UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA CRISTINA INGRID DOS SANTOS SILVA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA CRISTINA INGRID DOS SANTOS SILVA Contribuições da teoria histórico-cultural para aprendizagem desenvolvimental em expressões algébricas e valor numérico nos estudantes do 8 ano do Ensino Fundamental no Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Roraima (CAp-UFRR). Boa Vista, RR 2018

2 CRISTINA INGRID DOS SANTOS SILVA Contribuições da teoria histórico-cultural para aprendizagem desenvolvimental em expressões algébricas e valor numérico nos estudantes do 8 ano do Ensino Fundamental no Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Roraima (CAp-UFRR). Monografia apresentada como pré-requisito para conclusão do Curso de Licenciatura Plena em Matemática do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Roraima. Orientador: Prof. Dr. Héctor José García Mendoza Coorientadora: Prof. Me. Adriana Regina da Rocha Chirone Boa Vista, RR

3 Dados Internacionais de Catalogação na publicação (CIP) Biblioteca Central da Universidade Federal de Roraima S586c Silva, Cristina Ingrid dos Santos Contribuições da teoria histórico-cultural para aprendizagem desenvolvimental em expressões algébricas e valor numérico nos estudantes do 8 ano do Ensino Fundamental no Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Roraima (CAp-UFRR) / Cristina Ingrid dos Santos Silva. Boa Vista, f. : il. Orientador: Prof. Dr. Héctor José García Mendoza. Coorientadora: Prof. Me. Adriana Regina da Rocha Chirone. Trabalho de Conclusão de Curso (monografia) Universidade Federal de Roraima, Curso de Licenciatura em Matemática. 1 Ensino de Matemática. 2 Ensino fundamental. 3 Álgebra. I Título. II Mendoza, Héctor José García (orientador). III Chirone, Adriana Regina da Rocha (coorientadora). CDU 372:51 Ficha Catalográfica elaborada pela: Bibliotecária/Documentalista: Angela Maria Moreira Silva - CRB-11/381-AM 3

4 FOLHA DE APROVAÇÃO CRISTINA INGRID DOS SANTOS SILVA Contribuições da teoria histórico-cultural para aprendizagem desenvolvimental em expressões algébricas e valor numérico nos estudantes do 8 ano do Ensino Fundamental no Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Roraima (CAp-UFRR). Monografia apresentada como pré-requisito para conclusão do curso de licenciatura plena em Matemática do departamento de Matemática da Universidade Federal de Roraima. Defendida em 13 de Julho de 2018 e avaliada pela seguinte banca examinadora: Prof. Dr. Héctor José García Mendoza Orientador / Curso de Matemática UFRR Prof. Dr. Alberto Martin Martínez Castañeda Curso de Matemática UFRR Prof. Dr. Oscar Tintorer Delgado Curso de Física UERR 4

5 Resumo Diante de vários recursos disponíveis, ainda é comum na maioria das escolas, professores de Matemática ministrando aula de forma tradicional, onde a grande maioria dos estudantes, não alcançam assimilação dos conteúdos de maneira eficiente. O processo de ensino aprendizagem deve estar fundamentado por teorias de aprendizagem que tenha como enfoque a cognição, desta maneira se apresentará brevemente a evolução da teoria histórico-cultural de Vygotsky, continuado pela teoria da atividade de Leóntiev, até a teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin. O objetivo deste trabalho é analisar as contribuições da teoria histórico-cultural para uma aprendizagem desenvolvimental no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico nos estudantes do 8º ano do Ensino Fundamental II, do Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Roraima (CAp-UFRR). A Atividade de Situações Problema (ASP) em Matemática, é compreendida como um sistema de conteúdos de matemática baseado na teoria de Galperin. Como experimento fundamentado nas teorias mencionadas, apresentam-se os resultados da prova de lápis e papel, no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico, com intuito de analisar a aprendizagem através da ASP. A prova de lápis e papel foi utilizada, como instrumento para obtenção de resultados, através de análises quantitativa e qualitativa, com enfoque principal na qualitativa. Diante dos resultados obtidos, a grande maioria dos estudantes, mostram evidencia de uma aprendizagem desenvolvimental no conteúdo estudado. Ao final será proposto um plano de ensino fundamentado em uma base orientadora geral, completa e independente. Palavras Chaves: Expressões Algébricas, Formação por etapas das ações mentais, Atividade de Situações Problema, Ensino aprendizagem desenvolvimental. 5

6 Resumen Frente a varios recursos disponibles, es todavía común en la mayoría de las escuelas, maestros que enseñanza matemáticas de forma tradicional, donde la gran mayoría de los estudiantes no lograr eficientemente la asimilación de contenidos. La enseñanza aprendizaje debe basarse en las teorías del aprendizaje con enfoque en la cognición, de esta manera se presentará brevemente la evolución de la teoría histórica-cultural de Vygotsky, continuando por la teoría de la actividad Leóntiev, hasta la teoría de formación por etapas de acciones mentales de Galperin. El objetivo del trabajo es analizar las contribuciones de la teoría histórica-cultural para un aprendizaje desarrollador en el contenido de expresiones algébricas y valor numérico en los estudiantes de 8 grado de la Enseñanza Secundaria de la Escuela de Aplicación de la Universidad Federal de Roraima (CAp-UFRR). La actividad de situaciones problema (ASP) en matemáticas, se entiende como un sistema de de contenidos de matemáticas basada en la teoría de Galperin. Como un experimento fundamentado en las teorías mencionadas, se presentan los resultados de la prueba de lápiz y papel, en el contenido de ecuaciones algebraicas y valor numérico de expresiones, con el fin de analizar el aprendizaje a través de ASP. La prueba de lápiz y papel se utilizó como un instrumento para inferir los resultados, través de un análisis cuantitativos y cualitativos, con enfoque principal cualitativo. Los resultados obtenidos, la gran mayoría de estudiantes, tienen evidencia de un aprendizaje desarrollador. Al final se propondrá un plan de estudios basado en un asesor general, completo e independiente. Palabras Claves: Expresiones Algebraicas. Formación por etapas de las acciones mentales. Actividad de situaciones problema. Enseñanza aprendizaje desarrollador 6

7 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1 - Estrutura da zona de desenvolvimento Proximal Figura 2 - Direção da Atividade de Situações Problema Figura 3 - Frequência total Figura 4 - Questão 1 da prova referente ao intervalo Figura 5 - Questão 2 da prova referente ao intervalo Figura 6 - Questão 3 da prova referente ao intervalo Figura 7 - Questão 4 da prova referente ao intervalo Figura 8 - Questão 5 da prova referente ao intervalo Figura 9 - Questão 1 da prova referente ao intervalo Figura 10 - Questão 2 da prova referente ao intervalo Figura 11 - Questão 3 da prova referente ao intervalo Figura 12 - Questão 4 da prova referente ao intervalo Figura 13 - Questão 5 da prova referente ao intervalo Figura 14 - Questão 1 da prova referente ao intervalo Figura 15 - Questão 2 da prova referente ao intervalo Figura 16 - Questão 3 da prova referente ao intervalo Figura 17 - Questão 4 da prova referente ao intervalo Figura 18 - Questão 5 da prova referente ao intervalo Figura 19 - Questão 1 da prova referente ao intervalo Figura 20 - Questão 2 da prova referente ao intervalo Figura 21 - Questão 3 da prova referente ao intervalo Figura 22 - Questão 4 da prova referente ao intervalo Figura 23 - Questão 5 da prova referente ao intervalo

8 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Gráfico 1 - Resultado dos estudantes na questão Gráfico 2 - Resultado dos estudantes na questão Gráfico 3 - Resultado dos estudantes na questão Gráfico 4 - Resultado dos estudantes na questão Gráfico 5 - Resultado dos estudantes na questão Gráfico 6 - Resultado das médias das ações

9 LISTA DE TABELAS Tabela 1 - Tipos de base orientadora da ação...18 Tabela 2 - Dimensões das categorias para análise qualitativa e quantitativa...28 Tabela 3 - Resultado dos estudantes na questão Tabela 4 - Resultado dos estudantes na questão Tabela 5 - Resultado dos estudantes na questão Tabela 6 - Resultado dos estudantes na questão Tabela 7 - Resultado dos estudantes na questão Tabela 8 - Resultado das médias das ações Tabela 9 - Intervalos de frequência

10 Sumário INTRODUÇÃO Objetivo Geral Objetivos Específicos CAPÍTULO I - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Fundamentos Psicológicos Expressões algébricas e valor numérico A Atividade de Situações Problema em expressões algébricas e valor numérico CAPÍTULO II - PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS Caracterização da pesquisa Variáveis e categorias de análises Instrumento da pesquisa CAPITULO III: RESULTADOS E ANÁLISES Diagnóstico da aprendizagem dos estudantes Relações entre as ações na Atividade de Situações Problema Proposta de um plano de ensino CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

11 INTRODUÇÃO Ao longo dos anos percebemos, ao nosso redor, os grandes avanços que a sociedade vem sofrendo. Aos poucos, essas mudanças exigem adaptações para que sejamos encaixados nesse meio. A sociedade moderna, cada vez mais, requer pessoas capacitadas e a escola tem uma alta responsabilidade em estimular e preparar os estudantes desde cedo, porém a mesma não tem conseguido avançar no mesmo ritmo que as necessidades sociais. Diante desse contexto, a escola precisa assumir uma nova postura, priorizando o ensino aprendizagem, através de uma reestruturação no ensino, fundamentado por teorias com enfoque na aprendizagem desenvolvimental, que venham preparar os estudantes para o mundo em que vivem. Em muitas escolas, é comum a abordagem tradicional dos conteúdos, na qual o professor apresenta aos estudantes exposições orais, em seguida os mesmos são incentivados a trabalhar com exercícios selecionados, dessa forma as informações obtidas são para uso em curto prazo, de modo que posteriormente elas desaparecem, o aluno dificilmente conseguirá aplicar esse conhecimento em novas situações, limitando na maioria das vezes o conhecimento e a sua capacidade criativa. Em vez de concentrar-se no ensino da memorização e na aplicação de técnicas na resolução dos problemas com base nas exposições dos professores; é necessário conferir ênfase na abordagem dos conteúdos, colocando o estudante no centro do processo de aprendizagem, isso quer dizer que o estudante não se limita a receber passivamente o conhecimento, mas o elabora novamente, de modo constante e autônomo. Desse modo, os estudantes mudam da posição de meros espectadores para a de criadores ativos, construtores do seu conhecimento. A função do professor no processo de aprendizagem é de grande responsabilidade, Segundo Talízina (1984, 1988, 1994) o professor tem duas funções principais: ser uma fonte de informação e dirigir o processo assimilação. Como fonte de informação deve selecionar os conhecimentos da disciplina, o sistema de habilidades, explicar os conteúdos e ensinar a lógica de execução das ações. Por outro lado deve dirigir o processo de transformação das ações externa sobre o objeto em internas, ou seja, a direção deve estar centrada na interação entre o objeto (conteúdo) e o estudante. 11

