A Matemática do Espaço-tempo Curvo

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1 Capítulo 2 A Matemática do Espaço-tempo Curvo 2.1 Introdução às variedades diferenciáveis É difícil imaginar um problema físico que não esteja, de algum modo, ligado a um espaço contínuo. São exemplos o espaço físico 3-D, o espaço de configuração e o espaço das fases da Mecânica Analítica, o espaço de todos os estados de equilíbrio termodinâmico de um sistema físico, os espaços de Hilbert da mecânica quântica, etc. Estes espaços têm diferentes propriedades geométricas, mas todos têm qualquer coisa em comum, qualquer coisa que tem a ver com o facto de todos serem espaços contínuos e não, por exemplo, espaços tipo esponja (espaços com buracos) ou espaços tipo rede cristalina ou qualquer outro conjunto de pontos discretos. A importância da geometria diferencial para a física teórica moderna reside na possibilidade de realizar o estudo das propriedades comuns a todos esses espaços. Isso poderá permitir encontrar estruturas básicas semelhantes em áreas muito distintas da física. De todas as propriedades dos espaços contínuos, as mais básicas são as que conduzem à definição de variedade (diferenciável), que é a designação matemática precisa que substitui a palavra espaço. Em relatividade não há nada tão vital como a realidade física de um acontecimento ou ponto do espaço-tempo. Trata-se de um conceito completamente independente do sistema de coordenadas escolhido para o descrever. O conceito de variedade atende a esta separação essencial. Como primeira tentativa de introduzir o conceito de variedade diremos que um conjunto (de pontos abstractos) M é uma variedade se na vizinhança de cada ponto de M se define uma aplicação 1 1, contínua, que admite uma inversa também contínua, sobre uma vizinhança 115

2 do espaço euclideano R n, ϕ : U M V R n, e diz-se que ϕ é um homeomorfismo, isto é, uma aplicação bijectiva e bi-contínua. A Variedade Espaço-Tempo Em relatividade, o espaço-tempo, constituído pelo conjunto de todos os acontecimentos físicos, forma a variedade base. Um ponto da variedade espaço-tempo é pois um acontecimento físico. Um exemplo de acontecimento físico é a colisão de dois veículos. Todos os observadores têm de estar de acordo sobre este facto. Daqui se percebe porque é que um ponto do espaço-tempo deverá ser independente de qualquer sistema de coordenadas. O acontecimento colisão entre dois veículos é uma coincidência no espaço e no tempo para todos os observadores. Se um observador quiser tirar uma fotografia ao acontecimento, não interessa a velocidade com que viaja relativamente aos veículos que colidem, ou a distância focal da objectiva da câmara (que determina a ampliação da imagem), estes acontecimentos só produzem efeitos coordenados e não afectam a natureza do acontecimento. Este é o exemplo mais simples de um objecto geométrico, ou seja uma entidade que existe independentemente dos sistemas de coordenadas e referenciais. Todas as quantidades físicas são representáveis por diferentes objectos geométricos, os quais dão origem a novas variedades em cada ponto da variedade espaço-tempo. Quase todos estes objectos são imediatamente generalizados quando se passa do espaço-tempo plano para o espaço-tempo curvo da relatividade geral. Para dar exemplo de outros objectos geométricos, além dos acontecimentos físicos, consideremos um segmento orientado entre dois pontos vizinhos. Obtemos assim um vector do espaço-tempo plano. A sua generalização, o vector tangente, é um objecto geométrico mesmo no espaço-tempo curvo. A métrica, que é uma aplicação bi-linear que a cada vector faz corresponder o quadrado do seu comprimento, é outro exemplo de um objecto geométrico. Existem muitos outros exemplos, que serão introduzidos em devido tempo, de modo a permitir-nos tratar geometricamente as leis físicas que nos interessam. Definição de Variedade. Exemplos Da definição anterior de M como variedade ressalta que M é um conjunto que se assemelha, localmente, a R n. Historicamente, a ideia de variedade surge como uma generalização dos espaços de configuração da mecânica analítica e das superfícies da geometria elementar. A possibilidade de introduzir coordenadas generalizadas num 116

3 espaço de configuração ou de parametrizar uma superfície, pode ser entendida como uma consequência da hipótese da variedade poder ser coberta por sub-conjuntos homeomórficos a conjuntos abertos em R n. É importante que a definição envolva unicamente conjuntos abertos e não a totalidade de M e de R n, pois não estamos interessados em restringir a topologia global de M. Admitamos que a topologia local de M seja a mesma (i.e., induzida por ϕ 1 ) que a topologia de R n. Nota: A topologia local permite precisar o conceito de continuidade; e a topologia global caracteriza o espaço à larga escala permitindo, por exemplo, distinguir uma esfera dum cilindro. Na Relatividade Geral (RG) o espaço-tempo M é a variedade (base), solução das equações de Einstein; cada ponto p M é um acontecimento físico, o qual deve ser independente do sistema de coordenadas. Sobre a variedade base constroem-se outros espaços onde vivem os diferentes objectos geométricos que representam as grandezas físicas (curvas, funções, campos vectoriais, métrica, formas diferenciais, etc.). (A identificação de um acontecimento com um ponto matemático é devida a Newton). A definição de variedade é dada de forma independente da escolha de coordenadas particulares e da possibilidade da variedade ser um sub-conjunto de um espaço espaço euclideano de dimensão superior. Para poder formulá-la rigorosa e eficientemente necessitamos de algumas noções matemáticas que serão introduzidas a seguir. Chamamos espaço topológico ao par (M, τ), onde M é um conjunto e τ é uma colecção de sub-conjuntos abertos de M com as seguintes propriedades: 1. M τ e o conjunto ϕ τ. 2. A união de qualquer número de subconjuntos de τ também pertence a τ. 3. A intersecção de qualquer número de subconjuntos de τ também pertence a τ. A colecção de subconjuntos τ é uma topologia para M e os membros de τ são conhecidos por conjuntos abertos de M. Em resumo: um Espaço Topológico é um par (M, τ) onde M é um conjunto de pontos (vectores, matrizes, formas diferenciais, etc.) e τ é uma colecção de subconjuntos de M tais que: 1. ϕ, M τ 2. α I V α τ 117

