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Thomaz Fernandes
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1 Respostas T =~cos t} - sen t)j + ~cos t)k; N = -~ sen t} - cos t)j - Vi ~en 1)k; l' 1 1 B = - j - - k K = -' T = O \12 \12' \12' 61 'Ti/3 63 = 1 + t,)' = t, Z= km, 1,639 X 107km2, 3,21 % visível Capítulo 10 EercíciosAdicionais, p ,23,-113) 3 F = 20 b 9 6\14 Sim k ' a) F = GMm i d2 i~1 i2 + 1)3/2) d:r d 21 a) dt= r cos 8 - re sen 8, dt = r sen e + re cos 8 d, de - d = cos }+ )' sen e" - d = - sen e + )' cos e t 1 25 a) v1) = -U/, + 3un, a1) = -9u/, + 6un 6,5 po1 d) A fronteira é o único ponto O, O) e) Aberto O limitado 11 a) Todos, ) satisfazendo -1 :::; - :::; 1 h) - 11"/2 :::; z :::; 11"/2 c) Retas da forma)' - = c, onde -1 :::;c :::;1 «) A fronteira é duas retas = 1 + e = -1 e) Fechado + O limitado 13 Gráfico f) 15 Gráfico a) 17 Gráfico d) 19 a) 21 a) ~, ~, ' ~,'! CAPíTULO11 Seção 111, p a) ;:: ~ _\,2 + "2) h) 1 a) Todos os pontos no plano» Todos os reais c) As retas)' - = c «) Sem pontos de fronteira f) limitado 2 r X 3 a) Todos os pontos no plano h) z;::::o c) Paraf, ) = O, a origem; para/, ) '* O, elipses com o centro O, O) e os eios principal e secundário ao longo dos eios e, respectivamente d) Sem pontos de fronteira n limitado 5 a) Todos os pontos no plano» Todos os reais c) Paraf ) = O,os eios e ; para/, ) '* O,as hipérboles com os eios 1:e como assíntotas d) Sem pontos de fronteira t) limitado 25 a) " ;::~4 7 a) Todos os :1:, ) satisfazendo 2 + 2< 16 z2: * c) Circunferências centradas na origem com raios r < 4 d) A fronteira é a circunferência X2 + / = 16 e) Aberto t) Limitado 9 3), ) '* O, O) h) Todos os reais c) As circunferências com centro O, O) e raios, > O

2 546 Respostas 27 a) z = 1-1)'1 29 X2 + / ::::; arc tg - arc tg ::::; 2 arc tg V2 33 v 02 z=o E- -2 z= 1 z=-l 35 Seção 112, p /2 3 2\16 7 1/ O O l/ / u) Todos, ) Todos, ) eceto O,O) 29 a) Todos, ) eceto onde ::::;O OllY ::::;O Todos, ) 31 u) Todos,, z) Todos,, z) eceto o interior do cilindro X2 + i ::::; 1 33 a) Todos,, z) com z * O Todos, z) com X2 + Z2 * 1 35 Considere os caminhos ao longo de ::::;, > Oe ao longo de ::::;, < Considere os caminhos ::::;k2, sendo k lima constante, 39 Considere os caminhos ::::;k, sendo k uma constante, k =1=-1 41 Considere os caminhos ::::; kx2;sendo k uma constante, k * ::::;0,1 47 8::::;0, ::::;\10,015, 51 8::::; 0, O 57 Não eiste _ 9 'li ~ 2 61 fo, O) ::::;lu 3 63 Não 65 a) f, )1 )=/llo; ::::;sen 20, onde tg O ::::;l1/ 