fixo e suspenso sobre o isco através e um parafuso que o prene à base metálica, mas era possível rotacionar o laser a fim e se fazer as meias em ambas as ireções, paralela e perpenicular, o moo transverso. Essa montagem permitiu que se fizesse uma varreura o feixe meino a tensão grau a grau e o gráfico obtio para a Intensiae pela ivergência ( em graus e em raianos), tanto para o moo transverso paralelo como para o perpenicular é mostrao na Figura -5. O ajuste, a curva obtia, foi feito por uma gaussiana, e permitiu que se encontrasse a ivergência no moo transverso paralelo seno θ // = 0. ra e no moo transverso perpenicular θ = 0.5 ra. Utilizano-se as Equações (-7), (-8) e (-0), e sabeno-se que os aos experimentais usaos foram: λ = 650 nm e z = 3 cm (z é a istância o feixe e laser ao fotoetector) obtemos que os raios os feixes são: w 0// =,88 µm, w 0 = 0,4 µm, w // = 0,39 cm e w =,5 cm.

34 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 0,0 θ (graus) Intensiae (u.a.) 0,8 0,6 0,4 0, I X θ // Auste Gaussiano y0 = 0.0±0.005 xc =0.00 ± w = 0. ±0.00 A = 0.3 ±0.00 0,0-0,5-0,0-0,05 0,00 0,05 0,0 0,5 0,0 θ (ra) θ (graus) Intensiae (u.a.),0 0,8 0,6 0,4 0, I X θ Ajuste Gaussiano y0 = 0.0 ± 0.0 xc = 0.03 ± 0.00 w = 0.53 ± A = 0.63 ± 0.0 0,0-0,6-0,4-0, 0,0 0, 0,4 θ (ra) Figura -5 Meia a ivergência seguno os moos transversos paralelo e perpenicular, que foram ajustaos por uma Gaussiana..3.3 Móulo Experimental Os experimentos realizaos, para a verificação os parões e ifração, constaram e um trilho óptico, pinos eslizantes, iversos elementos ifratores (Figura -6), uma fonte e luz, ou seja, um laser pointer (Key Chain Laser Mae in China) sem a lente colimaora, e comprimento e ona λ = 650nm e um anteparo.

35 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff Como elementos ifratores foram utilizaos uma placa e viro conteno aberturas e obstáculos retangulares e circulares (Figura -6 (b)) e uma lâmina e barbear. Esses elementos foram fixaos em pinos eslizantes colocaos em um trilho óptico (Figura -7(a)) (a) (b) Figura -6 (a) Elementos ifratores utilizaos nos experimentos; (b) etalhe a placa conteno os elementos ifratores: orifícios e obstáculos retangulares e circulares. Como anteparo, para captura o parão e ifração obtio, foi utilizao, iretamente, uma câmara Watec 90H Japan, sem sua lente focalizaora, em conjunto com uma placa e aquisição Matrox Meteor II, placa esta com móulo e leitura RS- 70, que já transfere, iretamente, a foto para o computaor, a fim e que possam ser trabalhaas. Também foi usaa uma câmara igital Sony Digital Still Câmera DSC- F707 para a aquisição os parões. Neste caso os parões foram fotografaos, por transmissão, através e um papel vegetal, que serviu como anteparo e visualização. Anteparo Laser Elemento Difrator oz o Trilho Óptico (a) Figura -7 (a) Esquema a montagem experimental para o estuo a ifração; (b) Elementos utilizaos na montagem experimental para o estuo a ifração. (b)

36 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff Toos os parões coletaos nesses experimentos foram obtios colocano o elemento ifrator, inicialmente, junto à fonte e luz (laser pointer), e epois o translaano para próximo ao anteparo. Essa forma e realizarmos os experimentos ifere os observaos em iversos livros textos e artigos [6][7][8][9][0], pela faciliae e emonstração em sala e aula, visto a necessiae e uma pequena istância para se poer observar os parões e ifração, em contraposição às granes istâncias necessárias para os experimentos usuais; pelos poucos e baratos elementos necessários para a montagem (Figura -7 (a)), em contraposição à necessiae e iversos elementos como lentes microscópicas, lentes e grane istância focal, iafragma, filtros espaciais, laser e He-Ne, etc. Além isso, através essa montagem conseguimos observar os parões e ifração tanto para o campo istante, como para com o campo próximo, o que não ocorre quano utilizamos outro tipo e laser, como por exemplo, com o laser e He-Ne, que normalmente se consegue observar apenas os parões e ifração no campo istante. Cabe ressaltar que também não é necessária uma sala totalmente escurecia para se realizar os experimentos..3.4 Abertura (Fena Simples) e Obstáculo Retangulares Para o experimento com a abertura e o obstáculo retangulares, a montagem utilizaa é a escrita na Figura -7, e o elemento ifrator foi a fena e o fio, respectivamente, que se encontram na placa a Figura (-6(b)). Em ambos os casos, o elemento ifrator foi translaao, progressivamente, o laser pointer para próximo ao anteparo. Os parões e ifração relativos a uma fena, como visto anteriormente, poem ser obtios através a IDFK, usano a Equação (-) para o campo próximo e a Equação (-9) para o campo istante. Assim, na Figura -8 temos as curvas, relativas ao ao experimental e à simulação a Equação (-) feita com o programa Mathematica, a Intensiae versus y one se observa uma boa coerência entre elas.

37 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 3 IêI ao experimental simulação y HcmL Figura -8 Curvas obtias através os aos experimental e simulao teoricamente a Intensiae versus y, na aproximação e Fresnel, e uma fena e abertura a = 0,mm, com o anteparo colocao à = 8,8 cm e o comprimento e ona o laser pointer seno e λ = 650 nm. Na Figura -9 poem ser vistos os parões obtios para uma fena simples e 0, mm e largura, que foram fotografaos através e uma câmara Watec, bem como o gráfico a intensiae pela istância e caa parão. z N F Foto o Parão e uma Fena Intensiae o parão e ifração (cm) 3,5 0.44,0 Intensiae (u.a.) 0,8 0,6 0,4 3,5 0. (foto com intensiae saturaa) -0,0-0,05 0,00 0,05 0,0,0 x (cm) Intensiae (u.a.) 0,8 0,6 0,4-0,5-0,0-0,05 0,00 0,05 0,0 0,5 x (cm)

38 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 4 3,5 0.07,0 Intensiae (u.a.) 0,8 0,6 0,4 33, ,0-0, -0, 0,0 0, 0, 0,3 x (cm) Intensiae (u.a.) 0,8 0,6 0,4 43, ,3-0, -0, 0,0 0, 0, 0,3,0 x (cm) Intensiae (u.a.) 0,8 0,6 0,4 50, ,3-0, -0, 0,0 0, 0, 0,3 0,4,0 x (cm) Intensiae (u.a.) 0,8 0,6 0,4-0,3-0, -0, 0,0 0, 0, 0,3 Figura -9 Parão e Difração e uma fena simples translaaa para próxima ao laser pointer, com as fotos tiraas pela câmara Watec, e o gráfico a Intensiae pela istância. Utilizou-se um laser pointer com λ = 650nm, uma fena e 0,mm e abertura, e o anteparo estava istante e 0,8cm à 5,3cm. No caso e uma fena móvel em que a abertura tene ao infinito, o elemento ifrator naa mais é que uma bora reta. Esse elemento também poe ser estuao através a IDFK aa pela Equação (-), one se levou um os limites a integral x(cm)

39 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 5 para o infinito. As curvas com os aos experimental e o simulao pela teoria a intensiae versus y está mostraa na Figura -0, one se observa a concorância entre elas. ao experimental simulação Figura -0 Intensiae versus y, na aproximação e Fresnel, e uma bora, one se utilizou = 50 cm e λ = 650 nm, que serviu e ajuste para um parão experimental que foi fotografao e uma lâmina e barbear. Na Figura - poe-se observar os parões obtios para uma bora reta, que no caso foi uma lâmina e barbear, utilizano a montagem proposta na Figura (-7) e que também foi translaaa o laser em ireção ao anteparo. z (cm),3 Foto o Parão a Lâmina e Barbear Intensiae o parão e ifração,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 x (cm)

40 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 6,3,0 0,8 0,6 0,4 0, 5,3 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 x (cm),0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 x (cm) 7,3,0 0,8 0,6 0,4 0, 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 x (cm) 8,3,0 0,8 0,6 0,4 0, 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 x (cm)

41 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 7 9,3,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 x (cm) Figura - Parão e Difração e uma bora reta (lâmina e barbear) translaaa para próxima ao laser pointer, com as fotos tiraas pela câmara Watec, e o gráfico a Intensiae pela istância. Utilizamos um laser pointer e λ = 650nm e o anteparo estava istante e 0,8cm à 5,3cm. No estuo o obstáculo retangular, utilizamos o fio que está contio na placa e viro, mostraa na Figura -6(b). O parão e ifração, que foi fotografao por transmissão usano uma folha e papel vegetal como anteparo pela câmera Sony, bem como o gráfico a intensiae pela posição poem ser vistos na Figura -. z (cm),3 Foto o Parão e um Obstáculo Retangular,0 Intensiae o parão e ifração 0,8 0,6 0,4 3,3 0,,0 x (cm) -0, -0, 0,0 0, 0, 0,8 0,6 0,4 0, -0, -0, 0,0 0, 0, x (cm)

42 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 8,3,0 0,8 0,6 0,4 0, -0, 0,0 0, x (cm) 3,3,0 0,8 0,6 0,4 5,3,0 0, -0, 0,0 0, x (cm) 0,8 0,6 0,4 3,3 0,,0-0, 0,0 0, x (cm) 0,8 0,6 0,4 0, -0,0-0,05 0,00 0,05 0,0 x (cm) Figura - Parão e Difração e um obstáculo retangular, um fio, translaao para próxima ao laser pointer, com as fotos tiraas pela câmera Sony, e o gráfico a intensiae pela istância. Utilizamos um laser pointer e λ = 650nm, um obstáculo retangular e 0,mm e abertura, e o anteparo estava istante e 0,8cm à 5,3cm

43 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff Abertura e Obstáculo Circulares Nos experimentos com aberturas e obstáculos circulares, utilizamos os pontos e furos, respectivamente, constantes a placa e viro (Figura -6 (b)), montaos sobre o trilho óptico, seguno o esquema ao na Figura (-6 (a)), one se poe eslocar o elemento ifrator, afastano-o o laser pointer. Vimos, anteriormente, que poemos obter os parões e ifração relativos a elementos ópticos circulares através a IDFK aa pela Equação (-5), para o campo próximo, e Equação (-4), para o campo istante. Desta forma, na Figura -3 temos as curvas a Intensiae versus y, obtias experimentalmente e pela simulação feita com o programa Mathematica a Equação (-5), one se poe observar uma boa concorância entre os resultaos. IêI ao experimental simulação r HcmL Figura -3 Curvas a Intensiae versus y, relativas ao ao experimental e à simulação, na aproximação e Fresnel, e uma abertura circular e raio a = 0,5mm, com o anteparo colocao à istância =,53 cm e o comprimento e ona o laser pointer seno λ = 650 nm. Na Figura -4 temos as fotos, obtias com a câmera Watec, bem como as intensiaes os parões obtios para uma abertura circular e raio 0,5mm, que foi eslocaa e 0,8cm à 5,3cm o laser pointer em ireção ao anteparo.