12 Atualmente é notório que o ensino tradicional, precisa ser substituído por ensino alicerçado em teorias centradas na cognição, e que os professores conheçam essas teorias e coloquemnas em prática, garantido assim aos estudantes, um processo completo na assimilação dos conteúdos ensinados. Nesse contexto quais são as contribuições da teoria histórico-cultural, para uma aprendizagem desenvolvimental, no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico nos estudantes do 8º ano do Ensino Fundamental II, do Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Roraima (CAp-UFRR)? Objetivo Geral Analisar as contribuições da teoria histórico-cultural para uma aprendizagem desenvolvimental no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico nos estudantes do 8º ano do Ensino Fundamental II, do Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Roraima (CAp-UFRR). Objetivos Específicos Diagnosticar o nível de aprendizagem dos estudantes em expressões algébricas e valor numérico; Estudar as relações do sistema de ações da Atividade de Situações Problema em expressões algébricas e valor numérico; Verificar a contribuição da Base Orientação da Ação da Atividade de Situações Problema em expressões algébricas e valor numérico. O presente trabalho se divide em três capítulos, o primeiro se caracteriza por apresentar os fundamentos psicológicos onde se descreve a evolução da teoria histórico-cultural de Vygotsky que organiza a base dos estudos desenvolvidos. Vygotsky desenvolveu os conceitos de "área de desenvolvimento atual" e "zona de desenvolvimento proximal" de suma importância para a educação como uma ciência. Em seguida, define-se a atividade de estudo segundo Leóntiev; embasada nessas teorias surge a teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin, a teoria geral de direção da atividade de estudo de Talízina e a Atividade de Situações Problema (ASP), no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico. O segundo capítulo apresenta os procedimentos metodológicos utilizados na pesquisa, começa-se pela caracterização da mesma em mista, pois relaciona resultados qualitativos e quantitativos com ênfase nos qualitativos; expõe-se as variáveis e categorias de analises que serão utilizadas para correção do instrumento empregado, por fim apresenta-se a prova de 12

13 lápis e papel como instrumento usado para obter dados que possibilite realizar as análises desejadas. Por fim o terceiro capítulo, constituído pelas análises e discussões dos resultados da prova de lápis e papel, como resultado das análises quantitativas os dados coletados serão organizados e apresentados em tabelas e gráficos que serviram de base para as análises qualitativas do desempenho obtido. 13

14 CAPÍTULO I - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA O enfoque deste trabalho é o processo de ensino aprendizagem, no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico, fundamentado por teorias centradas na cognição, para isto será apresentada brevemente a evolução da teoria histórico-cultural de Vygotsky, apoiada pela teoria da atividade de Leóntiev, continuada pela teoria de formação das ações mentais de Galperin e direcionada pela atividade de estudo de Talízina Fundamentos Psicológicos As teorias explanadas a seguir, tem como referência os artigos de TINTORER, O.; MENDOZA, H. J. G. Com título, evolução da teoria histórico cultural de Vygotsky a teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin; seguido da Atividade de Situações Problema em Matemática de MENDOZA, H. J. G.; TINTORER, Oscar; e por fim, a didática da Matemática fundamentada na teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin, de MENDOZA, H. J. G.; TINTORER, O. Nas quais, buscam relacionar os métodos de resolução de problemas matemáticos, para a construção da Atividade de Situações Problema em Matemática de MENDOZA e TINTORER, fundamentados na teoria de Galperin. Na década dos anos 20, um grupo de especialistas soviéticos liderado por Vygotsky, indicaram uma reestruturação da psicologia como ciência, com base nos princípios da filosofia marxista a fim de superar a psicologia do subjetivismo e fenomenalismo, acabando com a separação da psique humana como portadora de relações sociais. Na teoria histórica cultural de Vygotsky, o processo de assimilação do homem está dado pela experiência social. Vygotsky, Leóntiev e Galperin entre outros reconhecem a natureza social da atividade interna (psíquica) do homem e sua unidade com a atividade externa, prática ou material (TALÍZINA, 1984, 1988, 1994; VYGOTSKY, 2001, 2003a, 2003b). Para dominar sua conduta, ou seja, dirigir sua psique, o homem deve apoiar-se no inicio em objetos externos e só depois, através da mediação, ele adquire a capacidade de fazê-lo mentalmente utilizando suas ideias internas que são agora elementos da atividade psíquica. Portanto a ideia central de Vygotsky (2001, 2003a, 2003b) é que a atividade psíquica, interna, é construída pela atividade externa estabelecendo uma unidade dialética entre ambas. A psiques sem a conduta não existe, como a conduta sem a psiques também não. No ser humano, esta atividade está condicionada pelo uso de instrumentos e as formas de utilização que a sociedade estabeleceu historicamente. Assim as funções psíquicas superiores 14

15 no homem foram originadas nas primeiras formas de comunicação verbal entre as pessoas e estão mediatizadas pelos signos, especificamente os signos linguísticos. Para Vygotsky (2001) as funções intelectuais superiores e psicológicas aparecem duas vezes: primeiro como interpsíquicas e depois como intrapsíquica. Neste sentido, desenvolveu os conceitos de "área de desenvolvimento atual" e "zona de desenvolvimento proximal" de suma importância para a educação como uma ciência. Conforme considerações vigotskianas para "zona de desenvolvimento atual" significa o conhecimento disponível pelo aluno, o real que possui, enquanto na "zona de desenvolvimento potencial" se entende que o aluno possa chegar ao conhecimento com uma ajuda, seja outro estudante superior ou pelo próprio professor. Esta consideração explica o relacionamento inicial interpsicológico e assimilação pessoal e final do conhecimento, uma condição de caráter intra-psicológica. Portanto, Vygotsky (2003a) define que a "zona de desenvolvimento proximal" é a distância entre o nível real de desenvolvimento que é habitual determinado por resolução de problemas e independente do nível de desenvolvimento potencial, determinado através de resolução de problemas na direção de um adulto ou uma colaboração de pares mais capazes. A seguir a figura 1 apresenta a estrutura da definição dada sobre a zona de desenvolvimento proximal. Figura 1 - Estrutura da zona de desenvolvimento Proximal Fonte: PILAR (2003). 15

16 Então resumir-se a teoria de Vygotsky em quatro pressupostos: i) a base para o desenvolvimento mental do homem é uma mudança na sua vida social ou sua atividade; ii) a forma original do desempenho da atividade é realçada por um indivíduo no externo, social, iii) as novas estruturas mentais que são formadas no homem são derivados da internalização da forma inicial da atividade e, iv) diferentes sistemas de signos desempenham um papel central para o processo de interiorização (Davydov; Zinchenko, 2003). Vygotsky contribuiu de maneira significante, para o desenvolvimento de outras teorias com mesmo enfoque, se pode considera-la como propulsora das outras teorias, que por sua vez buscavam resolver algumas imperfeições encontradas na teoria histórico cultural. Como por exemplo, Vygotsky não estabeleceu uma relação direta entre a psique e a atividade prática do sujeito, mas cria as bases do princípio da unidade da psique e a atividade. Posteriormente os trabalhos de Rubinstein e Leóntiev superam as críticas dos trabalhos de Vygotsky. Rubinstein propõe analisar a atividade do sujeito como o objeto da psicologia, mas tampouco revelou a relação concreta entre a psique e a atividade, nem no plano teórico, nem no plano experimental (Talízina, 1988). Talízina coloca que esta insuficiência foi resolvida por Leóntiev, sendo a principal objeção apontada por ele, a necessidade de analisar, de forma crítica e objetiva, a teoria históricocultural de Vygotsky expressando que não são apenas: os conceitos, significados, signos ou instrumentos; mas a atividade real do sujeito que une o organismo com a realidade circundante, que determina o desenvolvimento da consciência como um conjunto, como algumas funções mentais (1988, p. 21). Portanto Leóntiev torna a atividade o objeto da psicologia e é precisamente através dela, que o sujeito se relaciona com o mundo. Em seus estudos sobre a estrutura das atividades Leóntiev considerando o propósito e razão como elementos-chave e estabelecido, que tanto devem corresponder também separar os conceitos de ação, atividade e operação. Neste sentido, a atividade humana é parte das ações que são executadas através de operações. Considerando a atividade mental como um caso especial da atividade humana na sua relação com seu mundo material externo (Talízina, 1988, p. 23). Segundo Talízina (.1988, p 30) afirma que: "... Leóntiev não apenas expõe a tese de sobre a psique como atividade externa transformada, mas a forma de realização discutida totalmente no processo de ontogenia. A investigação sistemática deste problema é um crédito para Galperin e seus associados." 16