4 3. α I V α τ Posto isto, podemos dar a definição precisa de variedade. Diz-se que um conjunto de pontos M é uma variedade se: 1. M é um espaço topológico (de Hausdorff). 2. Em torno de cada ponto p de M existe pelo menos uma vizinhança V (p) (conjunto aberto) onde é possível definir um sistema de coordenadas (um homeomorfismo local entre pontos de V e os pontos de um espaço euclideano R n ). Uma vizinhança de p M, V (p), é um conjunto aberto que contém p. M diz-se um espaço de Hausdorff se pontos diferentes possuem sempre vizinhanças disjuntas. Um conjunto aberto juntamente com um sistema de coordenadas forma uma carta ou vizinhança coordenada. O número de cartas necessárias para cobrir a variedade M pode ser maior que um. Um sub-colecção B de τ é designada uma base de τ se todo o conjunto aberto de M é uma união de membros de B. Sejam (M, τ) e (N, σ) dois espaços topológicos e f : M N uma aplicação. Então f é contínua em p M se para toda a vizinhança V de f(p) existe uma vizinhança U de p tal que f(u) V. Uma aplicação diz-se contínua se é contínua em todos os pontos. Se f é injectiva (1 1) e sobrejectiva, ou seja bijectiva, e se f e f 1 são ambas contínuas, diz-se que f é um homeomorfismo e (M, τ) e (N, σ) dizem-se homeomórficos. Escreve-se muitas vezes M em vez de (M, τ) quando a topologia está subentendida. Se N é um subconjunto de M a topologia induzida de N é a colecção de subconjuntos U N, onde U é um (sub)conjunto aberto de M. Se (M, τ) e (N, σ) são espaços topológicos e M N é o produto cartesiano, a topologia produto é a topologia cuja base é dada por B = U V : U τev σ. Seja o conjunto dos números reais. A topologia usual sobre R tem os intervalos abertos como base. A topologia usual sobre R n é a topologia produto sobre R R R (n factores). 118

5 Variedade Diferenciável Seja M um espaço de Hausdorff com uma base contável. M diz-se uma variedade topológica (ou simplesmente, uma variedade) se todo o ponto p M tem uma vizinhança V homeomórfica a (um subconjunto aberto de) R n. Isto basta para assegurar que M se assemelha localmente a R n. Mas por si só não acarreta nenhuma noção de regularidade, isto é, de diferenciabilidade das funções. Isto pode obter-se do seguinte modo. Definimos primeiro uma carta sobre M, i.e., um par (U, ϕ), onde 1. U é um subconjunto aberto de M, 2. ϕ : U R n é um homeomorfismo de conjuntos abertos. A aplicação ϕ pode ser usada para estabelecer um sistema de coordenadas sobre U duma maneira óbvia: Sejam x k (k = 1, 2,, n) n funções coordenadas sobre R n se a = (a 1,..., a n ) R n então x k (a) = a k. Então a coordenada de ordem k de p U é X k (p) := x k ϕ(p). Notas 1. Em geral não é suficiente uma única carta. Se são dadas duas cartas sobre um conjunto M, deve haver intersecção dos seus domínios. é aqui que entra a questão da regularidade (ou diferenciabilidade): as propriedades de regularidade das variedades vão ser deduzidas a partir das propriedades de regularidade das funções que definem mudanças de coordenadas nas regiões de intersecção dos domínios das cartas. 2. A ideia a ser desenvolvida aqui baseia-se no facto de sabermos lidar com funções em R n, e de podermos usar este conhecimento, com a ajuda de cartas, para lidar com funções definidas sobre a variedade M. Suponhamos agora que (U 1, ϕ 1 ) e (U 2, ϕ 2 ) são duas cartas n-dimensionais sobre M, cujos domínios se sobrepõem. Na região de intersecção U 1 U 2 podem definir-se duas aplicações de M em R n. Como as aplicações ϕ i são 1 1, podem ser invertidas, logo podem ser dadas as seguintes aplicações de R n em R n χ = ϕ 2 ϕ 1 1 χ 1 = ϕ 1 ϕ 1 2 As cartas (U 1, ϕ 1 ) e (U 2, ϕ 2 ) dizem-se C k relacionadas se χ é uma aplicação C k em todos os pontos onde está definida. 119

6 Figura 2.1: Introdução de coordenadas x a π a φ num ponto p da variedade M. Para a maioria das aplicações não será uma restrição significativa supôr que todas as funções são C, isto é, infinitamente diferenciáveis. Usaremos o termo regular como sinónimo de C k ; só consideraremos cartas regularmente relacionadas. A chave para o passo seguinte baseia-se no facto de uma função regular duma outra função regular ser ainda uma função regular. Portanto, faz sentido considerar todas as cartas que estão regularmente relacionadas assim se traduz matemáticamente a vaga exigência física: todos os sistemas de coordenadas são igualmente bons (Princípio da Covariância Geral). Um atlas para M é uma colecção de cartas regularmente relacionadas que cobrem M. Um atlas diz-se completo se não é uma subcolecção própria de qualquer outro atlas. (Isto significa que não existe nehuma carta, compatível (=regularmente relacionada) com todas as outras cartas do atlas, que não pertença ao atlas). Qualquer atlas pode ser completado pela adição de todas as cartas compatíveis com as nele contidas. Um conjunto M juntamente com um atlas completo de cartas n-dimensionais designa-se por variedade diferenciável n-dimensional. Um atlas completo é também designado uma estrutura diferenciável para M. Podia-se pensar que a estrutura diferenciável é única, mas existem exemplos que mostram que isso não é assim. Os livros clássicos discutem várias espécies de patologias que podem surgir. Mas aqui o nosso interesse foca-se naquilo que funciona e não naquilo que não funciona. 120

7 Exemplos de Variedades Diferenciáveis: M = qualquer subconjunto aberto de R n, com um atlas constituido por uma única carta U = M, ϕ = id U (a aplicação idêntica sobre R n, restrita a U). Este é um exemplo trivial, no entanto, suficiente para introduzir todo o cálculo tensorial, com excepção das operações que envolvam integração. O próprio R n é um exemplo de variedade. Logo (para n=1) a recta real é uma variedade [Sternberg, p. 36]. A n-esfera S n = {(x 1,..., x n ) R n : a=1 (x a ) 2 = 1}. São necessárias pelo menos duas cartas para cobrir a variedade (digamos para S 2, projecções estereográficas a partir dos dois polos). [Sternberg p. 36] O grupo geral linear GL(n, R) é o conjunto das matrizes n n não singulares. Pode ser visto como um subconjunto aberto de R n2. Como veremos mais adiante, este é um exemplo de um grupo de Lie e como tal é também uma variedade diferenciável. 2.2 Objectos Geométricos A diferenciabilidade duma variedade dota-a de uma estrutura suficientemente rica para podermos definir um grande número de objectos geométricos como sejam: curvas, funções, vectores tangentes, covectores, tensores, etc. Funções definidas numa variedade Tal como vimos no estudo do espaço-tempo de Minkowski, uma função definida numa variedade M é a aplicação f : M R. A função é diferenciável em M se f ϕ 1 é diferenciável em R n, onde ϕ é um homomeomorfismo de M em R n. Como ϕ associa a cada ponto p M um ponto de R n, ficam implicitamente definidas n aplicações (projecções coordenadas) em R n, π a : R n R, com as quais podemos construir n aplicações compostas x a π a ϕ : M n R