44 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 30 z N F Foto o Parão e uma Abertura Circular Intensiae o parão e ifração (cm),3 9,6,0 0,8 0,6 0,4 0, -0,3-0, -0, 0,0 0, 0, 0,3 x (cm) 3,3,6,0 0,8 0,6 0,4 0, -0,3-0, -0, 0,0 0, 0, 0,3 x (cm) 5,3 7,3,0 0,8 0,6 0,4 0, -0, -0, 0,0 0, 0, x (cm)

45 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 3 9,3 4,3,0 0,8 0,6 0,4 0, -0,5-0,0-0,05 0,00 0,05 0,0 0,5 x (cm),3 3,4,0 0,8 0,6 0,4 0, -0,0-0,05 0,00 0,05 0,0 x (cm) 5,3,5,0 0,8 0,6 0,4 0, -0,050-0,05 0,000 0,05 0,050 x (cm) Figura -4 Parão e Difração e uma abertura circular, translaaa para próxima ao laser pointer, e o gráfico a Intensiae pela istância, com as fotos tiraas pela câmera Watec. Utilizamos um laser pointer e λ = 650nm, uma abertura circular com raio e 0,5mm, e o anteparo estava istante e 0,8cm à 5,3cm. Na Figura -5 estão exibias as fotos, tiraas pela câmera Watec, e as Intensiaes os parões e ifração obtios para uma abertura e raio 0,5mm, que foi eslocaa e 0,8 cm à 5,3cm o laser em ireção ao anteparo

46 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 3 z N (cm),3 7,4 Foto o Parão e uma Abertura Circular Intensiae o parão e ifração,0 Intensiae (u.a.) 0,8 0,6 0,4 0, 3,3,95-0,3-0, -0, 0,0 0, 0, 0,3,0 x (cm) Intensiae (u.a.) 0,8 0,6 0,4 5,3,8 0,,0-0, 0,0 0, x (cm) Intensiae (u.a.) 0,8 0,6 0,4-0,0-0,05 0,00 0,05 0,0 x (cm) 7,3,3,0 Intensiae (u.a.) 0,8 0,6 0,4 0, -0,0-0,05 0,00 0,05 0,0 x (cm)

47 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 33 9,3,03,0 Intensiae (u.a.) 0,8 0,6 0,4 0, -0,0-0,05 0,00 0,05 0,0 x (cm),3 0,85,0 Inensiae (u.a.) 0,8 0,6 0,4 0, -0,0-0,05 0,00 0,05 0,0 x (cm) Figura -5 Parão e Difração e uma abertura circular, translaaa para próxima ao laser pointer, e o gráfico a Intensiae pela istância, com as fotos tiraas pela câmara Watec. Utilizamos um laser pointer e λ = 650nm, uma abertura circular com raio e 0,5mm, e o anteparo estava istante e 0,8cm à 5,3cm. Na Figura (-6) apresentamos as fotos, obtias com a câmera Watec, e as Intensiaes os parões e ifração obtias para a abertura circular e raio 0,5mm, e que foi eslocaa o laser pointer para o anteparo. z N (cm),3,85 Foto o Parão e uma Abertura Circular Intensiae o parão e ifração,0 Intensiae (u.a.) 0,8 0,6 0,4 0, (foto com Intensiae saturaa) -0,3-0, -0, 0,0 0, 0, 0,3 x (cm)

48 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 34 3,3 0,7,0 0,8 0,6 0,4 0, 5,3 0,45-0,0-0,05 0,00 0,05 0,0 x (cm),0 0,8 0,6 0,4 7,3 0,33-0,5-0,0-0,05 0,00 0,05 0,0 0,5 x (cm),0 0,8 0,6 0,4-0, 0,0 0, x (cm)

49 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 35,3 0,,0 0,8 0,6 0,4 3,3 0,8 0,,0-0, 0,0 0, x (cm) 0,8 0,6 0,4-0, 0,0 0, x (cm) Figura -6 Parão e Difração e uma abertura circular, translaaa para próxima ao laser pointer, e o gráfico a Intensiae pela istância, com as fotos tiraas pela câmara Watec. Utilizamos um laser pointer e λ = 650nm, uma abertura circular com raio e 0,5mm, e o anteparo estava istante e 0,8cm à 5,3cm. Nas Figuras (-4), (-5) e (-6) observa-se que as fotos os parões apresentam centros claros e escuros, conforme a posição que se encontra o anteparo. Este fenômeno tem sua explicação aa através as zonas e Fresnel, apresentaa no Tópico -. No estuo os obstáculos circulares foram utilizaos os pontos constantes a placa e viro (Figura -6(b)), seguino a montagem fornecia na Figura (-7(a)), one o elemento ifrator poe ser eslocao entre o laser pointer e o anteparo, que no caso foi utilizaa a câmera Watec. Na Figura -7 observa-se tanto a foto como o gráfico referente à intensiae o parão e ifração e um obstáculo circular e raio a = 0,5mm que foi translaao entre 0,8 à 5,3cm o laser pointer.

50 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 36 z (cm),3 Foto o Parão e um Obstáculo Circular,0 Intensiae o parão e ifração 0,8 0,6 0,4 3,3,0-0, 0,0 0, x (cm) 0,8 0,6 0,4 0, 5,3-0,3-0, -0, 0,0 0, 0, 0,3,0 x (cm) 0,8 0,6 0,4 0, 7,3-0,3-0, -0, 0,0 0, 0, 0,3,0 x (cm) 0,8 0,6 0,4 0, -0,3-0, -0, 0,0 0, 0, 0,3 x (cm)

51 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 37,3,0 0,8 0,6 0,4 0, 5,3-0, -0, 0,0 0, 0, x (cm),0 0,8 0,6 0,4-0, -0, 0,0 0, 0, x (cm) Figura -7 Parão e Difração e um obstáculo circular, ou seja, o Ponto e Poisson, translaaa para próxima ao laser pointer, e o gráfico a Intensiae pela istância, com as fotos tiraas pela câmara Watec. Utilizamos um laser pointer e λ = 650nm, um obstáculo circular com raio e 0,5mm, e o anteparo estava istante e 0,8cm à 5,3cm. A Figura (-8) mostra as fotos e os gráficos a intensiae o parão e ifração e um obstáculo circular e raio 0,5mm que foi eslocao entre o laser pointer e o anteparo, a máquina Watec.

52 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 38 z (cm),3 Foto o Parão e um Obstáculo Circular,0 Intensiae o parão e ifração 0,8 0,6 0,4 0, -0,3-0, -0, 0,0 0, 0, 0,3 x (cm) 3,3,0 0,8 0,6 0,4 7,3 0, -0,3-0, -0, 0,0 0, 0, 0,3 x (cm),0 0,8 0,6 0,4-0, -0, 0,0 0, 0, x (cm)

53 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 39 9,5,0 0,8 0,6 0,4,3-0, -0, 0,0 0, 0, x (cm),0 0,8 0,6-0, -0, 0,0 0, 0, x (cm) 5,3,0 0,8-0,0-0,05 0,00 0,05 0,0 x (cm) Figura -8 Parão e Difração e um obstáculo circular, ou seja, o Ponto e Poisson, translaaa para próxima ao laser pointer, e o gráfico a Intensiae pela istância, com as fotos tiraas pela câmara Watec. Utilizamos um laser pointer e λ = 650nm, um obstáculo circular com raio e 0,5mm, e o anteparo estava istante e 0,8cm à 5,3cm. Na Figura (-9) encontra-se as fotos e os gráficos a intensiae o parão e ifração referentes a um obstáculo circular e raio 0,5mm que foi eslocao entre o laser pointer e o anteparo, a máquina Watec.

