UNIVERSITÀ DI ROMA TOR VERGATA. Analisi Matematica II per Ingegneria Prof. C. Sinestrari

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1 UNIVERSITÀ DI ROMA TOR VERGATA Analisi Matematica II per Ingegneria Prof. C. Sinestrari Risposte (sintetiche) agli esercizi dell.xii.8. Il tetraedro può essere descritto come insieme normale rispetto all asse z, al modo seguente {(x, y, z) : (x, y) T, z x y}, dove abbiamo indicato con T il triangolo di vertici (, ), (, ) e (, ) nel piano. T a sua volta si può scrivere come T {(x, y) : x [, ], y x}. (a) Calcoliamo dapprima il volume: dy x x x y dy ( x y) dy ( x) 6. (oppure si può usare la nota proprietà che il volume di un tetraedro è dato dall area della base per l altezza diviso tre). Pertanto x 6 6 x dy 6 x x x( x y) dy x y dy x x( x). Con un calcolo analogo si trova che anche le coordinate ȳ e z valgono / (come si può dedurre anche dalla simmetria del dominio). (b) Troviamo f(x, y, z) dy x ( ) cos (x + y) x x y dy ( ) sin (x + y + z) dy ( sin ) x ( ).. Per tutti gli insiemi proposti θ varia in [, ], mentre ρ, z variano come segue: (a) (i) z [ R, R], ρ [, R z ] (ii) ρ [, R], z [ R ρ, R ρ ] (b) (i) z [, R], ρ [, R z ] (ii) ρ [, R], z [, R ρ ] (c) (i) e (ii): z [, h], ρ [, R] (d) (i) z [, h], ρ [, R R h z] (ii) ρ [, R], z [, h h R ρ]. (e) (i) z [, h], ρ [, R h z] (ii) ρ [, R], z [ h R ρ, h].

2 . Integrando in coordinate cilindriche, in uno dei due modi descritti sopra, si trova: (i) Il volume vale rispettivamente (b) R, (c) R h, (d) R h. (ii) Il baricentro ha coordinate rispettivamente (b) (,, 8 R), (c) (,, h ), (d) (,, h). (iii) Il momento d inerzia vale rispettivamente (b) 5 R5, (c) R h, (d) R h.. In tutti i casi ρ varia in [, ], mentre θ e φ hanno le seguenti limitazioni. (a) θ [/, /], φ [, ] (b) θ [, ], φ [/, ] (c) θ [ /, ], φ [, ] (d) θ [/, /], φ [, /] (e) θ [, /], φ [, /]. NB sono corrette anche le risposte ottenute aggiungendo a entrambi gli estremi un multiplo intero di ; tutte le altre sono sbagliate (ad es., se la risposta giusta è θ [ /, ], va ugualmente bene θ [/, ], mentre risposte quali θ [, /], o θ [/, ] o ancora θ [ /, ] sono sbagliate); l unica eccezione è naturalmente il caso di θ [, ] dove [, ] può essere sostituito da un qualunque altro intervallo della stessa ampiezza. 5. Conviene usare le coordinate sferiche, rispetto alle quali il dominio corrisponde a ρ [, ], θ [, /], φ [, /]. Pertanto la massa è data da ( + x + y) dy / / ( ρ + ρ) 7 8. / / ( ρ sin φ + ρ sin φ) ( + ρ sin φ(cos θ + sin θ))(ρ sin φ) 6. Indichiamo con δ la densità (costante) del cilindro e con h la sua altezza (che non sono note, ma si vedrà che il loro valore non influirà sul risultato finale). Si trova che la massa del cilindro vale 5δh e il momento d inerzia 65 δh. D altra parte sappiamo che la massa vale, quindi δh /5, da cui si deduce che il momento d inerzia vale In tutti gli esempi proposti, è sottinteso che l angolo θ varia in tutto [, ]. In alcuni casi, occorre dividere il dominio in due parti in cui gli estremi hanno espressioni diverse. (i) (a) z (b) ρ R, ρ az, unito a R z R, ρ +a +a R z. ar +a, ρ a z R ρ. (c) φ arctg a, ρ R. (ii) (a) z (b) ρ R +a, az ρ R z, ar, z ρ +a a, unito a Ra ρ R, z +a R ρ. (c) arctg a φ, ρ R.

3 (iii) (a) R r z R r, r ρ R z. (b) r ρ R, R ρ z R ρ. r (c) arcsen r R φ arcsen r R, sen φ ρ R. (iv) (a) z R r, ρ r, unito a R r z R, ρ R z. (b) ρ r, z R ρ. (c) φ arcsen r R, ρ R, unito a arcsen r R φ /, ρ r sen φ. (v) (a) r z R, ρ R z. (b) ρ R r, r z R ρ. (c) φ arccos r R, r cos φ ρ R. (vi) (a) z R, ρ Rz z R, unito a z R, ρ R z. (b) ρ R, R R ρ z R ρ. (c) φ, ρ R, unito a φ, ρ R cos φ. (vii) (a) z R a +, ρ az, unito a R a + z R, ρ Rz z. (b) ρ ar a +, ρ a z R + R ρ. (c) φ arctg a, ρ R cos φ. 8. I volumi si possono calcolare utilizzando le coordinate sferiche oppure quelle cilindriche, come descritto sotto. In alcuni casi è conveniente dividere il dominio in due parti uguali e limitarsi a studiarne una, moltiplicando il volume ottenuto per due. (i) m() m() (ii) m() m() (iii) m() m() (iv) m() / / ρ sen φ ( ), oppure ρ ρ ( ). ρ / / / z / /6 ρ sen φ, oppure ρ z. ρ sen φ, oppure sen φ z ρ. ρ sen φ + / / 6 ( ) ( ), oppure ρ m() ρ 8 ρ ( ). sen φ ρ sen φ

4 (v) m() 8 + 9, oppure m() z / ρ sen φ + ρ ( z ) 9, cos φ ρ sen φ o ancora, usando coord. sferiche per una parte e cilindriche per l altra: m() ρ sen φ + (vi) In coordinate sferiche centrate in (,, ) troviamo m() cos φ ρ sen φ ( 5), oppure, in coordinate cilindriche, (z) m() ρ z ρ [ (z ) ] ( 5), o ancora, scrivendo come differenza di un settore sferico e di un cono, e usando coordinate sferiche per il primo e cilindriche per il secondo: z m() ρ sen φ ρ ( ). / / cos φ (vii) m() ρ sen φ + ρ sen φ / + 5, oppure m() (viii) m() m() /6 z z cos φ ρ 5. ρ sen φ, oppure + ρ ρ ρ. 9. Possiamo integrare per strati, osservando che lo strato di altezza z è dato da z C( z ) (cerchio di centro l origine e raggio z ) per z [, ]. Quindi la massa di si può calcolare al modo seguente ( + x + y + z ) dy ( + x + y + z ) dy z ( + ρ + z )ρ C( z ) ( z z + ) 7. Oppure si può scrivere come unione di un settore sferico e in un cono, usando coordinate sferiche su ( + x + y + z ) dy ( + ρ )ρ sen φ 6 5,

5 e cilindriche su ( + x + y + z ) dy z ( + ρ + z )ρ 5. Sommndo i contributi, si ottiene il risultato di 7 già ottenuto con l altro metodo.. Si tratta di un solido di rotazione intorno all asse z, quindi le coordinate x e y del baricentro sono zero per simmetria. Possiamo procedere in vari modi (come nel caso dell esercizio 8-(vi), in cui si considera un solido molto simile). Usando ad esempio le coordinate cilindriche, troviamo che il volume vale m() mentre l integrale di z vale (z+) ρ (z+) zρ Quindi la coordinata z del baricentro vale [ (z + ) ] ( 5), z[ (z + ) ] ( ). z 5 ( 5).. In coordinate sferiche il dominio è descritto dalle limitazioni ρ [, ], θ [, ], φ [, ]. Pertanto il momento d inerzia è dato da / (x + y ) dy (ρ sin φ)(ρ sin φ) ρ oppure in coordinate cilindriche 5 6. / z z ρ (6 8z ) 6.. Osserviamo che è simmetrico rispetto ai piani x e y (ma non rispetto a z ). Pertanto funzioni dispari rispetto a x e/o rispetto a y hanno integrale nullo. Funzioni positive (risp. negative) su tutto hanno invece sicuramente integrale positivo (risp. negativo). Per brevità, nelle risposte chiamiamo positive su anche funzioni che valgono zero su un sottoinsieme di misura nulla e sono strettamente positive sul resto di (es. la funzione x). Troviamo nei vari casi (i) Ha integrale positivo, pari al volume di. (ii) Ha integrale nullo (è dispari rispetto a x). (iii) Ha integrale positivo (perché z è positiva su ). (iv) Ha integrale positivo (perché y è positiva su ).

6 (v) Ha integrale nullo (è dispari rispetto a x). (vi) Ha integrale positivo, perché x z è positiva su. (vii) Ha integrale nullo (è dispari rispetto a x). (viii) Ha integrale nullo (è dispari rispetto a y). (ix) Ha integrale positivo, perché xy è compreso tra e su, e il coseno di una quantità tra e è positivo. (x) La funzione non è dispari né rispetto a x né rispetto a y; tuttavia soddisfa f( x, y) f(x, y), cioè cambia segno rispetto alla trasformazione (x, y) ( x, y). Poiché è invariante rispetto a questa trasformazione, cioè vale (x, y, z) se e solo se ( x, y, z), si ha che l integrale è nullo. (xi) Il termine x è dispari e quindi dà contributo nullo all integrale. Il termine z z è invece negativo per z [, ], come avviene nei punti di. L integrale di f quindi è negativo. (xii) La funzione non è dispari né rispetto a x né rispetto a y; tuttavia soddisfa f(y, x) f(x, y), cioè cambia segno rispetto alla trasformazione (x, y) (y, x). Poiché è invariante rispetto a questa trasformazione, cioè (x, y, z) se e solo se (y, x, z), l integrale è nullo.. Osserviamo che il dominio è simmetrico rispetto a tutti i piani coordinati, in particolare rispetto a x e a z, quindi i termini x e z hanno integrale nullo perché funzioni dispari. E sufficiente quindi integrare il solo termine y. E possibile integrare per strati: y dy [ ( z ) ] 5. z ρ sen θ In alternativa, è possibile scrivere il dominio come \ dove si scrive in coordinate sferiche come { (ρ, θ, φ) : ρ, θ, φ } mentre si scrive in coordinate cilindriche come Gli integrali valgono rispettivamente 5 { (ρ, θ, z) : z, θ, z ρ y dy sen φ, }. ρ sen φ y dy ( z ) 5. z ρ sen θ Sottraendo i due risultati si trova il valore dell integrale su.

7 . Il termine x ha integrale nullo per simmetria. Troviamo quindi, utilizzando le coordinate sferiche, f(x, y, z) dy (y + z ) dy 5 (ρ sen θ sen φ + ρ cos φ)ρ sen φ ( sen φ + cos φ) sen φ I termini xe y e z hanno integrale nullo per simmetria. Troviamo quindi, utilizzando le coordinate cilindriche, f(x, y, z) dy [ ( z ) 9 ] 5. y dy z ρ sen θ