67 O limite é 1 69 O limite é O $1 1 ~ /;0; z) = z 2 = Y te 41 ~ - ln z ::::; 2 45 Sim, 2,000 X+Y 43 z--::::; ln km Seção 113, p a a 1 -::::; 4r - ::::;-3 J "ü üf df) 3 -::::; 2 \, )' + ') -::::; c - 1 ) ' -, d, f df 5 -;-::::; 2 )' - 1), -;-::::; 2 )' - 1) ux' d df - df - Y 7 -;-- ux ~,-;-- X2 + 2 i/ ~-X2 + 2 df - 1 df ::::; + }f' Y ::::; + )2 df - / - 1 df - X ;-::::; ), --;;- ::::;? d c\)' - 1)- o)' - 1)- df df dlf' d lf ' 13 2 = e++l 2::::;e\+) = = ~ ~ dx ' dy dx + ' a + df af 17 - ::::;2 seu - 3) cos - 3v), -;- ::::;-6 sen - 3 ) ') cos dy d - 3) 19 "":""'::::; dl af ), \,- - ::::; \ 'Y 111\ a, dy 23 L ::::;l,f; ::::;2,f~ ::::;-4z af af 21 -;-::::; - g) -::::; g v) d ' a, 25 f~ ::::;1,f;'-::::;-i + Z2)-1/2,f; ::::;_Z2 + Z2) '::::; z, ::::; z ' ::::;~ fo; \ 1 - rrz-'???' f \ 1 - r-z-???' fz \ / 1 - c-z-??? 29 f' ::::; 1 f ::::; 2 f' ::::; z' Y z' z z 31J~::::;-2e-:-+'+z'\J; ::::;-2e-X'+Y'+z'J,f; ::::;-2ze-'+l+z'J 33 f: ::::; sech z), f~ ::::;2 sech z), f; ::::; 3 sech z)

3 Respostas 547 ijf r7f 35 ar = -211"sen 211"1-0'), r7~ = sen 21T- 0') r7h ijh r7h 37 ap = sen cpcos e, acp = p cos cpcos e, = r/e = - p sen 4) sen e 8U2 39 WpP, V, 8, u, g) = v, WvP, V, 8, u, g) = P + 2' g VU2 V8u W,)P, V, 8, u, g) :=:2g' WvP, V, 8, u, g) = g' V)U2 W~P, V, 8, u, g) = -~ 2g r7/ ijf ay r/:f r7:f ij:f 41 - = 1 + )',- = 1 +, - = O,- = O,- = - = a ri)' rlx2 ri)'2 r/)'rlx r/xij)' ag r7g r72g 43 - = 2 + )' cos - = X2 - sen )' + sen - = 2)' - )' a r/,}' rl2 a2g r72g ij2g sen :r,- 2 = -eos, --=;--;-= -;-;- = 2 + eos X r7 o X rix o ar 1 ij, 1 )2, - 1 )2, =-,-=-,-=-,-=- r7 + )' ri)' + )' r72 + p r7)'2 + )2 a2r - a2, - -1 a)' /X - a d)' - + )')2 )\' 2 a\' 3 rl2~t' ij2w =-,-=-,-=-=rlx 2 + 3)' ij)' 2 + 3)' /)' a rlxij 2 + 3)')2 ijw 2 :> 2 4 dw 2 2 :> 1 49 : = ) ' + 2 ) " + 3 v, --:;-= 2v + 3 \' + 4 v', X i)' - - a 21\' rl2w - = - = 2)' ) dydx ijij 51 a) primeiro d) primeiro 53 f~1, 2) = -13"f~,1, 2) = -2 primeiro e) primeiro ria = a aa = c cos A - b da bc sen A' ria bc sen A ln u 61 U= ln u)ln u) - 77 Sim c) primeiro O primeiro 11 a) au =,au= L-, au= ~ 7 a z - )2 az z - )2 r7/1= O,riu = 1, au = - 2 r7 ij az 13 dz = dz d:r + dzd d d d a d ali' dw a aw r7 aw az dw aw a aw a 15 - = au a riu 7au azau' au a au a au rlwdz rlzr7)' 711' ri\\' rr a\\' a aw ali' a aw a 17 -=--+--,-=--+-- rll r7ali a)' ali' au rlxau a)' au 19 dz = rlzr7 + rlz a r7z= az 7+ az a r71 a 71 rlyr7/'as d:r as a as Seção 114, p ~;' = O,~;'<11")= O 3 a) ~;' = 1 dw 5 a) ;jf = 41aretg ) rlz 4 1 rlz a = eos l' n 