17 Os trabalhos de Vygotsky, Leóntiev, Rubinstein e seus partidários conduziram, aos fines dos anos 40, aos princípios que constitui os fundamentos da psicologia soviética e da teoria de formação por etapas das ações mentais que são: a) o enfoque do caráter ativo do objeto da psicologia (atividade), b) o reconhecimento da natureza social psíquica do homem e c) o reconhecimento da unidade da atividade psíquica e a atividade externa, prática. (Talízina, 1988, p. 30). Através da atividade o sujeito se relaciona com o objeto respondendo a suas necessidades e adotando uma atitude. A interação entre o objeto e sujeito, possibilita ao último internalizar o objeto e dá solução as tarefas. A vida humana está formada por um sistema de atividades e elas não existe sem o objeto, mas este último pode-se apresentar independente do sujeito ou como reflexo de sua interação. A atividade está formada por ações, operações e objetivos, ou seja, o sujeito se relaciona com o mundo exterior através de uma atividade que está formada por um sistema de ações, a sua vez cada ação, por um sistema de operações para alcançar um objetivo. A atividade é movida pelo motivo (material ou ideal), as ações pelo objetivo e as operações se originam pelas condições da atividade, mas o motivo pode influenciar nas ações para alcançar objetivo. Portanto, a assimilação dos conteúdos ou aquisição de conhecimento exige que o sujeito realize um sistema de atividades, um sistema de ações que se pode transformar em habilidades ou hábitos em determinadas condições do processo de ensino. A atividade ou ações ou habilidade ou hábitos atuam como objeto de assimilação. A teoria da atividade é baseada em instrução planejada, cuja intenção essencial é aumentar a eficiência do processo instrutivo e educativo, utilizando os processos mais modernos de técnicas disponíveis para a ciência. Na teoria da atividade de Leóntiev (2004) o estudante se relaciona com o mundo através da atividade que está formada por ações com suas respectivas operações para alcançar um objetivo. Leóntiev reconhece nos trabalhos de Vygotsky que a atividade interna ou mental é reflexo da atividade externa ou material, mas não indica como é esta transformação. Em seguida Galperin indica o caminho para a transformação, não resolvida por Leóntiev, ao colocar que a atividade antes de ser mental deve passar por cinco etapas qualitativas, que são: primeira etapa, formação da base orientadora da ação; segunda etapa, formação da ação em forma material ou materializada; terceira etapa, formação da ação verbal externa; quarta etapa, formação da linguagem interna para si e a quinta etapa, formação da linguagem interna. Isto se conhece como a teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin 17

18 (GALPERIN; TALÍZINA, 1967, TALÍZINA, 1984, 1988). A continuação será exposta as cinco etapas de formação das ações mentais. Se começará por uma etapa zero além dos cincos que existe entre a forma material e interna que é a motivacional. É conhecido para o professor se não existe motivação por parte do estudante é difícil obter sucesso na aprendizagem. E0: Motivacional, a motivação tem que começar dos alunos que queiram aprender e que também influencia do professor transmitir seus conhecimentos ao indivíduo para mostrar uma direção a ser seguida. Em outras palavras é o impulso interno que leva à ação de conquista o seu objetivo. E1: Elaboração da Base Orientadora da Ação (BOA), a BOA distingue-se por três caraterísticas do sistema de ações, a primeira caraterística pode ser geral ou concreta, ou seja, quando o estudante domina ações gerais em relação ao objetivo para resolver um número maior de tarefas. A segunda está relacionada com o êxito da atividade que depende da plenitude das ações orientadas que devem ser suficientes (completa) para alcançar o objetivo e nunca insuficiente (incompleta). A terceira característica é a forma de obtenção do sistema das ações pelo estudante, a partir das orientações do professor o estudante vai incorporando o sistema de ações para dar solução às tarefas a serem desenvolvidas de forma independente. Quando o professor apresenta o sistema de ações pronto, sem muito esforço para o estudante, se diz que a forma de obtenção é preparada. A continuação será exposta na tabela 1, os tipos de Base Orientadora da Ação. Tabela 1 - Tipos de Base Orientadora da Ação Nº Caráter Generalizado Plenitude Modo de Obtenção 1 Específica Incompleta Independente 2 Específica Completa Preparada 3 Generalizada Completa Independente 4 Generalizada Completa Preparada 5 Generalizada Incompleta Preparada 6 Generalizada Incompleta Independente 7 Específica Completa Independente 8 Específica Incompleta Preparada Fonte: Talizina (1988, p.89). 18

19 Segundo Talízina (1988) a BOA mais produtiva é a orientada de forma geral, completa e obtida de forma independe pelos estudantes, mas é possível utilizar outra BOA sempre que seja completa dependendo das condições de ensino, ainda com limitações na retenção e transferência. Para Talízina desde o ponto de vista da motivação, é muito importante que o professor trabalhe conjuntamente com os alunos, para que eles tenham a sensação que estão elaborando junto com o professor a base orientadora da ação. O caráter generalizado das ações nesta etapa está relaciona com a BOA selecionada, o professor deve explicar as ações passo a passo. O professor deve verificar se aluno está claro como deve atuar, se não compreender há que explicar novamente, mas compreender não significa assimilar, por isso ainda faltam quatro etapas de assimilação (1984, p ). E2: Formação da ação em forma material ou materializada, o estudante deve realizar as ações passo a passo com a ajuda de portadores externos da informação. O papel do professor é ativo, deve verificar a execução da cada ação com suas respetivas operações e o controle do objetivo e se é necessário realizar as correções necessárias. A generalização das ações está limitada pelos casos padrões onde são aplicadas as ações. Ainda as ações são compartilhadas com o professor e colegas e não automatizadas (consciente), mas saber fazer as ações não significa saber explicar. E3: Formação da ação verbal externa, a linguagem tem rol fundamental, o estudante deve saber explicar as ações de forma consciente sem o apoio das ações externas materializadas e o principal objetivo é assimilar as operações; se começa a trabalhar num plano teórico. A posição do professor muda, nesta etapa aumenta a função reguladora no controle das ações sendo muito importante corrigi-lo quando cometem erros. No final da etapa deve aumentar a independência dos estudantes, mas é ainda explanada, compartilhada e consciente. É necessário aumentar a complexidades dos problemas e/ou exercícios, devem ser heterogêneos, diferentes e aplicados a diversas situações. A generalização toma outra dimensão, o sistema de ações deve ser explicado pelos estudantes, alcançando certo grau de compactação ante novas tarefas não trabalhadas nas etapas anteriores. E4: Formação da ação na linguagem externa para si, ela é transitória antes da formação da linguagem interno. Caracterizam-se pela realização das ações pelo estudante para adentro, como se fosse um pensamento em voz alta, onde as ações são explanadas, conscientes e generalizadas. As ações começam a reduzir-se rapidamente e automatizar- se dando passo a internalização. O controle das ações passa do externo para o interno. 19

20 E5: Formação da ação na linguagem interna, a atividade adquire a forma mental, ou seja, as ações agora passam a ser mental, generalizada, comprimida, independente e automatizada. Pode-se resumir que a internalização do objeto de estudo (conteúdos) consiste na transformação de ações: externas em internas, materiais em mentais, não generalizada em generalizadas, detalhas em comprimidas, conscientes em automatizadas, compartilhadas em abreviadas Expressões algébricas e valor numérico Quando teria o homem começado a fazer Matemática? Esta é uma pergunta interessantíssima para a qual somente se pode levantar algumas conjecturas. As descobertas científicas realizadas nas últimas décadas demonstram que a presença do homem na terra é muito mais antiga do que e imaginava. Os registros arqueológicos indicam que há cerca de anos houve uma grande revolução, digamos intelectual, em nossa espécie, talvez consequência de um salto evolutivo na linguagem. Há cerca de anos a arte já atingira grande qualidade, como demonstram as belíssimas pinturas de animais em cavernas na França e Espanha, numa prova de que formas e distribuições espaciais haviam se tornado familiares ao homem. A prática da contagem, em especial de pessoas e de animais, é muito antiga: um osso com cerca de anos de idade, encontrado na África, exibe marcas de contagem. Em torno de a.c. aparecem formas primitivas de escrita que evoluíram e consolidaram-se definitivamente na Mesopotâmia, com os Sumérios, e, poucos séculos depois, no Egito dos Faraós. Os mais antigos documentos escritos que se conhecem tratam de dois temas básicos: a glorificação dos reis e a contabilidade de impostos, estoques e transações comerciais. Alguns especialistas chegam a conjecturar que a escrita foi inventada para fazer registros numéricos. Durante muitos séculos após sua invenção, o uso das escritas mesopotâmica e egípcia ainda permaneceu restrito a um pequeno número de pessoas, os chamados escribas. A eles competia registrar a história dos reis, a contabilidade dos impostos, os estoques, e as transações comerciais. Ao fazê-lo, precisavam realizar pequenos cálculos aritméticos e geométricos de modo que seus conhecimentos não mais poderiam limitar-se as técnicas das letras e dos símbolos, mas deveriam incluir rudimentos matemáticos, que eles próprios desenvolviam e passavam a seus sucessores. Costuma-se dizer que os primeiros 20

21 conhecimentos matemáticos foram sendo acumulados de maneira indutiva (ou empírica) e não dedutiva. É oportuno ressaltar, neste ponto, que os documentos matemáticos daquela época não empregavam a alta dose de simbologia à qual estamos atualmente acostumados. De um modo geral, somente os números eram representados por símbolos: os desenvolvimentos eram, em sua quase totalidade, expressos por palavras, uma forma de expressão que hoje é conhecida por álgebra retórica. Dentre os raros símbolos matemáticos criados pelos egípcios, destacam-se o da soma e o da subtração, respectivamente um par de perninhas caminhando na direção da escrita ou contrariamente a ela. Um dos problemas de Ahmes dizia: uma quantidade, somada a seus 2/3, mais sua metade e mais sua sétima parte perfaz 33. Qual é esta quantidade? Evidentemente, os egípcios não adotavam a simbologia algébrica moderna, coisa inventada há poucos séculos. Não sabiam, também, resolver por nossos métodos nem mesmo as equações do 1º grau. Entretanto, usavam um artifício muito engenhoso que lhes permitia encontrar a resposta correta e que veio a ser chamado de regra da falsa posição. De qualquer forma, foram admiráveis os feitos dos valentes escribas, astrônomos e engenheiros que viveram há milênios pois, mesmo na ignorância, não tiveram medo dos números e enfrentaram-nos com as armas de que poderiam dispor: a persistência, a confiança e a vontade de pensar. A matemática tem várias ramificações, como a aritmética, que estuda os números e as operações, e a geometria, que estuda o espaço e as formas. Agora vamos iniciar o estudo de uma parte da matemática que, em sua linguagem, faz uso de letras no lugar de números: A Álgebra. O primeiro a escrever equações e expressões algébricas, apenas com letras e sinais matemáticos, foi o matemático francês, François Viéte que viveu no século XVI. Apaixonado por álgebra, esse matemático foi responsável pela introdução da primeira notação algébrica sistematizada, além de contribuir para a teoria das equações. Ficou conhecido como o pai da álgebra. Vejamos agora um experimento bem simples de ser realizado. Adivinhando o resultado: Pense em um número inteiro de 10 à 19, mas não me diga qual é. Some os dois algarismos. Agora, subtraia essa soma do número que você pensou. Eu vou adivinhar o resultado final que você encontrou. É 9! Certo? 21