54 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 40 z (cm),3 Foto o Parão e um Obstáculo Circular,0 Intensiae o parão e ifração 0,8 0,6 0,4 0, -0,3-0, -0, 0,0 0, 0, 0,3 x (cm) 3,3,0 0,8 0,6 0,4 0, -0,3-0, -0, 0,0 0, 0, 0,3 x (cm) 5,3,0 0,8 0,6 0,4 0, -0, -0, 0,0 0, 0, x (cm)

55 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 4 9,3,0 0,8 0,6 0,4-0, -0, 0,0 0, 0, x (cm),3,0 0,8 0,6-0, -0, 0,0 0, 0, x (cm) 5,3,0 0,8-0,0-0,05 0,00 0,05 0,0 x (cm) Figura -9 Parão e Difração e um obstáculo circular, ou seja, o Ponto e Poisson, translaaa para próxima ao laser pointer, e o gráfico a Intensiae pela istância, com as fotos tiraas pela câmara Watec. Utilizamos um laser pointer e λ = 650nm, um obstáculo circular com raio e 0,5mm, e o anteparo estava istante e 0,8cm à 5,3cm. Nas Figuras (-7), (-8) e (-9) observamos em toos os parões que o centro sempre se apresenta brilhante, iferentemente a abertura circular. Esse

56 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 4 fenômeno é enominao e Ponto e Poisson. É interessante se fazer, aqui, um breve comentário sobre a importância histórica este experimento. Fresnel, em 88, apresentou para a Acaemia e ciências e Paris, sua teoria a ifração. Poisson, que era membro a comissão julgaora, percebeu que através a aplicação essa teoria, no centro a sombra e um isco opaco existiria um ponto luminoso, o que lhe parecia absuro, levano-o a esclassificar o trabalho. Arago, que também era membro a comissão julgaora, realizou o experimento e emonstrou a existência este ponto luminoso. Dese então esse ponto luminoso foi enominao e Ponto e Poisson ou Ponto e Arago [9][0][][]. Este é o experimento consierao como aquele que conseguiu comprovar a natureza onulatória a luz..3.6 Lentes Um outro elemento óptico muito importante e que também poe ser estuao através a IDFK são as Lentes, cujo funcionamento se baseia na muança e ireção que a luz sofre ao inciir sobre a superfície e elimitação entre ois meios com iferentes ínices e refração. Elas prouzem o efeito e atrasar a propagação a ona inciente e um valor que epene o ínice e refração o material e as coorenaas o ponto e inciência (x, y) na lente por essa ona. Frente e Onas Planas (x,y) Onas convergentes n = ar (x 0,y 0) n 0 3 Le nte Eixo óptico Figura -30 Esquema e propagação e uma ona por uma lente convergente Na Figura -30 notamos uma frente e ona plana inciino sobre uma lente. Observamos que na região () toos os pontos a frente e ona estão no ar, logo, com a mesma velociae. A ona começa a inciir na lente, seguno os pontos (x 0, y 0 ), que estão sobre a linha tracejaa, enquanto que os outros pontos (x,y) aina estão no ar.

57 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 43 Desta forma, nota-se que os últimos a inciirem serão os primeiros a saírem, e assim, a ona refrataa se torna convergente, convergino para o foco essa lente. Na Figura -3 observamos uma lente ivergente, one os pontos a frente e ona que estão mais próximos ao eixo ótico serão os últimos a penetrarem e a saírem esta, assim a frente e ona se torna ivergente. Frente e Onas Planas (x,y) n = ar (x 0,y 0) n 0 3 Lente Onas ivergentes Eixo óptico Figura -3 Esquema e propagação e uma ona por uma lente ivergente Vamos consierar, para esse estuo, uma lente plano convexa como a mostraa na Figura -3. Para esse tipo e lente, one um e seus raios é infinito, a istância focal eterminaa pela equação os fabricantes (Equação (A3-)), resulta: R f = no (-) Figura -3 Esquema e propagação e uma ona por uma lente plano-convexa Sobre essa lente incie uma frente e onas planas possuino um campo E 0. Essa frente e onas, então, sofrerá um istúrbio que é trauzio como um atraso e

58 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 44 fase ( φ) que está relacionao à variação o caminho óptico o meio e, esta forma, após a lente apresenta um campo ao por: ( i k z) exp( i φ) S (z) = E exp (-) E 0 O atraso e fase ( φ) está relacionao à variação o caminho óptico o meio (Equação (A3-)) que por sua vez se relaciona com a espessura a lente l (Equação (A3-5)) e que poe ser escrito como: 4 6 r r r φ( r) = ks= knol k(no ) (-3) 3 5 R 8R 6R Desta forma, o campo após a lente será (Equação (A3-9)) 4 6 r r r ES (r ) = Do exp ik (-4) f 4 8R f 6R f one: D = C exp [ i k ] 0 0 n 0 Para estuarmos o campo em um ponto P, no plano e observação, istante, vamos aplicar a IDFK (Equação (-)), mas em Coorenaas Cilínricas, a qual leva em consieração a simetria existente no problema: a i r = [ ξ] kr r E(r ) exp i exp - ik π J o ( ) ES (r )rr (-5) λ 0 Consierano uma lente e iâmetro a, e acoro com a Equação (-8) poemos aproximar E S por uma ona esférica, quano a << R. Neste caso: r E S (r ) = C o exp i k (-6) f assim, a integral a ser estuaa é: a ik r = [ ξ] k r r E (r ) C0 e xp i e xp i k J o ( ) r r (-7) 0 f Ao colocarmos o plano e observação no foco, ou seja, f =, a exponencial, que está no integrano, se torna, esta forma, a intensiae que se encontra é igual a e uma abertura circular, como visto pela Equação (-), ou seja uma lente perfeita funciona como se fosse uma abertura circular e raio a, assim essa lente também terá intensiae máxima no centro o parão e ifração. Desta forma, ao fazermos o estuo axialmente (r = 0):

59 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 45 ik a ik E(r = 0) = C0 e xp 0 0 a [ i ξ] r r = C e xp [ i ξ] a Mas, em lentes é normal que ocorram aberrações, seno a esférica, o tipo mais comum, assim, nesse caso, o campo logo após a lente, ao pela Equação (-4), será levao em consieração potências e orem 4 (r 4 ), ou seja i k r r r 4 E = S (r ) C o exp f 4 (-8) 4R 4R esta forma, o campo no plano e observação é ao por: a 4 ik = [ ξ] r k r r E (r ) C o exp i exp i k r J ) r r 0 o ( (-9) f 8R f Se esse plano e observação, como consierao anteriormente, estiver no plano focal a lente ( = f), o campo observao se torna então: a 4 ik r k r r E(r ) = C0 exp[ i ξ] expik J o ( ) rr (-30) 0 8R f A Intensiae encontraa no plano e observação será aa por: I = E(r ), cujo perfil e intensiae observao é visto na Figura (-33) I a a Figura -33 Intensiae e uma lente plano-convexa em função o seu raio a (cm), consierano-se λ = nm, = f = 0cm, com f sobre o eixo e ( ) 8R f 5 x 0 cm. Da figura -34 observamos que para essa lente estuaa aproximaamente 40% e seu iâmetro não afeta o feixe e luz com aberrações.

60 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff 46 Intensiae (u.a.) Lente sem aberração Lente com aberração 0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 a (cm) Figura -34 Comparação a Intensiae entre uma lente perfeita e uma lente que apresenta aberração esférica, tomano-se λ = 650nm, = f = 0 cm, com f sobre o eixo e 4 3 ( ) 8R f 5 x 0 cm.em estaque está-se mostrano que aproximaamente até um raio e 0,4cm a lente com e sem aberração coinciem, assim, após esse valor e raio as aberrações começam a aparecer. Ao levarmos em conta os termos e mais altas orens para a aberração, o campo após a lente é ao pela Equação (-4), gerano, assim, um campo no plano e observação ao por: a 4 ik r i k r = [ ξ] r r k r r E(r ) C exp i exp - ik exp J ( ) r r (-3) 0 0 f 4 0 4R 4R Se tomarmos, novamente, o plano e observação sobre o plano focal a lente ( = f), o campo será: a 4 6 ik = [ ξ] r r krr E(r ) C0 exp i exp ik J ) r r 0 o ( (-33) 8 8R f 6R f O perfil e intensiae encontrao para um feixe se propaga por uma lente que possui aberrações e mais altas orens, poe ser visto na Figura -35. Nela poemos observar a formação os anéis e ifração.

61 Capítulo Difração e a Integral e Difração e Fresnel-Kirchhoff I a Lente com aberração Lente com aberração e orem mais alta a Figura -35 Comparação o perfil e Intensiae entre uma lente perfeita e uma lente que emonstra 4 8R f 5 x 0 cm aberração esférica, tomano-se λ = 650nm, = f = 0cm, ( ) 3 6R f 9 x 0 cm e ( 4 5 )

62 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 48 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial Neste Capítulo será apresentao o estuo a Lente Térmica Raial (LT), seguno o moelo parabólico, obtio através a matriz e transferência e raios, e o moelo aberrante, obtio pela IDFK, seno que este último moelo será emonstrao tanto para o arranjo experimental e feixe único, como para o e feixe uplo. 3. Espectroscopia Fototérmica A espectroscopia fototérmica [][3] é formaa por um grupo e técnicas e alta sensibiliae, que permitem meir a absorção óptica e as proprieaes térmicas os materiais, além e apresentar as características e ser não estrutiva. O princípio básico utilizao, neste tipo e espectroscopia, está funamentao na variação que ocorre no estao térmico o material, ou seja, na variação os parâmetros termoinâmicos, pois a energia luminosa absorvia reverte-se em aquecimento e conseqüentemente, os sinais obtios são iretamente epenentes a absorção a luz. Desta forma, essas técnicas são consieraas como e análise inireta a absorção óptica, pois não meem iretamente a absorção a luz que excita a amostra, mas sim, o efeito que a absorção óptica tem sobre essa amostra. E é essa natureza e meia inireta, que torna a espectroscopia fototérmica mais sensível que os métoos e transmissão. O fator e aumento (Enhancement Factor) é efinio como a razão o sinal obtio através a espectroscopia fototérmica pelo obtio através a espectroscopia e transmissão convencional [4]. Esse fator e aumento epene tanto as proprieaes térmo-ópticas a amostra, quanto a fonte e luz utilizaa para excitação esta amostra. Como a potência a fonte e luz e o comprimento e ona poem ser variaos, poe-se obter um maior fator e aumento, mesmo em amostras cujas proprieaes termo-ópticas não contribuam para esse aumento. Com o avento a luz laser que possui alta potência e pureza espectral, a espectroscopia fototérmica teve seus resultaos muito melhoraos. Visto que, como a variação a temperatura que ocorre na amostra é proporcional à potência o laser e

