Doutorado em Educação em Ciências e Matemática Rede Amazônica de Educação em Ciências e Matemática REAMEC.

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1 Doutorado em Educação em Ciências e Matemática Rede Amazônica de Educação em Ciências e Matemática REAMEC. Formação inicial de Professores de Ciências e Matemática A Atividade de Situações Problema em Matemática e da Didática da Mendoza * 1 Prof. Dr. Héctor José García Mendoza Prof. Dr. Oscar Tintorer Delgado * MENDOZA, Héctor José García; TINTORER, Oscar. A Atividade de Situações Problema em Matemática. In: LONGAREZI, Andréa Maturano; PUENTES, Roberto Valdés. Aprendizagem desenvolvimento: Implicações para e do ensino. EDUFU. (a ser publicado) TINTORER, Oscar, MENDOZA, Héctor Jose Garcia. A Didática da Matemática fundamentada na teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin. In: NÚÑEZ, Isauro Beltrán; RAMALHO, Betânia Leite. Ya. Galperin e e Teoria da Assimilação mental por etapas: pesquisas e experiências para um ensino inovador. Editora Mercado de Letras. (a ser publicado)

2 Relação conteúdo, estudantes e professor Enfrentar as questões de ensino e da aprendizagem, em termos de didática, significa que a transmissão do conhecimento é um fenômeno complexo, que precisa de numerosas mediações, e que é necessário manter sempre juntos três polos, do professor, do saber e do aluno, mas sem reduzir a análise a apenas um dos três. (D Amore). Teoria(s) que explique como o estudante assimila o conteúdo. Metodologia do professor para guiar assimilação dos conteúdos. Princípios para organizar os conteúdos que devem ser assimilado pelo estudante. 2

3 Objeto e Objetivo da Didática Matemática O objeto da Didática da Matemática é o processo de ensino e aprendizagem da matemática subordinado ao objetivo de ensino. O objetivo da Didática da Matemática é dirigir ações intencionais e conscientes com fins da aprendizagem eficaz de conteúdos matemáticos, utilizando estratégias metodologias e materiais didáticos para transitar pelos diferentes estados do processo de assimilação 3

4 Situação com caráter problematizador Situação Problema Docente Elementos Conhecidos Elementos Desconhecidos Analises da Situação Problema Docente Formulação do Problema Docente Solução do Problema Docente 4

5 Zona de Desenvolvimento Proximal se define como a Distância entre Nível real de desenvolvimento Nível desenvolvimento potencial pela capacidade pela capacidade Resolução de problema Resolução de problema em forma com a Independente Colaboração com um companheiro Orientação de um adulto 5

6 Didática de Resolução Problema Zona de Desenvolvimento Proximal. (Vigotsky) Situação Problema, Formulação do Problema e Solução do problema. (Majmutov) Atividade de Estudo é um sistema de ações através de operações para alcançar um objetivo de ensino, a motivação deve aproximar-se ao objetivo de ensino. (Leóntiev) O professor tem função de dirigir o processo de assimilação, deve ser cíclica e transparente. (Talízina) D1: Objetivo de Ensino D2: Nível de Partida D3: Processo de Assimilação D4: Retroalimentação D5: Correção Atividade de Situações Problema (ASP) em Matemática Mendoza e Tintorer D1 D2 D3 ASP BOA E1 Formação por etapa das ações mentais (Galperin) E0: Motivacional E1: Elaboração da Base Orientadora da Ação (BOA) E2: Formação da ação em forma material ou materializada E3: Formação da ação verbal externa E4: Formação da ação na linguagem externa para si E5: Formação da ação na linguagem interna. D4... D3 ASP Interna E5 D4 6 D5 Que é a Atividade de Situações Problema (ASP) em Matemática? D5

7 Princípios Resolução de problema de Polya Estabelecem as seguintes etapas: Compreender o problema. Estabelecimento de um plano. Execução de um plano Retrospectiva. Em cada uma destas etapas existe um conjunto de perguntas e indagações para levar o estudante pela direção desejada 7

8 Critica de Talízina a Polya É necessário advertir que Talízina (1988, p 202) critica os trabalhos de Polya, ao indicar:... estes trabalhos supõem taticamente que os estudantes são capazes de realizar a atividade indispensável. Se considera o pensamento como certa função abstrata já existente e que a tarefa consiste somente fazê-lo trabalhar na direção necessária 8

9 Objetivo da ASP em Matemática A Atividade de Situações Problema (ASP) em Matemática está orientada pelo objetivo de resolver situações problema na zona de desenvolvimento proximal num contexto de ensino aprendizagem onde existe uma interação entre o professor, o estudante e a situação problema, utilizando a resolução de problema em Matemática como metodologia de ensino, a tecnologia disponível e outros recursos didáticos, para transitar pelos diferentes estados do processo de assimilação. 9

10 Sistema de ações da ASP em Matemática 1ª Ação: Compreender o Problema ler o problema e extrair todos os elementos desconhecidos; Estudar os dados e suas condições Determinar o(s) objetivo(s) do problema. 2ª Ação: Construir o Modelo Matemático Determinar as variáveis e incógnitas. Nominar as variáveis e incógnitas com suas unidades de medidas. Construir o modelo matemático a partir das variáveis, incógnitas e condições. Realizar a análise das unidades de medidas do modelo matemático. 3ª Ação: Solucionar o Modelo Matemático Selecionar o(s) método(s) matemático(s) para solucionar o modelo Selecionar um programa informático que contenha os recursos necessários do(s) método(s) matemático(s) para solucionar o modelo Solucionar o modelo matemático. 4ª Ação: interpretar a Solução Interpretar o resultado;. Extrair os resultados significativos que tenham relação com o(s) objetivo(s) do problema. dar resposta ao(s) objetivo(s) do problema. Realizar uma reflexão baseado no(s) objetivo(s) do problema. Analisar a partir de novos dados e condições que tenham relação direta ou não com o(s) objetivo(s) do problema existindo a possibilidade de reformular o problema e assim construir novamente o modelo matemático, solucioná-lo e interpretar sua solução. 10

11 Exemplo Uma empresa de transporte escolar deseja comprar uma frota de ônibus com um pressuposto de dez milhões de reais. Todos os ônibus do tipo I tem capacidade para transportar 15 passageiros e cada um com preço de compra de R$ ,00; os ônibus do tipo II tem capacidade para 30 passageiros e preço de R$ ,00 e os ônibus do tipo III transportam 40 passageiros e com um valor de R$ ,00. De acordo com pesquisas prévias se sugere-se que a quantidade de ônibus do tipo I deve ser igual à soma da quantidade dos ônibus do tipo II e III. a) Determinar a quantidade de ônibus de cada tipo e com a capacidade máxima total de passageiros b) b) A empresa despois de seis meses deseja duplicar a capacidade de passageiro com relação a capacidade alcançada com a compra anterior. Quantos ônibus novos devem ser comprados de cada tipo e qual seria o custo total do investimento? c) Realize um relatório comparando as duas compras quanto a quantidade de ônibus, capacidade de transportar passageiros e custos. 11

12 Compreender o Problema Os dados do problema são resumidos na seguinte tabela Quantidade de passageiro por ônibus Preços por ônibus em R$ Relação entre quantidade de ônibus Ônibus do tipo I Ônibus do tipo II Ônibus do tipo III Total ? A quantidade de ônibus do tipo I é igual a soma da quantidade de ônibus do tipo dois e três. As condições do problema são: Primeira condição: O ônibus do tipo I transporta 15 passageiros, o ônibus do tipo II transporta 30 passageiros e do tipo III transposta 40 passageiros. Segunda condição: Se dispõe de 10 milhões de reais para comprar a frota de ônibus escolares. O preço do ônibus do tipo I é de R$ ,00, do tipo II é de R$ ,00 e do tipo III é do tipo R$ ,00. Terceira condição: A quantidade de ônibus do tipo dois e três juntos, deve ser igual à quantidade de ônibus do tipo I. Os objetivos do problema são: a) determinar a quantidade de ônibus que se deve comprar de cada tipo; b) calcular a capacidade máxima de passageiros a serem transportados; c) determinar que quantidade de dinheiro é necessário para duplicar a capacidade máxima de passageiros; d) achar a quantidade de ônibus à comprar de cada tipo para a nova frota escolar e e) realizar um relatório considerando a quantidade de ônibus, capacidade de passageiros e custos. 12

13 Construir o Modelo Matemático A nominação das variáveis com suas unidades de medidas se podem expressar da seguinte forma: x, quantidade de ônibus do tipo I, denotado por x und; y, quantidade de ônibus do tipo II, denotado por y und; z, quantidade de ônibus do tipo III, denotado por z und; p, quantidade total de passageiro a transportar pela frota de ônibus, denotado por p pas. pas pas pas 15 xund 30 yund 40 zund p pas und und und R$ R$ R$ xund yund zund R$ und und und xund yund zund O sistema de equações lineares a ser resolvido é: x 30 y 40z p x y z x y z 0 13

14 Solucionar o Modelo Matemático Para resolver o sistema de equações lineares é aplicado o programa Derive. #1: ] ]) #: - ) 1 - )] Considerando x 0 x 0 y 0 y 5( x 25) 0 z 0 z 125 4x 0 p 0 p 5( x 20) 0 #: - ) 1 - ) ] ]) #: Obtemos 1] X und. Y und. Z und. P pas Resultados

15 Interpretar a Solução De acordo com as condições do problema se chegou a sete conjuntos de soluções. Na primeira linha da tabela se interpreta que é possível comprar 25 ônibus do tipo I e III, nenhum do tipo II e a capacidade total de transportação é de 1375 passageiros e assim sucessivamente se interpreta as demais linhas da tabela. Ainda que todos os conjuntos cumprem as condições do problema, o último conjunto apresenta a maior capacidade de transporte de passageiros (1405) pelo que este critério pode ser muito importante para tomar uma decisão e assim comprar 31 ônibus do tipo I, 30 ônibus do tipo II e 1 ônibus do tipo III. Despois de seis meses a empresa deseja comprar ônibus com o objetivo de duplicar a capacidade de transportar passageiros, em correspondência com a capacidade alcançada na compra anterior, portanto a capacidade passa de 1405 para 2810 passageiros. Também se deseja saber qual será o custo total, pelo que o custo se converte numa nova variável denotada por c medida em R$. 15

16 Interpretar a Solução Para dar solução a nova problemática, há que realizar todas as ações novamente, ou seja, o problema é reformulado dando origem a um novo problema. 15x 30 y 40z x y z c x y z 0 x und y und Z und R$ c Na primeira linha da tabela se interpreta a existência de 52 unidades de ônibus do tipo I, 5 unidades do tipo II e 47 unidades de ônibus do tipo III e custo total de toda a frota é de R$ ,00 e assim sucessivamente se interpreta os outros conjuntos de soluções do problema. O próximo passo é calcular a capacidade máxima de passageiros à transportar quando se duplica a frota de ônibus. Há que aumentar a frota a partir dos ônibus que foram comprados, por tal motivo, podem ser consideradas soluções de respostas que supere os 31 ônibus do tipo I, 30 ônibus do tipo II e o único ônibus do tipo III. O conjunto solução possível é: x und y und Z und R$ c

17 ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA DA DIDÁTICA EM MATEMÁTICA A estratégia para a solução de problemas didáticos é divido em três momentos: identificar o problema da ASP da Didática da Matemática, planejar e construir a ASP em Matemática que a seguir será descrito com suas ações e operações correspondentes. Momento nº1: Identificar o problema ASP da Didática da Matemática. 1ª-Ação: Compreender a situação problema. Identificar o problema e extrair todos os elementos desconhecidos; Estudar e compreender os elementos desconhecidos; Determinar os dados e suas condições, tais como as principais propostas do projeto pedagógico no contexto em que se desenvolve o processo de ensino aprendizagem da Matemática e as características dos estudantes, professores e recursos didáticos referidas à atividade; Identificar o(s) objetivo(s) do problema. 2ª-Ação: Identificar a atividade cognoscitiva. Determinar o(s) objetivo(s) de ensino do conteúdo matemático; Identificar a existência de um sistema invariante de ações com suas operações para alcançar o objetivo anterior (atividade); Identificar a existência de métodos para executar a atividade; Identificar se deseja formar uma nova atividade ou elevar a existente por meio de determinadas características. 3ª-Ação: Determinar o nível de partida da atividade cognitiva dos estudantes. Determinar o nível dos conhecimentos matemáticos referido ao objetivo de ensino; Determinar o nível dos estudantes em relação ao sistema de ações da atividade que se deseja formar; Verificar o nível dos estudantes relacionada à métodos para executar a atividade; Determinar a etapa mental dos estudantes; Verificar a atitude e motivação dos estudantes diante da atividade; 17

18 ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA DA DIDÁTICA EM MATEMÁTICA Momento nº2: Planejar a ASP em Matemática. 4ª-Ação: Formular o sistema invariante das ações. Propor a ponte necessária entre o nível de partida dos estudantes e a atividade, que inclui conteúdos e método, que se deseja formar; Constituir o sistema invariante de ações com suas respectivas operações. 5ª-Ação: Formular a base orientadora da ação (1ª Etapa); Selecionar a estratégia do sistema de ações considerando sua generalidade (invariante), plenitude e a forma de obtenção pelos estudantes de acordo com o objetivo de ensino; Estabelecer a parte orientadora, executora e de controle do sistema de ações. 6ª-Ação: Selecionar os recursos didáticos. Verificar os recursos didáticos disponível no contexto de aprendizagem; Analisar os recursos didáticos tomando sua contribuição de todas as etapas da transformação; Selecionar os recursos didáticos, visando o tipo de base orientadora da ação. 7ª-Ação Selecionar o sistema de avaliação. Analisar o tipo de avaliação considerando a etapa mental a formar; Analisar os possíveis instrumentos a ser utilizado em cada tipo de avaliação. 18

19 ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA DA DIDÁTICA EM MATEMÁTICA Momento nº3: Construir a ASP em Matemática. 8ª-Ação: Preparar o plano de ensino das etapas seguintes; Estabelecer as ações com suas respectivas operações centradas na resolução de problema; Elaborar o plano de ensino, segundo o objetivo de ensino guiado pelas etapas de formação das ações mentais com suas características primárias e secundárias. 9ª-Ação: Fazer os planos de aulas; Selecionar as tarefas seguindo a lógica do processo de aprendizagem; Elaborar as situações problema que devem guiar os planos de aulas. 10ª-Ação: Preparar os instrumentos do sistema de avaliação. Organizar os instrumentos para saber quanto e como os estudantes aprendem através das etapas de formação das ações mentais que permitam verificar as características primárias e secundárias do sistema invariante. 19

20 Plano de Aula Elementos de identificação: Disciplina, unidade, assunto e tempo. Objetivos: Definir as habilidades dos estudantes que devem alcançar em relação aos conteúdos. Determinar a(s) meta(s) dos procedimentos lógicos e psicológicos do processo de assimilação dos conteúdos dos estudantes. Método de Ensino: Selecionar a Base Orientadora da Ação. Eleger o tipo de aula. (Aula Expositiva, Aula Mista, Aula Prática, Seminário, Prática de Laboratórios, entre outras) Escolher a(s) estratégia(s) de ensino. (Resolução de Problema, Modelação Matemática, Jogos, História da Matemática, entre outras) Definir a estratégia de direção do processo de ensino aprendizagem Introdução Motivar os estudantes a partir dos objetivos de ensino. Avaliar nos estudantes os elementos prévios dos conteúdos e a etapa mental em relação com objetivos de ensino. Explicar os objetivos de ensino. Desenvolvimento Explicar a atividade de estudo com suas ações e operações através da Base Orientadora da Ação selecionada. Manter a lógica durante as explicações, isso servirá de modelo para o estudante. Introduzir as ideias e conceitos mais simples para logo aos mais complexos. Utilizar os recursos didáticos que possam fazer a aula mais atraente e eficiente. Avaliar em vários momentos o cumprimento dos objetivos de ensino e se é preciso realizar as correções pertinentes. Verificar através de perguntas se os estudantes estão aprendendo. Analisar o planejamento dos principais recursos e metodologia usada, incluindo o tempo que está sendo dedicado aos objetivos essenciais da aula. Conclusões Avaliar o cumprimento dos objetivos de ensino. Corrigir os erros mais significativos dos estudantes. Sintetizar as ideias centrais, reforçando os objetivos propostos. Orientar o trabalho extraclasse que possa ser avaliado em aulas posteriores. Motivar o conteúdo da próxima aula. Indicar a Referência Bibliográfica 20

21 Plano de Ensino Se deseja que os estudantes assimilem o conceito de limite de funções reais de uma variável, o conteúdo matemático a ser assimilado pelos estudantes é novo. Será utilizada a resolução de problema como metodologia de ensino, por tanto, deve-se analisar quais atividades prévias devem dominar os estudantes. Assim, a atividade nova a formar se denominará Atividade de Situações Problema (ASP) em Limite. 21

22 Plano de Ensino A propriedade essencial do conceito é que uma função f(x) estará tão próximo de um valor L (limite), quanto desejamos, tomando-se a x suficientemente próximo de um ponto a mas não igual a a. A partir desta ideia inicial (forma material) deve realizar-se um trabalho por etapas de formação de ações para a construção do conceito na linguagem ξ-δ (forma verbal e interna). Por tanto, o professor deve planejar o sistema invariante de ações considerando o nível de partida dos estudantes. Para obter uma assimilação e retenção maior se sugere utilizar a base orientadora da ação do tipo geral formada pelo sistema de ações da ASP em Limite, todas as orientações (completa) para que o estudante construa junto com o professor (independente). O professor deve utilizar uma direção da ASP em Limite do tipo cíclica, para estabelecer a relação da orientação, execução e controle do sistema de ações para garantir o objetivo de ensino. 22

23 Plano de Ensino Tabela 01: Plano de Ensino da ASP em Limite nº Conteúdo Objetivos TA H/A Etapa mental 1 Comportamento de função Compreender a ideia que uma função estará tão próximo de um valor L (limite) quanto desejamos, tomando-se a variável independente suficientemente próximo de um ponto a, mas não igual a a AE 2 Orientação do sistema de ações da ASP em limite a partir de problemas padrões de tangente e velocidades (etapa de formação da BOA) A ação solucionar o modelo está vinculado com o objetivo do problema quando a variável independente se aproxima a um 2 ponto. Problema da tangente e da velocidade Resolver problemas que tenham como solução o comportamento da função quando variável se aproxima a um ponto. AP 8 O estudante deve realizar (etapa material) detalhadamente o sistema de ações tomando como bases os problemas padrão. O professor deve controlar os sistema de ações e corrigir se é necessário As ações são consciente, compartilhadas, detalhada e não generalizadas. 3 Saber aplicar a definição de limites na linguagem de Ɛ δ na resolução de problema 4 S 2 AM 2 O estudante deve explicar (etapa verbal) o sistema de ações sem ajuda de objetos externos. As ações são consciente, compartilhadas, detalhadas e operações são automatizadas. 5 Definição de limites na linguagem de Ɛ - δ Saber aplicar a definição de limites na linguagem de Ɛ δ na resolução de problema em novos contextos (transferências) AP 6 O estudante deve saber aplicar o sistema de ASP em limite ante novas situações (etapa verbal externa para si) As ações são, independente, comprimidas, automatizadas e generalizadas. Legenda: AE: Aula Expositiva, AP: Aula Prática, AM: Aula Mista, S: Seminário. Fonte: Elaborado pelos autores 23

24 1ª Etapa Elaboração da BOA Problema # 1: A que valor f(x)=x 2 se aproximará, quando x estará próximo de 2 quanto quiser, mas não é 2? (%i1) f(x):=x^2; %o1 f(x)=x 2 Pode-se obeservar que f(x) é uma função definida para todos os reais. A continuação será realizado o gráfico da função f(x), utilizando wxplotd2, que permite no Maxima realizar gráficos de duas dimensões. (%i2) wxplot2d([f(x)], [x,-5,5])$ 24

25 1ª Etapa Elaboração da BOA O comando makelist(f(x),x,xi,xf,p) permite criar uma lista de dados, f(x) é função onde será avaliado para construir a tabela de dados; x indica a variável independente de f(x),xi valor inicial; xf valor final e p o passo. Vejamos o exemplo a continuação. (%i3) makelist(f(x), x, 3, 2.1,-0.1); A tabela de dados é: x f(x) Que significa que quando x se aproxima a 2 pela direita então f(x) se aproxima de 4,4 25

26 1ª Etapa Elaboração da BOA (%i4) makelist(f(x), x, 1, 1.9,0.1); Significa que quando x se aproxima a 2 pela esquerda então f(x) se aproxima de 3,61. Refinando a aproximação pela direita a partir de 2.01 encontramos que: (%i5) makelist(f(x), x, 2.01, 2.001,-0.001); Significa que quando x se aproxima a 2 pela direita então f(x) se aproxima de 4. Refinando a aproximação pela esquerda a partir de 1.99 encontramos que: (%i6) makelist(f(x), x, 1.99, 1.999,0.001); Pode-se concluir f(x) se aproxima de 4, quando x se aproxima de 2 pela esquerda e direita, mas não igual a 2. 26

27 2ª Etapa Formação da ação em forma materializada Problema Padrão # 2: Encontre uma equação da reta tangente à parábola f(x)=x 2 no ponto x =2. Problema Padrão # 3: Seja uma partícula que executa um movimento retilíneo uniformemente acelerado, com aceleração 2 m/s 2, partindo de posição e velocidade inicial nula. Determine a velocidade para 2 segundos após iniciado o movimento. Nos três problemas analisados tem em comum que a solução do modelo matemático é o mesmo, ou seja, a que valor se aproxima f(x) quando x se aproxima a a, mas não igual a a. As próximas oitos horas aulas (etapa material) tem por objetivo saber solucionar problemas que tenham como solução do modelo o comportamento de função f(x) quando se aproxima a um ponto. O professor deve colocar outros problemas e estudantes tomam como referências os problemas padrões, a complexidade deve ir aumentando. Neste momento se dá uma definição provisória de limite ainda com apoio dos problemas resolvidos que é: Escrevemos que: lim xa f ( x) L 27 dizemos o limite de f(x), quando x tende a, é igual L, se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximo de L (tão próximo de L quanto quisermos), tomando x suficientemente próximo de a (por ambos lados), mas não igual a a

28 Deve-se colocar na etapa verbal problemas que entre em conflito com os anteriores, demostrando que a definição dada até agora não é geral. A continuação se colocará um exemplo. Foi pedido a um torneiro mecânico que fabricasse um disco de metal circular com área de 1000 cm 2. Se ao torneiro é permitido uma tolerância de ±5 cm 2 de área do disco, então qual será a tolerância do raio? 3ª Etapa Formação da ação em verbal externa Assim podem-se colocar outros problemas que tenham como elemento principal o analisado anteriormente. O sistema de computação algébrica Maxima pode ser utilizado nesta etapa. Portanto, agora se pode enunciar a definição na linguagem ξ-δ Definição: Seja f(x) uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número a, exceto possivelmente no próprio a, então dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a é L, e escrevemos: lim xa f ( x) L 0, 0 tal que 0 x a então f ( x) L representa em forma simbólica o conceito para funções de uma variável. 28

29 4ª Etapa Formação da ação em verbal externado linguagens externo para si Agora o estudante deve transferir e aplicar a definição de limite em novos contextos não trabalhado. Entre as novas situações problema pode ser a construção do conceito de limite infinito e no infinito. 29

30 Conclusões A Atividade de Situações Problema da Didática da Matemática institui uma metodologia baseada na teoria de formação por etapas das ações mentais para preparar os estudantes de Licenciatura em Matemática no planejamento das disciplinas específicas e também a professores que ministram aulas de matemática nas instituições de ensino superior. Esta metodologia exige do professor organizar todo o processo a partir de situações problemas, o mais próximo da realidade escolar, onde é possível analisar casos de diversas complexidades em função do objetivo de ensino. 30

31 31 Conclusões A disciplina está fundamentada na atividade de situações problemas em Matemática e organizada pelas etapas identificar o problema, planejar e construir a Atividade de Situações Problema. A proposta permite desenvolver e acompanhar o processo de assimilação da atividade em cada uma de suas etapas. A realização de atividades didáticas que asseguram uma aprendizagem com qualidade é um processo complexo, portanto seu planejamento não pode ser simplificado. Mas é importante considerar que a atividade didática, com base nesta proposta, pode ser construída como uma sucessão de aproximações que permitem cada vez mais melhorar a formação dos estudantes.