11sen v) + 4 cos 1',~ = ~ 0/1 ov 411 eos2 \' -411 sen v ln 11sen v) + --sen:-v dll' 3) = 1 d dw ) = 11" + 1 d 21 ri\\! = dw rll, dw = dw au ris du a,,;d du } \' / d\l' d'l \" d\' dt ~z = V2 On2 + 2), ~Z= -2V2 On 2-2) lu lu dll d< d/l d )w 9 a) -;- TU a\' ou = 2u + 4uu, -;- = -2u + 2U2 ijw= 3 aw = _l 711 a' 2 23 dw r7\1'd + a\\' d aw d d)' O ;;;: = r7d' } d, = d d, uma vez que dr =, dll' r7wd ali' d:r ali' d d - = = --uma vez que- = O ds a ds a)' ds a ds ds

4 = 548 Respostas 31 u) = O = 2r, = 1 + 2r,z = 2 + r 33 a) + + Z - O = t, Y = + r, 2 = r z - 2 = O 39 \' 'Vf = 2\l2i -t 2,'2j z - 1 = O /3 27-4/5 = éjz = 1 éjz = -l éj 4'éJ 4 éj7 éj7 31~=-1,::=-1 ij ij ), '- '" 4 '" - -r2e ~ 37 az = 2,~z = 1 au ijv 39-0,00005 amps/s 45 cos 1,sen 1,1) e cos-2), sen -2), -2) V2V2 V2 V2 47 )M ' o 'o a axlmo em -2' 2 ) e 2' -2 );1U111nO em V2V2 e - V2 - V2 2 ' 2 2' 2 ) ) Má = 6, TÍn = 2 r ') 3;c dt 49 2XVX8 + X3+ f 2Vt" + X3 o Seção 115, p \j1= 3i + 2j - 4k = -1 7 \7 0- v' =-'-- 26?3? / j 54 k u = -,,~ i + " ~j, Duf)p = V2; -u = " ~i - " ~j, v2 v2" v2 v2 D-u/)pu = -V2 19 u =,,1~i -,,5 ~j, -,,1~k, Duf)p = 3V3; 3v3 3v3 3v3 " -u= -,,1~i +,,5;:;;-j +,,1;:;;-k,D-uf)p= -3V3 3v3 3v3 3v3 " 21 u = " ~ i + j + k), D-uf)p = 2V3; v 3 u -u= -" ~ i v3 " 9 23 d = = 0, a) + +z = 3 + j + k), D-uf)p = -2V3 = 1 + 2t, Y = 1 + 2r, z = 1 + 2t 29 a) = O = 2-4r, = O, 2 = 2 + 2t 25 dg = O 43 =, = 1 + 2r,z = 1-2r 1 45 = 1-2r,)' = 1, z = '2 + 2r 47 = r, = 1-90r, z = 'U=---j,-U=--+-j V53 V53 V53 V53 51 Não, a taa máima de variação é -vt8s < V5 55 a) ~ sen V3- t cos \/3 = 0,935 C/pés V3 sen V3 - cos \13 = 1,87 C/s 57 Em -J! 4' - 2v2,,;-; em O, O; em J,?,,) _VL Seção 116, p a) L, ) = 1 3 u) L, ) = u) L, ) = L, ) = ; 0,06 9 L, ) = + + 1; L, ) = 1 + ; 0, Preste mais atenção à menor das duas dimensões Ela gerará a derivada parcial maior 15 Erro máimo estimativa) ::; 0,31 em magnitude 17 Máimo erro percentual = :t4,83"7ú 19 Seja -li::; 0,014, - 1 ::; 0, =0,1% 23 a) L,, z) = z - 3 L,,z) = + Z c) L,, z) = O 25 a) L,, z) = 1 1 L,,z) = V2+ V2Y 1?? c) L, ) z) = ' z 27 a) L,, z) = 2 + L,)',z) = - - z + '2 + 1 c) L,, z) = - - z + 2" L,, z) = , 0, L, z) = + - z - 1,0,00135 U,) = 2\" + 2)' - 1 L,) = 3\" - 4)' + 5 L, ) = - + "2