8 Trata-se de n funções diferenciáveis definidas num aberto U M. Os números reais x 1 (p),..., x n (p) são as coordenadas de p com respeito a ϕ. Admitimos em geral que as coordenadas x a são funções C. Evitaremos muitas vezes referirmonos directamente à aplicação ϕ de M em R n. Assumimos que é sempre possível definir coordenadas {x a } num aberto U M, e que qualquer conjunto de funções suficientemente diferenciáveis y a = y a (x b ), definidas num aberto V M : V, e que seja localmente invertível (J 0, o Jacobiano da transformação é diferente de zero em todos os pontos onde U V 0) constitui um novo sistema de coordenadas {y a, a = 1,..., n}. Vector tangente a uma curva A definição de vector em relatividade geral inspira-se no conceito de velocidade, o vector tangente à trajectória da partícula. Assim, define-se o vector tangente Y à curva Γ(λ) como o operador de derivação ao longo daquela curva. Quando nos referimos a uma curva pensamos sempre numa curva diferenciável, isto é, uma aplicação contínua Γ(λ) que aplica um intervalo (a, b) da recta real no espaçotempo M (de modo que para cada valor do parâmetro λ (a, b), Γ(λ) é um ponto de M) e que é tal que as funções x 0 (Γ(λ)),..., x 3 (Γ(λ)), isto é, x a (Γ(λ)), com a = 0, 1, 2, 3, são funções diferenciáveis de λ para qualquer sistema de coordenadas onde o λ é o parâmetro da curva. Γ : (a, b) R 1 U M λ 0 Γ(λ 0 ) = p Na nossa definição de curva diferenciável, a cada ponto imagem corresponde um único valor do parâmetro λ. Assim, duas curvas são consideradas diferentes mesmo que tenham a mesma imagem em M, se são parametrizadas por parâmetros diferentes, ou seja, se associamos um valor diferente do parâmetro ao mesmo ponto imagem. Seja f(x a ) uma função suficientemente diferenciável em M. Em cada ponto da curva Γ(λ), cuja representação coordenada escrevemos simplesmente x a = x a (λ), a função f tem um valor. Assim, ao longo da curva existe uma função g(λ) de R 1 em R 1 definida por g(λ) = f (x a (λ)) = f Γ(λ) A variação ao longo da curva Γ(λ) é dada por dg dλ = a dx a dλ f x a, qualquer que seja a função g e, portanto, qualquer que seja f. 122

9 Figura 2.2: Curva diferenciável Γ(λ) passando pelo ponto p = Γ(λ 0 ) da variedade M. Definição 1 O vector tangente a uma curva diferenciável Γ(λ) no ponto Γ(λ 0 ) da curva é dado por ou mais simplesmente, ( ) d dλ Γ(λ) = Γ(λ 1 0 ) = lim h 0 λ 0 h [Γ(λ 0 + h) Γ(λ 0 )], ( ) d = dλ λ 0 a ( ) dx a dλ λ 0 x a, (2.1) onde { dxa dλ } são as componentes do vector tangente à curva xa (λ) no ponto p = x a (λ 0 ). Como cada curva tem um único parâmetro, a cada curva que passa por p corresponde um único conjunto { dxa } dλ p que designamos pelas componentes do vector tangente à curva no ponto p. Duas curvas Γ 1 (λ) e Γ 2 (λ) : Γ 1 (λ 0 ) = Γ 2 (λ 0 ) = p de M dizem-se equivalentes se satisfazem d dλ (f Γ 1) λ0 = d dλ (f Γ 2) λ0, com uma função f arbitrária. A classe de equivalência das curvas que satisfazem a equação anterior define o vector tangente no ponto p que podemos representar 123

10 por Γ p (λ) = ( ) d = U p, dλ p sendo Γ p (λ) o elemento representativo da classe de equivalência. Isto é, tal como acontece num espaço plano, onde cada classe de equivalência de pares de pontos define um vector, também numa variedade curva existe uma classe de equivalência de curvas diferenciáveis que passam em p associada a cada vector tangente. Se a curva característica dessa classe é parametrizada pelo parâmetro λ então o vector tangente pode identificar-se com o operador de derivação U p = ( ) d = dλ λ 0 a ( ) dx a dλ λ 0 x a, (2.2) O conjunto de todos os vectores tangentes num ponto p de M gera um espaço vectorial que se representa por T p (M), uma vez definidas as operações de adição e multiplicação por um escalar das respectivas componentes. Assim, se X e Y são vectores de T p (M), difinimos o vector X +Y como sendo aquele cujas componentes são dadas por X a +Y a. De modo semelhante se definiria o vector ax, onde a R 1. Note-se que, embora tenhamos recorrido às componentes para definir vectores e adição de vectores, estas definições não dependem de um sistema de coordenadas particular, e são portanto independentes das coordenadas. A Eq. (2.2) apresenta o vector tangente U p como uma combinação linear dos vectores base: e (a) = / x a, e com componentes dadas por U a = ( ) dx a dλ λ 0. Habitualmente representam-se os vectores e (a) simplesmente por e a, mas o índice a aqui não deve entender-se como representando uma componente mas sim como um rótulo para distinguir os 4 vectores tangentes às 4 linhas coordenadas. Se fizermos uma transformação geral de coordenadas, a curva Γ(λ) passa a ter outra representação coordenada: x a = x a (λ), e o vector tangente à curva Γ em p pode então apresentar duas diferentes combinações lineares, a saber U p = ( ) dx a dλ λ 0 x a = ( ) dx a dλ λ 0 x a, isto é, cada sistema de coordenadas permite definir uma base diferente e o vector tangent U p tem diferentes componentes em cada base, mas que se relacionam pela transformação dx a dλ = xa dx b x b dλ. (2.3) 124

11 Por sua vez as bases também estão relacionadas entre si, mas através da transformação inversa x = xc. (2.4) a x a x c Campos Vectoriais sobre uma Variedade Seja f uma função diferenciável de M, isto é, um elemento de F(M), o anel de funções diferenciáveis da variedade, e suponhamos que f está definida numa vizinhança do ponto p, V p. Então qualquer vector tangente em p, U p T p (M) é uma aplicação linear de F(M) em R 1, U p : F(M) R 1 f U p (f) = ( ) d dλ f. p Note que esta é uma outra maneira, equivalente à anterior, de definir um vector tangente. Se em lugar de um vector tangente em p tivéssemos um campo vectorial, U era evidente que U : F(M) F(M), a acção de um campo vectorial sobre uma função produz outra função (diferenciável): U(f) = U a a f. O conceito de campo vectorial está implicitamente ligado ao conceito de diferenciabilidade: um campo vectorial é um operador diferencial. Podemos assim usar este facto para definir um campo vectorial de um modo independente das coordenadas: é um operador V que transforma funções diferenciáveis sobre M em funções diferenciáveis sobre M. Exige-se de V que satisfaça as seguintes propriedades: (i) linearidade: V [f + g] = V (f) + V (g). (ii) regra de Leibnitz: V (fg) = gv (f) + fv (g). As bases coordenadas e a = / x a são campos vectoriais tangentes às linhas coordenadas. E portanto, quando escrevemos V = V a x, a as funções V a são as componentes do campo vectorial tangente V. Nem todas as bases são coordenadas. Qualquer conjunto de n campos vectoriais linearmente independentes, e 1,..., e n definidos num conjunto aberto de M, podem 125