22 Se você fizer essa pequena mágica com um colega ou com uma pessoa de sua família, vai causar surpresa. Isso porque, mesmo sem conhecer o número pensado, você acha o resultado! Mas o que parece uma mágica é, na verdade, uma aplicação da álgebra. Primeiro veja o que acontece no caso particular em que o número pensado é 15: Número pensado: 15, pode ser escrito assim: Soma dos algarismos: 1 + 5; Número pensado menos a soma dos algarismos: (10 + 5) (1 + 5) = = 9. Agora, analisando o caso geral, veja que o número pensado pode ser: , ,... até Por isso, vamos indicá-lo por 10 + x. Número pensado: 10 + x; Soma dos algarismos: 1 + x; Número pensado menos a soma dos algarismos; (10 + x) (1 + x) = 10 + x 1 x = 9 Percebeu qual é o truque? Quando calculamos número pensado menos a soma dos algarismos, o x desaparece, pois x x = 0. Aí ficamos sempre com 10 1 = 9. Usando a álgebra, vimos que o resultado final não depende do número escolhido: ele é sempre igual à 9! Usando letras, podemos escrever generalizações, isto é, fatos que valem para todos os números de certo conjunto. Nesses casos, as letras são chamadas de variáveis quando representam números reais são chamadas de variáveis reais, por exemplo, a adição de quaisquer números reais é comutativa. Podemos representa-la da seguinte forma: se a e b são números reais, então: a+b = b+a. Substituindo as variáveis de uma expressão algébrica por números e efetuando os cálculos indicados, obtemos o valor numérico da expressão, por exemplo, dada a expressão a + 2, onde a = 3, chegaremos ao valor 5, que é o valor numérico da expressão. Com a utilização de variáveis é possível descobrir como expressar o termo geral de uma sequência, também generalizar muitas fórmulas matemáticas, como por exemplo, o cálculo da diagonal de um polígono convexo, a fórmula para o cálculo da área do quadrado, retângulo e etc. As operações como a adição, subtração, multiplicação e a divisão também podem ser efetuadas com expressões algébricas. Para iniciar o estudo dessas operações, vamos considerar expressões algébricas simples, chamadas de monômios. 22

23 Monômios são expressões algébricas que apresentam apenas um número, apenas uma variável ou multiplicações entre números e variáveis. Por exemplo: a) 5x 2 y 3 b) 2x c) x 3 d)12 Em um monômio distinguimos duas partes: um número, que é o seu coeficiente, e uma variável ou uma multiplicação de variáveis, que é a sua parte literal. Por exemplo: -2xy. O coeficiente é -2, e a parte literal é xy. Monômios Semelhantes possuem a mesma parte literal. Por exemplo: -6x e x, são monômios semelhantes. Adição e Subtração vamos considerar uma adição de monômios semelhantes. Por exemplo: 7x 3 y 2 +5x 3 y 2 Para somá-los, pode se pensar assim: temos 7 monômios x 3 y 2 mais cinco desses monômios; logo temos 7 + 5, ou seja, 12 monômios x 3 y 2. Portanto: 7x 3 y 2 +5x 3 y 2 = 12x 3 y 2 A subtração de monômios semelhantes também é feita dessa maneira. Quando os monômios não são semelhantes, deixamos apenas indicada a soma deles, ou a diferença. Multiplicação - acompanhe a multiplicação do monômio x 4 pelo monômio x 3 : x 4. x 3 = x. x. x. x. x. x. x = x 7 Aqui, temos um exemplo da propriedade das potências: na multiplicação de potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes. x 4. x 3 = x 4+3 = x 7 Essa propriedade será utilizada na multiplicação de monômios. Divisão acompanhe a divisão do monômio x 5 pelo monômio x 3 : x 5 / x 3 = x5 = x. x. x. x. x = x 2 x 3 x. x. x Aqui, temos um exemplo de outra propriedade: na divisão de potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes. Na álgebra, para iniciar o estudo das operações, consideramos expressões algébricas simples, chamadas de monômios. Agora, faremos o mesmo estudo com os polinômios. 23

24 Polinômio é qualquer monômio ou qualquer adição algébrica (isto é, adição ou subtração) de monômios. Exemplo: 2x + 3y y 3 Os monômios que formam um polinômio também são chamados de termos do polinômio. Forma reduzida de um polinômio considere o polinômio 2x 5 + 5x 3 y 2 7x 5 + x 3 y 2. Ele possui termos semelhantes, isto é, de mesma parte literal. Sabemos que esses termos podem ser somados ou subtraídos: 2x 5 + 5x 3 y 2 7x 5 + x 3 y 2 = 2x 5 7x 5 + 5x 3 y 2 + x 3 y 2 = -5x 5 + 6x 3 y 2 Dizemos então, -5x 5 + 6x 3 y 2 é a forma reduzida do polinômio 2x 5 + 5x 3 y 2 7x 5 + x 3 y 2. Um polinômio está na sua forma reduzida quando não tem monômios semelhantes A Atividade de Situações Problema em expressões algébricas e valor numérico A Atividade de Situações Problema (ASP) em Matemática, está orientada pelo objetivo de resolver situações problema, na zona de desenvolvimento proximal, num contexto de ensino aprendizagem onde existe uma interação entre o professor, o estudante e a situação problema, utilizando a resolução de problema em Matemática como metodologia de ensino, a tecnologia disponível e outros recursos didáticos, para transitar pelos diferentes estados do processo de assimilação. (Mendoza, Tintorer, 2017). A ASP em Matemática está formada por um sistema invariante de quatro ações com suas respetivas operações que permitem solucionar várias classes de problemas matemáticos. A continuação é exposta o sistema de ações com suas respectivas operações (Mendoza, 2009, Mendoza et al.,2009, Mendoza; Tintorer, 2010). A ASP em expressões algébricas e valor numérico está formada por quatro ações invariantes que são: 1ª ação, compreender o problema; 2ª ação, montar a expressão algébrica; 3ª ação, solucionar a expressão algébrica, encontrar o valor numérico; 4ª ação, interpretar a solução encontrada. Em cada ação existe um conjunto de operações com o objetivo de realizar cada ação (Mendoza, 2009; Tintorer; Mendoza, 2009). A primeira ação é compreender o problema e está formada pelas operações: ler o problema e extrair todos os elementos desconhecidos; estudar os dados e suas condições e determinar o(s) objetivo(s) do problema. 24

25 A segunda ação é construir o modelo matemático, que é determinar variável a ser utilizada na expressão algébrica; atribuir o significado que a variável deve representar na expressão; elaborar o modelo matemático a partir das informações e condições extraídas do problema. A terceira ação que é de solucionar o modelo matemático a qual temos que, Observar as variáveis da expressão algébrica, de acordo com os valores atribuídos a elas, realizar a substituição nas expressões, em seguida realizar as operações existentes, encontrar a solução do modelo matemático. Por último a quarta ação é interpretar a solução formada pelas operações: interpretar o resultado, extrair os resultados significativos que tenham relação com o(s) objetivo(s) do problema, dar resposta ao(s) objetivo(s) do problema, realizar uma reflexão baseado no(s) objetivo(s) do problema, analisar a partir de novos dados e condições que tenham relação direta ou não com o(s) objetivo(s) do problema existindo a possibilidade de reformular o problema e assim construir novamente o modelo matemático e interpretar sua solução. Portanto Talízina (1988, p. 14) afirma que o ensino planejado inclui os seguintes aspectos: a) a escolha da teoria psicológica de estudo que responde melhor às características específicas do ensino do homem; b) a formulação e realização das exigências de direção do processo de estudo apresentada pela teoria geral de direção; c) a criação dos recursos técnicos de ensino orientados ao modelo selecionado de ensino que satisfaça as exigências da teoria geral de direção. A direção da atividade de estudo deve considerar os seguintes elementos: o objetivo de ensino; o estado de partida da atividade psíquica dos estudantes; as tarefas para garantir as etapas do processo de assimilação; o enlace de retorno ou retroalimentação e a correção do processo de estudo (Talízina, 1984, 1988, 1994). Os conteúdos antes de ser internalizado pelos estudantes o sistema de ações da atividade devem passar por cinco etapas qualitativas que são: E0, Motivação; E1, formação da Base Orientadora da Ação (BOA); E2, formação da ação em forma material ou materializada; E3, formação da ação em verbal externa; E4, formação da ação em linguagem externa par si e E5, formação da ação em linguagem interno. O processo de ensino aprendizagem deve estar sob o comando do professor seguindo os princípios da teoria geral de direção, constituída por: o objetivo de ensino (D1), o estado de partida da atividade psíquica dos estudantes (D2), o processo de assimilação (D3), a retroalimentação (D4) e a correção (D5). Este processo deve ser cíclico e transparente 25

26 visando, como elemento principal, o processo de transformação da atividade externa à atividade interna (Talízina, 1984, 1988, 1994,2000). Se representará a direção da atividade a partir da figura 2, onde E1, E2 até E5 significa as cinco etapas de formação das ações mentais. Figura 2 - Direção da Atividade de Situações Problema D3 D3 D1 D2 ASP BOA E1 D4... ASP Interna E5 D4 Fonte: (MENDOZA, 2009). D5 D5 26

27 CAPÍTULO II - PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS Neste capítulo será exposto os procedimentos metodológicos utilizados para que sejam realizadas as coletas de dados e interpretação dos mesmos. A caracterização da pesquisa ocorre mediante aprendizagem no conteúdo matemático de expressões algébricas e valor numérico, ministrado aos alunos do 8º ano do Ensino Fundamental II, do Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Roraima (CAp UFRR), utilizando como instrumento de coleta uma prova de lápis e papel, na qual os resultados obtidos serão organizados em tabelas e gráficos, para posteriormente serem analisados de forma qualitativa e quantitativa com enfoque principal no qualitativo que é visto como essencial, evitando uma análise inadequada dos dados Caracterização da pesquisa O Colégio de Aplicação (CAp), o estabelecimento de ensino onde ocorreu a realização da pesquisa, atualmente encontra-se vinculado ao Centro de Educação da Universidade Federal de Roraima (CEDUC/UFRR), acompanhado dos cursos de Pedagogia, Psicologia e Educação do Campo. Atende as seguintes modalidades de ensino: Ensino Fundamental I, Ensino Fundamental II e Ensino Médio. O colégio conta com boa infraestrutura, composta por salas temáticas climatizadas e equipadas com materiais didáticos e eletrônicos. Compõem ainda a estrutura do CAp sala de leitura, biblioteca, laboratório de informática, auditório, sala de recursos multifuncionais para atendimento educacional especial, refeitório, laboratório de ciências, pátio interno entre outros espaços administrativos e pedagógicos. Os estudantes que participaram da pesquisa fazem parte de um turma formada por alunos que ingressaram no colégio por sorteio público e do último processo seletivo de prova. Atualmente a única forma de ingresso é mediante sorteio público. A pesquisa se apresenta como uma abordagem mista, relacionando as informações qualitativas com as quantitativas, com ênfase nas análises qualitativas; pretende-se através da mesma, diagnosticar a aprendizagem, no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico, de vinte e dois estudantes do 8º ano do ensino fundamental II, do Colégio de Aplicação - UFRR no ano de 2018, para isto será aplicado uma prova de lápis e papel, como instrumento para análise dos resultados, sendo está fundamentada nas ações da Atividade de Situações problemas (ASP) em Matemática. Recordemos que as ações da ASP são compreender o 27

28 problema, construir o modelo matemático, solucionar o modelo matemático e interpretar a solução Variáveis e categorias de análises Como já mencionado, a corrente pesquisa é do tipo mista pois, relaciona as análises dos resultados obtidos de forma qualitativa e quantitativa, com enfoque qualitativo. Na análise qualitativa, o sistema de ações da ASP, se converte em categorias e as operações realizadas pelo estudante em indicadores. As categorias qualitativas de análises da ASP em Matemática são: compreender o problema, construir o modelo matemático, solucionar o modelo matemático e interpretar a solução. Enquanto que na análise quantitativa, o sistema de ações se converte em variáveis, e as operações em dimensões quantificadas, em uma escala de 1 até 5 pontos, de acordo com os indicadores essenciais, que é entendido como conhecimento mínimo, que deve saber o estudante. Na tabela 2, apresentam-se as dimensões das categorias para análise qualitativa e quantitativa, utilizados para análise da prova de lápis e papel. Tabela 2 - Dimensões das categorias para análise qualitativa e quantitativa Aprendizagem no método resolução de problema em expressões algébricas. Definição conceitual: é a capacidade dos alunos resolver problemas e suas transferências para novas situações problema. Definição operacional: é a diferença de desempenho comparando um ponto inicial com outro, a fim de resolver problemas e estabelecer transferências para novas situações problema. Dimensão Descrição Y1 Desempenho de compreender o problema Y2 Desempenho de construir o modelo Y3 Desempenho de solucionar o modelo Y4 Desempenho de interpretar a solução Medição: para designar o resultado quantitativo a cada dimensão (Y1, Y2, Y3, Y4) será utilizado uma escala de 1 até 5 pontos com os critérios: Se o aluno tem somente correto o indicador essencial obterá a qualificação de três (3); Se todos os indicadores estão incorretos obterá a qualificação de um (1); Se todos os indicadores estão corretos obterá a qualificação de cinco (5); Se o indicador essencial está incorreto ou parcialmente incorreto e/ou existe pelo menos outro indicador parcialmente correto obterá a qualificação de dois (2); Se o indicador essencial está correto, mas existe pelo menos outro indicador parcialmente correto obterá a qualificação de quatro (4). Fonte: (MENDOZA, 2009). 28

29 Se o aluno tem somente correto o indicador essencial, obterá qualificação de três (Regular), se todos os indicadores estão incorretos, obterá qualificação de um (Muito Ruim), se todos os indicadores estão corretos, obterá qualificação de cinco (Muito Bom), se o indicador essencial está incorreto ou parcialmente incorreto, obterá qualificação de dois (Ruim), se o indicador essencial está correto, mas existe pelo menos outro indicador parcialmente correto obterá qualificação de quatro (Bom). Indicadores da dimensão Nível da ação compreender o problema (Y1) O aluno extrai os dados do problema? O aluno determina as condições do problema? O aluno define o(s) objetivo(s) do problema? Indicador essencial: O aluno define o(s) objetivo(s) do problema. Indicadores da dimensão Nível da ação construir o modelo matemático (Y2) Determinar variável a ser utilizada na expressão; atribuir o significado que a variável deve representar na expressão; elaborar o modelo matemático a partir das informações e condições extraídas do problema. Indicador essencial: O aluno define e constrói o modelo matemático a partir das condições e variáveis. Indicadores da dimensão Nível da ação solucionar o modelo matemático (Y3) Observar as variáveis da expressão algébrica, de acordo com os valores numéricos atribuídos a elas, realizar a substituição nas expressões, em seguida realizar as operações existentes, e por fim encontrar a solução do modelo matemático, ou seja, encontrar a solução da expressão. Indicador essencial: O aluno deve utilizar o melhor caminho de passo a passo, que contenha recurso necessário para solucionar o modelo matemático. Indicadores da dimensão Nível da ação interpretar a solução (Y4) Interpretar o resultado; extrair os resultados significativos que tenham relação com o(s) objetivo(s) do problema; dar resposta ao(s) objetivo(s) do problema; analisar a partir de novos dados e condições que tenham relação direta ou não com o(s) objetivo do problema, a possibilidade de reformular o problema, construir novamente o modelo matemático, solucionar o modelo matemático e interpretar a solução. 29

30 Indicador essencial: O aluno dá resposta ao(s) objetivo(s) do problema. Considerando o indicador essencial como parâmetro, e a escala de critérios estabelecidos, se determinará o valor alcançado por cada estudante. Os dados serão apresentados em tabelas e gráficos, nas análises e discursões dos resultados Instrumento da pesquisa A prova de lápis e papel, foi aplicada aos estudantes do 8º ano do Ensino Fundamental, como instrumento de coleta de dados. O objetivo de utilizar esse recurso é obter informações, que possibilitem realizar analises referentes a aprendizagem desenvolvimental, no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico. A prova contém cinco questões, relaciona-se em cada questão as categorias da ASP, dessa maneira possibilitará, uma análise quantitativa e qualitativa, mais eficiente dos resultados. Prova Questão 1 Escreva as expressões algébricas que correspondem as sentenças matemáticas abaixo. Em seguida, calcule o valor numérico de cada uma delas para x = 2. a) A soma de um número com 6; b) O quíntuplo de um número menos 3. Observa-se que a questão envolve as ações: compreender o problema, construir o modelo matemático e soluciona-lo. É necessário que o estudante seja capaz de extrair os dados do problema, através das informações obtidas, determinar a variável a ser utilizada para construir as expressões algébricas, depois de construir as expressões, o estudante precisa substituir corretamente o valor numérico que a variável utilizada representa, em seguida realizar as operações de multiplicação, adição e subtração com números inteiros. Dessa forma o estudante solucionará o modelo matemático, ou seja encontrará as soluções das expressões algébricas. Questão 2 Calcule o valor numérico das expressões algébricas abaixo para x = -2 e y = 3. a) x + 3y b) x 2 + 5y 30

31 Esta questão, envolve apenas a ação solucionar o modelo matemático. Como a questão determina o valor numérico das variáveis estabelecidas nas expressões, o estudante necessita substitui-lo corretamente nas variáveis das expressões, realizar em seguida, as operações de potenciação, multiplicação e adição com números inteiros. Assim, encontrará a solução das expressões algébricas. Questão 3 A quantidade de água (L), em litros, que uma bomba pode retirar de um poço e levar até uma caixa-d água, no alto de uma residência, é representada por L = 45t + 10, em que t é o tempo em minutos (t>0). Quantos litros de água essa bomba terá colocado na caixa-d água após uma hora de funcionamento? A questão relaciona as ações compreender o problema, solucionar o modelo matemático e interpretar a solução; sendo que esta última ação não poderá ser analisada com clareza em decorrência da formulação da questão. O estudante necessita extrair os dados do problema, o mesmo perceberá que o modelo matemático já se encontra pronto, então terá que encontrar o valor da variável presente na expressão, substituir corretamente o valor numérico que a variável representa, e em seguida realizar as operações de multiplicação e adição de números inteiros, dessa maneira será encontrada a solução da expressão algébrica. Depois de encontrar o resultado, ou seja solucionar o modelo matemático o estudante terá condições para dar resposta ao problema. Questão 4 O valor de venda de certo chocolate é obtido pela soma do valor da embalagem mais o dobro do valor de produção: a) Escreva uma expressão algébrica que representa o valor de venda deste chocolate. b) Qual será o preço de venda desse chocolate se o valor da embalagem for R$ 2,75 e o valor de produção for R$ 6,00? A questão permite relacionar todas as ações, lembrando que as ações são: compreender o problema, construir o modelo matemático, solucionar o modelo e interpretar a solução. A 31

32 ação interpretar a solução, não pode ser analisada com clareza, em consequência da formulação da questão. Esta questão exige do estudante, um pensamento mais estruturado acerca do conteúdo estudado, pois ao extrair os dados do problema, o mesmo necessita determinar as variáveis e o significado delas no problema, a partir daí construir o modelo matemático, ou seja, a expressão algébrica; depois de construí-la, o estudante precisa substituir corretamente, os valores numéricos que as variáveis representam na expressão, em seguida realizar as operações de multiplicação e adição; dessa forma será obtido a solução do modelo matemático. Após soluciona-lo, o estudante deverá interpretar a solução e dar resposta ao problema. Questão 5 Na bilheteria do cinema há um cartaz com o preço dos ingressos. Criança: R$ 8,00. Adulto: R$ 16,00. Se foram vendidos 120 ingressos para adulto e 215 ingressos para criança, qual o valor arrecadado? Nesta questão assim como na anterior, estão relacionadas as quatro ações; compreender o problema, construir o modelo matemático, solucionar o modelo e interpretar a solução. Tendo em vista que, devido a formulação da questão, a ação interpretar a solução não se verifica com clareza. O estudante deve extrair as informações do problema, precisa determinar as variáveis e o significado delas no problema, a partir daí construir o modelo matemático, ou seja, a expressão algébrica; depois de construí-la, é necessário substituir corretamente os valores numéricos que as variáveis representam na expressão, em seguida realizar as operações de multiplicação e adição. Assim, será obtido a solução do modelo matemático, após solucionalo o estudante deverá interpretar a solução e dar resposta ao problema. 32

33 CAPITULO III: RESULTADOS E ANÁLISES No decorrer deste capítulo, será apresentado e analisado o desempenho, obtido pelos vinte e dois estudantes do 8º ano do Ensino Fundamental, que realizaram a prova de lápis e papel, no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico. Como resultado das análises quantitativas, os dados coletados serão organizados e apresentados em tabelas e gráficos, que serviram de base para as análises qualitativas do desempenho obtido. Em cada questão da prova, encontra-se analises do desempenho quantitativo e qualitativo, dos estudantes em relação às ações da ASP e suas respectivas operações. Em seguida, uma análise geral das médias das ações da ASP, e por fim, será selecionado uma prova de cada faixa de frequência, para uma análise mais detalhada Diagnóstico da aprendizagem dos estudantes O diagnóstico da aprendizagem dos estudantes, no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico, obtido através do instrumento prova de lápis e papel, tem o objetivo de buscar informações através das categorias da ASP, do nível de aprendizagem alcançado pelos estudantes, diante da utilização da teoria histórico-cultural. As ações da ASP são convertidas nas seguintes categorias qualitativas de análises: compreender o problema, construir o modelo matemático, solucionar o modelo matemático e interpretar a solução. Levando em consideração que as questões expressas na prova, não permitem avaliar com clareza a quarta ação, que é interpretar a solução. A prova diagnóstica foi elaborada de maneira específica, composta por cinco questões buscou-se relacionar as categorias da ASP nas mesmas, dessa forma possibilitou uma análise minuciosa dos resultados; os valores quantitativos empregados nas questões são atribuídos de acordo com a tabela 2 apresentada anteriormente. Os resultados exibidos a seguir, representa o desempenho dos estudantes no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico alcançados na prova diagnóstica, a continuação será apresentada as tabelas e gráficos dos resultados obtidos em cada questão. O intuito é analisar qualitativamente o desempenho dos estudantes, a partir dos dados quantitativos que obtiveram na prova. A seguir, a tabela 3 e o gráfico 1 expostos abaixo, referem-se ao desempenho dos estudantes na questão 1. 33

34 Tabela 3 - Resultado dos estudantes na questão 1 E Q-1 1 A 2 - A 3 A A B A B A B E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Media 4,8 4,3 4,8 4,2 4,8 3,9 Mediana Moda DP 0,83 1,29 0,83 1,35 0,83 1,68 Gráfico 1 - Resultado dos estudantes na questão 1 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 Médias das Ações da P-1 0,0 E01 E02 E03 E04 E05 E06 E07 E08 E09 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 E22 1ªA 2ªA 3ªA 34

35 A questão relaciona as três ações da ASP: compreender o problema, construir o modelo matemático e solucioná-lo. Dos 22 estudantes que participaram da pesquisa, 15 obtiveram pontuação máxima em todas as ações analisadas, o que é um excelente resultado e mostra que a maioria da turma extraiu os dados do problema, através das informações determinou a variável a ser utilizada na expressão algébrica, depois de montar a expressão, substituiu o valor numérico que a variável utilizada representa, e em seguida encontraram corretamente a solução do problema. Através do gráfico 1, observa-se um rendimento bom nas médias dos estudantes (E-08 e E- 09), ambos apresentam pontuações entre 4 e 5 nas ações analisadas; outra característica destes estudantes é que retratam pontuações mais elevadas nas ações compreender o problema e montar a expressão, ao solucioná-la apresentam rendimentos mais baixos, sendo que os erros cometidos com mais frequência nestes casos são aritméticos, não estão ligados em si ao conteúdo estudado, ou a compreensão do que se pede na questão. Já os estudantes (E-02, E- 04, E-05 e E-07), apresentam rendimento regular com pontuações entre 3 e 4. Observa-se que conseguem pontuações mais elevadas nas primeiras ações, e que esses rendimentos são menores na última ação, esse comportamento ao aparecer se manifesta por que os estudantes não compreendem corretamente o problema, por seguinte não avançam corretamente para as próximas ações; nestes casos os erros cometidos com mais frequência não são apenas aritméticos, estão relacionados a interpretação inadequada dos dados da questão, e também ao conteúdo estudado. Apenas o E-03 apresenta características diferentes dos demais estudantes, não consegue avançar em nenhuma das ações analisadas. Não compreende o que se pede na questão, não conseguiu extrair os dados e consequentemente não avança nas outras ações; novamente podemos perceber que as ações estão relacionadas entre si pois, se o estudante não compreende o que se pede questão, dificilmente conseguirá avançar nas outras ações. A seguir, será exposta a tabela 4 e o gráfico 2, que representam o desempenho dos estudantes na questão 2. Tabela 4 - Resultado dos estudantes na questão 2 Q-2 3ªA E A B Média E ,0 E ,5 E ,0 E ,5 E ,0 E ,0 35

36 E ,0 E ,0 E ,0 E ,5 E ,5 E ,5 E ,0 E ,0 E ,0 E ,0 E ,0 E ,0 E ,0 E ,0 E ,0 E ,0 Media 4,2 4,0 4,1 Mediana 5 4,5 4,5 Moda DP 1,34 1,26 1,26 Gráfico 2 - Resultado dos estudantes na questão 2 5,0 Média da 3ª Ação da P-2 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 E01 E02 E03 E04 E05 E06 E07 E08 E09 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 E22 Esta questão envolve apenas a ação solucionar o modelo matemático, tendo o estudante que determinar o valor numérico das expressões algébricas, para isto, necessita substituir corretamente o valor das variáveis, realizar em seguida as operações de potenciação, multiplicação e adição com números inteiros. A média obtida pelos estudantes oscilaram de 4,0 a 4,2; então pode-se considerar que obtiveram um bom desempenho na questão. 10 estudantes (E-13, E-14, E-15, E-16, E-17, E- 18, E-19, E-20, E-21 e E-22) obtiveram pontuação máxima, ou seja, solucionaram 36

37 corretamente a expressão algébrica; os estudantes (E-02, E-04, E-06, E-09, E-10, E-11 e E- 12) apresentaram pontuação entre 4 e 5, então conseguiram fazer corretamente o indicador essencial, mais existe pelo menos outro parcialmente correto, ou seja, substituíram corretamente o valor da variável e cometeram pequenos erros aritméticos. Com pontuação entre 3 e 2 estão os estudantes (E-01, E-07 e E-08), estes substituíram parcialmente correto o valor das variáveis nas expressões algébricas e por seguinte não chegaram a solução correta; já os estudantes (E-03 e E-05), não conseguiram desempenho na ação, obtendo dessa forma pontuação 1. A tabela 5 e o gráfico 3 abaixo, expõe o desempenho dos estudantes na questão 3. Tabela 5 - Resultado dos estudantes na questão 3 Q-3 E 1ªA 3ªA 4ªA E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Media 2,7 2,8 2,6 Mediana 1,5 2 1 Moda DP 1,91 1,87 1,97 Nesta questão é dada a expressão algébrica, o estudante necessita compreender o problema, solucionar a expressão e interpretar a solução. Os resultados apresentados mostram que a maioria dos estudantes obtiveram rendimento ruim, apresentam uma média que oscila 37

38 entre 2,6 e 2,8; outra característica é que exibem moda igual a 1, indicando que está foi a nota que mais se repetiu, a mesma indica que os estudantes não conseguiram avançar em nenhuma das ações analisadas. Gráfico 3 - Resultado dos estudantes na questão 3 5 Resultado da P E01 E02 E03 E04 E05 E06 E07 E08 E09 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 E22 1ªA 3ªA 4ªA Dos 22 estudantes que realizaram a prova, 9 (E-01, E-02, E-03, E-04, E-08, E-10, E-12, E- 13 e E-14) obtiveram nota 1 em todas as ações, ou seja, não interpretaram o problema, não substituíram a variável na expressão algébrica e por seguinte não deram resposta ao problema. Os estudantes (E-05, E-06, E-07 e E-09) apresentam pontuação entre 3 e 1 nas análises quantitativas, onde 3 exprime que o estudante tem somente o indicador essencial correto e 1 não realizou corretamente nenhum dos indicadores essenciais. Os demais estudantes alcançaram pontuação máxima em todas as ações. A tabela 6 e gráfico 4 apresentados a seguir, representam o desempenho dos estudantes na questão 4. Tabela 6 - Resultado dos estudantes na questão 4 Q-4 E 1ªA 2ªA 3ªA 4ªA Total E E E E E E E E E E

39 E E E E E E E E E E E E Media 3,9 4,0 4,4 4,3 16,5 Mediana Moda DP 1,78 1,72 1,37 1,36 5,79 Gráfico 4 - Resultado dos estudantes na questão 4 5 Resultados da P E01 E02 E03 E04 E05 E06 E07 E08 E09 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 E22 1ªA 2ªA 3ªA 4ªA Na questão 4, apresenta-se uma situação-problema que relaciona as quatro ações da ASP; dos 22 estudantes analisados, 15 obtiveram um desempenho muito bom, apresentaram pontuação 5 nas quatro ações da ASP em matemática, ou seja, constroem a expressão algébrica de acordo com os dados do problema, solucionam a expressão realizando corretamente as substituições das variáveis, realizam as operações de multiplicação e soma, em seguida interpretam a solução. Os estudantes (E-02, E-03, E-04, E-05 e E-09) apresentam nas ações analisadas, resultados que oscilam desde a pontuação máxima até a mínima, a maioria destes não extraíram os dados 39

40 do problema, e não montaram a expressão algébrica, mais através de ensaio e erro encontram a solução correta, ou parcialmente correta do problema. O estudante E-02 exibe característica diferente dos demais pois, extrai os dados do problema, monta a expressão algébrica, substitui corretamente o valor das variáveis na expressão, soluciona a expressão mais não apresenta a interpretação da solução do problema. Já os estudantes (E-06 e E-08) apresentam pontuação 1 em todas as ações, ou seja, não conseguem avançar em nenhuma das categorias analisadas. Geralmente os estudantes que não compreendem o problema e não extrai os dados do mesmo, apresentam dificuldade para avançar pelas próximas ações, quando avançam as pontuações na grande maioria das vezes são inferiores a máxima, indicando que as ações estão relacionadas entre si; isto é, os estudantes que conseguem pontuações máxima nas primeiras ações apresentam maiores chances de avançar pelas próximas ações com pontuações máximas. A seguir a tabela 7 e o gráfico 5, representam o desempenho dos estudantes na questão 5 da prova diagnóstica. Tabela 7 - Resultado dos estudantes na questão 5 Q-5 E 1ªA 2ªA 3ªA 4ªA Total E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Media 4,5 4,3 4,5 4,5 17,6 Mediana Moda DP 1,27 1,39 1,37 1,27 5,23 Nesta questão assim como na anterior, apresenta-se uma situação-problema que relacionam as quatro ações da ASP, dos 22 estudantes analisados, apenas o estudante E-04 40

41 apresenta pontuação 1 como resultado em todas as ações; 16 obtiveram um desempenho muito bom, apresentando pontuação 5 nas quatro ações da ASP em matemática, estes constroem a expressão algébrica de acordo com os dados do problema, solucionam a expressão realizando corretamente as substituições das variáveis, e as operações de multiplicação e soma; em seguida apresentam a solução do problema. Gráfico 5 - Resultado dos estudantes na questão 5 Resultados da P E01 E02 E03 E04 E05 E06 E07 E08 E09 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 E22 1ªA 2ªA 3ªA 4ªA Os estudantes (E-03, E-05, E-06, E-07 e E-10) apresentam oscilações entre a pontuação máxima e a mínima. Os estudantes E-03 e E-05 exibem características parecidas, apresenta pontuação 2 como maior valor alcançado. O E-03 não apresenta desempenho nas três primeiras ações, que são: compreender o problema, montar a expressão algébrica e solucionala, obtendo assim pontuação 1, contudo expõe a interpretação da solução de maneira aleatória mais com certa lógica, obtém 2 nesta ação; já o E-05 obteve pontuação 2 na primeira ação pois, não compreende corretamente o problema mais extrai alguns dados corretos, por seguinte não avança nas próximas ações analisadas, obtendo dessa maneira pontuação 1. Os demais estudantes cometeram pequenos erros principalmente ao montar a expressão algébrica. 41

42 3.2. Relações entre as ações na Atividade de Situações Problema A seguir, a tabela 8 e o gráfico 6 expostos abaixo, representam a média que os estudantes obtiveram nas quatro ações analisadas na prova, a partir desses dados é possível observar por meio da Média, Mediana, Moda e Desvio Padrão, o resumo do comportamento dos dados desse conjunto, ou seja, o desempenho dos estudantes em cada ação. Tabela 8 - Resultado das médias das ações Médias das Ações E 1ªA 2ªA 3ªA 4ªA Total E01 4,2 5,0 4,2 3,7 17,1 E02 3,6 4,3 3,4 3,3 14,6 E03 1,0 1,0 1,6 2,7 6,3 E04 2,2 2,3 2,6 2,0 9,1 E05 2,2 2,5 2,0 1,0 7,7 E06 3,2 3,5 3,6 2,0 12,3 E07 3,8 4,0 3,8 3,7 15,3 E08 3,4 3,8 3,0 2,3 12,5 E09 3,6 4,0 3,6 3,3 14,5 E10 4,2 4,8 4,2 3,7 16,8 E11 5,0 5,0 5,0 5,0 20,0 E12 4,2 5,0 4,2 3,7 17,1 E13 4,2 5,0 4,2 3,7 17,1 E14 4,2 5,0 4,2 3,7 17,1 E15 5,0 5,0 5,0 5,0 20,0 E16 5,0 5,0 5,0 5,0 20,0 E17 5,0 5,0 5,0 5,0 20,0 E18 5,0 5,0 5,0 5,0 20,0 E19 5,0 5,0 5,0 5,0 20,0 E20 5,0 5,0 5,0 5,0 20,0 E21 5,0 5,0 5,0 5,0 20,0 E22 5,0 5,0 5,0 5,0 20,0 Media 3,95 4,25 3,98 3,68 15,86 Mediana 4,20 5,00 4,20 3,67 17,07 Moda DP 1,10 1,12 1,02 1,19 4,24 42

43 Gráfico 6 - Resultado das médias das ações 20,0 Média das Ações 18,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 16,0 14,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 3,7 3,3 4,2 3,4 5,0 4,3 4,2 3,6 3,7 3,7 3,7 3,7 3,7 3,3 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 2,0 2,3 4,2 4,2 4,2 4,2 3,8 3,6 3,6 3,0 2,0 1,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 4,8 5,0 5,0 5,0 2,6 2,0 4,0 4,0 3,8 2,7 3,5 2,3 2,5 1,6 3,2 3,8 3,4 3,6 4,2 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 4,2 4,2 4,2 1,0 2,2 2,2 1,0 E01 E02 E03 E04 E05 E06 E07 E08 E09 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 E22 1ªA 2ªA 3ªA 4ªA A média, moda e a mediana, servem para medir a tendência dos valores, nas ações desenvolvidas pelos estudantes na prova. Apresenta-se como valor máximo a pontuação 5, que ocorre quando o estudante realiza corretamente todos os indicadores, conforme descrito na tabela 2. Observa-se que a média apresentada na primeira ação é 3,95 indicando que os estudantes na compreensão do problema tiveram desempenho regular, na segunda ação retratam média 4,25, ou seja, apresentam bom desempenho ao montar as expressões algébricas; ao verificar a terceira ação que é solucionar a expressão, os estudantes apresentam média 3,98 indicando desempenho regular assim como na primeira ação; e na última ação analisada que é interpretar a solução, os estudantes apresentam 3,68 de média, que pode ser considerado também como desempenho regular. A mediana varia entre 5 e 3,67. Na compreensão e solução do problema os estudantes apresentam mediana 4,2; na ação montar a expressão algébrica retratam 5, que é a pontuação máxima que podem alcançar, e na interpretação do problema apresentam 3,67. A moda nas 43

44 quatro ações analisadas tem resultado 5, indicando que essa foi a pontuação que mais se repetiu. Observa-se que os resultados obtidos na mediana e moda seguem comportamentos parecidos com a média, isso acontece por que ambas medem a tendência dos resultados, então ao parecer os estudantes de modo geral, tiveram mais facilidade para montar as expressões algébricas, pois, nesta ação apresentam melhores resultados, e maior dificuldade em interpretar as soluções dos problemas, pois, observa-se resultados mais baixo se comparados com as outras ações analisadas. De posse dessas informações é possível explicar a homogeneidade da turma, como medida de variabilidade o desvio padrão expressa o grau de dispersão do conjunto de médias, ou seja, indica o quanto esses dados são regulares, quanto mais próximo de zero for o desvio padrão, mais homogênea será a turma. De acordo com os resultados expostos na tabela, os estudantes não apresentam um comportamento homogêneo, pois, o desvio padrão em todas as ações está entre 1 e 1,19. A seguir, apresenta-se na tabela 9 e figura 3, os resultados das médias obtidas pelos estudantes, nas ações analisadas na prova. De acordo com os intervalos estabelecidos na tabela 9, foram obtidas as seguintes frequências. Tabela 9 Intervalos de frequência Intervalo Frequência "4-7" 1 "8-11" 2 "12-15" 4 "16-20" 13 Figura 3 Frequência do total Frequência do Total 65% 5% 10% 20% "4-7" "8-11" "12-15" "16-20" Fonte: confeccionada pela autora, (2018). 44

45 De acordo com as informações exibidas na figura 3, infere-se que, 65% dos estudantes que realizaram a prova, encontram-se com média entre o intervalo 16-20, expressando que a maioria apresentaram bons resultados; 20% estão entre 12-15, 10% representa os estudantes que obtiveram médias entre o intervalo 8-11 e 5% os que ficaram entre 4-7, este último resultado, indica que uma pequena porcentagem de estudantes, apresentam resultados não satisfatórios. Com o intuito de realizar uma análise minuciosa das frequências obtidas, foi selecionada uma prova por faixa de frequência, em cada prova foram realizadas as referidas análises. A seguir, apresenta-se a análise da prova entre o intervalo 16-20, que representa 65% dos estudantes. Figura 4 Questão 1 da prova referente ao intervalo A figura 4 representa a primeira questão da prova, encontra-se relacionadas as ações compreender o problema, montar e solucionar a expressão algébrica. É possivel observar que, o estudante compreende e extrai os dados corretamente do problema, em seguida monta e substitui os valores numéricos que a variável representa, e por fim soluciona a expreessão de forma exata, obtendo resultado 5 que é a pontuação maxima, em todas as ações analisadas. Figura 5 Questão 2 da prova referente ao intervalo A segunda questão encontra-se representada na figura 5, a mesma envolve apenas a ação solucionar a expressão algébrica; observa-se que o estudante substitui corretamente o valor 45

46 das variáveis nas expressões, realiza as operações de potenciação, multiplicação, soma e diferença, e em seguida encontra a solução exata nas duas expressões. Desta forma alcança pontuação máxima nesta ação. Figura 6 Questão 3 da prova referente ao intervalo Na figura 6 encontra-se a questão 3, nesta relacionam-se as ações: interpretar o problema, solucionar a expressão algébrica e interpretar a solução encontrada. O estudante realiza a interpretação correta do problema, extrai os dados, substitui o valor da variável na expressão, encontra a solução exata e em seguida, interpreta a solução do problema. Consegue pontuação 5 em todas as ações analisadas. Figura 7 Questão 4 da prova referente ao intervalo A questão 4 representada pela figura 7, envolve as quatro ações da ASP em expressões algébricas e valor numérico. As ações são: compreender o problema, construir e solucionar as expressões algébricas, e por fim interpretar a solução encontrada. 46

47 Observa-se que, o estudante compreende e extrai corretamente os dados do problema, constrói a expressão algébrica de acordo com o que se pede na questão, soluciona corretamente a expressão, e na ação interpretar a solução, o estudante a exprime de maneira simples, mais a forma de resolver e organizar os resultados, deixam claro que o mesmo entendeu a solução do problema, dessa maneira obtém pontuação máxima em todas as ações analisadas. Figura 8 Questão 5 da prova referente ao intervalo A figura 8 exibe a última questão da prova, nesta assim como na anterior relaciona as quatro ações. O estudante do mesmo modo que nas outras questões, apresenta pontuação máxima em todas as ações, pois, interpreta e extrai os dados do problema, constrói a expressão algébrica de acordo com dados obtidos, em seguida soluciona a expressão e interpreta a solução encontrada. O estudante selecionado no intervalo de 16-20, obteve pontuação máxima na prova, pois, realizou corretamente todas as ações analisadas nas cinco questões. Por seguinte, é selecionada a prova de um estudante entre o intervalo para realizar as análises. Figura 9 Questão 1 da prova referente ao intervalo

48 A figura 9 apresenta a questão 1, nela estão relacionadas as ações interpretar o problema, construir e solucionar a expressão algébrica. Nota-se que o estudante no item a, interpreta de maneira correta, extrai os dados do problema; em seguida constrói a expressão, substitui o valor da variável e encontra a solução correta, obtendo assim, pontuação 5 em todas as ações. Já no item b, ele não compreende totalmente o problema, pois, extrai os dados e constrói a expressão de maneira parcialmente correta, então alcança pontuação 3 nessas duas ações, e ao solucionar a expressão encontra resultado incorreto, obtendo pontuação 1 nesta ação. Figura 10 Questão 2 da prova referente ao intervalo Esta questão envolve a ação solucionar a expressão algébrica, observa-se que o estudante substituiu corretamente o valor numérico das variáveis nas expressões, em seguida realiza as operações de potenciação, multiplicação, soma e diferença que estão presentes nas expressões, encontrando desse modo as soluções exatas. Nesta ação alcança resultado 5, que é a pontuação máxima. Figura 11 Questão 3 da prova referente ao intervalo Na questão 3 apresentada na figura 11, estão envolvidas as ações: interpretar o problema, solucionar e interpretar a solução. Nesta questão, o estudante não compreende corretamente o problema, observa-se que ele extrai a expressão dada no problema, no entanto, não realiza a substituição da variável na expressão, por seguinte não conseguiu encontrar a solução, 48

49 consequentemente não avança em nenhuma das ações analisadas na questão, alcançando resultado 1 em todas. Figura 12 Questão 4 da prova referente ao intervalo A figura 12 exibe a questão 4 da prova, nela encontram-se as quatro ações analisadas no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico. O estudante conseguiu pontuação 5 em todas as ações, pois, compreende e extrai os dados do problema, constrói a expressão algébrica, realiza a substituição das variáveis corretamente, em seguida soluciona a expressão fazendo de maneira correta as operações de multiplicação e soma. Na interpretação, pela forma de resolver e organizar os resultados entendeu a solução do problema. Figura 13 Questão 5 da prova referente ao intervalo

50 Na questão 5 exibida pela figura 13, estão relacionadas as quatro ações. Nota-se que o estudante compreende o problema, extrai os dados e constrói a expressão algébrica, em seguida soluciona a expressão substituindo corretamente o valor das variáveis, realiza as operações de multiplicação e soma, e por fim, interpreta a solução apresentando resposta ao problema, dessa forma conseguiu obter pontuação 5 que é o resultado máximo, em cada ação analisada. A seguir é escolhida a prova de um estudante entre o intervalo 8-11, para realizar as análises. Figura 14 Questão 1 da prova referente ao intervalo 8-11 A questão 1 representada pela figura 14, envolve as seguintes ações: compreender o problema, construir e solucionar a expressão algébrica. O desempenho do estudante nesta questão é muito bom, o mesmo realiza corretamente todas as ações, obtendo dessa forma pontuação 5. Verifica-se que estudante compreende o que se pede na questão, pois, constrói as expressões algébricas de acordo com os dados extraídos, logo após realiza a substituição da variável nas duas expressões, em seguida efetua as operações de multiplicação e soma, apresentando assim resultado correto ao final da solução. Figura 15 Questão 2 da prova referente ao intervalo 8-11 A figura 15 exibe a questão 2, nela consiste apenas a ação solucionar a expressão algébrica, observa-se que o estudante realiza corretamente a substituição das variáveis nas duas expressões, no entanto, não encontra a solução correta, pois, o mesmo comete erros nas 50

51 operações de multiplicação, soma e diferença existentes nas expressões. O resultado alcançado pelo estudante nesta ação é 2. Figura 16 Questão 3 da prova referente ao intervalo 8-11 Na questão 3, como segue na representação pela figura 16, o estudante não realiza nenhuma das ações presentes nesta questão que são: compreender o problema, solucionar e interpretar a solução. Observa-se que o mesmo não compreende o problema, extrai os dados de forma desorganizada e equivocada, dessa maneira, não avança na solução da expressão e por seguinte não realiza sua interpretação. Alcançando nessas condições, pontuação 1 em todas as ações analisadas, que é o resultado mínimo possível. Figura 17 Questão 4 da prova referente ao intervalo

52 A questão 4, expõe o desempenho do estudante, ao resolver uma situação problema, envolvendo as quatro ações da ASP em expressões algébricas, através da figura 17, observase que o estudante não compreende o que se pede na questão, extrai os dados e constrói a expressão algébrica de maneira incorreta, em seguida realiza tentativa de resolver o problema por meio da operação de multiplicação, encontrando dessa forma solução incorreta, e por seguinte não interpreta a solução. Recebe resultado 1, em todas as ações analisadas nesta questão. Figura 18 Questão 5 da prova referente ao intervalo 8-11 A figura 18, apresenta o desempenho do estudante na questão 5 da prova diagnóstica, estão relacionadas as quatro ações da ASP que são: compreender o problema, construir a expressão algébrica, soluciona-la e interpretar o resultado. Verifica-se que o estudante interpreta o problema e extrai os dados corretamente, em seguida, mesmo sem construir a expressão algébrica é capaz de chegar a solução parcialmente correta do problema, pois, para a solução completa, necessitava somar os resultados que obteve ao realizar as multiplicações, por seguinte não exprime a interpretação da solução. Então apresenta nesta questão os seguintes resultados, na ação compreender e construir consegue pontuação 5, solucionar 4 e interpretar a solução 1. A seguir é escolhida a prova de um estudante, que se encontra entre 4-7, o ultimo intervalo analisado neste trabalho. 52

53 Figura 19 Questão 1 da prova referente ao intervalo 4-7 A figura 19, expõe o desempenho do estudante na questão 1 da prova, encontra-se relacionada nesta questão as seguintes ações: compreender o problema, construir e solucionar a expressão algébrica. Verifica-se que o estudante realiza no item a, todas as ações analisadas de maneira correta, obtendo assim resultado 5; já no item b, não interpreta totalmente correto o problema, nota-se que ao extrair os dados, o faz de maneira parcialmente incorreta, assim como na construção da expressão. Obtém nessas duas ações resultados 3, consequentemente apresenta solução incorreta da expressão, alcança nesta ação resultado 2. Figura 20 Questão 2 da prova referente ao intervalo 4-7 A questão 2 da prova, apresentada por meio da figura 20, exibe o desempenho do estudante onde se analisa apenas uma ação, que é solucionar a expressão algébrica. Observase que o estudante no item a, assim como no b, não realiza corretamente a substituição das variáveis nas expressões algébricas, apresentando dessa forma solução incorreta em ambas, alcançando resultado 1 na ação analisada. 53

54 Figura 21 Questão 3 da prova referente ao intervalo 4-7 A figura 21, apresenta o desempenho do estudante na questão 3, nesta relacionam-se as seguintes ações: compreender o problema, solucionar a expressão e interpretar o resultado. Verifica-se que, o estudante retira o dados do problema de forma errada, não substitui corretamente o valor numérico da variável na expressão, e consequentemente não apresenta solução e interpretação correta. Dessa forma, o resultado que alcança em todas as ações analisadas é 1. Figura 22 Questão 4 da prova referente ao intervalo 4-7 A questão 4 representada pela figura 22, envolve as quatro ações da ASP em expressões algébricas e valor numérico. As ações são: compreender o problema, construir e solucionar as expressões algébricas, e por fim interpretar a solução encontrada. 54

55 O estudante não compreende o que se pede na questão, extrai os dados do problema de maneira incorreta, consequentemente constrói a expressão algébrica de forma errada; na ação encontrar a solução, o mesmo realiza operação de soma entre os dados do problema, e por fim apresenta a solução, que também está incorreta; dessa maneira obtém resultado 1 em todas as ações analisadas. Figura 23 Questão 5 da prova referente ao intervalo 4-7 A figura 23, exibe o desempenho do estudante na questão 5 da prova diagnóstica, nela é possível analisar as quatro ações da ASP em expressões algébricas. Verifica-se que, o estudante compreende parcialmente correto o problema, retira os dados do mesmo mais não constrói a expressão algébrica; nota-se que realiza operações erradas para chegar a solução do problema, dessa forma, apresenta solução incorreta. Obtém na primeira ação pontuação 4, e nas demais ações obtém pontuação 1. Ao final de todo o processo de análises realizadas nas provas, destacam-se as seguintes características, dificilmente o estudante que obteve pontuação mínima na primeira ação, que é compreender o problema, conseguiu avançar com pontuação máxima nas outras ações. Ao parecer, é importante que o estudante compreenda o que se pede no problema, a partir disso, tem mais possibilidades de avançar corretamente nas próximas ações. Houve em algumas questões comportamentos parecidos, como por exemplo na questão 3, onde é dada a expressão algébrica, e o estudante precisa compreender o problema, solucionar e interpretar a solução; a grande maioria dos estudantes obtiveram resultado 1 em todas as ações analisadas, indicando que não realizaram nenhum indicador correto, a média dos resultados observada foi menor de todas as questões. Indagados sobre esse comportamento, os mesmos responderam que não conseguiram entender o problema, e que não enxergavam o valor da variável a ser substituída na expressão. Nas demais questões, os erros mais comuns não desrespeitavam em si ao conteúdo, mais as operações aritméticas envolvidas. 55