Planejamento e Otimização de Experimentos

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1 Planejamento e Otimização de Experimentos Planejamentos 3 k, Box-Behnken e Plackett-Burman Prof. Dr. Anselmo E de Oliveira anselmo.quimica.ufg.br [email protected]

2 Planejamento Fatorial 3 k 3 níveis o 0: baixo (-1) o 1: intermediário (0) o 2: alto (+1) poucos fatores e muitos experimentos regressão com termos quadráticos cada efeito tem uma componente linear e quadrática não é a forma mais eficiente de modelar uma relação quadrática

3 Fator B Combinações em um Planejamento Fator A

4 Combinações em um Planejamento 33

5 Regressão 3 2 = 9 experimentos 3 3 = 27 experimentos Modelo de regressão para 3 2 y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 12 x 1 x 2 + b 11 x b 22 x 22 termos quadráticos: adição de um terceiro nível

6 The effects model 3 2 factorial design y ijk = μ + τ i + β j + τβ ij + ε ijk The means model y ijk = μ ijk + ε ijk i = 1, 2,, a j = 1, 2,, b k = 1, 2,, n where the mean of the ijth cell is μ ij = μ + τ i + β j + τβ ij i = 1, 2,, a j = 1, 2,, b k = 1, 2,, n

7 In the two-factor factorial design we are interested in testing hypothesis abou the equality of row treatment effects, say H 0 : τ 1 = τ 2 = = τ a H 1 : at least one τ i 0 and the equality of column treatment effects, say H 0 : β 1 = β 2 = = β a H 1 : at least one β i 0 We are also interested in determining whether row and column treatment interact H 0 : τβ ij = 0 for all i, j H 1 : at least one τβ ij 0

8 Source of Variation Sum of Squares Degrees of Freedom Mean Square F 0 A treatments SS A a 1 SS A a 1 B treatments SS B b 1 SS B b 1 Interaction SS AB a 1 b 1 SS AB a 1 b 1 MS A MS E MS B MS E MS AB MS E Error SS E ab n 1 SS E ab n 1 Total SS T abn 1 SS A = 1 bn SS B = 1 an a i=1 b j=1 y 2 i.. y 2... abn y 2.j. y 2... abn SS AB = SS Subtotals SS A SS B SS Subtotals = 1 a b y 2 n ij. y 2... abn i=1 j=1 SS E = SS T SS A SS B SS AB SS T = a b n i=1 j=1 k=1 2 y ijk y 2... abn

9 A battery design experiment An engineer is designing a battery for use in a device that will be subjected to some extreme variations in temperature Three plate materials for the battery 3 2 factorial design Material Type Temperature ( F)

10 Material Type y.j. Temperature ( F) y i y... = 3799 SS Material = 1 bn a i=1 SS Temperature = y 2 i.. y 2... abn = = 39, = 10, SS Interaction = , , SS T = = 77, SS E = 77, , , , = 18,

11 Source of Variation Sum of Squares Degrees of Freedom Mean Square F 0 P-Value Material types 10, , Temperature 39, , < Interaction 9, , Error 18, Total 77, The main effects of material type and temperature are significant; The interaction effect is also significant

12 Average life (h) Temperature ( o F) The significant interaction is indicated by the lack of parallelism of the lines

13 Tukey s Test Interaction is significant and comparisons between the means of one factor (e.g., A) may be obscured by the AB interaction One approach is to fix factor B at a specific level and apply Tukey s test to the means of factor A at that level Ex: To detect the differences among the means of the three material types: temperature level 2 (70 F) y 12. = ; y 22. = ; y 32. = T 0.05 = q 0.05,3,27 MS E n = = [XLS] Statistical Tables & Calculators 3 vs 1: = vs 2: = vs 1: =

14 Model Adequacy Checking e ijk = y ijk y ijk y ijk = y ijk e ijk = y ijk y ijk Residuals

15 standardized residual = = is the only residual whose absolute value is larger than 2 e ijk y ijk e ijk material type e ijk temperature

16 Planejamento Box-Behnken, 1960 É o mais usado para planejamentos fatoriais em três níveis, sendo possível para mais do que três variáveis independentes 12 pontos nos centros das arestas 3 pontos centrais

17 Planejamento Box-Behnken X 1 Ensaios X 2 X 3 X 1 X 2 X p1 pontos centrais

18 Planejamento Box-Behnken relação empírica para três variáveis, assumindo o modelo quadrático y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 12 x 1 x 2 + b 13 x 1 x 3 + b 23 x 2 x 3 + b 11 x b 22 x b 33 x 33

19 Três Níveis; k = 3 Um experimento foi conduzido para estudar o efeito de três diferentes tipos de garrafas (B) de 900 g (32 oz) em três diferentes tipos de prateleiras (C), considerando o tempo gasto para armazenar 10 pacotes de 12 garrafas nas prateleiras, com três trabalhadores (A) envolvidos.

20 Trabalhador (A) o 1 o 2 o 3 Prateleira (C) o Permanente o Fim do corredor o Geladeira Garrafa (B) o Plástica o Vidro de 28 mm o Vidro de 38 mm

21 3 k completo 27 experimentos Matriz X não é quadrada b = X T X 1 X T y Experimento Execução A B C Y

22 Box-Behnken 14 experimentos (12 +2pc) sempre incluir pontos centrais: alias não considerar o efeito ABC na matriz X Experimento Execução A B C Y

23 3 k completo Coeficientes oc = 0,66 oac = -0,24 oa 2 = -0,80 oc 2 = 0,31 Box-Behnken Coeficientes oc = 0,57 oa 2 = -0,7 oc 2 = 0,5

24 Planejamento Plackett-Burman, 1946 Muito eficiente quando apenas os efeitos principais são importantes. Os efeitos secundários são confundidos com os principais Screening Fatorial fracionário para estudar k = N-1 variáveis em N experimentos, onde N é um múltiplo de 4 Não geométrico

25 Tabelas, em linhas, apresentam a primeira coluna da matriz de planejamento N k Sinais A segunda linha (coluna) é obtida a partir dessa primeira movendose os elementos da linha para baixo em uma posição, e o colocando o último elemento na primeira posição. E assim por diante Uma linha de sinais -1 é adicionada, completando o planejamento

26 Matriz de contrastes para k = 11, com 12 experimentos X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X A tabela do NIST é multiplicada por -1

27 Número de Publicações no Web of Science Plackett-Burman Box-Behnken *

28 Application of Plackett-Burman Design to evaluate Media Components Affecting Antibacterial Activity of Alkaliphilic Cyanobacteria Isolated from Lonar Lake Turk J Biochem 2010; 35 (2) ; Objective: To evaluate the media components affecting the antimicrobial activity of alkaliphilic cyanobacteria using Plackett-Burman design

29 k = 8 N = 12 todos os contrastes da última linha são iguais a -1

30

31 ? x 2