12 ser usados como uma base, e 1 = E E E n 1 n. e n = E 1 n 1 + E 2 n E n n n O conjunto {e a } é uma base se a matriz das suas componentes E m n (p) tem um determinante diferente de zero em todos os pontos do conjunto aberto. Exemplo 1 Base não coordenada em R 3 : Utilizemos em R 3 um sistema de coordenadas esféricas e a correspondente base coordenada: { r, θ, ϕ }. O vector velocidade de uma partícula escreve-se nesta base como cujas componentes são respectivamente, V = V r r + V θ θ + V ϕ ϕ, V r = dr dt, V θ = dθ dt, V ϕ = dϕ dt. Porém estas não são as componentes físicas da velocidade, mas sim as seguintes V r = dr dt, V θ = r dθ dt, V ϕ = r sin θ dϕ dt, as quais podem ser entendidas como resultantes da decomposição de V numa base não coordenada através de V = V r e r + V θ e θ + V ϕ e ϕ, onde e r = r, e θ = 1 r θ, e ϕ = 1 r sin θ ϕ. Já vimos na RR que os vectores de T p (M) são geralmente chamados vectores contravariantes para os distinguir dos seus duais que foram designados covectores ou 1-formas. Tal como na RR, um covector é uma aplicação linear de T p (M) em R; o conjunto dos covectores forma um espaço vectorial, T p (M), que é dual de T p (M) e se designa por espaço co-tangente. Se α T p (M), então α : T p (M) R Y α(y ) =< α, Y >, Y T p (M). 126

13 Isto é, se α é um covector então α(y ) =< α, Y >, é um número real para todo o Y T p (M) e α (ax + by ) = a < α, X > +b < α, Y >, é também um número real para todos os X, Y T p (M) e a, b R. O espaço dual T p (M), constituido por todos os covectores, é um espaço vectorial de dimensão igual à dimensão de T p (M). Assim, dim ( T p (M) ) = dim (T p (M)) = dim(m). Sendo um espaço vectorial, devem estar definidas em T p (M) duas leis de composição, a adição entre covectores e a multiplicação por um real [i] < w 1 + w 2, X > < w 1, X > + < w 2, X > [ii] < aw, X > a < w, X > Podemos dar uma definição semelhante à que demos anteriormente para vector tangente. Tal como o conceito de vector tangente no ponto p está associado à classe de equivalência de curvas que passam por p, também podemos falar de uma classe de equivalência de funções e associá-la ao conceito de 1-forma ou covector. A relação de equivalência é definida do seguinte modo. As funções f 1 e f 2 são equivalentes se d dλ (f 1 Γ) λ0 = d dλ (f 2 Γ) λ0, para todas as curvas Γ(λ) que passam em p = Γ(λ 0 ). Num dado sistema de coordenadas, a relação anterior implica que as derivadas parciais das duas funções sejam iguais, ( ) ( ) f1 f2 =. x a x a Designemos por (df) p a classe de equivalência a que pertence f, tal que (df) p T p (M). Ao definirmos df como um covector estamos implicitamente a afirmar a existência da aplicação linear, o que equivale a definir df : T p (M) R, df(y p ) =< df, Y p >, ou seja, a imagem de Y p por intermédio da aplicação linear df (o valor df sobre Y p ) é igual à contracção de df com Y p, para todo o vector tangente Y T p (M). 127

14 Trata-se de um número real igual à derivada dirigida da função f segundo o vector Y p. Se quisermos obter as componentes de df numa base cujo sistema de coordenadas são {x a }, calculamos f < df, >= xa x, a e escremos df na base dual {dx a } df = f x a dxa. Note que as componentes de {dx a } também são dadas de modo semelhante, (dx a ) b =< dx a, b >= xa x b = δa b. Voltando à noção de campo vectorial, vimos que é uma regra que associa um vector tangente em cada ponto de M. Cada ponto tem o seu espaço vectorial tangente, portanto um campo vectorial selecciona um vector de cada espaço. Ora, cada curva tem um vector tangente em cada ponto. A questão que se coloca agora é saber se a inversa também é verdadeira: dado um campo vectorial arbitrário, será possível começar num ponto p e encontrar uma curva cujo vector tangente é o campo vectorial em causa, qualquer que seja o ponto por onde passa a curva? A resposta é afirmativa para campos vectoriais de classe C 1 e tais curvas designam-se curvas integrais do campo vectorial. Se as componentes de V, num dado sistema de coordenadas {x a }, são V a (x c (p)), funções do ponto p, então V é um vector tangente à curva Γ(λ) se V a (x c ) = dxa dλ. Trata-se de um conjunto de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem para x a (λ) e existe sempre uma solução única numa dada vizinhança do ponto inicial p. 1 Os caminhos das diferentes curvas integrais correspondentes a um dado campo vectorial nunca se cruzam, com uma possível excepção no ponto onde V a = 0 para todos o a, devido à unicidade das soluções. Vimos também na RR que para um campo tensorial T de valência (r, s) se podia definir uma derivada dirigida segundo um vector U como sendo ainda um tensor de tipo (r, s). c...d ( U T ) a...b = U e e Ta...b c...d 1 Para uma prova do teorema da existência e unicidade de solução deste sistema de equações consulte Choquet-Bruhat el al, Analysis, Manifolds and Physics. 128

15 Aplicando esta definição ao caso particular de um campo vectorial Y temos ( U Y ) b = U a Y b x a = U a a Y b. Se Y é um campo vectorial, então U Y também deverá ser um campo vectorial. Porém, num novo sistema de coordenadas {x a } temos ( ) ( ) d Y c x c x U = x c x U a m x d a x c x m x Y b b ( x = U a δa m d Y b ) x b x + 2 x d m x b x Y b m ( = U m Y b ) x d x m x + 2 x d b x b x Y b U m. (2.5) m O segundo termo do segundo membro da última equação, envolvendo a segunda derivada, mostra que U a a Y b não se transforma, numa transformação geral de coordenadas, como as componentes de um vector. Daqui podemos concluir que ( U Y ) b = U a a Y b não define as componentes de um vector em geral, embora se transforme realmente como um vector numa transformação linear como é o caso da transformação de Lorentz. Ou seja, embora esta expressão defina as componentes de um vector em RR, não define nenhum objecto geométrico bem em RG. Para encontrar uma expressão apropriada somos obrigados a generalizar o conceito de derivada dirigida. Vamos construir uma derivada que permite um comportamento covariante dos dois membros de uma equação contendo derivadas dirigidas. Para isso, vamos enunciar um conjunto de regras abstractas, capazes de caracterizar qualquer operador de derivação. Veremos depois mais adiante como calculá-lo. 2.3 Conexões A definição da derivada covariante, ou conexão, numa variedade diferenciável corresponde à introdução de uma estrutura adicional, i.e., a variedade adquire uma estrutura mais rica que lhe confere enormes potencialidades do ponto de vista das aplicações físicas. As conexões estão adquirir grande popularidade em física teórica, particularmente nas teorias de gauge das partículas elementares. Mas só discutiremos as conexões afins ou lineares, que são as conexões apropriadas às variedades Riemannianas. Começamos por assumir que a quantidade U Y tem a mesma natureza tensorial de Y e é linear em U. Isto é, se por um dado acontecimento passam as linhas do 129

16 Universo de três observadores com vectores tangente U, V e au + bv, onde a e b são números reais, então bem como linear em Y, tal como acontecia em RR, au+bv Y = a U Y + b V Y, (2.6) U (ay + bz) = a U Y + b U Z, (2.7) e como U é um operador de derivação deve também satisfazer a regra de Leibnitz U (fy ) = ( U f)y + f U Y = < df, U > +f U Y (2.8) Ao operador que acabámos de definir chamamos derivada covariante, mas ainda não sabemos como calculá-lo. Sabemos simplesmente que deve verificar as propriedades traduzidas nas Eqs. ( ). Veremos que estrutura adicional que agora foi introduzida na variedade espaço-tempo, i.e., a derivada covariante, vai ser de grande utilidade em Relatividade Geral, pois vai permitir definir as curvas ou linhas do Universo dos observadores ou partículas em queda livre. Para calcular U Y num sistema de coordenadas arbitrário, teremos que definir como variam os vectores de uma base coordenada {e a }. Se admitirmos que os vectores derivados continuam a exprimir-se como uma combinação linear dos {e a } temos então eb (e a ) = Γ c abe c, (2.9) e aos coeficientes das combinações lineares, Γ c ab, chamamos conexões. Veremos mais adiante, que numa variedade Riemanniana ou pseudo-riemanniana, como são os espaços-tempo da RG, as conexões são integralmente definidas em termos de primeiras derivadas das componentes do tensor métrico g ab. Neste caso, estas conexões adquirem a designação de símbolos de Christoffel de segunda espécie. Podemos agora calcular as componentes de U Y com Y = Y a e a, sendo Y um campo vectorial e e a = a uma base coordenada U Y = U b b (Y a e a ) = U b [ b Y c + Y a Γ c ab]e c, onde a ea e b Y c = b Y c porque as componentes Y a são funções, e a derivada covariante actua sobre funções exactamente como o operador de derivação partial a / x a. Podemos escrever finalmente, U Y = U b [ b Y c + Y a Γ c ab]e c (2.10) ou mais simplesmente, U Y = U b [Y c ;b]e c 130

17 com Y c ; b = Y c x b + Y a Γ c ab. Os coeficientes de conexão Γ c ab que determinam a operação de diferenciação covariante não devem ser confundidos com as componentes de um tensor. Na verdade, numa transformação geral de coordenadas os Γ c ab transformam-se de uma forma não homogénea, aparecendo um segundo termo na lei de transformação que envolve derivadas de segunda ordem das coordenadas e que compensa o termo extra que aparece em (2.5). Nem U b b Y a nem U b Y a Γ c ab se comportam isoladamente como as componentes de um vector, numa transformação geral de coordenadas. Portanto, as componentes do campo vectorial U Y são U b Y a ; b e as derivadas covariantes Y a ; b formam as componentes de um tensor de tipo (1, 1). Para representar este tensor cujas componentes são as derivadas covariantes das componentes do campo vectorial Y podemos escrever Y. E podemos escrevê-lo numa base coordenada como Y = Y a ; bdx b a, (2.11) onde as componentes Y a ; b são dadas pela expressão anterior. Nota sobre convenções e notações: Não devemos confundir b Y c e ( b Y ) c. A primeira expressão representa a derivada covariante das funções Y c, componentes do campo vectorial Y, e a segunda representa as componentes do campo vectorial derivada covariante de Y. Em alguns livros de texto não se faz esta distinção, porque se usa a notação: a Y b Y b ;a. Porém, neste curso não confundimos as duas notações, pois de acordo com as nossas definições a derivada covariante de uma função é diferente da derivada covariante de um campo vectorial. Assim, b Y c = b Y c, e ( b Y ) c = b Y c + Y a Γ c ab. É costume, mesmo quando e a não é um vector de uma base coordenada, usar a notação a f = e a (f) := f,a, para qualquer função. Se e a = a então a vírgula representa efectivamente uma derivação parcial. Podemos então escrever ( Y ) a b = Y a,b + Y c Γ a cb = Y a ;b. 131

18 Exemplo 2 Considere o caso do espaço euclideano 2-dimensional R 2 em coordenadas polares ds 2 = dx 2 + dy 2 = dr 2 + r 2 dφ 2, (2.12) sendo a transformação de coordenadas e sua inversa dadas por { x = r cos φ y = r sin φ { φ = tan 1 (y/x) r = x 2 + y 2 A correspondente transformação das bases / x a e / y b, onde os x a representam as coordenadas cartesianas e os y b representam as coordenadas curvilíneas, é obtida a partir da matriz Jacobiana e sua inversa, y = xa b y b x, a dyb = yb x a dxa nomeadamente onde e x a = x a e r = x r e x + y r e y = cos φ e x + sin φ e y e φ = x φ e x + y φ e y = r sin φ e x + r cos φ e y e e y b = y b. E igualmente se obtém dr = cos φ dx + sin φ dy (2.13) dφ = 1 r sin φ dx + 1 cos φ dy r sendo a matriz Jacobiana e sua inversa, respectivamente ( ) ( ) x a cos φ r sin φ =, y b sin φ r cos φ ( ) y b cos φ = x a 1 r sin φ sin φ 1 r cos φ. Com estes dados é fácil inverter o sistema de equações (2.13) e obter e x = cos φ e r 1 r sin φ e φ e y = sin φ e r + 1 r e φ. Antes de prosseguir, aproveitemos para salientar que o tensor métrico se escreve numa base coordenada (natural) de tensores covariantes de segunda ordem e numa base qualquer g = g αβ dx α dx β = g ab ω a ω b as quais tomam a forma seguinte no caso particular de R 2 em coordenadas cartesianas e coordenados polares g = dx dx + dy dy = dr dr + r 2 dφ dφ = ω 1 ω 1 + ω 2 ω 2, 132

19 com ω 1 = dr e ω 2 = rdφ. As bases duais de {dr, dφ} e de {ω 1, ω 2 } no espaço tangente são, respectivamente, {e r = r, e φ = φ }, { r, 1 r φ }. É nesta segunda base que se escrevem as componentes físicas de um vector (do espaço tangente) de R 2. Mas seja então um campo vectorial V = V r e r + V φ e φ. A variação de V segundo r ou segundo φ é dada genericamente por com Em particular, V y = V α β y e β α + V α e ( ) α V µ y = β y + V α Γ µ β αβ e µ, (2.14) e α y β = Γµ αβ e µ. e r r = 0 Γ µ rr = 0 para todo o µ, e r φ = sin φ e x + cos φ e y = 1 r e φ Γ r rφ = 0, Γ φ rφ = 1 r, e φ r = sin φ e x + cos φ e y = e r φ Γr φr = 0, Γ φ φr = 1 r, (2.15) e φ φ = r e r Γ r φφ = r, Γ φ φφ = 0. Voltando à eq. (2.14) que define o campo vectorial resultante da derivação covariante de V segundo as linhas coordenadas, V/ y β, vemos que as componentes do campo vectorial derivado são V µ y β + V α Γ µ αβ. (2.16) Usando as notações introduzidas anteriormente, podemos escrever as componentes desse campo vectorial como V µ ;β = V µ,β + V α Γ µ αβ. (2.17) Assim, a eq. (2.14) pode escrever-se de forma mais compacta V y β = V µ ;β e µ. (2.18) 133

20 Divergência e Laplaciano Em coordenadas cartesianas a divergência de um campo vectorial V é dada por V µ, µ, ou seja, derivação parcial das componentes do campo vectorial seguida de contracção dos índices, dando assim lugar à formação de um escalar em relação grupo de Lorentz. Mas num espaço euclideano com coordenadas curvilíneas, como R 2 com coordenadas polares, ou num espaço(-tempo) curvo, temos de ter em conta as derivadas das bases e temos que proceder à contracção dos índices do tensor V. Esta operação dá origem a um escalar, a divergência de V, V, cujo valor é V µ ;µ, visto que a contracção é uma operação independente do referencial. Exemplo 3 Vamos calcular a divergência do campo vectorial V em coordenadas polares. Com base nas equações (2.15) vemos que Γ α rα = Γ r rr + Γ r rφ = 1 r, (2.19) Γ α φα = Γ r φr + Γ φ φφ = 0. Portanto temos V ;µ µ = V,µ µ + V α Γ µ αµ = V r r + V φ φ + 1 r V r, = 1 r r (rv r ) + φ V φ (2.20) Vejamos agora o cálculo do laplaciano, isto é, a divergência do gradiente de um campo escalar, Φ(y α ). Como sabemos, o gradiente de Φ é um co-vector cujas componentes são y bφ, ou seja neste caso dφ = Φ y a dya = Φ Φ dr + r φ dφ. Para obter as componentes do vector gradiente, isto é, do dual do co-vector gradiente, usamos a métrica inversa para subir os índices do co-vector, ou em notação matricial, ( r 2 (dφ) a ab Φ = g y, (2.21) b ) ( Φ,r Φ,φ ) 134 = ( Φ,r Φ,φ /r 2 ).

21 Usando estas componentes do campo vectorial gradiente podemos agora calcular a divergência do gradiented de Φ, Φ 2 Φ = 1 ( r Φ ) Φ r r r r 2 φ. 2 Esta é a expressão de 2 Φ em coordenadas polares, correspondente à conhecida expressão em coordenadas cartesianas 2 Φ = 2 Φ x Φ y 2. A derivada covariante pode estender-se a tensores de tipo arbitrário pelas regras de Leibnitz U ω, X = U ω, X + ω, U X U (T S) = ( U T ) S + T ( U S). (2.22) As equações (2.22) garantem a compatibilidade da derivada covariante com a estrutura diferencial da variedade espaço-tempo. Exemplo 4 Mostre que se ω é um campo de co-vectores então ( U ω) a = U b [ω a,b ω c Γ c ab]. Como < ω, X > é uma função, a sua derivada covariante segundo o campo vectorial U é simplesmente a derivada dirigida dessa função segundo U, U < ω, X >= U b b (ω a X a ) = U b (ω a,b X a + ω a X a,b) e a derivada covariante do co-vector ω segundo U pode obter-se a partir de < U ω, X > = U b (ω a,b X a + ω a X a,b) < ω, U b (X c,b + X d Γ c db)e c > ω a;b X a U b = (ω a,b ω c Γ c ab)x a U b, donde se obtém a expressão solicitada. Exercício 1 Mostre que as componentes da derivada covariante de um campo tensorial T de tipo (1, 1) são dadas por ( c T ) b a = c T b a T b fγ f ac + T f aγ b fc. 135

22 Para finalizar, voltemos à derivada covariante de um campo vectorial segundo outro campo vectorial: U Y. Vimos que se tratava de outro campo vectorial. Porém, Y (o gradiente de Y ) define um tensor de valência (1, 1). Podemos então escrever a Y = e a Y, onde o segundo membro é uma contracção (para cada valor do índice a) do campo vectorial base e a com o tensor de tipo (1, 1), Y. Esta contracção define um campo vectorial para cada valor de a. Portanto, se fixarmos o valor de a, a Y define um campo vectorial, mas se a toma todos os valores possíveis: a = 0, 1, 2, 3 então ( a Y ) b são as componentes de um tensor misto de tipo (1, 1). Transporte paralelo e Derivada covariante Numa variedade diferenciável não existe uma noção intrínseca de paralelismo entre vectores definido em pontos diferentes. A conexão afim é no fundo uma regra que permite estabelecer uma certa noção de paralelismo. Para dar uma ideia como funciona esta regra, consideremos uma superfície esférica bi-dimensional. A B C Figura 2.3: Transporte paralelo de um vector ao longo do meridiano ABC. Na figura o vector, que representamos por V, é tangente ao meridiano que passa por ABC, entre o polo norte (A) e o polo sul (C). Supomos que transportamos V do ponto A ao ponto C, mantendo-o tangente à esfera, pelo que se não rodar em torno do eixo normal ao plano de tangência durante o transporte, V deverá manter-se tangente à curva ABC. Ao chegar ao ponto C o vector aponta no sentido 136

23 oposto ao vector inicial aplicado em A, embora mantendo-se na mesma direcção, de acordo com os nosso critérios de R 3. Será possível que do ponto de vista da geometria da esfera os dois vectores, inicial e final, sejam paralelos? Figura 2.4: Transporte paralelo de um vector ao longo do meridiano ADC. Antes de arriscarmos uma resposta a esta questão vamos agora imaginar o transporte de V de A a C segundo um outro caminho: ADC, que é também um meridiano da esfera que intersecta ABC nos polos A e C segundo ângulos rectos. Como V é perpendicular a ADC em A, por construção, a maneira natural de o transportar é mantê-lo perpendicular a ADC e tangente à esfera, como se mostra na fig. 2. Este transporte dá origem a um vector V em C que, do ponto de vista de R 3 é paralelo a V em A, e claramente anti-paralelo ao vector V transportado para C ao longo do caminho ABC. Qual dos dois vectores aplicados em C, obtidos à custa dos dois transportes considerados, é realmente paralelo ao vector inicial? A verdade é que se os dois transportes continuarem fechando as curvas e voltando ao ponto A, os vectores transportados coincidem com o vector inicial em A. Por outro lado, se depois de transportar V ao longo de ABC, continuar o transporte ao longo do troço CDA para fechar o caminho, verifico que o vector que 137

24 chega a A é anti-paralelo do vector que partiu de A. Com estes exemplos, somos levados a concluir que não existe uma noção global de paralelismo numa variedade curva. Mas podemos introduzir uma noção de transporte paralelo exigindo que nesse transporte o campo vectorial se mantenha constante no sentido da derivada covariante. É neste sentido que a conexão afim funciona como uma regra para o transporte paralelo. Estamos agora em condições de compreender o significado da derivada covariante, definida anteriormente de modo abstracto. Consideremos uma curva C(λ) e o seu campo vectorial tangente U = d/dλ. No ponto p = C(λ 0 ), tomemos um vector arbitrário Y p T p (M). A conexão permite-nos definir um campo vectorial Y (λ) ao longo de C(λ), o qual se obtém transportanto Y paralelamente, i.e., mudando o menos possível de direcção, ao mesmo tempo que obrigamos Y a pertencer aos sucessivos planos tangentes nos pontos da curva C(λ). Até certo ponto podemos dizer que Y não muda ao longo de C(λ). Podemos então definir uma derivada em relação à qual Y tem uma taxa de variação nula. Esta derivada é a derivada covariante na direcção U, i.e., U. Assim, se U Y = 0 (2.23) diz-se que Y é transportado paralelamente ao longo de C(λ). Sendo Y (x a ) é um campo vectorial definido por toda a parte sobre C(λ), podemos definir U Y em p da maneira como habitualmente se define uma taxa de variação. Para isso, seja p = C(λ 0 ) e Y (λ) um campo a ser transportado paralelamente e que é a igual a Y (λ) no ponto C(λ 0 + ɛ), i.e., U Y = 0, Y (λ 0 + ɛ) = Y (λ 0 + ɛ), então a derivada pode ser calculada inteiramente no espaço vectorial T p (M): Y p (λ 0 + ɛ) Y (λ 0 ) ( U Y ) p = lim. (2.24) ɛ 0 ɛ Em geral, a derivada covariante de um tensor T na direcção de U (i.e., ao longo da curva integral de U) e no ponto p é definida pela relação T p (ɛ) T (0) ( U T ) p = lim. ɛ 0 ɛ onde T p (ɛ) é o valor do tensor T depois de ser transportado paralelamente de p sobre a curva dado por λ = 0 para o ponto da curva infinitesimalmente próximo e dado por λ = ɛ. Sendo C(λ) a curva integral de U então o seu vector tangente é por definição U = d/dλ. Num referencial em queda livre, também conhecido por referencial inercial local ou referencial de Lorentz local (RLL), a derivada covariante toma uma forma mais simples porque a métrica toma a forma de Minkowski e as conexões anulam-se. 138

25 Figura 2.5: Derivada covariante do campo vectorial Y segundo U. Se representar a base do RLL por {eâ}, então g(eâ, eˆb) = gâˆb = η ab = diag( 1, 1, 1, 1), e, portanto, neste referencial as conexões são nulas: Γ c ab = 0. Logo U Y = dy â dλ e â, e as componentes de U Y são simplesmente as derivadas derigidas das funções Y a segundo U. Note que uma consequência de Γ c ab = 0 é naturalmente eâ(eˆb) = 0, (2.25) isto é, os vectores base são propagados ou transportados paralelamente segundo os eâ. Fazendo â = ˆ0, vem eˆ0 (eˆb) = 0, (2.26) onde eˆ0 = d/dτ é o vector tangente à linha do Universo de um observador em queda livre. Em particular, fazendo eˆ0 = U, vector tangente à linha do Universo do observador em queda livre (observador geodésico), vem eˆ0 (eˆ0 ) = 0 em qualquer sistema de coordenadas, e sendo U a = dxa dτ 139

26 as componentes da 4-velocidade do observador em queda livre, a Eq.(2.25) pode escrever-se (eˆb) eˆ0 = d2 x a dτ + dx b dx c 2 Γa bc = 0. (2.27) dτ dτ Qualquer curva que seja solução desta equação chama-se uma geodésica. Um observador em queda livre segue então ao longo de uma geodésica do espaçotempo. Sendo dada a geodésica de um observador em queda livre, então a equação (2.26) determina o RLL que acompanha o observador para os diferentes valores de τ, desde que sejam conhecidas as orientações iniciais dos vectores base. Podemos usar outra notação para escrever a equação das geodésicas U U = DU dτ = 0, (U = eˆ0 ), que põe em relevo o facto de um geodésica ser uma curva cujo vector tangente é intrinsecamente constante (tem derivada intrínseca nula) ao longo da curva. Grosseiramente podemos dizer que quando nos deslocamos sobre um geodésica caminhamos ao longo da mesma direcção. Neste sentido, as geodésicas são a generalização das linhas rectas do espaço euclideano. Do ponto de vista da física percebe-se bem esta semelhança: um observador em queda livre sente localmente como se se deslocasse com velocidade uniforme numa linha recta ou, o que é o mesmo, como se permanecesse em repouso. Contudo, do ponto de vista global a geometria do espaço-tempo mostra que as geodésicas se comportam de modo bem diferente das linhas rectas da geometria euclideana. Nem todas as geodésicas são linhas do Universo de um observador em queda livre. Com a introdução da métrica será possível distinguir geodésicas temporais, nulas e espaciais. Mas só as primeiras poderão ser linhas do Universo de um observador ou partícula material. Já sabemos que o mesmo caminho de uma variedade pode corresponder a mais do que uma curva, cada uma das quais é parametrizada por um parâmetro diferente. Podemos então caracterizar um caminho num espaço-tempo como sendo uma geodésica se existe uma parametrização tal que os vectores tangentes à curva correspondente constituem um campo de vectores paralelos ao longo da curva: U = C(s) U U = 0. Suponhamos que definimos C(λ) = C(s) com s = aλ + b e a, b constantes. Fazendo x a (λ) = x a [ C(λ) ] 140

27 temos então d 2 x a dλ 2 + dx b dx c Γa bc dλ dλ = ds d dλ ds (dxa ds = a 2 ( d2 x a = 0. ds 2 ds dλ ) + dx b Γa bc ds dx b dx c ds ds ) + Γa bc dx c ds ( ds dλ )2 Portanto C(λ) é também uma geodésica. É fácil mostrar que s = aλ+b é a parametrização mais geral que faz com C(λ) ainda satisfaça a equação das geodésicas. Chamam-se parâmetros afins os parâmetros com esta propriedade, ou seja, quaisquer dois parâmetros afins estão relacionados por uma equação linear: s = aλ + b. Como o vector tangente a uma geodésica C(λ), U = C, é transportado paralelamente: U U = 0, temos então para uma conexão métrica (ver adiante) g(u, U) = K = constante. O valor desta constante pode ser alterado por uma reparametrização da geodésica. Fazendo C(λ) = C(aλ + b), vem Ũ = au e portanto g(ũ, Ũ) = a2 K. Podemos distinguir três situações: (i) K < 0, U é temporal por toda a parte e existe uma parametrização tal que g(u, U) = 1; (ii) K = 0, U é um vector nulo por toda a parte e a geodésica é do tipo luz; (iii) K > 0, U é espacial por toda a parte. No primeiro caso mencionado, C é uma linha do Universo possível de um observador em queda livre. Neste caso a coordenada temporal deste observador é o seu parâmetro tempo próprio porque se o usamos para parametrizar C temos eˆ0 = U = C g(eˆ0, eˆ0 ) = 1. Quanto às geodésicas nulas, podem ser consideradas como os caminhos de espaçotempo da luz, mais precisamente, as superfícies de igual fase das ondas electromagnéticas são atravessadas por geodésicas nulas. Isto corresponde ao resultado da RR, onde as ondas planas electromagnéticas propagam-se na direcção de um vector constante nulo. Na verdade, cálculos de relatividade geral mostram que, no limite dos pequenos comprimentos de onda (i.e., quando o comprimento de onda se torna bastante 141

28 pequeno quando comparado com as dimensões espaciais do problema), em qualquer ponto de uma geodésica nula que define o caminho de uma superfície de onda de luz, o vector tangente à geodésica corresponde exactamente ao vector nulo, K a, 4-vector-onda, que está ligado à frequência das ondas. Conexão métrica O Princípio da Equivalência leva-nos a afirmar que a RR é válida localmente, isto é, na vizinhança de um observador em queda livre e, por conseguinte, o espaçotempo da Relatividade Geral tambem deve ter uma estrutura métrica, que num referencial em queda livre toma a forma de Minkowski, como vimos. Mas nestes RLL s a derivada covariante reduz-se às derivadas dirigidas usuais, logo g ab;c = c g ab. E num referencial em queda livre, como a métrica toma a forma de Minkowski, tem-se c gâˆb = 0. Logo, para satisfazer o princípio da Equivalência devemos exigir que U g = 0, qualquer que seja o campo vectorial U. Diz-se então que a métrica é covariantemente constante. Esta condição é por sua vez equivalente a impôr que se X(λ) e Y (λ) são dois campos vectoriais transportados paralelamente ao longo da curva C(λ), então o produto interno g (X(λ), Y (λ)) = constante. É de esperar que isto seja assim se C(λ) é a linha do Universo de um observador em queda livre, cujo referencial é definido pela condição (2.26) e g(eâ, eˆb) = gâˆb =constante. Da mesma maneira, para o transporte sobre uma curva arbitrária exigimos g (X(λ), Y (λ)) = constante. Diferenciando esta expressão segundo U vem ( dx U a a (g cd )X c Y d c + g cd dλ Y d + X c dy d ) = 0. (2.28) dλ Como, por hipótese, X(λ) e Y (λ) são transportados paralelamente, temos dx c dλ = Γc abx a U b, e uma equação semelhante para Y. Assim, obtemos 0 = U a X c Y d a g cd g cd (Γ c max m U a Y d + Γ d may m U a X c ). 142

29 Como este resultado deve verificar-se para qualquer U, X e Y concluímos que c g ab g db Γ d ac g ad Γ d bc = 0, (2.29) ou seja, c g ab = Γ b ac + Γ a bc = 2Γ (a b)c. (2.30) Da Eq. (2.29) chegamos a g ab;c = 0 e, portanto, U g = 0, como já tínhamos visto quando discutimos o princípio da equivalência. Mas vemos agora também, que o facto da métrica ser covariantemente constante tem como resultado uma relação estreita entre os coeficientes de conexão lineares e a métrica. Da Eq. (2.30) podemos obter sucessivamente, por permutação dos índices, 1 2 (g ab,c + g ac,b g bc,a ) = Γ (a b)c + Γ (a c)b Γ (b c)a = Γ a bc + ( Γ b [ac] + Γ c [ab] Γ a [bc] ). Veremos mais adiante que os símbolos de conexão utilizados em RG são simétricos nos dois últimos índices quando escritos numa base coordenada, Γ a bc = Γ a (bc), temos neste caso, 1 2 (g ab,c + g ac,b g bc,a ) = Γ a bc. (2.31) No âmbito das geometrias Riemannianas era costume utilizar outras notações e designações para os símbolos de conexão. Assim, escrevia-se [bc, a] em vez de Γ a bc, e designavam-se por símbolos de Christoffel de 1 a espécie. E escrevia-se { } dbc em vez de e designavam-se por símbolos de Christoffel de 2 a espécie, verificando-se as relações { dbc } = g da [bc, a], Γ d bc = g da Γ a bc, Γ d bc ou seja Γ d bc = 1 2 gda (g ab,c + g ac,b g bc,a ), (2.32) se estivermos a trabalhar numa base coordenada. Ainda hoje é frequente reservar a designação de símbolos de Christoffel, embora se tenha passado a usar a notação moderna, para as conexões associadas às geometrias Riemannianas ou pseudo-riemannianas da RG. Para concluir este assunto, 143

30 vamos definir uma conexão métrica como aquela onde dois campos vectoriais transportados paralelamente segundo uma dada curva, tenham um produto interno constante ao longo dessa curva. Exemplo 5 Mostrar que Γ a ab = 1 2g g x b = x b ln( g). Comecemos por constatar que Γ a ab = g ad Γ d ab = 1 2 gad g ad x b gad ( gbd x g ) ba. a x d O segundo termo do segundo membro anula-se devido às propriedades de simetria. Temos então, Γ a ab = 1 2 gad g ad x b (2.33) Esta expressão pode ser escrita em termos do determinante g do tensor métrico g ab. Segundo o teorema de Laplace de expansão de um determinante, este é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma fila pelos respectivos complementos algébricos, logo g g ab = ab, onde ab é o complemento algébrico do elemento g ab do determinante g. E a partir da regra de obtenção da matriz inversa podemos escrever Por consequência temos E como g g ab = g g ab. (2.34) dg = g g ab d g ab. (2.35) g ab dg ab = g ab dg ab, pois g ab g ab = δ a a = 4, usando este resultado na Eq.(2.34), esta poderá escrever-se g g ab = g g ab. (2.36) 144