63 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 49 excitação, e o sinal obtio é proporcional a essa variação a temperatura, quanto maior a potência o laser inciente na amostra, maior será o sinal resultante. Mas, a variação a temperatura também é inversamente proporcional ao volume sobre o qual a luz é absorvia, e como a coerência espacial a fonte laser permite que a luz seja focalizaa em pequenos volumes, limitaos por ifração, assim quanto menor o volume, maior é a variação a temperatura, o que também leva a um maior sinal resultante. Dentre as técnicas pertencentes à espectroscopia fototérmica temos: a espectroscopia fotoacústica, e interferometria foto piroelétrica, fotoeflexão, e lente fototérmica etc. Esta última, também enominaa apenas e espectroscopia e Lente Térmica e que é o objeto e estuo este capítulo. 3.. Espectroscopia e Lente Térmica O efeito e LT foi inicialmente observao por Leite et al.[5] e Goron et al.[6] quano em um estuo o espectro Raman, colocaram amostras e líquios orgânicos em um ressonaor e um laser e HeNe. Inesperaamente, eles observaram transientes e potência, variações nos moos e oscilações o tipo relaxação com constante e tempo que era a orem e segunos, que atribuíram ao efeito e uma lente inuzia pelo perfil e ínice e refração o líquio. Leite et al. e Goron et al. propuseram um embasamento para a formulação e um moelo enominao parabólico. Eles apenas eterminaram a istância focal a LT, visto estarem interessaos em comprovar o efeito e lente. Hu e Whinnery [7] foram os primeiros a, realmente, proporem um moelo (parabólico) para o efeito, one eterminaram a intensiae meia no campo istante. Logo epois, Shelon [8] propôs o moelo enominao aberrante, e feixe único, em que eram consieraas as aberrações a lente formaa. Shen [9] foi um os que propuseram o moelo aberrante utilizano ois feixes, one um feixe é utilizao para excitar a amostra, fazeno surgir o efeito e lente, e o outro serve para provar esse efeito. Poemos sintetizar a formação o efeito e lente térmica, notano que ele ocorre quano uma amostra, ao ser iluminaa por um feixe e laser Gaussiano no moo TEM 00, absorve essa raiação, gerano calor que se ifune raialmente ocasionano uma variação

64 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 50 no ínice e refração a amostra, a qual passa a ter características e uma lente, e a agir sobre o feixe e prova, istorceno sua frente e ona, ou seja, moificano sua ivergência. Essa istorção a frente e ona é meia como a variação relativa a luz transmitia por um iafragma, colocao à frente e um etector, e sua análise fornece a meia a absorção óptica e as proprieaes térmicas e interesse. Assim, para o esenvolvimento os moelos para LT, inicialmente evemos eterminar a istribuição e temperatura que ocorre na amostra, visto que irá moificar o ínice e refração, que acarretará uma fase aicional ao campo o feixe e prova a qual moificará a Intensiae que é meia no centro o feixe, por meio e um etector. 3. Distribuição e Temperatura A istribuição e temperatura em uma amostra é geraa pela absorção a energia o feixe e laser que a aquece, e é encontraa, através a resolução a equação e ifusão e calor no estao não estacionário [30][3]: T(r,t) T(r,t). ρ cp = k q(r) (3-) t r one: r é a coorenaa raial a amostra, em relação ao eixo óptico, k é a conutiviae térmica o material, c P é o calor específico o material, ρ é a ensiae o material, T(r,t) k é o termo que representa o efeito e ifusão térmica; e, q(r). é o termo r fonte (Equação (A4-7)). Se o feixe e laser for ligao em t = 0, a istribuição e temperatura será (Equação (A5-)): t T(r, t) = Q(r')G(r,r',t')t'r' (3-) 0 0 one: Q(r ) é a fonte e calor istribuía, a qual fornece a taxa e geração e calor e G(r,r,t ) é a função e Green. A fonte e calor, Q (r ), meia em (cal/cm s), é aa por:

65 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 5 P α - r Q(r') r' = exp (π r')r' (3-3) π w w one: w é o raio o feixe e laser, P (Watt) a potência o feixe e α (cm - ) coeficiente linear e absorção óptica o meio. A função e Green, que seguno Carslaw e Jaeger[3][3], para esse caso, representa a temperatura no ponto r, no tempo t, e uma fonte cilínrica instantânea, que está em r no tempo t = 0, em um meio infinito, é aa por: ( r r' (r,r',t) = exp 4 π k t 4 D t ) I G 0 r r' D t one: I 0 é a função e Bessel moificaa o primeiro tipo e e orem zero; ifusiviae o material (cm seg - ). A istribuição e temperatura [6][8][33], então, se apresenta como: (3-4) k D = é a ρ c p r exp t 4Dt' P α 8Dt' w r r' T(r, t) t' exp r' I0 r'r' w k t' = (3-5) π 4Dt'w Dt' 0 0 cuja solução encontraa é (Anexo 5): P α r r T(r, t) = Ei Ei 4π k w 8Dt w (3-6) one: Ei representa a função integral exponencial (Equação (A5-8)). Mas, também poemos obter a istribuição e temperatura em função o tempo característico a LT, que é ao por: esta forma, ela se torna: w tc = (3-7) 4D P α r r T(r, t) = Ei Ei (3-8) 4π k w t w tc

66 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 5 Fazeno-se uma expansão e Ei em série (Equação (A5-)), obtemos: P α t = T (r,t) ln 4π k tc m= que, tomano-se até seguna potência e r obtemos: m m! m r m w t tc P α t r T(r,t) = ln 4π k tc w tc t (3-9) Essa istribuição e temperatura está mostraa na Figura (3-), como função o raio para iversos valores e t/t c. Próximo ao eixo, poe-se aproximar o perfil e temperatura por uma parábola. 6 T / (0,4α P/ 4 π k) 4 (t/t c ) Parabólico t/tc = t/tc = 0 t/tc = 0 t/tc = Figura 3- Distribuição e Temperatura para a LT com relação à posição normalizaa, para iversos valores e (t/t c ), simulao pelo programa Mathematica, one se observa a forma parabólica as curvas, próximas ao eixo. r/w 3.3 Cálculo a istância focal a Lente Térmica A focalização ou efocalização e raios luminosos poem ser obtias por meio e uma lente. Assim, quano uma frente e onas planas inciir sobre ela, inicialmente toos os seus raios estão em fase, mas ao se propagarem através ela, os raios que estão mais próximos ao eixo óptico a lente serão retaraos em relação aos que passam próximos à

67 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 53 bora. Assim, na saía se obtém uma frente e onas esféricas com um raio e curvatura que coincie com a istância focal a lente. Se o elemento óptico envolvio for uma LT, a focalização ou efocalização estará funamentaa na variação que ocorre o ínice e refração o material que prouz essa lente. Desta forma, um feixe e laser gaussiano no moo TEM 00, ao passar por uma amostra que se comporta como uma LT, sofre um esvio angular θ (r) ao por[]: L n(r) θ (r) = s n (3-0) 0 r 0 one: n(r) é o ínice e refração que possui uma epenência raial e r é a istancia axial. Supono-se que os raios que excitam a amostra são aproximaamente paralelos à normal a essa amostra, poe-se usar a aproximação paraxial: tg θ θ e assim, o esvio angular se relacionará com a istância focal (F) a lente por: r r tg θ (r) = θ(r) (3-) F F Quano um feixe e laser incie sobre uma amostra, é absorvio na forma e calor, gerano uma istribuição e temperatura T(r,t), que apresenta um perfil gaussiano. Essa istribuição e temperatura acarreta uma istribuição e ínice e refração que também apresenta um perfil gaussiano. Desta forma, aproximano o ínice e refração por uma parábola,[][7]: r n(r, t) = n0 δn (3-) w one: n 0 é o ínice e refração na temperatura inicial, δn é uma pequena variação o ínice e refração. Fazeno-se a erivaa primeira em relação a r, o perfil e ínice e refração e substituino na Equação (3-0), obtemos: r L θ (r) = δn (3-3) n 0 w Comparano-se as Equações (3-) e (3-3), a istância focal será: L = δn (3-4) F(t) n 0 w

68 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 54 Para uma pequena perturbação no ínice e refração, o ínice e refração total é ao por: n n(r, t) = n0 δn = n0 δt(r, t) (3-5) T Fazeno-se a expansão em série e Maclaurin e δt(r,t), observano-se que a primeira erivaa representa o graiente e temperatura o qual é nulo no centro, a istribuição a temperatura apresentará um perfil parabólico, logo, para uma pequena variação a temperatura poe-se escrever: r δ T(r, t) δ T(r, t) = δt0 (3-6) r Efetuano-se a seguna erivaa a Temperatura que é aa pela Equação (3-9) e substituino-se o resultao a Equação (3-6) na Equação (3-5), temos: n P α r n(r,t) = n 0 ( ) (3-7) T π k w tc t que, ao se comparar com a Equação (3-), obtemos: aa por: n P α δn = ( ) (3-8) T π k tc t Substituino o valor e δn na Equação (3-4) eterminamos que a istância focal é F(t) Definino-se a potência a LT como: = π P αl k n0 w n T t c t ( n ) (3-9) P α l θ = T (3-0) λ k poemos escrever a istância focal, com epenência temporal, como seno: F(t) = π w θ λ tc t (3-)

69 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 55 E, a istância focal a LT no estao estacionário F( ) será: π w F ( ) = (3-) θ λ esta forma, a istância focal a LT poe ser reescrita como: t F(t) = F( ) c (3-3) t Observamos a Figura 3-, que mostra a relação F/F( ) por t/t c, que F(t) se aproxima e F( ) rapiamente, assim a variação a istância focal está e acoro com o tempo característico t c, e construção a LT F/ F Figura 3- Gráfico e F/F versus t/t c, simulao pelo programa Mathematica, one se observa que a istância focal a LT se aproxima rapiamente a istância focal essa lente no estao estacionário t/t c 3.4. O moelo e Lente Térmica Parabólico O moelo e Lente Térmica Parabólico, que foi estuao principalmente por Leite et al [5], Goron et al [6] e Hu e Whinnery [7], usa como aproximação uma istribuição e ínice e refração parabólico na lente formaa, ou seja, ela age como uma lente fina sem aberrações. O traçao os raios é um métoo embasao na óptica geométrica paraxial, que basicamente está funamentaa em uas aproximações. A primeira [] é trabalhar no limite em que o comprimento e ona tene a zero (λ 0), poeno-se, assim, esprezá-lo.

70 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 56 Desta forma, consiera-se toa a energia seno transportaa ao longo os raios e luz, que obeecem ao Princípio e Fermat, isto é, percorrem trajetórias que levam o menor tempo e propagação. A seguna é consierar apenas os raios que permaneçam próximos ao eixo, com inclinações suficientemente pequenas, e moo a se poer usar aproximações e primeira orem, ou seja, θ sen θ tan θ, isto é, θ < 0.3 ra. Esta aproximação faz com que se eixe e ter informações os efeitos e terceira orem, como as aberrações esféricas, coma, astigmatismo, curvatura e campo e istorção. As moificações ocorrias nas características o feixe, ao se propagar por algum sistema óptico, poem ser, assim, estuaas através e relações lineares, que são facilmente trataas pelo métoo a matriz transferência e raios, ou seja, através a Óptica Matricial [34][35] Propagação e um feixe Gaussiano e seus parâmetros Como visto no Capítulo, um feixe gaussiano poe ser escrito através e seus parâmetros w(z), R(z) e θ(z), que representam o raio o feixe, o raio e curvatura a frente e ona e o ângulo e ivergência o feixe, respectivamente. Mas é interessante que se escreva esse feixe em termos e um parâmetro e curvatura complexo, q(z), e forma que o coeficiente e r, na Equação (-6) poe ser reescrito como: q(z) one, q(z) na cintura o feixe (z = 0) é: λ = i (3-4) R(z) πw (z) i λ q (z = 0) = = π w 0 i z c (3-5) Quano um feixe gaussiano e parâmetro e curvatura complexo q incie em uma lente fina, e istância focal F, poe-se eterminar o parâmetro e curvatura complexo e saía q, aplicano-se a Regra ABCD, efinia pela Óptica Matricial [34][35][36][37][38], assim: Aq B q = (3-6) Cq D

71 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 57 como: Desta forma, os parâmetros R (z) e w (z), o feixe gaussiano, poem ser escritos A z c B R(z) = (3-7) A C z c B D ( ) λ A z B w (z) = c (3-8) π A D B C z c Como o eterminante a matriz transferência e raios tem a proprieae e ser unitário, e tomano o valor e z c (Equação (-9)), o valor e w (z) é ao por: B w (z) = w 0 A (3-9) z c Amostra cintura o feixe Íris w 0 w w I bc.z O Propagação seguno z Figura 3-3 Sistema óptico para a análise o efeito a LT. Uma montagem básica utilizaa para a análise o efeito a LT (Figura (3-3)) sobre um feixe laser gaussiano tem a origem o sistema colocaa sobre a cintura o feixe (w 0 ); a amostra colocaa a uma istância z a origem, one o feixe terá um raio w ; e, o etector colocao a uma istância a amostra, one o raio, nesse ponto, é w. O feixe gaussiano, assim, inicialmente se propaga no espaço livre, incie na amostra, sofreno a influência a LT formaa e volta a se propagar no espaço livre, esta forma, o sistema e matrizes e transferência e raios [34][35][36][37][38] montao para estuar essa propagação será o prouto a matriz translação T = 0 D para o espaço entre a amostra e o etector,

72 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 58 0 pela matriz refração R = para a lente formaa, e novamente pela matriz T para f o espaço entre a origem e a amostra. Deve-se observar que, no prouto, as matrizes evem ser ispostas no sentio oposto e propagação o feixe gaussiano, assim: A C B D = 0 0 f 0 Os elementos e matriz encontraos para esse sistema são: z (3-30) A = (3-3) F(t) z B = z (3-3) F(t) C = (3-33) F(t) z D = (3-34) F(t) Substituino-se os valores e A e B na Equação (3-9), e observano que o efeito relativo a lente térmica sobre o raio o feixe, w, é maximizao no campo istante, ou seja, quano, esta forma esse raio é ao por: = z w (z) w0 (3-35) F(t) zc F(t) Mas, a etecção o efeito a lente térmica é efetuaa através a meia a intensiae o feixe, realizaa no campo istante e no eixo o feixe, que ocorre em um tempo a orem e milisegunos a segunos. Como a intensiae no centro o feixe (r = 0) é aa por (Equação (A.4-5)): a sua variação está iretamente relacionaa à variação relativa e ou seja: P I = (3-36) πw w no plano o etector,

73 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 59 I w = (3-37) I w Analisano, inicialmente, a epenência temporal, observano que F(0) =, a variação relativa o raio o feixe é aa por: w w z zc z = (3-38) tc F( ) tc t F ( ) t Seno F( ) ao, seguno o moelo parabólico, pela Equação (3-), o raio o feixe pela Equação (-7) e a istância confocal pela Equação (-9), a variação relativa a intensiae o feixe é: I = I w w z z c = θ z z c t c t z c θ z z c t c t (3-39) Desta forma, utilizano o parâmetro V que está associao à posição geométrica o feixe, e que é efinio por: z V = (3-40) z c a variação relativa a intensiae o feixe em termos e θ poe ser escrita como: I I θ V = tc V t θ tc t V (3-4) como θ, normalmente, é pequeno, poe-se esprezar os termos e orem θ assim, a variação relativa a intensiae será: I I θ V = tc t V (3-4) e, a variação a intensiae antes, I(t=0), e após, I(t= ), a formação a lente térmica, em relação à posição, é encontraa:

74 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 60 I V = θ (3-43) I V O interesse nos experimentos e lente térmica está em se obter a maximização o sinal, assim há necessiae e se saber a posição em que se eve colocar a amostra. Para isso basta erivar a Equação (3-43) em relação à V e igualar a zero, encontrano-se assim: V = ± z = ± z c (3-44) I Na Figura 3-4, o gráfico e, simulao pela Equação (3-43), fornece uma curva I anti-simétrica que poe ser explicaa através o efeito e uma lente térmica ivergente [5]. Observano a Figura 3-3, quano essa amostra for colocaa antes a origem o sistema, que é tomaa como a posição a cintura o feixe, atuará sobre o feixe e laser iminuino sua convergência, assim quano o mesmo se propagar após a cintura, terá sua ivergência, também, iminuía; e quano essa amostra for colocaa após a origem o sistema ela fará com que a ivergência o feixe aumente..00 I( ) / I(0) Figura 3-4 Depenência a Intensiae com a posição para a LT seguno o moelo parabólico, simulao pelo programa Mathematica, com θ = 0.0. z/z c Seno a amostra localizaa em V =, ou seja, z = z c, a epenência a Intensiae com o tempo, para a LT Parabólica, é mostraa seguno a Figura 3-5.

75 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial I(t) / I(0) Figura 3-5 Depenência a Intensiae com o tempo (normalizao) para a LT seguno o moelo parabólico, one θ = 0.0 e v =. t/t c Para obtermos a máxima sensibiliae, portanto, evemos colocar a amostra a uma istância confocal a cintura o feixe, ou seja: z = z c. Quano isto ocorre, a variação relativa a intensiae o feixe é aa por: ( n ) T A I P (,303) = (3-45) I λ k e one observamos que essa variação relativa a intensiae é proporcional à absorbância A, ou seja: I =,303E A (3-46) I one: E é o fator e aumento. Da Lei e Beer [38][39], para pequenas absorbâncias, temos que a meia a absorção a luz por transmitância fornece um sinal, cuja variação relativa a intensiae é: I = I,303 A (3-47) Ao se comparar a variação relativa a intensiae o sinal e LT, com a obtia pela Lei e Beer, poemos obter o aumento e sensibiliae que ocorre, e que poe ser expresso através o Fator e Enhancement E, que é ao por:

76 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 6 ( n ) P E = T (3-48) λ k Observamos que pela expressão e E, esse fator e aumento e sensibiliae é função os parâmetros relacionaos com o feixe e laser: potência (P) e comprimento e ona (λ); e os parâmetros relacionaos à amostra: a variação o ínice e refração em relação à temperatura (n/t) e conutiviae térmica (k). Assim, ao se utilizar um feixe e laser e mais alta potência, poe-se obter uma maximização e E e, conseqüentemente, a meia e absorção com mais alta sensibiliae. Para amostras sólias, temos que consierar não apenas a variação o ínice e refração, mas também a espessura a amostra, evio à ilatação térmica. Portanto, para amostras sólias, evemos utilizar a variação e caminho ótico com a temperatura, s / T, ao invés e n / T Valores tabelaos (Tabela ) mostram que os líquios e gases, em sua maioria, possuem n/t negativo, evio à iminuição na ensiae na região iluminaa, e a lente formaa provocará ivergência o feixe e laser. Para os sólios poemos ter valores tanto positivos quanto negativos. Tabela Proprieaes Termo-Ópticas (n/t, s/t, k) e Fator e Enhancement (E) pela Potência (P) em iversos meios à 93K [43][44][45] Líquios k n/t s/t (0-6 K - ) E / P (mw / cm K) (0-5 K - ) (λ p = 63.8 nm) (λ p = 63.8 nm) Água Pura 6.0 [43] [43] - 60 Etileno Glicol.5 [43] [43] Etanol.67 [44] - 39 [44] [44] Sólios BK7. [43] 0.43 [45] Silica (SiO ) 4 [43].9 [43]. 4 Gases Ar 0,6-0,097 -,35 0 Argônio 0,73-0,0894 -,9 0 -

77 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial O moelo Aberrante e Lente Térmica Raial 3.5. Lente Térmica Raial com Feixe Único Como já foi visto anteriormente, a LT é geraa quano um feixe e laser Gaussiano no moo TEM 00 (Figura 3-3) incie sobre uma amostra, a qual absorve essa raiação, se aqueceno e, assim, sofreno uma istribuição e temperatura que, por conseqüência, gera uma istribuição em seu ínice e refração. Esta istribuição no ínice e refração faz com que a amostra passe a agir como uma lente sobre o próprio feixe que a gerou, afetano a intensiae este, ou seja, o campo o feixe e laser que, ao se propagar através a amostra, poe ser tratao como se sofresse ifração e, portanto, ser estuao pela Teoria e ifração e Fresnel. Seguno o Princípio e Huygens-Fresnel, o campo E (x, y, ) em um ponto no campo istante, (Figura 3-6), ou seja, no plano o etector, é ao pela soma infinitesimal as onas esféricas que emergem e toos os pontos o plano a amostra, e que poe ser escrita pela IDFK aa pela (Equação -): r r i exp( i k. 0 ) r E(x, y,, t) = λ cos (nˆ. 0 ) ES (x, y, z, t) x y S 0 (3-49) one: E (x, y,, t) é o campo no etector, no campo istante; ES (x, y, z, t) o campo r no plano a amostra; cos(nˆ.0) o fator e obliqüiae. (x.,y ) Amostra 0 00 Eixo o feixe 0 (x.,y ) Detetor Figura 3-6 Difração entre a LT e o Detector (Figura moificaa e [33])

78 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 64 Seguino as mesmas aproximações feitas no Tópico., para o estuo o efeito a LT no centro o feixe, a expressão o campo a ser estuao é ao pela Equação (.), que em coorenaas polares poe ser escrita como: π π r E(r =,,t) A ES(r, z,t)exp i rrθ (3-50) λ 0 0 i π one: A = exp i λ λ O feixe e laser poe ser consierao como uma frente e ona esférica com raio e curvatura R e uma istribuição gaussiana e amplitue e campo aa por: r E S ( r, z ) = A exp (3-5) w one: A é a amplitue o campo e w é o raio o feixe. Ao passar pela LT, o feixe e laser sofre sua influência, apresentano assim uas variações e caminho óptico, uma relativa ao feixe gaussiano e a outra relativa à própria lente térmica, corresponeno às variações e fase, Φ G e Φ LT, respectivamente (Figura 3-7 e 3-8). ΦLT Φ G R R Eixo o Feixe Amostra Figura 3-7 Variação e fase relativa à coorenaa raial, que consiste a parte evia ao caminho óptico o feixe gaussiano ( Φ G ) e a parte evia ao graiente o ínice e refração inuzio pelo aquecimento a amostra ( Φ LT ). (Figura moificaa e [33]).

79 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 65 ol R Frente e Ona Figura 3-8 Distribuição e fase no plano e entraa a amostra, one a variação e fase é apenas evia à curvatura e fase o feixe gaussiano. (Figura moificaa e [8]). Pela figura (3-8) temos que: l = R r (3-5) Fazeno-se uma expansão binomial a raiz quaraa e observano que R>>r, a fase encontraa é: π π π r l = R (3-53) λ λ λ R π r one: Φ G = é a variação e fase ou atraso e fase evio ao feixe gaussiano. λ R Ao passar pela LT o feixe sofre um istúrbio trauzio como um atraso e fase aicional ( Φ LT ) que está relacionao à variação o caminho óptico o meio. Seno l o comprimento a amostra, o comprimento e caminho óptico no centro o feixe é efinio por: S 0 = n 0 l, e a variação o caminho óptico, que fornece a iferença e fase raial evia à LT é: S LT (r,t) = l [ n(r,t) n(0,t) ] (3-54) Através a Equação (3-5) poe-se calcular n(r,t) e n(0,t) em função a istribuição e temperatura, e forma que: n S LT (r,t) = l [ T(r, t) T(0, t) ] (3-55) T Fazeno-se o cálculo a iferença as istribuições e temperatura e usano o valor e θ, ao pela Equação (3-0), a variação e fase evio ao efeito e LT é aa por (Equação (A6-4)): π SLT λ (r,t) = θ τ g τ ( e ) τ τ (3-56)

80 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 66 one: τ = (3-57) t' tc τ = (3-58) t tc r g = (3-59) w p Assim, o campo no plano a amostra ao pela Equação (3-5), eve ser moificao para incluir a iferença e fase total, resultano em: r π r E S (r,z,t) = A exp exp i S (r, t) LT (3-60) w λ R e, portanto, no etector, se apresenta como: E (, t) cuja solução (Anexo 7) é: λ π r π r r = π A A exp exp i S LT ( r,t ) exp i r r 0 w λ R A V τ E (, t ) = 3 tan V V 3 6 τ i A τ 3 θ V V tan V V 3 6 τ ( ) V θ ( ) ln ( ) θ ( ) 4 ln 4 τ V 9 V τ V 9 V (3-6) (3-6) one: z V = e A = exp[ iξ] z c ika 3 (Equações (A7-) e (A7-4)) Desprezano-se os termos e maior orem em θ, a intensiae encontraa é: A 3 θ V ( τ ) I ( z, t) = tan (3-63) V V 3 6 τ substituino-se τ, pela Equação (3-58), a intensiae torna-se:

81 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 67 θ V I ( z,t ) = I 0 tan (3-64) t V 3 (9 v ) c t A 3 one: I0 = a intensiae no instante t = 0. V Observamos que a intensiae o feixe é epenente a posição a amostra e o tempo. A epenência com a posição ocorre através e V, logo, ao se variar V, se variará a curvatura a frente e ona na amostra e ocorrerá a variação na Intensiae. Assim, a LT mee iretamente a variação o comprimento e caminho óptico o feixe e prova com relação à variação a temperatura, que fará com que surja uma variação e fase aicional. Desta forma, poemos concluir que, quanto maior for a variação e fase aicional, mais forte é o sinal a LT. Os experimentos com LT possuem a proprieae e alta sensibiliae e para que se tenha uma maximização o efeito é necessário que se saiba a posição em que a amostra eva ser colocaa. Para tanto se eve conhecer a variação fracional total a Intensiae, em relação ao tempo: [ I (0) I ( ) ] = (3-65) I ( ) V θ tan 3 V Derivano-se essa expressão, em relação à V e igualano-se a zero, encontramos que o sinal é maximizao quano: ou seja, como V = z / zc, temos que: V = ± 3 (3-66) z = ± 3 zc Na simulação feita com a Equação (3-64), com t, obtemos uma curva antisimétrica (Figura 3-9), característica o efeito e LT e que emonstra a epenência o efeito com a posição a amostra.

82 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial I( ) / I(0) Figura 3-9 A epenência a Intensiae com a posição normalizaa, para o moelo e LT aberrante e feixe único, one θ = 0.0. z/z 0 Seno a amostra localizaa em z = 3 zc, a Equação (3-6), simulaa na Figura (3-0), mostra a existência a epenência temporal a formação a LT I(t) / I(0) t / t c Figura 3-0 Depenência a Intensiae com o tempo normalizao para a LT seguno o moelo aberrante e Feixe único, one θ = 0.0 e v,73.

83 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial Comparação entre os moelos e Lente Térmica Parabólico e Aberrante e Feixe Único Neste estuo a Teoria e Lente Térmica Raial, propusemos uma comparação entre os moelos e Lente Térmica Parabólico e o Aberrante. Uma comparação que realizamos entre os moelos e LT Parabólico e Aberrante para feixe único, poe ser vista na Figura (3-), one se observa a epenência a Intensiae (I( )/I(0)) com a posição normalizaa (z/z c ), e e one conclui-se que o moelo parabólico mostra uma variação na intensiae maior que o moelo aberrante.,00,005 Parabólico Aberrante e Feixe Único I( ) / I(0),000 0,995 0, z/zc Figura 3- Comparação entre as curvas e LT parabólica e aberrante e feixe único epenente com a posição, one θ = 0,0. Outra comparação possível se faz em relação à epenência a Intensiae (I(t)/I(0))com o tempo (t), para os moelos e lente térmica parabólico e aberrante e feixe único (Figura 3-). Nesta comparação, observamos que o moelo parabólico mostra uma variação na intensiae maior que o moelo aberrante.

84 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 70,00 I(t) / I(0),000 0,998 0,996 0,994 Parabólico Aberrante 0,99 0, Figura 3- Comparação entre as curvas e LT parabólica e aberrante e feixe único epenente com o tempo, one θ = 0.0, V Parabólico = e V Aberrante =,73 t / t c Na Figura 3-3, foi feita uma simulação, one foi gerao o moelo aberrante e foi ajustao pelo moelo parabólico. Verificamos que, para que o moelo parabólico se ajustasse ao aberrante, ois aos foram e interesse, o valor e t c que observamos ser 59% maior que o aberrante e o valor a potência a LT (θ) que observamos ser 46% menor, assim, com esses aos poemos izer que o erro gerao pelo moelo parabólico, em relação ao aberrante, é grane (I - Io) / Io θ V tc Aber: 0,05,73 Par: 0,07,59 46% 59% t / tc Figura 3-3 Simulação e ajuste o moelo e LT parabólica pelo aberrante.

85 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 7 Através essas comparações poemos observar que o moelo aberrante e feixe único se mostra muito mais sensível que o moelo parabólico, levano-nos a observar que os aos, na literatura, que foram obtios através o moelo parabólico evem ser revistos Moelo Aberrante e Lente Térmica com Dois Feixes O efeito e LT poe ser observao seguno um arranjo experimental em que se utiliza ois feixes e lasers gaussianos no moo TEM 00. Um eles, o enominao feixe e excitação, é o responsável pelo aquecimento a amostra (Figura 3-4), e assim pela istribuição e temperatura que ela sofre e conseqüentemente pelo surgimento e uma istribuição no ínice e refração. Esta istribuição no ínice e refração faz com que a amostra passe a se comportar como uma lente fina sobre um seguno feixe e laser, enominao feixe e prova, que tem sua istribuição e intensiae afetaa e que é observaa no etector. Feixe e excitação Amostra ow 0e Ow 0p Feixe e Prova o z O z ce O Figura 3-4 Feixes e lasers e excitação e e prova passano por uma amostra que sofre o efeito e LT, agino sobre o feixe e prova. O z cp Com esenvolvimento análogo ao item 3., a istribuição e temperatura evia ao feixe e excitação é aa por (Equação (A5-7)): t P α e D r = t' T (r,t) π exp (3-67) k 0 8 D t' we 8 D t' we one o ínice e, na potência e no raio o feixe. correspone ao feixe e excitação.

86 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 7 Essa istribuição e temperatura acarretará uma variação e fase, que o feixe e prova sofre evio ao efeito a LT, e que é aa por (Equação (A6-4)): π π n SLT(r,t) = l [ T(r, t) T(0, t) ] (3-68) λp λp T cujo resultao é (Equação (A6-3)) : τ π θ SLT ( g,t ) = λp one o ínice p refere-se ao feixe e prova. [ exp( m g τ) ] τ τ (3-69) Mas, o feixe e prova, também está submetio à variação e fase, Φ G, evia ao feixe gaussiano, que é aa pela Equação (3-53) π π π r l = R P (3-70) λp λp λp R P one: π r λp RP é o atraso e fase. Assim, o campo o feixe e prova, no plano a amostra, é ao por: r π r E S ( r,t ) = A exp exp i S ) LT ( r,t λ R w p p Substituino a Equação (3-7) na (3-50), o campo no plano etetor é: (3-7) E ( z,, t) r A 3 exp - ik exp 0 r π r exp i w λ p R p S LT (r, t) r r = (3-7) que poe ser reescrito em termos a variável r g =, resultano: w p t ) = A 3 exp 0 π w λ p g R π λ p E( z,, g i S LT p ( g, t ) Utilizano as Equações (-7) e (-8), e fazeno-se a muança e variável: g (3-73) z V = (3-74) z c

87 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 73 Encontramos a seguinte ientiae para o primeiro termo a fase o campo, consieranose que >> z: i g π wp λ p R = Desta forma, o campo no plano etector, torna-se: i g V (3-75) ( ) π E( z,,t ) = A 3 exp g i g V exp i S ( g,t) g LT (3-76) λ 0 p π Em experimentos e LT, a variação e fase satisfaz a relação: SLT (g,t) << ; λ assim, poemos efetuar a aproximação: π π exp i SLT ( g,t) i SLT ( g,t) (3-77) λ λ Desta forma, o campo no plano etector torna-se: π E( z,,t ) = A3 - i SLT (g,t ) exp λ P 0 [ ( i V) g ] g (3-78) Substituino-se a variação e fase evia à LT, Φ LT (g,t), aa pela Equação (3-69), e usano-se a variável m, efinia como: wp = w (3-79) e m one m fornece a razão quarática entre as cinturas o feixe e prova e e excitação, o campo será ao por: τ θ E( z,,t ) = A3 exp 0 τ τ ( g i g V) i ( exp( g m τ) ) g que integrao primeiro em g e epois em τ (Anexo 7), resulta em: (3-80)

88 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 74 E P ( z,. t ) A θ m V ( τ ) 3 = tg V m τ ( m) [ m V ] V θ V [ m τ ] θ A V ln i ln 4 ( m) V V 4 θ τ m V ( ) V tg m τ ( m) [ m V ] [ m τ ] ( m) V (3-8) Como I = E, esprezano os termos e orem maior que θ, a Intensiae o feixe e prova no etector é aa por: θ m V ( τ ) I ( z,,t ) = I0 tg (3-8) m τ ( m) [ m V ] Substituino-se τ (Equação (3-58)) a intensiae torna-se: θ m V I ( z,,t ) = I0 tg (3-83) t [( m) V ] c [ m V ] t Desta forma a variação fracional a intensiae com relação ao tempo, é aa por: assim: m V θ tg t [ ] c ( m) V [ m V ] [ I (t) - I ( )] t I ( ) = m V θ tg m V (3-84) A variação fracional total a Intensiae poe ser encontraa fazeno-se t = 0, [I (0) I ( )] = I ( ) m V θ tg m V (3-85)

89 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 75 Os experimentos e LT possuem a proprieae e alta sensibiliae e para que se tenha uma maximização o efeito é necessário que se saiba a posição em que a amostra eva ser colocaa. Para tanto, se eve erivar a Equação (3-85) em relação à V e igualar a zero, como foi feito no caso e um único feixe. Ao se fazer isso encontramos que o sinal é maximizao quano: Como V ao pela Equação (3-74), temos que: V = ± m (3-86) z = ± m Observamos que para o caso e m =, one temos o feixe e prova e e excitação com raios iguais, z = ± 3 zc, recaino no caso o problema e feixe único. Na simulação feita com a Equação (3-83), obtivemos uma curva anti-simétrica (Figura (3-5)), característica o efeito e LT e que emonstra a epenência o efeito com a posição. zc.05 I( ) / I(0) z/zc Figura 3-5 A epenência a Intensiae com a posição, para a LT, seguno o moelo aberrante e ois feixes, one: θ = 0,0, m = 46 Seno a amostra localizaa em z = m zc, a Equação (3-84), simulaa na Figura (3-6), mostra a existência a epenência temporal a formação a LT.

90 Capítulo 3 Teoria a Lente Térmica Raial 76 I(t) / I(0) t / t c Figura 3-6 A epenência a Intensiae com o tempo para a LT, seguno o moelo aberrante e feixe uplo, θ = 0,0, m = 4, v =,73.

91 TEORIA DA LENTE TÉRMICA RADIAL LENTE CONVERGENTE LENTE DIVERGENTE Fotos realizaas e ceias pelo Dr. Sanro Marcio Lima - UFMT (Fotos Ilustrativas sobre o Capítulo)

92 Capítulo 4 Lente Térmica Raial no Regime e θ grane 77 Capítulo 4 Lente Térmica Raial no Regime e θ grane No esenvolvimento os moelos e Lente Térmica Raial e feixe único e e ois feixes, estuaos anteriormente, foi feita uma aproximação para o elemento e fase, [exp (-i Φ LT ) - i Φ LT ], one Φ LT α θ, fazeno com que a intensiae encontraa fosse vália apenas para valores e θ << 0,. Neste capítulo vamos estuar esses moelos sem levar em conta essa aproximação, e one verificaremos que para valores e θ >> 0, as aberrações aparecem, levano a uma moificação a intensiae central, revelano assim, o surgimento e anéis. 4. AutoMoulação Transversal e Fase No capítulo anterior vimos que, o efeito e LT ocorre quano uma amostra, ao ser iluminaa por um feixe e laser Gaussiano no moo TEM 00, absorve essa raiação, gerano calor que se ifune raialmente e ocasiona uma variação no ínice e refração a amostra, que passa a ter características e lente, istorceno a frente e ona e moificano a ivergência o feixe e prova. A LT formaa, possui uma istância focal, F(t), que no caso estacionário (t = ) (Equação(3-)), epene a variação o ínice e refração em relação à temperatura, n/t. Assim, quano esse coeficiente for positivo, a lente terá foco positivo (lente convergente), implicano que a iferença e caminho óptico é maior na região central, em relação às boras, e assim, o feixe e laser ao passar pelo meio sofrerá o efeito e auto-focalização. Mas, quano n/t for negativo, a lente terá foco negativo (lente ivergente), logo, a iferença e caminho óptico será maior nas boras, e o feixe ao passar pelo meio sofrerá o efeito e auto-efocalização. Desta forma, se esta variação e fase for grane (θ >>), será a responsável pelo aparecimento e anéis e interferência no parão a luz transmitia. O efeito e auto-focalização e auto-efocalização térmica é observao na variação a ivergência e na istribuição e intensiae o feixe, mas apenas no campo istante, visto que o iâmetro o feixe não varia significativamente na saía o meio. E conforme ocorra uma elevação na potência e excitação, a aberração evia à LT começa a surgir e o número e anéis aumenta, conjuntamente. Mas a elevação essa

93 Capítulo 4 Lente Térmica Raial no Regime e θ grane 78 potência acarreta no aumento e θ (potência a LT) (Equação (3-0)), fazeno com que a aproximação [exp (- i Φ LT ) - i Φ LT ] (Equação(3-77)) utilizaa não seja mais vália. Para obtermos as informações o efeito e Automoulação e Fase no plano e observação, vamos utilizar a IDFK aa pela Equação (A8-3): k r r r π r r ) = A 3 Jo ( ) exp exp i exp( i Φ ) LT (r, t) r r λ 0 R p wp E(r (4-) one a variação e fase evia à LT, Φ LT, (Equação (A8-9)) é aa por: ( Ei( ρ m τ) Ei( ρ m) ln( τ) ) θ Φ LT (g,t) = (4-) Assim, o campo, sem aproximação, a ser estuao é (A8-0): kwpρ E( ρ) = A4 Jo( ρ) exp ρ ( i V) 0 e a intensiae obtia no etetor será: θ i ) E(r ) ( Ei( ρ m τ) Ei( ρ m) ln( τ) ) ρ ρ (4-3) I(r = (4-4) Um primeiro ponto a ser analisao é quanto ao limite e valiae a aproximação feita para o termo e fase evia à LT. Para isso vamos fazer o estuo a Intensiae, no estao estacionário (t ), e no centro o feixe (r = 0). A Figura 4. mostra o resultao a simulação feita a Intensiae normalizaa versus θ (potência a LT). Nela temos a comparação entre as curvas obtias para a intensiae calculaa com e sem a aproximação para o termo a fase. Essa simulação foi feita para o arranjo experimental e LT e feixe único (m=) e e ois feixes (m=46), consierano uas posições v = ±,73.