5 Respostas a) So1~0 d' + d - 5 d\' - 30 dh) Mais sensível ~lvariação da altura 35 f é mais sensível à variação eled 47,~ pes ~ 39 Magnitude do erro possível::; 4,8 Seção 117, p f-3, 3) = -5, mínimolocal 3 f-2, 1),pontodc sela 13 31, 5 f 12' -4 3) = -] 2' mll1l1no local 7 fl 2), ponto de sela 9 fo, ) = 4, máimo local 11 fo, O), ponto ele sela;f -1, -1) =, mínimo local , 13 fo O),ponto de sela;f 9' 3" ) = - 8], mll1lmo local 15 fo, O), ponto de sela; fl, 1) = 2, f -1-1) = 2, máimos locais 17 fo, O) = -1, máimo local 19 f11'11',o), ponto de sela;fl1, O) = O para todo Máimo absoluto: 1 em O, O); mínimo absoluto: - 5 em 1, 2) 23 Máimo absoluto: 11 em O, - 3); mínimo absoluto: -10 em 4, - 2) 25 Máimo absoluto: 4 em 2, O); mínimo absoluto: 3~ em 3, -*) 3,*) 1, -*)c,*) 27 a = - 3, h = V3 ) 1 V3 f 29 MaSquente: '4 em -2' 2 e -2' -2 ; mas TO: ) '4em 2' O ) 31 a) fo, O),ponto de sela f1, 2), mínimo local c) f1, -2), mínimo local;f - -2) ponto de sela 37 1/6, 1/3,3SS136) 41 a) Sobre a semicircunferência, máf = 2\1'2 em 1 = J' mín f = -2 em f = ;sobre o quarto ele circunferência, má/= 2\1'2 em f = ~, mínf = 2 em 1= O'- Sobre a semicircunl'erência,mág = 2 em f = J' míl i, A' J g = - em f = 4; so)t'e o quarto c e clrcun erencla, ma g = J 2 O em 1 = 4' mll1 g = em f 0 =, 2 c) Sobre a semicircunferência, t11<lxh = 8 em f = O,; mín h = 4 em f = -; sobre o quarto de circunl'erência, má h = 8 em f = O,mín h = 4em 1=- 43 O) mínf = -~em 1 = -~; no m,l ii) máf = Oem f = -, O;mínf = -~ em 1 = -~ m) máf = 4 em 1= 1; mínf = Oem 1= O Seção 118, P ~~,t} ~~, -i) , ~3\1'2) 7 a) r = 2 em,h = 4 cm 11 f = 4\1'2, H'= 3\1'2 13 fo, O) = Oé mínimo,f2, 4) = 20 é máimo 15 Maisbaia = 0 ;maisalta = ~2,~) O, O, 2), O, O, - 2) 23 fl, - 2, S) = 30 é máimo;f -1,2, -5) = - 30 é minimo ~ ~por ~ por ~ ~unidades v 3 \/3 v 3! 29 ~4/3, -413, -4/3) 31 U8, 14) = $ f2/3, 4/3, -4/3) = "3 35 2,4,4) 37 O máimo é] + 6\13 em ~V6, \13,1); o mínimo é 1-6\13 em ~V6, -\13, 1) 39 O máimo é 4 em O,O, ~2); o mínimo é 2 em ~\1'2, ~\1'2, O) Seção 119, p a) O 3 ) 7U + au ~, a ap ft l1r) 5 a) 5 7 r7x - = eos e 7r) ar ]) = Y2 + 2 Seção 1110, p z c) 1 + 2z au ap l1r V) + au at 5 1 Q d " ' + b 1 ', ua ratlca: ; cu ca: + :\)'+ 2:)'"' 3 Quaelrática: ; cúbica: 5 Qladrática: + t2-2) ~) 7 Quaclrática:~ 2X2+ 22) = X2 + 2 Cúbica: X Quadrática: ) + + )2; Cúbica: ) + + )2 + + )3 11 Qladrática: 1 - tx2 _~2; E, ) :S 0, C ' b ' 2" u lca: + 2)' - )'2

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( a2v I/ minimo:~em( -~'Jz, -V2)e(~, - ~.V2). 89. (a) (2y + X2Z)eYz. . ax - cos ar - -r ao' ay - sen u ar -r ao Respstas 55 69. Pnt de sela em (O, O),f(O, O) = O; mínim lcal -4 em (0,); máim lcal de 4 em (-, O);pnt de sela em (-,), f(-,) = O 7. Máim abslut: 8 em (O, 4); mínim abslut: -9/4 em (/, O) 7. Máim abslut: