UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA LUIZ FELIPE MARTINS NASCIMENTO

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA LUIZ FELIPE MARTINS NASCIMENTO Contribuições da Teoria Histórico Cultural para uma aprendizagem desenvolvimental na resolução de equações de 1º grau nos estudantes de 8 ano de Ensino Fundamental na Escola Estadual Monteiro Lobato. Boa Vista, RR 2017

2 LUIZ FELIPE MARTINS NASCIMENTO Contribuições da Teoria Histórico Cultural para uma aprendizagem desenvolvimental na resolução de equações de 1º grau nos estudantes de 8 ano de Ensino Fundamental na Escola Estadual Monteiro Lobato. Monografia apresentada como pré-requisito para conclusão do Curso de Licenciatura Plena em Matemática do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Roraima. Orientador: Prof. Dr. Héctor José García Mendoza Boa Vista, RR

3 3

4 FOLHA DE APROVAÇÃO LUIZ FELIPE MARTINS NASCIMENTO Contribuições da Teoria Histórico Cultural para uma aprendizagem desenvolvimental na resolução de equações de 1º grau nos estudantes de 8 ano de Ensino Fundamental na Escola Estadual Monteiro Lobato. Monografia apresentada como pré-requisito para conclusão do Curso de Licenciatura Plena em Matemática do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Roraima. Defendida em 2 de agosto de 2017 e avaliada pela seguinte banca examinadora: Prof. Dr. Héctor José García Mendoza Orientador / Curso de Matemática UFRR Prof. Dr. Alberto Martin Martínez Castañeda Curso de Matemática UFRR Prof. Dr. Oscar Tintorer Delgado Curso de Física UERR 4

5 Resumo Na atualidade, a quantidade de pessoas que não sabe como resolver uma equação de 1º grau é muito alta, fazendo uma comparação de entre as equações de 1º e 2º grau, a maioria prefere responder a de 2º grau, pois segundo eles tem formulas pré-definidas. O processo de ensino aprendizagem deve estar fundamentado por teorias de aprendizagem que tenha como enfoque a cognição, por isso será apresentada brevemente a evolução da teoria histórico-cultural de Vygotsky, continuando pela teoria da atividade de Leóntiev até a teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin. Neste trabalho a Atividade de Situações Problema em Matemática é compreendida como um sistema de quatro ações para o ensino aprendizagem na resolução de problemas em matemática baseado na teoria de Galperin. O que será apresentada também, uma experiência aplicada no conteúdo de equações de 1º grau na turma 8º ano da escola estadual Monteiro Lobato utilizando a resolução de problemas com a perspectiva de analisar a aprendizagem na Atividade de Situações Problema em Equações com a pesquisa sendo qualitativa quantitativa, fundamentado na teoria de Galperin quanto ao nível de partida dos alunos e propor uma sequência didática. E para finalizar o nível de partida na Atividade de Situações Problema em Matemática dos alunos, não tiveram bons resultados, o que foi proposto que uma sequência didática baseada numa base orientadora geral, completa e independente. Palavras Chaves: Equações de 1º grau, Formação por etapas das ações mentais, Atividade de situações problema, Base Orientadora da Ação. 5

6 Resumen En la actualidad, la cantidad de personas que no sabe cómo resolver una ecuación de primer grado es muy alta, haciendo una comparación de entre las ecuaciones de 1º y 2º grado, la mayoría prefiere responder la de segundo grado, pues según ellos tienen fórmulas predefinida. El proceso de enseñanza aprendizaje debe estar fundamentado por teorías de aprendizaje que tengan como enfoque la cognición, por lo que será presentada brevemente la evolución de la teoría históricocultural de Vygotsky, continuando por la teoría de la actividad de Leóntiev hasta la teoría de formación por etapas de las acciones mentales de Galperin. En este trabajo la Actividad de Situaciones Problema en Matemáticas se entiende como un sistema de cuatro acciones para la enseñanza aprendizaje en la resolución de problemas en matemáticas basado en la teoría de Galperin. También será presentado una experiencia en el contenido de ecuaciones de primer grado en estudiantes del 8º año de la Escuela Estatal Monteiro Lobato utilizando la resolución de problemas para analizar el aprendizaje en la Actividad de Situaciones Problema en Ecuaciones a partir de una investigación cualitativa - cuantitativa, fundamentado en la teoría de Galperin en cuanto al nivel de partida de los alumnos se propone una secuencia didáctica. Concluyese que el nivel de partida en la Actividad de Situaciones Problema en Matemáticas de los alumnos, no tuvieron buenos resultados, lo que se propuso que una secuencia didáctica basada en una base orientadora general, completa e independiente. Palabras claves: Ecuaciones de primer grado, Formación por etapas de las acciones mentales, Actividad de situaciones-problema, Base Orientadora de la Acción. 6

7 LISTA DE FIGURAS Figura 1: Estrutura da zona de desenvolvimento Proximal Figura 2: Interação do sujeito com o objeto Figura 3: Relação entre atividade externa e interna Figura 4: Direção da Atividade de Situações Problema Figura 5: Dimensões das categorias de avaliação Figura 6: Resultado do problema 1 em porcentagem Figura 7: Resultado do problema 2 em porcentagem Figura 8: Resultado do problema 3 em porcentagem Figura 9: Resultado do problema 4 em porcentagem

8 LISTA DE TABELAS Tabela nº 1: tipos de base orientadora da ação Tabela nº 2: resultado do problema Tabela nº 3: resultado do problema Tabela nº 4: resultado do problema Tabela nº 5: resultado do problema

9 Sumário INTRODUÇÃO CAPITULO I: FUNDAMENTOS TEÓRICO DIDÁTICA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMA Fundamentos Psicológicos Equações do 1º grau com uma incógnita A Atividade de situações problema em equações CAPITULO II: PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS Caracterização da pesquisa, categorias e variável de análises Amostra, fases e instrumentos de coletas de dados da pesquisa CAPITULO III: RESULTADOS E ANÁLISES Diagnostico no nível de partida dos estudantes Contribuição da base orientadora da ação CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

10 INTRODUÇÃO O motivo que escolher este tema foi por causa da grande quantidade de alunos que tem dificuldade sobre o conteúdo, a meu ver possui conteúdos um pouco complicados em relação a equações de 1º grau e que possui técnicas nesta área que pode ser construídas para melhorar a assimilação dos estudantes, os tornando mais fácil, o que acaba se passando por difícil ou também não gostando da disciplina em si, quando não são bem explicadas, por não mostrar os detalhes do passo a passo para eles, para que se desenvolvam bem. Só tive a certeza do tema quando fui participar do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (Pibid), que é uma proposta de valorização dos futuros docentes durante seu processo de formação. Tem como objetivo ver como é a realidade escolar e com isso o aperfeiçoamento da formação de futuros professores para a educação básica e ter uma melhoria na qualidade da educação pública brasileira. Problema da Pesquisa Quais são as contribuições da teoria história cultural para uma aprendizagem desenvolvimental na resolução de equações de 1º grau nos estudantes de 8 ano de Ensino Fundamental na Escola Estadual Monteiro Lobato? Objetivo Geral Analisar as contribuições da teoria história cultural para uma aprendizagem desenvolvimental na resolução de equações de 1º grau nos estudantes de 8 ano de Ensino Fundamental na Escola Estadual Monteiro Lobato Objetivos Específicos Diagnosticar o nível de partida dos estudantes para a aprendizagem da resolução de equações de 1º grau. Verificar a contribuição da base orientadora da ação na aprendizagem de 1º grau nos estudantes. Sobre os detalhes dos capítulos a seguir que fazem parte deste trabalho podemos informar seus principais aspectos, no capítulo 1 abordaremos sobre as teorias e conceitos adotados, partindo dos fundamentos psicológicos, cujo são processo de assimilação, as Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP) de Vygotsky e sua evolução até a teoria de formação das ações mentais de Galperin, que começa pela etapa motivacional e contem depois mais outras 5. Sendo que passando pela teoria da atividade de Leóntiev e direção da atividade de estudo de Talízina. Um pouco da história do surgimento das equações de 10

11 1º grau e por último o desenvolvimento da Atividade de Situações Problema (ASP) em equações que vai está formada por um sistema invariante de quatro ações vinculando-as com o conteúdo de Equações do 1º grau com uma incógnita e apresentando os tópicos que serão objetos de estudo. No capítulo 2, mostraremos quais são os procedimentos metodológicos usados como métodos adotados e dos instrumentos que foram utilizados durante todo o processo, detalhando os porquês de cada um deles e os questionamentos levantados na pesquisa, como a caracterização da pesquisa, categorias e variável de análises, amostra, fases e instrumentos de coletas de dados. No capítulo 3, os resultados e análises do diagnostico no nível de partida dos estudantes obtidas dos instrumentos utilizados da coleta de dados e depois observar qual foi a contribuição da base orientadora da ação (BOA), para a construção do plano de ensino e por fim as considerações finais. CAPITULO I: FUNDAMENTOS TEÓRICO DIDÁTICA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMA Teremos uma simples explanação da construção do método para a resolução de problemas matemáticos voltados para as equações de 1º grau e verificar como é aplicado a Atividade de Situações Problema em Matemática. Num primeiro momento será explicada brevemente a teoria do processo de assimilação assim como as Zona de desenvolvimento proximal de Vygotsky e sua evolução até a teoria de formação das ações mentais de Galperin, passando por pela teoria da atividade de Leóntiev e direção da atividade de estudo de Talízina. 1.1 Fundamentos Psicológicos Os trabalhos de Vygotsky, Leóntiev, Rubinstein e seus partidários conduziram, nos fins dos anos 40, aos princípios que constitui os fundamentos da psicologia soviética e da teoria de formação por etapas das ações mentais que são: a) o enfoque do caráter ativo do objeto da psicologia (atividade); b) o reconhecimento da natureza social psíquica do sujeito; c) o reconhecimento da unidade da atividade psíquica e a atividade externa, prática (Talízina, 1988). A ideia central de Vygotsky (2001, 2003a, 2003b) é que a atividade psíquica, interna, é construída pela atividade externa estabelecendo uma unidade dialética entre 11

12 ambas. A psiques sem a conduta não existe, como a conduta sem a psiques também não. No ser humano, esta atividade está condicionada pelo uso de instrumentos e as formas de utilização que a sociedade há estabelecido historicamente. Assim as funções psíquicas superiores no homem foram originadas nas primeiras formas de comunicação verbal entre as pessoas e estão mediatizadas pelos signos, especificamente os signos linguísticos. Para Vygotsky (2001, p. 399) o significado da palavra tem um caráter especial e não puramente externa. É um fenômeno de pensamento, na medida em que o pensamento está relacionado com a palavra que se materializa, e, inversamente, é um fenômeno de discurso apenas na medida em que o discurso está ligado ao pensamento e focalizado por sua luz. É um fenômeno do pensamento discursivo ou palavra consciente é unidade da palavra e com o pensamento. Para dominar sua conduta, ou seja, dirigir sua psique, o homem deve apoiar-se no inicio em objetos externos e só depois, através da mediação, ele adquire a capacidade de fazê-lo mentalmente utilizando suas ideias internas que são agora elementos da atividade psíquica. Vygotsky (2001) explicou que as funções intelectuais superiores e psicológicos aparecem duas vezes, primeiro como funciona como interpsíquicas funções e após intrapsíquico. Neste sentido, desenvolveu os conceitos de área de desenvolvimento atual e zona de desenvolvimento proximal de suma importância para a educação como uma ciência. Conforme considerações vigotskianas para zona de desenvolvimento atual significa o conhecimento disponível pelo aluno, o real que possui, enquanto na zona de desenvolvimento potencial se entende que o aluno possa chegar ao conhecimento com uma ajuda, seja outro estudante superior ou pela própria professora. Esta consideração explica o relacionamento inicial interpsicológico e assimilação pessoal e final do conhecimento, uma condição de caráter intra-psicológica. Por tanto, Vygotsky (2003a) define que a zona de desenvolvimento proximal é a distância entre o nível real de desenvolvimento que é habitual determinado por resolução de problemas e independente do nível de desenvolvimento potencial, determinado através de resolução de problemas na direção de um adulto ou uma colaboração de pares mais capazes. Figura 1: Zona de Desenvolvimento Proximal

13 Leóntiev torna a atividade o objeto da psicologia e é precisamente através dele, que o sujeito se relaciona com o mundo. Em seus estudos sobre a estrutura das atividades Leóntiev considerado o propósito e razão como elementos-chave e estabelecido que tanto devem corresponder, também separar os conceitos de ação atividade, e operação. Neste sentido, a atividade humana é parte das ações que são executadas através de operações. Considerando que a atividade mental como um caso especial da atividade humana na sua relação com seu mundo material externo (Talízina, 1988, p. 23). Através da atividade o sujeito se relaciona com o objeto respondendo a suas necessidades e adotando uma atitude. A interação entre o objeto e sujeito, possibilita ao último internalizar o objeto e dá solução as tarefas. A vida humana está formada por um sistema de atividades e elas não existe sem o objeto, mas este último pode-se apresentar independente do sujeito ou como reflexo de sua interação. A atividade está formada por ações, operações e objetivos, ou seja, o sujeito se relaciona com o mundo exterior através de uma atividade que está formada por um sistema de ações, a sua vez cada ação, por um sistema de operações para alcançar um objetivo. A atividade é movida pelo motivo (material ou ideal), as ações pelo objetivo e as operações se originam pelas condições da atividade, mas o motivo pode influenciar nas ações para alcançar objetivo. Uma atividade de estudo, por suposto tem um objetivo de ensino vinculado à assimilação de certo conteúdo. O aluno necessita realizar um conjunto de ações para ter 13

14 uma eficiência na assimilação dos conteúdos, manifestado as habilidades de planejar, controlar, resumir, corrigir entre outras. Outras ações estão relacionadas com a ciência e a disciplina que se está estudando. Mas ações num primeiro nível são ações não resumidas que devem transitar para ações resumidas no processo de formação das ações mentais. Por tanto para avaliar a assimilação há que analisar a qualidades das ações que se pode classificar em três níveis: as ações específicas das disciplinas, as ações vinculadas com ciência e as do processo de assimilação. Os elementos da atividade: Sistema de ações, Operações para realizar as ações, Motivação dos alunos e alcançar um objetivo. Chamamos Atividade aos processos mediante os quais o sujeito, respondendo a suas necessidades, se executando passo por passo para chegar no seu objetivo. Figura 2: Interação do sujeito com o objeto Fonte: confeccionado pelo autor (2017) Ela ocorre na interação sujeito objeto, na qual se origina o reflexo psíquico que media na interação. Isto possibilita que possa formar-se no sujeito a representação subjetiva do objeto e produzir-se a objetivação da regulação psíquica no resultado da Atividade. Uma Atividade sem objeto não existe. O objeto da Atividade responde as necessidades do sujeito. A atividade existe através das ações, e por sua vez, ações através das operações. No conceito de atividade Leóntiev aproxima mais a atividade interna e externa, como mostra a figura abaixo: Figura 3: Relação entre atividade externa e interna Fonte: confeccionado pelo autor (2017) Leóntiev coloca que através a atividade o sujeito se relaciona com o mundo, mas que estabelece a relação entre a atividade externa, matéria e a atividade interna, psíquica é Galperin ao indicar que existem cinco etapas qualitativas entre elas conhecida como a teoria de formação por etapas das ações mentais. 14

15 Mas quem estabelece esta relação é Galperin com a teoria de formação por etapas das ações Mentais, que são definidas em um total de 6 etapas, sendo 5 etapas mais a motivacional, a motivação é uma etapa fixa ou permanente, pois sem ela, não dar para ir de uma etapa para outra, e essas etapas, em detalhes são: E0: Motivacional, a motivação tem que começar dos alunos que queiram aprender e que também influencia do professor transmitir seus conhecimentos ao indivíduo para mostrar uma direção a ser seguida. Em outras palavras é o impulso interno que leva à ação de conquista o seu objetivo. E1: Elaboração da Base Orientadora da Ação (BOA), a BOA distingue-se por três caraterísticas do sistema de ações, a primeira caraterística pode ser geral ou concreta, ou seja, quando o estudante domina ações gerais em relação ao objetivo para resolver um número maior de tarefas. A segunda está relacionada com o êxito da atividade que depende da plenitude das ações orientadas que devem ser suficientes (completa) para alcançar o objetivo e nunca insuficiente (incompleta). A terceira característica é a forma de obtenção do sistema das ações pelo estudante, a partir das orientações do professor o estudante vai incorporando o sistema de ações para dar solução às tarefas a serem desenvolvidas de forma independente. Quando o professor apresenta o sistema de ações pronto, sem muito esforço para o estudante, se diz que a forma de obtenção é preparada, veja na tabela abaixo: Tabela nº 1: Tipos de Base Orientadora da Ação Nº Caráter Generalizado Plenitude Modo de obtenção 1 Concreta Incompleta Independente 2 Concreta Completa Preparada 3 Generalizado Completa Independente 4 Generalizado Completa Preparada 5 Generalizado Incompleta Preparada 6 Generalizado Incompleta Independente 7 Concreta Completa Independente 8 Concreta Incompleta Preparada Fonte: Talízina (1988, p. 89) Talízina (1988) indica que a BOA mais produtiva é a orientada de forma geral, completa e obtida de forma independe pelos estudantes, mas é possível utilizar outra 15

16 BOA sempre que seja completa dependendo das condições de ensino, ainda com limitações na retenção e transferência. E2: Formação da ação em forma material ou materializada, o estudante deve realizar as ações passo a passo com a ajuda de portadores externos da informação. O papel do professor é ativo, deve verificar a execução da cada ação com suas respetivas operações e o controle do objetivo e se é necessário realizar as correções necessárias. A generalização das ações está limitada pelos casos padrões onde são aplicadas as ações. Ainda as ações são compartilhadas com o professor e colegas e não automatizadas (consciente), mas saber fazer as ações não significa saber explicar. E3: Formação da ação verbal externa, a linguagem tem rol fundamental, o estudante deve saber explicar as ações de forma consciente sem o apoio das ações externas materializadas e o principal objetivo é assimilar as operações; se começa a trabalhar num plano teórico. A posição do professor muda, nesta etapa aumenta a função reguladora no controle das ações sendo muito importante corrigi-lo quando cometem erros. No final da etapa deve aumentar a independência dos estudantes, mas é ainda explanada, compartilhada e consciente. É necessário aumentar a complexidades dos problemas e/ou exercícios, devem ser heterogêneos, diferentes e aplicados a diversas situações. A generalização toma outra dimensão, o sistema de ações deve ser explicado pelos estudantes, alcançando certo grau de compactação ante novas tarefas não trabalhadas nas etapas anteriores. E4: Formação da ação na linguagem externa para si, ela é transitória antes da formação da linguagem interno. Caracterizam-se pela realização das ações pelo estudante para adentro, como se fosse um pensamento em voz alta, onde as ações são explanadas, conscientes e generalizadas. As ações começam a reduzir-se rapidamente e automatizarse dando passo a internalização. O controle das ações passa do externo para o interno. E5: Formação da ação na linguagem interna, a atividade adquire a forma mental, ou seja, as ações agora passam a ser mental, generalizada, comprimida, independente e automatizada. 1.2 Equações do 1º grau com uma incógnita. 16

17 Na Índia antiga fala de um passa tempo muito popular dos matemáticos hindus da época: a solução de quebra-cabeças em competições públicas, em que um competidor propunha problemas para outro resolver. 2 Era muito difícil a Matemática nesse período. Sem nenhum sinal, sem nenhuma variável, somente alguns poucos sábios eram capazes de resolver os problemas, usando muitos artifícios e trabalhosas construções geométricas. Hoje, temos a linguagem exata para representar qualquer quebra-cabeça ou problema. Basta traduzi-los para o idioma da Álgebra: a equação. Equação é uma maneira de resolver situações nas quais surgem valores desconhecidos quando se tem uma igualdade. A palavra equação vem do latim equatione, equacionar, que quer dizer igualar, pesar, igualar em peso. E a origem primeira da palavra equação vem do árabe adala, que significa ser igual a, de novo a idéia de igualdade. Por serem desconhecidos, esses valores são representados por letras. Por isso na língua portuguesa existe uma expressão muito usada: o x da questão. Ela é utilizada quando temos um problema dentro de uma determinada situação. Matematicamente, dizemos que esse x é o valor que não se conhece. A primeira referência a equações de que se têm notícias consta do papiro de Rhind, um dos documentos egípcios mais antigos que tratam de matemática, escrito há mais ou menos 4000 anos. Como os egípcios não utilizavam a notação algébrica, os métodos de solução de uma equação eram complexos e cansativos. Os gregos resolviam equações através de Geometria. Mas foram os árabes que, cultivando a Matemática dos gregos, promoveram um acentuado progresso na resolução de equações. Para representar o valor desconhecido em uma situação matemática, ou seja, em uma equação, os árabes chamavam o valor desconhecido em uma situação matemática de coisa. Em árabe, a palavra coisa era pronunciada como xay. Daí surge o x como tradução simplificada de palavra coisa em árabe. No trabalho dos árabes, destaca-se o de Al-Khowarizmi (século IX), que resolveu e discutiu equações de vários tipos. Al-Khowarizmi é considerado o matemático árabe de maior expressão do século IX. Ele escreveu dois livros que desempenharam importante papel na história da Matemática. Num deles, Sobre a arte hindu de calcular, Al-Khowarizmi faz uma exposição completa 2 no dia ás 15:24 17

18 dos numerais hindus. O outro, considerado o seu livro mais importante, Al-jabr wa l mugãbalah, contém uma exposição clara e sistemática sobre resolução de equações. As equações ganharam importância a partir do momento em que passaram a ser escritas com símbolos matemáticos e letras. O primeiro a fazer isso foi o francês François Viète, no final do século XVI. Por esse motivo é chamado pai da Álgebra. Viète também foi o primeiro a estudar as propriedades das equações através de expressões gerais como ax + b = 0. Graças a Viète os objetos de estudo da Matemática deixaram de ser somente problemas numéricos sobre preços das coisas, idade das pessoas ou medidas dos lados das figuras, e passaram a englobar também as próprias expressões algébricas. A partir desse momento, as equações começaram a ser interpretadas como as entendemos atualmente: equação, o idioma da álgebra. Atualmente as equações são usadas, entre outras coisas, para determinar o lucro de uma firma, para calcular a taxa de uma aplicação financeira, para fazer a previsão do tempo, etc. E devido a evolução dos estudos das equações, podemos utilizar outras variáveis, letras, para representar o valor desconhecido, ou seja, o que se quer descobrir em uma equação. Hoje, chamamos o termo desconhecido de incógnita, que é uma palavra originária do latim incognitu, que também quer dizer coisa desconhecida. A incógnita é um símbolo que está ocupando o lugar de um elemento desconhecido em uma equação. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) em Matemática, é desejável que o professor proponha aos alunos a análise, interpretação, formulação e resolução de novas situações-problema, envolvendo números naturais, inteiros e racionais e os diferentes significados das operações, e que valorize as resoluções aritméticas tanto quanto as algébricas. Os objetivos de Matemática para o quarto ciclo do ensino deve visar ao desenvolvimento: Do pensamento numérico, por meio da exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a: ampliar e consolidar os significados dos números racionais a partir dos diferentes usos em contextos sociais e matemáticos e reconhecer que existem números que não são racionais; resolver situações-problema envolvendo números naturais, inteiros, racionais e irracionais, ampliando e consolidando os significados da adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação; selecionar e utilizar diferentes procedimentos de cálculo com números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Do pensamento algébrico, por meio da exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a: produzir e interpretar diferentes escritas algébricas expressões, igualdades e desigualdades, identificando as equações, inequações e sistemas; 18

19 resolver situações-problema por meio de equações e inequações do primeiro grau, compreendendo os procedimentos envolvidos; observar regularidades e estabelecer leis matemáticas que expressem a relação de dependência entre variáveis. Para ter um melhor desenvolvimento do conteúdo de equações, temos que verificar como estão indo em determinados conjuntos numéricos, primeiramente começando pelo conjunto dos números Naturais, pois se tratar da base dos conjuntos, nele verificou como se descobri o que é um antecessor de um número ou um sucessor, pois terá vários problemas envolvendo-os. O conjunto seguinte é dos Inteiros, a diferencia dos números Naturais é pouca, tem mais propriedades e que todos do conjunto dos Naturais está contido dentro do conjunto dos números Inteiros. E por fim tem os Racionais, que se trata de uma divisão, temos que para todo número inteiro no numerador e já no denominador são os inteiros diferentes de zero. Tendo conhecimentos básicos nestes três conjuntos, na hora de resolveram os problemas de equação do 1º grau, terão mais habilidades para executar os métodos aprendidos dos conjuntos. Números Naturais Para contar usamos os números de 1,2,3,4,5,6... etc. junto com zero, esses números formam o conjunto dos números naturais, que é indicado assim: N={0,1,2,3,4,5,...} Sabemos muitas coisas sobre os números naturais. Veja: Todo número natural tem sucessor: existem infinitos números naturais. O sucessor de 13 é 14. O sucessor de 1999 é Todo número natural, com exceção do zero, tem um antecessor. O antecessor de 25 é 24. O antecessor de 4576 é A soma de dois números naturais e sempre um número natural. O produto de dois números naturais e sempre um número natural. Ex1: Responda: a) qual é o sucessor de 48999? b) qual é o antecessor de 72000? 19

20 c) 8000 é o sucessor de que número? d) 3640 é o antecessor de que número? Ex2: Escreva o número 35 como: a) o produto de dois números naturais ímpares; b) a soma de dois números naturais consecutivos; c) a soma de cinco números naturais consecutivos. Ex3: Utilizando uma só vez cada um dos algarismos 2,4,6 e 7, escreva: a) o maior número natural? b) o maior número ímpar? c) o menor número par? Números Inteiros Juntando ao conjunto dos números naturais os números inteiros negativos, obtemos o conjunto de todos os números inteiros: Z Sobre os números inteiros, sabemos entre outras coisas que: Todo número inteiro tem sucessor. O sucessor de 13 é 14 O sucessor de -13 é -12 Todo número inteiro tem antecessor. O antecessor de 25 é 24 O antecessor de -25 é -26 Os números inteiros podem ser representados por pontos na reta numérica A soma de dois números inteiros e sempre um número inteiro. O produto de dois números inteiros e sempre um número inteiro. A diferença de dois números inteiros e sempre um número inteiro. O quociente entre dois números inteiros muitas vezes não é um número inteiro. Veja que 3;4 ou -7;5 e inúmeras outras divisões entre inteiros não tem como resultado um número inteiro Sabemos, por exemplo que raiz de 9 =3 por que 3^2=9. Mas e raiz de 20: é um número inteiro? Ex1: Responda 20

21 a) se -15 significa 15 metros para a esquerda, o que significa +15? b) se +70 significa um lucro de R$ 70, o que significa -70? c) se -6 significa 6 anos mais novo, o que significa +6? Ex2: Responda a) existe o menor número inteiro? b) existe o maior número inteiro? c) quantos números inteiros existem? Ex3: Responda a) sou um número inteiro e o meu sucessor é Quem sou? b) sou um número inteiro. Não sou positivo. Não sou negativo. Quem sou? c) sou um número inteiro maior que -15 e menor que -13. Quem sou? Números Racionais Os números obtidos pela divisão de dois números inteiros formam o conjunto dos números racionais que é representado pela letra Q de quociente. Divisões que não tem resultado em Z, tem resultado em Q. Podemos descrever os números racionais assim: Os números racionais são os que podem ser escritos na forma a, sendo aeb Z e b b diferente de zero. Ex1: Veja os números que aparecem nas frases a seguir. * A jarra tem capacidade para 3/4 de litro. * numa cidade há 8049 bicicletas. * o saldo de gols de um time de futebol é -6. * Leandro tem 17 anos. * a velocidade de um carro é de 92,75 km\h. * a temperatura atingiu -2,8 C. Responda: a) quais deles representam números naturais? b) quais deles representam números inteiros? c) quais deles representam números racionais? Ex2: o que você pode dizer sobre estes números?

22 Ex3: Procure entre os cartões aqueles que correspondem a cada condição. (a) 20 8 (b) 30 5 (c) 10 3 a) representa um número inteiro b) representa um número entre 3 e 4. c) representa um número fracionário entre 2 e 3. Ex4: Se um pacote de café pesar 125g, quantos pacotes com este peso poderão ser feitos com 1kg de café? Equações de 1º Grau Equação é uma igualdade em que há pelo menos uma letra para representar o valor desconhecido. A letra ou as letras que representam valores desconhecidos são as incógnitas da equação. Na equação x+3=5+2, a incógnita é x. Toda equação tem dois membros: x+3=5+2 x+3 1º membro 5+2 2º membro Observe que o valor de x que torna a igualdade verdadeira é 4, pois, trocando x por 4 na equação, igualdade fica verdadeira: 4+3=5+2 x=4 é a única solução dessa equação. Resolver uma equação é encontrar sua solução. Vamos resolver a equação 5x-8=3x-12 para recordar. Encontramos a solução da equação Verificamos se a solução está correta substituindo x por -2 na equação: 5.(-2)-8=3.(-2) = =-18(Verdadeiro!) Fazendo a verificação temos certeza se acertamos a resolução da equação. A solução x=-2 está correta. Exemplos: 22

23 x+4=12 t.7=63 y-5=19 x/6=2 2.(3x-5)=14 t-6=-8 2x-1/5=3 4x=-8x+36 4(s-3)=2s-8-3=x+10.(2t+5)=1.(3t) 37=-3m+52 Ex2: Um Número é adicionado a seu dobro é igual a 36. Qual o valor desse número? Ex3: A soma de dois números é 17. Qual o valor do maior numero? Ex4: Um pai tem 37 anos e seu filho 7. Daqui a quantos anos, a idade do pai será o triplo da idade do filho? Ex5: Júnior e Aline tem 100 livros. Se tirarem 25 livros de Júnior e derem a Aline, eles ficarão com o mesmo número de livros. Quantos livros tem cada um? Ex6: Que numero natural sou eu? O dobro do meu antecessor, menos 3 é igual a 25. Ex7: Francisca tinha certa quantia em dinheiro e ganhou de sua mãe o quíntuplo do que tinha. Com isso, ficou com R$ 204. Quanto de dinheiro tinha no início? Quanto sua mãe deu? 1.3 A Atividade de situações problema em equações A Atividade de Situações Problema (ASP) em Matemática está orientada pelo objetivo de resolver situações problema na zona de desenvolvimento proximal num contexto de ensino aprendizagem onde existe uma interação entre o professor, o estudante e a situação problema, utilizando a resolução de problema em Matemática como metodologia de ensino, a tecnologia disponível e outros recursos didáticos, para transitar pelos diferentes estados do processo de assimilação. (Mendoza, Tintorer, 2017). A ASP em Matemática está formada por um sistema invariante de quatro ações com suas respetivas operações que permitem solucionar várias classes de problemas matemáticos. A continuação é exposta o sistema de ações com suas respectivas operações (Mendoza, 2009, Mendoza et al.,2009, Mendoza; Tintorer, 2010). A ASP em equações do 1º Grau está constituída por quatros ações invariante que são: 1ª ação, compreender o problema; 2ª ação, construir a equação de 1º grau; 3ª ação, solucionar a equação, encontrar a variável pedida e 4ª ação, interpretar a solução encontrada. Em cada ação existe um conjunto de operações com o objetivo de realizar 23

24 cada ação (Mendoza, 2009; Tintorer; Mendoza, 2009). A primeira ação é compreender o problema e está formada pelas operações: ler o problema e extrair todos os elementos desconhecidos; estudar os dados e suas condições e determinar o(s) objetivo(s) do problema. A segunda ação é de construir o modelo matemático, que é determinar variável a ser utilizada na equação; atribuir o significado que a variável deve representar na equação; realizar as análises das unidades de medidas do modelo matemático; elaborar o modelo matemático a partir das informações e condições extraídas do problema. A terceira ação que é de solucionar o modelo matemático a qual temos que, observar os membros, separados pela igualdade da equação; separar um membro somente com as variáveis da equação e o outro com as nãovariáveis; somar os termos semelhantes; isolar a variável pedida; encontrar a solução do modelo matemático. Por último a quarta ação é interpretar a solução formada pelas operações: interpretar o resultado, extrair os resultados significativos que tenham relação com o(s) objetivo(s) do problema, dar resposta ao(s) objetivo(s) do problema, realizar uma reflexão baseado no(s) objetivo(s) do problema, analisar a partir de novos dados e condições que tenham relação direta ou não com o(s) objetivo(s) do problema existindo a possibilidade de reformular o problema e assim construir novamente o modelo matemático e interpretar sua solução. Talízina (1988, p. 14) afirma que o ensino planejado inclui os seguintes aspectos: a) a escolha da teoria psicológica de estudo que responde melhor às características específicas do ensino do homem; b) a formulação e realização das exigências de direção do processo de estudo apresentada pela teoria geral de direção; c) a criação dos recursos técnicos de ensino orientados ao modelo selecionado de ensino que satisfaça as exigências da teoria geral de direção. A direção da atividade de estudo deve considerar os seguintes elementos: o objetivo de ensino; o estado de partida da atividade psíquica dos estudantes; as tarefas para garantir as etapas do processo de assimilação; o enlace de retorno ou retroalimentação e a correção do processo de estudo (Talízina, 1984, 1988, 1994). Os conteúdos antes de ser internalizado pelos estudantes o sistema de ações da atividade devem passar por cinco etapas qualitativas que são: E0, Motivação; E1, formação da Base Orientadora da Ação (BOA); E2, formação da ação em forma material ou materializada; E3, formação da ação em verbal externa; E4, formação da ação em linguagem externa par si e E5, formação da 24

25 ação em linguagem interno. O processo de ensino aprendizagem deve estar sob o comando do professor seguindo os princípios da teoria geral de direção, constituída por: o objetivo de ensino (D1), o estado de partida da atividade psíquica dos estudantes (D2), o processo de assimilação (D3), a retroalimentação (D4) e a correção (D5). Este processo deve ser cíclico e transparente visando, como elemento principal, o processo de transformação da atividade externa à atividade interna (Talízina, 1984, 1988, 1994,2000). Se representará a direção da atividade a partir da figura 1, onde E1, E2 até E5 significa as cinco etapas de formação das ações mentais. Figura 4: Direção da Atividade de Situações Problema 25

26 CAPITULO II: PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS O fator metodológico em que está situada a investigação demanda o emprego de métodos, técnicas e instrumentos que facilitem a coleta de dados e interpretação dos mesmos. A observação direta, com a observação participativa, centrada em anotações de campos, relatórios, prova de lápis e papel e com enfoque qualitativo e quantitativo tem sido considerada essencial na investigação realizada, porque se adéqua ao âmbito de conhecimento, evitando o reducionismo e a contextualização inadequada. 2.1 Caracterização da pesquisa, categorias e variável de análises. A Escola Estadual Monteiro Lobato está localizada na Rua Cecilia Brasil, 1506 Centro, CEP: Funciona em três turnos matutino, vespertino e noturno e atende aos alunos do Ensino Fundamental (5ª a 8ª série 6º ao 9º ano), Ensino Médio (1º ano) e a Educação de Jovens e Adultos (EJA) para o Ensino Médio também. Atende ao Ensino Fundamental, funcionando no seguinte horário: matutino das 7:30 as 11:50. E conta com 21 salas de aula, uma direção, uma secretaria, uma coordenação, uma sala de professores, uma sala de materiais de educação física, uma biblioteca, um laboratório de informática e sala de educação matemática, um refeitório com cantina e uma quadra poliesportiva. As salas de aula fica no edifício de 2 pisos que ficam mais próximo da avenida Ene Garcez e tem dois portões, uma na rua Cecilia Brasil e na rua Araújo Filho que ficam abertos até as 8hs e que depois só funcionar o da rua Cecilia Brasil como entrada e saída, que tem um espaço imenso entre o edifício e a quadra poliesportiva, que servi de estacionamento. Num primeiro momento as observações, foi menos formal, identificando situações de observação específicas e descrevendo fatos que acontecem na sala. Num segundo momento, tornou-se mais formal e categorial, completando as anotações com o estudo e aplicação de provas de lápis e papel. A avaliação das provas de lápis e papel foi analisado com um caráter qualitativo e quantitativo. As ações de Atividade de Situações Problema em Equações de 1º grau nas análises qualitativas se convertem em categorias e operações em indicadores das categorias. Nos quantitativos as ações são convertidas em variáveis e as operações em seus indicadores. Lembremos as ações da ASP são compreender o problema, construir o modelo matemático, solucionar o modelo matemático e interpretar a solução. 26

27 A pesquisa é qualitativa quantitativa, que nas análises qualitativas as ações são convertidas em categorias de análises e as ações como seus indicadores que serão utilizadas na descrição da prova diagnóstica e nas contribuições da sequência didática na aprendizagem de equações cujas variáveis mensuráveis com valores ordinais 1, 2, 3, 4, 5. Ou seja, temos a variáveis compreender o problema, construir o modelo matemático, solucionar o modelo matemático e interpretar a solução. Em cada variável existe um indicador (constituído pelas operações da ASP) como critério de essencial, ou seja, é considerado como o conhecimento mínimo que deve saber o aluno: Dimensões das categorias de avaliação: Figura 5: Dimensões das categorias de avaliação Resumindo temos que se o aluno tem critério um (1) foi Muito Ruim; critério dois (2) foi Ruim; critério três (3) foi Regular; critério quatro (4) foi Bom e critério cinco (5) foi Ótimo. Indicadores da dimensão Nível da ação compreender o problema (Y1) O aluno extrai os dados do problema? O aluno determina as condições do problema? O aluno define o(s) objetivo(s) do problema? Indicador essencial: O aluno define o(s) objetivo(s) do problema. 27

28 Indicadores da dimensão Nível da ação construir o modelo matemático (Y2) Determinar variável a ser utilizada na equação; Atribuir o significado que a variável deve representar na equação; Realizar as análises das unidades de medidas do modelo matemático; Elaborar o modelo matemático a partir das informações e condições extraídas do problema. Indicador essencial: O aluno define e constrói o modelo matemático a partir das variáveis e incógnitas e condições Indicadores da dimensão Nível da ação solucionar o modelo matemático (Y3) Observar os membros, separados pela igualdade da equação; Separar um membro somente com as variáveis da equação e o outro com as não-variáveis; Somar os termos semelhantes; Isolar a variável pedida; encontrar a solução do modelo matemático. Indicador essencial: O aluno utilizar a melhor caminho de passo a passo, que contenha recurso necessário para solucionar o modelo matemático. Indicadores da dimensão Nível da ação interpretar a solução (Y4) Interpretar o resultado; Extrair os resultados significativos que tenham relação com o(s) objetivo(s) do problema; Dar resposta ao(s) objetivo(s) do problema; Realizar um relatório baseado no(s) objetivo(s) do problema; Analisar a partir de novos dados e condições que tenham relação direta ou não com o(s) objetivo do problema, a possibilidade de reformular o problema, construir novamente o modelo matemático, solucionar o modelo matemático e interpretar a solução. Indicador essencial: O aluno dá resposta ao(s) objetivo(s) do problema. 2.2 Amostra, fases e instrumentos de coletas de dados da pesquisa A amostra utilizada foi formada pela turma 8ºF da disciplina de matemática da Escola Estadual Monteiro Lobato. A pesquisa foi dividida em duas fases, na fase I está relacionada como nível de partida dos alunos na ASP nos conteúdos matemáticos, na fase II correspondeu com as etapas de orientação das ações. Na fase I, para determinar nível de partida dos alunos foi aplicado uma prova de lápis e papel, com conteúdo que já estudaram no ensino fundamental. As ideias dos 28

29 problemas tiveram uma relação com a vida cotidiana dos mesmos. Depois de conhecer o nível de partida dos estudantes, na fase II, foi preparado e orientado o sistema de ações para a resolução dos problemas matemáticos que teve como modelo matemático o conteúdo de equações do 1º grau. Utilizei a BOA do tipo geral, completa e independente por ter características essenciais para a aprendizagem dos alunos onde se exigiu dos alunos a resolução de exercícios de equações do 1 grau, Conjuntos Naturais, Inteiros e Racionais. Os problemas passaram a ser situações problema. No primeiro bimestre a amostra estava formada por 27 alunos. Depois de conhecer o nível que apresentam os estudantes, foi preparado e orientado o sistema de ações para a resolução dos problemas matemáticos que tenham como modelo matemático equações do 1 grau. A pesquisa teve o intuito de analisar a formação das ações mentais na aprendizagem da ASP nos conteúdos. A inicialização da pesquisa começa através de observações em sala de aula, verificando se que o método utilizado se qualifica de maneira tradicional, para o ensino dos conteúdos. Considerando que o conteúdo de equações do 1 grau pode ser aplicado num contexto de atividades situações problemas aos estudantes. O sistema de quatro ações da ASP são as categorias de análises da pesquisa Foi apresentado o problema aos estudantes para que trabalhe em sua solução utilizando a Atividade de Situações Problema. Na primeira ação, compreender o problema, o estudante deve primeiramente ler e extrair os elementos desconhecidos para ele, empreendendo uma análise minuciosa até que sejam compreendidos com todos os detalhes. Posteriormente deve determinar os dados, as condições e os objetivos do problema. A segunda ação construir a equação do 1 grau, o estudante deve realizar as seguintes operações: determinar e nominar as variáveis ou incógnitas, construir a equação considerando, em ambos os casos, as análises das unidades de medidas das variáveis e equações. O próximo passo é a execução da terceira ação, solucionar a equação do 1 grau. O estudante deve selecionar o método que melhor lhe agrada para a solução do mesmo. Na quarta ação interpretar a solução, além de interpretar as soluções se dá as respostas aos objetivos do problema, aí se pode induzir novas problemáticas não previstas. Os problemas citados abaixo são da prova diagnostica aplicado aos alunos da turma 8ºF, começando pelo: Problema 1 29

30 Resolva as seguintes equações: a) 5x + 45 = 75 b) 7x 23 = 25-5x c) 11 t + 45 = -4t O principal objetivo do problema um, está com foco na terceira ação da ASP, solucionar o modelo matemático, temos que as letras (a) e (b), possui a mesma variável, que muito conhecida por todos, que é a variável x, mas na letra (c), mesmo tendo como variável t, a resolução segue semelhante das letras (a) e (b). Problema 2 Numa sala existem 4 meninos a mais do que meninas. Se o número total de alunos é igual a 32. Determine o número de meninos? O objetivo do problema dois, tem como a primeira ação de compreender o problema, e saber identificar, com qual variável será usada para representar o valor desconhecido e depois serão utilizados para construção do modelo matemático que está na segunda ação da ASP, que serão encontradas as quantidades de meninos e meninas. Depois indo para terceira ação que é de solucionar o modelo encontrado na segunda, para mostrar os resultados obtidos dela e para finalizar com a última ação de interpretar o problema, prestar atenção no que está sendo pedido no contexto do problema. Problema 3 O quíntuplo de um número mais 15 é igual ao dobro desse número adicionado de 45. Qual é esse número? O objetivo do problema três, tem como a primeira ação de compreender o problema, e saber identificar, com qual variável será usada para representar o valor desconhecido, que será utilizado para construção do modelo matemático que está na segunda ação da ASP. Depois indo para terceira ação que é de solucionar o modelo encontrado na segunda, para mostrar os resultados obtidos dela e para finalizar com a última ação de interpretar o problema, prestar atenção no que está sendo pedido no contexto do problema. Problema 4 No centro da cidade, existe um estacionamento para carros e motos. Sabendo que o número total de rodas é 180 e que o número de carros é igual a 30. Determine o número 30

31 de motos? O objetivo do problema quatro, tem como a primeira ação de compreender o problema, e saber identificar, com qual variável será usada para representar o valor desconhecido e depois serão utilizados para construção do modelo matemático que está na segunda ação da ASP, que será encontrada a quantidade de motos, já que a de carros já foi fornecida. Depois indo para terceira ação que é de solucionar o modelo encontrado na segunda, para mostrar os resultados obtidos dela e para finalizar com a última ação de interpretar o problema, prestar atenção no que está sendo pedido no contexto do problema. 31

32 CAPITULO III: RESULTADOS E ANÁLISES Neste capítulo será abordado o processo de correção da prova diagnóstica assim como a construção de um plano de ensino básico para se começar a trabalhar com resolução de problemas na educação de ensino fundamental. Tendo em vista que a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas Diagnostico no nível de partida dos estudantes Com base nos procedimentos de correções da prova diagnostica destaco os desempenhos dos alunos que não trabalharam com este tipo de abordagem por parte dos professores sendo que estes mesmos estavam acostumados com problemas básicos que são apresentados nos livros adotados pela escola conforme segue as respectivas considerações. Por se tratar de uma coisa que viram no ano passado, tentei aplicar coisa simples para resolução das equações, a maioria tentou fazer as três equações da questão 1, sendo que nas duas primeiras foram feitas por completa por uma grande parte deles, os que receberam nota 1 (um) é que não chegaram a tentar fazer nada, nota 2 (dois) rabiscaram alguns detalhes, não resolveram, não concluir o que foi pedido e a resposta estava errado, nota 3 (três) só colocaram a resposta correta, nota 4 (quatro) resposta estavam correta, mas esqueceram os sinais ou não concluirão a divisão deixada, e nota 5 (cinco) toda a estrutura para resolução está correta junto a resposta. No primeiro problema temos: Resolva as seguintes equações: a) 5x + 45 = 75; b) 7x 23 = 25-5x; c) 11 t + 45 = -4t. (semelhante na resolução com variável de x, só que no lugar que era para ser x temos a variável t). Tabela nº 2: Resultado DO PROBLEMA 1 ESCOLA ESTADUAL MONTEIRO LOBATO Alunos PARÂMETROS Y3 A B C Média A ,00 A ,67 A ,00 A ,00 A ,67 32

33 A ,00 A ,67 A ,00 A ,67 A ,33 A ,00 A ,00 A ,33 A ,67 A ,33 A ,00 A ,67 A ,00 A ,00 A ,00 A ,33 A ,67 A ,00 A ,67 A ,00 A ,67 A ,33 Figura 6: Resultado do problema 1 em porcentagem Porcentagem do Problema 1 30% 48% 3% 19% 1 a 2* 2 a 3* 3 a 4* 4 a 5 Fonte: confeccionado pelo autor (2017). O (*) não participa do intervalo Verificou-se que grande parte dos estudantes não possuíam os requisitos para alcançar o objetivo do problema e, além disso, para esta simples solução, os que não conseguiram completar as questões por falta de não saber a divisão, ao qual ficava x=30/5, x=48/12 ou t=-45/15, sendo que todos os resultados do problema 1 têm como respostas valores nos inteiros. E com isso não determinava solução da equação por completo. 33