94 Capítulo 4 Lente Térmica Raial no Regime e θ grane 79 m = m = 46 (a) v =,73 (c) v =,73 (b) v = -,73 ) v = -,73 Figura 4. Simulação para o centro o feixe, a Intensiae normalizaa em função e θ, para o arranjo e feixe único (m=) e ois feixes (m=46), com v = ±,73. Analisano a curva para m = e v =,73 constatamos que o resultao com aproximação reprouz o resultao sem aproximação, com um erro menor que % se θ < 0,5. A iferença é menor que 0% para θ <,5. Analogamente, para os outros casos ilustraos na Figura 4., a Tabela mostra o intervalo e valiae a aproximação θ(%) e θ(0%). Observamos que quano se está no arranjo e feixe único e a amostra colocaa em v =,73, os valores e θ são maiores, tanto para a aproximação e % como para 0%, em relação aos valores obtios quano v = -,73. E, o mesmo ocorre para o arranjo e ois feixes. Tabela Análise os valores encontraos para θ na simulação para o arranjo e LT e feixe único e e ois feixes m= m=46 v =,73 v = -,73 v =,73 v = -,73 θ (<%) 0,50 0,30 0,70 0,0 θ (<0%),5 0,80,3 0,50

95 Capítulo 4 Lente Térmica Raial no Regime e θ grane 80 Tomano-se por base esses valores, foi feita uma outra simulação, para verificar o que ocorre com a Intensiae o sinal em relação à posição. Nessa simulação, que foi obtia através o campo ao pela Equação (4-3), tomano-se t. Obtivemos curvas anti-simétricas (Figura 4-), característica o efeito e LT e que emonstra a epenência o efeito com a posição a amostra. Verifica-se uma concorância com os aos obtios na comparação anterior, observano os valores e θ obtios na Tabela. m = m = 30 (a) θ = -0, () θ = -0, (b) θ = -,0 (e) θ = -,0 (c) θ = -,6 (f) θ = -,6 Figura 4- Simulação a Intensiae pela posição V = z/z c, comparano-se os valores obtios com e sem aproximação na expressão a Intensiae, para valores iferentes e θ, tomano-se por base os limites e valiae a aproximação (Tabela ), para arranjos experimentais e um feixe e e ois feixes. As curvas tracejaas representam a expressão com aproximação e a linha reta, sem aproximação.

96 Capítulo 4 Lente Térmica Raial no Regime e θ grane 8 Observamos nas curvas a Figura 4-, que a forma a curva começa a se iferenciar entre a obtia pela expressão com e sem aproximação conforme se aumenta θ, ou seja a potência o laser e excitação, gerano um eslocamento essa curva. A epenência temporal a formação a LT e feixe único e e ois feixes poe ser observaa na Figura 4-3, levano-se em consieração o limite e valiae visto na Tabela. Há uma concorância com os aos obtios nas comparações anteriores, observano os valores e θ a Tabela. m = m = 46 (a) θ = -0, () θ = -0, (b) θ = -,0 (e) θ = -,0 (c) θ = -,6 (f) θ = -,6 Figura 4-3 Depenência a Intensiae com o tempo para a LT e feixe único e e ois feixes, one v,73, one a curva tracejaa é obtia através a expressão com aproximação e a curva cheia com a expressão sem aproximação..

97 Capítulo 4 Lente Térmica Raial no Regime e θ grane Formação e Anéis Como visto anteriormente, quano não levamos em consieração a aproximação para o elemento e fase, a natureza aberrante a LT se revela. Com isso, na observação no campo istante há o surgimento e anéis. As aberrações que surgem na LT poem ser comparaas ao efeito a aberração esférica em uma lente fina. Essas aberrações são consieraas no termo e fase Φ LT (r), que seguno a Equação (A6-4), observamos que ele é proporcional à variação e Temperatura T(r), assim, fazeno-se a expansão: Φ LT (r) = a b (r/w) c (r/w) 4 (r/w) 6... (r/w) n (4-5) one, o termo e seguna orem, esta expansão, introuzirá apenas uma alteração na curvatura o feixe. Mas como no caso a aberração esférica (Tópico.3.4), as aberrações aparecem evio aos termos e orem superiores. No capítulo anterior, vimos que a aproximação a LT por uma lente fina, equivale a tomar apenas o termo em r na expansão feita na Equação (4-5), o que é muito eficiente. Ou seja, o moelo parabólico não consegue escrever muito bem a amplitue o sinal, bem como a resposta transiente a LT. Tomano-se o moelo aberrante, e utilizano-se a Equação (4-3) para o campo, one não se tem a expansão para o elemento e fase, no estuo a istribuição e intensiae transversal, pelo raio em iferentes t/t c, após o aquecimento ter se iniciao, é possível se observar o surgimento e anéis. Este fato poe ser observao na Figura 4-4(a), one se fez uma simulação para um experimento e LT e feixe único e na Figura 4-4(b), one se fez uma simulação para o experimento e ois feixes. Observamos que o tempo necessário para a formação esses anéis, para o experimento e feixe único, é muito menor que para o e ois feixes.

98 Capítulo 4 Lente Térmica Raial no Regime e θ grane 83 V =,73 v = -,73 I I I I 0 I I I I t/t c = 0, t/t c =, t/t c = 0,005 r w r w I I 0 I I 0 I I r w t/t c = 0, t/t c =, r w r w t/t c = r w t/t c = Figura 4.4(a) Simulação a Intensiae em função a posição para iferentes tempos, após o início o aquecimento a amostra, tomano-se v =,73, θ = 0, m = r w

99 Capítulo 4 Lente Térmica Raial no Regime e θ grane 84 V =,73 v = -, I I 0 I I r w r w I I 0 t/t c = r w I I t/t c = r w I I 0 t/t c = I I 0 t/t c = t/t c = r w t/t c = Figura 4.4(b) Simulação a Intensiae em função a posição para iferentes tempos, após o início o aquecimento a amostra, tomano-se v = ±,73, θ = 0, m = 46 r w 4. Móulo Experimental Alguns experimentos foram realizaos, com o intuito e se observar a formação os anéis. O arranjo experimental utilizao (Figura 4-5) foi o e LT e ois feixes contrapropagantes, no moo escasao.

100 Capítulo 4 Lente Térmica Raial no Regime e θ grane 85 Amostra L L w oe w op Z oe Z Z op Figura 4.5 Arranjo experimental utilizao para a LT utilizaa para se fazer as fotos os anéis Para esse arranjo, o feixe e excitação utilizao foi um laser e Argônio (λ e = 54,5nm) e para o feixe e prova um laser e HeNe ((λ p = 63,8nm), cujos parâmetros experimentais encontram-se na Tabela 3. Tabela 3. Parâmetros experimentais a LT utilizaa para obtenção os aos experimentais. z op (istância focal o feixe e prova) 0,50 cm z oe (istância focal o feixe e excitação) 5, cm w op (raio o feixe e prova na cintura) 00 µm w oe (raio o feixe e excitação na cintura) 34,35 µm m = (w p / w e ) 46 z,8 cm V = z/z cp,7 Para a verificação a formação os anéis, iversas potências foram utilizaas em ois materiais, Silicato com Ferro (Soa-Lime) cujo valor o sinal normalizao pela potência é e θ / P = 8 W -, e zblan (0,5% Co) one θ / P =,3 W -. A curva a amplitue o sinal e LT pela potência (Figura 4-6), nos fornece a região e lineariae existente entre o sinal e a potência aplicaa. Para o Silicato com Ferro, observamos que o sinal se mantém linear até uma potência e 300mW, o que concora com a Figura (4-(c)), one se observa que para esse sinal e ~ 0,7 correspone naquela figura a um θ ~ 0,8 que está no limite e valiae para uma boa concorância entre as expressões com e sem a aproximação na fase.

101 Capítulo 4 Lente Térmica Raial no Regime e θ grane 86.0 Soa-Lime (I -Io) / Io 0.4 Sinal (ua) 0.6 ZBLAN (Co) P (mw) (a) P (mw) (b) Figura 4.6 Amplitue o sinal e LT (em móulo) pela Potência, para os materiais Soa-Lime e Zblan(Co) A Figura 4-7 nos mostra a epenência temporal a Intensiae para os ois materiais utilizaos, one na parte (a) temos um material (soa-lime) e s/t > 0, que foi analisao na configuração a Figura (4-6), com V =,3 e na parte (b) um material (zblan) e s/t < 0, na mesma configuração.,8.0,6 0.8 zblan P = 600mW I / I 0,4 Soa-Lime P = 650 mw I / I , 0., t (ms) (a) (b) t (ms) Figura 4.7 Depenência a Intensiae com o tempo para a Soa-Lime e zblan. Os parões e formação e anéis poem ser vistos nas Figuras 4.9 e 4.0 one se observa a formação e uma lente Divergente e Convergente, respectivamente. Esses parões foram obtios através e um filme com o arranjo experimental mostrao na Figura 4.5. Esse filme foi trabalhao seguno o programa Virtual Dub, one obtivemos as fotos quaro a quaro. Esses parões mostram concorância com os obtios na simulação, como poem ser vistos na Figura 4.8.

102 Capítulo 4 Lente Térmica Raial no Regime e θ grane 87 (a) (b) Figura 4.8 Intensiae versus y o Parão e Anéis, one v =,7, θ= -4,8 e m=46. Para a parte (a) t/t c e para (b) t/t c 77. A curva em preto é o parão obtio na foto e a em vermelho o parão obtio pela simulação fs Intensiae istância(u.a.) 60 fs Intensiae istância(u.a.) 00 fs003 Intensiae istância(u.a.)

103 Capítulo 4 Lente Térmica Raial no Regime e θ grane fs007 Intensiae istância(u.a.) 00 fs Intensiae(u.a.) istância(u.a.) fs Intensiae(u.a istância(u.a.) 00 fs Intensiae(u.a.) istância(u.a.) Figura 4.9 Fotos o Parão e Anéis cujo filme foi realizao com câmara igital Sony Digital Still Camera DSC-F707, e o gráfico a Intensiae pela istância, na formação e uma lente Divergente para iferentes tempos.

104 Capítulo 4 Lente Térmica Raial no Regime e θ grane f004 Intensiae(u.a.) istância(u.a.) f005 Intensiae(u.a.) istância(u.a.) f006 ( ) istância(u.a.) f istância(u.a.)

105 Capítulo 4 Lente Térmica Raial no Regime e θ grane f istância(u.a.) f04 Intensiae(u.a.) istância(u.a.) 50 f05 00 ( ) istância(u.a.) Figura 4.0 Fotos o Parão e Anéis cujo filme foi realizao com câmara igital Sony Digital Still Camera DSC-F707, e o gráfico a Intensiae pela istância, na formação e uma lente Convergente para iferentes tempos.